Cote n° 32 · pages 1–47 · Lecture modernisée · Corrections (références, rajouts) [dont SGA 4] : tapuscrit (s.d.), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et ses conventions

Le dossier n'a pas d'ordre interne écrit. Trois chemises (pages 1, 3 et 5) n'ont que des titres, que les sections reprennent. Le fil qu'on suit est celui des pages ; ce qui relie les pièces est l'exposé XVIII de SGA 4, « La formule de dualité globale », et l'exposé XVII qui le précède :

• page 2 — un relevé de lignes à corriger dans SGA 4 IX ;
• page 4 — foncteurs dérivés de foncteurs non additifs (chemise « XVII ») ;
• pages 6 à 14 — son tapuscrit : propositions pour un § 4 « Homomorphisme de Gysin » et un § 5 « Classe fondamentale locale » ;
• pages 15 à 24 — fiches de corrections sur XVIII 1.1–1.2, et les torseurs sur un fibré projectif ;
• pages 25 à 27 — trois feuillets d'une rédaction de XVIII 1.2 (le lemme 1.2.9) ;
• page 28 — une parenthèse : relever \(PSL_2(\mathbb{R})\) à \(SL_2(\mathbb{R})\) ;
• pages 29 à 34 — références à vérifier dans XVII, la lettre signée P. Deligne et sa liste de compatibilités manquantes, des fiches « État avant Illusie » et « État primitif » ;
• pages 35 à 47 — esquisses, puis une rédaction du § 3.1 sur \(Rf^!\) (3.1.6 à 3.1.19), annotée au crayon.

Le rapport entre ces pièces n'est écrit nulle part ; on le lit ainsi. La lettre de la page 30 accompagne, selon la transcription, « un envoi de pièces sur l'exposé XVIII et le § 3.1 sur \(Rf^!\) ». Il est vraisemblable que le tapuscrit des pages 6 à 14 et la rédaction annotée des pages 36 à 47 en fassent partie — la seconde portant alors des annotations au crayon qui seraient les siennes — mais la transcription n'attribue aucune de ces écritures, et cette lecture ne le fait pas non plus.¹

Conventions. Tous les schémas sont munis de leur topologie étale ; \(\mathcal{A}\) est un faisceau d'anneaux de torsion, annulé par un entier \(n\) premier aux caractéristiques résiduelles,² et \(D(X, \mathcal{A})\) la catégorie dérivée des faisceaux de \(\mathcal{A}\)-modules sur \(X\). Un morphisme est compactifiable s'il se factorise en une immersion ouverte suivie d'un morphisme propre ; on a alors \(Rf_! = R\bar f_* \circ j_!\) pour toute telle factorisation \(f = \bar f j\), et son adjoint à droite \(Rf^!\). Au niveau des complexes, \(f_!^{\bullet}\) désigne le foncteur explicite qui calcule \(Rf_!\) et \(f^!_{\bullet}\) son adjoint. Pour un morphisme \(f\colon X \to Y\) entre schémas de dimensions relatives \(d\) et \(d'\) sur une base \(S\), on note \(\delta(f) = d - d'\) sa dimension virtuelle, comme le tapuscrit le propose ; pour une immersion, \(c = d' - d = -\delta(f)\) est sa codimension.³

Ce que le dossier annonce sans l'établir : les deux « formulaires » des pages 8 à 14 sont des listes d'énoncés, sans démonstration ; la coïncidence de deux constructions de \(Rf^!\) (page 43) ; l'isomorphisme de pro-objets de l'exemple 3.1.17 ; le changement de base pour \(Rf^!\) au-delà du cas lisse. Les paragraphes 3.1.1 à 3.1.5 et 3.1.10 à 3.1.13, auxquels la rédaction renvoie, ne sont pas dans le dossier.

2–2

SGA 4 IX : des lignes à corriger (page 2)

Sur une feuille par ailleurs vierge, un relevé de pages et de lignes de l'exposé IX de SGA 4 — pages 2, 3, 60, 61, 63, 80 et 91 — sans le texte des corrections.⁴

4–4

Foncteurs dérivés d'un foncteur non additif (page 4)

Sous une chemise marquée « XVII »,⁵ une page au crayon rassemble ce qu'il faut savoir des foncteurs dérivés d'un foncteur non additif \(T\) sur les modules plats — puissances divisées \(\Gamma^n\), extérieures \(\Lambda^n\), symétriques \(\mathrm{Sym}^n\).⁶ Un tel \(T\) ne passe pas aux complexes terme à terme ; la construction de Dold et Puppe le fait passer par les objets simpliciaux. Par la correspondance de Dold–Kan \(N\), un complexe \(K\) concentré en degrés \(\leqslant 0\) est le complexe normalisé d'un module simplicial \(N^{-1}K\) ; on remplace \(K\) par une résolution plate, on applique \(T\) en chaque degré simplicial, et l'on revient aux complexes : \[ LT(K) = N\, T\, N^{-1}(K), \qquad LT\colon D^{\leqslant 0} \to D^{\leqslant 0}. \] Ce qu'il en retient :

• \(LT\) commute aux limites inductives filtrantes, dès que \(T\) le fait (c'est le cas de \(\Gamma^n\), \(\Lambda^n\), \(\mathrm{Sym}^n\)) : les résolutions plates de Dold et Puppe se forment fibre par fibre et commutent aux limites inductives.⁷
• Soit \(T\) de degré \(\leqslant n\) (au sens des foncteurs polynomiaux d'Eilenberg et Mac Lane) avec \(T(0) = 0\). Au niveau des complexes, si \(K\) est concentré dans l'intervalle \([p, q]\), \[ N T N^{-1} K \ \text{est concentré dans}\ \begin{cases} [p,\, nq] & \text{si } 0 \leqslant p \leqslant q,\\ [np,\, q] & \text{si } p \leqslant q \leqslant 0. \end{cases} \] Le premier cas se lit avec la correspondance de Dold–Kan cosimpliciale, le second avec la simpliciale.⁸ La borne du côté de \(0\) ne bouge pas, celle du côté opposé est multipliée par \(n\) : c'est le décalage \(L\mathrm{Sym}^n(M[1]) \simeq L\Lambda^n(M)[n]\), \(L\Lambda^n(M[1]) \simeq L\Gamma^n(M)[n]\).
• Passant aux catégories dérivées : si \(K \in D^{\leqslant q}\) (\(q \leqslant 0\)), alors \(LT(K) \in D^{\leqslant q}\) ; si \(K\) est de tor-amplitude dans \([p, q]\), alors \(LT(K)\) a sa cohomologie dans \([np, q]\), et sa tor-amplitude y est aussi lorsque \(T\) transforme modules plats en modules plats.⁹
• Si \(T\) conserve une propriété \(P\) des modules, stable par facteurs directs, et si \(T\) transforme les sommes directes finies d'objets ayant \(P\) en objets ayant \(P\), alors les composantes de \(NTN^{-1}K\) ont \(P\) dès que celles de \(K\) l'ont.¹⁰

La page s'achève sur « Ajouter remarque formulaire ».¹¹

6–9

L'homomorphisme de Gysin : un tapuscrit de propositions (pages 6 à 9)

Sous une chemise « Notes », un tapuscrit corrigé à l'encre de sa main s'adresse au rédacteur d'un exposé : il propose le contenu d'un § 4, Homomorphisme de Gysin, et d'un § 5, Classe fondamentale locale.¹²

La flèche de Gysin

Soit un triangle commutatif de \(S\)-schémas \[ f\colon X \to Y, \qquad p\colon X \to S, \qquad q\colon Y \to S, \qquad p = q f, \] avec \(p\) plat de présentation finie et de dimension relative \(\leqslant d\), \(q\) lisse de dimension relative \(d'\), \(p\) et \(q\) compactifiables, et \(\mathcal{A}\) un Anneau de torsion sur \(S\) premier aux caractéristiques résiduelles.¹³ Pour un complexe \(F\) de \(\mathcal{A}\)-modules sur \(S\), posons \(F_X = p^*F\), \(F_Y = q^*F\). On définit une flèche canonique, l'homomorphisme de Gysin ou homomorphisme trace, \[ (4.2)\qquad \mathrm{Tr}_f\colon Rf_!(F_X) \longrightarrow F_Y(-\delta)[-2\delta], \qquad \delta = \delta(f) = d - d'. \] Lorsque \(p\) est, lui aussi, lisse de dimension relative exactement \(d\), on a \(Rf^!F_Y \simeq F_X(\delta)[2\delta]\) par la dualité de Poincaré pour \(p\) et \(q\), et \(\mathrm{Tr}_f\) est simplement la counité \(Rf_!Rf^! \to \mathrm{id}\) de l'adjonction, évaluée en \(F_Y(-\delta)[-2\delta]\).

Par abus, on appelle encore Gysin toute flèche qui s'en déduit par un foncteur. Ainsi : en cohomologie, \(R^if_!(F_X) \to \underline{H}^{i-2\delta}(F_Y)(-\delta)\) (4.2.1) ;¹⁴ en appliquant \(Rq_!\), \(Rp_!(F_X) \to Rq_!(F_Y)(-\delta)[-2\delta]\) (4.2.2) ; plus généralement, pour \(g\colon Y \to Z\) compactifiable, \(R(gf)_!(F_X) \to Rg_!(F_Y)(-\delta)[-2\delta]\) (4.2.3) ; en appliquant \(Rg_*\), une flèche partant de l'image directe « à supports propres relativement à \(f\) », \[ (4.2.4)\qquad R(gf)_{c(f)}(F_X) := Rg_*Rf_!(F_X) \longrightarrow Rg_*(F_Y)(-\delta)[-2\delta], \] et, pour \(Z\) le topos ponctuel, \[ (4.2.5)\qquad R\Gamma_{c(f)}(X, F_X) := R\Gamma(Y, Rf_!F_X) \longrightarrow R\Gamma(Y, F_Y(-\delta))[-2\delta]. \] Si \(f\) est propre,¹⁵ \(Rf_! = Rf_*\) et ces flèches deviennent (4.2.6) à (4.2.8) — notamment \(R\Gamma(X, F_X) \to R\Gamma(Y, F_Y(-\delta))[-2\delta]\).

La bonne forme : des coefficients sur \(Y\)

Tensorisant (4.2) par un complexe \(G\) sur \(Y\) et utilisant la formule de projection, on obtient pour tout \(G\) une flèche \[ (4.3)\qquad \mathrm{Tr}_f\colon Rf_!(f^*G) \longrightarrow G(-\delta)[-2\delta], \] ou, de façon équivalente, \(Rf_!(f^*G(\delta)) \to G[-2\delta]\) (4.3 bis). Il note aussitôt que c'est par (4.3) qu'il aurait fallu commencer : on peut oublier \(F\), et lorsque \(p\) est lisse et \(G\) localement isomorphe à l'image inverse d'un complexe sur \(S\), (4.3) est la counité d'adjonction. Les exemples (4.2.1) à (4.2.8) se déduiraient de (4.3).¹⁶

Deux remarques de méthode. La notation \(f_*\), qui désigne à la fois un foncteur et la flèche de Gysin, est mauvaise ; il propose \(\mathrm{Tr}_f\). Et les variantes sont trop nombreuses pour qu'un formulaire les donne toutes sans déduction : il faut l'écrire pour (4.3), et montrer sur un exemple — le cas propre, après \(Rg_*\) — ce qu'il devient.

Le formulaire proposé

Les articles suivants « doivent certainement figurer ».¹⁷

• a)Cas quasi-fini. Si \(\delta = 0\) et \(f\) est quasi-fini et plat, \(\mathrm{Tr}_f\) est la trace de XVII.¹⁸
• b)Cas lisse. Si \(f\) est lisse, c'est la trace du § 2.
• c)Transitivité pour \(gf\), \(g\colon Y \to Z\), \(Z\) lisse et compactifiable sur \(S\).
• d)Formule de projection. Tensoriser (4.3) par \(G'\) donne la flèche de Gysin de \(G \otimes^L G'\) ; il en résulte que (4.3) est connue pour tout \(G\) dès qu'on connaît \[ (4.4)\qquad Rf_!\bigl(\mathcal{A}_X(\delta)[2\delta]\bigr) \longrightarrow \mathcal{A}_Y, \] et la formule de projection sur les classes de cohomologie en découle.
• e)Changement d'Anneau \(\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) : il suffit de connaître (4.4) pour les \(\mathcal{A} = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
• f)Künneth, pour \(g_1 \times_S g_2\), et changement de base \(S' \to S\).
• g)Indépendance de \(S\), pour \(S \to T\) lisse.
• h)Formule d'échange, pour un carré cartésien \(X' = X \times_Y Y'\) : \(g^*\mathrm{Tr}_f\), composé avec le changement de base pour \(Rf_!\), est \(\mathrm{Tr}_{f'}\). Il faut que \(X'\) soit plat sur \(S\), d'où une hypothèse de Tor-indépendance de \(X\) et \(Y'\) sur \(Y\) ; cela marche si \(X\) est lisse sur \(S\) et \(f\), \(g\) transversaux (EGA IV 17).

10–11

Les deux derniers articles, et le degré (pages 10 et 11)

• i)Formule de transposition : Gysin en cohomologie à supports propres est le transposé de l'image inverse — « tautologique », pense-t-il.
• j)Formules de linéarité, notamment pour une immersion de schémas lisses, dont Jouanolou a besoin, et pour les variétés éclatées qui s'en déduisent.

Un plan est proposé pour le § 4 : définitions et notations, formulaire général, formulaire pour les classes de cohomologie ; et la dimension virtuelle \(\delta(f) = d - d'\) « mérite une lettre simple ».

Le degré. Si \(f\) est propre et \(\delta = 0\), \[ \mathrm{Tr}_f(1_X) = N\cdot 1_Y, \] où \(N\) est une fonction localement constante à valeurs entières sur \(Y\), le degré de \(f\), égale au degré usuel sur le plus grand ouvert où \(f\) est fini localement libre. Par la formule de projection, \(\mathrm{Tr}_f \circ f^* = N\) sur \(H^*(Y, G)\) ; donc \(\operatorname{Ker}(f^*)\) est annulé par \(N\), et \(f^*\) est injectif, et même inversible à gauche, si \(N\) est inversible dans \(\mathcal{A}\) — en particulier si \(N = 1\).

Plus finement, si \(S = \operatorname{Spec} k\), \(Y\) irréductible de point générique \(\eta\), \(f\) propre et \(X_\eta \neq \varnothing\), et si \(N\) est le pgcd des degrés des \(0\)-cycles de \(X_\eta\), il existe une flèche fonctorielle en \(G\), \(H^*(X, G_X) \to H^*(Y, G)\), dont le composé avec \(f^*\) est \(N\). Le calcul de la page 10 la construit. Soient \(x_i\) des points fermés de \(X_\eta\), de degrés \(n_i = [k(x_i) : k(\eta)]\), et des entiers \(d_i\) avec \(\sum d_i n_i = N\) (Bézout) ; soient \(Z_i = \overline{\{x_i\}}\), \(u_i\colon Z_i \hookrightarrow X\) et \(f_i = f u_i\colon Z_i \to Y\), propre, génériquement fini de degré \(n_i\). Alors \[ \Bigl(\sum_i d_i\, f_{i*} u_i^*\Bigr) f^* = \sum_i d_i\, f_{i*} f_i^* = \sum_i d_i\, n_i\, \mathrm{id} = N\,\mathrm{id}, \] où \(f_{i*}\) est la flèche de Gysin de \(f_i\), et \(f_{i*}f_i^* = n_i\) par l'énoncé précédent appliqué à \(f_i\).¹⁹

12–14

La classe fondamentale locale (pages 12 à 14)

Le § 5 proposé part de la flèche de Gysin. Par adjonction, la connaissance de (4.3) équivaut à celle d'une flèche \[ (5.1)\qquad f^*(G)(\delta)[2\delta] \longrightarrow Rf^!G, \] fonctorielle en \(G\), qu'il propose d'appeler classe fondamentale locale (« autre nom ? » en marge).²⁰ Par le § 4, il suffit de la connaître pour \(G = \mathcal{A}_Y\), où elle devient un élément \[ (5.2)\qquad \varphi_f\colon \mathcal{A}_X \to Rf^!(\mathcal{A}_Y)(-\delta)[-2\delta], \qquad\text{i.e.}\quad \varphi_f \in H^{-2\delta}\bigl(X, Rf^!(\mathcal{A}_Y)(-\delta)\bigr), \] d'où une section \[ (5.3)\qquad \varphi_f \in H^0\bigl(X, R^{-2\delta}f^!(\mathcal{A}_Y)(-\delta)\bigr), \] qui mérite peut-être mieux encore le nom de classe fondamentale locale.²¹ Sa formation est fonctorielle en l'Anneau \(\mathcal{A}\) (voire \(\mathcal{A}_Y\)) ; il suffit de la connaître pour les \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Lorsqu'on dispose de la pureté \[ (5.4)\qquad R^if^!(\mathcal{A}_Y) = 0 \quad\text{pour } i \neq -2\delta, \] (5.3) détermine (5.2), qui mérite alors le nom de classe fondamentale globale.

Le cas d'une immersion fermée

Soit désormais \(f\colon X \hookrightarrow Y\) une immersion fermée, de codimension \(c = -\delta = d' - d\). La pureté (5.4) vaut alors : elle est dans XVI 3.7 lorsque \(X\) est lisse sur \(S\), et le cas général s'en déduit par dévissage (SGA 2 XIV, 1.10 et 1.18).²² Comme \(H^*(X, Rf^!\mathcal{A}_Y) = H^*_X(Y, \mathcal{A}_Y)\), la classe devient \[ (5.5)\qquad \gamma_{X/Y} \in H^{2c}_X\bigl(Y, \mathcal{A}_Y(c)\bigr), \] la classe de cohomologie à supports dans \(X\) de \(X\) dans \(Y\), d'image \[ (5.6)\qquad \gamma_{X/Y} \in H^{2c}\bigl(Y, \mathcal{A}_Y(c)\bigr), \] la classe de cohomologie de \(X\) dans \(Y\) — aujourd'hui la classe de cycle.²³ Leur formalisme, étendu par linéarité aux cycles, « sera étudié systématiquement dans SGA 5 IV » ; ici, seules les propriétés élémentaires de la classe locale.²⁴

Propriétés proposées.²⁵

• a)Si \(X\) est lisse sur \(S\) et \(G\) localement isomorphe à l'image inverse d'un complexe sur \(S\) (par exemple \(G = \mathcal{A}_Y\)), (5.1) est un isomorphisme (essentiellement XVI 3.7) : c'est la pureté cohomologique relative.
• b)Si \(c = 0\), \(f\) identifie \(X\) à une partie ouverte et fermée de \(Y\), et (5.1) est l'identité, \(\varphi_f = 1\).²⁶
• c)Si \(c = 1\), \(X\) est un diviseur relatif de \(Y/S\), et \(\varphi_f\) est donné par la théorie de Kummer : c'est l'image de la classe de \(\mathcal{O}(X)\) par le cobord de la suite de Kummer, à supports dans \(X\).
• d)Compatibilité à la transitivité et aux intersections — « essentiellement identiques » — dans le cas lisse et transversal.
• e)Compatibilité au changement de base \(S' \to S\) et aux produits \(Y_1 \times_S Y_2\).
• f)Compatibilité au changement d'anneau.
• g)Indépendance de \(S\) (\(S \to T\)).
• h)Relation avec Gysin : \(\gamma_{X/Y}\) est l'image de \(1_X\) par Gysin ; et \(Rf_!\) de (5.1), suivi de la counité d'adjonction, est la flèche de Gysin.
• i)Remords : le triangle

\begin{tikzcd}
f^*(G)(-c)[-2c] \arrow[r] \arrow[dr] & Rf^!(G) \\
& Rf^!(\mathcal{A}_Y) \otimes^L f^*(G) \arrow[u]
\end{tikzcd}

commute, où la flèche horizontale est (5.1), l'oblique est \(\varphi_f \otimes f^*G\), et la verticale la flèche canonique « qu'on devine », analogue au changement de base pour les \(Rf^!\) — qui, dit-il, manque dans 3.1, comme ce dernier ; elle est un isomorphisme si \(G\) est localement libre.²⁷

Il pense que, le formulaire du § 4 acquis, celui-ci est « pratiquement trivial », et propose de finir par une caractérisation des classes fondamentales locales d'un couple lisse : nature locale (pour la topologie de Zariski), cas \(c = 0\), cas \(c = 1\) défini par une équation, et compatibilité au cup-produit d) (où il suffit qu'un des facteurs soit de codimension \(1\)). Cet énoncé d'existence et d'unicité, signale-t-il, se démontre indépendamment de la dualité et de la trace, et avait été donné au séminaire oral avant la dualité.

15–23

Fiches de corrections sur XVIII 1.1–1.2 (pages 15 à 23)

Neuf fiches de format irrégulier, à l'encre ou au crayon, renvoient chacune à un paragraphe de l'exposé XVIII et à une page ou une ligne d'un tapuscrit qui n'est pas ici.²⁸ Elles demandent : pourquoi supposer une certaine hypothèse de cohérence à cet endroit ; de décrire un faisceau d'automorphismes comme celui des automorphismes de \(x\) « qui sont dans \(\mathrm{pch}(K)\) » ; de préciser \(R^1f_*\mathbb{G}_m\) et d'écrire \(R^1p_*p^*G\) ; de remplacer un renvoi à 1.2.2.1 par (1.2.3) et (1.2.4.2) ; d'ajouter une référence à Mac Lane ; d'annuler un renvoi à 1.2.1. Deux observations mathématiques s'y glissent. L'une (page 17) écrit le \(G\)-torseur associé à un couple : \[ K(K_0, \varphi) = p^*(K_0) + \varphi_*\bigl(\mathcal{O}(1)\bigr), \] où \(p\colon P(E) \to S\) est un fibré projectif, \(K_0\) un \(G\)-torseur sur \(S\), \(\varphi \in \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, G)\), et \(\varphi_*\mathcal{O}(1)\) le \(G\)-torseur déduit du \(\mathbb{G}_m\)-torseur \(\mathcal{O}(1)\) ; et suggère de remarquer que \(\Gamma(S, R^1p_*G) = H^1(P(E), G)/H^1(S, G)\) — ce que la page 24 établit, sous hypothèse.²⁹ L'autre (page 23), biffée : « \(\operatorname{Lie}\operatorname{Pic}_X = H^1(X, \mathcal{O}_X)\) ? » — c'est vrai, et c'est exactement ce qui sert à la page 26.

24–24

Torseurs sur un fibré projectif (page 24)

Soient \(p\colon P(E) \to S\) un fibré projectif et \(G\) un faisceau en groupes commutatifs sur \(S\). On compare deux conditions :³⁰

• I.(a) \(G \xrightarrow{\sim} p_*p^*G\) ; (b) la flèche \(\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{G}_m, G) \to R^1p_*G\), \(\varphi \mapsto \varphi_*\mathcal{O}(1)\), est un isomorphisme ;
• II.le foncteur (1.2.1.1), \((K_0, \varphi) \mapsto K(K_0, \varphi)\), des couples formés d'un \(G\)-torseur sur \(S\) et d'un \(\varphi \in \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, G)\) vers les \(p^*G\)-torseurs sur \(P(E)\), est une équivalence, et le reste après toute localisation étale sur \(S\).

Remarque 1. Sous I.a, et si \(p\) a une section, la suite exacte des termes de bas degré de Leray donne \[ 0 \to H^1(S, G) \to H^1(P(E), G) \xrightarrow{\ \theta\ } \Gamma(S, R^1p_*G) \to 0, \] la surjectivité de \(\theta\) venant de ce que \(H^2(S, G) \to H^2(P(E), G)\) est injectif, rétracté par la section.

Remarque 2. La pleine fidélité de (1.2.1.1) est locale sur \(S\) ; et, pleine fidélité acquise, la surjectivité essentielle l'est aussi. On peut donc supposer que \(p\) a une section.

Remarque 3. I.b suffit pour que \(\mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, G) \to H^1(P(E), G)\) soit injectif : composée avec \(\theta\), c'est I.b sur les sections globales.

I \(\Rightarrow\) II. Pleine fidélité : si \(K(K_0, \varphi) \simeq K(K'_0, \varphi')\), on applique \(\theta\) et l'on trouve \(\varphi = \varphi'\) ; alors \(p^*K_0 \simeq p^*K'_0\), et I.a (les automorphismes de \(p^*G\) sur \(P(E)\) sont ceux de \(G\)) donne la pleine fidélité. Surjectivité essentielle : pour \(K \in H^1(P(E), G)\), I.b donne \(\varphi\) avec \(\theta(K) = \theta(\varphi_*\mathcal{O}(1))\), et \(K - \varphi_*\mathcal{O}(1)\) est dans le noyau de \(\theta\), donc vient de \(H^1(S, G)\).³¹ II \(\Rightarrow\) I. I.a résulte de la pleine fidélité ; I.b, de la surjectivité essentielle appliquée localement, compte tenu de ce qui précède.

25–27

Une rédaction de XVIII 1.2 : le lemme 1.2.9 (pages 25 à 27)

Trois feuillets d'une rédaction soignée, folios 8 et 12 pour les deux derniers.³²

Lemme 1.2.9. Soient \(S\) un schéma local artinien, \(\bar s\) un point géométrique de \(S\), \(f\colon X \to S\) propre et lisse, et \(G\) un schéma en groupes commutatif lisse de type fini sur \(S\). Si \(H^0(X_{\bar s}, \mathcal{O}) = k(\bar s)\), si \(\operatorname{Pic}^{\tau}X_{\bar s} = 0\) et si \(G_{\bar s}\) ne contient pas de sous-groupe \(\mathbb{G}_m\), alors \(f^*\) est une équivalence de la catégorie des \(G\)-torseurs sur \(S\) sur celle des \(f^*G\)-torseurs sur \(X\).

a. La question est étale-locale sur \(S\) ; on suppose \(S\) strictement hensélien. Alors \(X/S\) a une section (les fibres lisses sur un corps séparablement clos ont des points rationnels, que le lemme de Hensel relève), et \(f^*\) est pleinement fidèle par 1.2.3 et (1.2.4.2).

b. Cas d'un corps. Si \(A\) est une variété abélienne, \(H^1(X, A)\) est de torsion (Raynaud [1, XIII 2.6]), donc réunion des images des \(H^1(X, {}_nA)\). Si \(G\) est extension de \(A\) par un groupe affine \(G_0\) et \(G^n\) l'image réciproque de \({}_nA\) dans \(G\), \(H^1(X, G)\) est réunion des images des \(H^1(X, G^n)\) : un \(G\)-torseur dont l'image dans \(H^1(X, A)\) est tuée par \(n\) provient de \(G^n = \operatorname{Ker}(G \to A \xrightarrow{n} A)\). Les \(G^n\) sont affines, non nécessairement lisses, et l'on conclut par 1.2.8.

c. Pour \(S\) strictement hensélien et \(G\) lisse, \(H^1(S, G) = 0\) ; il s'agit de voir \(H^1(X, G) = 0\). Par récurrence sur la longueur, supposons-le après restriction à \(S_0 \subset S\) défini par un idéal \(I\) de carré nul et de longueur \(1\). Un \(G\)-torseur sur \(X\) est alors une déformation du torseur trivial de \(X_0\) ; avec \(L = e^*\Omega^1_{G/S}\) (\(e\) la section unité), ces déformations sont classées par \[ H^1\bigl(X_{s}, f^*\underline{\mathrm{Hom}}(L, I)\bigr) \simeq H^1(X_s, \mathcal{O}) \otimes \operatorname{Lie}(G_s) \otimes I = 0, \] car \(H^1(X_s, \mathcal{O}) = \operatorname{Lie}\operatorname{Pic}_{X_s}\) est nul quand \(\operatorname{Pic}^{\tau}\) l'est.³³

La page 27, barrée de deux diagonales, montre pour \(S\) artinien une implication (1) \(\Rightarrow\) (1') entre conditions qui ne sont pas dans le dossier : si \(G\) est fini localement libre, de dual de Cartier \(G'\), il se plonge dans le schéma en groupes lisse \(A(G)\) des unités de l'algèbre affine de \(G'\), comme sous-groupe des caractères de \(G'\) ; une suite exacte \(0 \to G \to G_1 \to G_2 \to 0\) à \(G_1\), \(G_2\) lisses et la cohomologie de \(P(E)\) (1.2.3, 1.2.2) donnent \(\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{G}_m, G) \xrightarrow{\sim} R^1p_*G\). Un dernier cas (iii) se ramène, quitte à étendre le corps, à une extension \(0 \to \mathbb{G}_m^n \to G_0 \to H \to 0\) avec \(H\) sans tore.

28–28

Relever l'uniformisation à \(SL_2(\mathbb{R})\) (page 28)

Tête-bêche, sur un feuillet barré, des notes brèves en colonnes. Une surface de Riemann compacte \(X\) de genre \(g \geqslant 2\) est un quotient du disque ; l'uniformisation fournit un torseur plat sous \(PSL_2(\mathbb{R}) = \operatorname{Aut}(\text{disque})\) sur \(X\), c'est-à-dire une représentation \(\pi_1(X) \to PSL_2(\mathbb{R})\). La question est : se relève-t-elle à \(SL_2(\mathbb{R})\) ? Comme \(SL_2(\mathbb{R}) \to PSL_2(\mathbb{R})\) est une extension centrale par \(\{\pm 1\}\), les notes posent correctement la théorie d'obstruction : obstruction dans \(H^2(X, \mathbb{Z}/2)\), relèvements formant un torseur sous \(H^1(X, \mathbb{Z}/2)\), automorphismes \(H^0(X, \mathbb{Z}/2)\). Concrètement, avec des générateurs \(x_1, \dots, x_{2g}\) de \(\pi_1\) soumis à \([x_1, x_2]\cdots[x_{2g-1}, x_{2g}] = e\), on relève les \(x_i\) et la relation relevée vaut \(\pm 1\).³⁴

La page ne conclut pas. La réponse est classique : le signe est la réduction modulo \(2\) de la classe d'Euler de la représentation, qui vaut \(\pm(2g-2)\) pour l'uniformisation ; elle est paire, la représentation se relève, et ses \(2^{2g}\) relèvements correspondent aux racines carrées du fibré canonique (caractéristiques thêta), le fibré plat de rang \(2\) relevé étant une extension de \(\omega^{-1/2}\) par \(\omega^{1/2}\).³⁵

29–29

SGA 4 XVII : références à vérifier (page 29)

Au crayon : vérifier le renvoi XVII 0.13 pour « \(F\) premier aux caractéristiques résiduelles de \(X\) », et ajouter la variante relative — pour \(X \to S\) et \(F\) sur \(X\), « premier aux caractéristiques résiduelles de \(S\) », c'est-à-dire, pour tout \(s \in S\), au-dessus de \(\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{S,s}\), annulé par un entier inversible en \(s\).³⁶ Et : « 1.2.9 : plat / lisse par Illusie » — vraisemblablement, que le lemme 1.2.9 des pages 25 à 27 vaut pour \(f\) plat au lieu de lisse, grâce à la théorie des déformations d'Illusie.³⁷

30–31

Une lettre signée P. Deligne, et une liste (pages 30 et 31)

Une lettre signée « P. Deligne », cotée « L 4 », accompagne un envoi de pièces sur l'exposé XVIII et le § 3.1 sur \(Rf^!\). Elle dit ce qui manque — Gysin, le changement de base \(g^*Rf^! \xrightarrow{\sim} Rf'^!g^*\) sous hypothèses, des compatibilités, la compatibilité aux classes fondamentales locales —, ce que le rédacteur entend combler ou non avant que SGA 4 ne devienne un livre, et la liste des pièces jointes. La page 31, de la même main, est vraisemblablement la « liste incomplète de compatibilités manquantes » que la lettre annonce, en neuf articles a) à i).³⁸

Ce qui intéresse le fil du dossier est la correspondance entre ces manques et les autres pièces : Gysin et les classes fondamentales locales sont l'objet du tapuscrit des pages 6 à 14 ; le changement de base pour \(Rf^!\) est la flèche que le « Remords » de la page 14 dit manquer dans 3.1, et que la rédaction de la page 36 n'obtient que sous hypothèse de lissité.

32–34

« État avant Illusie », « État primitif » (pages 32 à 34)

Deux fiches de calcul et une troisième presque vide.³⁹

Page 32. D'un côté, la suite exacte des termes de bas degré de la suite spectrale de Leray d'un morphisme \(X \to S\) : \(0 \to H^1(S, f_*\mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to H^0(S, R^1f_*\mathcal{F}) \to H^2(S, f_*\mathcal{F})\). De l'autre, retourné, un accouplement entre fibrés en droites sur une courbe relative \(f\colon X \to S\) : \(\langle \mathcal{O}(E), \mathcal{M}\rangle = N_{E/S}(\mathcal{M})\) pour un diviseur \(E\) fini et plat sur \(S\), et \[ \langle \mathcal{O}(E), \mathcal{O}(F)\rangle \simeq \det Rf_*\bigl(\mathcal{O}_E \otimes^L \mathcal{O}_F\bigr)^{\pm 1}, \] calculé par la suite \(0 \to \mathcal{O}(-F) \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}_F \to 0\).⁴⁰ C'est ce qu'on appelle aujourd'hui l'accouplement de Deligne.⁴¹

Page 33. Le symbole modéré en un point \(x\) d'une courbe, \[ (-1)^{v_x(f)\, v_x(g)}\, \frac{g^{v_x(f)}}{f^{v_x(g)}}, \] au milieu de combinaisons de diviseurs ;⁴² puis, à l'encre rouge, les puissances symétriques d'une présentation \(T'' \rightrightarrows T' \to T\) et des mots de descente (« desc. él. », « desc. finie ») avec une résolution simpliciale \(A_2 \Rrightarrow A_1 \rightrightarrows A_0 \to A\). Page 34 : « ETAT PRIMITIF. contient : ? compatibilité », le reste effacé.

35–35

Esquisses : adjonction et changement de base (page 35)

Une page barrée de schémas plutôt que de phrases : l'adjonction \(\mathrm{Hom}(f_!K, L) \simeq \mathrm{Hom}(K, f^!L)\) et sa forme locale au-dessus d'un \(V\) étale sur \(S\), l'amorce de sa forme faisceautique \(Rf_*R\underline{\mathrm{Hom}}(\ ,\ ) \simeq \cdots\) (que la page 46 écrira), et deux carrés de changement de base, l'un pour \(g^*\) et \(f_!\), l'autre pour \(g_*\) et \(f^!\), avec « dém : fib + cofib ».⁴³

36–37

Le § 3.1 sur \(Rf^!\) : les quatre flèches de changement de base (pages 36 et 37)

Commence ici une rédaction à l'encre bleue d'un § 3.1 sur le foncteur \(Rf^!\), annotée au crayon d'une autre écriture qu'on appelle « le lecteur ».⁴⁴ On en a les paragraphes 3.1.6 (fin) à 3.1.9 et 3.1.14 à 3.1.19.

Soit un carré cartésien \[ X' = X \times_S S' \xrightarrow{\ g'\ } X, \qquad f'\colon X' \to S', \qquad f\colon X \to S, \qquad g\colon S' \to S, \] avec \(f\) compactifiable et \(\mathcal{A}\) de torsion sur \(S\). L'isomorphisme de changement de base propre (XVII 5.2) \(g^*Rf_! \simeq Rf'_!g'^*\) se transpose, en passant aux adjoints à droite, en \[ (3.1.6.3)\qquad Rg'_*\,Rf'^! \xrightarrow{\ \sim\ } Rf^!\,Rg_* \] de \(D^+(S', g^*\mathcal{A})\) dans \(D^+(X, f^*\mathcal{A})\). On a ainsi quatre flèches : \[ (3.1.6.4)\qquad \begin{array}{ll} g^*Rf_* \longrightarrow Rf'_*\,g'^* & \qquad g^*Rf_! \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_!\,g'^* \\[1ex] Rg^!Rf_* \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_*\,Rg'^! & \qquad Rg^!Rf_! \longleftarrow Rf'_!\,Rg'^! \end{array} \] Celles de la diagonale principale sont chacune sa propre conjuguée (en termes d'aujourd'hui : le mate de chacune, par les deux adjonctions, est la flèche de même forme où \(f\) et \(g\) échangent leurs rôles), et sont définies pour tout carré commutatif dès que sources et buts ont un sens ; celles de l'autre diagonale sont conjuguées l'une de l'autre, et définies pour un carré cartésien avec \(f\) (resp. \(g\)) compactifiable.⁴⁵

Le lecteur ajoute en bas de page la flèche qui manque, \(g'^*Rf^! \to Rf'^!g^*\), toujours définie (par adjonction à partir de \(g^*Rf_! \simeq Rf'_!g'^*\)), et qui est un isomorphisme sous hypothèse de lissité — vrai si \(g\) est lisse, ou si \(f\) est lisse.⁴⁶ La page 37 ne porte qu'un titre biffé, « 3.1.3 Constructions du foncteur \(Rf^!\) ».

38–40

La formule d'induction (pages 38 à 40)

3.1.7. Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) deux faisceaux d'anneaux de torsion sur \(S\), \(F\) un \(f^*\mathcal{B}\)-Module à droite sur \(X\) et \(G\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule sur \(S\). On a une flèche de type projection \[ (3.1.7.1)\qquad f_!^{\bullet}F \otimes_{\mathcal{B}} G \longrightarrow f_!^{\bullet}(F \otimes_{\mathcal{B}} f^*G), \] qui se transpose, pour \(H\) un \(\mathcal{A}\)-module sur \(S\), en \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^*G, f^!_{\bullet}H) \to f^!_{\bullet}\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(G, H)\) (3.1.7.2), et se dérive en l'homomorphisme d'induction \[ (3.1.7.3)\qquad R\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^*L, Rf^!M) \longrightarrow Rf^!\,R\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, M), \] pour \(L \in D^-(S, \mathcal{A}, \mathcal{B})\) et \(M \in D^+(S, \mathcal{A})\).⁴⁷ Pour \(K \in D^-(X, f^*\mathcal{B})\), le carré

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Hom}(K, R\underline{\mathrm{Hom}}(f^*L, Rf^!M)) \arrow[r, "(1)"] \arrow[d, leftrightarrow, "\wr"'] & \mathrm{Hom}(K, Rf^!R\underline{\mathrm{Hom}}(L, M)) \arrow[r, leftrightarrow, "\sim"] & \mathrm{Hom}(Rf_!K, R\underline{\mathrm{Hom}}(L, M)) \arrow[d, leftrightarrow, "\wr"] \\
\mathrm{Hom}(K \otimes^L f^*L, Rf^!M) \arrow[r, leftrightarrow, "\sim"'] & \mathrm{Hom}(Rf_!(K \otimes^L f^*L), M) \arrow[r, "(2)"'] & \mathrm{Hom}(Rf_!K \otimes^L L, M)
\end{tikzcd}

commute ; (2) vient de la formule de projection, c'est un isomorphisme (XVII 5.2),⁴⁸ donc (1) en est un pour tout \(K\), et (3.1.7.3) aussi — les objets \((f^*\mathcal{B})_U[m]\), pour \(U\) étale sur \(X\), suffisent à détecter un isomorphisme dans \(D^+\).

Proposition 3.1.8 (« formule d'induction »). La flèche (3.1.7.3) est un isomorphisme : \[ R\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^*L, Rf^!M) \xrightarrow{\ \sim\ } Rf^!\,R\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, M). \] C'est la compatibilité, devenue standard dans le formalisme des six opérations, de \(Rf^!\) au \(\underline{\mathrm{Hom}}\) interne.

3.1.9. Soit \(u\colon \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) un homomorphisme d'anneaux de torsion. Prenant pour \(L\) le bimodule \(\mathcal{A}\) en degré \(0\), \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, -)\) est la restriction des scalaires \(u_\cdot\), et 3.1.8 dit que le carré

\begin{tikzcd}
D^{+}(X, f^{*}\mathcal{A}) \arrow[r, "u_\cdot"] & D^{+}(X, f^{*}\mathcal{B}) \\
D^{+}(S, \mathcal{A}) \arrow[r, "u_\cdot"] \arrow[u, "Rf^{!}"] & D^{+}(S, \mathcal{B}) \arrow[u, "Rf^{!}"']
\end{tikzcd}

commute à isomorphisme près : \(Rf^!\) commute à la restriction des scalaires, et l'anneau \(\mathcal{A}\) « ne joue qu'un rôle bidon » dans sa définition.⁴⁹

41–43

Calculer \(Rf^!\) par des complexes explicites (pages 41 à 43)

3.1.14. Soit \(f\colon X \to S\) compactifiable, \(f = \bar f j\) une compactification, à fibres de dimension \(\leqslant d\). Le mécanisme est le suivant : pour un complexe d'injectifs \(I\) sur \(S\), les sections sur \(U\) (étale sur \(X\)) de \(f^!_{\bullet}I\) sont, par adjonction, \[ \Gamma(U, f^!_{\bullet}I) = \mathrm{Hom}^{\bullet}(\mathcal{A}_U, f^!_{\bullet}I) = \mathrm{Hom}^{\bullet}\bigl(K(U), I\bigr), \qquad K(U) = f_!^{\bullet}(\mathcal{A}_U) = \bar f_*\,\tau_{\leqslant 2d}\, C^{\bullet}(j_!\mathcal{A}_U), \] où \(\mathcal{A}_U\) est le prolongement par zéro à \(X\) du faisceau constant \(\mathcal{A}\) sur \(U\) et \(C^{\bullet}\) la résolution de Godement. Toute famille fonctorielle \(U \mapsto K(U)\) de complexes quasi-isomorphes à \(Rf_!(\mathcal{A}_U)\) (et convenables) calcule ainsi \(Rf^!\) : c'est le « procédé de 3.1.10 ».⁵⁰

Si \(n\mathcal{A} = 0\), la formule de projection donne \(Rf_!\mathcal{A}_U \simeq \mathcal{A} \otimes^L Rf_!(\mathbb{Z}/n)_U\) (XVII 5.2). Mieux : \(f_!^{\bullet}((\mathbb{Z}/n)_U)\) est un complexe de faisceaux plats. On se ramène à \(n = \ell^k\) ; un faisceau \(F\) de \(\mathbb{Z}/\ell^k\)-modules est plat si et seulement si, pour \(i < k\), la multiplication par \(\ell^i\) induit \(F/\ell F \xrightarrow{\sim} \ell^iF/\ell^{i+1}F\) — condition qui s'exprime par des noyaux et conoyaux, donc passe des \((\mathbb{Z}/n)_U\), plats, aux \(f_!^i((\mathbb{Z}/n)_U)\), puisque les \(f_!^i\) sont exacts.⁵¹ Par suite la flèche canonique \[ f_!^{\bullet}\bigl((\mathbb{Z}/n)_U\bigr) \otimes \mathcal{A} \longrightarrow f_!^{\bullet}(\mathcal{A}_U) \] est un quasi-isomorphisme, et \(Rf^!\) est aussi donné par la famille \(U \mapsto f_!^{\bullet}((\mathbb{Z}/n)_U) \otimes \mathcal{A}\), c'est-à-dire par \(\mathrm{Hom}^{\bullet}_{\mathbb{Z}/n}(f_!^{\bullet}((\mathbb{Z}/n)_U), I)\).⁵²

On peut aller plus loin avec la résolution plate canonique \(L_{\bullet}(F)\) d'un Module \(F\) — \(L_0(F)\) est le Module libre engendré par le faisceau d'ensembles \(F\), on recommence avec le noyau de \(L_0(F) \to F\), et ainsi de suite — et la famille \[ U \longmapsto K_0(U) := L_{\bullet}\bigl(f_!^{\bullet}((\mathbb{Z}/n)_U)\bigr), \] dont les termes sont des Modules libres sur des faisceaux d'ensembles. Pour un complexe \(G\) de \(\mathcal{A}\)-Modules acycliques pour les foncteurs \(\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/n[E], -) = \Gamma(E, -)\), \(E\) faisceau d'ensembles, le complexe \(K_0^!(G) : U \mapsto \mathrm{Hom}^{\bullet}(K_0(U), G)\) calcule déjà \(RK_0^!(G) = Rf^!G\).⁵³ On retrouve ainsi que \(\mathcal{A}\) ne joue qu'un rôle bidon.

Une bande de papier ajoute : « Je n'ai pas vérifié que cette construction coïncide avec celle de 3.1.9. »⁵⁴

44–45

Une variante locale sur la base (pages 44 et 45)

3.1.15. On peut aussi décrire \(Rf^!\) par le procédé de 3.1.13, qui laisse varier la base. Soit \(f = \bar f j\) comme plus haut, \(n\mathcal{A} = 0\). Pour \(W = (U, V, \varphi)\) dans la catégorie \(X_f\) de 3.1.13 — \(V\) étale sur \(S\), \(U\) étale sur \(X_V = X \times_S V\) —, posons \[ (3.1.15.1)\qquad K(W) = \bar f_{V*}\,\tau_{\leqslant 2d}\,C^{\bullet}_{\bar X_V}(\mathcal{A}_U), \qquad \bar X_V = \bar X \times_S V. \] Pour \(j_V\colon V \to S\) le morphisme structural, on a un quasi-isomorphisme \[ j_{V!}\,K(W) \xrightarrow{\ \sim\ } \bar f_*\,\tau_{\leqslant 2d}\, C^{\bullet}_{\bar X}(\mathcal{A}_U), \] les deux membres calculant \(Rf_!(\mathcal{A}_U)\) (XVII 5.2), et le système des \(K(W)\) calcule donc \(Rf^!\).⁵⁵ La page 45 ne porte qu'une ligne biffée, « Proposition 3.1.12. Le morphis ».

46–47

Dualité faisceautique, un exemple, et la finitude (pages 46 et 47)

3.1.16. L'isomorphisme d'adjonction \[ (3.1.16.1)\qquad \mathrm{Hom}(Rf_!K, L) \simeq \mathrm{Hom}(K, Rf^!L), \qquad K \in D(X, f^*\mathcal{A}),\ L \in D^+(S, \mathcal{A}), \] s'écrit, pour \(K \in D^-(X, f^*\mathcal{A})\) et \(L\) un complexe borné inférieurement d'injectifs, au niveau des complexes : \(\mathrm{Hom}^{\bullet}(f_!^{\bullet}K, L) \simeq \mathrm{Hom}^{\bullet}(K, f^!_{\bullet}L)\).⁵⁶ En le localisant au-dessus de chaque \(j\colon V \to S\) étale (avec \(j'\colon X_V \to X\)), on obtient \[ (3.1.16.2)\qquad Rf_*\,R\underline{\mathrm{Hom}}(K, Rf^!L) \xrightarrow{\ \sim\ } R\underline{\mathrm{Hom}}(Rf_!K, L), \] la dualité faisceautique : ses sections sur \(V\) sont les deux membres de (3.1.16.1) pour \(f_V\).⁵⁷

3.1.17. Exemple. Soient \(X\) compactifiable sur un corps algébriquement clos \(k\), \(x\) un point fermé, \(n\) inversible dans \(k\). Comme \(\mathbb{Z}/n\) est injectif sur lui-même, (3.1.11.1) donne \[ \underline{H}^{-i}(Rf^!\mathbb{Z}/n)_x \simeq \varinjlim_{U} \mathrm{Hom}\bigl(H^i_c(U, \mathbb{Z}/n), \mathbb{Z}/n\bigr), \] la limite portant sur la catégorie des voisinages étales \(U\) de \(x\). Si la flèche \(H^i_x(X, \mathbb{Z}/n) \to \text{« }\varprojlim_U\text{ »}\, H^i_c(U, \mathbb{Z}/n)\) est un isomorphisme de pro-objets, on en tire \[ \underline{H}^{-i}(Rf^!\mathbb{Z}/n)_x \simeq H^i_x(X, \mathbb{Z}/n)^{\vee}, \] la dualité locale en un point fermé. La page juge que cela résulte « vraisemblablement » du théorème de bidualité de SGA 5 I, qui dépend de la résolution des singularités.⁵⁸

La finitude suit de la construction : les \(f^!_i\) (3.1.4.5) sont adjoints à droite de foncteurs exacts, donc transforment injectifs en injectifs.

Proposition 3.1.18. Soient \(f\colon X \to S\) compactifiable de dimension relative \(\leqslant d\) et \(L \in D^+(S, \mathcal{A})\).

• (i)Si \(\underline{H}^i(L) = 0\) pour \(i < k\), alors \(\underline{H}^i(Rf^!L) = 0\) pour \(i < k - 2d\).⁵⁹
• (ii)\(\dim\operatorname{inj}(Rf^!L) \leqslant \dim\operatorname{inj}(L)\).

(ii) découle de ce que les \(f^!_i\) conservent les injectifs.

3.1.19. Si \(f\) est quasi-fini, on peut prendre \(d = 0\) dans la construction 3.1.4 : \(f_!\) est alors exact et a un adjoint à droite \(f^!\) dont \(Rf^!\) est le dérivé. Pour une immersion \(f\colon X \hookrightarrow S\), \(f^!\) est le foncteur « sections à support dans \(X\) », et⁶⁰ \[ (3.1.19.1)\qquad R^if^!L = \underline{H}^i_X(L)\big|_X. \] Le crayon ajoute : si \(f\) est étale, \(Rf^! = f^*\), d'où la nature locale de \(Rf^!\).

Le plan proposé, et un calcul au crayon

En bas de la page 47, le lecteur trouve « le plan de 3.1 flou après 3.1.4 » et en propose un autre : a) propriétés formelles de \(Rf^!\) pour \(f\) fixé (3.1.5, 3.1.18, 3.1.19, 3.1.8, 3.1.9) ; b) propriétés pour \(f\) variable (3.1.6, et le changement de base par un morphisme lisse — « à ne pas oublier ! ») ; c) sorites sur la construction locale (3.1.10 à 3.1.13).

Dessous, pour \(f\) lisse de dimension relative \(d\), le calcul de \(Rf^!\) par la diagonale \(\Delta\colon X \to X \times_S X\) : \[ Rf^! \simeq (p_1\Delta)^*Rf^! \simeq \Delta^*p_1^*Rf^! \underset{\text{chgt de base lisse}}{\simeq} \Delta^*Rp_2^!f^* \underset{\text{pureté}}{\simeq} R\Delta^!Rp_2^!f^*(d)[2d] \simeq f^*(d)[2d]. \] La première étape utilise le changement de base par \(p_1\), lisse ; la seconde la pureté relative pour l'immersion \(\Delta\), de codimension \(d\), du couple \((X \times_S X, \Delta(X))\) lisse sur \(X\) par \(p_1\), avec des coefficients venus de la base — c'est XVI 3.7, déjà cité à la page 13 ; la dernière, \(p_2\Delta = \mathrm{id}\).⁶¹