Cote n° 31 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · SGA A [SGA 4] (Résidus de rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [1963-1973]
Édition de démonstration

Fin de la proposition sur \(H^{i}(U,F)\) et les recouvrements (page 61)

61La page achève la Proposition commencée page 59 (batch 3), dont les conditions sont numérotées (i), (i bis), (ii), (ii bis), (iii).

Reste […] (ii) \(\Rightarrow\) (i bis). […] ceci, […] […] \(F\) dans un injectif […] \(C^{0}\) […] \[ \cdots \longrightarrow F \longrightarrow C^{0} \longrightarrow C^{1} \longrightarrow \cdots \] L'hyp. (ii) implique que l'on a une suite exacte de flasques, donc \(C^{0}\) étant flasque, il en est de même de \(C^{1}\). Donc la résolution peut être utilisée pour calculer la cohomologie, d'où \(H^{i}(U,F) = 0\) pour \(i \geqslant 2\), etc.

cd des affines (pages 64 à 70)

Le titre est de sa main, porté sur la page 62, feuillet par ailleurs vierge qui ouvre le développement suivant ; ce feuillet ne reçoit donc pas de numéro de page.

64Faisceaux \(\ell\)-élémentaires sur \(X\) [\(X\) noeth.]

De la forme \(i_{*}(G)_{U,X}\), i.e.

• \(i : \operatorname{Spec} k(x) \longrightarrow X\) imm. canonique (\(x \in X\))
• \(G\) un faisceau fini de \(\ell\)-torsion sur \(X\)
• \(U\) un [uniramifié] ouvert de \(X\) dans \(Y = \bar{x}\), \(U = X - Z\)

Le mot inséré au-dessus de « ouvert » est d'une lecture douteuse ; le \(X\) qui suit « de » est barré d'une croix appuyée.

Faisceau strictement élémentaire [tel que] \(G\) soit étale sur \(U\), et \(U\) est unibranche.

Proposition. Tout faisceau de \(\ell\)-torsion noeth. sur \(X\) a une suite de composition finie des faisceaux de \(\ell\)-torsion élémentaires, stricts.

Cor 1. Soit \(n\) un entier. Conditions équivalentes :

1. (i)\(\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant n\)
2. (ii)Pour tout \(Y\) intègre fermé dans \(X\), et tout [et pour \(x\),] pour tout fermé \(Z\) de \(Y\), faisceau tout \(k(x)\)-faisceau \(G\) fini de \(\ell\)-torsion, si \(i\) désigne l'immersion canonique \(\operatorname{Spec} k(x) \to Y\), on a

• a)\(H^{n}\bigl(Y, i_{*}(G)\bigr) \longrightarrow H^{n}\bigl(Z, i_{*}(G)|Z\bigr)\) surjectif
• b)\(H^{n+1}\bigl(Y, i_{*}(G)\bigr) = 0\)

De plus, on peut

(ii bis) Rien ne change à (ii), sauf que \(Y \to X\) est fini, […] une immersion, \(Y\) intègre unibranche, \(i_{*}(G)\) […] sur \(X - Z\).

Cor 1 bis. Conditions équivalentes :

1. (i)Pour tout \(F\) de \(\ell\)-torsion, et \(T\) fermé, \(H^{i}_{T}(X,F) = 0\) si \(i > n\)
2. (ii)[…]

• a)\(H^{n}_{T}\bigl(Y, i_{*}(G)\bigr) \longrightarrow H^{n}_{T \cap Z}\bigl(Z, i_{*}(G)|Z\bigr)\) surjectif
• b)\(H^{n+1}_{T}\bigl(Y, i_{*}(G)\bigr) = 0\)

Le bloc du Cor 1 bis est traversé d'un long trait courbe.

Si […] une famille de \(T\), […] contenant \(X\), […]

65Cor 2. Soit \(\varphi\) une fonction strictement croissante de […] \(X\) dans \(\mathbf{N}\). Conditions Pour toute partie fermée \(Y\) de \(X\), soit \[ \varphi(Y) = \operatorname{Sup}_{x \in Y} \varphi(x) = \operatorname{Max}_{x \text{ maximal dans } Y} \varphi(x) \] Conditions équivalentes :

1. (i)Pour tout sous-préschéma fermé \(Y\) de \(X\), \(\operatorname{cd}_{\ell}(Y) \leqslant \varphi(Y)\)
2. (ii)Pour tout sous-préschéma fermé intègre \(Y\) de \(X\), de […] \(n\), et tout faisceau \(G\) fini de \(\ell\)-torsion sur \(\operatorname{Spec} k(x)\), on a \[ H^{n+1}\bigl(Y, i_{*}(G)\bigr) = 0 \qquad \text{si } n = \varphi(X) = \varphi(Y). \]

(ii bis) Comme (ii), mais avec \(Y\) fini sur \(X\), intègre et unibranche.

Récurrence noethérienne […] au cor. 1.

Cor 3 Cor 2 bis. Conditions équivalentes :

1. (i)Pour tout \(F\) de \(\ell\)-torsion sur un sous-préschéma fermé \(Y\) de \(X\), et pour tout \(T\) de \(Y\), on a \(H^{i}_{T}(Y,F) = 0\) si \(i > \varphi(Y)\)
2. (ii)[…] \(H^{n+1}_{T}\bigl(Y, i_{*}(G)\bigr) = 0\), \(n = \varphi(Y) = \varphi(x)\)

Comme au bas de la page précédente, un long trait oblique traverse le bloc.

66Lemme Prop. Soit \(\varphi\) une fonction sur \(X\), [[…]] satisfaisant les conditions suivantes :

• a)Pour tout \(x \in X\), \(\varphi(x) \geqslant \operatorname{cd}_{\ell}\bigl(k(x)\bigr)\)
• b)Pour [\(y \ne x\)] \(y \in \overline{\{x\}}\), \(\bar{y}\) […] une […] géométrique sur \(X\) \[ \varphi(y) < \varphi(x) - \operatorname{cd}_{\ell} \bigl(\underline{O}_{X,\bar{y}} \otimes k(x)\bigr) \] Sous la formule : « anneau des fonctions de \(\underline{O}_{X,\bar y}\), […] hensélisé strict ».
• c)Sous ces conditions, pour tout \(F\) de \(\ell\)-torsion, on a \[ H^{i}(X,F) = 0 \qquad \text{si } i > \operatorname{Sup}_{x \in \operatorname{Supp} F} \varphi(x) = \varphi(F). \]

il y a intérêt à inclure le cas \(\ell = 0\), […] du faisceau […] sur […] ; dans b), n'y a-t-il […] […] que […] devient […] ; il y a intérêt à prendre \(\varphi(x) = \dim\) de Zariski [Krull] de \(\bar{x}\)

Dém. […] Récurrence noeth. sur \(X\). […] […] \(F\) constructible, et comme […], il y a une […], \(\varphi(F) = \operatorname{Sup}_{x \in Y} \varphi(x)\). […]

Si \(\operatorname{Supp} F \subset\) \(\overline{\{x\}}\) […], alors \(H^{i}(Y,F) = 0\) si \(i > \varphi(Y)\). […]

D'ailleurs, le cas […] […] \(X\) intègre […] fini. […], et \(F\) la phrase se poursuit page 67

67de la forme \(g_{*}(G)\), i.e. \(g : \struck{\operatorname{Spec}} \bar{x} \to X\), \(G\) fini sur \(X\) \(\bar{x}\), donc \(\varphi(F) = \varphi(\bar{X}) = \varphi(x)\) \[ H^{*}\bigl(\overline{\{x\}}, G\bigr) \Longleftarrow H^{p}\bigl(X, R^{q} g_{*}(G)\bigr) \] Lemme. \(R^{q} g_{*}(G)_{\bar{z}}\) \(E_{2}^{pq} = 0\) si \(p+q > \varphi(x)\) et \(q > 0\).

[Rq.] Pour \(y \in X\), posons \(\underline{O}_{X,\bar{y}} =\) anneau strictement local […] au-dessus de \(y\) ou \(\bar{y}\), \[ K_{\bar{y}} = \underline{O}_{X,\bar{y}} \otimes_{X} k(x) = \ill{} \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
x \arrow[d] & x_{\bar y} \arrow[l] \arrow[d] \\
X & X_{\bar y} \arrow[l]
\end{tikzcd}

Rq. […] \(R^{q} g_{*}(G)_{\bar y} = H^{q}\bigl(K_{\bar y}, G|K_{\bar y}\bigr)\), donc […] \(q \leqslant \operatorname{cd}_{\ell}(K_{\bar y})\), donc […] satisfait \[ \varphi(y) < \varphi(x) - \operatorname{cd}_{\ell}(K_{\bar y}) \leqslant \varphi(x) - q \] d'où \[ \boxed{\ \varphi\bigl(R^{q} g_{*}(G)\bigr) \leqslant \varphi(x) - q\ } \] D'autre part, si \(q > 0\), […] \(R^{q} g_{*}(F)_{x} = 0\), et l'hyp. de récurrence […] : \[ H^{p}\bigl(X, R^{q} g_{*}(G)\bigr) = 0 \] Un croquis du plan \((p,q)\) occupe la marge droite : des croix au-dessous de la diagonale, et la droite \(p+q = \varphi(x)\) marquée « \(\varphi(x)\) » et « \(\varphi(x)+1\) » sur l'axe des \(p\) ; la région \(p+q \geqslant \varphi(x)\) ne rencontre aucune croix.

68N.B. Si \(f : X \to Y\) morphisme de type fini de […] […], pour \(x \in X\), \(y = f(x)\), \[ \varphi(x) \leqslant \varphi(y) + 2 \deg\!\operatorname{tr} \bigl(k(x)/k(y)\bigr) \]

69Corollaire. Supposons que pour tout [noeth. […]] […] \(Y\) de \(X\), et tout \(y \in X\) […] \(\bar{y}\) de \(Y\), les anneaux […] \(K_{x,\bar y}\), \(\underline{O}_{X,\bar y}\) soient de \(\operatorname{cd}_{\ell}\) satisfont \[ \operatorname{cd}_{\ell} K_{x,\bar y} \leqslant \dim \underline{O}_{X,\bar y} \quad \bigl[= \dim \underline{O}_{Y,y}\bigr]. \] Alors […] […]

Soit \[ \boxed{\ \varphi(x) = \operatorname{Sup}_{y \in \bar{x}} \Bigl(\operatorname{cd}_{\ell}\bigl(k(y)\bigr) + 2 \dim \underline{O}_{\bar{x},y}\Bigr)\ } \] Alors, pour toute partie […], \[ \varphi(Y) = \operatorname{Sup}_{y \in Y}\Bigl( \operatorname{cd}_{\ell}\bigl(k(y)\bigr) + 2 \dim \underline{O}_{Y,y}\Bigr), \qquad \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \varphi(X). \]

Question. \(A\) local noeth. hensélien, [intègre, de […]] […] résidu \(k\) de dimension […], tel que \(\operatorname{cd}_{\ell}(k) < +\infty\). Alors, \(\operatorname{cd}_{\ell} K \geqslant \dim A + \operatorname{cd}_{\ell} k\) ??

Exemples.

1. 1)Schémas algébriques, plus généralement […] […] de type fini. [N.B. […] […] du degré de transcendance et du degré de transcendance dans […] de dimension […]]
2. 2)Corps de […] […] nombres
3. 3)Compactification […] \(A\) strictement local […], donné le \(\operatorname{Spec} A\)
4. 4)Schémas […] affine de dim 1

70\(R^{q} i_{*}(G|F)\) \[ H^{*}(G) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(X, R^{q} i_{*}(G)\bigr) \] Un croquis du plan \((p,q)\) suit, la diagonale marquée « \(n\) » et « \(n+1\) » sur les deux axes.

\(x \in \operatorname{Supp} R^{q} i_{*}(G)\) \(\operatorname{cd}(\bar{x}) + \varphi(x)\) \(\varphi\) \(\operatorname{cd}(\bar{x}) + q \leqslant\) \[ \underline{O}_{X,\bar y} \otimes_{X} k(x), \qquad q \leqslant \operatorname{cd}\bigl(\underline{O}_{X,\bar y} \otimes \ill{} \bigr), \qquad q \leqslant \operatorname{cd}_{p}\operatorname{Frac} \underline{O}_{X,\bar y} \] \[ \operatorname{cd}(\bar{y}) + q \ \operatorname{cd}_{p}\operatorname{Frac} \underline{O}_{X,\bar y} < n \] \(\varphi(y) < \varphi(x) - \operatorname{cd}_{\ell} \ill{}\) \[ H^{*}(G) \longrightarrow H^{*}f' \longrightarrow H^{k+1}(X_{T}) \longrightarrow H^{k+1}(G) \]

\(d'\) ; \(2d' + \operatorname{cd}(\ ) < 2d+1\) ; \((d - d' + 1)\) ; \(d + d' + 1 \leqslant 2d+1\) ; \(2d+1\) ; \(2d\) \(\leqslant d+1\) ; \(1 + 2d' + (d - d')\) \(2(d-1)\) \(= d + d' + 1 \leqslant 2d < 2d+1\)

\(\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant n\)

Lemme. \[ \boxed{ \begin{array}{l} \operatorname{cd}_{\ell}\bigl(k(x)\bigr) \leqslant n \\[2pt] \forall\, Y \ \uncertain{\text{réunion}} \text{ dans } X, \quad \operatorname{cd}_{\ell}(Y) < n \\[2pt] \forall\, y \in X,\ y \ne x, \quad \operatorname{cd}_{\ell}(\bar{y}) + \operatorname{cd}_{\ell} \operatorname{Frac} \underline{O}_{X,\bar y} < n \end{array}} \] \[ 2 \dim \bar{y} + \dim \underline{O}_{X,\bar y} \quad \bigl[\oplus \dim X - \dim \bar{y}\bigr] \qquad \dim X + \dim \bar{y} \leqslant 2 \dim X \]

Feuillet de tapuscrit corrigé : quotients par un groupe de type multiplicatif, 2.3 à 2.5 (page 71)

Le feuillet est dactylographié ; les références laissées en blanc sont complétées à l'encre de sa main, les « VII » corrigés en « VIII », et une parenthèse entière est biffée. Insertions dans add, suppressions dans struck.

71morphismes fidèlement plats et quasi-compacts (cf. Exp IV, [3.4.]), de plus \(Y = X/G\) est affine sur \(S\). Si de plus \(X\) est de présentation finie (resp. de type fini) sur \(S\), il en est de même de \(Y\).

La première assertion résulte de Exp [VIII] 5.1., et de traitant le cas où \(G\) est diagonalisable, et de Exp IV, [3.5.2.], qui permet de s'y ramener, compte tenu que les morphismes fidèlement plats et quasi-compacts [\(S' \to S\)] sont des morphismes de descente effective pour la catégorie fibrée des schémas affines sur d'autres, i.e. pour tout \(Y'\) affine sur \(S'\), muni d'une donnée de descente relativement à \(S' \to S\), cette donnée de descente est effective, i.e. \(Y'\) provient d'un \(Y\) affine sur \(S\), cf. SGA VIII 2.1. Pour la deuxième assertion, on est ramené également au cas diagonalisable[, Exp VIII 5.8.], car les conditions de finitude envisagées se descendent par morphismes fidèlement plats et quasi-compacts (pour le type fini, c'est dans dans ce cas, reprenant les notations de Exp VI, 5.1., on aura \(X = \operatorname{Spec}(A)\), \(X = \operatorname{Spec}(A_{0})\), où \(A_{0}\) est l'Algèbre formée [la] des composantes de degré 0 de l'Algèbre graduée \(A\)) (SGA VIII 3.3. et 3.6.).

Procédant comme dans Exp [VIII], corollaires 5.5. à 5.7., on tire de 2.3. :

Corollaire 2.4. Sous les conditions de 2.3., le morphisme graphe \[ X \times_{S} G \longrightarrow X \times_{S} X \] est une immersion fermée. Pour toute section \(s\) de \(X\) sur \(S\), le morphisme correspondant \(g \mapsto s \cdot g\) : \[ G \longrightarrow X \] est une immersion fermée.

En particulier :

Corollaire 2.5. Soit \(u : G \to H\) un monomorphisme de \(S\)-préschémas en groupes, avec \(G\) de type multiplicatif et \(H\) affine sur \(S\). Alors \(u\) est une immersion fermée, et \(H/G = Y\) existe et est affine sur \(S\), enfin \(H\) est un fibré principal homogène sur \(Y\) de groupe \(G_{Y}\).

Deux théorèmes de finitude pour \(\operatorname{cd}_{\ell}\) sur un anneau strictement local (pages 73 à 80)

73Théorème 1. Soit \(A\) anneau str. local noeth. de dim \(n\), (strictement) str. quasi-[…] de […] stricte \(Y = \operatorname{Spec}(B)\), alors pour tout \(F\) un faisceau de \(\ell\)-torsion sur \(X = \operatorname{Spec} A\) [\(\ell\) premier à la car. résiduelle] tel que \[ x \in \operatorname{Supp} F \ \Longrightarrow\ \dim \underline{O}_{X,x} \geqslant m \] (i.e. […] ; \(F\) est [« nul en codim \(< m\) »]). Dans le cas où le […] montre […]

Alors \(H^{i}(X,F) = 0\) pour \(i > n + 1 - m\) […] de \(X_{0}\).

[En particulier, \(\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant n+1\), et pour tout fermé \(Z\), \(\operatorname{cd}_{\ell}(Z) \leqslant n + 1 - \operatorname{codim}(Z,X)\).]

Théorème 2\(_{n}\). Soit \(A\) […] th. local noeth. de dim \(n\), et […] \(f \in A\), \(X = \operatorname{Spec}(A)\), \(M\) \(= X_{f}\), alors \[ \operatorname{cd}_{\ell}(X_{f}) \leqslant n \] pour tout \(\ell\) premier à la car. résiduelle.

[N.B. \(1_{n} \Rightarrow 2_{n}\) car […] (cas […] \(= 1_{n+1}\) […])]

Lemme 1. \(2_{n'}\) pour \(n' \leqslant n+1\) \(\Rightarrow\) \(1_{n}\) […] Sous « \(n' \leqslant n+1\) », une accolade portant « \(2'_{n+1}\) ».

[…] pour […] \(Y \subset X\) […] de codim \(\geqslant 1\), b) ne […]« b) ne […] » est cerclé. […] Alors \(\operatorname{cd}_{\ell}(S) \leqslant n+1-m\).

En effet, soit \(Y \subset X\) fermé […] de codim \(m\), soit \(\bar{X} = \mathbf{P}^{1}_{Y}\), considérons \(\bar{S}\) l'adhérence de \(S\), considérons \(T = \bar{S} - S\), c'est un schéma str. local (\(\subset \bar{X} - x\)), où \(x\) est le pt fermé. Soit \(F\) de \(\ell\)-torsion sur \(S\) : \[ \cdots \longrightarrow H^{i}(\bar{S},F) \longrightarrow H^{i}(S,F) \longrightarrow H^{i+1}_{T}(\bar{S},F) \] Or \[ H^{i}(\bar{S},F) = H^{i}(\bar{S}_{0},F) = H^{i}(\mathbf{P}^{1}_{k}, F_{0}), \quad (\text{nul si } i \geqslant 3) \] \[ H^{i+1}_{T}(\bar{S},F) = H^{i}\bigl(\bar{S}_{x} - T_{x}, F_{(x)}\bigr) \quad \text{si } i \geqslant 2 \] D'ailleurs \(\dim \bar{S}_{x} \leqslant n+1-m\) [[…]] […]

74car en localisant en […] géométriques \[ \dim \bar{S}_{x} + \operatorname{codim}\bigl(\bar{S}_{x}, \bar{X}_{x}\bigr) \leqslant \dim \bar{X}_{x} = n+1 \] Une accolade sous le terme de codimension porte « \(\geqslant m\) ».

Dans […] l'hyp. de récurrence \(2_{n'}\) pour \(n' \leqslant n+1\) [en particulier \(2_{n+1-m}\)], on en conclut \[ H^{i+1}_{T}(\bar{S},F) = 0 \qquad \text{si } i > n+1-m \] Si \(n+1-m \geqslant 2\), i.e. \(m \leqslant n-1\), […] on a \[ H^{i}(\bar{S},F) = H^{i}(\bar{S}_{0},F_{0}) = 0 \quad \text{si } i > n+1-m \geqslant 2 \] d'où \(H^{i}(S,F) = 0\). Reste le cas […] […] (\(S\) […] \(\ne \emptyset\)) […] si \(m > n+1\), […] \(m \geqslant n\), si \(m = n+1\), […] […] \(X_{0}\), \(A\) […] \(H^{i}(S,F) = 0\) […] pour \(i > 0 = (n+1)-m\), ok.

Si \(m = n\), alors […] de dim \(\leqslant 1\). Par la [si \(S \ne x_{0}\)] […] […] \(= X_{0}\), […]. \(\bar{S}\) […] de dim 0, donc \(H^{i}(\bar{S}_{0},F) = 0\) si \(i > 0\) […] et \(i > n+1-m = 1\). Pour \(S = X_{0}\), […] [[…]] […] sup. de […]]. […] \(k(x)\) […] \(\dim\) […] cd \(< \operatorname{cd}_{\ell} \leqslant 1\), […] qui […]

75Lemme 2. Se borner [aux anneaux […] sur un corps], i.e. […] \[ \struck{1'_{n} \Rightarrow 2'_{n+2}} \qquad 1'_{n} + 2'_{n+1} \Longrightarrow 2'_{n+2} \] [N.B. Et \(2'_{n+2} \Rightarrow 1'_{n+1} + 2'_{n+2}\) qui […] 1, OK]

En effet, […] […] (Zariski […]). Et la dernière […] \(f \in \mathfrak{m}_{A}\) [\(2'_{n+2}\)] […] ([…] \(X_{f} = \emptyset\) et […] trivial]. Alors \(f\) de […] […] les […] \(A\) intègre […] \(f\) […] […] \(i > 2\) […] Deux croquis — un cube et un parallélogramme — occupent la marge gauche.

\(A_{1} = k\langle x_{1}, \ldots, x_{m}\rangle \to A\) \(\to k\langle x_{1}, \ldots, x_{n+2}\rangle \to A\), et \(X = \struck{\operatorname{Spec}}\) […] \(X' = \operatorname{Spec} A'\), \(M\) […] \(M'\) \(= X'_{f}\). […] \(\operatorname{cd}_{\ell}(X') \leqslant n\), donc […] \[ k\langle x_{1}, \ldots, x_{n+2}\rangle, \quad f = x_{1}\ldots \ill{} \] qui est de dim \(n+1\), et \(B = k\langle x_{1}, \ldots, x_{n+1}\rangle\) […] \(Y = \operatorname{Spec} B\), \(U = Y_{f}\) […] \(V \to U\). Pour l'hyp. […] prouver que \(f\) […] \(R^{q} f_{*}(F)\) […] codim \(i \leqslant q-1\), car alors, considérons le prolongement \(2'_{n+1}\)\(2'_{n+1}\) est cerclé., il suffit de […] \(R^{q} f_{*}(F)\) […] nul en […] \[ H^{p}\bigl(U, R^{q} f_{*}(F)\bigr) \ne 0 \ \Longrightarrow\ \struck{\ill{}} \ p \leqslant n+1-(q-1), \ \text{i.e.\ } p+q \leqslant n+2, \] d'où \(H^{i}(V,F) \ne 0 \Rightarrow i \leqslant n+2\).

Attention : conditions […] […] ?

76On les […] locaux […] de \(U\) […] de dim \(i \leqslant n\) ! Donc […] \(=\) les […] stricts locaux \(B'\) de \(U\), et de \(V\) […] […] \(H^{i}\) […] les dim. relatives \[ V' = \struck{V} \otimes_{B} B' \quad \add{\text{Affine}} \ill{} \] […] relative 1 sur \(U\), donc […] dim relative 1 sur \(B'\), […] consort par l'hyp. \(1'_{n}\)\(1'_{n}\) est cerclé. […] indiquée car \[ H^{q}(V',F') = 0 \quad \text{si } q > i+1, \ \text{i.e.\ } \underline{i < q-1}, \] [i.e. \(R^{q} f_{*}(F)\) […] nul en codim \(i < q-1\)].

C'est ce qu'il […] fallait vérifier, rien […] (sauf pour les cas t.f. […] conclus]

Lemme 3. \(1'_{n}\) […] (implique que […] […] affine \(X\), […] de t.f. sur […] corps sép. clos \(k\), […] de dim de Krull \(d \leqslant n+1\), […] \[ \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \dim X \]

Dém. […] […] \(X\) […], Trivial si \(d \leqslant 0\). […] \(\operatorname{cd}(n-1)\) […]

Récurrence sur \(d\) Récurrence sur \(d = \dim X\), \(d \leqslant n+1\)

Par le […] tout \(d \geqslant 1\). […] \(X = E^{d}_{k}\). \[ \operatorname{cd}_{d}\bigl(E^{d}_{k}\bigr) \leqslant d \] \(d \leqslant n+1\) Trivial si \(d \leqslant 0\).

En […] \(X = E^{d}_{k} \xrightarrow{\ f\ } Y = E^{d-1}\), […] \(d' = d-1 \leqslant n\). En vertu de \(1'_{n}\), \[ R^{q} f_{*}(F)_{\bar y} \ne 0 \ \Longrightarrow\ \dim \underline{O}_{Y,y} + 1 = \struck{i+1} \ \text{i.e.\ } R^{q} f_{*}(F)_{\bar y} \ \ill{} \]

77« nul en codim \(\leqslant q-1\) ». Par l'hyp. de récurrence il s'ensuit que \[ H^{p}\bigl(Y, R^{q} f_{*}(F)\bigr) \ne 0 \ \Longrightarrow\ p \leqslant n - (q-1), \quad \text{i.e.\ } p+q \leqslant n+1. \] \(n-q+1\) Donc \(E_{2}^{pq} = 0\) […] \(p+q \leqslant n+1\), d'où la conclusion […]

Plus […], les Th. 1 et 2 sont prouvés dans la restriction « \(p = \) t.f. est [\(\mathbf{E}\)-ponctuellement] t.f. » […] pour « […] de t.f. ». N.B. Mais, […]

Th. 1 et 2 sont prouvés « loc. t.f. sur sur \(k\) ». Il en est ainsi de Lemme 3, […] t.f. sur \(k\) ».

[…] maintenant le […] il s'agit de prolongement, […] de t.f. […] de dim \(\leqslant 1\). […] le […] local \(2_{n}\), […], bien si \(n = 0\), […] \(n > 0\), et le th. […] […] \(A\) str. local \(1 \ne A\) local […] \(A\),

[…]

78Un croquis ouvre la page : une sphère dont l'équateur porte \(V(f)\) et qu'un petit ovale vertical, \(V(\pi)\), rencontre ; à gauche, \(X \to Y\) et une accolade marquée \(V\).

Soit \(\pi \in \mathfrak{m}_{A}\), \(\pi \ne 0\), […] \(\pi\) […] div. de 0. Alors […], \(H^{i}\) […] \(V = X_{f}\) [\(F\)] \[ V = X_{f}, \qquad U = X_{f\pi} = V_{\pi}, \qquad Z = V - U = V \cap V(\pi) = V(\pi)_{f} \] \[ H^{i}_{Z}(V,F) \longrightarrow H^{i}(V,F) \longrightarrow H^{i}(U,F) \] et il […] […] pour les extrémités […] […]. On […] corps des fractions, \(K\) de \(A\), […] \(K\) est de dim tot. \(\leqslant 1\), et […] de \(\ell\)-dim ch. \(\leqslant (n-1)+1 = n\), […] qui […] des dernières. \[ H^{*}_{Z}(V,F) \Longleftarrow H^{p}\bigl(Z, \underline{H}^{q}_{Z}(F)\bigr) \] comme \(Z = V(\pi)_{f}\) [[…] dim \(h(A)\)], […] dim comb. de \(Z\) qui est […] son […]-schéma […]. \(E_{2}^{pq} = 0\) pour \(q \ne 0,1\) […] donne […] \(H^{i}_{Z}(V,F)\) pour \(i \geqslant n+1\).

79\[ \underline{H}^{q}_{Z}(F)_{\bar x} \ne 0 \ \Longrightarrow\ \dim \underline{O}_{Z,x} \geqslant q-1 \] i.e. \(\underline{H}^{q}_{Z}(F)_{\bar x}\) est nul en codim \(< q-1\),

[ce qui indique que \[ H^{p}\bigl(Z, \underline{H}^{q}_{Z}(F)\bigr) \ne 0 \ \Longrightarrow\ p \leqslant (n-1)-(q-1) = n-q, \quad \text{i.e.\ } p+q \leqslant n, \] d'où la conclusion voulue]. Il faut donc […] que \[ q-1 > \dim \underline{O}_{Z,x} \ \Longrightarrow\ \underline{H}^{q}_{Z}(F)_{\bar x} = 0. \] […] évidemment […]. Or, pour \(q = 0,1\), \[ \underline{H}^{q}_{Z}(F)_{\bar x} = H^{q-1}\bigl(X_{\bar x} - V(\pi)_{\bar x}, F\bigr) \] qui est […] […] si \(q-1 > \dim X_{\bar x}\) […] [car \(X_{\bar x}\) […] […] t.f. […] un corps sép. clos \(K\)]

Théorème Question. Soit \(A\) str. local, \(X\) de type fini et affine, \(Y = \operatorname{Spec} A\), \(Y' = Y - \{\text{pt}\}\), \(X' = X \times_{Y} Y'\), la dimension de Krull, soit \(X_{0}\) \[ d = \operatorname{Sup}\bigl[\dim X_{0},\ \dim X' + 1\bigr]. \] Alors on […] pour \(H\) […] […] de \(A\), […] \(\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant d\) \[ \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{Sup} \bigl[2 \dim X_{0},\ 2 \dim X' + 1\bigr] \] \[ \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant 2 \dim Y - 1 + 2d \qquad \bigl(\text{si } \underline{\dim Y \ne 0}\bigr) \] N.B. Si \(X\) est intègre et domine \(Y = \operatorname{Spec} A\) [ce qui n'est pas trop restrictif] on trouve \(\operatorname{cd}(X) \leqslant \dim Y + d\), « \(d = \dim\) de la fibre générique » (cerclé), resp. (\(X\) irréd. dominant)

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\begin{tikzcd}[row sep=small]
E = Y[t_{1}, \ldots, t_{r}] \arrow[d] \\
Y
\end{tikzcd}

[…] [de dim \(\varphi\))] […] plongeons \(Y\) intègre, \(X\) […] dans \(E = Y[t_{1}, \ldots, t_{r}]\), \(X\) intègre. Alors codim […] pour \[ \operatorname{codim}(X,E) \geqslant n+r-\nu \quad \text{i.e.\ } \nu \geqslant \boxed{n+r-\operatorname{codim}(X,E)} \] \(E\) […] affine, si \(X \ne X_{0}\), alors le premier […] égal à \[ \operatorname{codim}(X',E') = \dim E' - \dim X' = \bigl((n-1)+r\bigr) - \dim \ill{} \] \[ \dim X' \geqslant (n-1+r) - (\nu-1) = n+r-\nu \qquad \text{ok} \] Si \(X = X_{0}\), alors […] dim ou \(X_{0}\) \[ \operatorname{codim}(X,E) = \operatorname{codim}(X_{0},E_{0}) + \operatorname{codim}(E_{0},E) = (r-\nu) + n \qquad \text{ok.} \] [N.B. On […] […] \(\operatorname{codim}(X,E) > n+r-\nu\), est-ce vraiment ? […] lorsque \(\dim X_{0} > \dim X' + 1\) […] \(X \ne X_{0}\).] \[ \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant (n+r) - \operatorname{codim}(X,E) \] Le membre de droite est raturé et réécrit à plusieurs reprises.

On ne […] […] Pour \(r = 0\), c'est trivial (alors \(X \subset Y\), […] \(H^{i}(X,F) = 0\) pour \(i > 0\) i.e. […] \(n \geqslant \operatorname{codim}(X,Y) = \dim X\). Si \(\operatorname{cd}(X) = 0 \leqslant\) […] […] th. \(1_{m}\). Dans le cas \(r = 1\), c'est le th. […] gratuit [\(r \geqslant 2\)], […] […] spéciale […] \[ E^{r}_{Y} \longrightarrow E^{r-1}_{Y} \qquad \cdots \]