Cote n° 31 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · SGA A [SGA 4] (Résidus de rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [1963-1973]
Édition de démonstration

Groupes finis d'automorphismes, trace et cohomologie de Tate (pages 41 à 44)

41Soit \(B\) un anneau avec unité et un groupe fini \(G\) d'automorphismes, \(A = B^{G}\). On pose \(\operatorname{Tr}_{G} b = \sum_{g \in G} gb\). Conditions équivalentes Une parenthèse de deux lignes suit l'énoncé, qui définit \(\varphi\) comme l'action de \(B\) sur un module et \(\operatorname{Tr}_{G} : B \to A\) ; elle est en grande partie […].

• a)\(A = \operatorname{Tr}_{G} B\)
• a\('\))\(1 \in \operatorname{Tr}_{G} B\)
• b)pour tout \((G,B)\)-module \(M\), \(\hat{H}(G,M) = 0\)
• b(q))pour tout \((G,B)\)-module \(M\), \(\hat{H}^{q}(G,M) = 0\)

Démonstration : a) \(\Rightarrow\) a\('\)) trivial. a\('\)) \(\Rightarrow\) b) : […] on désigne par \(\varphi_{M}(b)\) l'homothétie dans \(M\) définie par \(b \in B\), on a \(g\,\varphi_{M}(b)\,g^{-1} = \varphi_{M}(gb)\), d'où \[ \varphi_{M}(\operatorname{Tr}_{G} b) = \operatorname{Tr}_{G}\varphi_{M}(b), \] d'où le

Corollaire : Si \(\lambda \in \operatorname{Tr}_{G} B\), l'homothétie \(\lambda\) dans \(\hat{H}(G,M)\) est nulle Une incise suit, largement […], qui observe que la condition est aussi nécessaire, en prenant \(M = B\) ; c'est elle qui donne a\('\)) \(\Rightarrow\) b).

b) \(\Rightarrow\) b(q) trivial. On a b(q) \(\Rightarrow\) b(q\(+1\)) car on a la suite exacte \[ 0 \to M \to M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}(G) \to N \to 0, \qquad m \mapsto \sum_{g} m \otimes g, \] où la structure de \(B\)-module est définie par \(\lambda(m \otimes g) = \lambda m \otimes g\), et la structure de \(G\)-module par \(g'(m \otimes g) = g'm \otimes g'g\) ; alors \(g'(\lambda[m \otimes g]) = (g'\lambda)(g'[m \otimes g])\) car \(g'(\lambda m \otimes g) = g'(\lambda m) \otimes g'g\) et \((g'\lambda)(g'm \otimes g'g) = (g'\lambda)(g'm) \otimes g'g\), c'est-à-dire \(g'(\lambda m) = (g'\lambda)(g'm)\). […] puisque \(\hat{H}(G, M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}(G)) = 0\), on a \(\hat{H}^{q+1}(G,M) = \hat{H}^{q}(G,N) = 0\). […]

Corollaire Supposons \(B\) intègre et intégralement clos, \(A\) local. les conditions de la proposition sont vérifiées si l'indice de ramification \(e\) de \(B\) sur \(A\) (\(=\) ordre du groupe d'inertie) […] est inversible dans \(A\), i.e. […] \(A/\mathfrak{m}(A)\) Les trois dernières lignes sont biffées et reprises ; seul « est inversible dans \(A\) » se lit avec certitude.

[…] le corollaire […] — Comment voir ça ?

42Avec les conditions et la proposition générale, soit \(G' \subset G\), et soit \(A' = B^{G'}\), \(A \subset A' \subset B\). Conditions équivalentes

• a)\(\operatorname{Tr}_{G/G'} A' = A\)
• a\('\))\(1 \in \operatorname{Tr}_{G/G'} A'\)
• b)pour tout \((G,B)\)-module \(M\), \(t(G,G') : \hat{H}(G',M) \to \hat{H}(G,M)\) est injectif bijectif surjectif
• b\('\))[…]
• b(q))[…]
• b\('\)(q))[…]

Les quatre dernières conditions ne sont pas rédigées : b\('\)), b(q) et b\('\)(q) ne sont que nommées, les énoncés restant à écrire.

a) \(\Leftrightarrow\) a\('\)) trivial. a\('\)) \(\Rightarrow\) b) car on a \(t(G,G')\varphi(b) = \varphi(t(G,G')b)\) pour \(b \in A'\), d'où si \(t(G,G')b = 1\), \(t(G,G')\varphi(b) = 1\), d'où b) d'après un lemme général.

\begin{tikzcd}
\text{b} \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] & \text{b}' \arrow[d, Rightarrow] \\
\text{b}(q) \arrow[r, Rightarrow] & \text{b}'(q)
\end{tikzcd}

De plus on voit de la même façon que b\('\)(q) \(\Rightarrow\) b\('\)(q\(+1\)) et b\('\)(q) \(\Rightarrow\) b\('\)(q\(-1\)), donc b\('\)(q) \(\Leftrightarrow\) b\('\)(0). Appliquant b\('\)(0) à \(M = B\), on trouve que \[ A'/\operatorname{Tr}_{G'} B \longrightarrow A/\operatorname{Tr}_{G} B \] est surjectif, i.e. que l'on a \(1 \in \operatorname{Tr}_{G} B + \operatorname{Tr}_{G/G'} A' = \operatorname{Tr}_{G/G'} A'\). La flèche est écrite de droite à gauche sur la page ; elle est ici rétablie dans le sens de la lecture.

Reste à prouver : Soient \(G' \subset G\) (\(G\) fini), soit \(M\) un \(G\)-module tel que \(1 \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M,M)\) soit de la forme \(1 = \operatorname{Tr}_{G/G'}\varphi\) […] (\(\varphi \in \operatorname{Hom}_{G'}(M,M)\)) ; alors \[ \operatorname{Tr}_{G/G'} : \hat{H}(G',M) \to \hat{H}(G,M) \ \text{est surjective}, \] \[ \operatorname{Tr}_{G'/G} : \hat{H}(G,M) \to \hat{H}(G',M) \ \text{est \uncertain{injective}}, \] d'image […] l'ensemble des éléments de \(\hat{H}(G',M)\) qui sont « stables », c'est-à-dire \(\hat{H}(G',M)^{G}\). La seconde flèche est également écrite de droite à gauche.

(Ceci contient le Th. sur les groupes de Sylow, […] […] en se plaçant dans la catégorie des groupes […], mais […] les groupes de torsion, où par ex. […] […] \(\operatorname{Tr}_{G'/G' \cap {}^{g}G'} \ill{} \operatorname{Tr}_{{}^{g}G'/G' \cap {}^{g}G'}\) […])

On peut l'[…] en prenant \(G' = G_{i}\), mais aussi pour \(G'\) un sous-groupe de Sylow \(H\) pour \(p\), où \(p\) est la caractéristique de \(k\). On a […] : itération. On […] \((\mathcal{O}'^{H}/\operatorname{Tr}_{H} \mathcal{O}')^{G}\), donc d'abord \(M = B\), […] : détermination de \(\mathcal{O}'^{H}/\operatorname{Tr}_{H}\mathcal{O}'\) pour une […] \(p\)-extension.

431) Soit \(G\) un groupe fini d'automorphismes d'un anneau local \(\mathcal{O}\). \(G\) est transitif sur les idéaux maximaux \(\mathfrak{m}\), soit \(G_{d}\) le stabilisateur de \(\mathfrak{m}_{0}\), et \(G_{i} \subset G_{d}\) le noyau […] de \(G_{d}\), formé des automorphismes qui induisent l'identité sur \(\mathcal{O}/\mathfrak{m}\).

Soit, en conditions

• a)Il existe \(x \in \mathcal{O}^{G_{i}}\) tel que \(\operatorname{T}_{G/G_{i}} x = 1\). Donc pour tout \(G\)-\(\mathcal{O}\)-module \(M\), on a \[ \hat{H}(G,M) = \hat{H}(G_{i},M)^{G/G_{i}} . \] Donc pour qu'on ait \(1 \in \operatorname{T}_{G}\mathcal{O}\), i.e. \(\hat{H}(G,M) = 0\) pour tout \(M\), il faut et il suffit que \([G_{i} : e]\) ne soit pas multiple de la caractéristique \(p\) de \(\mathcal{O}/\mathfrak{m}\).
• b)Si \(G_{i} = \{e\}\), on a \(H^{1}(G, \mathcal{O}^{*}) = \{e\}\).

Plus généralement, quel que soit \(G_{i}\), l'homomorphisme naturel \(H^{1}(G, \mathcal{O}^{*}) \to H^{1}(G_{i}, (\mathcal{O}/\mathfrak{m})^{*})\) est bijectif (?). Ceci […] dans le cas de \(GL(n,\mathcal{O})\) — le […]

(Dans a), en tout […] \[ \overline{\hat{H}(G,M)} = \hat{H}(G,\bar{M}) = \hat{H}\Bigl(G, \bigoplus_{s \in G/G_{d}} s\,\bar{M}_{\mathfrak{m}_{0}}\Bigr) = \hat{H}(G_{d}, \bar{M}_{\mathfrak{m}_{0}}) = \overline{\hat{H}(G_{d}, M_{\mathfrak{m}_{0}})}\,. \] justification pour Zariski ; il y a donc […] hyp. […] : finie ??

Considérons donc le diagramme :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\hat{H}(G,M) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, "?"'] &
\hat{H}(G_{i},M)^{G/G_{i}} \arrow[r, "\alpha"] &
\hat{H}(G_{i}, M_{\mathfrak{m}_{0}})^{G_{d}/G_{i}} \\
\hat{H}(G_{d},M)^{G/G_{d}} \arrow[r, "\beta"'] &
\hat{H}(G_{d}, M_{\mathfrak{m}_{0}}) \arrow[r, "\sim"'] &
\hat{H}(G_{d},M)_{\mathcal{O}_{d} - \mathfrak{m} \cap \mathcal{O}_{d}}
\arrow[u, "?"']
\end{tikzcd}

\(\alpha\) et \(\beta\) sont injectifs, à images denses ; on passe aux […] !

[…] de dim ?, \(\mathcal{O} \to\) […] \(\hat{H}(G,M)\) ? […]

44Toute la page est barrée de deux longues diagonales qui se croisent. \[ 0 \to G_{k}^{0} \to G_{k} \to \mathfrak{P}_{k} \to 0 \] Sous \(G_{k}\) : « extension abélienne […] maximale » ; sous \(\mathfrak{P}_{k}\) : « extension non ramifiée maximale ». Le second groupe est écrit d'un \(P\) barré ; la lecture \(\mathfrak{P}_{k}\) est conventionnelle. \[ 0 \to \mathbb{Z}_{2}^{r_{1}} \to G_{k}^{0} \to \mathcal{U}_{K}^{0}/\operatorname{Im} E \to 0 \] Sous \(\mathcal{U}_{K}^{0}\) : « idèles unités […] » ; sous \(\operatorname{Im} E\) : « idèles unités […] principaux ».

N.B. \(G_{k}/\mathbb{Z}_{2}^{r_{1}}\) pourrait être un groupe dont la définition ne fait plus intervenir […] que le groupe de Galois de l'extension abélienne non ramifiée […] maximale (i.e. qui est complètement décomposée au-dessus de toutes les places réelles de \(k\)) — soit de façon générale, \(S\) un ensemble fini de places, finies ou infinies réelles, alors le groupe de Galois de l'extension abélienne non ramifiée hors \(S\) maximale, soit \(G_{k}^{S}\), \[ 0 \to G_{k}^{0,S} \to G_{k}^{S} \to \mathfrak{P}_{k} \to 0 \] \[ 0 \to \mathbb{Z}_{2}^{S_{\infty}} \Big/ \bigcap_{k} \operatorname{Im}\bigl(E^{(S,k)}\bigr) \to G_{k}^{0,S} \to \mathcal{U}_{K}^{S,0}/\operatorname{Im} E \to 0 \] Sous la seconde suite, au crayon : « ceci n'est […] intéressant \(\overline{S^{\infty}}\) ??? \(\mathbb{Z}_{2}\) ».

Ceci résulte du lemme : Pour qu'une extension abélienne \(L\) […] d'un corps local […] \(K\) soit non ramifiée, il faut et il suffit que \(N_{L/k}\mathcal{U}_{L} = \mathcal{U}_{k}\), ou \(N_{L/k} L^{*} \supset \mathcal{U}_{k}\).

Une proposition sur \(H^{i}(k,G)\) et deux lemmes sur les corps de fonctions (pages 46 à 51)

46Proposition Soit \(k\) un corps, \(n\) un entier. Conditions équivalentes :

• a)\(H^{i}(k,G) = 0\) pour \(i > n\) et tout groupe alg. commutatif \(G\) défini\(/k\)
• b)\(H^{i}(k,\Gamma) = 0\) […] pour \(\Gamma\) fini défini\(/k\)
• b\('\))\(H^{i}(k,\Gamma) = 0\) pour \(i > n\) et tout groupe fini qui est […] [(fini)] […] […] sur un corps \(\mathbb{Z}/\ell\), donc le […] \(\mathbb{V}/k\) qui est (ou un groupe abélien) irréductiblement […]
• c)\(H^{i}(k,G) = 0\) pour \(i > n\) et tout p.-g. alg. commutatif \(G\) défini\(/k\) […] devenant isomorphe à un groupe […] sur la clôture galoisienne de \(k\), \((\mathbb{G}_{m})^{n}\) […] — chaque fois que \(G\) est le groupe des éléments inversibles d'une algèbre [(commut.)] séparable […] déf\(/k\)
• c\('\))\(H^{i}(k,G) \ne 0\) pour \(i > n\), […]

L'énoncé est un brouillon rapide : b\('\)) et c) sont écrits par-dessus des versions biffées, et la prose qui les relie est en grande partie perdue.

Démonstration.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& \text{a} \arrow[dl, Rightarrow] \arrow[dr, Rightarrow] & \\
\text{b} \arrow[d, Rightarrow] & & \text{c} \\
\text{b}' & &
\end{tikzcd}

Prouverons c) \(\Rightarrow\) b\('\)) et b\('\)) \(\Rightarrow\) b), ce qui achèvera la démonstration.

b\('\)) \(\Rightarrow\) b) : […] comme on voit par un rapport [dévissage] d'abord de \(\Gamma\) […] [commutatif], dévissage immédiat en considérant la filtration \[ \Gamma \supset \ell\Gamma \supset \ell^{2}\Gamma \supset \cdots \supset \ell^{k}\Gamma = 0 , \] […] par \(\ell\), i.e. […] […]

b) \(\Rightarrow\) a) : En effet, Considérons […] Considérons […] le plus grand […] groupe unipotent de \(G\), qui est défini sur \(k\), […] de sorte que \[ 0 \to G_{u} \to G \to G/G_{u} \to 0 . \]

47Cela nous ramène au cas où \(G\) est soit complet, soit linéaire. Dans le deuxième […] cas, […] on a \(G = G_{u} \times G_{ss}\) (décomposition en partie semi-simple et unipotente) et cette décomposition est définie sur \(k\). Donc on peut se ramener au cas où \(G\) est soit unipotent, soit semi-simple […] d'éléments semi-simples, soit commutatif […] complet. Dans les deux derniers cas, soit \(\mathcal{U}\) […] le sous-groupe des éléments d'ordre fini de \(G = G^{\bar{k}}\) ; alors le groupe \(G/\mathcal{U}\) est un […]

ici c'est faux : le […] inductive […] commutatif

[…] \(G_{0}\) (comp. connexe de \(e\)) […] variété abélienne, et c'est un th. de Weil pour […] (i.e. \(G \simeq \bar{k}^{*n}\)) […] […] \(G \simeq G_{0} + G/G_{0}\), […] un quotient de \(\mathbb{V}/k\), d'où […] \(G/G_{0}\) […]

[…] on voit que \(G/\mathcal{U}\) s'identifie au quotient de \(G_{0}\) par \(\mathcal{U} \cap G_{0}\), donc […] est divisible. Donc \(H^{i}(\mathfrak{g}, G/\mathcal{U}) = 0\), tandis que d'où pour \(i > 0\) \[ H^{i}(\mathfrak{g}, G) \simeq H^{i}(\mathfrak{g}, \mathcal{U}) \quad \text{pour } i \geq 1 \] \(\mathfrak{g}\) désigne ici le groupe de Galois ; il est écrit d'un \(g\) à longue hampe, et la page passe de \(H^{i}(k,-)\) à \(H^{i}(\mathfrak{g},-)\) sans le dire.

(comme […] pour \(G \to G/\mathcal{U}\) est surjectif […]) […] \(\mathcal{U}\), le […]-groupe de \(\mathcal{U}\) formé des éléments d'ordre premier […]. On a \[ H^{i}(\mathfrak{g}, \mathcal{U}) = \varinjlim_{n} H^{i}(\mathfrak{g}, {}_{n}\mathcal{U}) \]

48et lorsque \(i > n\), les deux \(H^{i}(\mathfrak{g}, {}_{n}\mathcal{U})\) sont nuls (car \({}_{n}\mathcal{U}\) est fini) — d'après b), d'où résulte notre assertion.

[…] \(G\) un groupe linéaire unipotent commutatif, on distingue deux cas :

1\(^{\circ}\)) Caractéristique nulle. Alors \(G\) est \(\simeq \bar{k}^{n}\) sur \(\bar{k}\), donc aussi sur \(k\) (car \(H^{1}(k, Gl(n)) = 0\)). Et comme \(H^{i}(k, \mathbb{G}_{a}) = 0\) pour \(i > 0\), l'assertion est valable.

2\(^{\circ}\)) Car. \(p \ne 0\). Alors on a la filtration \[ G \supset pG \supset \cdots \supset p^{\ell}G = 0 . \] On […] ramener au cas [i.e. où] \(pG = 0\) (car chaque \(p^{i}G\) est défini sur \(k\)). Mais, on sait […] alors \(\mathbb{G}_{a} \simeq \bar{k}^{n}\) sur \(\bar{k}\), donc […] aussi sur \(k\) (car \(H^{1}(k, Gl(n)) = 0\)), et on […] comme dans 1\(^{\circ}\).

Supposons que \(k\) soit quelconque […] La page s'arrête sur cette phrase, laissée en suspens.

49c) \(\Rightarrow\) b\('\)) : Soit en effet \(\Gamma\) un groupe comme dans b\('\)) ; supposons d'abord \(\ell \ne p\). Il suffit [[…] dans la clôture […] de \(\Gamma\) […] évidente.] Soit \(A = \bar{k}(\Gamma)\) l'algèbre [une algèbre] […] [c'est une algèbre déf\(/k\), commutative] et semi-simple séparable (car \([\Gamma : e]\) est premier à \(p\)), donc […] on a \(H^{i}(k,G) = 0\) si \(i > n\), \(G\) désignant le groupe des éléments inversibles de \(A\). Soit \(G_{1}\) le sous-groupe de \(G\) formé des \(x \in G\) tels que \(N_{A/k}\,x = 1\) (i.e. soit \(N_{A/k}\,x = \) dét. de la translation à gauche par \(x\) dans \(A\)) ; c'est un sous-groupe défini sur \(k\) (noyau de l'homomorphisme \(N_{A/k} : G \to \bar{k}^{*}\), qui est déf\(/k\)).

Comme \(\Gamma \to \ill{}\) […] \(\mathbb{V}\)-module, [et comme \(\Gamma \subset G\)] il est visible [que] […] l'on a \(\Gamma \subset G_{1}\), i.e. \(\Gamma \cap G_{1} = \struck{\ill{}} \{e\}\), et on vérifie facilement que […] (distinguer le cas \(\ell\) premier impair, et le cas \(\ell = 2\) ; […] dans ce dernier cas […] et \(N_{A/k}\,\xi = \pm 1\) si \(\xi \in \Gamma\)).

Comme \(\ell\Gamma \struck{\ill{}} = \{0\}\), […] enfin \(\Gamma \subset G_{1}\). Il est d'ailleurs visible que \(\Gamma \to \ill{} G_{1}\). Le noyau […] de l'hom. \(G_{1} \xrightarrow{\ \ell\ } G_{1}\) […] d'ordre \(\ell^{n_{1}}\), i.e. \(n_{1} = n - 1\) […] La fin de la page est une suite de calculs rapides dont la prose ne se lit pas.

50Lemme 1 Soit \(k\) un corps algébriquement clos, \(K\) une extension de type fini, de degré de transcendance \(1\), de \(k\). Alors \(K\) est […] quasi-algébriquement clos.

Corollaire 1 \(\hat{H}^{i}(K, \mathbb{G}_{m}) = 0\) pour tout \(i\).

En effet, \(K\) est un corps […] galoisienne \(K'\), […] quasi-alg. clos, donc […] le corollaire est bien connu.

Corollaire 2 \(H^{i}(K,\Gamma) = 0\) pour \(i > 0\) pour \(i > 1\) et […] \(\Gamma\) d'ordre fini, i.e. \(G_{K}\) opère trivialement.

Soit [une] […] clôture galoisienne de \(K\), \(\tilde{K}\). […]

Suit un bloc encadré, écrit très vite, dont voici ce qui se lit : \(\mathcal{U} \subset \tilde{K}^{*}\) le sous-groupe des racines de l'unité dans \(\tilde{K}\) ; alors \(\tilde{K}^{*}/\mathcal{U}\) est uniquement divisible si […] ; d'où […] ; \(\hat{H}^{i}(K, \ill{}) \xrightarrow{\sim} \hat{H}^{i}(K, \mathbb{G}_{m})\) […] mod \(p\) « isomorphismes ? » ; le deuxième est nul, donc le premier […].

Plus généralement […] la caractéristique, alors \(\tilde{K} \xrightarrow{\,x \mapsto x^{n}\,} \tilde{K}\) […] est un épimorphisme de noyau \(\simeq \mathbb{Z}/n\), donc la suite exacte de cohomologie […] on a donc \(H^{i}(K, \mathbb{Z}/n) = 0\). Reste […] \(H^{i}(K, \mathbb{Z}/p) = 0\) si \(i > 1\) : […] on […] \[ 0 \to \mathbb{Z}/p \to \tilde{K} \xrightarrow{\ \wp\ } \tilde{K} \to 0 . \]

51Lemme 2 Soit \(k\) un corps, [\(\Gamma\) (?)] […] tel que \(H^{i}(k',\Gamma) = 0\) pour toute extension \(k'\) [[…]] de type fini de \(k\), \(i > n\). Soit \(K\) une extension de degré de transcendance \(\le 1\). Alors \(H^{i}(K,\Gamma) = 0\) pour \(i > n+1\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
k' = \tilde{k}k & k \arrow[l] \\
K \arrow[u] & \tilde{k}K \arrow[l] \arrow[r, "G'"] & \tilde{K}K
\end{tikzcd}

d'où une suite exacte \[ e \to G' \to G \to G'' \to e , \] d'où une suite spectrale \[ H^{i}\bigl(G'', H^{j}(G',\Gamma)\bigr) \Longrightarrow H^{*}(G,\Gamma). \]

Or \(H^{j}(G',\Gamma) = 0\) si \(j > 1\) en vertu du lemme 1, et d'autre part \(H^{i}\bigl(G'', H^{j}(G',\Gamma)\bigr) = 0\) si \(i > n\), en \(G''\) étant […] […] d'après fini de l'hypothèse. D'où […] \(H^{*}(G,\Gamma) = 0\) si \(* > n+1\), cqfd.

Corollaire Soit \(K\) un […] corps de fonctions algébriques sur un corps alg[ébriquement] clos \(k\), \(\deg\operatorname{tr}_{k} K = n\). Alors \(H^{i}(K,\Gamma) = 0\) pour \(i > n\) et [d'ordre fini] tel que […] \(\Gamma\), i.e. \(G_{K}\) opère trivialement.

Th. fondamentale des morphismes propres [Changement de base] : Théorème d'échange — Questions marginales (pages 54 à 59)

Le titre est celui de la page 53, un feuillet de couverture inscrit de sa main et par ailleurs vierge, qui ne reçoit donc pas de numéro de page propre. Une ligne biffée le précède, illisible.

54Question \(X\) espace topologique, \(Y\) fermé de \(X\), \(F\) faisceau injectif sur \(X\), a-t-on \[ H^{i}(Y, F|Y) = 0 \quad \text{pour } i > 0 \] \[ \bigl[H^{i}(V, F|V) = 0 \ \text{pour tout \ill{} voisinage } V \text{ de } Y,\ i > 0\bigr]. \] Réponse négative.

Tout d'abord, il n'est pas vrai que pour un faisceau \(F\) sur \(X\) injectif, l'homomorphisme \[ \varinjlim_{U \supset Y} H^{0}(U,F) \longrightarrow H^{0}(Y,F) \] soit surjectif, i.e. qu'une section […] se prolonge à un voisinage [i.e. si \(X\) […] \(2^{\circ}\) \(F\) est […] injectif].

Ex 1 \(X\) espace irréductible, \(Y\) fermé de […] deux points fermés distincts \(a\), \(b\) ; \(F\) faisceau des […], la section de \(F|Y\) qui vaut \(0\) en \(a\), la valeur \(1\) en \(b\), ne se prolonge pas à un voisinage […] \(X\), car […] contient un \(U\) de \(a\) […] un voisinage \(V\) de \(b\), et \(U \cap V \ne \emptyset\), absurde.

Ex 2 \(X = \overline{M}\) […] une courbe algébrique, \(Y\) […] irréductible, [[…]] […], mais […] par exemple une […] \(H^{0}\) […] de Zariski. La fin de l'exemple 2 est un brouillon rapide dont la prose ne porte plus.

55La page ouvre sur une figure : un cercle, coupé par une droite \(Y\) en deux points \(a\) et \(b\) ; l'ensemble est \(X\).

Considérons \(X_{1} = \) cercle de la figure, et le faisceau \(F_{1}\) [sur \(X\)] […] induit dans \(\mathbb{Q}\), soit \(F\) son image sur \(X\). La section […] prolonge une section […] elle […] enfin sur \(Y \cap X_{1}\) à \(X_{1}\), c'est en général impossible […]

Ex 3 Un faisceau injectif […] L'exemple 3 est barré de plusieurs longs traits horizontaux. On y distingue les exemples 1 et 2 rappelés, \(F|Y\), \(X\), \(Y\), et un \(\mathbb{Q}\) ; le reste ne se lit pas.

On ne s'en tire pas […] \(Y\) […] un compact irréductible [i.e. […] le faisceau irréductible n'est […] de type fini […]]. […] \(Y\) le voisinage […] \(V\) […], sur \(X\) irréd.

Mais prenons pour \(Y\) \(Y_{1}\) et \(Y_{2}\) deux […] […]

56Une figure ouvre la page : deux droites \(Y_{1}\) et \(Y_{2}\) se coupant en un point \(a\), accolées par une accolade portant \(Y\).

Soit \(F\) le faisceau […] des […] […] dans \(\mathbb{Q}\), et \(Y' = Y - \{a\}\) ; considérons la section de \(F|Y'\) qui vaut \(0\) sur \(Y'_{1}\), \(1\) sur \(Y'_{2}\) ; […] […] un \(U\) de \(a\), et un […] \(\mathbb{Q}\) qui […] voisinage de \(Y_{1}\) (\(Y_{2}\)), absurde car […] […] !

Suit un bloc entièrement barré, sur lequel se lisent \(Y'_{1}\) (\(Y'_{2}\)) induisant \(0\) (1), puis, plus bas, la suite \[ \struck{F_{Y} \to \textstyle\coprod_{i} F_{Y_{i}} \to G \to \ill{}} \] \[ \struck{H^{0}(Y_{2}, F_{Y_{i}}) \to H^{1}(Y,G) \to H^{1}(Y, F_{Y}) = 0} \] avec, dans la marge du bloc, « remarquer que \(H^{1}(Y, F_{Y_{i}}) = 0\) ».

57Exemple 4 Donnons un contre-exemple à la seconde question en […] : \(Y\) […] […] dans une courbe irréductible, \(Y_{1}\), \(Y_{2}\) irréductibles se coupant en deux points \(a\), \(b\), le \(X\) irréductible. \(F\) est le faisceau des […] de \(X\) dans \(\mathbb{Q}\). On a \[ H^{0}(Y_{1}, F_{1}) \times H^{0}(Y_{2}, F_{Y_{2}}) \to H^{0}(Y_{12}, F_{12}) \to H^{1}(Y, F_{Y}) \to 0 \] \[ [\,F_{i} = F_{Y_{i}},\quad F_{12} = F_{Y_{12}}\,] \] La page ouvre sur une figure : deux ovales \(Y_{1}\) et \(Y_{2}\) qui se recoupent, leurs deux points communs marqués \(a\) et \(b\).

[…] \(F_{a} \times F_{b}\) dans le premier […] […] car \[ H^{0}(Y_{12}, F_{12}) = F_{a} \times F_{b} \] […] \(f_{1} - f_{2}\), i.e. \(f_{i} \in H^{0}(Y_{i}, F_{i})\). Or \((0,1) \in F_{a} \times F_{b}\) […] […] \(\mathcal{U}\).

En effet, si on avait une […] \(f_{1}\), \(f_{2}\) […] Suit un bloc barré où l'on distingue \(\varphi_{1}, \varphi_{2} \in \Gamma(U,F)\), \(f_{ix} = \varphi_{ix}\) et \(f_{ix} = \varphi'_{ix}\), puis \(\varphi'_{2} - \varphi'_{1} = 1\) ; la prose entre les formules est perdue.

58\(x \in U \cap U' \cap Y_{1}\), donc dans un voisinage \(W_{1}\) de \(U \cap U' \cap Y_{1}\), et \(\varphi_{2x} = \varphi'_{2x}\ (= f_{2x})\) pour \(x\) […] ; i.e. \(\varphi_{1x} = \varphi\) pour \(x \in U \cap U' \cap Y_{2}\), donc \[ \varphi_{1x} = \varphi'_{1x} + 1 \quad \text{pour } x \in U \cap U' \cap Y_{2}, \] […] pour \(x\) dans un voisinage \(W_{2}\) de \(U \cap U' \cap Y_{2}\). Donc si \(x \in W_{1} \cap W_{2}\), […], et \[ \varphi_{1x} = \varphi'_{1x} + 1, \qquad \varphi_{1x} = \varphi'_{2x}, \] i.e. \(0 = 1\), absurde [compte tenu […] \(W_{1} \cap W_{2} \ne \emptyset\), \(X\) étant irréductible].

Utilisant […] exemple, on trouve un exemple avec \(Y\) irréd. (de dim 2 […]), […] ceci, dans \(X\) […] \(X_{1}\) plan (dim 2) qui, considérant un \(X_{1}\) plan […] recoupe \(Y\) suivant \(2\) […] \[ Y_{1} = X_{1} \cap Y . \] Deux figures accompagnent le passage : un parallélogramme portant \(Y\), et deux ovales qui se recoupent.

On prend alors le faisceau \(F\) […] sur \(X\) […] des […] de \(X_{1}\) dans \(\mathbb{Q}\).

59Page au crayon, d'une écriture rapide ; les conditions sont numérotées mais leurs énoncés ne sont écrits qu'à demi.

Proposition \(F\) faisceau abélien sur […] \(V\) […] tout \(V\) (ordinaire) \(X\). Conditions :

• (i)[…]
• (i bis)Pour tout ouvert \(U\) de \(X\), \(H^{i}(U,F) = 0\)
• (ii)Pour tout ouvert \(U\) de \(X\), \(H^{i}(U,F) = 0\) pour \(i > 0\)
• (iii)Pour tous ouverts \(U\), \(V\) de \(F\) [[pour \(X\) noeth.]]

\[ H^{1}\bigl(C(U,V); F\bigr) = H^{0}(U \cap V, F) \big/ \operatorname{Im}\bigl(H^{0}(U,F) \times H^{0}(V,F)\bigr) \]

• (ii bis)Pour tout recouvrement \(U\) et tout recouvrement \(\underline{\mathcal{U}} = (\mathcal{U}_{i})\) de \(\mathcal{U}\), […] \(H^{i}(\underline{\mathcal{U}}, F) = 0\) pour \(i > 0\).

(i bis) \(\Rightarrow\) (ii bis) par suite spectrale de Leray, et bien connu (petit argument de Cartan […] immédiat)

(i bis) \(\Rightarrow\) (i) trivial

(ii bis) \(\Rightarrow\) (ii) trivial

(i) \(\Leftrightarrow\) (ii) car \(H^{1}(U \cap V, F) \subset H^{1}(U \cup V, F)\), d'où […] ; pour (ii) \(\Rightarrow\) (i), […] en considérant \(\xi \in H^{1}(U,F)\) [(N.B. \(X\) […])] […] \(U' \subset U\) […] \(\xi\) soit nul, […] dis que \(U' = U\), […]

N.B. : \(N_{L/K}\) et la condition \(k \subset \ell(K^{p})\) (page 60)

60Feuillet au crayon, sans rapport apparent avec ce qui précède, barré de deux longs traits obliques.

N.B. \(k \to K\) […], […] […] que toute extension \(L\) de […] (ou finie) de \(K\), […] \(N_{L/K}\) \[ \delta(L/K,\ k/\ell) = 0 \quad \text{i.e.} \] \(k\) soit \(\ell\)-[…] […] \(L/K\), il faut et il suffit que \[ k \subset \ell(K^{p}) \qquad \text{i.e.} \quad k(K^{p}) \subset \ell(K^{p}) \] […] \[ K \to L = K(x), \qquad x^{p} \in K,\quad x^{p} \notin \ell(K^{p}) \] \[ N_{L/K/k} = 0, \qquad N_{L/K/\ell} \simeq L, \qquad N_{L/K} \] \[ \Omega^{1}_{K/k} \otimes_{K} L \longrightarrow \Omega^{1}_{L/k} \] \[ K_{0} \ \big| \ K \qquad k(K_{0}^{p}) \subset K_{0}^{p} \] \(k \subset\) \(K_{\infty}\) […] \(k\) \[ \boxed{\ K''_{\infty} \subset K_{\infty}(K_{0}'^{p})\ } \] \(K_{\infty}(\ill{}) \subset\) […]