Cote n° 31, pages 21–40

Cote n° 31 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · SGA A [SGA 4] (Résidus de rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [1963-1973]
Édition de démonstration

Théorèmes de M. Artin, suite (pages 21 à 22)

Suite de la page 19 (lot 1), dont le Théorème 1 et le Corollaire 1 fixent les notations : \(K\) extension de type fini de \(\mathbb{Q}\), \(X\) un modèle, les conditions (i) à (iii bis).

21Corollaire 2 Soit \(K\) extension de type fini de \(\mathbb{R}\), \(X\) un modèle. Conditions équivalentes (i) (i bis) (ii) (ii bis) (ii ter) (ii quater) (iii) (iii bis). (i) \(-1\) une somme de carrés dans \(K\)

Corollaire 3 \(X\) préschéma de type fini sur \(\mathbb{R}\). Conditions équivalentes

(i)\(X(\mathbb{R}) = \emptyset\)
(ii)\(cd_2(X) < +\infty\)

(iii) Lorsqu'il en est ainsi, alors pour tt faisceau (étale) \(F\) sur \(X\), on a \[ H^i(X,F) \simeq H^i(X(\mathbb{C})/\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\, F) \] Sous le second membre, une accolade porte « topologie ordinaire ». et […] \[ cd_2(X) \leqslant 2\dim X \]

Théorème 2 Soit \(k\) un corps, \(k\) un […] [\(r\) un […] nombre premier]. Conditions équivalentes L'insertion « \(r\) un … premier » est cerclée et rattachée à la ligne par un trait.

(i)Pour tt extension de type fini \(k'\) de \(k\), on a \[ cd_r(k') = cd_r(k) + \deg.\ \mathrm{tr.}\ k'/k \]
(i bis)Comme dessus, […] avec \(k'\) une extension quadratique \(k' = k(\sqrt{-1})\) ! et même \(k' = k(\sqrt{-1})\)
(ii)\(k'\) contient un corps \(k_0\) de type fini sur le corps premier, et tel que \(cd_r(k_0) < +\infty\), ou \(cd_2\, k(\sqrt{-1}) = +\infty\) L'apostrophe de \(k'\) est sur la page ; la condition semble porter sur \(k\).
(iii)On n'est pas dans le cas suivant : \(k\) est ordonnable (donc i.e. de car \(0\) [et \(-1\) n'est pas somme de carrés]), \(r = 2\) [\(cd_2(k(\sqrt{-1})) < +\infty\). [d'où \(cd_2(k) = +\infty\)]

Les étiquettes (i) et (iii) sont cerclées.

Conditions tjs satisfaites […] si l'une des conditions suiv. : \(\operatorname{car} k > 0\) ; \(r \neq 2\) ; \(-1\) somme de carrés ; […] \(cd_2\, k(\sqrt{-1}) < +\infty\) ; \([cd_r(k) < +\infty]\) Note marginale écrite en oblique, de bas en haut, à gauche du Théorème 2.

22Corollaire \(A\) anneau local hensélien noethérien intègre, corps des fractions \(K\), corps résiduel \(k\). Alors pour tt premier \(r\), on a \[ cd_r(K) \geqslant cd_r(k) + \dim A \] et \(A\) univ. japonais / univ. caténaire [avec égalité dans le cas \(A\) hensélien ?] : la seule exception possible dans les cas suivants :

a)\(r\) est la caractéristique de \(K\), (i.e. caractéristique \(> 0\))
b)\(r = 2\), \(A\) un anneau de dim \(> 0\), il existe \(A\) « d'inégales caractéristiques » ou la caractéristique résiduelle est \(2\), ou un idéal premier \(\mathfrak{p} \subset A\), […] avec \(A/\mathfrak{p}\) de dim \(1\), \(\exists\, x \in \operatorname{Spec}(A)\) tel que \(k(x)\) soit ordonnable, et \(cd_2\, k(x)(\sqrt{-1})\) soit fini (corps réel […])

Dans b), le passage biffé est écrit sur trois lignes et rayé d'un trait continu ; l'accolade de gauche réunit a) et b).

Ex. \(A = \mathbb{R}[X,Y]/(X^2+Y^2)\) localisé

N.B. Si \(A\) est caténaire et univ. japonais, (ce qui garantit le fait que les lieux normaux des […] de \(A\) sont ouverts) [dans le cas b)], alors il suffit on peut préciser […] l'exception possible par : \(k\) lui-même « corps réel […] ». Enfin, lorsque \(A\) est régulier, cette exception elle-même est inoffensive, i.e. on a l'inégalité annoncée, (pouvant […] dans le cas […])]. « dans le cas b) » est une insertion interlinéaire, cerclée.

cette restriction est-elle essentielle ???

Comparaison de topologies — Lemme de Cartan (pages 24 à 30)

Le titre est de la main de Grothendieck, sur la chemise qui précède (page 23) : « Comparaison de topologies — Lemme de Cartan ». Dans ce feuillet, \(\mathcal{M}\) est une classe d'objets du site \(T\), \(\mathcal{U}\), \(\mathcal{V}\) des recouvrements, \(\mathcal{H}^q(F)\) le préfaisceau \(U \mapsto H^q(U,F)\) (écrit \(H^q(F)\) sur la page), et \(\overline{H}^q(F)\) le préfaisceau défini page 28.

24Lemme de Cartan

\(T\) un site, \(S \in \operatorname{Ob} T\)

\(F\) faisceau abélien sur \(T\)

\(n \in \mathbb{Z}\)

\(\mathcal{U}\) (familles filtrantes croissantes de rec. (de \(S\)) […]

\(\mathcal{M}\) sous-ensemble des \(\operatorname{Ob} T\) formé de — a) \(\mathcal{M}\) stable par produits fibrés ; b) pour tt \(S \in \mathcal{M}\), […] les recouvrements de \(S\) formés par des \(\in \mathcal{M}\) sont cofinaux parmi les rec. [il suffit […] \(\subset\), qu'ils suffisent : […] \(H(S)\) tt calcul […] \(H^q(S,F)\), \(0 \leqslant q \leqslant n\).] Les étiquettes a) et b) sont cerclées ; le crochet est rattaché par un trait à « cofinaux ».

Conditions équivalentes

(i)\(\forall S \in \mathcal{M}\), \(H^i(S,F) = 0\) pour \(0 < i \leqslant n\)
(ii)\(\forall S \in \mathcal{M}\), […] et tt rec. [\(\mathcal{U}\)] de \(S\) [formé par des \(S_i \in \mathcal{M}\), […]] \[ \check{H}^i(\mathcal{U},F) = 0 \quad \text{pour } 0 < i \leqslant n \]
(iii)\(\forall S \in \mathcal{M}\), […] \[ \varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^i(\mathcal{U},F) = 0 \quad \text{pour } 0 < i \leqslant n \] où \(\mathcal{U}\) varie dans les rec. de \(S\) formés d'objets \(\in \mathcal{M}\)

Dans (ii), le \(\mathcal{U}\) est cerclé et inséré au-dessus de la ligne.

26Cas […]. (i) \(\Longrightarrow\) (ii) par suite spectrale Le numéro du cas est réduit à un point ; « Cas 2 » ouvre la page 30. \[ H^{*}(S,F) \Longleftarrow \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{H}^q(F)) = E_2^{pq} \] l'hyp. (i) implique \(E_2^{pq} = 0\) pour \(0 < q \leqslant n\), et l'hyp. […] pour \(E_2^{pq} = 0\) pour \(q = 0\) d'où \[ H^i(S,F) \overset{\simeq}{\Longleftarrow} \check{H}^i(\mathcal{U},F) \quad \text{pour } i \leqslant n \] et par suite \(\check{H}^i(\mathcal{U},F) = 0\) pour \(0 < i \leqslant n\).

(ii) \(\Longrightarrow\) (iii) trivial

(iii) \(\Longrightarrow\) (i) par récurrence sur \(n\). C'est trivial si \(n \leqslant 0\). Supposons \(n > 0\), et l'assertion prouvée pour \(n-1\). Alors […] Regardons \(E_2^{pq} = 0\) si \(0 < q < n\) \[ H^{*}(S,F) \Longleftarrow \varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{H}^q(F)) = E_2^{pq} \] Par hyp. de récurrence, on a

a)\(E_2^{pq} = 0\) si \(0 < q < n\)

de plus, \(E_2^{pq}\) […] Par hyp. (iii), on a

b)\(E_2^{pq} = 0\) si \(q = 0\), \(0 < p \leqslant n\)

Enfin on a d'après l'hyp. (A) […]

c)\(E_2^{pq} = 0\) si \(p = 0\), \(q > 0\)

On trouve donc \(E_2^{pq} = 0\) si \(p + q = n\), d'où \(H^n(S,F) = 0\), cqfd. Un croquis dans la marge gauche figure le plan \((p,q)\) : des croix sur les lignes horizontales \(q \geqslant n\), des croix sur l'axe des \(p\) à partir de \(p = n\) (le point \(n\) et « \(n+1\) » y sont marqués), et la diagonale \(p + q = n\) en pointillé, qui ne rencontre aucune croix.

28Lemme. Notations \(T\), \(F\), \(n\), \(\mathcal{M}\) comme dans le lemme de Cartan. Conditions équivalentes [Considérons les] « Considérons les » est écrit au-dessus de « Conditions équivalentes » biffé.

(i)\(\forall S \in \mathcal{M}\), \[ \varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^i(\mathcal{U},F) \simeq H^i(S,F), \qquad i \leqslant n \] [\(\mathcal{U}\) parcourt les rec. de \(S\) formés de \(S_i \in \mathcal{M}\),]
(ii)\(\forall S \in \mathcal{M}\), et tt rec. \(\mathcal{U}\) de \(S\) formé d'éléments de \(S\), on ait \(H\) élément : \[ \varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^p(\mathcal{U}; \mathcal{H}^q(F)) = 0 \quad \text{pour } \uncertain{p < q \leqslant n} \] \(0 < q \leqslant n\) et \(q \neq 0\) Le \(0\) de « \(0 < q \leqslant n\) » est repassé en \(p\) et le signe qui suit est resté un \(<\) ; la ligne biffée de (iii bis) écrit \(p + q \leqslant n - 1\). Les deux conditions biffées sont écrites sous la première.
(iii)\(\forall S \in \mathcal{M}\), \[ \varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^p(\mathcal{U}, \overline{H}^q(F)) = 0 \quad \text{pour } \uncertain{p < q \leqslant n} \quad \struck{\text{et } q \neq 0} \] où on pose (\(\forall T \in \mathcal{M}\)) \[ \overline{H}^q(F)(T) = \varinjlim_{\mathcal{V}} \check{H}^q(\mathcal{V}, \uncertain{F}) \] Le second argument se lit plutôt \(T\) sur la page. \(\mathcal{V}\) parcourant les rec. de \(T\) formés d'objets \(\in \mathcal{M}\).
(iii bis)\(\forall S \in \mathcal{M}\), \(\mathcal{U}\) rec. de \(S\) par des \(U_i \in \mathcal{M}\), et \(\xi \in C^p(\mathcal{U}, \mathcal{H}^q(F))\) (\(p + q \leqslant n-1\), \(q \neq 0\)) \(0 < q \leqslant n\), il existe \(\mathcal{U}'\) rec. de \(S\) fini par \(U'_i \in \mathcal{M}\), majorant \(\mathcal{U}\), […] et \(\mathcal{U}' \to \mathcal{U}\), tel que l'image de \(\xi\) dans \(C^p(\mathcal{U}', \mathcal{H}^q(F))\) soit nulle.
(iii ter)[…] Comme (iii bis), mais \(\mathcal{H}^q(F)\) remplacé par \(\overline{H}^q(F)\).

Une accolade au crayon réunit (i) et (ii), une autre (iii bis).

Alors on a (iii bis) \(\Longrightarrow\) (ii), \(\Downarrow\) \[ \begin{array}{ccc} \text{(ii)} & \Longleftrightarrow & \text{(iii bis)} \\ & & \Downarrow \\ \text{(iii ter)} & \Longrightarrow & \text{(iii)} \\ & & \Downarrow \\ & & \text{(i)} \end{array} \] Un premier diagramme, à gauche, est biffé ; dans celui de droite les étiquettes de la première colonne sont retouchées, et leur lecture est douteuse.

30Cas 2. suite spectrale \[ H^{*}(S,F) \Longleftarrow \varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{H}^q(F)) = E_2^{pq}. \] et \[ E_2^{pq} = 0 \quad \text{si } p = 0,\ q > 0 \] Cela prouve implique déjà (ii) \(\Longrightarrow\) (i), Or moyennant (i), (ii) et (iii) sont équivalents, donc (ii) \(\Longrightarrow\) (iii). De même on a trivialement (iii bis) \(\Longrightarrow\) (ii) [donc (iii bis) \(\Longrightarrow\) (i),] et (iii ter) \(\Longrightarrow\) (iii), et comme (ii) \(\Longrightarrow\) (i), et que […] moyennant (ii), (iii bis) et (iii ter) sont équivalents, […] (iii ter) \(\Longrightarrow\) (iii bis). Tout revient donc [à] […] prouver que (iii) \(\Longrightarrow\) (i). Récurrence sur \(n\). Si \(n \leqslant 0\), c'est clair. Supposons \(n > 0\), et que c'est prouvé pour \(n - 1\). Donc on sait déjà que \[ \mathcal{H}^i(F) \overset{\simeq}{\Longleftarrow} \overline{H}^i(F) \quad \text{pour } i < n \quad \struck{\ill{}} \] […] pour \(i = n\). sur des arguments \(\in \mathcal{M}\), donc \[ E_2^{pq} = 0 \quad \text{si } \struck{p + q \leqslant n-1 \text{ et } q \neq 0}\ 0 < q \leqslant n-1 \] Donc […] la suite spectrale donne \(H^n(F) \Longrightarrow\) \[ \varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^n(\mathcal{U},F) \simeq H^n(S,F) \] […] \(H^n(F)\) cqfd. Un second croquis du plan \((p,q)\) occupe la marge gauche : des croix sur les deux lignes horizontales supérieures et sur l'axe des \(p\) à partir d'un point marqué « \(n-1\) », et deux droites obliques issues de l'axe des \(q\) (marqué « \(n\) ») vers ce point.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\text{(ii)} \arrow[d, Rightarrow] \arrow[dr, Rightarrow] & &
\text{(iii bis)} \arrow[ll, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] \\
\text{(i)} & \text{(iii)} \arrow[l, Rightarrow] & \text{(iii ter)}
\arrow[l, Rightarrow]
\end{tikzcd}

Diagramme au milieu de la page ; l'étiquette de la flèche du bas, entre (iii) et (iii ter), est récrite sur un mot gribouillé.

\[ \begin{array}{ccccc} \uncertain{\text{(ii bis)}} & \struck{\Longleftrightarrow} & & & \text{(iii bis)} \\ \Downarrow & & & & \Downarrow \\ \text{(ii)} & \Longrightarrow & \text{(i)} & \Longleftarrow & \text{(iii)} \end{array} \] Diagramme au bas de la page, à gauche ; la double flèche du haut est biffée. « (ii bis) » n'est pas défini dans le lemme, qui nomme (iii bis) et (iii ter).

Solution logique : Pour avoir les 4 implications ci-contre, plus le fait que (ii) \(\Longrightarrow\) [(ii) \(\Longrightarrow\) (iii) et (iii bis) \(\Longleftrightarrow\) (iii ter)] Dernières lignes de la page, sous le diagramme ; la première étiquette entre crochets est écrite « (iii) » et retouchée.

Deux feuillets de tapuscrit corrigés (pages 27, 25)

Les pages 27 et 25 sont deux feuillets d'un tapuscrit dont les versos portent le Lemme de Cartan (pages 26, 24) ; ils sont corrigés de sa main et donnés dans l'ordre du texte. Les insertions manuscrites sont en [], les mots biffés en ; les accents circonflexes des complétés (\(\widehat{X}\), \(\widehat{F}\), \(\widehat{U}'\)…) et les flèches que la machine ne portait pas sont restitués là où l'encre les donne. \(\mathcal{J}\) est l'idéal écrit à la main dans les formules (2.5) à (2.8).

27Posons \[\begin{gather} \underline{S} = \operatorname{gr}_{\mathcal{J}} \underline{O}_{X'} = \coprod_{k \in \underline{N}} \mathcal{J}^k / \mathcal{J}^{k+1} \tag{2.5} \\ \operatorname{gr}_{\mathcal{J}}(\underline{F}) = \coprod_{k \in \underline{N}} \mathcal{J}^k \underline{F} / \mathcal{J}^{k+1} \underline{F} \tag{2.6} \\ \underline{K}^i = R^i f_{*}(\operatorname{gr}_{\mathcal{J}}(\underline{F})) = \coprod_{k \in \underline{N}} R^i f_{*}(\mathcal{J}^k \underline{F} / \mathcal{J}^{k+1} \underline{F}), \tag{2.7} \end{gather}\] il est clair que \(\underline{K}^i\) est muni d'une structure de \(\underline{S}\)-Module gradué.

Théorème 2.1. Supposons que \(\underline{K}^i\) soit un \(\underline{S}\)-Module gradué de type fini pour \(i = n-1\), \(i = n\), \(i = n+1\), alors :

(i)\(R^n f_{*}(F)\) est cohérent
(ii)l'homomorphisme \(\add{\psi_n}\), (2.3), est un isomorphisme topologique, [la filtration naturelle du deuxième membre de (2.3) est \(\mathcal{J}\)-bonne.]
(iii)le système projectif des \(R^n f_{*}(F_k)\) vérifie la condition de Mittag-Leffler uniforme.

Le \(\psi_n\) de (ii) est écrit à la main sur une lettre dactylographiée illisible ; l'insertion sur la filtration est écrite dans l'interligne.

La démonstration est très facile à partir de E.G.A. \(O_{III}\).13.7.7. [(cf. E.G.A. III 3.4.2.)], à condition de rectifier comme suit le texte page 78 :

Supprimer

ligne 6 « et \((R^{n+1} T(A_k))_{k \in \underline{Z}}\) » ligne 13 « et \(p + q = n+1\) » ligne 23 « et pour \(n+1\) ».

Théorème 2.2. Soit \(A\) un anneau adique noethérien et soit \(I\) un idéal de définition de \(A\). Supposons que \(I\) soit engendré par un \(t \in A\). Reprenons les notations (1.31), (1.32), (1.33). Soit \(\underline{F}\) un \(\underline{O}_{\widehat{X}}\)-Module cohérent. Posons \[\begin{equation} F_0 = \underline{F} / \mathcal{J} \underline{F}, \tag{2.8} \end{equation}\] où \(\mathcal{J} = t\, \underline{O}_{\widehat{X}}\) est un idéal de définition de \(\widehat{X}\).

Soit \(T\) une partie fermée de \(X' = \operatorname{Spec}(A)\). En marge gauche, à la hauteur du Théorème 2.2.

25tel que \(A\) soit séparé et complet pour la topologie \(J\)-adique. Sous ces conditions :

(i)Le foncteur \(F \rightsquigarrow \widehat{F}\) de la catégorie des Modules localement libres sur \(U'\) dans la catégorie des Modules localement libres sur \(\widehat{U}'\) est pleinement fidèle.
(ii)Pour tout Module localement libre \(\underline{F}\) sur \(\widehat{U}'\), il existe un Module cohérent \(F\) sur \(U'\) (pas nécessairement localement libre, hélas), et un isomorphisme \(\widehat{F} \simeq \underline{F}\).

Il reste seulement à prouver (ii), grâce à 5.9. Or d'après cette remarque, et exposé IX 2.1. il s'ensuit que \(\underline{F}\) est induit par un Module cohérent \(\underline{G}\) sur \(\widehat{X}'\). D'après le théorème de comparaison d'existence [EGA III] 5.1.4., \(\underline{G}\) est de la forme \(\widehat{F}\), où \(F\) est cohérent sur \(X\), d'où la conclusion.

Remarques 5.11. [1°)] Utilisant 5.10., [4.7.] et des hypothèses convenables de une hypothèse convenable, disant que certains anneaux locaux des fibres géométriques de \(X'\) \(S'\) sont « purs » resp. parafactoriels, on doit pouvoir obtenir des énoncés disant […] que le foncteur \(Z' \rightsquigarrow \widehat{Z}'\) de la catégorie des revêtements étales de \(X'\) dans la catégorie des revêtements étales de \(\widehat{X}'\) […] (ou ce qui revient au même, de \(X'_0\)) est pleinement fidèle une équivalence de catégories, resp. que le foncteur \(L \rightsquigarrow \widehat{L}\) de la catégorie des Modules inversibles sur \(X'\) dans la catégorie des Modules inversibles sur \(\widehat{X}'\) est une équivalence. Utilisant des résultats récents de \textsc{Murre}, il est probable que l'on doit pouvoir en déduire des théorèmes d'existence pour des schémas de Picard pour [certains] schémas algébriques […] non propres. […] De façon générale, l'élimination d'hypothèses de propreté dans divers théorèmes d'existence, notamment de représentabilité de foncteurs comme les foncteurs de Hilbert, ou de Picard etc, à l'aide Le feuillet s'arrête sur « à l'aide » ; la suite n'est pas dans le lot. Le « \(S'\) » après « \(X'\) » est dactylographié, sans lien visible.

Calculs divers (asphéricité, finitude etc) (pages 34 à 38)

Le titre est de la main de Grothendieck, au crayon, sur la chemise qui précède (page 32) : « Calculs divers (asphéricité, finitude etc) ». La chemise porte aussi, au crayon : « 4 p. Deligne ? + 3 + 6 ». Les pages 34 à 38 sont d'une écriture qui n'est pas la sienne, à l'encre bleue, et la page 34 porte en tête « GRÖTHENDIECK. » ; elles sont transcrites comme le reste. La numérotation « Th 1 », « Th 2 », « Th 3 », « Lemme 1 » à « Lemme 3 » est celle de la page.

34Th 1 Soit \(E\) un ensemble simplicial, \(G\) un groupe discret qui opère sur \(E\) par par des transformations simpliciales, \(B\) [\(= E/G\)] l'ensemble simplicial quotient, […] \(p : E \to B\) la projection canonique. Si \(E\) est connexe, l'image de \(p_{*} : \pi_1(E) \to \pi_1(B)\) est un sous-groupe distingué de \(\pi_1(B)\), et \[ \pi_1(B) / \operatorname{im} p_{*}(\pi_1(E)) = G/S, \] où \(S\) est le sous-groupe (distingué) de \(G\) engendré par les stabilisateurs des sommets de \(E\), et \(E/S\) est le revêtement […] de \(B\) correspondant à l'image de \(p_{*}(\pi_1(E))\). « \(= E/G\) » est une insertion sous la ligne ; « correspondant à l'image de \(p_{*}(\pi_1(E))\) » est écrit au-dessus d'un mot biffé. Une accolade ondulée dans la marge gauche court le long de l'énoncé.

Déf : une arête de \(E\) est un \(1\)-simplexe de \(E\) muni d'un signe \(+\) ou \(-\). Si \(\sigma\) est un \(1\)-simplexe, on pose \(\partial_1(+\sigma) = \partial_1(\sigma)\), \(\partial_0(+\sigma) = \partial_0(\sigma)\), \(\partial_1(-\sigma) = \partial_0(\sigma)\), \(\partial_0(-\sigma) = \partial_1(\sigma)\). Un chemin est une suite [d'arêtes] \(\gamma = (\gamma_1, \dots, \gamma_n)\) telle que \(\partial_1(\gamma_{i+1}) = \partial_0(\gamma_i)\). On pose \(\partial_1(\gamma) = \partial_1(\gamma_1)\) et \(\partial_0(\gamma) = \partial_0(\gamma_n)\). Un point [sommet] de base \(x_0\) étant fixé dans \(E\), un lacet est un chemin \(\gamma\) tel que \(\partial_1(\gamma) = \partial_0(\gamma) = x_0\). 2 chemins \(\gamma\) et \(\gamma'\) sont homotopes si leurs réalisations géométriques sont homotopes modulo leurs extrémités. Cette relation d'équivalence est compatible avec la loi de composition « mise bout à bout » des chemins, et est engendrée par les suivantes : La page s'arrête sur les deux points ; la liste annoncée ne figure pas sur la page suivante, qui s'ouvre sur un paragraphe biffé.

35Soit \(E\) […] un CW-complexe, \(G\) un groupe discret opérant sur \(E\) par des transformations qui préservent la décomposition cellulaire, \(B = E/G\) l'ensemble CW-complexe quotient de \(E\) Trois lignes rayées de longs traits obliques.

Lemme 1 : \(\forall x\) sommet de \(E\), \(\beta\) chemin de \(B\) tel que \(\partial_1(\beta) = p(x)\), \(\exists\, \gamma\) chemin de \(E\) tel que \(\partial_1(\gamma) = x\) et \(p(\gamma) = \beta\)

Dém Il suffit de le voir si \(\beta\) est une arête. Soit \(\lambda\) une arête de \(B\) telle que \(p\lambda = \beta\). On a […] \(p(\partial_1 \lambda) = \partial_1(p\lambda) = \partial_1 \beta = p(x)\), d'où \(\exists\, g \in G\) […] \(x = g.\partial_1 \lambda\), et \(\gamma = g\lambda\) répond à la question « \(\lambda\) une arête de \(B\) » : sic, pour une arête de \(E\) au-dessus de \(\beta\).

Lemme 2 : l'image de \(p_{*} : \pi_1(E) \to \pi_1(B)\) est un sous-groupe distingué de \(\pi_1(B)\)

Dém : Soit \(\gamma\) un lacet de […] \(E\), \(\beta\) un lacet de \(B\), \(\lambda\) un chemin de \(E\) tel que \(\partial_1(\lambda) = x_0\) et \(p_{*}(\lambda) = \beta\). On a \(p(\partial_0 \lambda) = \partial_0 \beta = b_0 = p\, x_0\), d'où \(\partial_0 \lambda = g x_0\), et le lacet \((\lambda, g\gamma, -\lambda)\) se projette en \((\beta, p(\gamma), -\beta)\) ce qui démontre le lemme 2.

Définition de \(\chi : G \to \pi_1(B) / \operatorname{Im} \pi_1(E)\) quand \(E\) connexe.

Pour tout \(g \in G\), soit \(\gamma\) un chemin de \(E\) tel que \(\partial_1(\gamma) = x_0\), \(\partial_0(\gamma) = g x_0\). […] \(p(\gamma)\) est un lacet de \(B\), soit \(\chi(g)\) sa classe dans \(\pi_1(B) / \operatorname{im} \pi_1(E)\). Elle ne dépend pas du chemin \(\gamma\) choisi, car, si \(\gamma'\) est un autre chemin, \((\gamma, -\gamma')\) est un lacet de \(B\), et […] \(p(\gamma)\) et \(p(\gamma')\) ont même classe mod l'image de \(\pi_1(E)\). « \((\gamma, -\gamma')\) est un lacet de \(B\) » : sic, pour un lacet de \(E\).

36Il résulte du lemme 1 que \(\chi\) est surjective.

Montrons que \(\chi\) est […] un homomorphisme : Soient \(g_1, g_2 \in G\). Soit \(\gamma_1\) un la chemin tel que \(\partial_1(\gamma_1) = x_0\), \(\partial_0(\gamma_1) = g_1 x_0\), idem […] \(\gamma_2\) tel que \(\partial_1(\gamma_2) = x_0\), \(\partial_0(\gamma_2) = g_2 x_0\). On a \(\partial_1(g_1 \gamma_2) = g_1 x_0\) et \(\partial_0(g_1 \gamma_2) = g_1 g_2 x_0\) : le chemin \(\gamma = (\gamma_1, g_1 \gamma_2)\) vérifie \(\partial_1 \gamma = x_0\), \(\partial_0 \gamma = g_1 g_2 x_0\). […] On a \[ p\gamma = (p\gamma_1, p g_1 \gamma_2) = (p\gamma_1, p\gamma_2) \struck{\ill{}} \quad \text{d'où } \chi(g_1 g_2) = \chi(g_1)\chi(g_2) \] « Soient \(g_1, g_2 \in G\) » est ajouté en marge droite, au-dessus de la ligne.

Le noyau de \(\chi\) contient évidemment le stabilisateur de \(x_0\). Soit \(x\) un sommet de \(E\) et \(s \in G\) tel que \(sx = x\). Soit \(\lambda\) un chemin de \(E\) tel que \(\partial_1(\lambda) = x_0\), \(\partial_0 \lambda = x\). […] \(\gamma = (\lambda, -s\lambda)\) est un chemin de \(E\) tel que \(\partial_1(\gamma) = x_0\), \(\partial_0 \gamma = s x_0\), d'où \(\chi(s) = \text{classe}\,(p(\lambda, -s\lambda)) = \text{classe}\, (p(\lambda, -\lambda)) = \) élément neutre). Le noyau de \(\chi\) contient donc le sous-groupe \(S\) […] engendré par les stabilisateurs des […] sommets de \(E\). Ce sous-groupe est distingué puisque le conjugué du stabilisateur de \(x\) est le stabilisateur d'un transformé de \(x\).

On sait que \(\operatorname{Ker} \chi \supset S\). Montrons qu'il ne le contient pas strictement.

Lemme 3 : \(E/S\) est un revêtement [normal] de \(E/G\), de groupe \(G/S\).

38La page 37 est blanche ; le texte se poursuit page 38. […] Une ligne gribouillée en tête de page.

Th 2 : Si \(G\) est un groupe fini d'ordre \(n\), l'image de \(p_{*} : H_{*}(E) \to H_{*}(B)\) contient tous les éléments […] divisibles par \(n\) dans \(H_{*}(B)\).

Dém : Soit \(\zeta\) […] \(= \sum_{i \in I} a_i \sigma_i\) un cycle de \(B\), où \(\sigma_i\) sont des simplexes. Pour tout \(\sigma_i\), soit \(\tau_i\) simplexe de \(E\) tel que \(p\tau_i = \sigma_i\). Alors \[ \theta = \sum_{g \in G,\, i \in I} g\, a_i \tau_i \] est un cycle de \(E\), et \(p(\theta) = \struck{\ill{}}\ n\zeta \struck{\ill{}}\). D'où le Th 2.

Th 3 : Si […] \(E\) est […] contractile, \(S =\) sous-groupe engendré par les stabilisateurs fini d'ordre \(n\), \(\pi_i(B)\) est un groupe […] dont tous les éléments sont d'ordre qui divise une puissance de \(n\) pour \(i > 1\) « \(S =\) sous-groupe engendré par les stabilisateurs » est écrit dans l'interligne au-dessus de « fini d'ordre \(n\) » ; « dont tous les éléments sont d'ordre qui divise une puissance de \(n\) pour \(i > 1\) » descend dans la marge gauche.

Dém : […] D'après le Th. 1, \(E/S\) est le revêtement universel de \(B\), d'où \(\pi_i(B) = \pi_i(E/S)\). D'après le Th. 2, […] les \(H_i(E/S)\) La démonstration s'arrête ici.