Cote n° 31, pages 1–20

Cote n° 31 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · SGA A [SGA 4] (Résidus de rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [1963-1973]
Édition de démonstration

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\(cd_p^{!}(k)\) pour \(k\) de caractéristique \(p\) (topologie fppf) (pages 2 à 8)

Le titre est de la main de Grothendieck, sur la chemise qui précède (page 1) : « \(cd_p^{!}(k)\) pour \(k\) de car. \(p\). (topolog. fppf) ». Dans ce feuillet, « t.m. » abrège type multiplicatif, « f.d.s. » fid. plat n'apparaît qu'une fois, et \(cd_p^{!}\), \(cd_p^{\text{ét}}\), \(cd_p^{\text{t.m.}}\), \(cd_p^{\text{add}}\) désignent les dimensions cohomologiques calculées avec les \(p\)-groupes finis de chacun des trois types dévissés à la page 2.

2\(k\) corps de car \(p > 0\)

On désigne par \(cd_p(k)\) la dimension cohomologique, calculée pour les faisceaux de \(p\)-torsion pour la topologie finie étale fid. plate sur \(k\). Regardons d'abord le \(cd_p^{!}(k)\), calculée avec les groupes algébriques (commutatifs) finis sur \(k\), d'ordre une puiss. de \(p\). Tout tel groupe algébrique se dévisse en \[G' \subset G'' \subset G\] où \(G'' = G^{\circ}\) donc \(G/G''\) est un groupe étale, et où \(G'\) est (radiciel) de t.m., tandis que \(G''/G'\) (radiciel) [est] de type additif. Donc

Lemme 1 : \(cd_p^{!}(k) \leqslant n \Longleftrightarrow H^i(k,G) = 0\) pour \(i > n\), lorsque \(G\) est un \(p\)-groupe fini sur \(k\) de l'un des types suivants :

a)\(G\) étale sur \(k\), [i.e. \(\Longrightarrow cd_p^{\text{ét}}(k) \leqslant n\)]
b)\(G\) radiciel de t.m. sur \(k\)
c)\(G\) [radiciel] de type additif.

Dans a), le mot « \(G\) » est repassé ; dans c), « radiciel » est écrit par-dessus un mot biffé.

4Notons que \(cd_p^{\text{ét}}(k)\) est égal à \(0\) ou \(1\), suivant que toute extension finie sép. de \(k\) est d'ordre premier à \(p\), ou non. Le mot « finie » est cerclé et rattaché par un trait à la ligne, comme une insertion ; le mot biffé avant « extension » est douteux.

Si \(G\) est de t.m., donc \(G\) est dual d'un groupe fini étale, ce dernier est quotient d'un module galoisien libre de type fini sur \(\mathbb{Z}\), donc \(G\) est contenu dans un tore, donc on a une suite exacte \[0 \longrightarrow G \longrightarrow T \longrightarrow T' \longrightarrow 0\] \(T\) et \(T'\) des tores. D'où le

Lemme 2 : Pour que \(cd_p^{\text{t.m.}}(k)\) soit \(\leqslant n\), il f. et s. que les conditions suivantes soient vérifiées : pour tt tore \(T\) sur \(k\), \(H^i(k,T)(p)\) est nul pour \(i > n\), et \(p\)-divisible si \(i = n\). [Ou encore : pour tt extension finie sép. \(k'\) de \(k\), […] \(\mathrm{Br}(k)(p)\) \(H^i(k', G_m) = 0\) si \(i > n\), et \(H^i(k', G_m)\) est \(p\)-divisible si \(i = n\).] La fin du crochet est écrite dans la marge gauche, de bas en haut. Comme on a \[0 \longrightarrow {}_{p}T \longrightarrow T \xrightarrow{\;p\;} T \longrightarrow 0\] d'où \(H^i({}_pT) \equiv \mathrm{Im}\, H^i({}_pT)\) Formule biffée de deux traits ; la lecture en est douteuse.

6\[H^i({}_pT) \longrightarrow {}_pH^i(T) \longrightarrow 0\] \[0 \longrightarrow H^i(T)_p \longrightarrow H^{i+1}({}_pT)\] on voit que ces conditions sont nécessaires. Pour la suffisance, on tire d'abord le fait que \(H^{n+i}(G)\) […] \(= 0\) pour \(i \geqslant\) \(n+2\), reste à vérifier \(H^{n+1}(G) = 0\) donc que \(H^n(T) \longrightarrow H^n(T') \longrightarrow 0\) surjectif. Les deux termes \(H^n(T)\), \(H^n(T')\) portent un indice griffonné puis biffé, illisible. […] Suit un bloc de cinq lignes entièrement barré de traits croisés, dont seuls se lisent « \(p\)-torsion », « \(H^n(T)(p) \to H^n(T')(p)\) » et, sur la dernière ligne, « \(p\)-divisible » ; le reste est illisible sous les ratures.

Notons que si \(k'/k\) une extension finie séparable de \(k\), alors pour tt \(G'\) sur \(k'\), on a \[H^i(k, \textstyle\prod_{k'/k} G') \simeq H^i(k, G),\] Sic pour le membre de droite ; le sens demande \(H^i(k', G')\). ce qui prouve que l'hypothèse faite sur les tores sur \(k\) est stable par extension de base séparable. Soit \(k'\) une telle extension de degré premier à \(p\), alors l'homomorphisme naturel \[\textstyle\prod_{k'/k} G_{k'} \longrightarrow G\] est surjectif un épim.

8[N.B. \(\prod_{k'/k} G_{k'}\) est de t.m.] donc […] : \(H^{n+1} = 0\) sur les groupes de t.m. […] on voit que \[H^{n+1}(\textstyle\prod_{k'/k} G_{k'}) \longrightarrow H^{n+1}(G) \longrightarrow 0 \quad\text{surjectif,}\] \[\simeq H^{n+1}(G_{k'})\] Le second membre est écrit sous le premier terme de la ligne précédente, avec un signe \(\simeq\) qui le relie à \(H^{n+1}(\prod_{k'/k} G_{k'})\). donc pour vérifier que \(H^{n+1}(G) = 0\), il suffit de le faire pour \(H^{n+1}(G_{k'})\). On nous ramène au cas où \(G\) est « splitté » par une \(p\)-extension, ce qui implique que \(G\) se dévisse en groupes isomorphes à \(\mu_p\). Donc on est ramené à vérifier que \(H^{n+1}(\mu_p) = 0\), ce qui se voit sur la suite exacte \[\cdot \longrightarrow \mu_p \longrightarrow G_m \longrightarrow G_m \longrightarrow 0\]

Lemme 3 […] On a \[cd_p^{\text{add}}(k) = \begin{cases} 0 & \text{si } k \text{ parfait} \\ 1 & \text{si } k \text{ imparfait} \end{cases}\] Au-dessus de l'exposant « add » est écrit « rad », d'une plume plus fine.

En effet on peut […] radiciel additif se dévisse en groupes \(\alpha_p\) … Le feuillet s'arrête sur cette ligne inachevée.

Généralités sur les produits […] : un module \(M\) de \(f\)-torsion dont \(M/fM\) n'est pas de type fini (pages 10 à 16)

Le titre est de la main de Grothendieck, sur la chemise qui précède (page 9) : « Généralités sur les produits […] » ; le dernier mot, de lecture douteuse, se termine en « -adiques ». Le sous-titre est de l'éditeur. Ces quatre feuillets sont écrits au dos des feuillets de tapuscrit des pages 11, 13, 15 et 17. Ici \({}_{f}M\), \({}_{f^n}M\) désignent, comme sur les feuillets, les sous-modules de \(M\) annulés par \(f\), par \(f^n\) : le \(f\) est écrit en indice à gauche du module. \(B\) désigne \(A/fA\) tout au long.

10Exemple. \(A\) anneau, \(f \in A\) élément \(A\)-régulier, \(g \in A\) élément \((A/fA)\)-régulier, on suppose \(A/fA/gA \neq 0\) i.e. \(B/gB \neq 0\). « \(= B\) » est écrit au-dessus de \((A/fA)\). [[…] \(A\) noethérien régulier de dim \(2\), \(A/fA\) noeth. régulier de dim \(1\), \(A/fA/gA\) noeth. régulier de dim \(0\), p. ex. \(A\) local régulier de dim \(2\), \((f,g)\) système de paramètres]

On va construire un module \(M\) sur \(A\) tel que

(i)\(M = \bigcup_{n \geqslant 0} {}_{f^n}M\), \({}_{f^{n+1}}M / {}_{f^n}M \simeq A/fA\) [en particulier, \(M\) est de support \(\subset V(f)\) […] \(fA\)-cofini]
(ii)\(M/fM \simeq (A/fA + gA)^{(\mathbb{N})} = (B/gB)^{(\mathbb{N})}\), donc \(M/fM\) n'est pas \(fA\)-cofini.

Dans (ii), « \(A/fA + gA\) » est écrit tel quel, pour \(A/(fA+gA)\).

Construction. On construit par récurrence les \(E_n\), l'hypothèse de récurrence étant : À gauche de ces deux lignes, un […] de deux mots, dont le premier semble être \(fM\).

(1)\(f^n E_n = 0\)
(2)\({}_{f^{k+1}}E_n / {}_{f^k}E_n \simeq A/fA = B \quad (0 \leqslant k \leqslant n-1)\)
(3)\(E_n / fE_n \simeq\) \(A/fA\) \(B + (B/gB)^{n-1}\)

Les trois conditions sont accolées ; la page 14 les appelle \((a_n)\), \((b_n)\), \((c_n)\).

14On construit \(E_{n+1}\) comme extension de \(A/fA\) par \(E_n\), déduite de l'extension standard de \(A/fA\) par \(A\) […] par l'homomorphisme […] \(A \to E_n\) défini par un […] \(\xi_n\) de \(E_n\) (l'extension \(E_{n+1}\) ne dépend que de \(\xi_n\) mod \(fE_n\)).

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\xi_n"'] & A \arrow[r] \arrow[d] & A/fA \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & E_n \arrow[r] & E_{n+1} \arrow[r] & A/fA \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

Le \(0\) de gauche est, sur les deux lignes, un simple point.

Notons que \({}_fE_n \subset {}_{f^{n-1}}E_n\) donc \[0 \longrightarrow {}_{f^{n-1}}E_n / {}_fE_n \longrightarrow E_n / {}_fE_n \longrightarrow E_n / {}_{f^{n-1}}E_n \longrightarrow 0\] \[E_n / {}_{f^{n-1}}E_n \simeq A/fA = B\] L'isomorphisme est écrit sous le dernier terme de la suite, relié par un \(\wr\).

donc […] des \(B\) et […] (\(B\)-[…]) […] (ii) \(B\) […], […] de […] \(2\). Ce […] […] \(\lambda\) pour ([…]), et s'il […] \(\lambda\) […]. Donc l'iso[…] […] [i.e. \({}_{f^{n-1}}E_n / {}_fE_n \simeq (B/gB)^{n-1}\)] d'extension […]. Six lignes de prose serrée, dont seuls les mots donnés se lisent ; la formule entre crochets est nette.

Nous choisirons \(\xi_n =\) […] \((g, 0)\). Alors

Vérifions les propriétés \((a_{n+1})\), \((b_{n+1})\), \((c_{n+1})\).

Le premier résulte […] \((a_n)\) et \(f \cdot A/fA = 0\) Le feuillet s'arrête ici ; la vérification se poursuit page 12.

12la deuxième […] […] voulues : \[E_n = {}_{f^n}E_{n+1},\] Le signe est un \(=\) barré d'un trait oblique ; l'argument qui suit établit l'égalité. […] \(\supset\), donc : […] Soit \(x \in E_n\), \(h \in A\), […] tels qu'il existe \(\lambda \in A\), avec \[f(x,h) = \lambda(\xi_n, f)\] […], […] \(h \in fA\). […], […]. \(f^n h = \lambda f\) […] \(\lambda = f^{n-1}h\), (car \(f\) est \(A\)-régulier)

\(f^n x = \lambda \xi_n\) […] […] i.e.

\(0 = f^{n-1} h \xi_n\), […] \((f^{n-1}\xi_n) \in {}_fE_n\) […],

d'où […] \({}_fE_n = A/fA = B\) […] \(h\)), donc […] […] […] \(\xi_n \notin {}_{f^{n-1}}E_n\) i.e. \(f^{n}\) \(y_n \neq 0\), donc \(h y_n = 0 \Longrightarrow h \in fA\), cqfd. \(y_n\) n'est pas défini sur le feuillet ; le contexte demande \(y_n = f^{n-1}\xi_n\).

Enfin, vérifions […] : \[\begin{align*} E_{n+1}/fE_{n+1} &\simeq (E_n \times A) \big/ \big( f(E_n \times A) + A(\xi_n, f) \big) \\ &\simeq (E_n/fE_n \times A/fA) \big/ A(\bar{\xi}_n, f) \\ &\simeq \big( [B \times (B/gB)^{n-1}] \times B \big) \big/ B(g, 0, 0) \\ &\simeq B/gB \times (B/gB)^{n-1} \times B \simeq B \times (B/gB)^{n}. \end{align*}\]

16De plus la construction […] donne un homomorphisme \[E_n \xrightarrow{\;u_n\;} E_{n+1}\] d'où par […] un […] \[u_n \otimes_A B : E_n/fE_n \longrightarrow E_{n+1}/fE_{n+1}.\] Soit […] […] \(g(E_n/fE_n)\), et […] […] identifié dans \((\)[…] \(E_{n+1}/fE_{n+1} \otimes_B B/gB)\) […] […] […] \(Q_n \otimes B/gB\), […] […] ([…]). Deux lignes entières sont biffées d'un long trait ; \(Q_n\) n'est défini que par la ligne suivante.

Donc \[\varinjlim Q_n = \varinjlim\, Q_n \otimes_B B/gB \simeq \varinjlim\, (B/gB)^{n-1} \simeq (B/gB)^{(\mathbb{N})}.\]

Prenons \(M = \varinjlim E_n\)

[…] \(M\) satisfait aux conditions voulues.

Quatre feuillets de tapuscrit corrigé : groupes de type multiplicatif isotriviaux, 5.9 à 5.16 (pages 17, 15, 13 et 11)

Feuillets numérotés 27 à 30 par le dactylographe, rangés à rebours dans le dossier : la page 17 porte le feuillet 27, la page 15 le feuillet 28, la page 13 le feuillet 29 et la page 11 le feuillet 30. Ils sont donnés ici dans l'ordre du texte, qui se poursuit d'un feuillet à l'autre. Chacun est barré d'un long trait diagonal. Les mots surfrappés par la machine et les mots biffés sont donnés barrés ; les ajouts de la main de Grothendieck sont donnés entre crochets, comme le sont ailleurs les ajouts de l'éditeur. Les numéros des énoncés ont été corrigés à la main sur les quatre feuillets, le chiffre des unités étant repassé (5.8 en 5.9, 5.9 en 5.10, etc.) ; on donne les numéros corrigés. Les versos de ces feuillets portent les notes manuscrites des pages 10, 12, 14 et 16.

17Corollaire 5.9. Les foncteurs 5.7. induisent des anti-équivalences quasi-inverses l'une de l'autre entre la catégorie des groupes de type multiplicatif de type fini [\(H\)] sur \(S\), et la catégorie des groupes constants tordus à engendrement fini [\(R\)] sur \(S\). Tout tel groupe \(R\) est quasi-isotrivial.

Corollaire 5.10. Soient \(H, G\) deux été \(S\)-préschémas en groupes de type multiplicatif et de type fini. Alors \(\underline{\mathrm{Isom}}_{S\text{-gr}}(H,G)\) est représentable par un sous-préschéma ouvert [et fermé] de \(\underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(H,G)\), et c'est un schéma \(S\)-préschéma constant tordu. En particulier, \(\underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-gr}}(H)\) est représentable et est un groupe constant tordu (en général non commutatif) sur \(S\).

Cela résulte de 5.8. et de Exp [VIII] 1.6. Le numéro de l'exposé est repassé à l'encre par-dessus le numéro typographié.

Proposition 5.11. Soient \(S\) un préschéma, \(R\) un groupe constant tordu sur \(S\), \(H = D_S(R)\) le groupe de type multiplicatif qu'il définit. Considérons les conditions suivantes :

(i)\(H\) est isotrivial, (i.e. \(R\) est isotrivial).
(ii)\(R\) est somme disjointe de [réunion de] sous-préschémas \(R_i\), qui sont [à la fois ouverts et fermés,] quasi-compacts (et alors nécessairement finis) sur \(S\).
(iii)Les composantes connexes de \(R\) sont finies sur \(S\).

Alors (i) \(\Longrightarrow\) (ii) \(\Longrightarrow\) (iii), on a [(i) \(\Longleftrightarrow\)] (ii) \(\Longleftrightarrow\) (iii) si \(S\) est localement noethérien, enfin (i) \(\Longleftrightarrow\) (ii) si \(R\) est de à engendrement fini i.e. si \(H\) est de type fini[, du moins si \(S\) est quasi-compact ou si ses composantes connexes sont ouvertes.] L'ajout « (i) \(\Longleftrightarrow\) » est écrit au-dessus de la ligne, avec un trait qui le rattache à l'endroit qui précède « (ii) \(\Longleftrightarrow\) (iii) ».

Démonstration. (i) \(\Longrightarrow\) (ii) Soit \(S'\to S\) fini étale surjectif qui splitte \(H\) donc \(R\), de sorte que \(R'\) est somme Décomposant d'abord \(S\) en préschéma somme de préschémas \(S_i\) sur chacun desquels \(H\) est de type constant (cf Exp [IX] 1), on est ramené au cas où \(H\) est donc donc \(R\) est de type constant. Nous aurons besoin […] d'un

Lemme 5.11.

15Lemme 5.12. Soient \(S\) un préschéma, \(R\) un préschéma constant tordu sur \(S\). Alors tout sous-préschéma fermé […] [\(Z\)] de \(R\) qui est de type fini [quasi-compact] sur \(S\), est fini sur \(S\).

En effet, on est ramené au cas où \(R\) est constant, donc de la forme \(I_S\), où \(I\) est un ensemble, donc réunion filtrante croissante des \(J_S\), où \(J\) parcourt les parties finies de \(I\). On peut supposer de plus \(S\) affine, alors […] \(Z\) est quasi-compact, donc contenu dans un des \(J_S\). Comme \(J_S\) est fini sur \(S\), il en est de même de \(Z\).

Le lemme 5.12. établit déjà l'assertion entre parenthèses dans 5.11. (ii). L'équivalence (ii) et (iii) est [L'implication (ii) \(\Longrightarrow\) (iii), et l'implication inverse] dans le cas \(S\) localement noethérien est alors claire. Prouvons que (i) \(\Longrightarrow\) (ii), pour ceci, soit \(S' \to S\) un morphisme étale fini surjectif qui splitte \(H\) donc \(R\), de sorte que \(R'\) s'écrit comme \(M_{S'} =\) […] \(\coprod_{m \in M} R'_m\), où tout les \(R'_m\) sont des ouverts disjoints de \(R'\), isomorphes à \(S'\). Soit \(g : R' \to R\) la projection, qui est un morphisme fini étale surjectif, [donc un morphisme ouvert et fermé ;] alors les \(R_m = g(R'_m)\) sont des parties à la fois ouvertes et fermées de \(R\), et évidemment quasi-compacts sur \(S\) puisque les \(R_m\) le sont. Enfin, prouvons (ii) \(\Longrightarrow\) (i) [\(S\) quasi compact ou connexe.]

Enfin, prouvons (ii) \(\Longrightarrow\) (i) lorsque \(H\) est de type fini sur \(S\). Soit \(M\) son type, on peut écrire \(M =\) […] \(\mathbb{Z}^r \times N\), où \(r\) est un entier \(\geqslant 0\) et \(N\) un groupe fini. Considérons le préschéma \[P = \underline{\mathrm{Isom}}_{S\text{-gr}}(H,G) \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(H,G) = Q\] où \(G = D_S(M)\), cf 5.8. et 5.10. Alors \(Q\) est isomorphe On a un isomorphisme \[Q \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(G, \underline{G}_m^{\,r}) \times \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(G,N) \simeq R^r \times E,\] où \(E = \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-gr}}(G,N)\) est fini sur \(S\). Il s'ensuit que \(Q\) est somme de [réunion de sous-]préschémas à la fois ouverts et fermés \(Q_i\) finis sur \(S\). De même, Il s'ensuit que [Donc] \(P\) est réunion disj de prés sous-préschémas à la fois ouverts et fermés \(P_i\) [\(= P \cap Q_i\)] finis sur \(S\). Comme ils sont étales sur \(S\), leurs

13images dans \(S\) sont des parties \(S_i\) à la fois ouvertes et fermées, et elles recouvrent \(S\). Si \(S\) est connexe ou quasi-compact, il existe donc un ensemble fini d'indices […] \(i\) tels que les \(S_i\) recouvrent \(S\), soit \(S'\) la réunion des \(P_i\) correspondants, qui est donc tel que [Alors] \(S' \to S\) est [est] fini étale surjectif, et posant \(P' = P \times_S S' = \underline{\mathrm{Isom}}_{S'\text{-gr}}(H',G')\), on voit que \(P'\) a une section sur \(S'\), donc il existe un isomorphisme de \(S'\)-groupes \(H' = H \times_S S' \xrightarrow{\;\sim\;} G' = G \times_S S' = D_{S'}(M)\), ce qui prouve que \(S'\) splitte \(H\). Le cas où les composantes irréductibles [connexes] de \(S\) sont […] ouvertes se ramène aussitôt au cas où \(S\) est connexe. — Remarquons d'ailleurs qu'on peut, lorsque \(H\) est de type fini sur \(S\) […] et de type constant, donner le critère d'isotrivialité suivant (où il n'est plus nécessaire de faire aucune restriction sur \(S\)) : \(R\) est réunion d'une suite de parties à la fois ouvertes et fermées finies sur \(S\).

Lemme 5.13. Soient \(S\) un préschéma localement noethérien et connexe, [\(P\)] un \(S\)-préschéma constant tordu quasi-isotrivial, \(Z\) une partie à la fois ouverte et fermée de [\(P\)], telle qu'il existe un \(s \in S\) tel que [\(Z_s\)] soit fini. Alors [\(Z\)] est fini sur \(S\). Dans cet énoncé les lettres typographiées sont repassées à l'encre : \(R\) corrigé en \(P\) aux deux endroits, et \(R_s\), \(R\) corrigés en \(Z_s\), \(Z\) ; la marge gauche porte « \(Z_s\) » et « \(Z\) » en rappel.

[Ne supposons pas d'abord \(S\) connexe :] […] \(S\) est supposé connexe, et soit \(U\) l'ensemble des \(s \in S\) tels que \(Z_s\) soit fini, nous allons prouver que \(U\) est à la fois ouvert et fermé, et que \(Z|U\) est fini sur \(U\). C'est là évidemment un […] énoncé essentiellement équivalent à 5.13. mais qui a l'avantage d'être « de nature locale » sur \(S\) pour la topologie étale (disons), ce qui nous ramène au cas où [\(P\)] est constant, i.e. de la forme \(I_S\), où \(I\) est un ensemble. (NB l'hypothèse localement noethérienne n'est pas perdue par un changement de base étale ; c'est là où on utilise la quasi-isotrivialité de [\(P\)] sur \(S\)). On peut de plus supposer \(S\) connexe, Mais alors

11[…] puisque ses composantes connexes sont ouvertes (\(S\) étant localement noethérien). Mais alors on a nécessairement \(Z = J_S\), où \(J\) est une partie de \(I\), et on a […] donc \(U = \emptyset\) ou \(U = S\), suivant que \(J\) est infini ou fini, ce qui donne la conclusion voulue.

Corollaire 5.14. Soi[ent] \(S\) un préschéma localement noethérien et normal, [\(P\)] un \(S\)-préschéma localement constant tordu quasi-isotrivial. Alors les composantes connexes de [\(P\)] sont finies sur \(S\).

Comme [\(P\)] est étale sur \(S\), on sait que [\(P\)] est normal (SGA I 9.5.) donc ses composantes irréductibles connexes sont ses composantes irréductibles. On peut évidemment supposer \(S\) connexe donc irréductible, soit \(s\) son point générique. Comme \(R\) est plat sur \(S\), ses points maximaux, i.e. les points génériques \(x_i\) des composantes irréductibles \(R_i\) de \(R\), sont les points maximaux de \(R_s\), et la fibre dans générique \(R_{i\,s}\) de \(R_i\) est la composante irréductible de \(R_s\), adhérence de \(x_i\) dans \(R_s\). Or \(R_s\) étant étale sur \(k(s)\), est somme disjointe de spectres d'extensions finies séparables de \(k(s)\), donc les pour tout \(i\), \(R_{i\,s}\) est fini (en fait, réduit à un seul point). Donc 5.13. s'applique et montre que les \(R_i\) sont finis sur \(S\). Dans l'énoncé de 5.14 le \(R\) typographié est corrigé en \(P\), mais la démonstration garde \(R\) ; on transcrit tel quel.

Remarque 5.15. Le raisonnement s'applique, plus généralement, si on suppose seulement \(S\) géométriquement unibranche au lieu de normal, i.e. que le morphisme canonique \(\widetilde{S} \to S\), où \(\widetilde{S}\) est le normalisé de \(S_{\text{réd}}\), est radiciel. Donc le théorème 5.16. ci-dessous est valable également sous cette condition plus générale.

Théorème 5.16. Soit \(S\) un préschéma localement noethérien normal. Alors tout groupe de type multiplicatif quasi-isotrivial [et de type fini] sur \(S\) […] est isotrivial.

On peut supposer en effet [\(S\) connexe, donc] \(H\) de type constant \(M\). [[Il suffit d'appliquer 5.13. avec \(P = \underline{\mathrm{Isom}}_{S\text{-gr}}(H,G)\), où \(G = D_S(M)\), en raisonnant comme dans 5.11. (ii) \(\Longrightarrow\) (i) […], en utilisant 5.14 pour \(R = D_S(H)\).]] Le crochet et ses deux lignes manuscrites sont au bas du feuillet, la seconde entièrement de la main de Grothendieck ; en marge, un « M » cerclé et « 5.11. ».

Théorèmes de M. Artin sur cd (page 19)

Le titre est de la main de Grothendieck, sur la chemise qui précède (page 18) : « Théorème de M. Artin sur cd ». La page 19 porte en tête, de sa main et souligné, « Théorèmes de M. Artin ». Le feuillet suivant du dossier (page 21, batch 2) poursuit avec les Corollaires 2 et 3.

19[…] ?! Note marginale de quatre lignes, écrite en biais dans la marge gauche à hauteur du Théorème 1, qui se termine par « ?! » ; le reste est illisible.

Th. 1 Soit \(K\) une extension de type fini de \(\mathbb{Q}\), Conditions équivalentes :

(i)\(-1\) est une somme de carrés dans \(K\)
(i bis)\(K\) n'admet pas de structure de corps ordonné
(i ter)\(K\) n'est pas isomorphe à un sous-corps de \(\mathbb{R}\)
(ii)Il existe un modèle \(X\) de \(K\) qui n'a pas de pt simple réel.

Sur la ligne (ii), « \(X\) un modèle » est écrit au-dessus, relié par un trait courbe à la fin de la ligne ; suit un bloc de trois lignes encadré et barré de deux traits obliques :

(ii bis) Tout modèle \(X\) de \(K\) est sans point simple réel. (ii ter) Il existe un modèle [propre] sans point simple simple, sans pt réel. (ii quater) Tout modèle (propre) simple est sans pts réels.

(ii bis)(si \(X\) est un modèle) \(\dim X(\mathbb{R}) < n = \deg.\ \text{tr.}\ K/\mathbb{Q}\) « topologique » est cerclé et inséré au-dessus de \(\dim\).
(ii ter)\(X(\mathbb{R})\) contenu dans rare dans \(X_{\mathbb{C}}\) dans une partie […] top. de Zariski.
(ii quater)(si \(X\) simple \(/\mathbb{Q}\)) \(X(\mathbb{R}) = \emptyset\)
(iii)\(cd_2(K) < +\infty\)
(iii bis)(si \(X_{\mathbb{R}}\) simple sur \(\mathbb{R}\)) L'indice de \(X\) est douteux. \(cd_2(X) < +\infty\)

Sous « (iii bis) », une seconde étiquette est grattée jusqu'à être illisible.

Corollaire 1 Soit \(X\) un préschéma resp. un de type fini sur \(\mathbb{Z}\) (resp. sur \(\mathbb{Q}\)) Conditions équivalentes :

(i)\(X(\mathbb{R}) = \emptyset\)
(ii)\(cd_2(X) < +\infty\)
(ii bis)\(cd_2(X) \leqslant 2\dim X + 1\) (resp. \(\leqslant 2\dim X + 2\)) L'étiquette « (ii bis) » est biffée avec la ligne.
(iii)\(cd_2(X_{\mathbb{Q}}) < +\infty\)

S'il en est ainsi, on a

(iv)\(cd_2(X_{\mathbb{R}}) < +\infty\)

Alors \[cd(X) < 2\dim X + 1, \qquad cd(X_{\mathbb{Q}}) \leqslant 2\dim X_{\mathbb{Q}} + 2, \qquad cd(X_{\mathbb{R}}) \leqslant 2\dim X\] Les deux dernières inégalités sont écrites en bas de page, l'une sous l'autre ; le premier signe est un \(<\), les deux autres des \(\leqslant\). L'énoncé se poursuit page 21.