Cote n° 31 · pages 1–100 · Lecture modernisée · SGA A [SGA 4] (Résidus de rédaction) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [1963-1973]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–100

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier n'est pas ordonné, mais il est orienté. Voici ses stations, dans l'ordre où le lecteur les rencontrera, et ce que chacune apporte à la question centrale.

• La dimension cohomologique d'un corps — pages 2 à 8 (en caractéristique \(p\), pour la topologie fppf), 19 à 22 (les corps réels, où elle est infinie), 46 à 51 (les corps de fonctions, où elle vaut la dimension). C'est le socle : tout le reste s'y ramène par fibration.
• Les outils, et un contre-exemple — pages 24 à 30 (quand les groupes de Čech calculent la vraie cohomologie), 41 à 44 (comment une trace inversible annule une cohomologie), 54 à 61 (pourquoi un faisceau injectif ne reste pas acyclique sur un fermé : la réponse est non, et c'est une obstruction à la méthode évidente), 34 à 38 (asphéricité et torsion), 10 à 16 (un module dont un quotient cesse d'être de type fini).
• La dimension cohomologique des schémas affines — pages 64 à 70 (la fonction \(\varphi\), qui remplace un entier par une fonction sur les points), 73 à 80 (les deux théorèmes de finitude et leur récurrence croisée, dont sort l'annulation d'Artin à la page 76), 81 à 84 (les conjectures qui restent).
• Deux conséquences géométriques — pages 89 et 90 (Lefschetz faible, qui consomme l'annulation affine), 92 à 98 (la spécialisation et l'asphéricité locale des morphismes lisses).
• Les feuillets de tapuscrit corrigés — pages 11 à 17, 25 à 27, 71, 83 à 87. Ils ne sont pas de ce dossier-ci : ce sont des épreuves d'autres exposés, sur les groupes de type multiplicatif et sur la complétion formelle, qu'il a corrigées à la plume et dont il a utilisé les dos pour écrire le reste. On les donne parce qu'ils portent sa main, et à part parce qu'ils ne sont pas sur le même sujet.

Deux fils secondaires traversent le dossier sans s'y raccorder : un feuillet au crayon sur les normes et l'imperfection (page 60) et une note sur une suite spectrale (page 100). Ils sont donnés pour eux-mêmes à la fin.

Les conventions

Schémas. Le manuscrit dit « préschéma » là où l'on dit aujourd'hui « schéma » ; il est antérieur au changement de vocabulaire d'EGA, où « schéma » désignait encore le cas séparé. On écrit « schéma ».

Espaces affines. Le manuscrit écrit \(E^d_k\) pour l'espace affine de dimension \(d\) sur \(k\), et \(Y[t_1, \dots, t_r]\) pour l'espace affine relatif de dimension \(r\) sur \(Y\). On écrit \(\mathbf{A}^d_k\) et \(\mathbf{A}^r_Y\).

Le nombre \(\operatorname{cd}\). Pour un schéma \(X\) et un nombre premier \(\ell\), \(\operatorname{cd}_{\ell}(X)\) est le plus petit \(n\) tel que \(H^i(X,F) = 0\) pour \(i > n\) et tout faisceau étale de \(\ell\)-torsion \(F\) ; pour un corps \(k\), \(\operatorname{cd}_{\ell}(k)\) est celui de son groupe de Galois absolu. Sauf mention contraire \(\ell\) est inversible sur le schéma considéré : c'est l'hypothèse sans laquelle rien de ce qui suit ne vaut.¹ Les pages 2 à 8 font exception et travaillent au contraire en la caractéristique, pour la topologie fppf ; on y revient là.

Cohomologie de Tate. \(\widehat{H}^q(G,M)\) désigne, pour \(G\) fini, les groupes de Tate, définis pour tout \(q \in \mathbf{Z}\) ; \(\widehat{H}(G,M) = 0\) sans exposant signifie : pour tout \(q\).

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

Un chantier laisse des chantiers. Ceux-ci sont nommés ici une fois pour toutes, pour qu'on ne les cherche pas dans le corps de la lecture :

• le Lemme 3 de la page 8, sur \(\operatorname{cd}^{\mathrm{add}}_p(k)\), s'arrête sur « se dévisse en groupes \(\alpha_p\) » et n'est pas démontré ;
• à la page 42, les conditions b\('\)), b(\(q\)) et b\('\)(\(q\)) sont nommées et leurs énoncés jamais écrits ;
• la page 48 s'interrompt sur « Supposons que \(k\) soit quelconque » ;
• la démonstration du Th. 3 de la page 38 s'arrête à sa première ligne ;
• le feuillet de tapuscrit de la page 25 casse au milieu du mot « à l'aide » ;
• la récurrence sur \(r\) ouverte à la page 80 n'est pas conduite ;
• la conjecture 1 bis) de la page 84 est écrite trois fois, chaque version raturant la précédente, et n'est pas arrêtée ;
• la Question marginale de la page 69 et celle de la page 22 (« cette restriction est-elle essentielle ??? ») restent ouvertes dans le dossier.

2–8

La dimension cohomologique d'un corps

En la caractéristique, pour la topologie fppf (pages 2 à 8)

Les premières pages posent la question dans le cas où elle est le plus rétive : \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\), et l'on veut borner la cohomologie à coefficients de \(p\)-torsion. La cohomologie étale y est aveugle — un \(p\)-groupe infinitésimal n'a pas de points étales — et il faut travailler dans la topologie fidèlement plate de présentation finie.

On note \(\operatorname{cd}^{!}_p(k)\) la dimension cohomologique calculée avec les \(k\)-schémas en groupes commutatifs finis d'ordre une puissance de \(p\). Tout tel groupe \(G\) se dévisse en trois étages \[ G' \subset G'' \subset G, \qquad G'' = G^{\circ}, \] où \(G/G''\) est étale, \(G'\) est infinitésimal de type multiplicatif, et \(G''/G'\) infinitésimal de type additif. D'où :

Lemme 1. \(\operatorname{cd}^{!}_p(k) \leqslant n\) si et seulement si \(H^i(k,G) = 0\) pour \(i > n\) pour les \(G\) de chacun des trois types : étale, infinitésimal de type multiplicatif, infinitésimal de type additif.²

Le cas étale se règle d'un mot : \(\operatorname{cd}^{\text{ét}}_p(k)\) vaut \(0\) ou \(1\) selon que \(k\) n'a pas, ou a, une extension séparable finie de degré divisible par \(p\).

Le cas multiplicatif occupe les pages 4 à 8. Un groupe infinitésimal de type multiplicatif est le dual d'un groupe fini étale, lequel est quotient d'un module galoisien libre de type fini sur \(\mathbf{Z}\) ; dualement, \(G\) se plonge dans un tore, et l'on a une suite exacte \[ 0 \longrightarrow G \longrightarrow T \longrightarrow T' \longrightarrow 0 \] avec \(T\), \(T'\) des tores. D'où :

Lemme 2. \(\operatorname{cd}^{\mathrm{t.m.}}_p(k) \leqslant n\) si et seulement si, pour tout tore \(T\) sur \(k\), la composante \(p\)-primaire \(H^i(k,T)(p)\) est nulle pour \(i > n\) et \(p\)-divisible pour \(i = n\). De façon équivalente, pour toute extension séparable finie \(k'\) de \(k\) : \(H^i(k', \mathbf{G}_m) = 0\) pour \(i > n\), et \(H^n(k', \mathbf{G}_m)\) est \(p\)-divisible.

La nécessité se lit sur la suite de Kummer \(0 \to {}_pT \to T \xrightarrow{p} T \to 0\). Pour la suffisance, on descend à une extension \(k'\) de degré premier à \(p\) : par le lemme de Shapiro,³ \[ H^i\Bigl(k, \prod\nolimits_{k'/k} G'\Bigr) \simeq H^i(k', G'), \] l'homomorphisme \(\prod_{k'/k} G_{k'} \to G\) est un épimorphisme, et le transfert permet de conclure sur \(G\) dès qu'on conclut sur \(G_{k'}\). On est ainsi ramené au cas où \(G\) est scindé par une \(p\)-extension, donc se dévisse en copies de \(\mu_p\), et tout revient à \(H^{n+1}(\mu_p) = 0\), qui se lit sur \(0 \to \mu_p \to \mathbf{G}_m \to \mathbf{G}_m \to 0\).

Reste le cas additif, dont la page annonce la réponse sans la démontrer :

Lemme 3. \(\operatorname{cd}^{\mathrm{add}}_p(k)\) vaut \(0\) si \(k\) est parfait, \(1\) sinon.⁴

19–22

Les corps réels, où la dimension est infinie (pages 19 à 22)

Deux pages, écrites au net sous le titre « Théorèmes de M. Artin », enregistrent la pathologie qui gouverne tout le reste du dossier : il existe des corps dont la dimension cohomologique en \(2\) est infinie, et l'on sait exactement lesquels.

Théorème 1. Soit \(K\) une extension de type fini de \(\mathbf{Q}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)\(-1\) est une somme de carrés dans \(K\) ;
2. (i bis)\(K\) n'admet aucune structure de corps ordonné ;
3. (i ter)\(K\) n'est isomorphe à aucun sous-corps de \(\mathbf{R}\) ;
4. (ii)il existe un modèle \(X\) de \(K\) sans point réel lisse ;
5. (ii bis)\(\dim X(\mathbf{R}) < \deg\operatorname{tr} K/\mathbf{Q}\), la dimension étant la dimension topologique ;
6. (ii ter)\(X(\mathbf{R})\) est rare dans \(X_{\mathbf{C}}\) ;
7. (ii quater)si \(X\) est lisse sur \(\mathbf{Q}\), \(X(\mathbf{R}) = \emptyset\) ;
8. (iii)\(\operatorname{cd}_2(K) < +\infty\).

L'équivalence des quatre premières est le théorème d'Artin–Schreier : un corps est ordonnable si et seulement si \(-1\) n'y est pas somme de carrés. Ce qui est neuf est le raccord avec (iii) : un corps ordonnable a un élément d'ordre \(2\) dans son groupe de Galois absolu — la conjugaison complexe d'une clôture réelle — et un groupe profini ayant de la torsion a une dimension cohomologique infinie.⁵

Corollaire 1. Soit \(X\) un schéma de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Sont équivalents : \(X(\mathbf{R}) = \emptyset\) ; \(\operatorname{cd}_2(X) < +\infty\) ; \(\operatorname{cd}_2(X_{\mathbf{Q}}) < +\infty\). Et alors \[ \operatorname{cd}(X) < 2\dim X + 1, \qquad \operatorname{cd}(X_{\mathbf{Q}}) \leqslant 2\dim X_{\mathbf{Q}} + 2, \qquad \operatorname{cd}(X_{\mathbf{R}}) \leqslant 2\dim X. \]

Corollaire 3. Pour \(X\) de type fini sur \(\mathbf{R}\), la finitude de \(\operatorname{cd}_2(X)\) équivaut encore à \(X(\mathbf{R}) = \emptyset\), et l'on a alors, pour tout faisceau étale \(F\), \[ H^i(X,F) \simeq H^i\bigl(X(\mathbf{C})/(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}),\, F\bigr) \] — la cohomologie ordinaire du quotient de l'espace des points complexes par la conjugaison — et \(\operatorname{cd}_2(X) \leqslant 2\dim X\).

Vient ensuite l'énoncé qui servira au dossier tout entier, et qui dit combien de cohomologie on gagne en montant en degré de transcendance :

Théorème 2. Soient \(k\) un corps et \(r\) un nombre premier. Sont équivalents :

1. (i)pour toute extension de type fini \(k'\) de \(k\), \(\operatorname{cd}_r(k') = \operatorname{cd}_r(k) + \deg\operatorname{tr} k'/k\) ;
2. (i bis)la même égalité pour la seule extension \(k' = k(\sqrt{-1})\) ;
3. (iii)on n'est pas dans le cas d'exception : \(k\) ordonnable (donc de caractéristique \(0\)), \(r = 2\), et \(\operatorname{cd}_2(k(\sqrt{-1})) < +\infty\).

La marge énumère les cas où la condition est acquise sans avoir à la vérifier : \(\operatorname{car} k > 0\) ; \(r \neq 2\) ; \(-1\) somme de carrés dans \(k\) ; \(\operatorname{cd}_2 k(\sqrt{-1}) < +\infty\).⁶

Corollaire. Soit \(A\) un anneau local noethérien intègre, de corps des fractions \(K\) et de corps résiduel \(k\). Alors, pour tout premier \(r\), \[ \operatorname{cd}_r(K) \geqslant \operatorname{cd}_r(k) + \dim A, \] à deux exceptions possibles près : \(r\) égale la caractéristique de \(K\) ; ou bien \(r = 2\) et il existe \(x \in \operatorname{Spec}(A)\) dont le corps résiduel \(k(x)\) est ordonnable avec \(\operatorname{cd}_2 k(x)(\sqrt{-1})\) fini. La marge donne l'exemple qui montre que le second cas se produit : \(A = \mathbf{R}[X,Y]/(X^2+Y^2)\) localisé. Si \(A\) est caténaire et universellement japonais, l'exception se précise : c'est \(k\) lui-même qui doit être réel. Si \(A\) est régulier, elle disparaît et l'inégalité vaut sans réserve.

Et, dans la marge, en travers : cette restriction est-elle essentielle ??? Le dossier ne répond pas.

46–51

Les corps de fonctions, où la dimension vaut la dimension (pages 46 à 51)

Quinze pages plus loin, le dossier reprend la même question par l'autre bout, du côté où la réponse est bonne. La Proposition de la page 46 caractérise l'annulation de la cohomologie galoisienne au-delà d'un rang \(n\) par quatre conditions de plus en plus maniables : elle vaut pour tous les groupes algébriques commutatifs si et seulement si elle vaut pour les groupes finis, si et seulement si elle vaut pour les groupes des éléments inversibles des algèbres commutatives séparables.⁷

Les dévissages qui la démontrent sont instructifs et tiennent en trois gestes. Pour passer des groupes finis à tous les groupes algébriques commutatifs : on sépare la partie unipotente, on utilise que la décomposition en parties semi-simple et unipotente est définie sur \(k\), et l'on se ramène à trois cas — unipotent, à éléments semi-simples, commutatif complet. Dans les deux derniers, on passe au sous-groupe \(\mathcal{U}\) des éléments d'ordre fini : le quotient \(G/\mathcal{U}\) est divisible, donc sans cohomologie, d'où \(H^i(\mathfrak{g}, G) \simeq H^i(\mathfrak{g}, \mathcal{U})\) pour \(i \geqslant 1\), et \(\mathcal{U}\) est réunion filtrante de ses sous-groupes finis \({}_n\mathcal{U}\), où l'hypothèse s'applique.⁸ Pour le cas unipotent, on distingue la caractéristique nulle — où \(G \simeq \mathbf{G}_a^n\) déjà sur \(k\), car \(H^1(k, \mathrm{GL}(n)) = 0\) — et la caractéristique \(p\), où la filtration \(G \supset pG \supset \cdots\) a tous ses crans définis sur \(k\) et ramène à \(pG = 0\).

Puis les deux lemmes qui donnent la réponse pour les corps de fonctions.

Lemme 1 (Tsen). Soient \(k\) algébriquement clos et \(K\) une extension de type fini de \(k\), de degré de transcendance \(1\). Alors \(K\) est quasi-algébriquement clos : toute forme homogène de degré \(d\) en plus de \(d\) variables y a un zéro non trivial.

Corollaire 1. \(H^i(K, \mathbf{G}_m) = 0\) pour \(i \geqslant 1\). En particulier le groupe de Brauer de \(K\) est nul.⁹

Corollaire 2. \(H^i(K, \Gamma) = 0\) pour \(i > 1\) et tout module galoisien fini \(\Gamma\) ; autrement dit \(\operatorname{cd}(K) \leqslant 1\).¹⁰

Lemme 2. Soit \(k\) un corps tel que \(H^i(k', \Gamma) = 0\) pour \(i > n\) et toute extension de type fini \(k'\) de \(k\). Alors \(H^i(K, \Gamma) = 0\) pour \(i > n+1\) dès que \(K\) est de degré de transcendance \(\leqslant 1\) sur \(k\).

La démonstration est le mécanisme même de tout le dossier, dans sa forme la plus simple. On intercale entre \(k\) et \(K\) le composé avec une clôture algébrique, d'où une suite exacte de groupes de Galois \[ e \longrightarrow G' \longrightarrow G \longrightarrow G'' \longrightarrow e \] et sa suite spectrale \(H^i\bigl(G'', H^j(G', \Gamma)\bigr) \Rightarrow H^{*}(G, \Gamma)\). Le Lemme 1 tue les \(j > 1\) ; l'hypothèse tue les \(i > n\) ; il ne reste rien au-dessus de \(n+1\).

Corollaire. Si \(K\) est un corps de fonctions algébriques de dimension \(n\) sur un corps algébriquement clos, \(\operatorname{cd}(K) \leqslant n\).

C'est le socle annoncé. Il dit que, du côté géométrique, un corps se comporte comme sa dimension le laisse espérer ; toute la difficulté restante est de passer d'un corps à un schéma.

24–30

Les outils, et un contre-exemple

Le lemme de Cartan : quand Čech suffit (pages 24 à 30)

Pour calculer une cohomologie il faut une résolution injective, qu'on n'a jamais. Ce qu'on a, ce sont des recouvrements et les groupes de Čech qu'ils produisent, calculables à la main. La question de savoir quand les seconds donnent la première est donc préalable à tout, et le dossier la règle sous un nom que Grothendieck lui donne lui-même — le lemme de Cartan.

Soient \(T\) un site, \(F\) un faisceau abélien sur \(T\), \(n\) un entier, et \(\mathcal{M}\) une classe d'objets de \(T\) satisfaisant deux conditions : \(\mathcal{M}\) est stable par produits fibrés, et pour tout \(S \in \mathcal{M}\) les recouvrements de \(S\) par des objets de \(\mathcal{M}\) sont cofinaux parmi tous les recouvrements de \(S\).

Lemme de Cartan. Sous ces conditions, les énoncés suivants sont équivalents, chacun pour \(0 < i \leqslant n\) :

1. (i)\(H^i(S,F) = 0\) pour tout \(S \in \mathcal{M}\) ;
2. (ii)\(\check{H}^i(\mathcal{U},F) = 0\) pour tout \(S \in \mathcal{M}\) et tout recouvrement \(\mathcal{U}\) de \(S\) par des objets de \(\mathcal{M}\) ;
3. (iii)\(\varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^i(\mathcal{U},F) = 0\), la limite portant sur ces mêmes recouvrements.

Tout passe par une seule suite spectrale, celle qui compare Čech au foncteur dérivé : \[ E_2^{pq} = \check{H}^p\bigl(\mathcal{U}, \mathcal{H}^q(F)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(S,F), \] où \(\mathcal{H}^q(F)\) est le préfaisceau \(U \mapsto H^q(U,F)\). Sous (i) les lignes \(0 < q \leqslant n\) sont nulles, d'où \(\check{H}^i(\mathcal{U},F) \simeq H^i(S,F)\) pour \(i \leqslant n\) et donc (ii) ; (ii) \(\Rightarrow\) (iii) est trivial ; et (iii) \(\Rightarrow\) (i) se fait par récurrence sur \(n\), en observant qu'à l'étape \(n\) l'hypothèse de récurrence annule les colonnes \(0 < q < n\), l'hypothèse (iii) la ligne \(q = 0\) pour \(0 < p \leqslant n\), et la définition d'un faisceau la colonne \(p = 0\) pour \(q > 0\) : il ne reste aucun terme sur la diagonale \(p+q = n\).¹¹

La page 28 pousse plus loin et demande non plus l'annulation mais l'identification : quand a-t-on \(\varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^i(\mathcal{U},F) \simeq H^i(S,F)\) pour \(i \leqslant n\) ? On introduit pour cela le préfaisceau \[ \overline{H}^q(F)(T) = \varinjlim_{\mathcal{V}} \check{H}^q(\mathcal{V}, F), \] \(\mathcal{V}\) parcourant les recouvrements de \(T\) par des objets de \(\mathcal{M}\) — autrement dit la version « déjà passée à la limite » de \(\mathcal{H}^q(F)\). La condition suffisante est l'annulation de \(\varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{H}^q(F))\), et de même avec \(\overline{H}^q(F)\), pour \(q > 0\) et \(p+q \leqslant n\).¹² Deux variantes au niveau des cochaînes, (iii bis) et (iii ter), disent la même chose de façon vérifiable : toute cochaîne de \(C^p(\mathcal{U}, \mathcal{H}^q(F))\) s'annule sur un raffinement.

La page 30 démontre le circuit, de nouveau par récurrence sur \(n\) et de nouveau sur la même suite spectrale, et le referme par un diagramme :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\text{(ii)} \arrow[d, Rightarrow] \arrow[dr, Rightarrow] & & \text{(iii bis)} \arrow[ll, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] \\
\text{(i)} & \text{(iii)} \arrow[l, Rightarrow] & \text{(iii ter)} \arrow[l, Rightarrow]
\end{tikzcd}

41–44

La trace, ou comment tuer une cohomologie (pages 41 à 44)

Le deuxième outil est un principe d'une simplicité désarmante, et c'est lui qui justifie toutes les hypothèses « \(\ell\) premier à » du dossier.

Soient \(B\) un anneau unitaire, \(G\) un groupe fini d'automorphismes de \(B\), et \(A = B^G\). On pose \(\operatorname{Tr}_G b = \sum_{g \in G} gb\).

Proposition. Sont équivalents :

• a)\(A = \operatorname{Tr}_G B\) ;
• a\('\))\(1 \in \operatorname{Tr}_G B\) ;
• b)\(\widehat{H}(G,M) = 0\) pour tout \((G,B)\)-module \(M\) ;
• b(\(q\)))la même annulation en un seul degré \(q\).

Le ressort est une ligne. Si \(\varphi_M(b)\) désigne l'homothétie de rapport \(b\) dans \(M\), on a \(g\,\varphi_M(b)\,g^{-1} = \varphi_M(gb)\), donc \(\varphi_M(\operatorname{Tr}_G b) = \operatorname{Tr}_G \varphi_M(b)\) ; et une homothétie dont le rapport est une trace agit par zéro sur la cohomologie de Tate. Si donc \(1\) est une trace, l'identité de \(\widehat{H}(G,M)\) est nulle, et le groupe l'est aussi. Le passage d'un degré au suivant se fait sur la suite exacte \[ 0 \longrightarrow M \longrightarrow M \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[G] \longrightarrow N \longrightarrow 0, \qquad m \longmapsto \sum_g m \otimes g, \] dont le terme du milieu est induit, donc de cohomologie de Tate nulle : d'où \(\widehat{H}^{q+1}(G,M) \simeq \widehat{H}^{q}(G,N)\) et la récurrence dans les deux sens.

La page 42 en donne la forme relative, pour \(G' \subset G\) et \(A' = B^{G'}\), avec le transfert \(t(G,G')\). Et elle énonce le théorème dont tout le reste descend :

Théorème. Soient \(G\) fini, \(G' \subset G\), et \(M\) un \(G\)-module tel que l'identité de \(M\) s'écrive \(1 = \operatorname{Tr}_{G/G'}\varphi\) pour un \(\varphi \in \operatorname{Hom}_{G'}(M,M)\). Alors le transfert \(\widehat{H}(G',M) \to \widehat{H}(G,M)\) est surjectif, la restriction \(\widehat{H}(G,M) \to \widehat{H}(G',M)\) est injective, et son image est le sous-groupe des éléments stables \(\widehat{H}(G',M)^{G}\).

Suit, entre parenthèses et de sa main : « Ceci contient le Th. sur les groupes de Sylow ». C'est exact — en prenant pour \(G'\) un \(p\)-Sylow, l'indice \([G:G']\) est premier à \(p\) et l'hypothèse est acquise sur la composante \(p\)-primaire. La marge indique l'autre application visée : prendre \(G' = G_i\), le groupe d'inertie.

C'est ce que fait la page 43. Soit \(G\) un groupe fini d'automorphismes d'un anneau local \(\mathcal{O}\), transitif sur les idéaux maximaux ; soient \(G_d\) le groupe de décomposition de \(\mathfrak{m}_0\) et \(G_i \subset G_d\) le groupe d'inertie, noyau de l'action sur le corps résiduel. S'il existe \(x \in \mathcal{O}^{G_i}\) avec \(\operatorname{Tr}_{G/G_i} x = 1\), alors pour tout module \(M\) \[ \widehat{H}(G,M) = \widehat{H}(G_i,M)^{G/G_i}, \] et \(\widehat{H}(G,M) = 0\) pour tout \(M\) si et seulement si l'ordre de \(G_i\) n'est pas divisible par la caractéristique résiduelle \(p\). C'est l'énoncé classique : une extension modérément ramifiée est cohomologiquement triviale. En particulier, si \(G_i\) est trivial — extension non ramifiée — \(H^1(G, \mathcal{O}^{*}) = \{e\}\).

La page se ferme sur un carré de comparaison entre \(\widehat{H}(G,M)\), \(\widehat{H}(G_i,M)^{G/G_i}\), \(\widehat{H}(G_d,M)^{G/G_d}\) et \(\widehat{H}(G_d, M_{\mathfrak{m}_0})\), dont deux flèches sont annotées en marge : « injectifs, à images denses ». Et, à côté du corollaire : Comment voir ça ?

54–61

Un faisceau injectif ne reste pas acyclique sur un fermé (pages 54 à 61)

Voici la page où le dossier essuie un refus, et c'est l'une des plus utiles.

La méthode évidente pour calculer la cohomologie d'un fermé \(Y \subset X\) est de prendre une résolution injective sur \(X\) et de la restreindre. Elle marche si la restriction d'un injectif est acyclique. La page 54 pose la question : \(X\) un espace topologique, \(Y\) un fermé, \(F\) un faisceau injectif sur \(X\), a-t-on \(H^i(Y, F|Y) = 0\) pour \(i > 0\) ?

Réponse négative.

La raison de fond est formelle et vaut la peine d'être dite, car la page la laisse implicite. Pour une immersion fermée \(i : Y \to X\), l'image directe \(i_{*}\) est exacte et admet \(i^{-1}\) pour adjoint à gauche ; c'est pourquoi \(i_{*}\) préserve les injectifs. Mais \(i^{-1}\) n'a pas d'adjoint à gauche exact — l'extension par zéro est adjointe à gauche de \(i^{-1}\) pour une immersion ouverte, pas fermée — et rien ne fait donc de \(i^{-1}F\) un injectif, ni même un acyclique.

Le dossier ne raisonne pas ainsi : il construit. Et il commence par montrer que la chose casse déjà au degré \(0\).

Exemple 1. Soit \(X\) un espace irréductible et \(Y = \{a,b\}\) un fermé formé de deux points fermés distincts. Alors \(Y\) est discret, et une section de \(F|Y\) vaut \(0\) en \(a\) et \(1\) en \(b\) sans provenir d'aucune section sur un voisinage de \(Y\) : car un tel voisinage contiendrait un ouvert autour de \(a\) et un ouvert autour de \(b\), et dans un espace irréductible deux ouverts non vides se rencontrent. L'homomorphisme \[ \varinjlim_{U \supset Y} H^0(U,F) \longrightarrow H^0(Y, F|Y) \] n'est donc pas surjectif, quelque injectif que soit \(F\).¹³

Exemples 2 et 3 varient le motif — un cercle coupé par une droite en deux points, puis deux droites se coupant en un point, avec le faisceau des fonctions à valeurs dans \(\mathbf{Q}\) — et montrent que passer à un \(Y\) irréductible ne suffit pas à sauver la situation.

Exemple 4 donne enfin le contre-exemple à la question elle-même. Soit \(Y = Y_1 \cup Y_2\), réunion de deux courbes irréductibles se coupant en deux points \(a\) et \(b\), dans un \(X\) irréductible ; \(F\) le faisceau des fonctions de \(X\) dans \(\mathbf{Q}\). La suite de Mayer–Vietoris donne \[ H^0(Y_1, F_1) \times H^0(Y_2, F_2) \longrightarrow H^0(Y_{12}, F_{12}) \longrightarrow H^1(Y, F|Y) \longrightarrow 0 \] avec \(H^0(Y_{12}, F_{12}) = F_a \times F_b\). L'élément \((0,1)\) ne provient pas du terme de gauche : s'il en provenait, deux sections \(\varphi_1, \varphi_2\) coïncideraient au voisinage de \(a\) et différeraient de \(1\) au voisinage de \(b\), et les deux voisinages se rencontrent puisque \(X\) est irréductible — d'où \(0 = 1\). Donc \(H^1(Y, F|Y) \neq 0\) pour un \(F\) injectif, ce qu'il fallait produire. La page 58 relève l'exemple en dimension \(2\), avec un \(Y\) irréductible, en coupant \(X\) par un plan qui recoupe \(Y\) en deux composantes.

La Proposition des pages 59 et 61 tire la morale positive : pour un faisceau abélien \(F\) sur un espace noethérien, l'annulation de \(H^i(U,F)\) pour tout ouvert \(U\) et tout \(i > 0\), l'annulation des groupes de Čech de tout recouvrement, et la flasquité sont équivalentes.¹⁴ La dernière implication est celle que la page 61 achève : on plonge \(F\) dans un flasque \(C^0\), l'hypothèse fait de la suite une suite exacte de flasques, donc \(C^1\) est flasque comme \(C^0\), donc la résolution calcule la cohomologie, et les \(H^i(U,F)\) s'annulent au-delà du premier cran par décalage.

34–38

Asphéricité et torsion (pages 34 à 38)

Cinq feuillets à l'encre bleue, d'une main qui n'est pas la sienne et sous l'en-tête « GRÖTHENDIECK. », enregistrent un résultat d'un genre différent : il n'y est question ni de schémas ni de cohomologie étale, mais de groupes opérant sur des ensembles simpliciaux. Il est là parce qu'il fournit le mécanisme par lequel un quotient par un groupe fini ne fait apparaître que de la torsion contrôlée — le même mécanisme, au fond, que la trace de la page 41.

Théorème 1. Soient \(E\) un ensemble simplicial connexe, \(G\) un groupe discret opérant sur \(E\) par transformations simpliciales, \(B = E/G\) le quotient et \(p : E \to B\) la projection. Alors l'image de \(p_{*} : \pi_1(E) \to \pi_1(B)\) est distinguée, et \[ \pi_1(B)/\operatorname{im} p_{*} \simeq G/S, \] où \(S\) est le sous-groupe distingué de \(G\) engendré par les stabilisateurs des sommets ; \(E/S\) est le revêtement de \(B\) correspondant à \(\operatorname{im} p_{*}\).

La démonstration construit directement l'isomorphisme : un \(g \in G\) étant donné, on choisit un chemin de \(x_0\) à \(g x_0\), sa projection est un lacet de \(B\), et sa classe modulo \(\operatorname{im}\pi_1(E)\) ne dépend pas du chemin. L'application \(\chi\) ainsi obtenue est surjective (les chemins se relèvent, Lemme 1), multiplicative, et son noyau est exactement \(S\).

Théorème 2. Si \(G\) est fini d'ordre \(n\), l'image de \(H_{*}(E) \to H_{*}(B)\) contient tous les éléments divisibles par \(n\).

La preuve tient en une formule : pour un cycle \(\zeta = \sum a_i \sigma_i\) de \(B\), on relève chaque simplexe et l'on moyenne sur le groupe ; le cycle \(\theta = \sum_{g,i} g\,a_i \tau_i\) de \(E\) se projette sur \(n\zeta\). C'est encore la trace, sous un autre habit.

Théorème 3. Si \(E\) est contractile et \(S\) fini d'ordre \(n\), alors pour \(i > 1\) tout élément de \(\pi_i(B)\) est d'ordre divisant une puissance de \(n\).¹⁵

10–16

Un module dont un quotient cesse d'être de type fini (pages 10 à 16)

Quatre feuillets, écrits au dos du tapuscrit, construisent un contre-exemple de finitude. Il n'appartient pas à la ligne principale mais il en éclaire les précautions : les théorèmes d'annulation du dossier portent tous sur des faisceaux constructibles ou noethériens, et voici ce qui arrive sans cette hypothèse.

Soient \(A\) un anneau, \(f \in A\) un élément \(A\)-régulier, \(g \in A\) un élément \(B\)-régulier où \(B = A/fA\), avec \(B/gB \neq 0\) — par exemple \(A\) local régulier de dimension \(2\) et \((f,g)\) un système de paramètres. On construit un \(A\)-module \(M\) tel que

1. (i)\(M = \bigcup_{n} {}_{f^n}M\) avec \({}_{f^{n+1}}M/{}_{f^n}M \simeq B\) — donc \(M\) est de \(f\)-torsion, à support dans \(V(f)\), et ses crans successifs sont aussi petits qu'on veut ;
2. (ii)\(M/fM \simeq (B/gB)^{(\mathbf{N})}\) — donc \(M/fM\) n'est pas de type fini.

La construction est une récurrence sur des extensions. On pose \(E_{n+1}\) égale à l'image directe (le pushout) de la suite \(0 \to A \xrightarrow{f} A \to A/fA \to 0\) le long de l'homomorphisme \(A \to E_n\) défini par un élément \(\xi_n \in E_n\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\xi_n"'] & A \arrow[r] \arrow[d] & A/fA \arrow[r] \arrow[d, no head, "\|" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & E_n \arrow[r] & E_{n+1} \arrow[r] & A/fA \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

L'extension ne dépend que de \(\xi_n\) modulo \(fE_n\), et tout le calcul consiste à choisir \(\xi_n = (g,0)\) — c'est le \(g\) injecté à chaque cran qui fait grossir le quotient — puis à vérifier les trois conditions de récurrence : \(f^n E_n = 0\) ; \({}_{f^{k+1}}E_n/{}_{f^k}E_n \simeq B\) ; et \(E_n/fE_n \simeq B \times (B/gB)^{n-1}\). La vérification de la troisième est le calcul qui porte tout : \[ E_{n+1}/fE_{n+1} \simeq \bigl([B \times (B/gB)^{n-1}] \times B\bigr) \big/ B(g,0,0) \simeq B \times (B/gB)^{n}. \] On pose \(M = \varinjlim E_n\), et le quotient \(M/fM\) est la somme directe infinie annoncée.¹⁶

64–70

La dimension cohomologique des schémas affines

Faisceaux élémentaires et la fonction \(\varphi\) (pages 64 à 70)

On arrive au cœur. Les pages 64 à 70, annoncées par une chemise portant de sa main « cd des affines », introduisent le dispositif qui remplace un entier par une fonction sur les points — et c'est ce raffinement qui rend la récurrence possible.

Le point de départ est un dévissage. Appelons \(\ell\)-élémentaire un faisceau de la forme \(i_{*}(G)_{U,X}\), où \(x\) est un point de \(X\), \(i : \operatorname{Spec} k(x) \to X\) l'immersion canonique, \(G\) un faisceau fini de \(\ell\)-torsion, et \(U\) un ouvert de \(Y = \overline{\{x\}}\) ; il est dit strictement élémentaire lorsque \(G\) est étale sur \(U\) et \(U\) unibranche.

Proposition. Tout faisceau de \(\ell\)-torsion noethérien sur un schéma noethérien \(X\) admet une suite de composition finie dont les quotients sont strictement élémentaires.

C'est le dévissage des faisceaux constructibles, et il ramène toute question d'annulation à ces briques-là. D'où :

Corollaire 1. \(\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant n\) si et seulement si, pour tout fermé intègre \(Y \subset X\), tout fermé \(Z \subset Y\), tout point \(x\) et tout faisceau fini de \(\ell\)-torsion \(G\) sur \(\operatorname{Spec} k(x)\) :

• a)\(H^n(Y, i_{*}G) \to H^n(Z, i_{*}G|Z)\) est surjectif,
• b)\(H^{n+1}(Y, i_{*}G) = 0\).

Une variante (ii bis) remplace l'immersion par un morphisme fini \(Y \to X\) avec \(Y\) intègre unibranche ; et un Corollaire 1 bis dit la même chose pour la cohomologie à support dans un fermé \(T\).

Vient alors le raffinement. On remplace l'entier \(n\) par une fonction \(\varphi : X \to \mathbf{N}\), et l'on pose pour toute partie fermée \(Y\) \[ \varphi(Y) = \operatorname*{Sup}_{x \in Y} \varphi(x) = \operatorname*{Max}_{x \text{ maximal dans } Y} \varphi(x), \] la seconde égalité étant ce qui rend la fonction maniable : elle ne se lit qu'aux points maximaux. Le Corollaire 2 transporte le critère précédent mot pour mot, avec \(\varphi(Y)\) à la place de \(n\).

Le théorème que tout cela prépare est celui-ci :

Proposition (page 66). Soit \(\varphi\) une fonction sur \(X\) telle que

• a)\(\varphi(x) \geqslant \operatorname{cd}_{\ell}(k(x))\) pour tout \(x \in X\) ;
• b)pour toute spécialisation \(y \in \overline{\{x\}}\) avec \(y \neq x\), \[ \varphi(y) < \varphi(x) - \operatorname{cd}_{\ell} \bigl(\mathcal{O}_{X,\bar{y}} \otimes k(x)\bigr), \] \(\mathcal{O}_{X,\bar{y}}\) désignant l'hensélisé strict.

Alors, pour tout faisceau \(F\) de \(\ell\)-torsion, \(H^i(X,F) = 0\) dès que \(i > \varphi(F) = \operatorname*{Sup}_{x \in \operatorname{Supp} F} \varphi(x)\).

Il faut lire ces deux conditions pour ce qu'elles sont. La première dit que \(\varphi\) majore ce que les corps résiduels apportent déjà — c'est le socle établi plus haut. La seconde est une condition de décroissance stricte le long des spécialisations, et le terme qu'on retranche est exactement la cohomologie de l'anneau local strict relatif \(K_{\bar{y}} = \mathcal{O}_{X,\bar{y}} \otimes k(x)\) : en descendant d'un point à une de ses spécialisations, \(\varphi\) doit perdre au moins ce que la fibre peut faire remonter.

La démonstration est une récurrence noethérienne. On se ramène à \(F = g_{*}(G)\) avec \(g : \overline{\{x\}} \to X\), on écrit la suite spectrale \[ E_2^{pq} = H^p\bigl(X, R^q g_{*}(G)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}\bigl(\overline{\{x\}}, G\bigr), \] et tout tient dans une majoration, encadrée sur la page : \[ \varphi\bigl(R^q g_{*}(G)\bigr) \leqslant \varphi(x) - q. \] Elle s'obtient en calculant la fibre \(R^q g_{*}(G)_{\bar{y}} = H^q(K_{\bar{y}}, G)\), qui est nulle dès que \(q > \operatorname{cd}_{\ell} (K_{\bar{y}})\), et en reportant dans la condition b). L'hypothèse de récurrence donne alors \(E_2^{pq} = 0\) pour \(p + q > \varphi(x)\), et il ne reste rien au-dessus.

La page 68 note au passage la façon dont \(\varphi\) se comporte le long d'un morphisme de type fini \(f : X \to Y\) : pour \(x \in X\) et \(y = f(x)\), \[ \varphi(x) \leqslant \varphi(y) + 2\deg\operatorname{tr}\bigl(k(x)/k(y)\bigr). \] Le facteur \(2\) est celui du Théorème 2 de la page 21 : chaque degré de transcendance coûte deux crans de dimension cohomologique, pas un.

Corollaire (page 69). Supposons que partout \(\operatorname{cd}_{\ell} K_{x,\bar{y}} \leqslant \dim \mathcal{O}_{X,\bar{y}}\). Alors la fonction \[ \varphi(x) = \operatorname*{Sup}_{y \in \overline{\{x\}}} \Bigl(\operatorname{cd}_{\ell}\bigl(k(y)\bigr) + 2\dim \mathcal{O}_{\overline{\{x\}},y}\Bigr) \] satisfait a) et b), on a pour toute partie fermée \(Y\) la même formule avec \(\mathcal{O}_{Y,y}\), et \(\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \varphi(X)\).

La page en donne quatre domaines d'application : les schémas algébriques et plus généralement les schémas de type fini ; les corps de nombres ; le spectre d'un anneau strictement local ; les schémas affines de dimension \(1\).

Et dans la marge, encadrée, la question qui reste :

Soit \(A\) local noethérien hensélien intègre, de corps des fractions \(K\) et de corps résiduel \(k\) avec \(\operatorname{cd}_{\ell}(k) < +\infty\). A-t-on \(\operatorname{cd}_{\ell} K \geqslant \dim A + \operatorname{cd}_{\ell} k\) ?

C'est la réciproque du Corollaire de la page 22, et le dossier ne la tranche pas.

73–80

Les deux rungs de la récurrence, et le théorème d'Artin (pages 73 à 80)

Huit pages écrites à toute vitesse, dont la prose de liaison est en grande partie perdue et dont les énoncés, eux, passent. Elles portent la démonstration proprement dite, et son architecture est une récurrence croisée entre deux familles d'énoncés.

Les deux familles sont indexées par un entier \(n\), et le dossier les note \(1_n\) et \(2_n\) (puis \(1'_n\), \(2'_n\) pour les variantes restreintes aux schémas de type fini sur un corps) :

Énoncé \(1_n\). Pour \(A\) strictement local noethérien de dimension \(n\) et \(F\) un faisceau de \(\ell\)-torsion « nul en codimension \(< m\) » — c'est-à-dire tel que \(x \in \operatorname{Supp} F\) entraîne \(\dim \mathcal{O}_{X,x} \geqslant m\) — on a \(H^i(X,F) = 0\) pour \(i > n+1-m\).¹⁷

Énoncé \(2_n\). Pour \(A\) local noethérien de dimension \(n\), \(f \in A\) et \(X = \operatorname{Spec} A\), on a \(\operatorname{cd}_{\ell}(X_f) \leqslant n\), pour tout \(\ell\) premier à la caractéristique résiduelle.

Puis les trois lemmes qui les relient.

Lemme 1. \(2_{n'}\) pour tout \(n' \leqslant n+1\) entraîne \(1_n\).

La démonstration est un joli tour. Pour \(Y \subset X\) fermé de codimension \(m\), on compactifie dans \(\bar{X} = \mathbf{P}^1_Y\) ; on pose \(T = \bar{S} - S\), qui est strictement local ; et l'on écrit la suite longue reliant \(H^i(\bar{S},F)\), \(H^i(S,F)\) et \(H^{i+1}_T(\bar{S},F)\). Le premier terme se calcule sur la fibre spéciale, \(H^i(\mathbf{P}^1_k, F_0)\), nul dès \(i \geqslant 3\) ; le troisième tombe sous l'hypothèse \(2_{n'}\), appliquée avec \(n' = n+1-m\). Il reste à vérifier que la dimension de \(\bar{S}_x\) ne dépasse pas \(n+1-m\), ce que donne l'inégalité \[ \dim \bar{S}_x + \operatorname{codim}\bigl(\bar{S}_x, \bar{X}_x\bigr) \leqslant \dim \bar{X}_x = n+1 \] et le fait que la codimension y est \(\geqslant m\).

Lemme 2. \(1'_n\) et \(2'_{n+1}\) entraînent \(2'_{n+2}\).

On plonge \(A\) dans une algèbre de séries \(k\langle x_1, \dots, x_{n+2}\rangle\), on fibre \(\operatorname{Spec}\) de celle-ci sur \(\operatorname{Spec} k\langle x_1, \dots, x_{n+1}\rangle\) — une fibration de dimension relative \(1\) — et l'on applique \(1'_n\) aux fibres pour conclure que \(R^q f_{*}(F)\) est nul en codimension \(< q-1\). La suite spectrale donne alors \[ H^p\bigl(U, R^q f_{*}(F)\bigr) \neq 0 \Longrightarrow p \leqslant n+1-(q-1), \quad \text{soit } p+q \leqslant n+2, \] d'où l'annulation voulue.

Lemme 3. \(1'_n\) entraîne : pour \(X\) affine de type fini sur un corps séparablement clos \(k\), de dimension de Krull \(d \leqslant n+1\), \[ \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \dim X. \]

C'est le théorème d'annulation d'Artin, et c'est le sommet du dossier. La démonstration est celle qui a été annoncée dans le résumé, et elle tient en quatre lignes une fois les lemmes en place. Récurrence sur \(d\) ; le cas \(d \leqslant 0\) est trivial ; on se ramène à \(X = \mathbf{A}^d_k\) ; on fibre \[ \mathbf{A}^d_k \xrightarrow{\ f\ } \mathbf{A}^{d-1}_k \] avec des fibres de dimension \(1\) ; l'hypothèse \(1'_n\) appliquée aux fibres donne que \(R^q f_{*}(F)\) est nul en codimension \(\leqslant q-1\) ; et l'hypothèse de récurrence en dimension \(d-1\) donne \[ H^p\bigl(Y, R^q f_{*}(F)\bigr) \neq 0 \Longrightarrow p \leqslant n-(q-1), \quad \text{soit } p+q \leqslant n+1 . \] Tous les \(E_2^{pq}\) hors de ce cône sont nuls, et la conclusion tombe.

Les pages 77 à 80 poursuivent vers une forme relative, sur une base strictement locale plutôt que sur un corps :

Théorème (page 79). Soient \(A\) strictement local, \(Y = \operatorname{Spec} A\), \(Y' = Y - \{\text{point fermé}\}\), \(X\) affine de type fini sur \(Y\), et \(X' = X \times_Y Y'\). Alors \[ \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{Sup} \bigl[\,2\dim X_0,\ 2\dim X' + 1\,\bigr], \] \(X_0\) désignant la fibre spéciale.¹⁸ Une note marginale ajoute le cas qui intéresse : si \(X\) est intègre et domine \(Y\), on trouve \(\operatorname{cd}(X) \leqslant \dim Y + d\), où \(d\) est la dimension de la fibre générique.

La page 80 ouvre la récurrence sur \(r\) qui devrait établir ce dernier point, en plongeant \(X\) dans \(\mathbf{A}^r_Y\) et en comparant les codimensions selon que \(X\) rencontre ou non la fibre spéciale. Elle ne la conduit pas à son terme.

81–84

Ce qui reste conjectural (pages 81 à 84)

Trois pages enregistrent l'état de la question une fois les théorèmes acquis : ce qu'on voudrait, ce qu'on sait faux, et ce qu'on ne sait pas.

Ce qu'on voudrait. Pour \(X\) noethérien affine, en posant \[ n = \operatorname*{Sup}_{x \in X}\bigl[\operatorname{cd}_{\ell}(k(x)) + \dim \mathcal{O}_{X,x}\bigr], \] a-t-on \(\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant n\) ? C'est la forme la plus naturelle du théorème d'Artin sur une base quelconque.

Ce qu'on sait faux. La page 81 se clôt sur un contre-exemple — un \(X\) pour lequel \(n = 2\) alors que \(\operatorname{cd}(X) = 3\).¹⁹

Le cas arithmétique. La page 82 traite à part les schémas affines sur \(\mathbf{Z}\), qui sont le cas où la base a elle-même de la cohomologie. Pour \(f : X \to S = \operatorname{Spec}(\mathbf{Z})\) avec \(\ell\) inversible sur \(X\), on écrit la suite spectrale de Leray et l'on sépare deux majorations : au point générique de \(S\), \(R^q f_{*}(F)\) est nul pour \(q > d\) ; en un point fermé, pour \(q > 1+d\). Le décompte des trois zones — \(q > 1+d\) ; \(q = 1+d\), où le faisceau est concentré sur les points fermés et donc \(p \leqslant 1\) ; \(q \leqslant d\), où \(p \leqslant 2\) — donne \[ \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant d + 2 = \dim X + 1 . \] Le \(+1\) est le prix de l'arithmétique : \(\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})\) se comporte comme une courbe de plus.

Les conjectures de la page 84. Sous le titre « Conjectures sur la cohomologie des schémas affines », pour \(X\) affine intègre et \(\ell\) premier :

1. \(1^{\circ}\))si \(\ell\) est inversible sur \(X\), \(\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{cd}_{\ell}(k(x))\), avec en marge la question de savoir si c'est une égalité ;
2. \(2^{\circ}\))si \(\ell\) n'est ni inversible ni nilpotent, \[ \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{Sup}\bigl(\operatorname{cd}_{\ell}(k(x)),\ \nu(V(\ell)) + 3\bigr), \] où, pour un schéma \(Z\) de caractéristique \(\ell\), \(\nu(Z)\) est le supremum des \(\nu(k(z))\) aux points maximaux, et où \(\nu(k)\) est le degré d'imperfection de \(k\), défini par \(\ell^{\nu(k)} = [k : k^{\ell}]\) ;
3. \(4^{\circ}\))pour \(A\) local hensélien intègre de caractéristique résiduelle \(\ell\) et de corps des fractions de caractéristique \(0\), et \(U\) ouvert dans \(\operatorname{Spec} A\), \[ \operatorname{cd}_{\ell}(U) \leqslant \dim A + \nu(k) + \operatorname{cd}_{\ell}(k). \]

L'invariant \(\nu\) mérite d'être remarqué : en caractéristique \(\ell\), ce n'est plus la dimension qui gouverne mais le défaut de perfection du corps de base, et c'est lui qui remplace le degré de transcendance dans les majorations. Une conjecture intermédiaire, numérotée 1 bis), est écrite trois fois sur la page, chaque version raturant la précédente ; elle n'est pas arrêtée.

Une note de sa main, portée sur un feuillet voisin, donne le seul cas où la difficulté se dissipe : pour les bons anneaux locaux henséliens de caractéristique résiduelle nulle, tout se simplifie grâce à Artin — c'est-à-dire grâce au théorème d'approximation.

89–90

Deux conséquences géométriques

Lefschetz faible, qui consomme l'annulation affine (pages 89 et 90)

Deux pages écrites au net montrent à quoi sert le théorème qu'on vient d'établir, et c'est l'endroit du dossier où la mécanique se voit le mieux.

Soient \(X\) projectif régulier sur un corps séparablement clos \(k\), de dimension \(n\) ; \(Y\) une section hyperplane régulière ; \(F\) un faisceau de \(\ell\)-torsion localement constant sur \(X\), avec \(\ell\) premier à la caractéristique de \(k\). Posons \(U = X - Y\) — qui est affine, puisque complémentaire d'une section hyperplane. La suite exacte de cohomologie à support, avec l'isomorphisme de Gysin \(H^i_Y(X,F) \simeq H^{i-2}(Y, F_Y \otimes \check{T}_{\ell})\), s'écrit :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{i-1}(U,F) \arrow[r] & H^{i}_{Y}(X,F) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & H^{i}(X,F) \arrow[r] & H^{i}(U,F) \arrow[r] & H^{i+1}_{Y}(X,F) \arrow[d, no head, "\wr"] \\
 & H^{i-2}(Y, F_{Y} \otimes \check{T}_{\ell}) & & & H^{i-1}(Y, F_{Y} \otimes \check{T}_{\ell})
\end{tikzcd}

Et l'on y injecte le théorème d'annulation : \(H^i(U,F) = 0\) pour \(i > n\), puisque \(U\) est affine de dimension \(n\). Deux termes de la suite disparaissent donc au-delà du rang \(n\), et il reste :

Théorème de Lefschetz. L'application \(H^{i-2}(Y, F_Y \otimes \check{T}_{\ell}) \to H^{i}(X,F)\) est surjective pour \(i \geqslant n+1\) et bijective pour \(i \geqslant n+2\).

Corollaire 1. Si \(X\) est connexe régulier de dimension \(n\), \(H^{2n}(X, \mu_N^{\otimes n}) \simeq \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}\) pour tout \(N\) premier à la caractéristique. La démonstration est une récurrence sur \(n\) : comme \(2n \geqslant n+2\) dès \(n \geqslant 2\), le théorème s'applique et donne \[ H^{2n}(X, \mu_N^{\otimes n}) \simeq H^{2n-2}(Y, \mu_N^{\otimes n} \otimes \check{T}) = H^{2n-2}(Y, \mu_N^{\otimes (n-1)}), \] le twist et son dual se compensant d'un cran.

Corollaire 2. L'application de restriction \(H^j(X,F) \to H^j(Y,F)\) est injective pour \(j \leqslant n-1\) et bijective pour \(j \leqslant n-2\).

C'est la forme sous laquelle le théorème de Lefschetz faible est cité aujourd'hui, et l'on voit ici qu'il n'est pas un théorème indépendant : c'est l'annulation sur l'ouvert affine \(U\), lue à travers la suite de Gysin. Le dossier ne le dit pas en ces termes, mais son organisation le montre — c'est pourquoi ces deux pages suivent immédiatement les conjectures affines.

92–98

Spécialisation et asphéricité locale (pages 92 à 98)

La dernière suite du dossier, annoncée par une chemise de sa main portant « Théorème de Spécialisation : Corollaire », vise un résultat d'une autre nature : non plus une borne sur la cohomologie, mais un énoncé disant qu'un morphisme lisse ne crée pas de revêtements. Les feuillets sont écrits très vite et leur prose est en grande partie perdue ; les énoncés et les formules passent, et c'est d'eux que la lecture rend compte.

Lemme 1 (une pureté). Soient \(A\) local noethérien, quotient d'un anneau régulier, \(t \in \mathfrak{m}_A\) un élément \(A\)-régulier tel que le complété \(t\)-adique soit normal, et \(\dim A \geqslant 3\). Soit \(B\) une extension finie normale de \(A\) telle que \(B/tB\) soit étale sur \(A/tA\) hors de l'origine. Alors \(B\) est étale sur \(A\) hors de l'origine.

La démonstration passe par \(X' = \operatorname{Spec} A - \{a\}\) et l'ouvert \(U\) de \(X'\) où \(B\) est étale : l'hypothèse donne \((X' - U) \cap V(t) \subset \{a\}\), donc \(\dim(X' - U) \leqslant 1\), et il s'agit de prolonger un revêtement étale de \(U\) à \(X'\) tout entier. Ce qui l'autorise est la condition de profondeur aux points de \(X' - U\), où \(\dim \mathcal{O}_{X,x} \geqslant 2\) — c'est le mécanisme de la pureté de Zariski–Nagata, et une note au crayon en marge le nomme : « condition des chaînes ».

Lemme 2. Soient \(f : X \to Y\) lisse à fibres de dimension \(1\), \(s\) une section de \(X\) sur \(Y\) avec \(Y\) intègre et \(X\) normal, et \(X' \to X\) un revêtement galoisien de groupe \(\Gamma\) d'ordre premier aux caractéristiques résiduelles de \(Y\). On y considère l'image réciproque \(s^{-1}(X')\) — la trace du revêtement sur la section — et le complémentaire \(X - f(Z)\) de l'image d'un fermé.²⁰

Lemme 3 (Abhyankar). Soient \(A\) régulier local de dimension \(2\), \((x,y)\) un système régulier de paramètres, et \(B\) une extension normale de \(A\) qui est (i) galoisienne d'ordre premier à la caractéristique résiduelle, (ii) d'indice de ramification constant le long de \(V(x)\), (iii) non ramifiée en dehors. La page l'accompagne d'un croquis — deux diamètres \(V(x)\) et \(V(y)\) se coupant au point fermé — et la page 96 donne la conclusion sous forme explicite : avec \(\Gamma = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) et \(B\) intègre, \[ B \simeq A[T]/(T^n - x), \qquad B \otimes_A A' = A'[T]/(T^n - x') \quad \text{pour } A' = A/yA, \] \(x'\) étant l'image de \(x\). C'est le lemme d'Abhyankar, que la page nomme elle-même : un revêtement modérément ramifié le long d'un diviseur à croisements normaux est, localement, une extension de Kummer.

Ces trois lemmes en place, la page 96 énonce le théorème :

Théorème. Un morphisme lisse \(f : X \to Y\) est localement \(1\)-asphérique pour les groupes finis d'ordre premier aux caractéristiques résiduelles de \(Y\).

La démonstration se ramène à \(Y\) noethérien, puis, par fibration, au cas de la dimension relative \(1\) — où les trois lemmes s'appliquent. C'est le noyau de ce qu'on appelle aujourd'hui l'acyclicité locale des morphismes lisses, dont le théorème de changement de base par un morphisme lisse est la forme cohomologique ; le titre de la chemise, « Théorème de Spécialisation », nomme la même chose du côté des fibres.

Les applications de la page 97 sont trois, et la troisième explique pourquoi le résultat était voulu : la constance locale des \(R^i f_{*}(F)\) pour \(f\) lisse propre ; l'invariance \(H^i(X,F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^i(X',F')\) par extension séparable du corps de base ; et le cas d'un \(Y\) lisse dans un \(X\) lisse sur une base.

La page 98 se clôt sur un Corollaire qui met en regard trois familles de faisceaux — \(R^i h_{!}(F'|V)\), \(R^i h_{*}(F|V)\) et \(R^i g_{*}(F'|Y)\), où \(Y \subset X\) est fermé, \(V = X - Y\) son complémentaire ouvert, et \(F' = \mathcal{H}om(F, I_{X/S})\) — et demande leur constance locale simultanée.²¹

11–17

Les feuillets de tapuscrit corrigés

Onze feuillets du dossier ne sont pas de sa main : ce sont des épreuves dactylographiées d'autres exposés, qu'il a corrigées à la plume et dont il a retourné les dos pour y écrire ce qui précède. Ils ne portent pas sur la dimension cohomologique et ne sont donnés ici ni pour leur contenu propre — on le trouvera rédigé dans SGA — ni comme pièces d'archive, mais parce que les corrections sont de lui et que les corrections sont des mathématiques.

Groupes de type multiplicatif : l'isotrivialité (pages 11 à 17)

Quatre feuillets numérotés 27 à 30 par le dactylographe et rangés à rebours dans la chemise, portant les énoncés 5.9 à 5.16 d'un exposé sur les groupes de type multiplicatif. Ils courent vers un seul théorème :

Théorème 5.16. Sur un schéma localement noethérien normal, tout groupe de type multiplicatif de type fini est isotrivial — c'est-à-dire devient diagonalisable après un revêtement fini étale surjectif.

Le chemin passe par l'anti-équivalence entre groupes de type multiplicatif de type fini et groupes constants tordus à engendrement fini (Corollaire 5.9), par la représentabilité de \(\underline{\operatorname{Isom}}\) par un ouvert-fermé de \(\underline{\operatorname{Hom}}\) (Corollaire 5.10), et par un critère d'isotrivialité en trois conditions (Proposition 5.11) dont l'équivalence complète demande que la base soit localement noethérienne. Deux lemmes techniques portent l'ensemble : tout sous-schéma fermé quasi-compact d'un schéma constant tordu est fini (Lemme 5.12) ; et sur une base localement noethérienne connexe, une partie ouverte et fermée d'un schéma constant tordu quasi-isotrivial dont une fibre est finie est finie tout entière (Lemme 5.13). La Remarque 5.15 note que l'hypothèse de normalité peut être affaiblie en « géométriquement unibranche ».

Les corrections de sa main sont nombreuses et de deux sortes. Les unes sont des renumérotations en chaîne — le chiffre des unités repassé à l'encre, 5.8 devenu 5.9, 5.9 devenu 5.10, sur les quatre feuillets — avec les références mises à jour. Les autres sont mathématiques : « somme disjointe de » devient « réunion de » dans la condition (ii) de 5.11, ce qui n'est pas la même chose ; « quasi-compacts » remplace la condition de type fini dans le Lemme 5.12 ; et l'énoncé du Lemme 5.13 voit ses \(R\) changés en \(P\) et \(Z\) pour distinguer le schéma de la partie ouverte et fermée qu'on y considère — distinction que le tapuscrit confondait et sans laquelle l'énoncé n'a pas de sens.²²

25–27

Complétion formelle, et les schémas de Picard non propres (pages 25 et 27)

Deux feuillets d'un tapuscrit sur la complétion formelle le long d'un fermé, corrigés de sa main — les accents circonflexes des complétés et les flèches que la machine ne portait pas sont ajoutés à l'encre.

Le Théorème 2.1 donne un critère de cohérence et de Mittag-Leffler : si le \(\mathcal{S}\)-module gradué \(\mathcal{K}^i = R^i f_{*}(\operatorname{gr}_ {\mathcal{J}}(\mathcal{F}))\) est de type fini pour \(i = n-1, n, n+1\), alors \(R^n f_{*}(F)\) est cohérent, l'homomorphisme de comparaison est un isomorphisme topologique, et le système projectif des \(R^n f_{*}(F_k)\) vérifie la condition de Mittag-Leffler uniforme. Le Théorème 2.2 traite le cas d'un anneau adique noethérien dont l'idéal de définition est principal.

Le plus intéressant est la Remarque 5.11, où il annonce un programme. Sous des hypothèses de pureté et de parafactorialité sur les anneaux locaux des fibres géométriques, les foncteurs de complétion devraient être des équivalences — sur les revêtements étales, sur les modules inversibles. Et il ajoute :

Utilisant des résultats récents de \textsc{Murre}, il est probable que l'on doit pouvoir en déduire des théorèmes d'existence des schémas de Picard pour certains schémas algébriques non propres. De façon générale, l'élimination d'hypothèses de propreté dans divers théorèmes d'existence, notamment de représentabilité de foncteurs comme les foncteurs de Hilbert, ou de Picard etc, à l'aide

Le feuillet s'arrête là, au milieu de la phrase, et la suite n'est pas dans le dossier.

71–71

Quotients par un groupe de type multiplicatif (page 71)

Un feuillet isolé, du même exposé que les précédents, sur l'existence du quotient \(Y = X/G\) pour \(G\) de type multiplicatif : il est affine sur la base, et hérite des conditions de finitude de \(X\). Le Corollaire 2.4 en tire que le morphisme graphe \(X \times_S G \to X \times_S X\) est une immersion fermée, et qu'il en va de même de \(g \mapsto s \cdot g\) pour toute section \(s\). Le Corollaire 2.5 conclut : un monomorphisme \(u : G \to H\) de schémas en groupes, avec \(G\) de type multiplicatif et \(H\) affine, est une immersion fermée, le quotient \(H/G\) existe et est affine, et \(H\) est un fibré principal homogène sur lui.

83–87

Cohomologie de Hochschild et densité schématique (pages 83 à 87)

Trois feuillets du même tapuscrit, barrés de longues diagonales, dont les lettres de groupe et plusieurs indices sont encrés à la main là où la machine avait laissé des blancs.

Théorème 3.1. Pour \(S\) affine, \(G\) un \(S\)-groupe de type multiplicatif et \(F\) un faisceau quasi-cohérent sur lequel \(G\) opère, la cohomologie de Hochschild s'annule : \(H^i(G,F) = 0\) pour \(i > 0\).

La démonstration est un modèle de descente. La cohomologie de Hochschild se calcule par un complexe explicite de \(A\)-modules dont la formation commute au changement de base ; pour \(A'\) plat sur \(A\), on a donc \(H^i(G',F') = H^i(G,F) \otimes_A A'\) ; pour \(A'\) fidèlement plat, l'annulation descend ; et cela ramène au cas diagonalisable, qui est acquis.

Théorème 3.2. Sur une base affine, deux homomorphismes \(u, v : H \to G\) vers un groupe de type multiplicatif qui coïncident modulo un idéal de carré nul sont conjugués : il existe \(g \in G(S)\) avec \(v = \operatorname{int}(g) \circ u\) et \(g_0 = e\). C'est un énoncé de relèvement infinitésimal, et il découle de 3.1.

Corollaire 4.6. Soit \(X\) un \(S\)-schéma plat et \(U\) un ouvert de \(X\) tel que \(U_s\) soit schématiquement dense dans \(X_s\) pour tout \(s \in S\). Si \(X\) est localement noethérien, ou bien si \(X\) est localement de présentation finie sur \(S\) avec \(U\) rétrocompact dans \(X\), alors \(U\) est schématiquement dense dans \(X\).

La démonstration est une belle application du « procédé breveté » de descente noethérienne : on écrit \(A\) comme limite inductive de ses sous-\(\mathbf{Z}\)- algèbres de type fini, on descend \(X\) et \(U\) à un niveau \(i\), et l'on observe que l'ensemble \(E_i\) des points où la densité schématique a lieu est constructible — parce que la condition revient à ce que \(U_{i,s}\) contienne les points associés du faisceau structural de \(X_{i,s}\). Comme la condition est invariante par extension du corps de base, l'image réciproque de \(E_i\) est tout \(S\), donc \(E_j\) est tout \(S_j\) pour un \(j\) assez grand.

Les pages 87 portent trois énoncés supplémentaires numérotés 4.7 et 4.9, plus une Remarque 4.9 ; les corps en sont en grande partie effacés sous les diagonales d'annulation.²³

60–60

Deux fragments

Normes et degré d'imperfection (page 60)

Un feuillet au crayon, barré de deux traits, sans rapport apparent avec ce qui l'entoure. Il porte une condition sur une extension de corps \(k \to K\) : pour que l'invariant \(\delta(L/K, k/\ell)\) s'annule pour toute extension \(L\) de \(K\), il faut et il suffit que \[ k \subset \ell(K^p), \quad \text{soit } k(K^p) \subset \ell(K^p), \] et l'exemple qui montre la nécessité — \(L = K(x)\) avec \(x^p \in K\) et \(x^p \notin \ell(K^p)\) — accompagné de l'application \(\Omega^1_{K/k} \otimes_K L \to \Omega^1_{L/k}\) qui mesure le défaut. C'est le même cercle d'idées que l'invariant \(\nu\) de la page 84 : en caractéristique \(p\), ce qui compte n'est pas la dimension mais le défaut de perfection.

100–100

Une suite spectrale (page 100)

Une note de sa main sur le dos d'un feuillet dactylographié étranger, qui pose, pour une immersion ouverte \(i : V \to X\) de complémentaire fermé et \(g\) le morphisme structural, la suite spectrale \[ R^p g_{*}\bigl(R^q i_{*}(G)\bigr) \Longrightarrow R^{*} h_{*}(G) \] reliant les images directes supérieures le long de \(h : V \to S\) à celles prises en deux temps.²⁴ C'est l'outil dont le Corollaire de la page 98 a besoin, et il est probable que la note s'y rapporte.