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Soit (R, r) un domaine de ramification sur S. Une famille d'objets X_i/S_i de R (S_i \in \mathrm{ob}\,\mathrm{Et}(S)) est dite génératrice si pour tt objet X de R sur un S' de \mathrm{Et}(S), les S'' étales sur S' tels qu'il existe i et S'' \to S_i et X_{S''} subordonné à X_{i,S''}, recouvrent S'. Si les de plus adaptés X_i générateur R_{S_i}, que G_i, d'où (Z_i, G_i) : générateurs r(R_i) sur S_i, les Z_i, G_i doivent permettre de reconstituer (R, r), une fois précisé les de vérifier, mais la formulation de telles données est pénible et finalement peu utile.

la phrase se défait entre « Si de plus » et « les Z_i, G_i doivent permettre » ; ce qui se lit est donné tel quel, et ce qui ne se lit pas est marqué

Il est plus commode de associer à R une catégorie fibrée catégorie C sur \mathrm{Et}(S), et un foncteur \varphi : C \longrightarrow R. On dit que \varphi est génératrice si les \varphi(M) (M \in \mathrm{ob}\,C) forment une famille génératrice, i.e. si pour tt X \in \mathrm{ob}\,R sur un S' \in \mathrm{ob}\,\mathrm{Et}(S), les S'' étales sur S' tels que X_{S''} soit subordonné à un objet de C_{S''} soit \varphi(M) \to X_{S''} , forment un recouvrement de S'. Posant s = r\varphi s : C \longrightarrow \mathrm{Fl}_S dit qu'on peut alors, à équivalence près,

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Catégories multigaloisiennes.

\mathcal{U} un univers, C une catégorie.

A) Conditions équivalentes

l'indice des deux catégories est le même et se lit « cf » ; il le glose lui-même à la ligne au-dessus, « constants finis », et c'est cette glose qui l'a fixé ici. Les deux crochets ouvrants de (ii) et (iii) sont sur la page et ne se referment pas

B) Conditions équivalentes

le bloc qui suit est accolé à gauche et barré de deux diagonales ; il est remplacé par le (i) qui le suit

sous \alpha_P il écrit « imm. fermée » ; sous X^P un trait crochu porte F_P, sans tête, et son sens n'est pas fixé

X^E = \bigcup_P \alpha_P\bigl((X^P)^{\ast}\bigr) \qquad \text{(disjoint)} (f^E)^{-1}\bigl(\Delta_y^{(E)}\bigr) = \bigcup_P \alpha_P(F_P) \qquad \text{(réunion disjointe)} de dim n - (\mathrm{card}\,P - 1)d \;\geq\; n - \mathrm{card}(E)\,d, égalité pour P = P_0 seulement \hookrightarrow partition maximale.

\underline{\mathrm{card}\,E = 3} :

les deux lignes extrêmes portent le même chiffre, 3, là où l'une des deux devrait porter 1 ; le chiffre est écrit deux fois de la même main et laissé tel quel — sic

(f^3)^{-1}\bigl(\Delta_y^{(3)}\bigr) = \underset{n - 2d}{F_3} \;\cup\; \underset{n - d}{\bigcup_{1 \leq i < j \leq 3} \alpha_{ij}(F_2)} \;\cup\; \underset{n}{\Delta_X^{(3)}}

dim « génériques »

suit un bloc barré, sous le mot « Question » lui-même barré ; il se lit en partie

\overline{F}_3 \cap \Delta_X^{(3)} = \emptyset ; \overline{\alpha_{ij}(F_2)} \cap \Delta_X^{(3)} = \alpha_{ij}(\overline{F}_2) \cap \Delta_X^{(3)} = \alpha_{ij}\bigl(\overline{F}_2 \cap \Delta_X^{(3)}\bigr) = \emptyset ; \overline{F}_3 \cap \alpha_{ij}(F_2), \overline{F}_3 \cap \alpha_{ij}(\overline{F}_2)

N.B. Si f est , alors \overline{F}_3 \cap \Delta_X^{(3)} = \emptyset, \overline{\alpha_{ij}(F_2)} \cap \Delta_X^{(3)} = \emptyset.

fermé

Mais que peut-on dire de \overline{F}_3 \cap \overline{\alpha_{ij}(F_2)} \;\cdot\; \overline{F}_3 \cap \alpha_{ij}(\overline{F}_2) \;\;?

x_1^0 \neq x_2^0 \neq x_3^0 \qquad\qquad x_1^0 = x_3^0 \neq x_2^0

les exposants de ces six points sont un seul trait rond ; 0 est la lecture retenue, sans certitude

\dim X = 3 , \quad \dim Y = 4 , \qquad \dim F_3 = 1 , \qquad \dim \alpha_{ij}(F_2) = 2

en bas à gauche, un petit croquis — deux ouverts U et V se coupant, avec « x_1, x_2 \in U » — qui n'est pas repris ici

sa page 1 ter, cerclée ; le feuillet fait suite à la page 1 bis

c'est prouvé pour les entiers < n. { Utilisant 3 d),

et regarder l'épimorphisme diagonal \Delta_{X,Y} ( existe par (1) ), par (2) un sommand direct universel donc X' \simeq Y' \sqcup X'_1 ; par 3 a) X' \longrightarrow Y' est de degré n n-1, par 3, donc par 3 b) et f) X' \longrightarrow Y' de degré 1, on voit que X'_1 \longrightarrow Y' est de degré n-1. Les l'hyp. de récurrence, on trouve Y''_s \longrightarrow Y' famille de descente eff. universelle, qui trivialise X'_1 ; comme X' \simeq Y' \sqcup X'_1 universellement, X'' = X \times_Y Y'' \simeq Y'' \sqcup \underbrace{(X'_1 \times_{Y'} Y'')}_{Y'' \times [1,\, n-1]} = Y'' \times [1, n] . Y'' \longrightarrow Y est de descente effective universelle, comme composé de deux tels, OK.

Explicitation. Pour vérifier qu'un f morphisme et de descente effective [cf. condition 3 d)], il suffit de savoir que c'est un épimorphisme effectif universel, et de savoir que les relations d'équivalence sont effectives universelles

le nom du sommet supérieur gauche porte deux traits surmontés de points et n'est pas assuré

Conclusion Dans les conditions de A(iv), la notion de « morphisme de degré n » est uniquement déterminée, et correspond équivaut à : \exists\, Y' \longrightarrow Y épimorphisme effectif universel, et de descente effective , avec X \times_Y Y' \simeq [1, n]_{Y'} ( Y' \to isom. ).