Cote n° 29 · batch 11 · pages 201–216 · Transcription · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration

Familles génératrices d'un domaine de ramification (pages 201 à 206)

la suite ouverte à la page 190 se poursuit sans rupture ; il la pagine lui-même 11 à 16, en haut à droite, à la suite du 1-10 du lot précédent. La page 200 s'arrêtait en cours de phrase, sur « Dans le cas de l'exemple 2 » ; ce qui suit n'y revient pas et repart sur les familles génératrices

201sa page 11

Soit \((R, r)\) un domaine de ramification sur \(S\). Une famille d'objets \(X_i/S_i\) de \(R\) (\(S_i \in \mathrm{ob}\,\mathrm{Et}(S)\)) est dite génératrice si pour tt objet \(X\) de \(R\) sur un \(S'\) de \(\mathrm{Et}(S)\), les \(S''\) étales sur \(S'\) tels qu'il existe \(i\) et \(S'' \to S_i\) et […] \(X_{S''}\) subordonné à \(X_{i,S''}\), recouvrent \(S'\). Si les [de plus] adaptés […] \(X_i\) […] générateur […] \(R_{S_i}\), […] que \(G_i\), d'où \((Z_i, G_i)\) […] : générateurs […] \(r(R_i)\) sur \(S_i\), les \(Z_i\), \(G_i\) doivent permettre de reconstituer \((R, r)\), une fois précisé les […] […] de vérifier, mais la formulation de telles données est pénible et finalement peu utile.

la phrase se défait entre « Si de plus » et « les \(Z_i\), \(G_i\) doivent permettre » ; ce qui se lit est donné tel quel, et ce qui ne se lit pas est marqué

Il est plus commode de […] associer à \(R\) une catégorie fibrée [catégorie] \(C\) sur \(\mathrm{Et}(S)\), et un foncteur \(\varphi : C \longrightarrow R\). On dit que \(\varphi\) est génératrice si les \(\varphi(M)\) (\(M \in \mathrm{ob}\,C\)) forment une famille génératrice, i.e. si pour tt \(X \in \mathrm{ob}\,R\) sur un \(S' \in \mathrm{ob}\,\mathrm{Et}(S)\), les \(S''\) étales sur \(S'\) tels que \(X_{S''}\) soit subordonné à un objet de \(C_{S''}\) [soit \(\varphi(M) \to X_{S''}\) […]], forment un recouvrement de \(S'\). Posant \(s = r\varphi\) \[ s : C \longrightarrow \mathrm{Fl}_S \] […] dit qu'on peut alors, à équivalence près,

202sa page 12

reconstituer \((R, r)\) en termes de \((C, s)\). Bien sûr on peut également reconstituer \((R_{S'}, r_{S'})\), la construction s'appliquer donc aux \(R_{S'}\), \(r_{S'}\). (En s'induisant sur \(S'\) et applique ce qu'on peut avoir […] fait à \(R|S'\)) et les fonctorialités seront aussi évidentes …

Soit \(X\) un objet de \(R_S\). Soit \(C_X\) la ss.-catégorie pleine de \(C\) formée des objets \(M\) [i.e. pour \(S' \in \mathrm{ob}\,\mathrm{Et}(S)\)] […] tels que \(X_{S'}\) soit subordonné à \(\varphi(M)\) [et tels que de plus \(\varphi(M) \to X_{S'}\) soit un épim.], […] \(M\) […] [admissible de \(C\)] […] par hypothèse ; et […]

Alors pour tout tel \(M \in \mathrm{ob}\,C_X\), \(r(X_{S'} \times \varphi(M)) \longrightarrow r\varphi(M) = s(M)\) est un morphisme [revêtement] étale. Donc Ainsi \[ M \longmapsto r(X \times_{S'} \varphi(M)) \big/ \underbrace{r(\varphi(M))}_{s(M)} \] donne une section cartésienne de la catégorie fibrée sur \(C_X\) induit par \(s : C \to\) [sur \(\mathrm{Fl}_S\)] (catégorie fibrée dont [les] revêtements étales relatifs) via \(C_X \xrightarrow{\ s\ } \mathrm{Fl}_S\).

le foncteur composé \(C_X \to \mathrm{Fl}_S\) est écrit avec le \(s\) au-dessus de la flèche

[…] la catégorie fibrée obtenue [ainsi] sur \(C\) via \(s : C \to \mathrm{Fl}_S\), […] […] quel crible de \(C_0\), […] \(R_S^{C_0}\) fait la sous-catégorie fibrée [pleine] de \(R_S\) formée des objets \(X\) […] tels que \(\forall\, S' \in \mathrm{ob}\,\mathrm{Et}(S)\), […] \(X_{S'}\) est [loc.] subordonné à tt objet de \(C_0\) sur \(S'\). […] trouve donc une ss.-catégorie multigaloisienne de \(R_S\), stable […] les \(\varprojlim\) et sommes directes, et un foncteur \[ (\ast) \qquad \alpha : R_S^{C_0} \longrightarrow \varprojlim_{C_0} \, (\mathcal{E}|C_0) \]

le symbole restreint aux cribles est un E de fantaisie ; il ne le nomme nulle part, et il est rendu ici par \(\mathcal{E}\) partout où il paraît

203sa page 13

Pour \(C_0\) parcourant les cribles couvrants [admissibles] de \(C\), les \(R\) et admettant que la catégorie [fibrée] \(C\) est localement filtrante […], ce qui implique que l'intersection de deux cribles couvrants est encore couvrant, on voit que les \(R_S^{C_0}\) forment une famille filtrante de ss.-catégories multigaloisiennes pleines de \(R_S\), de […] réunion \(R_S\). Donc […] si on voit que les foncteurs \(\alpha_0\) sont des équivalences de catégories, on aura alors une équivalence \[ R_S \;\simeq\; \varinjlim_{C_0} \; \varprojlim_{\text{sur } C_0} \, (\mathcal{E}|C_0) \] qui explicite \(R_S\) en termes de \((C, s)\), [mais] mais qui reste au moins que la notion de crible admissible. On va montrer […] pour que les […] […] il suffit que \(\varphi\) soit pleinement fidèle.

Comme \(\alpha\) est […] un foncteur exact de catégories multigaloisiennes, il suffit de voir pour le plus précis que \[ \alpha(X) = \emptyset \;\Longrightarrow\; X = \emptyset , \] ce qui est immédiat […] \(C_0\) [admissible] couvrant : c'est local par \((\mathrm{Et})\), aux \(\varphi(M) \to e_S\) épim. […] donc […] il existe un \(M \in C_{0S}\), […] \(r(\varphi(M) \times X) = \emptyset \Longrightarrow \varphi(M) \times X = \emptyset\). Ok.

\(\varphi\) pleinement fidèle ? Soit \(X \in \mathrm{ob}\,R_S^{C_0}\), et \(Z = \alpha(X) = Z_1 \sqcup Z_2\), montrons que cette

[…] ; […] \(\longrightarrow C\) ; loc. filtrante

cette dernière note est cerclée, en bas à gauche de la page

204sa page 14

décomposition est induite par une décomposition de \(X\). La question étant locale sur \(S\), […] peut supposer \(\exists\, M \in \mathrm{Ob}\,C_S\), \(\varphi(M) \longrightarrow e\) un épimorphisme.

Considérons \(r(X \times \varphi(M)) = \underbrace{\alpha(X)(M)}_{= Z(M)} \longrightarrow r(\varphi(M)) = s(M)\) ; il se coupe en \(Z_1(M) \sqcup Z_2(M)\), donc par R2 \(X \times \varphi(M)\) se coupe en \(X_1 \sqcup X_2\). Je dis que […] cette décomposition provient d'une décomposition de \(X\), i.e. que quels que soient les \(C\)-objets \(T\) [\(T\)] de \(R_S^{C_0}\) et deux morphismes \(T \rightrightarrows \varphi(M)\), les deux images inverses de \(X_1\) par \(T \rightrightarrows \varphi(M)\) sont les […], i.e. […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
T \arrow[d, bend left=12] \arrow[d, bend right=12]
  & X \times T \arrow[d, bend left=12] \arrow[d, bend right=12] & \\
\varphi(M) \arrow[d]
  & X \times \varphi(M) \arrow[l, no head] \arrow[r] \arrow[d] & X_1 \\
e & X \arrow[l, no head] &
\end{tikzcd}

donc \(T \times \varphi(M) \longrightarrow \varphi(M)\) un épim. Comme \(T \times \varphi(M)\) est subordonné à \(\varphi(M)\), \(T \times \varphi(M)\) est constant par morceaux sur \(\varphi(M)\), et […] \(=\) épimorphique, il est recouvrant (pour sa topologie canonique, v. cor.) par les images de sections [\(w\)] de \(T \times \varphi(M)\) sur \(\varphi(M)\). Ceci permis, on peut remplacer \(T \rightrightarrows \varphi(M)\) par les composés \[ T \times \varphi(M) \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_1\ } T \rightrightarrows \varphi(M) \] (ou plus un épim., \(\varphi(M) \longrightarrow e_S\) [étant] !), puis en dernier par les composés \(\varphi(M) \xrightarrow{\ w\ } T \times \varphi(M)\). Bref, on est ramené au cas où \(T = \varphi(M)\). Mais \(\varphi\) étant pl. fidèle,

on a \(r(X_1) \rightrightarrows\) […] \(= r(X \times T)\) […]

205sa page 15

on trouve que les deux flèches sont identiques par \(M \rightrightarrows M\), et on gagne […] de voir que les deux images de \(r(X_1)\) dans \(r(X \times T) = r(X \times_S \varphi(M)) = \alpha(X)(M)\) est \(Z_1(M)\).

On a donc terminé une décomposition [uniquement déterminée par la condition \(Z_1 = \alpha(X_1)\)] \[ X = X_1 \sqcup X_2 , \] Je dis que la décomposition correspondante de \(\alpha(X)(M)\) est donnée par \(Z_1(M)\).

à partir d'ici et jusqu'au bas de la page, le texte est accolé à gauche et barré de deux longues diagonales ; il se laisse lire par endroits et par endroits non

i.e. […] que […] tt \(M'\), et si \(M' \to\) […], \(Z'_1 = \alpha(X_1)\), […] \(Z_1\) et \(Z'_1\), […] \(A\) et \(B\). […] \(Z_1 \cap Z'_1\) dans \(Z_1\) et \(Z'_1\), soient \(A\) et \(B\). […] \[ A(M) = \emptyset , \quad B(M) = \emptyset , \qquad A(M') = \emptyset , \quad B(M') = \emptyset \] […] pour \(M' \in C_{0S}\), […] \(A(M) = \emptyset \Longrightarrow M = \emptyset\). […] en effet, […] \(M'\) […] \(A(M') \neq \emptyset\) (car il […] : à vérifier :) […] on peut supposer \(S' = S\), et […] \(A(M \times M') = \emptyset\), donc […] \[ A(M \times M') = A(M') \times_{s(M')} s(M \times M') , \] et [[on voit que \(s(M \times M') \longrightarrow s(M')\) est surjectif ou encore […]]] \((M \times) M' \longrightarrow M\), c'est trivial. Finalement, il […] localiser, il existe \(M''\), \(M'' \to M\), \(M'' \to M'\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \varphi(M) \times_{\varphi} M' \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\varphi(M) & & \varphi(M')
\end{tikzcd}

Cas. \(A(M'') = \emptyset\), \(B(M'') = \emptyset\). Donc la décomposition […] aussi celles qui seront définies […] lieu des […] \(M\). Mais il y a […] \(M'\), et […] \(X = X'_1 \sqcup X'_2\), […] celle

206sa page 16

un autre \(M'\), et si \(\nexists\, M' \longrightarrow M\), alors il est […] que la décomposition de \(X\) définie par \(M'\) et la […]. Localisant sur \(S\) et utilisant le fait que \(C\) est loc. filtrante, on trouve que la décomposition ne dépend pas du choix de \(M\). Localisant à nouveau sur \(S\), on voit qu'elle […] la décomposition donnée de \(Z\).

Prouvons que \(\alpha\) est essentiellement surjectif.

la page s'arrête là ; la démonstration annoncée ne suit pas, et la suite de la cote est d'un autre sujet

Catégories multigaloisiennes : les conditions A et B, les axiomes G0 à G5 (pages 208 à 212)

la page 207 est nue. Ce qui suit est écrit au net, à l'encre bleue, et se lit presque de bout en bout, à la différence de tout ce qui précède. Il pagine la suite lui-même : 1 à 4 pour les pages 208 à 211, puis 1 bis et 1 ter — deux feuillets insérés — pour les pages 212 et 214, puis 5 et 6 pour les pages 215 et 216. Les numéros des pages 212 et 214 à 216 sont cerclés

208sa page 1

Catégories multigaloisiennes.

\(\mathcal{U}\) un univers, \(C\) une catégorie.

A) Conditions équivalentes

1. (i)Il existe un \(\mathcal{U}\)-topos \(\mathcal{T}\), et une équivalence \(C \simeq \mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\), où \(\mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\) est la catégorie pleine de \(\mathcal{T}\) formée des objets loc.^t « constants finis ».
2. (ii)[\(C\) est une \(\mathcal{U}\)-catégorie, l'ens. des objets […] mod. iso. de \(C\) est \(\mathcal{U}\)-petit, et] [ Il existe une topologie sur \(C\), [moins fine que la canonique] et telle que le foncteur de \(C \longrightarrow \widetilde{C}\) induise une équivalence \(C \longrightarrow \widetilde{C}_{\mathrm{cf}}\).
3. (ii bis)Id., en prenant la « top. la plus fine de la descente effective universelle ».
4. (iii)[ \(C\) est une \(\mathcal{U}\)-catégorie, dont l'ens. des objets mod. iso. est \(\mathcal{U}\)-petit ] Pour tout objet \(X\) de \(C\), l'ensemble des objets \(S\) tels que \(X_S\) sur \(S\) soit constant fini sur \(S\) forment une famille couvrante de descente effective universelle.
5. (iv)4 conditions sur feuille 1 bis.

l'indice des deux catégories est le même et se lit « cf » ; il le glose lui-même à la ligne au-dessus, « constants finis », et c'est cette glose qui l'a fixé ici. Les deux crochets ouvrants de (ii) et (iii) sont sur la page et ne se referment pas

B) Conditions équivalentes

le bloc qui suit est accolé à gauche et barré de deux diagonales ; il est remplacé par le (i) qui le suit

1. (ii)Comme (ii) dessus, mais en exigeant de plus que l'objet final de \(\mathcal{T}\) est somme finie d'objets connexes.
2. (ii bis), (iii), (iv) Comme plus haut, mais en exigeant que l'objet final de \(C\) (ou encore, […] [d'un […]]) est somme finie d'objets connexes.

1. (i)\(C\) satisfaisant aux conditions de A), et son objet final est somme effective universelle d'objets connexes.

209sa page 2

1. (ii)On a les conditions G0 à G5 :

• G0\(C\) est une \(\mathcal{U}\)-catégorie, l'ens. des classes […] classes d'isomorphie d'objets de \(C\) est \(\mathcal{U}\)-petit.
• G1Existence de \(\varprojlim\) [inv.] finies et \(\varinjlim\) [sommes finies].
• G2Les épim. relations d'équivalence sont effectives, les épim. […] effectifs universels [finies sont disjointes] \(\mid\) épi. universelles.
• G3Tout morphisme \(X \longrightarrow Y\) se factorise en un morphisme de descente effective épimorphisme, suivi d'un isom. sur un sommand direct.
• G4Tout L'objet [final] est une somme disjointe effective univ. d'objets connexes.
• G5[…] [ou encore : l'objet final est réunion finie d'objets connexes] Soit \(f : X \longrightarrow Y\) avec \(X\), \(Y\) connexes ; alors \(\exists\) entier \(N\) tel que pour tt \(Y' \longrightarrow Y\), \(Y' \neq \emptyset_C\), \(X \times_Y Y'\) […] connexes [[…]]

1. (iii)[…] \(C\) est équivalente à une catégorie produit \(\prod_{i \in I} C_i\), les \(C_i\) galoisiennes.

[ N.B. les \(C_i\) correspondent […] une composante connexe [\(e_i\)] de l'objet final ; la donnée d'une équivalence \(C_i \simeq C(\pi_i)\) correspond à la donnée d'un foncteur fibre [de \(C_{/e_i}\)] d'un « rev. universel » de l'objet \(e_i\). ]

un signe précède ce dernier \(e_i\) que je ne lis pas

Démonstration de A

(iii) \(\Rightarrow\) (ii bis) \(\Rightarrow\) (ii) \(\Rightarrow\) (i) trivial ; et (i) \(\Rightarrow\) (iii) aussi ; car si \(X \in \mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\), […] \(\mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\), est l'objet final de \(\mathcal{T}\) est somme (donc dans \(\mathcal{T}\)) d'objets \(e_i\) (\(i \in \mathbb{N}\)) aux \(X|e_i\) de rang \(i\). De plus, \(\mathbf{Isom}_{e_i}\bigl([1, i]_{e_i} ,\, X\bigr) = P_i \longrightarrow\) dans un objet de \(\mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\) tel que \(P_i \longrightarrow e_i\) épim. (i.e. un torseur sous \((\mathfrak{S}_i)_{e_i}\) !) et tel que

le groupe est écrit d'un S cerclé ; l'énoncé — un torseur sous lequel un objet de rang \(i\) devient constant — le donne pour le groupe symétrique, et il est rendu ici \(\mathfrak{S}_i\)

210sa page 3

\(X_{P_i} \simeq [1, i]_{P_i}\). Les \(P_i \longrightarrow e\) forment une famille épimorphique de descente effective universelle pour les \(\mathcal{T}\), donc aussi des \(\mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\) ( N.B. \(\mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\) stable [est] A.B. par produits finis et même [et par \(\varprojlim\) et \(\varinjlim\) finis] ).

Démonstration de B En fait, on constate aisément que les conditions de A(ii) impliquent G0 G1 G2 G3.

ce qui suit jusqu'au bas de la page est barré d'une longue diagonale ; seuls des fragments s'en laissent lire

L'équivalence de (i) et (iii) tient au fait que les décompositions en somme de \(e\), dans \(\mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\) ou dans \(\mathcal{T}\), sont les […] donc disent que […] dans \(C\), […]

Pour prouver que les conditions impliquent (iv), il faut [prouver] […] qu'elles impliquent G4, i.e. tout revêtement fini d'un objet connexe \(e\) est somme finie d'objets connexes. En fait, si \(X \longrightarrow e\) de rang \(n\) sur \(e\), […] le […] de composantes connexes de \(X\) est \(\leq n\), et ce qui les \(X \longrightarrow\) \(e\) finis : c'est immédiat par récurrence sur \(n\) et « définition du rang ». […] — prenant pour \(\mathcal{T}\) le topos \((B\pi_i)\) […]

(v) \(\Rightarrow\) (iii) […] « somme » des \(B\pi_i\) où chaque \(\pi\) […] […] prouver (iv) \(\Rightarrow\) (iii). Je préfère (ii) \(\Rightarrow\) (iii).

211sa page 4

Pour […] exiger G0 : G4, il faut prouver ceci : si \(X \in \mathrm{ob}\,C\), alors il existe [les] une famille de descente effective universelle \(S_i \longrightarrow e\) telles que les \(X_{S_i}/S_i\) soient constant finis, recouvrant \(e\) par la topologie de la descente effective. Utilisant G2 et G4, […] [sommant] sur \(e_i\) ( somme non disjointe « (c) » et produit fibrés constants ), […]

[G3]

ce qui suit est accolé à gauche et barré de deux longues diagonales

[…] et universelle, et forment une famille sur \(e'\) le […] « […] certain ». Je dis, En effet, considérons […] \(e'\) […] \(e''\) son « complémentaire » […] \(e'' = \emptyset\) i.e. \(e' = e\).

\(X_{e''}\) sur \(e''\), alors […] que si \(X \longrightarrow Y\) (\(Y\) non […] non vide […]) est tel que \(Y\) […] \(X\) connexe, alors \(\exists\, Y' \longrightarrow Y\) […] universelle, avec \(X_{Y'} \simeq [1, n]_{Y'}\) : procéder par récurrence sur l'entier en baissant les dimensions ([…] le rang], on […] constatation plus haut […] G5 […]

Remarque : il se peut […] Notons qu'en prisant […] G5\('\) […] […] \(\exists\) foncteur exact […] prouvant que G5 est redondant […] des autres axiomes, on […] voir : pour tt composant connexe \(e_i\) de \(e\), […] \[ F : C \longrightarrow (\mathrm{Ens}\ f) \quad \text{tel que} \quad F(e_i) \neq \emptyset \]

212sa page 1 bis, cerclée ; c'est la « feuille 1 bis » que la page 208 annonce sous A(iv). Ses quatre rubriques sont numérotées à rebours, 3, 2, 1, 0, chaque chiffre cerclé

\(\exists\) foncteur

(3) On les définit, pour tt […] \(A\) […] \(\neq \emptyset\), la classe des « morphismes de degré \(n\) », de façon que

1. a)stabilité par changement […]
2. b)additivité finie
3. c)Un isom. […] est de degré \(1\)
4. d)Si \(f : X \longrightarrow Y\), […] alors \(Y = \displaystyle\coprod_{n \in \mathbb{N}} Y_n\), somme directe disjointe, effective, universelle, tels que \(X_n = X \times_Y Y_n \longrightarrow Y_n\) soit de degré \(n\).
5. d)Si \(f : X \longrightarrow Y\) est de degré \(n \geq 1\), alors \(f\) […] un morphisme de descente effective [ donc de descente effective universelle grâce à a) ]
6. e)Si \(f : X \longrightarrow Y\) est de degré \(0\), alors \(X = \emptyset_C\) […] et un isomorphisme avec […] sommand direct universel.

(2) Tous les monomorphismes […] […] un […]

(1) Existence des \(\varprojlim\) finies […]

([…]) \(e\) […]

(0) \(C\) est une \(\mathcal{U}\)-catégorie (i.e. les \(\mathrm{Hom}(X, Y)\) sont \(\mathcal{U}\)-petits) et l'on des […] classes d'isom. d'objets de \(C\) […] \(\mathcal{U}\)-petites.

\('\) Indiquer condition A(iii). En effet, prouvons que pour \(X\) […] donné, les \(S \to e\) tels que \(X_S\) constant fini sur \(S\) forment […] famille de descente eff. universelle. Ainsi : a), f) […] on est ramené à prouver l'analogue pour \(X \longrightarrow Y\) […] \(\varprojlim\) […] avec \(X \longrightarrow Y\) de degré \(n\) ( à trouver un morphisme de descente eff. universelle qui trivialise ). Si \(n = 0\), on conclut par 3 a) puis \(X = \emptyset\), […] prend \(Y \longrightarrow Y\) (\(X = \emptyset_Y\) !). Si \(n > 0\), on procède par récurrence supposant que

Puissances fibrées, partitions et comptes de dimension (page 213)

feuillet en travers, d'un tout autre sujet que ce qui l'entoure : les puissances fibrées \(X^E\) d'un morphisme \(f : X \to Y\), les partitions \(P\) de \(E\), et un compte de dimensions. Il ne le pagine pas, et le feuillet entier est barré de deux longues diagonales. Il est transcrit ici à son rang, sans qu'aucune continuité avec la suite multigaloisienne ne soit affirmée

213

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X^P \arrow[r, hook, "\alpha_P"] & X^E
\end{tikzcd}

sous \(\alpha_P\) il écrit « imm. fermée » ; sous \(X^P\) un trait crochu porte \(F_P\), sans tête, et son sens n'est pas fixé

\[ X^E = \bigcup_P \alpha_P\bigl((X^P)^{\ast}\bigr) \qquad \text{(disjoint)} \] \[ (f^E)^{-1}\bigl(\Delta_y^{(E)}\bigr) = \bigcup_P \alpha_P(F_P) \qquad \text{(réunion disjointe)} \] de dim \(n - (\mathrm{card}\,P - 1)d \;\geq\; n - \mathrm{card}(E)\,d\), égalité pour \(P = P_0\) seulement \(\hookrightarrow\) partition maximale.

\(\underline{\mathrm{card}\,E = 3}\) :

• partition en 3 : \(P_0\)
• partitions en 2 : \((1)(23)\), \((2)(31)\), \((3)(12)\) \(P_{23}\), \(P_{31}\), \(P_{12}\)
• partition en 3 : \(P_1\)

les deux lignes extrêmes portent le même chiffre, 3, là où l'une des deux devrait porter 1 ; le chiffre est écrit deux fois de la même main et laissé tel quel — sic

\[ (f^3)^{-1}\bigl(\Delta_y^{(3)}\bigr) = \underset{n - 2d}{F_3} \;\cup\; \underset{n - d}{\bigcup_{1 \leq i < j \leq 3} \alpha_{ij}(F_2)} \;\cup\; \underset{n}{\Delta_X^{(3)}} \]

dim « génériques »

suit un bloc barré, sous le mot « Question » lui-même barré ; il se lit en partie

\(\overline{F}_3 \cap \Delta_X^{(3)} = \emptyset\) ; \(\overline{\alpha_{ij}(F_2)} \cap \Delta_X^{(3)} = \alpha_{ij}(\overline{F}_2) \cap \Delta_X^{(3)} = \alpha_{ij}\bigl(\overline{F}_2 \cap \Delta_X^{(3)}\bigr) = \emptyset\) ; \(\overline{F}_3 \cap \alpha_{ij}(F_2)\), \(\overline{F}_3 \cap \alpha_{ij}(\overline{F}_2)\) […]

N.B. Si \(f\) est […], alors \(\overline{F}_3 \cap \Delta_X^{(3)} = \emptyset\), \(\overline{\alpha_{ij}(F_2)} \cap \Delta_X^{(3)} = \emptyset\).

fermé

Mais que peut-on dire de \[ \overline{F}_3 \cap \overline{\alpha_{ij}(F_2)} \;\cdot\; \overline{F}_3 \cap \alpha_{ij}(\overline{F}_2) \;\;? \]

\[ x_1^0 \neq x_2^0 \neq x_3^0 \qquad\qquad x_1^0 = x_3^0 \neq x_2^0 \]

les exposants de ces six points sont un seul trait rond ; \(0\) est la lecture retenue, sans certitude

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X(1) \arrow[dr] & & X(2) \arrow[dl] \\
& y &
\end{tikzcd}

\[ \dim X = 3 , \quad \dim Y = 4 , \qquad \dim F_3 = 1 , \qquad \dim \alpha_{ij}(F_2) = 2 \]

en bas à gauche, un petit croquis — deux ouverts \(U\) et \(V\) se coupant, avec « \(x_1, x_2 \in U\) » — qui n'est pas repris ici

Morphismes de degré \(n\), les conditions C, et la proposition finale (pages 214 à 216)

214sa page 1 ter, cerclée ; le feuillet fait suite à la page 1 bis

c'est prouvé pour les entiers \(< n\). \{ Utilisant 3 d),

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d] & X \times_Y X = X' \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & X = Y' \arrow[l, no head]
\end{tikzcd}

et regarder l'épimorphisme diagonal \(\Delta_{X,Y}\) ( existe par (1) ), par (2) […] un sommand direct [universel] donc \(X' \simeq Y' \sqcup X'_1\) ; par 3 a) \(X' \longrightarrow Y'\) […] est de degré \(n\) [\(n-1\)], par 3, donc par 3 b) et f) \(X'\) \(\longrightarrow Y'\) […] de degré 1, on voit que \(X'_1 \longrightarrow Y'\) est de degré \(n-1\). Les […] […] l'hyp. de récurrence, on trouve \(Y''_s \longrightarrow Y'\) famille […] de descente eff. universelle, qui trivialise \(X'_1\) ; comme \(X' \simeq Y' \sqcup X'_1\) universellement, \[ X'' = X \times_Y Y'' \simeq Y'' \sqcup \underbrace{(X'_1 \times_{Y'} Y'')}_{Y'' \times [1,\, n-1]} = Y'' \times [1, n] . \] \(Y'' \longrightarrow Y\) est de descente […] effective universelle, comme composé de deux tels, OK.

Explicitation. Pour vérifier […] qu'un \(f\) […] morphisme […] et de descente effective [cf. condition 3 d)], il suffit de savoir que c'est un épimorphisme effectif universel, et de savoir que les relations d'équivalence sont effectives universelles […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
Z'' \arrow[d]
  & Z \arrow[l, dashed] \arrow[d]
  & D \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12] \arrow[d] \\
Y & X \arrow[l]
  & X \times_Y X \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12]
\end{tikzcd}

le nom du sommet supérieur gauche porte deux traits surmontés de points et n'est pas assuré

Conclusion Dans les conditions de A(iv), la notion de « morphisme de degré \(n\) » est uniquement déterminée, et correspond équivaut à : \(\exists\, Y' \longrightarrow Y\) épimorphisme […] effectif universel, et de descente effective […], avec \(X \times_Y Y' \simeq [1, n]_{Y'}\) ( \(Y' \to\) […] isom. […] ).

215sa page 5, cerclée

C. Conditions équivalentes, […] galoisiennes

1. (i)Comme A(i), avec l'objet final de \(\mathcal{T}\) connexe.
2. (ii), (ii bis), (iii), (iv) Comme dans A, en supposant de plus l'objet final […] de \(C\) connexe.
3. (v)Comme A(iv) : les axiomes G0 G1 G2 G3, et de plus : \(\exists\) foncteur conservatif \[ F : C \longrightarrow (\mathrm{Ens\ fini}) \] (qui est conservatif), exact : gardant et commutant aux sommes finies.
4. (vi)[…] Il existe un groupe profini \(\pi\) et une équivalence \(C \simeq C(\pi)\).

216sa page 6, cerclée

Proposition Soit \(u : C \longrightarrow C'\) un foncteur exact, avec \(C\), \(C'\) des catégories multigaloisiennes. Alors :

1. (i)\(u\) fidèle \(\Longleftrightarrow\) \(u\) conservatif \(\Longleftrightarrow\) pour tt objet \(X\) de \(C\), \(u(X) = \emptyset \Longrightarrow X = \emptyset\).
2. (ii)\(u\) pleinement fidèle \(\Longleftrightarrow\) pour tt objet \(X\) de \(C\), toute l'application […] […] \(X\) \(u(X)\) est une bijection de l'ens. des sous-objets de \(X\) avec l'ens. des ss.-objets de \(Y\).
3. (iii)\(u\) une équivalence \(\Longleftrightarrow\) \(u\) est pl. fidèle (cf. (ii)) et tout objet de \(C'\) est subordonné à un objet de […] \(u(X)\) …

si \(u\) n'est […] pl. fidèle, […], tt […] ss.-objets et […] par les […] subordonnés

la moitié inférieure de la page est nue ; la cote s'arrête là