Pratiquement, on vérifie : contractions i_0(k_0), i_1(k_1), i_2(k_2) et de bonnes cochaînes , sur les .

les trois premières lignes de la page sont barrées en leur milieu par une insertion elle-même biffée ; ce qui subsiste ne se laisse pas lire

On utilise le fait que \pi_0(k_{\ast}) = e, \qquad \text{« } \pi_1(k_{\ast}) = e \text{ »} \qquad \text{i.e.} \quad \pi^1(k_{\ast}, G) = e

l'indice de k est un pâté, comme au bas de la page 180 ; le contexte ne le fixe pas et il est rendu ici par \ast

donc toute donnée de descente est une prolongation et on utilise le fait \pi_0(K_{\ast}) = e pour le fait que deux prolongations d'un automorphisme d'un structure de descente pro- est trivial.

suit un bloc encadré, relié par des arcs à ce qui précède, et dont la lecture ne se laisse pas établir ; il se termine sur un mot biffé, Régularisation

deux traits de renvoi descendent de ce diagramme vers les mots fini et gpe top. discret

\Lambda \mathbb{Z} F f(x,y) f(u) K_1 E S \leftarrow S'

\overline{K}_1 \to G qui un \overline{F} de façon que \overline{K}_1 y continue

k[[s,t]], k alg. clos

g(p(t_1))\, f(t_1)\, g(q(t_1))^{-1}

les arguments des trois facteurs sont écrits menu et ne se distinguent pas sûrement les uns des autres ; la formule est celle de l'équivalence des données de descente de la page 180

\pi_1^{\#}(S, a), encadré, et surmonté de S connexe

le signe entre \pi_1 et (S,a) est un croisillon, tracé deux fois sur la page de la même façon ; c'est donc une notation et non une rature, mais rien ici n'en fixe le sens

au bas de la feuille, un chemin d'arêtes de x à a, dont les flèches ne vont pas toutes dans le même sens : x \xrightarrow{u_n} \cdot \xrightarrow{u_{n-1}} \cdot \; \cdots \; \xrightarrow{u_1} a ; à côté, d_0, d_1, d_2 portés sur une esquisse simpliciale

mais il est naturel de mettre sur \pi_0(L) la topologie image inverse de celle de K topologie des \pi_0(L), pratiquement, de la ]. F est connexe si F \simeq \mathrm{id}_{\mathrm{Ens}}, i.e. F est T-représentable par l'objet ponctuel [ par une ].

Considérons un deux foncteurs F^{*} : \quad F^{*0} \rightrightarrows F^{*1} \qquad (F^0, F^1 \in \underline{\mathrm{Hom}}(\mathrm{Ens}, \mathrm{Ens})) et le foncteur noyau \pi^0(F^{*}) = F = \mathrm{Ker}\,(F^0 \rightrightarrows F^1) si F^0, F^1 sont strictement T- pro-représentables, alors les deux flèches précédentes des flèches

et F sera également T-représentable [N.B. Peut-être des foncteurs T-représentables ou T-groupes, prennent limites inductives pro- et le \pi_0 associé ]. Une où F^{*} donnée est et son noyau est connexe.

Considérons un « foncteur ½cosimplicial », de \underline{\mathrm{Hom}}(\mathrm{Ens}, \mathrm{Ens})

on lui associe foncteurs \pi^0(F^{*}; E), \pi^1(F^{*}; G), si E un ensemble, G un groupe variable. Si F^{*} \to \mathrm{id}_{\mathrm{Ens}}, on définit i.e. muni de \pi^0(F^{*}, \xi; E) et \pi^1(F^{*}, \xi; G),

Proposition. Soit f : X \to Y un morphisme, avec

Sous ces conditions, f est de type fini.

On peut supposer X Y affine, donc noethérien, (car il suffit de voir pour f^{-1} d'un pt. générique). X intègre et f dominant. Soient U un de X, il est au-dessus de Y, dont mais il est ½ isomorphe fini X', qui un intègre. Soit X''

le diagramme est porté dans la marge de gauche ; la flèche X'' \to X est annotée fini, celle qui descend vers Y porte une mention illisible

fini intègre de X \times_Y X' adhérence le « » de U \times_Y U', dans X'' ; ainsi au-dessus de X et X'.

le mot entre guillemets nomme la construction et ne se laisse pas lire ; il n'est pas remplacé par une conjecture

Mais X'' \to X est fini, et il est dominant, est surjectif. Il suffit donc de voir que X'' est de t.f. sur Y, on remplacer X par X'. Or X'' \to X' est un morphisme birationnel, X'' et X' intègres. Donc il y a un X'-morphisme surjectif X' \to X'', i.e. X' est le normalisé. Or X' \to fini, …

Opérateur d'homotopie pour d''

\overline{W}_n(G) = G_{n-1} \times G_{n-2} \times \cdots \times G_0 \overline{W}_n(G) \tau : \overline{W}_n(G) \longrightarrow G_{n-1}

\varphi_n(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}\left(1 + \frac{p_1}{n-1} + \frac{p_2}{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} + \cdots + \frac{p_k}{\binom{n-1}{k}} + \cdots + p_{n-1}\right) où p_k = \struck{\text{somme des}} \sum x_1 x_2 \ldots x_k.

les indices des variables sommées sont écrits sans distinction ; la somme est celle des fonctions symétriques élémentaires

U_j f = \frac{1}{2\pi i} \int_{B_j} f(z_1, \ldots, z_{j-1}, t, z_{j+1}, \ldots, z_n)\, \frac{dt}{t - z_j} T_j f = \frac{1}{2\pi i} \iint_{K_j} f(z_1, \ldots, z_{j-1}, t, z_{j+1}, \ldots, z_n)\, \frac{dt\, \overline{dt}}{t - z_j}

la variable complexe est tracée en 3 bouclé, comme le groupe sans nom de la page 176 ; l'indice porte le même trait, et il est rendu ici par j puisque le contexte en fait un entier entre 1 et n

Et Pour toute suite strictement croissante j_1 < j_2 < \cdots < j_q, on note introduit l'opérateur \varphi_n(U ; j_1, \ldots, j_q) ce que devient \varphi_n(U_1, \ldots, U_n) quand on remplace U_{j_1}, \ldots et U_{j_q} par zéro.

L'opérateur d'homotopie, pour \omega = a\, d\overline{z}_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\overline{z}_{j_q} (q \geq 1) est P\omega = \varphi_n(U ; j_1, \ldots, j_q) \ast \sum_{\gamma=1}^{q} (-1)^{\gamma-1} (T_{j_\gamma} a)\; d\overline{z}_{j_1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d\overline{z}_{j_\gamma}} \wedge \cdots \wedge d\overline{z}_{j_q} (n est le nombre des variables)

le signe qui sépare \varphi_n de la somme est un astérisque appuyé ; la page ne dit pas de quelle opération il s'agit

P d'' f \;\struck{d'' P f} \;=\; f - U_1 U_2 \ldots U_n f

sa page 1

\mathrm{Et}(S) le site étale de S. \mathcal{U} un univers.

S schéma. Un « domaine de ramification » sur S est un couple (R, r) formé d'un champ en \mathcal{U}-catégories multigaloisiennes R sur \mathrm{Et}(S), et d'un morphisme de champs continu (« réalisation géométrique ») r : R \longrightarrow \mathrm{Fl}_S où \mathrm{Fl}_S est la catégorie fibrée sur \mathrm{Et}(S) dont la fibre en S' est (\mathrm{Sch})_{/S'} ; un objet X de R_{S'} (objet de \mathrm{Et}(S)) est dit revêtement de type R sur S', r(X) est sa réalisation géométrique. On fait l'hypothèse les données sont soumises aux axiomes suivants :

Prop. 1 Écri Disons qu'une famille de flèches de R_{S'} est convergente si la famille r(X_i) \to r(X) est surjective, i.e. (grâce à R1 c'est « Kif Kif ») et les images X_i \subset X sont telles que les r(X_i) recouvrent r(X). Alors ces familles sont les familles couvrantes d'une topologie sur R_{S'}, et le foncteur chgt de base R_{S'} \longrightarrow R_{S''} est continu.

on veut que les foncteurs chgt. de base soient exacts !

on veut que dans \mathrm{Fl}_S quotient déterminable

dans R_Y, il de supposer Y = e — n'utilisant que R1 et R3, R4

que la famille des objets de R_{S'} soit loc. constante finie

sa page 3

Utilise R1 et R2

Prop. 2 Soit X \in \mathrm{Ob}\,R_{S'}. Alors X = \emptyset \Longleftrightarrow r(X) = \emptyset, X connexe \Longleftrightarrow r(X) connexe.

Soit C une \mathcal{U}-catégorie multigaloisienne, P un objet. Un objet X de C est dit subordonné à P si X_P \to P est P, i.e. X_P est de un, X est connexe.

la marge porte en regard, d'une part un produit fibré de X_P et d'un second objet au-dessus de X, d'autre part le carré dont les sommets sont X, ce second objet, e et P ; l'indice du second objet porte un trait que je ne sais pas identifier, et il n'est pas conjecturé ici

Pour P fixé, les objets X de C subordonnés à P forment une sous-catégorie pleine stable par \varprojlim finies et par sommandes directs

[car les objets sur P (qui sont « constants par morceaux ») forment une sous-catégorie pleine de C_{/P} stable par \varprojlim finies et directes … ], donc c'est une catégorie multigaloisienne pleine de C, soit C^{(P)}. Si P de G, cette catégorie maintenant C = R_{S'}, on peut regarder la

la sous-catégorie fibrée pleine de R formée des X' \in \mathrm{Ob}\,R_{S'}, qui sont localement subordonnés à P. On voit encore que c'est par \varprojlim finies et par sommandes directes, donc c'est une sous-catégorie multigaloisienne pleine R^P de R.

de catégories multigaloisiennes dans P

Supposons maintenant P galoisien de groupe G, alors les objets de R_S subordonnés (pas seulement loc. !) à P correspondent aux objets sur P constants par morceaux, avec de G dessus. Or, grâce à R1, R24, un objet X sur P constant par morceaux r(X) définit un objet r(P) constant par morceaux, et

relèvement

sa page 5

Notons d'ailleurs

Prop. 4 Pour tt schéma Z sur S, à groupe fini G d'opérateurs, agissant de façon admissible, le champ défini décrit par le comme dessus est un champ en \mathcal{U}-catégories multigaloisiennes, et le foncteur « passage au quotient par G » (qui est défini, car l'action de G est admissible) est une donnée de ramification sur S.

le mot que je lis donnée pourrait être domaine : c'est le terme que la page 190 définit et que la chemise de la page 188 porte en titre ; la lettre ne tranche pas et l'article, féminin, va contre

Que R_{S'} soit multigaloisienne : tout d'abord, il admis de la catégorie des objets rev. à opérateurs G des Z_{S'}, où on en prend une sous-catégorie stable par \varprojlim finies et par sommandes directs ; OK. Foncteur et : OK.

Le foncteur r, étant un passage au quotient, commute aux \varinjlim finies (que calcule au sens de (\mathrm{Sch}) !), d'où R1. De = R2 est immédiat. R3 aussi. R4 aussi. OK.

Ainsi Supposons pour simplifier S affine, et que R satisfait une petite condition supplémentaire ( vérifiée en pratique). Pour tt objet de R_S, son sur de R_S base, i.e. X est subordonné à un objet objet à opérateurs galoisien (P, G) dans R_S.

Alors R_S est limite inductive filtrante de sous-catégories R^P_S. On donne une bonne description de R_S, , en termes d'un système projectif projectif d'objets à opérateurs (Z_i, G_i)

sa page 7 ; le coin porte en outre la notation \mathrm{Domram}(S)

les domaines de ramification du sur S forment une 2-catégorie. Pour S' variable, les 2-catégories ainsi obtenues \mathrm{Domram}(S') forment une 2-catégorie fibrée …

Si (R, r) est défini par Z, G, de sorte qu'on un objet galoisien canonique P dans R_S, de groupe G, un hom. (R, r) \to (R', r') définit un objet \varphi(P) de R', qui est galoisien de groupe G, et un isomorphisme compatible avec G r(\varphi(P)) \overset{\alpha}{\simeq} \struck{\ill{}}\; Z

Prop. 6 On donne ainsi une équivalence entre \underline{\mathrm{Hom}}((R, r), (R', r')) et la catégorie des couples (P', \alpha), i.e. P' est un objet galoisien de R'_S, de groupe G, et \alpha un G-isomorphisme r(P') \simeq Z .

[ Si (P', \alpha) sont deux termes, on a une équivalence R \cong R'^{P'}. On trouve en passant :

Cor. Alors Tout hom. (\varphi, \lambda) de domaines de ramification, \varphi est néc. pleinement fidèle. ]

En particulier

Cor. En Si (R', r') est défini par Z', G', alors \underline{\mathrm{Hom}}((R, r), (R', r')) est équivalent à la catégorie des revêtements principaux P' de Z', de groupe G, sur lequel G' opère de façon compatible avec ses opérations sur Z', muni d'un isom. de G-schémas sur S P'/G' \simeq Z .