Cote n° 29 · batch 10 · pages 181–200 · Transcription · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration

\(\pi_0\) : foncteurs ½cosimpliciaux, pro-représentabilité stricte (pages 181, 182, 184 et 185)

le titre « \(\pi_0\) » est de lui et ouvre la page 182 ; les pages 181, 182, 184 et 185 sont d'un crayon très pâle sur un feuillet dont le verso transparaît au même ton, et la page 181 porte en filigrane la page 182 tout entière — seule l'encre de chaque recto est transcrite ici

181

Pratiquement, on vérifie : contractions \(i_0(k_0)\), \(i_1(k_1)\), \(i_2(k_2)\) […] et […] de bonnes cochaînes […], sur les […] […].

les trois premières lignes de la page sont barrées en leur milieu par une insertion elle-même biffée ; ce qui subsiste ne se laisse pas lire

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\overline{K}_0 & \overline{K}_1 \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12]
  & \overline{K}_2 \arrow[l, bend left=20] \arrow[l] \arrow[l, bend right=20]
\end{tikzcd}

On utilise le fait que \[ \pi_0(k_{\ast}) = e, \qquad \text{« } \pi_1(k_{\ast}) = e \text{ »} \qquad \text{i.e.} \quad \pi^1(k_{\ast}, G) = e \]

l'indice de \(k\) est un pâté, comme au bas de la page 180 ; le contexte ne le fixe pas et il est rendu ici par \(\ast\)

donc t[ou]te donnée de descente est une prolongation et on utilise le fait \[ \pi_0(K_{\ast}) = e \] pour le fait [que] deux prolongations d'un […] automorphisme d'un […] structure de descente […] pro-[…] est trivial.

suit un bloc encadré, relié par des arcs à ce qui précède, et dont la lecture ne se laisse pas établir ; il se termine sur un mot biffé, Régularisation

[…]

182

\(\pi_0\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
F^0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r, bend right=12]
  & F^1 \arrow[r, bend left=20] \arrow[r] \arrow[r, bend right=20] & F^2
\end{tikzcd}

foncteurs \((\mathrm{Ens}) \to (\mathrm{Ens})\), objet simplicial de \(\mathrm{Hom}(\mathrm{Ens}, \mathrm{Ens})\).

Posons en principe […] définir les \(\pi_0\), \(\pi_1\).

\(\pi_0(F)\), \(F \in \underline{\mathrm{Hom}}(\mathrm{Ens}, \mathrm{Ens})\), \(F\) \[ F(I) \underset{?}{\simeq} C(K, I) \] \(K\) un gpe top. tot. discontinu [[…]]

cond. néc.

1. a)\(F\) commute aux produits \(\varprojlim\) finies, i.e. \(F\) exact à gauche [[…] \(F(\emptyset)\) […]]
2. b)\(F(\bigcap I_{\alpha}) = \bigcap_{\alpha} F(I_{\alpha})\) pour toute famille filtrante de sous-ensembles de \(I\)
3. c)Alors \(\varprojlim \pi_{0j} \longrightarrow \pi_{0i}\) est surjectif pour tt \(i\)

Ces conditions équivalent à : \(F\) strictement pro-représentable par un système projectif strict \((\pi_{0i})_i\) […] d'ensembles.

Ces conditions sont néc. et suffisantes, et on pourra prendre \(K = \varprojlim \pi_{0i}\), avec la topologie limite inverse des top. discrètes.

N.B. […] \(F\) est […] de \(2\) façons [pointées] \(C(L, I)\), \(L\) un gp. top., […] \(\pi_0(L) \to K\). Si \(L\) n'est pas compact, ce […] n'est […] un isomorphisme, ni surjectif, ni injectif,

Bourb. Topologie II, p. 232, prop. 6

le chiffre romain du fascicule est de ceux que sa main ne distingue pas d'un 2 ; il est laissé tel quel

Feuillet d'esquisses (page 183)

page en travers, couverte de tracés sans ordre de lecture ; on en donne ci-dessous les fragments qui se lisent, dans leur disposition sur la feuille, sans leur supposer d'enchaînement

183

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\overline{K}_0 & \overline{K}_1 \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12]
  & \overline{K}_2 \arrow[l, bend left=20] \arrow[l] \arrow[l, bend right=20]
\end{tikzcd}

deux traits de renvoi descendent de ce diagramme vers les mots fini et gpe top. discret

\(\Lambda\) \(\mathbb{Z}\) \(F\) \(f(x,y)\) \(f(u)\) \(K_1\) \(E\) \(S \leftarrow S'\)

\(\overline{K}_1 \to G\) qui […] un \(\overline{F}\) […] de façon que \(\overline{K}_1\) y […] continue

\(k[[s,t]]\), \(k\) alg. clos

\[ g(p(t_1))\, f(t_1)\, g(q(t_1))^{-1} \]

les arguments des trois facteurs sont écrits menu et ne se distinguent pas sûrement les uns des autres ; la formule est celle de l'équivalence des données de descente de la page 180

\(\pi_1^{\#}(S, a)\), encadré, et surmonté de \(S\) connexe

le signe entre \(\pi_1\) et \((S,a)\) est un croisillon, tracé deux fois sur la page de la même façon ; c'est donc une notation et non une rature, mais rien ici n'en fixe le sens

au bas de la feuille, un chemin d'arêtes de \(x\) à \(a\), dont les flèches ne vont pas toutes dans le même sens : \(x \xrightarrow{u_n} \cdot \xrightarrow{u_{n-1}} \cdot \; \cdots \; \xrightarrow{u_1} a\) ; à côté, \(d_0\), \(d_1\), \(d_2\) portés sur une esquisse simpliciale

Le foncteur noyau \(\pi^0(F^{*})\), et les \(\pi^0(F^{*},\xi;E)\), \(\pi^1(F^{*},\xi;G)\) (pages 184 et 185)

184

mais il est naturel de mettre sur \(\pi_0(L)\) la topologie image inverse de [celle de] \(K\) [topologie […] des \(\pi_0(L)\)], pratiquement, […] de la ]. \(F\) est […] connexe si \(F \simeq \mathrm{id}_{\mathrm{Ens}}\), i.e. \(F\) est \(T\)-représentable par l'objet ponctuel [[…] par une […] […]].

Considérons un deux foncteurs […] \[ F^{*} : \quad F^{*0} \rightrightarrows F^{*1} \qquad (F^0, F^1 \in \underline{\mathrm{Hom}}(\mathrm{Ens}, \mathrm{Ens})) \] et le foncteur noyau \[ \pi^0(F^{*}) = F = \mathrm{Ker}\,(F^0 \rightrightarrows F^1) \] si \(F^0\), \(F^1\) sont strictement [\(T\)-] pro-représentables, alors les deux flèches précédentes […] des flèches

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
K_0 & K_1 \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12]
\end{tikzcd}

et \(F\) sera également \(T\)-représentable [N.B. Peut-être […] des foncteurs \(T\)-représentables ou \(T\)-groupes, […] prennent […] limites inductives […] […] pro-[…] et le \(\pi_0\) associé ]. Une […] où \(F^{*}\) […] donnée est […] et […] son noyau est connexe.

Considérons un « foncteur ½cosimplicial », [de] \(\underline{\mathrm{Hom}}(\mathrm{Ens}, \mathrm{Ens})\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
F^0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r, bend right=12]
  & F^1 \arrow[r, bend left=20] \arrow[r] \arrow[r, bend right=20] & F^2
\end{tikzcd}

on lui associe […] foncteurs \(\pi^0(F^{*}; E)\), \(\pi^1(F^{*}; G)\), si \(E\) un ensemble, \(G\) un groupe variable. Si \(F^{*} \to \mathrm{id}_{\mathrm{Ens}}\), on définit […] i.e. muni de \(\pi^0(F^{*}, \xi; E)\) et \(\pi^1(F^{*}, \xi; G)\),

185

désignant la ponctuation. Plus précisément, si on a […] un […] foncteur ½cosimplicial \[ f^0 \rightrightarrows f^1 \Rrightarrow f^2 \] […] et un lien ½cosimplicial \(\xi\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
F^0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r, bend right=12] \arrow[d, "\xi^0"]
  & F^1 \arrow[r, bend left=20] \arrow[r] \arrow[r, bend right=20]
    \arrow[d, "\xi^1"] & F^2 \arrow[d, "\xi^2"] \\
f^0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r, bend right=12]
  & f^1 \arrow[r, bend left=20] \arrow[r] \arrow[r, bend right=20] & f^2
\end{tikzcd}

on définit \(\pi_0(F^{*}, \xi; E)\) et \(\pi^1(F^{*}, \xi; E)\).

Si \(F^0\), \(F^1\), \(F^2\) sont \(T\)-représentables, et dans le cas […] où […] le […] \(\xi : F^{*} \to f^{*}\), si \(f^{*}\) est \(T\)-représentable, on ramène ceci à la donnée d'une […] cosimplicial

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
K_0 & K_1 \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12]
  & K_2 \arrow[l, bend left=20] \arrow[l] \arrow[l, bend right=20]
\end{tikzcd}

[…] d'un ensemble ½simplicial ponctué ([…])

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
k_0 & k_1 \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12]
  & k_2 \arrow[l, bend left=20] \arrow[l] \arrow[l, bend right=20]
\end{tikzcd}

par un procédé standard …

Il y a lieu de généraliser ces constructions — on a vu que des \(K_i\), […] des \(\overline{K}_i\), on a des catégories galoisiennes itérées […] à chaque pt, ([…], les \(F_{\xi}\)) pour [dé]cider […] de descente : le Van Kampen …

Une proposition sur les morphismes de type fini (page 186)

186

Proposition. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme, avec

1. 1)[\(Y\) loc. noeth. et […] de type fini] \(f\) loc. de présentation finie et […]
2. 2)\(X\) irréductible […] [n'a qu'un] […] fini de comp. irréd.
3. 3)\(f\) loc. [de type fini] séparé-fini et \(f\) séparé

Sous ces conditions, \(f\) est de type fini.

On peut supposer \(X\) \(Y\) affine, donc noethérien, […] (car il suffit de voir pour \(f^{-1}\) [d'un] pt. générique). \(X\) intègre et \(f\) dominant. Soient \(U\) un […] de \(X\), il est […] au-dessus de \(Y\), dont […] mais […] il est ½ isomorphe […] fini \(X'\), qui […] un […] intègre. Soit \(X''\) […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& X'' \arrow[dl, "\text{fini}"'] \arrow[d] \\
X \arrow[d] & X' \\
Y &
\end{tikzcd}

le diagramme est porté dans la marge de gauche ; la flèche \(X'' \to X\) est annotée fini, celle qui descend vers \(Y\) porte une mention illisible

[…] fini intègre de \(X \times_Y X'\) adhérence […] le « […] » de \(U \times_Y U'\), dans \(X''\) ; ainsi […] [au-dessus de] \(X\) et \(X'\).

le mot entre guillemets nomme la construction et ne se laisse pas lire ; il n'est pas remplacé par une conjecture

Mais \(X'' \to X\) est fini, et il est dominant, est surjectif. Il suffit donc de voir que \(X''\) est de t.f. sur \(Y\), on […] [remplacer \(X\) par] \(X'\). Or \(X'' \to X'\) est un morphisme birationnel, […] \(X''\) et \(X'\) intègres. Donc il y a un \(X'\)-morphisme surjectif \(X' \to X''\), i.e. \(X'\) est le normalisé. Or \(X' \to\) […] fini, […] […] …

« Opérateur d'homotopie pour \(d''\) » (page 187)

la page est annulée par deux longues diagonales ; elle se lit néanmoins d'un bout à l'autre, et la biffure n'est signalée qu'ici

187

Opérateur d'homotopie pour \(d''\)

\[ \overline{W}_n(G) = G_{n-1} \times G_{n-2} \times \cdots \times G_0 \] \(\overline{W}_n(G)\) \(\tau : \overline{W}_n(G) \longrightarrow G_{n-1}\)

\[ \varphi_n(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}\left(1 + \frac{p_1}{n-1} + \frac{p_2}{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} + \cdots + \frac{p_k}{\binom{n-1}{k}} + \cdots + p_{n-1}\right) \] où \(p_k = \struck{\text{somme des}} \sum x_1 x_2 \ldots x_k\).

les indices des variables sommées sont écrits sans distinction ; la somme est celle des fonctions symétriques élémentaires

\[ U_j f = \frac{1}{2\pi i} \int_{B_j} f(z_1, \ldots, z_{j-1}, t, z_{j+1}, \ldots, z_n)\, \frac{dt}{t - z_j} \] \[ T_j f = \frac{1}{2\pi i} \iint_{K_j} f(z_1, \ldots, z_{j-1}, t, z_{j+1}, \ldots, z_n)\, \frac{dt\, \overline{dt}}{t - z_j} \]

la variable complexe est tracée en 3 bouclé, comme le groupe sans nom de la page 176 ; l'indice porte le même trait, et il est rendu ici par \(j\) puisque le contexte en fait un entier entre \(1\) et \(n\)

Et Pour toute suite strictement croissante \(j_1 < j_2 < \cdots < j_q\), on note introduit l'opérateur \(\varphi_n(U ; j_1, \ldots, j_q)\) […] ce que devient \(\varphi_n(U_1, \ldots, U_n)\) quand on remplace \(U_{j_1}, \ldots\) et \(U_{j_q}\) par zéro.

L'opérateur d'homotopie, pour \(\omega = a\, d\overline{z}_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\overline{z}_{j_q}\) \((q \geq 1)\) est \[ P\omega = \varphi_n(U ; j_1, \ldots, j_q) \ast \sum_{\gamma=1}^{q} (-1)^{\gamma-1} (T_{j_\gamma} a)\; d\overline{z}_{j_1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d\overline{z}_{j_\gamma}} \wedge \cdots \wedge d\overline{z}_{j_q} \] (\(n\) est le nombre des variables)

le signe qui sépare \(\varphi_n\) de la somme est un astérisque appuyé ; la page ne dit pas de quelle opération il s'agit

\[ P d'' f \;\struck{d'' P f} \;=\; f - U_1 U_2 \ldots U_n f \]

Domaines de ramification, catégories multigaloisiennes : les axiomes R1 à R4 (page 190)

le feuillet qui ouvre la suite — page 188, une chemise de carton par ailleurs nue — porte de sa main, souligné deux fois, « Domaines de ramification / Catégories multigaloisiennes » ; ces mots donnent son titre à la suite et le feuillet n'est pas transcrit. La page 189 est nue. Il pagine lui-même la suite de 1 à 10, en haut à droite

190sa page 1

\(\mathrm{Et}(S)\) le site étale de \(S\). \(\mathcal{U}\) un univers.

\(S\) schéma. Un « domaine de ramification » sur \(S\) est un couple \((R, r)\) formé d'un champ en [\(\mathcal{U}\)-]catégories multigaloisiennes \(R\) sur \(\mathrm{Et}(S)\), et d'un morphisme de champs [continu] (« réalisation géométrique ») \[ r : R \longrightarrow \mathrm{Fl}_S \] où \(\mathrm{Fl}_S\) est la catégorie fibrée […] sur \(\mathrm{Et}(S)\) dont la fibre en \(S'\) est \((\mathrm{Sch})_{/S'}\) ; […] un objet \(X\) de \(R_{S'}\) (objet de \(\mathrm{Et}(S)\)) est dit revêtement de type \(R\) sur \(S'\), […] \(r(X)\) est sa réalisation géométrique. On fait l'hypothèse […] les données sont soumises aux axiomes suivants :

• R1Le foncteur \(r\) commute aux sommes finies et au passage au quotient par une relation d'équivalence [il serait \(=\) axiome identique, \(\nexists\) plus bas […], mais en général pas exact à gauche !]. ([…] il suffit […] passage au quotient […] […] catégories galoisiennes […])
• R2Donné Soient \(S' \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Et}(S)\), et \(X \in \mathrm{Ob}\,R_{S'}\), l'application \(X' \mapsto r(X')\) ([\(=\) ss.-objets]) est une bijection de l'ens. des sous-objets directs \(X'\) de \(X\) avec l'ens. des sous-ensembles directs (i.e. parties ouvertes et fermées) de \(r(X)\).
• R3Soient \(S'\), \(X\) comme dessus, et soit […] \((X_i)\) une famille (pas néc. finie) de sous-objets de \(X\), telle que la famille des \(r(X_i)\) recouvre \(r(X)\). Alors la famille \(X_i \to X\) est une famille de descente effective (\(=\) un épimorphisme […] effectif […]). \(\gamma = \coprod_{i \in I} X_i\), avec \(X \times_Y X \simeq{}\) […]
• R4Soit \(X \to Y\) dans \(R_S\), […] \(S' \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Et}(S)\), […] dominant. On veut que les \(r(X_i)\) recouvrent \(r(Y)\). […] \((X_i \to X)\)

Prop. 1 Écri Disons qu'une famille de flèches de \(R_{S'}\) est convergente si la famille \(r(X_i) \to r(X)\) est surjective, i.e. (grâce à R1 c'est « Kif Kif ») et les images \(X_i \subset X\) sont telles que les \(r(X_i)\) recouvrent \(r(X)\). Alors […] ces familles sont les familles couvrantes d'une topologie sur \(R_{S'}\), et le foncteur chgt de base \(R_{S'} \longrightarrow R_{S''}\) est continu.

on veut […] que les foncteurs chgt. de base soient exacts !

on veut que dans \(\mathrm{Fl}_S\) […] quotient […] déterminable

dans \(R_Y\), il […] de […] supposer \(Y = e\) — n'utilisant que R1 et R3, R4

[…] que la famille des objets de \(R_{S'}\) soit loc. constante finie

191sa page 2

définit un morphisme de sites au sens inverse ].

Axiomes d'une topologie :

1. a)Si une famille est majorée par une famille couvrante, elle est couvrante : trivial
2. b)Une somme est couvrante : trivial
3. c)stabilité par chgt. de base : on est ramené à des \(X_i \to X\) qui sont des monomorphismes, grâce à b). mais dans ([…]) \(r\) commute aux produits fibrés \(X_i \times_X X'\), et on gagne.
4. d)Nature locale : supposons […] qu'on ait des \(X'_{\alpha} \to X\) couvrant \(X\), tels que […] \(\forall \alpha\), les \(X_i \times_X X'_{\alpha} = X'_{i\alpha}\) couvrent \(X_{\alpha}\). Alors les \(X_i\) couvrent \(X\). Ici encore, on est ramené au cas où les \(X_i \to X\) sont des monomorphismes, et on gagne.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_i & X'_i \arrow[l] \\
X \arrow[u] & X' \arrow[l] \arrow[u]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X_i \arrow[d] & X_{i\alpha} \arrow[d] \\
X & X_{\alpha} \arrow[l]
\end{tikzcd}

[…] SGA 4 : (Question : y a-t-il un axiome […] l'image inverse d'une topologie ? Mais attention, on […] que ce n'est pas exact : g. !). […] on a utilisé […] que R1. R3 […] [signifie] que les topologies […] \(R_{S'}\) sont loc. […] finies. […] que ce canonique, R4 que […] L'axiome sur le changement de base est trivial.

Corollaire. Prenant les topos associés aux \(R_{S'}\), associé aux \(R_{S'}\), on trouve un […] champ en topos \(\widetilde{R}_{S'}\) « sur » la sous-catégorie des objets loc. constants finis de \(R_{S'}\). Alors

suit un bloc rayé de plusieurs diagonales, qui pose une question à laquelle il ne répond pas : \(X \to Y\) un morphisme dans \(R_{S'}\), \(Y = \coprod_{n \in \mathbb{N}} Y_n\), avec \(X \times_Y Y_n \to Y_n\) […] (somme effective) ; la famille \(Y_n \to Y\) est-elle couvrante ? les \(r(Y_n) \to r(Y)\) comment […] ??

Objets subordonnés, sous-champs \(R^P\), et le cas galoisien (pages 192 à 194)

192sa page 3

Utilise R1 et R2

Prop. 2 Soit \(X \in \mathrm{Ob}\,R_{S'}\). Alors \(X = \emptyset \Longleftrightarrow r(X) = \emptyset\), \(X\) connexe \(\Longleftrightarrow r(X)\) connexe.

Soit \(C\) une \(\mathcal{U}\)-catégorie multigaloisienne, \(P\) un objet. Un objet \(X\) de \(C\) est dit subordonné à \(P\) si \(X_P \to P\) est […] […] \(P\), i.e. \(X_P\) est de […] un, \(X\) est connexe.

la marge porte en regard, d'une part un produit fibré de \(X_P\) et d'un second objet au-dessus de \(X\), d'autre part le carré dont les sommets sont \(X\), ce second objet, \(e\) et \(P\) ; l'indice du second objet porte un trait que je ne sais pas identifier, et il n'est pas conjecturé ici

Pour \(P\) fixé, les objets \(X\) de \(C\) subordonnés à \(P\) forment une sous-catégorie pleine stable par \(\varprojlim\) finies et par sommandes directs

[car les objets [sur \(P\)] (qui sont « constants par morceaux ») forment une sous-catégorie pleine de \(C_{/P}\) stable par \(\varprojlim\) finies et […] directes … ], donc c'est une catégorie multigaloisienne pleine de \(C\), soit \(C^{(P)}\). Si \(P\) […] de […] \(G\), cette catégorie […] […] maintenant \(C = R_{S'}\), on peut regarder la

la sous-catégorie fibrée pleine de \(R\) formée des \(X' \in \mathrm{Ob}\,R_{S'}\), qui sont localement subordonnés à \(P\). On voit encore que c'est […] par \(\varprojlim\) finies et par sommandes directes, donc c'est une […] sous-catégorie multigaloisienne pleine \(R^P\) de \(R\).

[…] de catégories multigaloisiennes […] dans \(P\)

Supposons maintenant \(P\) galoisien de groupe \(G\), alors les objets de \(R_S\) subordonnés (pas seulement loc. !) à \(P\) correspondent aux objets sur \(P\) constants par morceaux, avec […] de \(G\) dessus. Or, grâce à R1, R2[4], un objet \(X\) sur \(P\) constant par morceaux [\(r(X)\)] définit un objet […] \(r(P)\) constant par morceaux, et

relèvement

193

page sans numéro de sa main, insérée entre ses pages 3 et 4 ; elle est rayée de plusieurs longues diagonales

Proposition. Supposons R1, R3, R4. Alors R2 équivaut à la condition que \(r\) est fidèle.

Supposons \(r\) fidèle, prouvons R2. Soient \(X'\), \(X''\) deux sous-objets de \(X \in \mathrm{Ob}\,R_{S'}\), tels que \(r(X') \supset r(X'')\) comme sous-objets de \(r(X)\), […] or \[ r(X' \cap X'') = r(X') \cap r(X''), \] (def lemme) […] les inclusions \(X' \cap X'' \subset X'\) et \(X' \cap X'' \subset X''\) […] […] isom. dans \(r\). On est ramené au cas où on a [déjà] une inclusion \(X' \subset X''\), i.e. \(X'' = X' \sqcup X_1\). Alors \(r(X'') = r(X') \sqcup r(X_1)\) et l'hypothèse \(r(X') = r(X'')\) équivaut à \(r(X_1) = \emptyset\).

194sa page 4

[…] utilisant de plus R2, on voit que le foncteur \(X \mapsto r(X)\) des […] objets constants par morceaux dans les […] sur \(r(P)\) constants par morceaux est pl. fidèle. Utilisant de plus R2 et R3, on trouve qu'il est essentiellement surjectif. C'est donc une équivalence de catégories, i.e. Notons que comme \(G\) opère sur \(R\) il opère sur \(r(P)\), donc et on trouve que l'équivalence est compatible avec les opérations de \(G\). On trouve ainsi :

lemme déjà […] utilisé […]

Prop. 3 (Soit \(P\) un objet galoisien de groupe \(G\) dans \(R_{S'}\).) Le foncteur \(X \mapsto r(X \times P)/r(P)\) […] une équivalence de la catégorie des objets de \(R_{S'}\) subordonnés à \(P\), avec la catégorie des […] étales (constants par morceaux sur \(r(P)\), sur lesquels \(G\) opère de façon compatible avec ses opérations sur \(r(P)\)).

Utilisant le théorème de la descente, il vient

Cor. 1 Soit \(P\) objet galoisien de groupe \(G\) dans \(R_S\). Le foncteur \(X \mapsto r(X \times P)/r(P)\) induit une équivalence de la catégorie des objets de \(R_S\) loc. subordonnés à \(P\), avec la catégorie des revêtements étales […] de \(Z = r(P)\), à action de \(G\) compatible avec ses actions sur \(r(P)\), et satisfaisant la condition suivante (automatiquement vérifiée si \(r(P) = Z\) est fini sur \(S\)) : les \(S' \to S\) étales tels que \(Z'_{S'}\) soient étales sur soient constants par morceaux […] \(Z_{S'}\) recouvrent \(S\).

Localisant sur \(S\), on trouve \(=\) une description du champ \(R^P\) en termes des schémas \(Z\) à groupe d'opérateurs \(G\) sur \(S\) — la remarque est de lui, écrite à la suite après un trait oblique

Le champ associé à un schéma à opérateurs, et pourquoi il faut recoller (pages 195 et 196)

195sa page 5

Notons d'ailleurs

Prop. 4 Pour tt schéma […] \(Z\) sur \(S\), à groupe fini \(G\) d'opérateurs, […] agissant de façon admissible, le champ défini [décrit] par le [comme] dessus est un champ en \(\mathcal{U}\)-catégories multigaloisiennes, et le foncteur « passage au quotient par \(G\) » (qui est défini, car l'action de \(G\) est admissible) est […] une donnée de ramification sur \(S\).

le mot que je lis donnée pourrait être domaine : c'est le terme que la page 190 définit et que la chemise de la page 188 porte en titre ; la lettre ne tranche pas et l'article, féminin, va contre

Que \(R_{S'}\) soit multigaloisienne : tout d'abord, il […] admis de la catégorie des objets rev. à opérateurs \(G\) des \(Z_{S'}\), où on en […] prend […] une sous-catégorie stable par \(\varprojlim\) finies et par sommandes directs ; OK. Foncteur […] et […] : OK.

Le foncteur \(r\), étant un passage au quotient, commute aux \(\varinjlim\) finies (que […] calcule au sens de \((\mathrm{Sch})\) !), d'où R1. De \(=\) R2 est immédiat. R3 aussi. R4 aussi. OK.

Ainsi Supposons pour simplifier […] \(S\) […] affine, et que \(R\) satisfait une petite condition supplémentaire ([…] vérifiée en pratique). […] Pour tt objet de \(R_S\), son […] sur […] de \(R_S\) […] base, i.e. \(X\) est subordonné à un objet objet à opérateurs galoisien \((P, G)\) dans \(R_S\).

Alors \(R_S\) est limite inductive filtrante de […] sous-catégories […] […] \(R^P_S\). On […] donne une […] bonne description de \(R_S\), […], en termes d'un système projectif projectif d'objets à opérateurs \((Z_i, G_i)\)

196sa page 6

correspondants aux \((P_i, G_i)\).

Dans le cas où l'objet final de \(R_S\) est connexe, on peut prendre les \(P_i\) connexes, alors les morphismes de transition \(G_j \to G_i\) sont surjectifs, et on trouve \(Z_i \simeq Z_j / H_{ij}\) … D'ailleurs, les \(Z_i/G_i\) seront connexes … D'autre part, relativement à un tel système projectif, on peut vérifier un énoncé comme précéd[emmen]t, aux

Prop. 5 …

Mais […] partant de \(R\), et construire un […] objet \((R_i, G_i)\), […] […] un nouveau champ \((R', r')\), et \(R \hookrightarrow R^{\bullet}\), il n'est pas vrai en général, [que] \(R' \hookrightarrow R\) soit une équivalence : Le champ \(R\) n'est pas nécessairement « engendré » par ses sections globales. Donc pour définir un \(R\) en général, il faut y localiser et recoller … On va donc décrire un procédé de recollement qui nous permettra de construire les domaines de ramification dont on aurait besoin.

Notions auxiliaires : Si \((R, r)\), \((R', r')\) sont deux domaines de ram. sur \(S\), un hom. de l'un dans l'autre est un couple \((\varphi, \lambda)\) [avec fibres] où \(\varphi : R \longrightarrow R'\) est un foncteur continu, exact, et \(\lambda\) un isomorphisme de foncteurs continus \(r'\varphi \simeq \struck{\ill{}}\, r\). […] De cette façon,

La 2-catégorie \(\mathrm{Domram}(S)\), et le recollement (pages 197 et 198)

197sa page 7 ; le coin porte en outre la notation \(\mathrm{Domram}(S)\)

les domaines de ramification [du […]] sur \(S\) forment une 2-catégorie. Pour \(S'\) variable, les 2-catégories ainsi obtenues \(\mathrm{Domram}(S')\) forment une 2-catégorie fibrée …

Si \((R, r)\) est défini par \(Z\), \(G\), de sorte qu'on […] un objet galoisien canonique \(P\) dans \(R_S\), de groupe \(G\), un […] hom. \((R, r) \to (R', r')\) définit un objet \(\varphi(P)\) de \(R'\), qui est galoisien de groupe \(G\), et un isomorphisme compatible avec \(G\) \[ r(\varphi(P)) \overset{\alpha}{\simeq} \struck{\ill{}}\; Z \]

Prop. 6 On donne ainsi une équivalence entre \(\underline{\mathrm{Hom}}((R, r), (R', r'))\) et la catégorie des couples \((P', \alpha)\), i.e. \(P'\) est un objet galoisien de \(R'_S\), de groupe \(G\), et \(\alpha\) un \(G\)-isomorphisme \[ r(P') \simeq Z . \]

[ Si \((P', \alpha)\) sont deux termes, on a une équivalence \(R \cong R'^{P'}\). On trouve en passant […] :

Cor. Alors [Tout] hom. \((\varphi, \lambda)\) de domaines de ramification, […] \(\varphi\) est néc. pleinement fidèle. ]

En particulier

Cor. En Si \((R', r')\) est défini par \(Z'\), \(G'\), alors \(\underline{\mathrm{Hom}}((R, r), (R', r'))\) est équivalent à la catégorie des revêtements principaux \(P'\) de \(Z'\), de groupe \(G\), sur lequel \(G'\) opère de façon compatible avec ses opérations sur \(Z'\), […] [muni] d'un isom. de \(G\)-schémas sur \(S\) \[ P'/G' \simeq Z . \]

198sa page 8

On explicite facilement la composition des hom. de domaines de ramification associés : \(Z, G\) ; \(Z', G'\) ; \(Z'', G''\) … Ceci dit :

Soient des \(S'_i\) couvrant \(S\), sur chaque \(S'_i\) étant donné un \((Z_i, G_i)\) schéma à groupe d'opérateurs \(G_i\) admissible, pour tt couple \((i,j)\), on suppose donné […] sur \(S_i \times_S S_j\) une « subordination » de \((Z_{ij}, G_i)\) à \((Z_{ji}, G_j)\) \(\bigl(Z_{ij} = Z_i \times_{S_i} (S_i \times_S S_j)\bigr)\) et […] sur les triples […] des isomorphismes de transitivité entre les subordinations. On suppose enfin une condition de compatibilité sur les triples. Alors on peut recoller les \((R_i, r_i)\) définis par les \((R_i, G_i)\) …

Donnons-en en particulier […] […] de […] le cas de nous :

Soit une catégorie fibrée [(de « modèles »)] \(C\) sur \(\mathrm{Et}(S)\) (pas nécessairement un champ) et un foncteur continu \(s : C \longrightarrow \mathrm{Fl}_S\). On suppose \(C\) fibrée en groupoïdes, que deux objets d'un \(C_{S'}\) sont localement isomorphes, que \(C_{S'}\) est localement non vide — d'où, en […] […] en champ associé, une gerbe. On suppose que le lien de cette gerbe est défini […] loc. constant […], i.e. pour tt \(x \in C_{S'}\), le faisceau associé

199sa page 9

aux préfaisceaux \(S'' \longrightarrow \mathrm{Aut}\, x_{S''}\) est représentable par un […] la catégorie des rev. ét. de \(S'\). On a une « représentation » de cette gerbe dans le préchamp \(\mathrm{Fl}_S\). À un tel lien, on associe un domaine de ramification sur \(S\) ainsi :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \mathrm{Rev}\,\mathrm{Fl}_S \arrow[d] \\
\mathcal{G} \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Fl}_S \\
\mathrm{Et}(S) &
\end{tikzcd}

les objets de \(R_{S'}\) sont les hom. continus \(\mathcal{G} \longrightarrow \mathrm{Rev}\,\mathrm{Fl}_S\) qui relèvent \(\mathcal{G} \to \mathrm{Fl}_S\), et item quand \(r\) est remplacé par \(r'\).

Le foncteur \(r_S : R_S \longrightarrow \mathrm{Et}_{/S}\) est un foncteur lien. On vérifie que tt marche.

le mot souligné en fin de phrase porte un trait qui le fait ressembler aussi bien à un \(\varinjlim\) qu'à lien ; le sens de la phrase n'est pas fixé par la page

Ex. 1 Donnons […] une famille \(\underline{a} = (a_i)_{i \in I}\) de sections de \(\mathcal{O}_S\), premières avec […], et une famille \(\underline{n} = (n_i)_{i \in I}\) d'entiers \(\geq 1\), […] Soit […] un ens. fini, […] par les groupes \(C_{S'} = \struck{\ill{}}\) groupoïde […] (une gerbe dont […]) et \[ s(C_{S'}) = Z^{\underline{a}}_{\underline{n}} , \qquad \mu_{\underline{n}}(S') = \prod_{i \in I} \mu_{n_i}(S) , \] […] opération qui en dérive de ce groupe. Les axiomes sont vérifiés. [ En fait, on […] comporte en cas d'une gerbe triviale de […] \(Z^{\underline{a}}_{\underline{n}}\) sur lequel \(\mu_{\underline{n}}\) opère ].

Ex. 1 bis Donnons […] […] \(\underline{a}\), \(\underline{n}\) […] : le cas commutatif, mais on […] : la limite sur \(\underline{n}\) de […], \(=\) le domaine de ramification kummerienne défini par \(\underline{a}\).

Ex. 2 Donnons [une] famille \((D_i)_{i \in I}\) de diviseurs, et une famille \((n_i)_{i \in I}\) d'[…] […] faisant […] […] construction que dans l'ex. 1. On prend

200sa page 10

\(C_{S'}\) défini ainsi : \[ \mathrm{Ob}(C_{S'}) = \bigl\{\, \underline{a} = (a_i)_{i \in I} \;\bigm|\; \forall i,\; a_i \text{ une équation de } D_i \,\bigr\} \] \[ \mathrm{Hom}(\underline{a}, \underline{b}) = \bigl\{\, \xi = (q_i)_{i \in I} \;\bigm|\; \forall i,\; b_i = a_i \xi_i^{n_i} \,\bigr\} \] Isomorphismes et Composition des lois évidentes. Images inverses […]. On trouve ainsi […] champ associé une gerbe abélienne de groupe \(\mu_{\underline{n}}\). (L'existence d'une section dépend de la nullité d'un élément de \(H^2(X, \mu_{\underline{n}})\), qui n'est autre, comme on devine, que \(C\) la classe de cohomologie des \(D_i\) dans les \(H^1(X, \mu_{n_i})\) ! ) : domaine de ramification kummerienne défini par \((D_i)_{i \in I} = D\) et \(\underline{n}\).

les deux exposants de \(H\) sont tracés de la même main qui ne distingue pas le \(1\) du chiffre romain, et le second pourrait être un \(I\) ; ils sont laissés tels qu'ils sont écrits

Ex. 2 bis On donne \(D = (D_i)_{i \in I}\), on pose : la limite sur \(\underline{n}\) : domaine de ramification kummerienne défini par \(D\).

Ces exemples boitent un tant [soit] peu, on voudrait au fait que […] ne sont [pas] premiers avec les résiduelles des \(D_i\) seulement, […] pour […]. […] dans le cas de l'exemple 1, on […] de tt \(S\). Dans le cas de l'exemple 1, on prendra les rev. étales de \(Z^{\underline{a}}_{\underline{n}}\), sur lesquels \(\mu_{\underline{n}}\) opère de façon compatible avec ses opérations, sur \(Z^{\underline{a}}_{\underline{n}}\). Dans le cas de l'exemple 2

la page s'arrête là, en cours de phrase ; la suite passe dans le lot suivant