Soit f : X \to Y un morphisme propre dominant, Y normal connexe (loc. noeth.).

Alors \pi_1(X) \to \pi_1(Y) a un conoyau fini (ou plutôt, le cas où f est génériquement sur Y, et montre que \pi_1(\uncertain{y}) \to \pi_1(Y) est surjectif, — on est ramené au cas où Y = \mathrm{Spec}(K).

On voit qu'on peut supposer X sur k, et [remplaçant K par une extension séparable finie convenable K', et désignant par X' ses composantes irréductibles , un composant connexe de X']. Mais alors \pi_1(X) \to \pi_1(Y) est

N.B. Si Y n'est pas normal, le th. est faux, si p. ex. X est le normalisé de Y. Ex. Y courbe sur un k alg. clos, avec pt double ordinaire, X' son normalisé. Alors on a \pi_1(X) = 0, \pi_1(Y) = \widehat{\mathbb{Z}} privé de sa p-composante.

On voit facilement que dans le dernier cas , on ne peut pas former \underline{\mathrm{Hom}}_Y(X, Y \sqcup Y) [car si un pt \overline{y} de Y, et y', y'' deux pts géométriques de au-dessus, alors qu'il ].

Supposons maintenant f : X \to Y universellement ouvert [p. ex. Y normale] je crois qu'on

Le \widetilde{\pi}_1(S,\xi), S préschéma connexe, \xi pt géom.

Pour tout groupe \pi, soit \pi^1(S,\xi;\pi) l'ens. , à isom. près, de esp. fibrés principaux homogènes sur S, de groupe structural \pi, ponctués au dessus de \xi.

En effet

En effet, : un isom. P_1' \xrightarrow{\ u'\ } P_2' de deux \pi'-fibrés , il existe un et un seul tel isom. qui applique \xi_1' \mapsto \xi_2'. Si donc P_1' et P_2' sont munis de P_1, P_2 deux \begin{cases} P_i \subset P_i' \\ \xi_i = \xi_i' \end{cases} applique u : P_1 \to P_2. En effet,

Groupe fondamental : (Revêtements infinis)

S préschéma. Pour tout groupe discret G, on définit H^1_{\mathcal{C}}(S,G) = \varinjlim_{T/S} H^1(T/S, G) la ligne qui suit « T/S » sous le signe de limite est biffée et ne se laisse pas lire où H^1(T/S, G) = H^1(K_{T/S}, G) = H^1(\pi_0(K_{T/S}), G) et où \mathcal{C} est une catégorie de S-préschémas.

élucider ici les questions de fonctorialité

Les cas les plus importants sont les suivants :

On a donc H^1_{C_i}(\struck{P}S, G) \hookrightarrow H^1_{C_j}(S,G) application injective canonique. Si G est fini, alors , les hom. sont bijectifs, et H^1(S,G) est l'ensemble des classes (à isom. près) de revêtements étales principaux de groupe G, donc \simeq \mathrm{Hom}(\pi_1(S,a), G)/\mathrm{int}(G). Notre intérêt ici est le cas G infini. Notons en passant H^1_{C_3} \simeq H^1_{C_2}

Groupe fondamental

sur la page la colonne de gauche est prise dans une accolade portant \widetilde{\pi} à gauche et, à droite, une mention à deux étages où se lisent \widehat{\widetilde{\pi}} et \widetilde{\pi} = \pi

\pi^{\mathrm{I}}(X,G) \simeq H^2(\check{X},G) \simeq \varinjlim H^2(X_i,G) \simeq \varinjlim H^2(\widetilde{X}_i,G) l'exposant du premier terme est tracé comme un « I » ; plus bas sur la même page il écrit \pi^2

\widetilde{\pi}/H_i = \pi_i

H^*(\widetilde{X}_i,G) \Longleftarrow E_2^{p,q} = H^p(H_i, H^q(\widetilde{X},G)) \struck{\ill{}} H^*(\widetilde{X},G) \Longleftarrow E^{p,q} = \varinjlim_i H^p(H_i, H^q(\widetilde{X},G))

\cdots \to \varinjlim H^2(H_i,G) \to \pi^2(X,G) \to \varinjlim_i \pi^2(\widetilde{X}_i,G)^{H_i} \to \varinjlim H^3(H_i,G) sous le troisième terme la page porte \pi^2(X^k,G), sous le quatrième H^3(\widetilde{X},G) ; à gauche et à droite deux termes sont entourés, et au-dessus de la suite est esquissé le premier quadrant (p,q) de la suite spectrale

\pi_2(X) \to G

H^*(X^k,G) \Longleftarrow H \mathrm{Ker}\,\bigl(\pi^2(X,G) \to \pi^2(X^k,G)\bigr) \simeq \varinjlim_i H^2(H_i,G) \mathrm{Coker}\,(\text{id}) \simeq \mathrm{Ker}\Bigl(\varinjlim H^3(H_i,G) \longrightarrow H^3(\widetilde{X},G)\Bigr)

Proposition S un préschéma connexe, S' un préschéma sur S tel que S' \to S soit submersif [p. ex. fid. plat et quasi-compact, ou propre surjectif], S'', S''' les carrés, cubes fibrés.

On suppose que S' est somme de préschémas connexes (i.e. ses composantes connexes sont ouvertes, i.e. \pi_0(S') discret) et l'ens. des composantes connexes de S'

Soit \xi un pt [géométrique] de S. Alors pour un groupe discret G variable, le foncteur G \rightsquigarrow \pi^1(S'/S, \xi; G) contravariant [où \pi^1(S'/S,\xi;G) désigne l'ens. des classes à isom. près, de données de descente sur G_{S'} relatives à S' \to S, ponctuées au \xi] est strict. pro-représentable : \pi^1(S'/S, \xi; G) = \varinjlim \mathrm{Hom}(\pi_i, G)

Si \pi_0(S'') est quasi-compact, i.e. les fonctions loc. constantes sur \pi_0(S'') à valeurs finies dans des ensembles, — p. ex. si S'' quasi-compact] alors les \pi_i sont de type fini.

Si S'' a un nb fini '' de composantes connexes, alors le foncteur précédent est représentable : \pi^1(S'/S, \xi; G) \simeq \mathrm{Hom}(\pi_1(S'/S, \xi), G) avec \pi_1(S'/S,\xi) groupe discret de type fini. si des composantes connexes de S' est finie, et fini, et alors \pi_1(S'/S;\xi) est engendré par n'' générateurs.