Cote n° 29 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration

L'image de \(\pi_1(X)\) dans \(\pi_1(Y)\), et le rôle de la normalité (pages 161 et 162)

161

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre dominant, \(Y\) normal connexe (loc. noeth.).

Alors \(\pi_1(X) \to \pi_1(Y)\) a un conoyau fini (ou plutôt, […] le cas où \(f\) est génériquement […] sur \(Y\), et montre que \(\pi_1(\uncertain{y}) \to \pi_1(Y)\) est surjectif, — on est ramené au cas où \(Y = \mathrm{Spec}(K)\).

On voit […] qu'on peut supposer \(X\) […] sur \(k\), et […] [remplaçant \(K\) par une extension séparable finie convenable \(K'\), et désignant par \(X'\) […] ses composantes irréductibles […], […] un composant connexe de \(X'\)]. Mais alors \(\pi_1(X) \to \pi_1(Y)\) est […]

N.B. Si \(Y\) n'est pas normal, le th. est faux, si p. ex. \(X\) est le normalisé de \(Y\). Ex. \(Y\) courbe sur un \(k\) alg. clos, avec pt double ordinaire, \(X'\) son normalisé. Alors on a \(\pi_1(X) = 0\), \(\pi_1(Y) = \widehat{\mathbb{Z}}\) privé de sa \(p\)-composante.

On voit facilement que dans le dernier cas […], on ne peut pas former \(\underline{\mathrm{Hom}}_Y(X, Y \sqcup Y)\) [car si un pt \(\overline{y}\) […] de \(Y\), et \(y'\), \(y''\) deux pts géométriques de […] au-dessus, alors qu'il […]].

Supposons maintenant […] \(f : X \to Y\) universellement ouvert [p. ex. \(Y\) normale] je crois qu'on

162

pour des […] contenus dans \(X_1\) étale sur \(X\). P.-ê. plutôt :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X \arrow[d] \\
S & T \arrow[l]
\end{tikzcd}

le diagramme est encadré sur la page et porte au-dessus de lui la mention \(f_{*}(X_1)\) ; c'est tout ce que la page ajoute

Progroupe fondamental pour les revêtements infinis principaux : le foncteur \(\pi \mapsto \pi^1(S,\xi;\pi)\) (pages 164 à 169)

le feuillet qui ouvre la suite — page 163, par ailleurs nu — porte de sa main, en haut à droite : « Le Groupe Progroupe fondamental pour les revêtements infinis principaux ». Le titre de cette section en vient

164

Le \(\widetilde{\pi}_1(S,\xi)\), \(S\) préschéma connexe, \(\xi\) pt géom.

Pour tout groupe \(\pi\), soit \[ \pi^1(S,\xi;\pi) \] l'ens. […], à isom. près, de esp. fibrés principaux homogènes sur \(S\), de groupe structural \(\pi\), ponctués au dessus de \(\xi\).

En effet

En effet, […] : […] […] un isom. \(P_1' \xrightarrow{\ u'\ } P_2'\) de deux \(\pi'\)-fibrés […], il existe […] un et un seul tel isom. qui […] applique \(\xi_1' \mapsto \xi_2'\). Si donc \(P_1'\) et \(P_2'\) sont munis de \(P_1\), \(P_2\) deux \[ \begin{cases} P_i \subset P_i' \\ \xi_i = \xi_i' \end{cases} \] […] applique […] \(u : P_1 \to P_2\). En effet, […]

165

[…] \(P_i\) se déduit de \(P_i'\) par une section de \(P_i'/\pi\) pointée par \(\xi_i'\). Si elle existe, il ne peut y en avoir qu'une seule telle section.

Je veux vais […] que si \(P'\) est […] \(\pi'\), […] tel que […] les deux […] est muni de \(\xi'\), […] un isom. \[ P' \times_{\pi_1}(\pi'', \varphi_1) \xrightarrow{\ u\ } P' \times_{\pi_1}(\pi'', \varphi_2) \] alors on peut […] le groupe structural. Or soit \(Q\) le sous-schéma de \(P\) des coïncidences de \(u_1\) et \(u_2\).

\(\pi \to \pi' \rightrightarrows \pi''\), et \(P' \xrightarrow{i_1} P_1''\), \(P' \xrightarrow{i_2} P_2''\), avec \(u : P_1'' \to P_2''\)

[…] ouvert et fermé, contient \(\xi'\), est stable par \(\pi\), donc lui correspond un sous-préschéma ouvert et fermé \(S'\) de \(P'/\pi\) : le […] ouvert et fermé ensemblistement [donc fidèlement plat et quasi-compact […]]. De plus, on voit que les […] fibrés géom. de \(S' \to S\) […] portent un tel ; donc […]

166

Supposons \(S\) \(S\) loc. noeth. ou \(\pi\) artinien (condition des chaînes descendantes)].

En effet, si \(c\) correspond à \((P,\xi)\), considérons […] et à \((P'', y'')\) [pour \(\pi'' \subset \pi\)]. Considérons \[ P/\pi' \cap \pi'' \longrightarrow P/\pi' \times P/\pi'' \] \(\pi/\pi' \cap \pi'' \to \pi/\pi' \times \pi/\pi''\) c'est une immersion ouverte et fermée, il […] la deuxième […] […] un pt \((y',y'')\) est dans l'image, […]

[…] en particulier […]. Donc on peut restreindre le groupe structural à \(\pi' \cap \pi''\). Donc les groupes auxquels on peut restreindre forment un […] filtrant décroissant \(\pi_i\), […] des \(P_i \subset P\) […]

[…]

le dernier tiers de la page est biffé de plusieurs traits diagonaux ; rien ne s'en laisse lire

167

principal homogène sous \(\pi' = \bigcap \pi_i\). On voit ici que la question est locale sur \(S\) [et […] fini] donc on peut supposer \(S\) […]. Mais […]

\(P^0 \leftarrow P\) au-dessus de \(S' \to S\)

il faut \(S^{(0)}\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), et \((P^{(0)}, \xi^{(0)})\) principal homogène sous […] qui donne \(P\) par extension […] [et […] par \(P\) est trivialisé par \(S' \to S\) […]]. On voit qu'on peut supposer \(S\) noethérien.

Alors les l'on tire un meilleur résultat : on regarde le composant connexe \(P^0\) de \(\xi\) dans \(P\) [exact qui est ouvert et fermé, car \(P\) est loc. noeth. donc loc. connexe]. Je dis que \(P^0 \to S\) est surjectif. Comme l'image […], plus généralement elle est fermée, on est ramené au cas d'un anneau de valuation, disons complet : […] que si \(P\) est […] […] sur \(S\)

168

Application. Une relation étale est dite à groupe structural \(\pi\), \(\pi\), faisceau \(F\), […] […] dans un schéma en \(\underline{\mathrm{Aut}}_S(T)\), qui […] donne un revêtement principal de \(T\) […] et une […] \(\pi_S\) principal de […] \[ \underline{\mathrm{Isom}}_S(E_S, T). \] Si \(S\) est connexe muni d'un pt géom. \(\xi\), il vient […] \(=\) […] donner un \(T\) […] […] telle structure, ou de se donner des opérations continues de \(\widetilde{\pi}_1(S,\xi)\) […] sur \(F\) !

[…] donner \(\widetilde{\pi}_1(S,\rho) \longrightarrow \struck{\ill{}}\pi\).

Exemple Schémas en groupes commutatifs, […] torsion sur \(S\), à fibres […] à génération finie sur \(S\), correspondant aux \((\widetilde{\pi}_1(S,\xi))\)-Modules admissibles de présentation qui sont des \(\mathbb{Z}\)-modules de type fini […]

169

[…] de groupes […] \(\pi_S\), donc […] la composante connexe \(P^0\) est surjective sur \(S\). […], […] \(P\) est trivial !

En effet, comme \(P^{(0)} \subset \bigcap P^{(i)}\) […], on voit que \(\bigcap\) pris […] […] de gpes fin[…] […] finie chacun des \(P^{(i)}\) est une réunion de composantes connexes de \(P\), il […] de l'intersection, […] \(P'\), […] \(P^0\).

Elle est stable sous \(\pi'\), et […] ensemble (car […] […] fibres géométriques, et […] que \(P_s' \neq \emptyset\)]. […] \(P'\) est […] fibré principal homogène sous \(\pi'\). cqfd.

[…] \(\widetilde{\pi}_1(S,\xi)\) […]

Conséquence Si \(\pi\) varie dans la une catégorie […] des gpes artiniens, […] stable par produits finis et sous-groupes, […] si \(\pi\) varie […] […] opérations, […] […] le foncteur \[ \pi \longmapsto \pi^1(S,\xi;\pi) \] est strictement pro-représentable.

Groupe fondamental : revêtements infinis ; les cinq classes \(C_1, \ldots, C_5\) (pages 170 et 171)

170

Groupe fondamental : (Revêtements infinis)

\(S\) préschéma. Pour tout groupe discret \(G\), on définit \[ H^1_{\mathcal{C}}(S,G) = \varinjlim_{T/S} H^1(T/S, G) \] la ligne qui suit « \(T/S\) » sous le signe de limite est biffée et ne se laisse pas lire où \[ H^1(T/S, G) = H^1(K_{T/S}, G) = H^1(\pi_0(K_{T/S}), G) \] et où \(\mathcal{C}\) est une catégorie de \(S\)-préschémas.

élucider ici les questions de fonctorialité […]

Les cas les plus importants sont les suivants :

On a donc \(H^1_{C_i}(\struck{P}S, G) \hookrightarrow H^1_{C_j}(S,G)\) […] application injective canonique. Si \(G\) est fini, alors […], les hom. sont bijectifs, et \(H^1(S,G)\) est l'ensemble des classes (à isom. près) de revêtements étales principaux de groupe \(G\), donc \(\simeq \mathrm{Hom}(\pi_1(S,a), G)/\mathrm{int}(G)\). Notre intérêt ici est […] le cas \(G\) infini. Notons en passant \[ H^1_{C_3} \simeq H^1_{C_2} \]

171

et si \(S\) est le spectre d'un anneau de Dedekind \[ H^1_{C_2} \xrightarrow{\ \sim\ } H^1_{C_1} \] [d'où dans ce cas \(H^1_{C_3} \simeq H^1_{C_2} \simeq H^1_{C_1}\)]. Si \(S\) est le spectre d'un anneau local complet de valuation discrète à corps résiduel alg. clos, on aura de même \[ H^1_{C_i} \simeq H^1(\widehat{V}/V, -) \qquad \text{pour } i = 1,2,3 \] entre \(H^1_{C_i}\) et le signe \(\simeq\) la page porte un caractère isolé qui ne se laisse pas identifier ; l'indice du \(H^1\) de droite est biffé

Si \(S\) est le spectre d'un anneau local complet \(V\), alors […] \[ H^1_{C_5} \simeq H^1_{C_4} \simeq H^1_{C_3} \quad (\simeq H^1_{C_2}) \] et on aura de plus \[ H^1_{C_i}(V,-) \simeq H^1_{C_i}(k, -) \qquad (i = 2,3,4,5) \] sous le \(k\) la page porte « corps résiduel »

Plan en sept sections pour les deux théorèmes de changement de base (page 173)

le feuillet qui ouvre la suite — page 172, par ailleurs nu — porte de sa main, en haut à droite : « Plan »

173

Groupe fondamental

  1. Morphismes \((-1)\)-connexes et \(0\)-connexes
  2. Morphismes locaux \((-1)\)-connexes et \(0\)-connexes.
  3. Une Caractérisation des morphismes locaux ou globaux \(i\)-connexes (\(i = 0,1\)).
  4. Le Deuxième théorème de comparaison du chgt de base pour \(\pi_1\) : énoncés et corollaires …
  5. […], et Démonstration des théorèmes.
  6. Généralisation à l'aide de la résolution des singularités.
  7. Application : la dimension cohomologique de certains corps …

\(\pi_2\) : la suite exacte de Hochschild–Serre contre la tour des revêtements (pages 175 et 176)

le feuillet qui ouvre la suite — page 174, par ailleurs nu — porte de sa main, en haut à droite : « \(\Pi_2\) »

175

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\widetilde{\widetilde{X}}{}^i \arrow[d] & \\
\widetilde{X}^i \arrow[d] & \widetilde{X} \arrow[d, no head] \\
X^i \arrow[r] & X
\end{tikzcd}

sur la page la colonne de gauche est prise dans une accolade portant \(\widetilde{\pi}\) à gauche et, à droite, une mention à deux étages où se lisent \(\widehat{\widetilde{\pi}}\) et \(\widetilde{\pi} = \pi\)

\[ \pi^{\mathrm{I}}(X,G) \simeq H^2(\check{X},G) \simeq \varinjlim H^2(X_i,G) \simeq \varinjlim H^2(\widetilde{X}_i,G) \] l'exposant du premier terme est tracé comme un « I » ; plus bas sur la même page il écrit \(\pi^2\)

\(\widetilde{\pi}/H_i = \pi_i\)

\[ H^*(\widetilde{X}_i,G) \Longleftarrow E_2^{p,q} = H^p(H_i, H^q(\widetilde{X},G)) \] \[ \struck{\ill{}} H^*(\widetilde{X},G) \Longleftarrow E^{p,q} = \varinjlim_i H^p(H_i, H^q(\widetilde{X},G)) \]

\[ \cdots \to \varinjlim H^2(H_i,G) \to \pi^2(X,G) \to \varinjlim_i \pi^2(\widetilde{X}_i,G)^{H_i} \to \varinjlim H^3(H_i,G) \] sous le troisième terme la page porte \(\pi^2(X^k,G)\), sous le quatrième \(H^3(\widetilde{X},G)\) ; à gauche et à droite deux termes sont entourés, et au-dessus de la suite est esquissé le premier quadrant \((p,q)\) de la suite spectrale

\(\pi_2(X) \to G\)

\[ H^*(X^k,G) \Longleftarrow H \] \[ \mathrm{Ker}\,\bigl(\pi^2(X,G) \to \pi^2(X^k,G)\bigr) \simeq \varinjlim_i H^2(H_i,G) \] \[ \mathrm{Coker}\,(\text{id}) \simeq \mathrm{Ker}\Bigl(\varinjlim H^3(H_i,G) \longrightarrow H^3(\widetilde{X},G)\Bigr) \]

176

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] & X'' \arrow[l, bend left=12]
  \arrow[l, bend right=12] \arrow[d] \\
Y & Y' \arrow[l] & Y'' \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12]
\end{tikzcd}

au-dessus de \(X'\) et de \(X''\) la page porte \(Z'\) et \(Z_1'' \simeq Z_2''\) ; sous \(Y'\) un double trait la relie à \(X\), et sous \(Y''\) une flèche monte de \(\widetilde{X}''\)

\[ \pi_1(\overline{F}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(Y) \to e \] de \(\pi_1(\overline{F})\) part une flèche vers \(G\), et de \(\pi_1(X)\) une flèche pointillée vers le même \(G\)

\[ \pi_1(Y) \longrightarrow G^{\pi_1(X)} \] \[ H^1(\pi_1(X), G) \longrightarrow H^1(\pi_1(\overline{F}), G)^{\pi_1(Y)} \] \[ H^1\bigl(\pi_1(Y), G^{\pi_1(\overline{F})}\bigr) = H^1(\pi_1(Y), \mathfrak{z}) \] la flèche va du second \(H^1\) vers le premier

\[ \pi_2(Y) \longrightarrow \mathfrak{z} \qquad H^1(\pi_1(\overline{F}), G) \] \[ \pi_1(Y') \longrightarrow \mathfrak{z} \] \[ H^1\bigl(Y'/Y, \mathrm{Hom}(\pi_1(\overline{F}), \mathfrak{z})\bigr) = 0 \] au-dessus de \(\mathrm{Hom}\) la page porte un \(H^1\) biffé

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi_1(Y) & \pi_1(Y') \arrow[l] & \pi_1(Y'') \arrow[l, bend left=12]
  \arrow[l, bend right=12] \arrow[d] & \pi_1(Y''') \arrow[l, bend left=18]
  \arrow[l] \arrow[l, bend right=18] \\
& & \mathfrak{z} &
\end{tikzcd}

\(\pi_0\), \(\pi_1\) et formalisme simplicial (revêtements infinis) (pages 178 à 180)

le feuillet qui ouvre la suite — page 177, par ailleurs nu — porte de sa main, en haut à droite : « \(\pi_0\), \(\pi_1\) et formalisme simplicial (Revêtements infinis) ». Le titre de cette section en vient

178

Proposition \(S\) un préschéma connexe, […] \(S'\) un préschéma sur \(S\) tel que \(S' \to S\) soit submersif [p. ex. fid. plat et quasi-compact, ou propre surjectif], \(S''\), \(S'''\) les carrés, cubes fibrés.

On suppose que \(S'\) est somme de préschémas connexes (i.e. ses composantes connexes sont ouvertes, i.e. \(\pi_0(S')\) discret) et l'ens. des composantes connexes de \(S'\) […]

Soit \(\xi\) un pt [géométrique] de \(S\). Alors pour un groupe discret \(G\) variable, le foncteur \[ G \rightsquigarrow \pi^1(S'/S, \xi; G) \] contravariant [où \(\pi^1(S'/S,\xi;G)\) désigne l'ens. des classes […] à isom. près, de données de descente sur \(G_{S'}\) relatives à \(S' \to S\), ponctuées au \(\xi\)] est strict. pro-représentable : \[ \pi^1(S'/S, \xi; G) = \varinjlim \mathrm{Hom}(\pi_i, G) \]

Si \(\pi_0(S'')\) est quasi-compact, i.e. les fonctions loc. constantes sur \(\pi_0(S'')\) […] à valeurs finies dans des ensembles, — p. ex. si \(S''\) quasi-compact] […] […] alors les \(\pi_i\) sont de type fini.

Si \(S''\) a un nb fini \(''\) de composantes connexes, alors le foncteur précédent est représentable : […] \[ \pi^1(S'/S, \xi; G) \simeq \mathrm{Hom}(\pi_1(S'/S, \xi), G) \] avec \(\pi_1(S'/S,\xi)\) groupe discret […] de type fini. […] si […] des composantes connexes de \(S'\) est finie, et […] fini, et […] alors \(\pi_1(S'/S;\xi)\) est engendré par \(n''\) générateurs.

179

Enfin, considérons le […] foncteur \[ G \rightsquigarrow \pi^1_{\mathrm{eff}}(S'/S, \xi; G) \] correspondant aux […] données de descente effectives ponctuées sur \(\xi\). […]

Ce foncteur est également pro-représentable [par un système projectif de quotients des \(\pi_i\)].

N.B. J'ignore, — si \(S,S',S''\) noethériens, […] dernier foncteur est \(=\) représentable, à fortiori (comme \(\pi^1(S'/S,\xi;G)\) est repr. dans ce cas) j'ignore si dans ce cas \(\pi^1 = \pi^1_{\mathrm{eff}}\), i.e. toute donnée de descente sur \(G_{S'}\) est effective […] C'est vrai cependant […] hypothèse sur \(S''\), \(S\) et \(S'\) […] et si loc. noeth.] si […] dans \(G_i\) […] intersection de sous-gpes […] d'indice fini …

Pb intér. pour l'affirmative [ […] et \(S' \to S\) fid. plat quasi-compact ]

180

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
Y & X_0^0 \arrow[l, dashed] & X_1^1 \arrow[l, bend left=12]
  \arrow[l, bend right=12] & X_2^2 \arrow[l, bend left=20] \arrow[l]
  \arrow[l, bend right=20] \\
\xi \arrow[u] & X_0^{\xi} \arrow[l] \arrow[u] & X_1^{\xi}
  \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12] \arrow[u] & X_2^{\xi}
  \arrow[l, bend left=20] \arrow[l] \arrow[l, bend right=20] \arrow[u] \\
& K_0^0 & K_1^1 \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12] & K_2^2
  \arrow[l, bend left=20] \arrow[l] \arrow[l, bend right=20] \\
& k_0^0 \arrow[u, "i_0"] & k_1^1 \arrow[l] \arrow[u, "i_1"] & k_2^2
  \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12] \arrow[u, "i_2"]
\end{tikzcd}

\[ K_i^{\xi} = \pi_0(X_i^{\xi}) \]

\(\pi_0(K) = {}\) […] … \(K^0 = e\), et au-dessous \(\pi_0(k) = {}\) « […] » … \(k^0 = e\).

les deux lignes sont reliées par une flèche montante ; ce qui sépare chaque signe d'égalité de sa conclusion ne se laisse pas lire

Données de descente sur \(E_{X_0}\) \(\simeq\) Données de descente sur \(E_{K_0}\) relatives à \((\cdots)\)

\(\simeq\) applications […] ensemblistes \(f : K_1 \to G\) telles que \[ f(p_1(\xi)) = f(p_0(q_2))\, f(p_2(q_1)) \qquad \text{pour tt } \xi \in K \] Équivalence de telles : \[ h(p_1(\xi))\, f(\xi)\, h(p_0 q_1)^{-1} \simeq f(\xi) \]

Données de descente ponctuées sur \(E_{K_0}\)

\(\simeq\) applications ensemblistes \(f : K_1 \to G\) telles que \[ \begin{cases} f(i_1(q)) = \struck{1}\, e_G & \text{pour tt } q \in k_1 \\ \struck{\ill{}}\quad f \circ p_1 = (f \circ p_0)(f \circ p_2) & \end{cases} \] Équivalence de telles : \[ h(p_1 q)\, f(q)\, h(p_0 q)^{-1} \simeq f(q) \] Si \(h(i_0(q)) = 1\) pour tt \(i_0\).