la page est au crayon et très pâle ; c'est la plus difficile du lot, et l'appareil critique y est en conséquence plus lourd qu'ailleurs.

… la situation pour G_1, G_1', (P_1,\xi_1), (Q_1,\eta_1) etc. [obtenue, par le fait que Q_1 est vide, S_1 l'idée ]. P_1 s'identifie alors à G_1' (muni du marquage \varepsilon_1'), Q_1 à G_1' G_1' \times_{S_1} G_1' muni de (\varepsilon_1', \varepsilon_1'),

(P_1', \xi_1') s'identifie aussi à (G_1', \varepsilon_1'). Il suffit de voir que (P_1', \xi_1') \to (G_1', ) est l'inclusion diagonale G_1' \to G_1' \times_{S_1} G_1'. On

… relations, et désignons par w l'isomorphisme (P,\xi) \times_u G' \to (P,\xi) \times_v G', w_1 l'isomorphisme déduit par extension de la base à S_1, notre assertion signifie que w_1 transforme la section « naturelle » de P_1 \times_{v_1} G_1', i.e.

Or cela résulte de l'unicité de P \to P \times_u G' la dernière ligne, en bas de feuille et en partie biffée, n'a pas été lue.

\begin{array}{ccc} \pi' & \pi''_{\alpha} & \pi'''_{\beta} \\ S & S' & S''' \end{array} sous \pi'''_{\beta} la page porte d'abord S'', corrigé en S'''.

\begin{array}{ll} p_{ij}^{\alpha\beta} : \pi'''_{\beta} \to \pi''_{\alpha} & \alpha = p_{ij}(\beta), \quad (ij) = \{(1,2), (2,3), (1,3)\} \\ p_i^{\alpha} : \pi''_{\alpha} \to \pi' & i = \{1, 2\} \end{array}

p_i^{\alpha} p_{ij}^{\alpha\beta}

\begin{array}{l} p_1^{\alpha} p_{12}^{\alpha\beta} = \operatorname{ind}(a'_{\beta})\, p_1^{\alpha} p_{13}^{\alpha\beta} \\ p_2^{\alpha} p_{12}^{\alpha\beta} = \operatorname{ind}(a''_{\beta})\, p_1^{\alpha} p_{23}^{\alpha\beta} \\ p_2^{\alpha} p_{13}^{\alpha\beta} = \operatorname{ind}(a'''_{\beta})\, p_2 p_{23} \end{array}

\begin{array}{ll} p_{12}^{-1}(p_1^{-1}(E)) \to p_{12}^{-1}(p_2^{-1}(E)) & (p_1 p_{12})^{-1}(E) \to (p_2 p_{12})^{-1}(E) \\ p_{23}^{-1}(p_1^{-1}(E)) \to p_{23}^{-1}(p_2^{-1}(E)) & (p_1 p_{23})^{-1}(E) \to (p_2 p_{23})^{-1}(E) \end{array}

les deux flèches du carré portent chacune une étiquette d'une seule lettre, qui n'a pas été lue ; elles sont laissées nues plutôt que devinées.

Pour tout \beta, on a ainsi, en posant \alpha' = p_{12}(\beta), \alpha'' = p_{23}(\beta), \alpha''' = p_{13}(\beta),

\boxed{\; A_{\alpha''}\, a''_{\beta}\, A_{\alpha'} = a'''_{\beta}\, A_{\alpha'''}\, a'_{\beta} \;}

Compléments aux notes IHES

Exercice

Remarque. La méthode de démonstration en 1.7 généralité l'énoncé suivant : Soient X et Y sur S, X propre et séparable surjectif , et Y , à non vide. Désignons un point géométrique c de X \times_S Y, d'images points géométriques a, b, d dans X, Y, S, et un homomorphisme canonique \pi_1(X \times_S Y, c) \to \pi_1(X, a) \times_{\pi_1(S, d)} \pi_1(Y, b). Cet homomorphisme est surjectif. Si … de la bijectivité si Y a une section sur S, plus généralement si la condition suivante est vérifiée : Il existe un S' (non vide, ) sur S, tel que Y \times_S S' = Y' ait une section sur S' [i.e. il faut il suffit un S-morphisme S' \to Y] et et que \pi_1(X') \to \pi_1(X) soit injectif, S' étale sur S . Cet énoncé s'applique en particulier où S est le spectre d'un corps k, et donnera \pi_1(X \times_k Y) \simeq \pi_1(X) \times_{\pi_1(k)} \pi_1(Y) [X propre universellement connexe sur k, Y sur k sans plus].

la page entière est barrée de trois longs traits diagonaux.

\pi un groupe.

Faisceau d'ensembles sur \mathcal{E} \simeq catégorie des ensembles finis où F opère à gauche E = F(\pi_s), \qquad F(U) = \operatorname{Hom}_{\pi}(U, E) un membre biffé, non lu, précède \operatorname{Hom}_{\pi}(U,E) : où on fait opérer \pi via les opérations à gauche sur \pi_s.

\mathcal{F}^{\pi} catégorie fibrée en sur les dans \mathcal{E}_{\pi} \mathcal{F}^{\pi}_e \simeq \mathcal{F}^{\pi}_s \simeq \mathcal{E}^{\pi}_{\mathrm{Ens}} \mathcal{F}^{\pi}_T \simeq (\mathrm{Ens}) \qquad \text{car} \qquad \mathcal{E}_{/T} \simeq (\mathrm{Ens}) = \mathcal{E}^{\circ} foncteur fibre e \in \pi_s = T changement de base , se déduit par les opérations de \pi

Plus précisément, si U = \coprod_i \pi/\pi_i \qquad \text{on a} \qquad \mathcal{F}_U \simeq \prod_i E^{\pi_i} décomposition en indécomposables

\begin{array}{lll} H^0(F) = \Gamma(F) = F(e) & \text{correspond à} & E^{\pi} = \operatorname{Hom}(\pi_s, E) \\ H^1(F) & \simeq & H^1(\pi, E) \\ H^i(F) & \simeq & H^i(\pi, E) \end{array} la dernière ligne vaut si F, E sont commutatifs.

, G_n

Prop 3.2. Soit f : X \to Y un morphisme fini,

Conditions équivalentes

(ii) \Rightarrow (iii bis) de (iii) \Rightarrow (iii bis) immédiat

(i) \Rightarrow (iii bis) (la démonstration qui suit que la suite due à J.-P. Serre). Le fait G_n X \times_Y \cdots \times_Y X par permutation des facteurs, par f, évidente. L'assertion des points d'inertie est fausse viennent de composantes connexes (car si s \in G_n est dans le d'inertie d'un point \alpha, il opère trivialement

Catégorie galoisienne

Pour axiomes l'existence d'un F : unicité F permet finis F(X) \to F(Y) , X isom. \Rightarrow X \to Y.

Axiomes :

aux sommes, aux produits, en quelconques finis, et les qui

X \in \mathcal{C} se dit indécomposable connexe si X = X' \sqcup X'' implique X' \simeq 0 ou X'' \simeq 0.

Groupe fondamental dans les catégories.

\mathcal{C} une catégorie, avec une famille (D) de morphismes dans \mathcal{C}, satisfaisant les conditions usuelles

Enfin, on suppose

(v) La projection X \times I \to X est \in (D).

Dans la suite, D est supposé donné une fois pour toutes. dans \mathcal{C} les sommes finies et quelconques existent

Exemple Catégorie \mathcal{C} des préschémas. La catégorie Comme (D) les morphismes plats et propres. [ou plats et quasi-propres].

On va développer une théorie particulière de fibrés principaux [utilisant les conditions générales d'une théorie fibrés principaux, cf. ].

Groupes structuraux : X \times G, G un groupe abstrait [ici fini quelconque]

Fibrés principaux sur X, de groupe G : les fibrés formés ainsi, avec leur P \to X \in (D).