Cote n° 29 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration

Fin de la construction du produit fibré ; \(\pi_1^{\mathcal{C}}(S,\xi)\) (pages 141 à 142)

141

la page est au crayon et très pâle ; c'est la plus difficile du lot, et l'appareil critique y est en conséquence plus lourd qu'ailleurs.

… la situation pour \(G_1\), \(G_1'\), \((P_1,\xi_1)\), \((Q_1,\eta_1)\) etc. [obtenue, […] par le fait que \(Q_1\) est vide, \(S_1\) […] l'idée […]]. \(P_1\) s'identifie alors [à] \(G_1'\) (muni du marquage \(\varepsilon_1'\)), \(Q_1\) à \(G_1'\) \(G_1' \times_{S_1} G_1'\) muni de \((\varepsilon_1', \varepsilon_1')\), […]

\((P_1', \xi_1')\) s'identifie aussi à \((G_1', \varepsilon_1')\). Il suffit de voir que \((P_1', \xi_1') \to (G_1',\) […] \()\) est l'inclusion diagonale \(G_1' \to G_1' \times_{S_1} G_1'\). On […]

[…] … relations, et désignons par \(w\) l'isomorphisme \((P,\xi) \times_u G' \to (P,\xi) \times_v G'\), \(w_1\) l'isomorphisme déduit par extension de la base à \(S_1\), notre assertion signifie que \(w_1\) transforme […] la section « naturelle » de \(P_1 \times_{v_1} G_1'\), i.e. […]

\begin{tikzcd}[column sep=large]
P \arrow[r, "\mathrm{can}"] \arrow[rr, bend right=30, "\mathrm{can}"'] & P \times_u G' \arrow[r, "w"] & P \times_v G'
\end{tikzcd}

Or cela résulte de l'unicité de \(P \to P \times_u G'\) […] la dernière ligne, en bas de feuille et en partie biffée, n'a pas été lue.

142

[…]

D'autre part on a \[ \mathfrak{z}(G \times G') = \mathfrak{z}(G) \times \mathfrak{z}(G') \] et ainsi de même. Les s-gpes \(G \in \mathcal{C}\) d'un \(G \in \mathcal{C}\) satisfaisant la condition minimale. la phrase est telle quelle sur la page : le même symbole \(G\) y sert deux fois.

[…] Ces propriétés formelles suffisent pour construire un pro-objet de \(\mathcal{C}\), au moyen d'un système projectif d'épimorphismes, que nous désignerons par \(\pi_1^{\mathcal{C}}(S, \xi)\).

Exemple I \(\mathcal{C} = \) un ensemble […] de groupes définis par un groupe […]. On retrouve le groupe fondamental.

Exemple II \(S\) est un schéma [ou] […] d'un corps \(k\). \(\mathcal{C}\) provient d'une […]

Données de descente : les conditions de cocycle (pages 144 à 146)

144

\[ \begin{array}{ccc} \pi' & \pi''_{\alpha} & \pi'''_{\beta} \\ S & S' & S''' \end{array} \] sous \(\pi'''_{\beta}\) la page porte d'abord \(S''\), corrigé en \(S'''\).

\[ \begin{array}{ll} p_{ij}^{\alpha\beta} : \pi'''_{\beta} \to \pi''_{\alpha} & \alpha = p_{ij}(\beta), \quad (ij) = \{(1,2), (2,3), (1,3)\} \\ p_i^{\alpha} : \pi''_{\alpha} \to \pi' & i = \{1, 2\} \end{array} \]

\(p_i^{\alpha} p_{ij}^{\alpha\beta}\)

\[ \begin{array}{l} p_1^{\alpha} p_{12}^{\alpha\beta} = \operatorname{ind}(a'_{\beta})\, p_1^{\alpha} p_{13}^{\alpha\beta} \\ p_2^{\alpha} p_{12}^{\alpha\beta} = \operatorname{ind}(a''_{\beta})\, p_1^{\alpha} p_{23}^{\alpha\beta} \\ p_2^{\alpha} p_{13}^{\alpha\beta} = \operatorname{ind}(a'''_{\beta})\, p_2 p_{23} \end{array} \]

\[ \begin{array}{ll} p_{12}^{-1}(p_1^{-1}(E)) \to p_{12}^{-1}(p_2^{-1}(E)) & (p_1 p_{12})^{-1}(E) \to (p_2 p_{12})^{-1}(E) \\ p_{23}^{-1}(p_1^{-1}(E)) \to p_{23}^{-1}(p_2^{-1}(E)) & (p_1 p_{23})^{-1}(E) \to (p_2 p_{23})^{-1}(E) \end{array} \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(p_1 p_{12})^{-1}(E) \arrow[r] \arrow[d] & (p_2 p_{12})^{-1}(E) = (p_1 p_{23})^{-1}(E) \arrow[d] \\
(p_1 p_{13})^{-1}(E) \arrow[r] & (p_2 p_{13})^{-1}(E) = (p_2 p_{23})^{-1}(E)
\end{tikzcd}

les deux flèches du carré portent chacune une étiquette d'une seule lettre, qui n'a pas été lue ; elles sont laissées nues plutôt que devinées.

Pour tout \(\beta\), on a ainsi, en posant \(\alpha' = p_{12}(\beta)\), \(\alpha'' = p_{23}(\beta)\), \(\alpha''' = p_{13}(\beta)\), […]

\begin{tikzcd}[column sep=large]
E \arrow[r, "A_{\alpha'}"] \arrow[d, "a'_{\beta}"'] & E \arrow[r, "a''_{\beta}", "\sim"'] & E \arrow[d, "A_{\alpha''}"] \\
E \arrow[r, "A_{\alpha'''}"'] & E \arrow[r, "a'''_{\beta}"', "\sim"] & E
\end{tikzcd}

\[ \boxed{\; A_{\alpha''}\, a''_{\beta}\, A_{\alpha'} = a'''_{\beta}\, A_{\alpha'''}\, a'_{\beta} \;} \]

146

page presque entièrement biffée : elle reprend en termes de chemins la relation encadrée de la page 144, et l'abandonne. Ce qui subsite de lisible est donné ici ; le reste est signalé, non deviné.

Si on a choisi les \(s''\) et \(s'''\) tels que […] pour \(s''' = \operatorname{diag}_{\theta_2}(s'')\) et […] \(s''' = \operatorname{diag}_{g_3}(s')\)

[…] […] que par […] \(s' \in E\), désignant par […] \(s'''\) […], \(s'\) […] de \(E'\), […] par l'application diagonale, […] \(s''\) [sont] les images de \(s'\) et \(s''\) par les applications diagonales, et […]

… chemins […] à des \(s''\), \(s'''\) […] […] pour […] \(s'''\), \(s'''\) que \(s'' = s'\). chemins triviaux. (Alors il résulte de ce qui […] \[ g_{s''} = g_{s'''}\, g_{s'} \quad \text{i.e.} \quad g_{s''} = 1 \] à la relation b), pour […] la forme équivalente b') \(g_{\bar{s}_i} = 1\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& R_0 \arrow[d] & R_1 \arrow[d] & R_2 \arrow[d] \\
S & S' \arrow[l] & S'' \arrow[l] & S''' \arrow[l]
\end{tikzcd}

le bas de la page ne porte que ce croquis, avec à côté les mots isolés \(\pi_1(S,\alpha)\), \(\pi\) et \(S\) ; il n'y a pas d'énoncé qui les relie.

Compléments aux notes IHES : \(\pi_1\) d'un produit fibré (pages 148 à 150)

148

Compléments aux notes IHES

Exercice

Remarque. La méthode de démonstration […] en 1.7 […] […] généralité […] l'énoncé suivant : Soient \(X\) et \(Y\) sur \(S\), \(X\) propre et séparable surjectif […], et \(Y\) […], à […] non vide. Désignons un point géométrique \(c\) de \(X \times_S Y\), d'images points géométriques \(a\), \(b\), \(d\) dans \(X\), \(Y\), \(S\), et un homomorphisme canonique \[ \pi_1(X \times_S Y, c) \to \pi_1(X, a) \times_{\pi_1(S, d)} \pi_1(Y, b). \] Cet homomorphisme est surjectif. Si […] … de la bijectivité si \(Y\) a une section sur \(S\), plus généralement si la condition suivante est vérifiée : Il existe un \(S'\) […] (non vide, […]) sur \(S\), tel que \(Y \times_S S' = Y'\) ait une section sur \(S'\) [i.e. il faut il suffit un \(S\)-morphisme \(S' \to Y\)] et […] […] et que \(\pi_1(X') \to \pi_1(X)\) soit injectif, […] \(S'\) étale sur \(S\) […]. Cet énoncé s'applique en particulier […] […] où \(S\) est le spectre d'un corps \(k\), et donnera \[ \pi_1(X \times_k Y) \simeq \pi_1(X) \times_{\pi_1(k)} \pi_1(Y) \] [\(X\) propre universellement connexe sur \(k\), \(Y\) […] […] sur \(k\) sans plus].

149

[…]

\begin{tikzcd}[row sep=small, column sep=large]
X \arrow[d] & \\
S & S'
\end{tikzcd}

seul ce croquis figure sur la feuille.

150

\[ \begin{array}{ccc} X & & Y \\ & S & \end{array} \]

\(X\) propre séparable […] universellement connexe sur \(S\), \(Y\) : tel qu'il existe […] un \(S'\) […] […] non vide, fini, de surjectif \(S' \to S\), et une section de \(Y \times_S S'\) sur \(S'\) [un peu \(=\) penser à un nouveau voisinage de \(S\)].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi_1(X \times_S Y) & & \\
\pi_1(X) \arrow[d, "\mathrm{surj}"'] & \pi_1(Y) \arrow[dl, "\mathrm{surj}"] & \pi_1(X') \arrow[d] \\
\pi_1(S) \arrow[rr] & & \pi_1(S')
\end{tikzcd}

le trait entre \(\pi_1(S)\) et \(\pi_1(S')\) porte une pointe à chaque extrémité sur la page.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& \pi_1(X) \times_{\pi_1(S)} \pi_1(Y) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\pi_1(X) \arrow[dr, "\mathrm{surj}"'] & & \pi_1(Y) \arrow[dl] \\
& \pi_1(S) &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& \operatorname{Im}(\pi_1(\bar{X}_s) \to \pi_1(X)) \arrow[d, no head] & & & \\
e \arrow[r] & \operatorname{Ker}[\pi_1(X) \to \pi_1(S)] \arrow[r, "\sim"] & \pi_1(X) \times_{\pi_1(S)} \pi_1(Y) \arrow[r] & \pi_1(Y) \arrow[r] & e \\
e \arrow[r] & \operatorname{Ker}[\pi_1(X \times_S Y) \to \pi_1(Y)] \arrow[u] \arrow[d, no head] \arrow[r] & \pi_1(X \times_S Y) \arrow[u] \arrow[r] & \pi_1(Y) \arrow[u] \arrow[r] & e \\
& \operatorname{Im}(\pi_1(\bar{X}_s) \to \pi_1(X \times_S Y)) & & &
\end{tikzcd}

les traits verticaux sans pointe rendent les deux signes \(\parallel\) de la page.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\bar{X}_s \arrow[r] \arrow[d, no head] & X \times_S Y \arrow[d] \\
\bar{X}_s \arrow[r] & X \arrow[d] \\
& S
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\pi_1(\bar{X}_s) \arrow[r] \arrow[d, no head] & \pi_1(X \times_S Y) \arrow[d] \\
\pi_1(\bar{X}_s) \arrow[r] & \pi_1(X) \arrow[d] \\
& \pi_1(S)
\end{tikzcd}

Le topos des \(\pi\)-ensembles et la cohomologie de \(\pi\) (page 151)

151

la page entière est barrée de trois longs traits diagonaux.

\(\pi\) un groupe.

1. 1)\(\mathcal{E}^{\pi}\) catégorie des ensembles […] où \(\pi\) opère à gauche, […] […] par les morphismes surjectifs, objet final \(S = e\), objet […] initial \(\emptyset\), objets minimaux ceux qui \(\neq \emptyset\) \[ \pi_s = \pi, \qquad \operatorname{Aut}(T) = \operatorname{Aut}(\pi/s) \simeq \pi \quad \text{par } x \mapsto x g^{-1} \] i.e. […] que \(S \to e\) soit surjectif […]

Faisceau d'ensembles sur \(\mathcal{E}\) \(\simeq\) catégorie des ensembles finis où \(F\) opère à gauche \[ E = F(\pi_s), \qquad F(U) = \operatorname{Hom}_{\pi}(U, E) \] un membre biffé, non lu, précède \(\operatorname{Hom}_{\pi}(U,E)\) : […] où on fait opérer \(\pi\) via les opérations à gauche sur \(\pi_s\).

\(\mathcal{F}^{\pi}\) catégorie fibrée en […] sur les […] dans \(\mathcal{E}_{\pi}\) \[ \mathcal{F}^{\pi}_e \simeq \mathcal{F}^{\pi}_s \simeq \mathcal{E}^{\pi}_{\mathrm{Ens}} \] \[ \mathcal{F}^{\pi}_T \simeq (\mathrm{Ens}) \qquad \text{car} \qquad \mathcal{E}_{/T} \simeq (\mathrm{Ens}) = \mathcal{E}^{\circ} \] foncteur fibre \(e \in \pi_s = T\) changement de base […], se déduit […] par les opérations de \(\pi\)

Plus précisément, si \[ U = \coprod_i \pi/\pi_i \qquad \text{on a} \qquad \mathcal{F}_U \simeq \prod_i E^{\pi_i} \] décomposition en indécomposables

\[ \begin{array}{lll} H^0(F) = \Gamma(F) = F(e) & \text{correspond à} & E^{\pi} = \operatorname{Hom}(\pi_s, E) \\ H^1(F) & \simeq & H^1(\pi, E) \\ H^i(F) & \simeq & H^i(\pi, E) \end{array} \] la dernière ligne vaut si \(F\), \(E\) sont commutatifs.

Application : caractérisation des morphismes finis étales (pages 152 à 156)

152

1. 3.Application. La caractérisation des […] variétés de la […] […] […] le titre est biffé et resurchargé deux fois ; il n'a pas été lu.

[…], \(G_n\)

Prop 3.2. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini, […]

Conditions équivalentes

1. (i)\(f\) est étale, et le rang de \(X\) […] […] sur \(Y\) […] localement égal à \(n\).
2. (ii)Il existe un \(Y_1 \to Y\) fidèlement plat tel que \(X \times_Y Y_1\) soit \(Y_1\)-isomorphe à \(Y_1 \times I_n\).
3. (ii bis)Kif – kif, avec \(Y_1\) […] un revêtement galoisien (de groupe \(G_n\) il me semble).
4. (iii)\(X\) est isomorphe à un \(P\)[…]\(/H\), où \(P\) est un revêtement étale galoisien de \(Y\), de groupe \(G\), et \(H\) un sous-groupe de \(G\) […] d'indice […]
5. (iii bis)Kif kif, avec \(G = G_n\), \(H = G_{n-1}\) (stabilisateur d'un point de \(I_n\)).

(ii) \(\Rightarrow\) (iii bis) […] de […] (iii) \(\Rightarrow\) (iii bis) immédiat […]

(i) \(\Rightarrow\) (iii bis) (la démonstration qui suit […] que la suite due à J.-P. Serre). Le fait […] \(G_n\) […] \(X \times_Y \cdots \times_Y X\) […] par permutation des facteurs, […] par \(f\), […] évidente. L'assertion des points d'inertie est fausse viennent de composantes connexes (car si \(s \in G_n\) est dans le […] d'inertie d'un point \(\alpha\), il opère trivialement […]

153

… […] la composante connexe […] est réduit [au point]). Soit \(P\) son complémentaire. Il est stable un ouvert et fermé de \(Y\) […] \(G_n\), qui y opère […]. De plus, on doit […] pour tout \(\gamma \in \mathcal{C}\), l'étale la fibre \(P\) sur \(Y\) […] […]

… permutation […] triviale de \(I_n\) : il […] les points d'inertie […] distincts de \(E\), il y a \(n!\) […] En vertu de prop. 2.5, \(P \to Y\) […] un revêtement étale galoisien de \(Y\) de groupe \(G_n\).

D'autre part, […] la […] dernière […] \(pr_{12}\)\(\, : X^n \to X\) étale est invariante sous le stabilisateur \(H = G_{n-1}\) de \(\{n\}\), d'où […] […]

154

… revenir au cas où \(G\) opère transitivement sur l'un […] des composantes connexes. Soit \(X_0\) […] d'elles, \(G_0\) son stabilisateur, alors il est évident que \(X\) s'identifie à \(X \times_{G_0} G\), et \(X/G \simeq X_0/G_0\).

Enfin, on […] peut supposer \(X_0\) connexe. Soit \(H\) […] soit \(G_i\) le groupe d'inertie, il […] qui opère trivialement […] Donc on […] que \(G_0\) opère […] fidèlement. Mais alors il opère sans inertie \[ X \to X/G \] […] donc reste : voir que \(X/G\) est étale sur \(Y\).

(Faisant une extension fidèlement […] de la base \(Y\) […], on est ramené au cas où l'extension résiduelle \(k(x)/k(y)\) est triviale. Cela […], on voit que le diagramme \(\hat{\mathcal{O}}_y \to \hat{\mathcal{O}}_{x'}\) […])

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[dr] & \\
& X' = X/G \arrow[d] \\
& Y \ni y
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[row sep=small]
k(x') \arrow[d, no head] \\
k(x) \arrow[d, no head] \\
k(y)
\end{tikzcd}

la tour est dessinée dans cet ordre sur la page ; les inclusions vont en sens inverse, \(k(y) \subset k(x') \subset k(x)\).

\[ \hat{\mathcal{O}}_y \to \hat{\mathcal{O}}_{x'} \xrightarrow{\ \sim\ } \hat{\mathcal{O}}_x \]

Corollaire Soit \(X\) étale sur \(Y\) en \(x\), \(g : X \to X'\) un \(Y\)-morphisme étale en \(x\), alors \(X'\) est étale sur \(Y\) en \(g(x)\).

155

… car il est surjectif et radiciel, donc […] pour tout \(\gamma \in Y\), la fibre géométrique de \(P/H\) […] […] d'avoir bijectivement […] de \(X\) en \(\gamma\). Ce qui […] un point fini, d'après l'application précédente.

On a ainsi (iii bis) \(\Rightarrow\) (iii), et (iii) \(\Rightarrow\) (i) d'après un lemme précédent, déjà établi. Puis l'équivalence de (i) (iii bis) (iii). De plus (iii) […] \(\Rightarrow\) (ii bis), comme on […] en prenant \(Y_1 = P\), et utilisant la formule \[ (X \times G)/H \simeq X \times G/H, \] et (ii bis) \(\Rightarrow\) (i). Enfin, (ii bis) \(\Rightarrow\) (i) est immédiat [car la condition […] […] si \(X\) est étale par un […]].

Cor. […] […] \(A\) sur \(Y\), \(X_1\) […] […] \(A_1\), si \(A_1\) est libre, il en est […] \(= \) de \(A\) comme […]. Si les fibres de \(X_1\) sur \(Y_1\) sont (distinctes de celles de \(X\) sur \(Y\) car […]) […] […] celles de \(X\) sur \(Y\). D'où […]

156

Proposition 3.1 ([…]) \(X\) étale sur \(Y\) […] quasi-compact, \(G\) un groupe fini opérant dans \(Y\)-automorphismes […].

1. (i)si chacun des points de \(X\) […] \(G\) […] […] […] […] et pour […]
2. (ii)[…] \(X/G\) existe, et \(X \to X/G\) […] et \(X/G \to Y\) […] étale.

Si \(s \in G\) […] […] le groupe d'inertie […] […] point \(x \in X\), il laisse qui laisse un point fixe […] (ii), […] l'un \(X_0\) […]

… des \(x \in X\) tels que \(s \in G_i(x)\), […] […] […], […] fini. […] […] l'un des points […] i.e. \(G_i(x) \neq e\) […] la réunion des \(X(s)\), \((s \neq e)\),

(i) […] évident. […] […], \(X\) étant quasi-affine sur \(Y\), \(X/G\) existe [[…]] […] […] en faisant […] ce que […]. Soit \(I\) l'ensemble des composantes connexes de \(X\). \(G\) opère sur \(I\), et \(X\) est réunion des … \(X_{(\alpha)}\), \(\alpha \in\) \(I/G\), obtenus en posant \[ X_{(\alpha)} = \bigcup_{i \in \alpha} X_i, \quad \text{stables sous } G. \] donc \[ X/G = \bigcup X_{(\alpha)}/G \] […]

Catégories galoisiennes (pages 157 à 158)

157

Catégorie galoisienne

1. (i)Une catégorie \(\mathcal{C}\)
2. (ii)Un foncteur \(F : \mathcal{C} \to\) Ensembles finis

Pour […] […] axiomes l'existence d'un \(F\) […] : unicité […] \(F\) permet […] finis […] \(F(X) \to F(Y)\) […], \(X\) isom. \(\Rightarrow X \to Y\).

Axiomes :

aux sommes, aux produits, en […] quelconques finis, et […] les qui […]

1. (Gal 1)Dans \(\mathcal{C}\), les sommes et les produits de deux objets existent [d'où l'existence de \(0\) et \(1\)]
2. (Gal 3)\(X \in \mathcal{C}\), \(F(X) = \emptyset \Rightarrow X\) est une unité à gauche (soit \(0\))
3. (Gal 4)\(F\) permute à la somme et au produit

\(X \in \mathcal{C}\) se dit indécomposable connexe si \(X = X' \sqcup X''\) implique \(X' \simeq 0\) ou \(X'' \simeq 0\).

1. (Gal 2)\(X \in \mathcal{C}\) […] implique \(X \simeq \coprod_{i \in I} X_i\) \(X_i \neq 0\), et la […] décomposition \(X \simeq X' \sqcup X''\) implique \(X' \simeq \coprod_{i \in I'} X_i\), \(X'' = \coprod_{i \in I''} X_i\), \(I' \cap I'' = \emptyset\), \(I' \cup I'' = I\). Les \(X_i\), déterminés de façon essentiellement unique (avec leur \(X_i \to X\)) sont appelés les composants indécomposables connexes de \(X'\) [N.B. \(X = 0 \Longleftrightarrow I = \emptyset\)]
2. (Gal 3)Soit \(f : X \to Y\) avec \(Y\) indécomposable connexe \(\neq 0\). Alors les composantes \(X\) \(X_i\) de \(X\) telles que \(f\) induise un isom. \(f_i : X_i \xrightarrow{\sim} Y\) sont en correspondance biunivoque avec les sections \(g : Y \to X\) de \(f\) [i.e. telles que \(fg = \mathrm{id}_Y\)], \(g\) étant la composée […] \[ Y \xrightarrow{\ f_i^{-1}\ } X_i \xrightarrow{\ \text{inj. can}\ } X \] [en d'autres termes, toute […] section se factorise] [N.B. il suffit de la vérifier si \(X = Z \times Y\), \(f = p_2\)] \(X\), \(Y\) quelconques
3. (Gal 5)Sous les conditions de Gal 3, si […] \(f : X \to Y\) induit \(F(X) \xrightarrow{\sim} F(Y)\), c'est un isomorphisme [implique \(F(X) = \emptyset \to X = 0\)] [il suffit de vérifier Gal 5 quand \(X\) est une composante connexe d'un produit \(Z \times Y\), \(f\) induit par \(p_2\)]
4. (Gal 6)Soit \(X \in \mathcal{C}\), \(X\) connexe \(\neq 0\), et galoisien, i.e. Alors \(G = \operatorname{Aut}(X)\) opère transitivement dans \(F(X)\). […] Alors pour tout sous-groupe \(H\) de \(G\), \(X/H\) dans \(\mathcal{C}\) existe, et \[ F(X/H) \simeq F(X)/H. \]

158

Catégorie \(\mathcal{C}\), sous-catégorie \(\mathcal{P}\) (pleine), morphismes \(f\) « non ramifiés »

1. 1^oDans \(\mathcal{C}\), les sommes finies existent, ainsi que les produits fibrés.
2. 4^oDans \(\mathcal{C}\), le composé produit de deux morphismes non ramifiés (des morphismes identiques) où l'image inverse d'un morphisme non ramifié sont non ramifiés, […]
3. 5^o[…] \(f : X \to Y\) est un […] ramifié \(\Longleftrightarrow\) […] (\(X\) : les composantes) […] les sommes […]
4. 2^oDans \(\mathcal{C}\), il y a des composantes connexes.
5. 3^oLes points \(\xi \in \mathcal{P}\) sont connexes (donc \(\operatorname{Hom}(\xi, X \sqcup Y) = \operatorname{Hom}(\xi, X) \sqcup \operatorname{Hom}(\xi, Y)\))
6. 6^oPour tout \(f : X \to Y\) non ramifié, \(Y\) connexe, et \(\xi \in \mathcal{P}\), \(\operatorname{Hom}(\xi, X) \to \operatorname{Hom}(\xi, Y)\) […]
7. 7^oSi \(X\) et \(Y\) sont connexes, et les fibres de \(\operatorname{Hom}(\xi, X) \to \operatorname{Hom}(\xi, Y)\) surjectif […] réduites à un élément, alors \(f\) est un isom. (on suppose \(f\) non ramifié, \(\xi \in \mathcal{P}\))
8. 8^oSi \(f : X \to Y\) non ramifié, \(Y\) connexe, alors pour toute les section \(s : Y \to X\) est un isom. de \(Y\) sur une composante connexe de \(X\).
9. 9^oSoit \(G\) groupe fini opérant dans \(X\) […] […] \(f : X \to Y\) non ramifié, […] \(X\) connexe, \(\xi \in \mathcal{P}\), \(e \in \operatorname{Hom}(\xi, Y) = Y^{\xi}\) ; […] \(G = \operatorname{Aut}_Y(X)\) opère transitivement dans \((f^{\xi})^{-1}(e)\). Alors pour tout sous-groupe \(H\) de \(G\), \(X/H\) […] dans \(\mathcal{C}\) […] un revêtement non ramifié de \(Y\). […]

N.B. deux éléments de \(\operatorname{Hom}(\xi, X)\) […] […] même […] image par \(X \to X/H\) sont […] mod \(H\).

Sous ces conditions, pour \(x \in \operatorname{Hom}(\xi, X)\) on définit \(\pi_1(X, x)\). Je ne changerai pas […] […] […] \(\xi\) […] […] \(\xi'\) […] \(\xi' \to \xi\) soit donné. (c'est un foncteur covariant en \((X, x)\))

\begin{tikzcd}
\xi \arrow[r, "x"] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
\xi' \arrow[r, "x'"'] & X'
\end{tikzcd}

définissant \(\pi_1(X, x) \to \pi_1(X', x')\). Etc.

Groupe fondamental dans les catégories (pages 159 à 160)

159

Groupe fondamental dans les catégories.

\(\mathcal{C}\) une catégorie, avec une famille \((D)\) de morphismes dans \(\mathcal{C}\), satisfaisant les conditions usuelles

1. (i)Contiennent l'identité et stables par composition
2. (ii)[…] que dans […] changement de base \(P\) […] les […] de […]
3. (iii)[…] […] sont des morphismes de descente [[…] des […] universels stricts si […] […] et […] […] produits existent].

Enfin, on suppose

1. (iv)les morphismes qui « descendent » par \(g \in (D)\), pour un \(f \in (D)\) [mais on ne suppose pas qu'on puisse faire descendre tout morphisme par un \(f \in (D)\)].

(v) La projection \(X \times I \to X\) est \(\in (D)\).

Dans la suite, \(D\) est supposé donné une fois pour toutes. […] dans \(\mathcal{C}\) les sommes finies et […] quelconques existent […]

Exemple Catégorie \(\mathcal{C}\) des préschémas. La catégorie Comme \((D)\) les morphismes plats et propres. [ou plats et quasi-propres].

On va développer une théorie particulière de fibrés principaux [utilisant les conditions générales […] d'une théorie […] fibrés principaux, cf. […]].

Groupes structuraux : \(X \times G\), \(G\) un groupe abstrait [ici fini quelconque]

Fibrés principaux sur \(X\), de groupe \(G\) : les fibrés formés ainsi, avec leur \(P \to X \in (D)\).

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Espace : opérateurs admissibles : Les morphismes \(E \to X\) sont \(\in D'\).

Hom admissibles de groupes structuraux : […] dérivé de […] […] d'un […] de […]

Hom Inclusion admissible : les morphismes […] de groupes ordinaires.