Cote n° 29 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration

Groupes d'inertie : classes de conjugaison d'homomorphismes de \(\underline{Z}_{\ell}(1)\) (pages 121 à 122)

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\(X\) (donc et \(X\) est régulier en les points de son support), \(U = f^{-1}(V) = X - \operatorname{supp} D\) (Condition de transversalité)

1. b)\(\operatorname{supp} E\) est irréductible, et il est régulier en les points de \(f(\operatorname{supp} D) = \operatorname{supp} E \cap f(X)\) (donc \(Y\) est régulier en ses points).

Alors pour tout \(x \in \operatorname{supp} D\), les images des les sous-groupes d'inertie de \(G\) en \(x\) sont comme images par \(\varphi : G \to H\) des sous-groupes de \(H\) qui sont des sous-groupes d'inertie de \(H\) relativement au point maximal de \(\operatorname{supp} E\). Par suite, pour toute représentation linéaire de \(G\) (dans un module \(M\) sur quelque anneau) […] qui veut bien se factoriser par une représentation linéaire de \(H\), les images dans \(\operatorname{Aut}(M)\) des sous-groupes d'inertie dans de \(G\) relatifs aux divers points de \(\operatorname{supp} D\) (ou encore, relatifs aux diverses composantes irréductibles de \(\operatorname{supp} D\), cela revient au même en vertu de 3) sont conjugués dans \(\operatorname{Aut}(M)\). Remords au n^o 3, 4.

Application On peut demander du un résultat plus précis, en considérant pour tout \(\xi\) comme ci-dessus (au dessus d'un point géométrique \(\bar{x}\) de \(\operatorname{supp} D\)) l'homomorphisme correspondant

\[ \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x}) \to G \]

dont l'image est le sous-groupe d'inertie correspondant, et en se demandant comment cet homomorphisme varie avec le choix de \(\xi\) et de \(\bar{x}\). Pour \(\xi\) variable, la variation se fait évidemment modulo composition avec les automorphismes intérieurs de \(G\), Pour donner un sens à la question donc pour \(\bar{x}\) fixé, on trouve une classe de conjugaison d'homomorphismes

\[ \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x}) \to G. \]

pour [Étudions] la variation de cet homomorphisme, pour \(\bar{x}\) variable dans une composante de la [\(D_{i}\) de] l'ensemble des points réguliers de \(D\) [à car. \(\neq \ell\)] ; d'après ce qu'on a vu au n^o 3, on passe d'un tel homomorphisme à un autre en composant avec un quelconque des isomorphismes \(\underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x}) \to \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x}')\) associé à une classe de chemins de \(\bar{x}\) à \(\bar{x}'\). Si cet isomorphesic ; lire « isomorphisme » ne dépend pas du choix de cette classe de chemins, i.e. si l'action du groupe fondamental le faisceau \(\ell\)-adique de Tate \(\underline{Z}_{\ell}(1)\) sur \(D(\ell)\) est trivial (ce qui se voit déjà sur la

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restriction dudit faisceau au corps résiduel point générique de \(D_{i}\)), alors on peut identifier entre eux tous les groupes \(\underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x})\) envisagés à un même groupe \(\underline{Z}_{\ell}(1)(D_{i})\) (qu'on peut interpréter comme groupe des sections de \(\underline{Z}_{\ell}(1)\) sur \(D_{i}\) ou sur le point générique de \(D_{i}\)), et on trouve une classe [de conjugaison] bien déterminée d'homomorphismes

\[ \underline{Z}_{\ell}(1)(D_{i}) \to G. \]

(On trouve un résultat analogue pour les homomorphismes de produits de groupes \(\underline{Z}_{\ell}(1)\) envisagés dans le n^o 3.) Bien entendu, si \(\underline{Z}_{\ell}(1)\) est trivial sur l'ouvert [\(X_{\ell}\)] des points de \(X\) lorsque l'on a un \(f : X \to Y\) comme aux n^os […] de car. \(\neq \ell\), et si ce dernier est connexe, on peut identifier les groupes \(\underline{Z}_{\ell}(1)(D_{i})\) au même groupe \(\underline{Z}_{\ell}(1)(X_{\ell})\), si on soit \(\underline{Z}_{\ell}(1)\), et on trouve un homomorphisme dans pour chaque \(i\) une classe classe de conjugaison d'homomorphismes \(\underline{Z}_{\ell}(1) \to G\). En général, celles-ci sont peuvent être distinctes pour des \(i\) distincts, bien entendu. Mais relativement à un morphisme \(f : X \to Y\) comme dans les n^os 2, 4, la formation des classes [de conjugaison] précédentes d'homomorphismes [ci-dessus] a un caractère fonctoriel évident, que le lecteur explicitera lui-même s'il en a besoin.

Lettre à Serre : la partie « infinitésimale » du groupe fondamental (pages 124 à 129)

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Vallocinle nom de lieu est lu sans certitude, 18.X.1959

Mon cher Serre,

Tate m'a écrit de son côté […] sur ses histoires de courbes elliptiques, et pour me demander si j'avais des idées sur une définition globale des variétés analytiques sur des corps valués complets. Je dois avouer que je n'ai pas du tout compris pourquoi ses résultats suggèreraient l'existence d'une telle définition, et suis encore sceptique. Je n'ai pas non plus l'impression d'avoir rien compris à son théorème, qui […] ne fait que exhiber par des formules brutales un certain isomorphisme de groupes analytiques ; […] on conçoit que d'autres formules tout aussi explicites en donneraient un autre pas plus mauvais (sauf preuve du contraire !)

J'ai réfléchi un petit peu à la partie ``infinitésimale'' du groupe fondamental, juste assez pour me convaincre que ça existe et est raisonnable. Voici un contexte (certainement insuffisant d'ailleurs) où ça marche. On a un schéma \(S\) [(connexe)] (par exemple un schéma algébrique sur un corps \(k\)), une catégorie auxiliaire \(\underline{C}\) (par exemple la catégorie des schémas algébriques finis sur \(k\)), une catégorie […] \(\underline{G}\) dont les objets sont des \(\underline{C}\)-groupes, et les morphismes des morphismes de \(\underline{C}\)-groupes (par exemple les groupes algébriques finis sur \(k\)). On suppose que dans \(\underline{C}\) les produits fibrés existent, et que \(\underline{G}\) satisfait aux conditions suivantes :

1. (i)\(\underline{G}\) est stable par produits, et si \(u, v : G \to G'\) sont des morphismes dans \(\underline{G}\), alors le noyau du couple \((u,v)\) i.e. le sous-groupe […] maximum de \(G\) où \(u\), \(v\) coïncident — qui existe, car s'exprime par un produit fibré — est dans \(\underline{G}\).
2. (ii)Si \(u : G \to G'\) est un morphisme dans \(\underline{G}\), […] le groupe image existe, est isomorphe à un quotient de \(G\) comme il se doit, et est dans \(\underline{G}\).
3. (iii)Toute suite décroissante de sous-groupes […] \(\in \underline{G}\) d'un \(G \in \underline{G}\) est stationnaire.

On suppose donné de plus un foncteur covariant […] \(F\) de \(\underline{G}\) dans les groupes schémas en groupes sur \(S\) (par exemple \(G \to S \times_{k} G\)), et on suppose :

1. (iv)Le foncteur \(F\) commute aux produits, [aux] noyaux de couples de morphismes, images (on pourra dire que \(F\) est ``exact'').
2. (v)Si \(H\) est […] de la forme \(F(G)\) (\(G \in \underline{G}\)) alors \(H\) [est ``spécial'' i.e.] admet une suite exacte

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de schémas en groupes finis et plats sur \(S\)

\[ e \to H_{\mathrm{inf}} \to H \to H_{\mathrm{sép}} \to e \]

où \(H_{\mathrm{inf}}\) est purement infinitésimal (i.e. la projection \(H_{\mathrm{inf}} \to S\) est géométriquement injectif) et où \(H_{\mathrm{sép}}\) est non ramifié sur \(S\). (Dans le cas d'un corps de base \(k\), une telle suite exacte est déduite d'une suite exacte analogue pour un groupe algébrique fini \(G\) sur \(k\) ; d'ailleurs si \(k\) est parfait, cette suite splitte canoniquement, car \(G_{\mathrm{réd}}\) est [alors] un sous-groupe de \(G\), isomorphe à \(G_{\mathrm{sép}}\) par la projection \(G \to G_{\mathrm{sép}}\). Faire attention cependant que \(G_{\mathrm{réd}}\) va opérer sur \(G_{\mathrm{inf}}\), on aura seulement un produit semi-direct.) Enfin […]

1. (vi)\(S\) est réduit.

Les conditions (v) et (vi) ont une sale gueule, et sont essentiellement provisoires. Elles servent à assurer la validité [causer] du

Lemme. Soit \(H\) comme dans (v), \(S\) comme dans (vi), \(P\) un fibré principal homogène sous \(H\), \(Q\) un autre, \(u\), \(v\) deux isomorphismes de \(P\) dans \(Q\) transformant un ``point […] [marqué]'' donné en un autre donné, alors \(u = v\).

(On est ramené, en tordant \(H\), au cas où \(P\) est trivial, et alors cela résulte du fait suivant : une section de \(Q\) est un isomorphisme de \(S\) sur une composante connexe de \(Q_{\mathrm{réd}}\).)

Remarque néanmoins que les conditions (i) à (vi) n'excluent pas des groupes structuraux tordus (relativement à un corps de base \(k\)).

Soit maintenant \(a\) un ``point marqué'' de \(S\) (i.e. une extension algébriquement close du corps résiduel d'un \(s \in S\)). Pour tout \(G \in \underline{G}\), on désigne par \(Z(S, a ; G)\) ou simplement \(Z(G)\) l'ensemble des classes (à isomorphisme près) de fibrés principaux homogènes sur \(S\), de groupe \(F(G)\), munis d'un point marqué au dessus de \(a\). Évidemment \(Z(G)\) est un foncteur de \(\underline{G}\) dans la catégorie des ensembles. Ce foncteur satisfait aux conditions suivantes :

1. 1)Il commute aux produits ([…] car \(F\) y commute).
2. 2)Il commute aux noyaux de couples, en d'autres termes si \(G'' \to G \rightrightarrows G'\) est exact dans \(\underline{G}\), alors \(Z(G'') \to Z(G) \rightrightarrows Z(G')\) est exacte, i.e. \(Z(G'')\) s'identifie à l'ensemble des éléments de \(Z(G)\) dont l'image dans \(Z(G')\) par \(Z(u)\) et \(Z(v)\) est la même. (Ceci résulte de l'exactitude de \(F\), et du lemme.)

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De ces deux propriétés résulte formellement qu'on peut trouver un système projectif [filtrant] \((G_{i})_{i \in I}\) dans \(\underline{G}\), avec des morphismes \(G_{i} \to G_{j}\) qui sont des épimorphismes dans \(\underline{C}\), ``essentiellement unique'' dans un sens facile à préciser, tel que […] l'on ait un isomorphisme fonctoriel

\[ Z(G) = \varinjlim \operatorname{Hom}_{\underline{G}}(G_{i}, G) \]

C'est ce système projectif (pris modulo une équivalence qui intuitivement signifie qu'on a passé à la limite projective des \(G_{i}\)) qui peut être noté \(\pi_{1}^{\underline{G}}(S, a)\) et joue le rôle d'un groupe fondamental de \(S\) en \(a\) (relativement à la catégorie \(\underline{G}\) de groupes, munie du foncteur \(F\)). Dans le cas […] d'un corps de base \(k\), \(\underline{G}\) étant la catégorie des groupes algébriques finis sur \(k\), on pourra écrire \(\pi_{1}(S/k, a)\), c'est le groupe proalgébrique (mais avec partie infinitésimale) fondamental du \(k\)-schéma \(S\). à tout Lorsque \(k\) est parfait, la décomposition d'un groupe algébrique fini en partie infinitésimale et partie réduite montre que le groupe fondamental est produit semi-direct de sa partie réduite ou séparable […] (qui correspond à un groupe compact discontinu ordinaire, sur lequel le groupe fondamental ordinaire de \(k\) — i.e. le groupe de Galois de \(\bar{k}\) sur \(k\) — opère), par sa partie infinitésimale, […] qui elle ne dépend d'ailleurs plus du choix du point base \(a\) de \(S\). (lorsque \(a\) […] automatiquement une […]) Noter que la partie séparable du groupe fondamental peut se réconstituer facilement à l'aide du groupe fondamental ordinaire de \(S\) et de son homomorphisme naturel dans \(\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\). ([mais] Il est ``plus grand'' que le groupe fondamental ordinaire, parceque il correspond à la classification de revêtements principaux de groupe structural non seulement un groupe fini ordinaire, mais un groupe […] fini et séparable sur \(k\) (i.e. un groupe fini ordinaire sur lequel on fait opérer \(\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\) de façon non nécessairement triviale).) […] J'avoue que si \(k\) n'est pas algébriquement clos, le groupe fondamental ci-dessus n'est peut-être [sans doute] pas le bon ; on devrait sans doute prendre le groupe fondamental de \(S \times_{k} \bar{k}\), qui est un groupe proalgébrique défini sur \(\bar{k}\), noter qu'il est muni d'une donnée de descente de \(\bar{k}\) à \(k\) et est par suite défini en réalité sur \(k\) ; avec cette définition, si \(S = \operatorname{Spec}(k)\), la […] partie séparable du groupe fondamental de \(S\) (relativement à la ponctuation de \(S\) définie par une […] clôture algébrique \(\bar{k}\) de \(k\)) n'est autre que

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\(\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\), mais où on fait opérer \(\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\) par automorphismes intérieurs. Ainsi, […] le groupe des points rationnels sur \(k\) du groupe fondamental de \(\operatorname{Spec}(k)\) s'identifie au centre de \(\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\).

Voici comment on voit l'existence du système projectif \((G_{i})\). Un couple \((G, z)\), avec \(G \in \underline{G}\) et \(z \in Z(G)\), est dit minimal si on ne peut trouver un sous-groupe \(G' \subset G\) de \(G\), […] \(\neq G\), tel que \(z\) soit dans de la forme \(Z(i)(z')\), avec \(z' \in Z(G')\) et \(i : G' \to G\) l'injection. […] On dit qu'un couple \((G, z)\) est majoré par un couple \((G', z')\) si on peut trouver un homomorphisme \(G' \xrightarrow{\;u\;} G\) tel que \(z = Z(u)(z')\). Il résulte de (iii) que tout couple \((G, z)\) est majoré par un couple minimal, et de la propriété 2) de \(Z\) que si \((G', z')\) est minimal et domine \((G, z)\), alors il existe un seul \(u : G' \to G\) tel que \(z = Z(u)(z')\). De ceci résulte que les couples \((G, z)\) minimaux forment un système projectif pour la relation de domination, d'ailleurs filtrant (car \((G, z)\) et \((G', z')\) sont dominés par \((G \times G', (z, z'))\) lui-même dominé par un \((G'', z'')\) minimal), c'est le système cherché. On peut si on veut choisir un couple \((G, z)\) dans tout système de couples [minimaux] isomorphes, de […] telle façon que l'ensemble d'indices […] \(I\) devient ordonné et non seulement préordonné. (N.B. Ce genre de raisonnements formels est aussi celui qui sert en théorie des […] modules …)

Je ne sais encore comment devrait être formulée la suite exacte d'homotopie, pour bien faire l'inclusion dans le groupe fondamental d'une partie infinitésimale devrait donner une théorie satisfaisante du comportement du groupe fondamental par spécialisation. J'espère que si \(f : X \to Y\) est un morphisme propre et séparable à fibres absolument connexes i.e. tel que \(f_{*}(\mathcal{O}_{X}) = \mathcal{O}_{Y}\), \(X\) étant muni […] d'une section sur \(Y\) qui détermine des points-base sur les fibres (pour simplifier), alors les groupes fondamentaux totaux des fibres de \(X\) forment sur \(Y\) un pro-schéma en groupes [filtrant], de façon précise qu'on peut trouver un système projectif [\(\pi_{1}(X/Y, s)\)] \((G_{i})_{i \in I}\) de schémas en groupes \(G_{i}\) `spéciaux' sur \(Y\), avec des homomorphismes \(G_{i} \to G_{j}\) qui soient des épimorphismes de \(Y\)-schémas (i.e. correspondant à un homomorphisme injectif de faisceaux cohérents sur \(Y\)), de telle façon que les groupes fondamentaux totaux des fibres de \(X\) […] déduisent dudit pro-schéma en groupes par simple spécialisation. (C'est en tous cas ce que semble indiquer le cas où \(X\) est un schéma abélien sur \(Y\), cf. plus bas.)

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Lorsqu'il n'y a pas de corps de base, il n'est pas clair cependant comment et à quels groupes fondamentaux […] pour \(X\), \(Y\) on peut rattacher […] les groupes fondamentaux des fibres, pour tenir lieu de suite exacte d'homotopie. S'il y a un corps de base, une [conjecture] […] de départ serait que l'image inverse par \(f\) de \(\pi_{1}(X/Y)\) [\(\pi_{1}(X)\)], le pro-schéma en groupes sur \(X\) qui définit le système local des groupes fondamentaux […] de \(X\) en ses divers points, et enfin l'image inverse par \(f\) du pro-schéma en groupes analogue [\(\pi_{1}(Y)\)] sur \(Y\), sont reliés par une suite exacte (qui serait définie d'ailleurs indépendamment de l'existence d'une section de \(X\) sur \(Y\), car le premier […] pro-schéma en groupes nommé (sur \(X\)) serait défini en tous cas). Si \(Y\) est le spectre d'un anneau local complet, notamment un anneau de valuation discrète, on devrait pouvoir s'y mettre. Il y a de la joie en perspective pour les groupes d'homotopie supérieurs …

Il n'est pas dit que la conjecture envisagée soit plus difficile à démontrer que la partie déjà connue pour les groupes fondamentaux ordinaires. Elle impliquerait que pour des schémas complets \(X\), \(Y\) au dessus d'un corps alg clos \(k\), on a \(\pi_{1}(X \times Y/k) = \pi_{1}(X/k) \times \pi_{1}(Y/k)\). Utilisant tes raisonnements, on en conclut que si \(X\) est une variété abélienne sur \(k\), alors \(\pi_{1}(X/k)\) est abélien, et qu'un revêtement principal minimal \(X'\) de \(X\) est une variété abélienne isogène à \(X\). On en déduit

\[ \pi_{1}(X/k) = \varprojlim {}_{n}X \]

où \({}_{n}X\) est le noyau (avec sa partie infinitésimale aussi, bien sûr) de la multiplication par \(n\), l'homomorphisme de \({}_{mn}X\) dans \({}_{n}X\) étant induit par la multiplication par \(m\). (Utilisant Cartier, ce groupe fondamental est dual, au sens de Cartier, au groupe ind-algébrique limite inductive des \({}_{n}X^{*}\), où \(X^{*}\) est la variété duale de \(X\).)

Prenant la \(p\)-composante de ce groupe fondamental, on trouve ce qui, pour le nombre premier \(p\), doit jouer le rôle du module de Weil. Il est hors de doute (et Cartier doit l'avoir fait) qu'il est possible d'associer […] fonctoriellement à un groupe proalgébrique infinitésimal abélien un module sur l'anneau de Witt, et […] qu'il [soit] facile de vérifier qu'en l'occurence ce module se décompose en les trois morceaux que tu connais bien (correspondants aux trois types principaux de groupes algébriques [abéliens]), […] On trouve ainsi

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pour ton théorème une formulation plus naturelle (qui devrait […] fournir une démonstration uniforme, sans distinction du cas \(\ell \neq p\) et \(\ell = p\)), de même qu'on voit en même temps que ta somme abracadabrante se comporte bien quand on fait varier \(X\) dans une famille, i.e. si \(X\) est […] un schéma abélien sur \(Y\) (car alors les \({}_{n}X\) seront d'excellents schémas en groupes finis et plats sur \(Y\), dont on peut prendre formellement la limite projective …).

J'espère arriver dans l'année prochaine à une théorie satisfaisante du groupe fondamental, […] et achever la rédaction des Chapitres IV, V, VI, VII (ce dernier étant le groupe fondamental), en même temps que des catégories. Dans deux ans résidus, dualité, intersections, Chern, Riemann-Roch. Dans trois ans cohomologie de Weil, et un peu d'homotopie si Dieu veut. Et entre-temps, je ne sais quand, le grand théorème d'existence avec Picard etc, un peu de courbes algébriques, [les schémas abéliens.] Sauf difficultés imprévues ou enlisement, le multiplodoque devrait être fini d'ici 3 ans, ou 4 au maximum. On pourra commencer à faire de la géométrie algébrique !

Bien à toi,

Le foncteur des fibrés principaux pointés au-dessus de \(X/S\) (page 130)

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\(X\) […] muni d'une section \(\uncertain{\sigma_{1}}\) ; \(f\) propre plat, \(f_{*}(\mathcal{O}_{X}) = \mathcal{O}_{S}\) universellement.

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"] \\
S
\end{tikzcd}

\(G\) désignera un groupe […] fini et séparable étale sur \(S\) [le cas important […] celui […] \(G = S \times \Gamma\)].

\(F_{G}(T) = \) ens. des classes d'isomorphie […] de fibrés principaux homogènes sur \(X_{T}\), de groupe \(G_{T} \times_{T} X_{T} = (G \times_{S} X_{T})\), munis d'une section […] le long de \(\sigma_{T}\), i.e. \(\sigma_{T}^{*}(X') \simeq G_{T}\).

N.B. […] automorphismes d'un tel fibré […] \(= \) pour \(G\) commutatif, les […]

Le foncteur \(F_{G}(T)\) en \(T\) […] est-il représentable ? Si oui, le […] qui le représente est étale sur \(S\), et […] (11.4) 6.4

Notons que le foncteur \(F_{G}\) […] est compatible […] et à la descente pour les morphismes fid. plats […] et quasi-compacts.

[…] \(G\) \(H^{1}(X, G)\) \(G\) \(G\) tordufragment isolé, sans lien explicite avec ce qui précède

Un critère de représentabilité par un schéma en groupes étale (page 132)

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\(S\) préschéma loc. noethérien. \(F\) foncteur \((\mathrm{Sch})_{/S} \to (\mathrm{Ens})\).

1. (i)\(F\) compatible aux limites inductives d'anneaux.
2. (ii)\(F\) compatible aux descentes fidèlement plates quasi-compactes [et localisation].
3. (iii)Si \(A\) anneau local noethérien complet sur \(S\), corps résiduel \(k\), alors \(F(A) \simeq F(k)\).
4. (iv)\(F\) séparé.
5. (v)Pour tout corps \(k\) sur \(S\), \(F(k)\) est fini, et si \(k'\) est une ext. alg. sép. de \(k\), […] alg. clos, \(F(k) \to F(k')\) est bijectif.

Alors \(F\) représentable par un […] […] étale et gpe séparé quasi-fini sur \(S\).

Démonstration.

Supposons \(S\) le spectre d'un anneau local complet \(A\), à corps résiduel alg. clos, […] de dim. […], et […] sur un \(S_{1} = S - y\) le foncteur \(F\) soit représentable par \(M_{1}\). […]

\(\xi_{i}\) […] \((i \in I)\) \(\in k\), éléments de \(F(k)\), ils proviennent d'éléments \(\xi_{i} \in F(A)\) bien déterminés, en vertu de (iii) ; leur restriction \(\xi'_{i} = \xi_{i} \mid S_{1} \in F(S_{1})\), ils correspondent à des […]la page s'arrête ici, la suite manque

Recollement des \(X(s)\) : lemme d'existence (page 134)

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Lemme. Soit \(S\) un préschéma loc. noethérien, et pour tout \(s \in S\), soit […] \(X(s)\) un préschéma quasi-fini étale séparé sur \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{s})\), et pour \(t \in S\), \(s \in \bar{t}\), soit \(\varphi_{st} : X(t) \to X(s)\) rendant commutatif le diagramme ci-contre.

\begin{tikzcd}
X(s) \arrow[d] & X(t) \arrow[l, "\varphi_{st}"'] \arrow[d] \\
\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{s}) & \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{t}) \arrow[l]
\end{tikzcd}

(les \(\varphi_{st}\) […] de transitivité) \(\varphi_{st}\varphi_{tu} = \varphi_{su}\). Alors il existe un préschéma [quasi-fini séparé] étale sur \(S\), soit \(X\), et des isomorphismes

\[ \varphi_{s} : X \times_{S} \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{s}) \xrightarrow{\;\sim\;} X(s), \]

rendant commutatifs [des] diagrammes […]. \(X\) est unique à isomorphisme unique près.

Ce dernier fait résulte d'un énoncé plus général sur la catégorie des préschémas de type fini sur \(S\), qui donne un foncteur pleinement fidèle. Je ne suis pas […] de mon raisonnement […] \(S\) affine, ou même noethérien. […] pour […] on regarde l'énoncé […] pour les sous-préschémas fermés de \(S\) \(\neq S\).

[…] pour tout \(s \in S\), il existe une réalisation […] \(X(s)\) sur un voisinage ouvert \(U\) de \(s\) […] :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X(s) \arrow[d] & X \arrow[l] \arrow[d] & X \times_{U} \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{t}) \arrow[l] \arrow[d] \arrow[r, dashed] & X(t) \\
\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{s}) \arrow[r] & U & \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{t}) \arrow[l] &
\end{tikzcd}

Groupes admissibles et couples minimaux (pages 136 à 140)

136

Soit \(S\) un schéma réduit connexe.

On considère des schémas en groupes, finis et plats sur \(S\), soit \(G\), pour lesquels […] une suite exacte

\[ e \to U \to G \to \Gamma \to e \]

i.e. la projection \(U \to S\) est plat, fini, et et géométriquement […] homomorphisme injectif, et si \(\Gamma \to S\) est plat, fini, séparable. Alors le sous-\(S\)-groupe \(U\) de \(G\) est déterminé de façon unique [pour cette question, l'hypothèse « \(S\) réduit » est-elle nécessaire ?]. Groupes admissibles (\(S\) réduit ?)

On va [veut] étudier des fibrés principaux \(P\) sous de tels \(S\)-groupes. On suppose \(S\) pointé par \(a \in \uncertain{S}\), et on considère les \(P\) munis d'une structure pointée.

Proposition. […] Soit \(S' \to S\) un morphisme […], \(G\) un \(S\)-groupe fini. [Si \(G \times_{S} S'\) est admissible, \(G\) aussi ;] […] [la réciproque est vraie si \(S' \to S\) est fidèlement plat.]

Direct est trivial. Réciproque résulte du […] théorème de […] et unicité.

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Corollaire. Supposons \(G\) admissible, et \(P\) un fibré principal sous \(G\). Alors \(\operatorname{Aut}(P)\), considéré comme \(S\)-groupe, est admissible.

Proposition 2. Soit \((P, \xi)\) un fibré principal pointé sous un \(S\)-groupe admissible \(G\). Alors \(\operatorname{Aut}(P, \xi)\) est réduit à l'identité.

Ça résulte, moyennant le corollaire précédent, de […]

Lemme Proposition 3. Deux sections d'un […] [préschéma] \(P\) (admissible sur \(S\)) [réduit connexe] qui […] en un pt, sont identiques. [De façon plus précise, si \(s\) est une section de \(P/S\), il existe un sous-préschéma fermé \(Q\) de \(P\), tel que \(Q_{\mathrm{réd}} \to S\) soit un isom., et l'isomorphisme réciproque induit par \(s\).]

Un \((P, \xi)\) est dit (relatif à \(G\) admissible) est dit minimal si on ne peut trouver de sous-groupe admissible \(G'\) de \(G\), et \((P', \xi')\) relatif à \(G'\), t.q.

\[ (P, \xi) \simeq (P', \xi') \times_{G} G'. \]

les deux groupes en indice et en facteur du produit sont lus comme ici ; l'extension du groupe structural, du \(G'\)-fibré \((P',\xi')\) au \(G\)-fibré \((P,\xi)\), demanderait \(\times_{G'} G\) — rapprocher de \((P,\xi) \times_{G} (G' \times G')\) des pages 138 et 140, où l'indice est bien le groupe du fibré

138

[…] Soit \(\mathfrak{Z}^{*}(a ; G) = \) ens. des classes d'isom. de \(G\)-fibrés principaux […] pointés au-dessus de \(a\). C'est un […] covariant en le \(S\)-groupe admissible \(G\). le \(\mathfrak{Z}\) de ces feuillets est le \(Z(S, a ; G)\) de la lettre des pages 124 à 129

Proposition 4. Si \(\alpha \in \mathfrak{Z}(a, G)\) est minimal, alors \(u \mapsto u_{*}(\alpha)\) de \(\operatorname{Hom}^{\mathrm{gr}}_{S}(G, G')\) dans \(\mathfrak{Z}\) \(\mathfrak{Z}(a ; G')\) est injective.

Soient en effet \(u, v : G \to G'\) t.q. \(u\alpha = v\alpha\). Soit \((P, \xi)\) de classe \(\alpha\), \((P', \xi')\) de classe \(u\alpha = v\alpha\), \((u,v) : G \to G' \times G'\) (pris sur \(S\))l'indice du produit \(G' \times G'\) porte une rature, d'où \((P, \xi) \times_{G} (G' \times G')\), soit \((Q, \eta)\) ; par hypothèse, il y a un […] compatible avec les prolongations, et avec [la diagonale] \(G' \to G' \times G'\) : \((P', \xi') \to (P, \xi) \times_{G} (G' \times G')\), d'où un diagramme

\begin{tikzcd}
(P, \xi) \arrow[r] & (Q, \eta) \\
& (P', \xi') \arrow[u]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "{(u,v)}"] & G' \times G' \\
& G' \arrow[u]
\end{tikzcd}

139

Soit \((R, \lambda)\) le produit fibré de \((P, \xi)\) et \((P', \xi')\) sur \((Q, \eta)\),la page s'arrête sur cette ligne ; l'argument est repris depuis le début à la page 140

140

\(S\) préschéma connexe réduit

\(\mathcal{C}\) une catégorie auxiliaire \(\mathcal{G}\) une sous-catégorie pleine de \(\mathrm{Gr}(\mathcal{C})\)

\(\mathcal{C}\) une catégorie de \(S\)-groupes finis et plats. \(\mathcal{C}\) stable par produits, et par noyaux […] de couples de morphismes, par images. Les \(G \in \mathcal{C}\) sont admissibles.

\(S\) […] pointé par \(a\).

Si \(G \in \mathcal{C}\), on pose \(\mathfrak{Z}(G) = \mathfrak{Z}(S, a ; G) = \) classes de fibrés principaux […] \(a\)-pointés de groupe \(G\).

Éléments minimaux de \(\mathfrak{Z}(G)\).

Proposition 4. Soit \(\alpha \in \mathfrak{Z}(G)\) minimal. Alors \(u \mapsto u_{*}(\alpha)\) de \(\operatorname{Hom}^{\mathrm{gr}}_{S}(G, G')\) dans \(\mathfrak{Z}(G')\) est injectif. [\(G\), \(G' \in \mathcal{C}\).]

\(u, v \in \operatorname{Hom}^{\mathrm{gr}}_{S}(G, G')\) tels que […] \(u_{*}(\alpha) = v_{*}(\alpha)\). \((P, \xi)\) de classe \(\alpha\), \((P', \xi')\) de classe \(u_{*}(\alpha) = v_{*}(\alpha)\), \((u,v) : G \to G' \times G'\), et

\[ (Q, \eta) = (P, \xi) \times_{G} (G' \times G') = [(P, \xi) \times_{u} G'] \times [(P, \xi) \times_{v} G'] \]

Par hypothèse, il y a un hom. \((P', \xi') \to (Q, \eta)\) (d'ailleurs unique) compatible avec \(G' \to G' \times G'\) (diagonale).

\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "{(u,v)}"] & G' \times G' \\
H \arrow[u] \arrow[r] & G' \arrow[u]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
(P, \xi) \arrow[r] & (Q, \eta) \\
(R, \lambda) \arrow[u] \arrow[r] & (P', \xi') \arrow[u]
\end{tikzcd}

dans le diagramme de gauche, chacune des lettres \(G\), \(G'\), \(H\) porte un trait horizontal que la page n'explique pas ; il n'est pas reproduit ici

Soit \((R, \lambda)\) le produit fibré de \((P, \xi)\) et \((P', \xi')\) sur \((Q, \eta)\). […] Soit \(H\) le noyau de \(G \rightrightarrows G'\) ; […] \((R, \lambda)\) est un fibré principal de groupe \(H\) […] et la minimalité de \((P, \xi)\) […] donne \(H = G\), d'où \(u = v\). En effet, il suffit de le montrer localement en faisant l'extension de base \((S_{1}, a_{1}) \to (S, a)\), ce qui amène à remplacer […]

\(S \leftarrow S_{1}\), \(g \mapsto g\) ; \(u(g) = g'\), \(v(g) = g_{1} g'\), \(u(g) = g_{1}'^{-1} v(g)\)