Cote n° 29 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration

Symboles locaux : le cas du noyau d'Albanese (page 101)

101

Examinons maintenant le cas où l'un des cycles \(\underline{a}\) ou \(\underline{b}\) (par exemple \(\underline{b}\)) appartient au noyau d'Albanese \(Z_{\ell}(A)\) ; par linéarité, on se ramène au cas où \(\underline{b}\) est de la forme \(\underline{c}_{u} - \underline{c}\), avec \(\underline{c} \in Z_{o}^{s}(A)_{\underline{k}}\), et \(u \in {}^{s}\!A_{\underline{k}}\). D'après l'invariance du symbole \(j_{o}\) par la translation \(\tau_{u}\), les deux membres de (3) sont respectivement égaux à \(j_{o}(Y_{\underline{a}}, \underline{c})\) et à \(j_{o}(Y^{-}_{\underline{c}}, \underline{a})\), [en posant \(Y = X_{u} - X\).] Puisqu'on a \(X \in D_{\underline{a}}(A)\), on a \(Y \sim 0\), et on est ramené au cas déjà traité.

Supposons maintenant \(X\), \(\underline{a}\) et \(\underline{b}\) quelconques. On peut, en modifiant \(\underline{b}\) par l'addition d'un élément de \(Z_{\ell}^{s}(A)_{\underline{k}}\), se ramener au cas où le cycle \(\underline{a}^{-} \otimes \underline{b}\) est étranger à \(X\). Les symboles \(X_{\underline{a}}(\underline{b})\) et \(X^{-}_{\underline{b}}(\underline{a})\) sont alors définis, et on a

\[ X_{\underline{a}}(\underline{b}) = X^{-}_{\underline{b}}(\underline{a}), \qquad \text{d'où} \qquad v\big(X_{\underline{a}}(\underline{b})\big) = v\big(X^{-}_{\underline{b}}(\underline{a})\big). \]

D'autre part, soit \(a\) (resp. \(b\)) l'un quelconque des composants de \(\underline{a}\) (resp. \(\underline{b}\)). Alors les symboles \(i(X_{a}, b)\) et \(i(X^{-}_{b}, a)\) sont définis ; l'application \(\zeta : A \to A\) définie par \(\zeta(x) = a + b - x\) étant \(\underline{p}\)-isomorphique en \(b^{o}\), de valeur \(a^{o}\), on a, d'après la propriété d'invariance du symbole \(i\),

\[ i(X_{a}, b) = i(X^{-}_{b}, a). \]

Il en résulte, par linéarité,

\[ i(X_{\underline{a}}, \underline{b}) = i(X^{-}_{\underline{b}}, \underline{a}). \]

Compte tenu des formules (2) précédentes, on en déduit (3).

Notons enfin que \(j_{o}(X, \underline{a})\) s'annule lorsque tous les composants de \(A\) appartiennent au groupe \({}^{s}\!A_{\underline{k}, o}\). En effet, soit \(f\) une fonction sur \(V\), définie sur \(\underline{k}\), telle que

Corollaire kummérien pour un revêtement modérément ramifié (page 102)

102Feuillet numéroté ③ par l'auteur. Il est écrit très vite et raturé d'un bout à l'autre : ce qui est porté ici est ce qui se lit, le reste est laissé illisible. Il reprend, sous forme de corollaire, le programme kummérien esquissé page 100 du carnet 5.

\(K \;\; \tilde{K} \;\; K'\) au-dessus de \(X \;\; \tilde{X} \;\; X'\)

Corollaire. \(X\) schéma normal et loc. intègre, \(D_{i}\) diviseurs [de Cartier] irréductibles […], \(X'\) revêtement galoisien […] […] les groupes d'inertie […] relatifs […] invariants […] […] \(X'\) soit modérément […] \(D_{i}\). Donc […]

\[ 1 \longrightarrow I \longrightarrow G \longrightarrow \Gamma \longrightarrow 1 \]

\(I\) est le produit des […] De plus, \(X'/I = \tilde{X}\) et […] un revêtement principal de \(X\) de groupe \(\Gamma\). Donc […] donne une classe

\[ \alpha \in H^{2}(\Gamma, I) \]

[…] de l'inertie […] définit une classe

\[ \alpha \in H^{2}(X, \tilde{X} \times^{\Gamma} I), \]

d'où […] On a […] canonique […] \(H^{2}(D, \tilde{D} \times^{\Gamma} I)\). On a […] isomorphisme canonique

\[ \tilde{D} \times^{\Gamma} I \;\simeq\; \prod_{i} \mu_{n_{i}, D} \quad \text{sur } D \]

[…] compatible avec les opérations de \(\Gamma\) […] sur \((\tilde{X}, \Gamma)\). […]

\[ I_{\tilde{X}} \simeq \mu_{\underline{n}} \]

relatif aux \(\tilde{D}_{i}\) ; comparer \(\underline{n} = (n_{i})\). […] \(\alpha\) dans \(H^{1}(D, \mu_{\underline{n}})\) […] intègre. Le choix d'un […]

\[ I_{i} \simeq \mu, \qquad c\big(\mathcal{O}_{X}(D)\big) \in H^{2}(X, \mu_{\underline{n}}), \]

i.e.

\[ c\big(T_{D/X}\big) \in H^{2}(D, \mu_{\underline{n}}), \quad \text{fibré normal.} \]

Quasi-unipotence de la monodromie locale (page 103)

103La page est barrée de deux longs traits diagonaux.

[…] (par le choix d'isomorphismes \(Z_{\ell}(1) \simeq Z_{\ell}\) pour tout \(\ell\)) […] on définit une représentation […] le produit semi-direct de \(\mathbb{Z}\) avec \(Z_{\ell}\), opérant sur le sous-groupe \(Z_{\ell}\) par multiplication par \(q\). Donc ce groupe est engendré par deux éléments \(f\) (correspondant à \(f\circ b_{\rho}\)) et \(g\), satisfaisant la relation

\[\begin{equation*} (6.4) \qquad f g f^{-1} = g^{q} \end{equation*}\]

Lemme 6.5. Soient \(F\), \(G\) deux […] endomorphismes d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie sur un corps, et \(q\) un entier \(> 1\) tels qu'on ait (6.4)

\[ F G F^{-1} = G^{q}. \]

Alors \(G\) est quasi-unipotent, i.e. ses valeurs propres sont toutes des racines de \(1\), ou encore : il existe un entier \(N \geqslant 1\) tel que \(G^{N}\) soit unipotent.

Dém. Les Si \(G\) et […] dans une clôture alg. \(\bar{R}\) de \(R\)) étant les mêmes, il […] \(=\) celles de \(F G F^{-1}\), donc […] celles de \(G^{q}\), il s'ensuit que c'est une partie \(\Phi\) de \(\bar{R}^{*}\) stable par l'application

\[ \lambda \longmapsto \lambda^{q}. \]

Comme \(\Phi\) est fini, il existe donc pour tout \(\lambda \in \Phi\) deux entiers \(N' \neq N''\) tels \(\geqslant 0\) tels que […]

\(\pi_{2}\) et croisements normaux (page 104)

104

\(\pi_{2}(X, \xi)\)

1. a)Si \(X\) simplement connexe, alors \(M \rightsquigarrow H^{2}(X, M)\), avec \(M\) […] groupe abélien fini, est exact ; donc pro-représentable par \[ H^{2}(X, M) = \operatorname{Hom}\nolimits_{\mathrm{cont}}\big(\pi_{2}(X), M\big). \]
2. b)Dans le cas général, \(\pi_{2}(X, \xi) = \pi_{2}\big(\tilde{X}(\xi)\big)\), \(\tilde{X}(\xi)\) revêtement universel pointé défini par \(\xi\).

Le bas de la page porte un croquis en perspective, au crayon, de trois diviseurs \(D_{0}\), \(D_{1}\), \(D_{2}\) se coupant à croisements normaux : trois plans deux à deux sécants, leurs trois droites d'intersection concourantes en un point. Il n'est pas repris en diagramme, n'étant pas commutatif.

Caractérisations des morphismes lisses : feuillet d'EGA IV annoté (page 105)

105Page IV-878 du tapuscrit d'EGA IV, portant les corrections de l'auteur.

un point de \(Y\).

Il résulte en effet de \((17.4.1,(b''))\) qu'une \(Y\)-section \(s\) de \(X\) est une immersion ouverte, et comme \(X\) est un \(Y\)-schéma, \(s\) est aussi une […] immersion fermée \((I, 5.4.7)\) ; il en résulte que \(s\) est un isomorphisme de \(Y\) sur un sous-préschéma de \(X\) induit sur une partie ouverte et fermée de \(X\), et comme \(s(Y)\) est connexe, c'est nécessairement une composante connexe de \(X\). Le reste de la proposition est immédiat.

Proposition (17.4.10). — Soient \(g : Y \to S\), \(h : X \to S\) deux morphismes localement de présentation finie. Pour qu'un \(S\)-morphisme \(f : X \to Y\) soit non ramifié il faut et il suffit que pour tout \(s \in S\), le morphisme \(f_{s} : h^{-1}(s) \to g^{-1}(s)\) déduit de \(f\) par le changement de base \(\operatorname{Spec}(\kappa(s)) \to S\), soit non ramifié.

Cela résulte aussitôt du fait que pour un morphisme localement de présentation finie, le fait d'être non ramifié est une propriété des fibres de ce morphisme [\((17.4.1, d))\)], et que pour tout \(y \in Y\), on a \(f^{-1}(y) = f_{s}^{-1}(y)\) si \(s = g(y)\).

17.5. Caractérisations des morphismes lisses.

Théorème (17.5.1). — Soient \(f : X \to Y\) un morphisme localement de présentation finie, \(x\) un point de \(X\), \(y = f(x)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(f\) est lisse au point \(x\).
2. b)\(f\) est plat au point \(x\) et le \(\kappa(y)\)-préschéma \(f^{-1}(y)\) est lisse sur \(\kappa(y)\) au point \(x\).
3. b')\(f\) est régulier au point \(x\) \((6.8.1)\).
4. c)L'anneau \(\mathcal{O}_{X,x}\) est une \(\mathcal{O}_{Y,y}\)-algèbre formellement lisse pour les topologies discrètes.

On peut se borner au cas où \(Y = \operatorname{Spec}(A)\), \(X = \operatorname{Spec}(C)\), où \(C = B/J\), \(B = A[T_{1}, \dots, T_{n}]\) étant une algèbre de polynômes et \(J\) un idéal de \(B\) de type fini. L'équivalence de a) et c) résulte alors de \((\underline{0}, 22.6.4)\). a) \(\Leftrightarrow\) c) D'autre part, comme \(f^{-1}(y)\) est un \(\kappa(y)\)-préschéma localement noethérien [de type fini], l'équivalence de b) et b') résulte de \((6.8.6)\). a) \(\Leftrightarrow\) b) Reste à voir que a) et b) sont équivalentes.

Attention à l'ambiguïté dans « lisse » !

\(\pi_{1}\) local le long de deux branches (page 106)

106Le haut de la page est un dessin : deux branches, \(X_{T'}\) horizontale et \(X_{T''}\) verticale, se coupant en un point, chacune hachurée en bandes transverses ; autour du point de croisement, un petit disque pointillé porte la lettre \(Z\). C'est la figure que les égalités qui suivent décrivent.

\[ Z = \operatorname{Spec} \hat{\mathcal{O}}_{X,a} \]

\[ X_{T'} \cap X_{T''} = p \]

\(X_{T'} \cap Z = Z' = \hat{A}_{p'}\), correspond au corps résiduel \(k(p') = \) corps local en \(a\) de \(T'\).

\(X_{T''} \cap Z = Z'' = \hat{A}_{p''}\), correspond au corps résiduel \(k(p'') = \) corps local en \(a\) de \(T''\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \hat{Z} = \pi_{1}(Z') \arrow[dl] \arrow[dr] & \pi_{1}(Z'') = \hat{Z}
 \arrow[dl] \arrow[d] \\
\pi_{1}(X_{T'}) \arrow[dr] & \pi_{1}(X_{T''}) \arrow[d] & \pi_{1}(Z) =
\hat{Z}^{2} \arrow[dl] \\
 & \pi_{1}(X_{T}) &
\end{tikzcd}

On doit prouver un th. de descente de nature essentiellement locale \(+\) déterminer certains hom. canoniques.

Décomposition d'un polynôme unitaire et idéaux étrangers (pages 107 à 110)

107

\[ P = QQ', \qquad QR + Q'R' = 1, \qquad (P) = (Q)(Q') = (Q) \cap (Q') \]

\[ A[t]/(P) \longrightarrow A[t]/(Q) \times A[t]/(Q') \]

\(s \in (Q)\), \(s \in (Q') \Rightarrow s = Q'sR' + QsR \in (QQ')\).

Injectif car \((P) = (Q) \cap (Q')\) ; surjectif car […] Nakayama […]

Lemme. Soient \(Q\), \(Q' \subset A\) […] deux idéaux. Alors

\[ A/(QQ') \longrightarrow A/Q \times A/Q' \]

est un isomorphisme […]

1. (i)\(Q \cap Q' = Q\,Q'\) ;
2. (ii)\(Q + Q' = A\).

\[ Q \cap Q' = Q\,Q'\,(Q + Q') \subset Q'Q + QQ' = QQ' \]

[…] \(\forall\, x, y \in A\), […] \(x \pmod{Q}\), \(y \pmod{Q'}\) […]

\[ A/Q\,Q' \longrightarrow A/Q \times A/Q' \quad \text{surjectif} \]

\[ Q + Q' = A \iff QQ' = Q \cap Q' \]

109

1. a)Donnons-nous un un idéal \(R \subset B\). Alors décompositions de \(B/R\) en produit de deux anneaux \(\simeq\) données de deux idéaux \(J\), \(J'\) de \(A\) tels que \[ J J' = R, \qquad J + J' = A \] [car \(J + J' = A \Rightarrow J J' = J \cap J'\)]. […] \(A\) commutatif
2. b)Supposons \(B = A[T]\), \((R = (P))\), \(P\) polynôme unitaire. Alors les décompositions de \(R\) en produit de deux idéaux \(J\), \(J'\) tels que \(J + J' = B\) sont uniques de la forme \[ (P) = (Q)\,(Q'), \] i.e. \(Q\), \(Q'\) sont des polynômes unitaires tels que \(P = QQ'\).

Si l'on ne suppose pas une telle déc., alors \(P\) est unique à une unité près, et […] […] unique […] [petite vérification […]]. […] De l'unicité résulte qu'on peut supposer \(\operatorname{Spec} A\) local. Alors pour l'existence, on note qu'il est vrai sur le […]

110

[…] par contre […] pourrait […] m'inquiéter sérieusement

\[ A \text{ anneau local}, \qquad \hat{A} \text{ son complété} \] \[ X = \operatorname{Spec}(A), \qquad \hat{X} \] \[ D \text{ partie fermée}, \qquad \hat{D} \]

\[ \hat{Y} \hookrightarrow \hat{Z}, \qquad \hat{Y} \times_{\hat{S}} \hat{Z} \]

\(Y \times Z\) […] composante connexe […] \(Y \times Z\).

\begin{tikzcd}
S & \hat{S} \arrow[l] \\
X \arrow[u] & \hat{X} \arrow[l] \arrow[u]
\end{tikzcd}

\[ A \longrightarrow A' \longrightarrow \hat{A} = \hat{A}' \]

Trois petits cubes en perspective, chacun marqué d'un point intérieur, figurent le schéma local et son point fermé ; ils ne sont pas repris.

Théorème de Bertini et variantes (pages 112 à 115)

112

Théorème de Bertini et variantes.

Dans la suite \(k\) désigne un corps, \(P^{r} = P^{r}_{k}\).

Théorème de Bertini 1 : Soit \(f : X \to P^{r}_{k}\) un morphisme, où \(X\) est un schéma algébrique géométriquement irréductible, et soit \(n = \dim \overline{f(X)}\). Soit \(L_{t}\) le […] sous-espace linéaire de codimension \(s\) générique de \(P^{r}\), où \(s\) est un entier fixé \(\leqslant n-1\). Alors [\(Y_{t} =\)] \(f_{t}^{-1}(L_{t}) \subset X_{t} = X \otimes_{k} k(t)\) est géométriquement irréductible.

vrai dans EGA IV

Énoncé local 2 : Soit \(f : X \to P^{r}\) un morphisme, avec \(X\) un schéma algébrique. Complémentairement supposons Soit \(Z \to X\) […] l'ensemble des points de \(X\) en lesquels \(f\) est [soit] ramifié ou en lesquels [soit] \(X\) n'est pas géométriquement unibranche (resp. [pas] normal, resp. [pas] lisse \dots), alors et supposons que \(\overline{f(Z)}\) soit de dimension \(< s\). Alors [\(Y_{t} =\)] \(f_{t}^{-1}(L_{t})\) est géométriquement unibranche (resp. normal, resp. lisse \dots), où \(L_{t}\) est comme ci-dessus.

De ces deux énoncés on déduit formellement ;

Théorème Corollaire 3 : Soit \(f : X \to P^{r}\) satisfaisant les conditions de 1 et 2 [Supposons \(k\) alg. clos.] non respé. Alors l'inclusion le morphisme canonique

\[ \pi_{1}(Y_{\bar{t}}) \longrightarrow \pi_{1}(X) \]

est surjectif.

Remarque 4. Utilisant les théorèmes de changement de base pour le \(\pi_{1}\), on conclut que (posant \(X_{\bar{t}} = X \otimes_{k} k(\bar{t})\)) que l'homomorphisme

\[\begin{equation*} (*) \qquad \pi_{1}(Y_{\bar{t}}) \longrightarrow \pi_{1}(X_{\bar{t}}) \end{equation*}\]

est surjectif si \(X\) est propre, et que l'homomorphisme

\[\begin{equation*} (**) \qquad \pi_{1}^{!}(X_{\bar{t}}) \longrightarrow \pi_{1}^{!}(X_{\bar{t}}) \end{equation*}\]

est surjectif, où le \(!\) désigne le plus grand quotient profini premier à l'exposant car. de \(k\). On n'affirme pas, cependant, que \((*)\) soit toujours surjectif (sans hypothèse de propreté sur \(X\)).

On déduit, de 1, par une application facile du théorème de connexité :

Corollaire 4 (de 1) : Sous les conditions de 1) pour \(f : X \to P^{r}\), si \(X\)

113

est de plus propre, alors pour toute sous-variété linéaire [\(L_{t}\)] de codimension \(s\), \(Y_{t} = f_{t}^{-1}(L_{t})\) est géométriquement connexe.

Conjuguant avec 2, on trouve, par l'argument qui a permis de déduire 3 de 1 :

Corollaire 5 : Avec [Sous] les hypothèses de 3, [avec \(X\) propre,] l'homomorphisme canonique

\[ \pi_{1}(Y_{\bar{t}}) \longrightarrow \pi_{1}(X) \; \big(\simeq \pi_{1}(X_{\bar{t}}) \text{ par le théorème de changement de base}\big) \]

est surjectif.

cf. SGA 1 X 2.11

Nous désirons également un énoncé analogue à 5, donnant une surjectivité pour des \(\pi_{1}\) pour un \(t\) non générique, mais sans hypothèse de propreté, et pour des quotients plus gros du \(\pi_{1}\) que ceux envisagés dans \((**)\). On peut donner à ce sujet le résultat suivant :

Théorème 6. Supposons \(k\) algébriquement clos, \(X\) propre, \(f : X \to P^{r}\), [et] le sous-espace linéaire \(L_{t}\) de \(P^{r}\) de codimension \(s\) (défini sur \(k\), pour fixer les idées) […] et enfin le sous-schéma fermé \(D\) de \(X\) tels qu'on ait ceci ; […]

1. a)[…] \(Y_{t} = f^{-1}(L_{t})\) est non vide.
2. b)Pour tout \(x \in Y_{t}\), \(X\) est lisse en \(x\), \(Y_{t}\) est lisse en \(x\), de codimension \(s\) dans \(X\) en \(x\), \(f\) est net en \(x\).
3. c)Pour tout \(x \in D_{t} = D \cap Y_{t}\), ou bien \(\operatorname{codim}_{x}(D_{t}, Y_{t}) \geqslant 2\), ou bien \(D\) est un diviseur sur \(X\) en \(x\) et induit sur \(Y_{t}\) en \(x\) un diviseur à croisements normaux.

Supposons \(U = X - D\) irréductible, et considérons l'inclusion \(U_{t} = U \cap Y_{t} \to U\). […] Soit \(\pi_{1}^{t}(U)\) le […] quotient du groupe fondamental de \(U\) […] qui classifie les revêtements de \(U\) qui sont modérément ramifiés en les composantes irréductibles de codimension \(1\) de \(D\) dans \(X\) qui rencontrent \(Y_{t}\), […] et \(\pi_{1}^{t}(U_{t})\) le quotient analogue de \(\pi_{1}(U_{t})\) qui classifie les revêtements qui sont modérément ramifiés en les composantes irréductibles de codimension \(1\) de \(D_{t}\). On a un homomor-

114

phisme évident

\[ \pi_{1}^{t}(U_{t}) \longrightarrow \pi_{1}^{t}(U) \]

(un point-base géométrique de \(U_{t}\) étant choisi). Cet homomorphisme est surjectif.

Démonstration. Lorsqu'on remplace \(L_{t}\) par \(L_{t'}\) générique, alors la conclusion est contenue dans le corollaire 3, en d'autres termes, si \(V\) est un revêtement étale [connexe] de \(U\) […] (satisfaisant la condition de modération envisagée — en fait, ce n'est pas nécessaire, en vertu de 3) alors sa restriction \(V_{t'}\) au dessus de \(U_{t'}\) est connexe. On veut prouver que sa restriction \(V_{t}\) au dessus de \(U_{t}\) est [également] connexe. Or pour un paramètre variable sur la grassmanienne des \(L_{t'}\) [dans un voisinage ouvert assez petit \(T\) de \(\bar{t}\)], et voisin de \(t\), la famille la famille des \(Y_{t'}\) est un morphisme propre et lisse \(Y \to T\), et celle des \(D_{t'}\) est un sous-schéma fermé […] \(\Delta\) de \(Y\), qui est la réunion d'un sous-schéma \(\Delta_{1}\) qui est de codimension \(\geqslant 2\) sur chaque fibre (et qui ne compte pas, à cause du théorème de pureté relative) et d'un diviseur \(\Delta_{2}\) à croisements normaux relatifs. Le revêtement donné \(V\) de \(U\) définit un revêtement […] \(V'\) de \(U' = Y - \Delta\), et il faut montrer que la restriction de celui-ci à la fibre géométrique de \(t\) est connexe, sachant qu'il en est ainsi de sa restriction à la fibre géométrique en \(t'\), la générisation maximale de \(t\). Or par la pureté, on sait que \(V'\) se prolonge en un revêtement étale \(V''\) de \(U'' = Y - \Delta_{2}\), et par hypothèse ce dernier est modérément ramifié sur les fibres, relativement au diviseur \(\Delta_{2}\). La conclusion est alors une conséquence du théorème […] de spécialisation pour le groupe fondamental modéré, qui figure(ra) dans SGA 1 XIII (exposé de Mme Raynaud).

Remarque 7. Avec les notations de SGA 7 XVIII, 6 s'applique pour tout pinceau de Lefschetz \(D\) pour fournir la surjectivité de quotients per-

115

l'homomorphisme

\[ \pi_{1}^{t}(D - \check{D}) \longrightarrow \pi_{1}^{t}(P - \check{X}), \]

et donne le théorème de conjugaison des cycles évanescents (donc le théorème d'irréductibilité de la cohomologie évanescente) pourvu qu'on ne soit pas dans le cas car. \(k = 2\) et \(\dim X\) impaire (NB ce n'est pas dans la situation du th. de Griffiths, il n'y a donc pas d'ennui). Dans ce dernier cas, par contre, je ne sais […] pas prouver [la conjugaison sous \(\pi_{1}(D - \check{D})\)], sauf pour un pinceau générique, puisqu'alors la représentation envisagée est sauvage ; [j'ignore si elle reste vraie pour un pinceau général.] Noter cependant que la conjugaison des sous-groupes de monodromie locale dans \(\operatorname{Aut}(H^{n-1}(Y))\) (qui est très élémentaire) reste vraie, bien entendu, et celle-ci suffit pour prouver le théorème que j'ai proposé (au par. 6 de XVIII) caractérisant le cas où la condition (A) n'est pas vérifiée.

Comportement fonctoriel des groupes d'inertie (pages 116 à 120)

116

Comportement fonctoriel des groupes d'inertie.

1. Soient \(X\) un schéma, \(U\) un ouvert de \(X\), \(G\) un groupe profini, \(U'\) un revêtement principal de \(U\) de groupe \(G\), \(x\) un point [géom.] de \(X\), \(\bar{X}\) le localisé strict de \(X\) en \(x\), \(\bar{U}\) l'image inverse de \(U\) dans \(\bar{X}\), \(\bar{U}' = U' \times_{U} \bar{U}\). On suppose donné de plus un schéma \(\bar{X}'\) sur \(\bar{X}\), avec des opérations de \(G\) sur \(\bar{X}'\), de telle façon que l'espace [le \(\bar{U}\)-schéma] à opérateurs \(\bar{X}'|\bar{U}\) coïncide avec \(\bar{U}'\).

Pratiquement, on sera intéressé par le cas où \(x \in X - U\) et où \(x\) est adhérent à \(U\), où \(\bar{X}'\) est entier sur \(\bar{X}\) et où \(\mathcal{O}_{\bar{X}} = \bar{p}(\mathcal{O}_{\bar{X}'})^{G}\), \(\bar{p} : \bar{X}' \to \bar{X}\) étant la projection canonique, — de sorte que \(G\) opère transitivement sur l'ensemble fibre \(\bar{X}'_{\bar{x}}\). De plus, on […] sera [le plus souvent] sous des conditions où on peut construire canoniquement \(\bar{X}'\) en termes de \(\bar{U}'\) ; par exemple, si on suppose \(X\) normal en \(x\), donc \(\bar{X}\) normal, et \(\bar{U}\) non vide, on définira \(\bar{X}'\) comme le normalisé de \(\bar{U}\) relativement à \(\bar{U}'\) sur \(\bar{U}\) (i.e. comme limite projective des normalisés dans les \(\bar{U}'(i)\) sur \(\bar{U}\), \(\bar{U}'\) étant écrit comme limite projective de schémas principaux \(U'(i)\) sur les groupes quotients finis \(G(i)\) de \(G\)).

Si maintenant […] \(\xi\) est un point de \(\bar{X}'_{\bar{x}}\), on peut considérer le groupe de stabilité \(G_{\xi}\) de \(\xi\), formé des \(g \in G\) tels que \(g.\xi = \xi\) ; ce groupe prendra le nom de groupe d'inertie relatif à \(\xi\). Dans le cas envisagé plus haut où les points de \(\bar{X}'\) sur \(\bar{x}\) sont tous conjugués sous \(G\), on voit que pour \(\xi\) variable, les \(G_{\xi}\) parcourent une classe de sous-groupes conjugués de \(G\), qu'on appellera [(par abus de langage)] les sous-groupes d'inertie de relatifs à \(x\). Noter qu'en toute rigueur cette classe de sous-groupes […] n'est pas déterminée par la seule connaissance de \(x \in X\), mais dépend du choix du prolongement de \(\bar{U}'\) en \(\bar{X}'\). Lorsque \(X\) est normal en \(x\) et que \(x\) est spécialisation d'un point de \(U\) (ce qui signifie que \(x\) est adhérent à \(U\) si \(\operatorname{esp}(X)\) est localement noethérien), il sera sous-entendu, sauf mention du contraire, que le choix en question est fait par normalisation, comme expliqué plus haut.

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2. Supposons donné une situation \((Y, V, H, V')\) analogue à \((X, U, G, U')\), et un morphisme \(f : X \to Y\) tel que \(f(U) \to f(V)\), un morphisme \(f' : U' \to V'\) compatible avec \(U \to V\) induit par \(f\), un morphisme de groupes \(\phi : G \to H\) tel que […] \(f'\) soit compatible avec les actions de \(G\) et \(H\) via \(\phi\).

Le cas le plus courant sera celui où on se donne un point géométrique \(a\) de \(U\), [d'où] un point géométrique \(b\) de \(V\) [\(= f(a)\)], où \(U'\) et \(V'\) sont respectivement des quotients des revêtements universels de \(U\) et \(V\) basés en \(a\) et \(b\), \(G\) et \(H\) étant respectivement des quotients de \(\pi_{1}(U, a)\) et \(\pi_{1}(V, b)\), l'homomorphisme \(f' : U' \to V'\) étant induit par les homomorphismes canoniques sur les revêtements universels en \(a\) resp. \(b\), […] \(\phi : G \to H\) étant induit par \(f_{*} : \pi_{1}(U, a) \to \pi_{1}(V, b)\) ; de cette façon \(f'\) et \(\phi\) sont déterminés sans ambiguïté par \(f\), et leur existence signifie simplement que \(f_{*} : \pi_{1}(U, a) \to \pi_{1}(V, b)\) veut bien passer au quotient en un \(\phi : G \to H\) (i.e. applique un certain sous-groupe dans un certain sous-groupe).

Considérons d'autre part le localisé strict \(\bar{Y}\) de \(Y\) en le point géométrique \(f(\bar{x})\) de \(Y\), d'où \(\bar{V}\), \(\bar{V}'\) comme dessus ; supposons donné un prolongement \(\bar{Y}'\) de \(\bar{V}'\) en un schéma à groupe d'opérateurs \(H\) sur \(\bar{Y}\), et supposons donné enfin un homomorphisme \(\bar{f}' : \bar{X}' \to \bar{Y}'\) qui prolonge l'homomorphisme \(\bar{U}' \to \bar{V}'\) induit par \(f'\). Pour tout point \(\xi\) de \(\bar{X}'_{\bar{x}}\), \(\bar{f}'(\xi)\) est alors un point de \(\bar{Y}'_{\bar{y}}\), et on peut considérer le groupe d'inertie correspondant \(H_{\bar{f}'(\xi)}\). On a alors la relation évidente

\[\begin{equation*} (2.1) \qquad \phi(G_{\xi}) \subset H_{\bar{f}'(\xi)}. \end{equation*}\]

Dans le cas où le groupe \(G\) resp. \(H\) opère transitivement sur \(\bar{X}'_{\bar{x}}\) resp. \(\bar{Y}'_{\bar{y}'}\), on peut donc dire que \(\phi\) transforme la classe de conjugaison de sous-groupes [applique tout groupe] d'inertie de \(G\) rel. à \(x\) [dans un groupe d']en la classe de conj. des sous-groupes d'inertie de \(H\) rel. à \(y = f(x)\).

D'autre part Il reste alors à expliciter l'homomorphisme \(\bar{f}' : \bar{X}' \to \bar{Y}'\).

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En pratique, il sera vrai que \(\bar{U}'\) est schématiquement dense dans \(\bar{X}'\) [et \(\bar{Y}'\) séparé sur \(\bar{Y}\)], de sorte que \(\bar{f}'\) sera déterminé de façon unique en termes des autres données, comme l'unique prolongement de \(\bar{U}' \to \bar{V}'\) induit par \(f'\) ; ce sera le cas en particulier dans le cas envisagé plus haut où \(\bar{X}'\) se déduit de […] \(\bar{U}'\) par normalisation. Bien entendu, pour pouvoir conclure [alors] que tout sous-groupe d'inertie de \(G\) rel. à \(x\) s'envoie dans un sous-groupe d'inertie de \(H\) rel. à \(y\), il faudra avoir vérifié l'existence d'un prolongement \(\bar{f}'\) de \(\bar{U}' \to \bar{V}'\).

[(La commutation aux actions de \(G\) sera alors automatique)] [Cela marchera, en interprétant \(\bar{f}'\) comme \(\bar{X}' \to \bar{Y}' \times_{\bar{Y}} \bar{X}'\), lorsque \(\bar{Y}'\) est entier […] sur \(\bar{Y}\), cf. EGA II 6.1.14.]

3. Revenons à la situation de 1), supposons que \(\mathcal{O}_{X,x}\) soit un anneau local régulier, et que \(\bar{U}\) soit le complémentaire dans le schéma strictement local régulier \(\bar{X}\) d'un diviseur [\(\bar{D}\)] à croisements normaux. On est en particulier dans le cas favorable où la définition de \(\bar{X}'\) est immédiate par normalisation. Supposons que la ramification de \(\bar{U}'\) en les points maximaux de \(\bar{D}\) soit modérée. On sait alors, par le calcul local bien connu, que pour tout \(\xi \in \bar{X}'_{\bar{x}}\), le groupe d'inertie correspondant \(G_{\xi}\) s'identifie canoniquement […] à un groupe quotient du groupe

\[\begin{equation*} (3.1) \qquad I = \prod_{\ell \neq p} \underline{Z}_{\ell}(1)\big(k(\bar{x}) \big)^{C} = \prod_{\ell \neq p} T_{\ell}\big(k(\bar{x})\big)^{C}, \end{equation*}\]

\(p\) étant la caractéristique résiduelle en \(x\).

\(C = \) l'ensemble des composantes irréd. de \(\bar{D}\)

De plus, ce même calcul local montre que le facteur de ce groupe d'inertie correspondant à la composante \(\bar{D}_{c}\) (\(c \in C\)) du diviseur de ramification \(\bar{D}\) coïncide aussi avec le groupe d'inertie relatif à n'importe quel point de \(\bar{X}'\) au dessus du point maximal de \(\bar{D}_{c}\) (ou de tout autre point de \(\bar{D}_{c}\) qui n'appartient à aucune autre composante irréductible de \(\bar{D}\)) qui générise \(\xi\) ; comme il y a toujours de tels points, cela montre que la classe de conjugaison du facteur en question peut aussi s'interpréter comme la classe des [sous-]groupes d'inertie en les points envisagés de \(\bar{D}_{c}\) ; en particulier, cette classe de conjugaison ne dépend que de la composante irréductible de \(D = X - U\) […] de point générique l'image du point générique de \(\bar{D}_{c}\).

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4. Revenons à la situation de 2, et supposons que la structure de \((\bar{X}, \bar{U})\) soit celle envisagée dans 3, et que de même \(\bar{Y}\) soit un schéma local régulier et \(\bar{V} = \bar{Y} - \operatorname{supp} \bar{E}\), \(\bar{E}\) étant un diviseur à croisements normaux sur \(\bar{Y}\). Soit \(C'\) l'ensemble des composantes irréductibles de \(\bar{E}\). On voit alors que pour tout \(c' \in C'\), l'image inverse de \(\bar{E}_{c'}\) est un diviseur sur \(\bar{X}\) dont le support est contenu dans celui de \(\bar{D}\), donc est de la forme

\[ \bar{f}^{*}(\bar{E}_{c'}) = \sum_{c} n_{c,c'} \bar{D}_{c}, \]

où pour \(c'\) fixé, les \(n_{c,c'}\) sont des entiers \(\geqslant 0\) non tous nuls. Ces notations fixées, un calcul immédiat […] d'images inverses de revêtements kummériens montre que pour deux points correspondants \(\xi\) et \(y\), […] on a commutativité dans le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
G_{\xi} \arrow[r, "\phi"] & H_{y} \\
\prod_{\ell} \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x})^{C} \arrow[u] \arrow[r, "N"] &
\prod_{\ell} \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{y})^{C'} \arrow[u]
\end{tikzcd}

les flèches horizontales [verticales] étant les épimorphismes canoniques, et \(N\) étant l'homomorphisme défini par la matrice \(N = (n_{c,c'})_{(c,c') \in C \times C'}\), compte tenu que l'homomorphisme \(k(\bar{y}) \to k(\bar{x})\) induit des isomorphismes

\[ \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{y}) \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x}). \]

Pour que [l'homomorphisme] \(N\) soit un isomorphisme, il est donc nécessaire et suffisant que \(\operatorname{card} C = \operatorname{card} C'\) et que […] l'entier ordinaire \(\det N\) soit égal à \(\pm\, p^{r}\), où \(p\) est l'exposant caractéristique de \(k(x)\) et \(k(y)\) ; dans ce cas, on conclut donc que les [sous-]groupes d'inertie de \(H\) en \(y\) sont les conjugués des images des [sous-]groupes d'inertie de \(G\) en \(x\).

5. Supposons en particulier que l'on ait \(V = Y - \operatorname{supp} E\), \(E\) étant un diviseur [\(\geqslant 0\)] sur \(Y\), […] \(U = f^{-1}(V)\), et que […] les conditions suivantes soient satisfaites :

1. a)[Pour \(x \in f^{-1}(\operatorname{supp} E)\), \(y = f(x)\), \(\mathcal{O}_{X,x}\) et \(\mathcal{O}_{Y,y}\) sont noethériens.]
2. b)Le diviseur [\(D =\)] \(f^{*}(E)\) est défini, c'est un sous-schéma régulier de