Fonds Grothendieck, cote n° 29, pages 81–100 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-08-24)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)29
Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Pages 81 à 100 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 5 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1959-1969Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/29.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Notes de lecture sur les chapitres I à X, et deux feuillets de tapuscrit annoté (pages 81 à 85)
Les pages 81, 83 et 85 sont des notes de lecture, en anglais, sur un
tapuscrit dont les chapitres vont de I à X ; elles sont classées par chapitre,
puis par numéro de page ou de ligne. Elles font suite aux pages 78 à 80 du
carnet 4. La colonne de gauche donne les renvois, le corps de la page les
remarques ; la disposition est rendue ici par une liste.
I — 3, 7, 9, 11, 12.
restrict to adic morphisms
ambiguity on point of formal scheme quite general
I — 18, 20, 27.
Most examples come from gp. schemes over \mathbb{Z}
II — 2, 12, 16, 20, 22.
12 : unreasonable!
III — 1, 2, 6 (2 fois), 8, 11, 12b, 16.
whole ch. III seems to be used only to get 3.5.8
topological interpretation of \pi_1^{D} in terms of S-Sch/D
Copy of previous notes on tame ramification?
Include variant of Lefschetz's Theorem for \pi_1^{t}
Include, after Mumford's theorem, application to question of finite generation
of local fund. group prime to p
16 : add section on case where D's have equations! This should make the
situation much clearer! For instance 3.4.1, 3.4.2
III — 22, 25.
Appl. descent for tamely ramified coverings? At least one would like to have a
« champ » on Ét_{/S}!
Feuillet de tapuscrit, numéroté 74 par le dactylographe, portant la fin de
7.6.2 et le début de 7.6.3. Les mots surfrappés par la machine et les mots
biffés sont donnés en ; les ajouts de la main de Grothendieck en
.
… ment constant à fibres finies et que les _{n}G^{o} (pour n \geqslant
1) sont des schémas en groupes finis localement libres sur
S, que H est fini localement libre sur S, et que la formation
de \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\mathbb{Z}},
G^{o\sharp}) commute à tout changement de base.
Le caractère lu ici \underline{\mathbb{Z}} est, sur la carbone, un
caractère surfrappé et souligné — un O ou un Q barré d'un trait oblique — que la
machine ne rendait manifestement pas. La lecture repose sur la phrase
elle-même : pour que la mention des _{n}G^{o} finis localement libres serve à
quelque chose, il faut que \underline{\mathrm{Hom}} du groupe indicé n dans
G^{o}_{n} soit précisément _{n}G^{o}, ce qui force le groupe en question à
avoir \mathbb{Z}/n pour quotient. Le caractère lui-même reste douteux.
Appliquant les mêmes réflexions aux extensions de \underline{\mathbb{Z}}_{n}
par G^{o}_{n}, on trouve que celles-ci correspondent aux torseurs sous le
Groupe H_{n} = H \times_{S} S_{n} \simeq
\underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\mathbb{Z}}_{n}, G^{o}_{n}). Or, H étant
fini localement libre sur S, on en conclut aussitôt que la
catégorie des torseurs sous H équivaut (par le foncteur
« complétion formelle ») à la catégorie des torseurs sous \hat{H}, i.e. des
« systèmes cohérents » de torseurs P_{n} sous les H_{n}. Cela implique donc
que la catégorie des extensions de \underline{\mathbb{Z}} par G^{o\sharp}
équivaut à celle des extensions de « systèmes cohérents » d'extensions
des \underline{\mathbb{Z}}_{n} par les G^{o}_{n}, ce qui précise donc la
définition de l'extension G^{\sharp} de (7.6.1).
Le schéma en groupes G^{\sharp}, en tant qu'extension de
\underline{\mathbb{Z}} par G^{o\sharp}, dépend évidemment encore de façon
fonctorielle de G. Sa formation est compatible aux changements de base par un
morphisme de traits complets S' \to S.
7.6.3. Notons que les constructions précédentes gardent également un sens sur
une base plus générale qu'un schéma local complet ; il
suffit de partir d'un anneau noethérien adique V, dont la topologie est
définie par un idéal \underline{m} \subset V, et d'un schéma
en groupes G sur V tel que G_{o} = G \otimes_{V} V_{o} (où V_{o} = V/m)
soit extension d'un schéma en groupes étale fini par un schéma
abélien par un tore. La question essentielle est celle de montrer que le schéma
formel abélien \hat{B}sur V construit comme dans 7.1 en termes de
G^{o} est algébrisable ; cela se voit par la méthode de 7.2 lorsqu'on suppose
que S est normal.
IV — §12.
1.1.2 drawn in terms of III p. 16 added.
Unnecessary, take point of \mathrm{Spec}(\mathcal{O}_{\mathcal{X},
s})!
Introduce geometric points of \mathcal{X}.
VI — 2, 7, 9, 11.
not used?! — to check!
2 : twice
7 : what what is the meaning?
9, 11 : 6.7.1 and 6.7.2 could be made into a single example — would make a nice
example!
VII — 1, 2.
2 : I guess that one has equivalence of categories anyhow!!
VIII — 1, 2, 3/8.16.
Not too clear. Say that if A a local orS (any scheme)local henselian ring, then to any (for instance the localization of
\mathcal{S} at s_{o}) and s_{o}, s_{o}^{*}two pointsx, y two points , then the give one point \bar{x}, \bar{y} of
k(x)/k, k(y)/k, then the « paths » of \bar{y} to \bar{x}\bar{x} \otimes \bar{y} correspond exactly to the point
liftings i.e. to the of \pi_{o}(\bar{S} \otimes_{S} y) = \prod
k_{i}, i.e. k(y).
Un petit diagramme accompagne la phrase : \bar{S} = strict loc. of S
at \bar{x}, au-dessus de S, avec une flèche en pointillé venant de
\bar{y}.
Feuillet de tapuscrit, numéroté 69 par le dactylographe, donc antérieur
dans le texte au feuillet de la page 82 : 7.2.1 à 7.2.5, où l'extension de
Raynaud est définie et nommée. Le passage central est repris à la main, et la
phrase biffée et sa réécriture sont données l'une et l'autre.
Appliquons 17.2.1 à au groupe formel \hat{A}, dans le cas
favorable envisagé dans la 7.1 où le schéma ab. formel abélien
\hat{B} est algébrisable, et où on suppose de plus T_{o} isotrivial.
On trouve alors une en groupes A^{\sharp} sur Sextension
canonique du schéma abélien B dont leappelé le groupe de
Raynaud associé au schéma en groupes A sur S_{o}, tel que A complété
formel est B, par le tore T sur S qui remonte T_{o}, et que
nous appellerons l'extension de Raynaud associée à A, et que nous
noterons A^{\sharp} :
0 \to T \to A^{\sharp} \to B \to 0. \tag{\struck{1}7.2.2}
Elle est donc définie, à isomorphisme unique près, par le fait qu'elle donne
naissance à un système cohérent d'isomorphismes d'extensions
A^{\sharp}_{n} \simeq A_{n} \tag{7.2.3}
(le deuxième membre muni de sa structure d'extension décrite dans (7.1.1)) i.e.
qu'on a un isomorphisme de schémas formels en groupes
respectant d'ailleurs les structures d'extensions. Il résulte de plus de
7.2.1.
7.2.5. Il résulte d'autre part immédiatement de 7.2.1 que la
suite exacte (7.2.2) dépend fonctoriellement du schéma en groupesA sur
S satisfaisant aux conditions envisagées dans 7.1, et que sa formation commute
à tout changement de base par un homomorphisme S' \to S associé à un
homomorphisme d'anneaux topologiques noethériens adiques V \to V'.
X — 1.
works (and is useful) in quasi coherent case…
State that \mathcal{E} is of finite type (resp. finite presentation)
or loc. free if \mathcal{E}_{1}, \mathcal{E}_{2} are.
X — 5.
Le point 5 est un croquis au crayon, entièrement barré d'une croix et
illisible ; seul « +\,S_{3} » s'y lit.
X — 12.
Amounts to showing: It that covering of S is tame with r. to
D_{1}, D_{2} iff its restriction to S_{1}, S_{2} are tamely ramified —
should be trivial with the conditions considered!
Image inverse de \mathcal{O}-Modules, et voisinages infinitésimaux (page 86)
Feuillet d'une écriture très fine, sur un papier que traverse le tapuscrit
du verso ; une grande partie n'est pas lisible à la résolution du fac-similé et
reste .
Voyons dans le notion d'image inverse de \mathcal{O}-Modules.
Un \mathcal{O}-Module quasi-cohérent est transformé en idem, un
Module fini cohérentplat est transformé en
idem. Il faut vérifier que ceci la notion d'image inverse
Modules quasi-cohérents.
« dans le notion » : lecture douteuse, la syntaxe demanderait « la ».
Supposons que siX' \to X \times_{S} S' soit ( ou moins
ramifié), alors le morphisme
T_{o \cdot X} X' \to T_{o \cdot S} S'
est (resp. non ramifié), et peut être de ce fait des
voisinages infinitésimaux de tous ordres,
\begin{tikzcd}
X \times_{S} S' \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
S' \arrow[r] & S
\end{tikzcd}
T_{o \cdot X} X' = T'_{o}
La page dessine ici, au crayon et très serré, un cube dont le carré
ci-dessus n'est qu'une face : les autres sommets portent T_{o}, T_{o}
\times_{S} S', T' et deux étiquettes qui ne se lisent pas. Trois flèches
portent la mention « n.r. » (non ramifié) et un sommet est barré d'une croix. Le
cube n'est pas reproduit : l'essentiel de ses étiquettes est illisible, et le
dessiner reviendrait à affirmer ce qu'on n'a pas lu.
dans T'. Alors f^{*}(\mathcal{F}) = \varinjlim_{n} \xi'_{n},
si F est un faisceau
\pi_1^{t} d'un schéma formel régulier le long de sa fibre spéciale (pages 87 à 97)
Grothendieck numérote cette page 1. Les six pages de la suite — 87, 89,
91, 93, 95, 97 — portent sa pagination 1 à 6 dans l'angle supérieur droit.
\mathcal{X} schéma formel régulier connexe, \mathcal{X}_{o} = X_{o}
diviseur régulier, D = \bigcup_{i = 0}^{n} D_{i} diviseurs
normal crossings deux à deux, D_{o} = X_{o}, les D_{i} réguliers
irréductibles, D' = \sum_{i \neq 0} D_{i}, D'_{o} induit sur X_{o}.
La borne supérieure de la réunion définissant D est peu lisible ; « n »
est une lecture.
e \to I_{o} \to \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) \to
\pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) \to e
Sous la suite, deux identifications portées à la volée :
\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D) sous le deuxième terme, \pi_{1}^{t}(\mathcal{U})
et \pi_{1}(\mathcal{X}/D', \bar{\xi}_{1}) sous le troisième, avec
\mathcal{U} = \mathcal{X} - D_{o} entouré. Un croquis en marge de gauche
dessine D_{o} = X_{o} coupé par D_{1} et D_{2}, avec \bar{\xi}_{o}
marqué.
\struck{\ill{}} \to \mu^{\infty}_{X_{o}, \mathrm{tame}}(\bar{\xi}_{o}) \to
I_{o} \to o
= \varprojlim_{n > o} \mu_{n}, n inversible dans
\mathcal{O}_{X_{o}}
Donc
\mu(\bar{\xi}_{o}) \to \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D) \to
\pi_{1}^{t}(\mathcal{U}) \to e
\prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_{\ell}, p = \mathrm{car}\, X_{o}
Orientations de \pi_{1}^{t}(\mathcal{U}), I_{o} via orientations de
\pi_{1}^{t}(\mathcal{U}), . Extension déterminée par
Lemme 1. Soit \tilde{\mathcal{U}}^{t} rev. univ. de
\mathcal{U} défini par \pi_{1}^{t}. Alors H^{1}(\tilde{\mathcal{U}}^{t},
\mathcal{J}) = o si \mathcal{J} première aux car. considérées
celle de X_{o}n. cas\mathcal{J} = I.
Deux mentions entourées accompagnent l'énoncé : « constant » et
« constant sur \tilde{\mathcal{U}}^{t} ».
Le dernier terme de la suite se prolonge par une flèche verticale vers
H^{3}(\mathcal{U}, I).
Donc \alpha connu quand on connaît \rho(\alpha), et l'image de plus,
dans H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, I)^{\pi_{1}^{t}} \simeq
\mathrm{Hom}(\pi_{2}^{t}(\mathcal{U}), I) est nulle.
Sous le premier terme, \beta|_{\mathcal{U}} ; à droite, « par lemme 2 ».
Au-dessus, au crayon : H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}, \tilde{\mu}) \simeq
\mathrm{Hom}(\pi_{1}^{t}(\ldots), \mu_{o}).
Grothendieck numérote cette page 3. Elle est écrite d'une plume très fine
sur un papier fortement traversé par le tapuscrit du verso, et n'est lisible
qu'en partie.
… de \pi_{1}^{t} par I'_{o}, , \pi'_{1}, ou on a un épimorphisme
o \to \pi'_{1} \to \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D)
et il faut prouver que c'est un isomorphisme.
Ceci revient à vérifier : ceci surjectif
\mu_{o} \to I_{o} \to \ill
l'image \pi_{2}^{t}(\mathcal{U}), I_{o}
de l'image de de \mathcal{X}/X_{o}.
Grothendieck numérote cette page 4. Même écriture et mêmes limites de
lecture que la page 91 ; ce qui suit est ce que les formules et les phrases
portantes laissent lire.
Ceci qui (\ldots I_{o} \ldots) dans le cas où la
classe \beta est dans le noyau de
On peut supposer plus que \mathcal{J}_{o} est d'indice n > o,
\mu_{n} est opératif sur X_{o}, alors \mathcal{J}_{o} =
(\mu_{n})_{o}, donc l'hypothèse dit que l'image de \beta_{o} \in
\mathrm{Pic}(X_{o}) = H^{1}(X_{o}, \mathbb{G}_{m}) dans H^{2}(X_{o},
\mu_{n}) soit \beta_{o} \in \mathrm{Im}\, H^{1} dans H^{2}(X_{o},
\mu_{n}) est \mathrm{Im}\, H^{2}_{D_{o}}(X, \mu_{n}) = \ill nulle,
i.e. que
surjectif. Donc il existe \gamma \in \mathrm{Pic}(\mathcal{X}) que
\beta \in \mathrm{Pic}(\mathcal{X})\beta_{o}n\gamma + \sum
a_{i} \beta_{i}
Grothendieck numérote cette page 5.
… on ait n\gamma = \sum_{i} c_{i} \beta_{i}.
Les bornes de cette somme ne se lisent pas ; l'encadré de la marge droite
donne la même relation sous la forme \beta^{o} = n\gamma + \sum_{1}^{r} c_{i}
\beta^{i}, avec \mathcal{J} \simeq \mu_{n}.
On utilise maintenant le théorème de Kummer pour \mathcal{X}/D pour trouver un
revêtement de \mathcal{X}/\underline{D_{o}} qui est d'un de
Galois \mathcal{J}_{o} \simeq \mu_{n} sur X_{o}
\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) comme extension de
\pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) est connue entièrement en
termes de X_{o}/D'_{o} et de la classe
Exemple I.X_{o} courbe sur k alg. clos. Alors
\pi_{2}^{t}(X_{o} - D'_{o}) = o si X_{o} \simeq \mathbb{P}^{1}_{k},
D'_{o} = \emptyset, on a \pi_{2}^{t}(X_{o}, \bar{\xi}_{o}) =
\mu^{\infty}_{X_{o}, t}(\bar{\xi}_{o}). L'\mathbb{Z} \to \mu^{\infty}_{t} ().
1) \left[X_{o} - D'_{o} \neq \mathbb{P}^{1}_{k}\right] :
\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) est une extension triviale de
\pi_{1}^{t}(X_{o} - D_{o}, \bar{\xi}_{o}) par
\mu^{\infty}_{t}(\bar{\xi}_{o}).
Grothendieck numérote cette page 6.
2°) \left[X_{o} - D'_{o} = \mathbb{P}^{1}_{k}\right] i.e. X_{o} =
\mathbb{P}^{1}_{k}, D'_{o} = \emptyset. Alors
\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) est une extension isomorphe
à \mu_{n}(k), oùn est la partie première à p = \mathrm{car}\, kdu degré de la self-intersection X_{o} \cdot X_{o} dans
\mathcal{X}.
[plus dans X_{o}]
Exemple II. a) X_{o} = \mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}. (Alors
\mu^{\infty}_{t, X_{o}} = o, donc
Le Si D'_{o} = \emptyset, on trouve o. Si D'_{o} \neq
\emptyset, la partie abélienne de \pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o},
\bar{\xi}_{o}) est calculable par la de
; doute \pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) est
finie par dévissage. Il y a des
corps de nombres tamely ramified sur \mathbb{Q}, qui ne
sont pas ??]
b) X_{o} = \mathrm{Spec}\, \mathbb{Z} - S, S \neq \emptyset. Alors
Un résultat d'Abhyankar, et sa version semi-globale (pages 99 et 100)
Feuillet non paginé par Grothendieck. Le haut de la page — une phrase sur
un groupe d'ordre fini opérant sur E, et un carré I_{o} \to I'_{o},
I \to I' — est barré de plusieurs traits obliques, puis un trait horizontal
sépare ce début du programme qui suit.
Il y a un groupe d'ordre fini \pi_{1}(\mathcal{U}) qui
opère sur E via un p-groupe. À fortiori,
X schéma loc. noeth. connexe, D = \sum D_{i} diviseur
fini à croisements normaux (composantesX_{i}régulières).
On suppose Z = \bigcap D_{i} \neq \emptyset, et que (X, Z) est
« hensélien », i.e. un ét.X' fini sur X, connexe \neq
\emptyset, de Z dans Z'\pi_{o}(Z') \simeq
\pi_{o}(X'), Z'\neq \emptyset
Alors Soit X\mathcal{U} = X - \struck{\ill{}}
\uncertain{D}, \xi un pt géom. de \mathcal{U}. Alors :
\mathcal{U} connexe, et \pi_{1}(\mathcal{U})_{t} \to \pi_{1}(X)
surjectif.
Pour tout D_{i}, le groupe d'inertie de \pi_{1}(\mathcal{U})_{t}
relatif à \pi_{1}(\mathcal{U}) est un sous-groupe distingué
\pi_{1}(\mathcal{U}) commutatif I_{i} de , et
on a un épimorphisme canonique
Les groupes I_{i} commutent, et leur produit est le noyau de \pi_{1}(\mathcal{U}, \xi)_{t} \to
\pi_{1}(X, \xi).
a) Est immédiat.
b) L'invariance des D_{i} dans un modérément
ramifié X' de X est (étale local) et connexe,
donc I irréd., donc I_{i} est l'invariant. On sait bien
qu'il est \simeq quotient de \prod_{\ell} T_{\ell}(\Omega^{*}), \ell \neq
car. D_{i}. Il faut que I \to aux de
D_{i}. C'est une histoire locale sur D_{i}.
c) Commutation des I_{i} : c'est local en un pt de
1) X schéma, D_{i} diviseurs de Cartier \geqslant o, n_{i} entiers
\geqslant 1 (1 \leqslant i \leqslant r), \Gamma schéma en groupes sur S,
sur X, à gr. G. On suppose que G opère sur
\tilde{X}_{1}, que \mu y opère trivialement, que \tilde{X}_{1} devient torseur sous \Gamma.
= \mu_{\underline{n}} \tilde{X}
b) En disant que : opérateurs \mu_{\tilde{X}}, X'
sur X, loc. \mathcal{U} (sur \tilde{X}_{1}) de type
kummerien relatif aux D_{i} ( diviseurs)
(i.e. ) :
L'extension G/\ill de \Gamma par \mu définit une classe \alpha \in
H^{2}(B_{\Gamma}, \mu)\ill \; H^{2}(B_{\Gamma}, \mu_{n_{i}}). On
canonique \tilde{X}