Cote n° 29 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration

Notes de lecture sur les chapitres I à X, et deux feuillets de tapuscrit annoté (pages 81 à 85)

81Les pages 81, 83 et 85 sont des notes de lecture, en anglais, sur un tapuscrit dont les chapitres vont de I à X ; elles sont classées par chapitre, puis par numéro de page ou de ligne. Elles font suite aux pages 78 à 80 du carnet 4. La colonne de gauche donne les renvois, le corps de la page les remarques ; la disposition est rendue ici par une liste.

I — 3, 7, 9, 11, 12.

restrict to adic morphisms

ambiguity on point of formal scheme quite general

I — 18, 20, 27.

Most examples come from […] gp. schemes over \(\mathbb{Z}\)

II — 2, 12, 16, 20, 22.

12 : unreasonable!

III — 1, 2, 6 (2 fois), 8, 11, 12^b, 16.

whole ch. III seems to be used only to get 3.5.8

topological interpretation of \(\pi_1^{D}\) in terms of \(S\)-Sch\(/D\)

Copy of previous notes on tame ramification?

Include variant of Lefschetz's Theorem for \(\pi_1^{t}\)

Include, after Mumford's theorem, application to question of finite generation of local […] fund. group prime to \(p\)

16 : add section on case where \(D\)'s have equations! This should make the situation much clearer! For instance 3.4.1, 3.4.2

III — 22, 25.

Appl. descent for tamely ramified coverings? At least one would like to have a « champ » on Ét\(_{/S}\)!

III — 15, 26, 28.

b) Normality-assumption unnatural (formal normality, (as formal schemes…)) — cf 3.6.6

Proof of 3.6.8 (?) is unbelievably long!

where is the « Abhyankar lemma »?

82Feuillet de tapuscrit, numéroté 74 par le dactylographe, portant la fin de 7.6.2 et le début de 7.6.3. Les mots surfrappés par la machine et les mots biffés sont donnés en ; les ajouts de la main de Grothendieck en [].

… ment constant à fibres finies et que les \(_{n}G^{o}\) (pour \(n \geqslant 1\)) sont des schémas en groupes […] finis localement libres sur \(S\), que \(H\) est fini localement libre sur \(S\), et que la formation […] de \(\underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\mathbb{Z}}, G^{o\sharp})\) commute à tout changement de base. Le caractère lu ici \(\underline{\mathbb{Z}}\) est, sur la carbone, un caractère surfrappé et souligné — un O ou un Q barré d'un trait oblique — que la machine ne rendait manifestement pas. La lecture repose sur la phrase elle-même : pour que la mention des \(_{n}G^{o}\) finis localement libres serve à quelque chose, il faut que \(\underline{\mathrm{Hom}}\) du groupe indicé \(n\) dans \(G^{o}_{n}\) soit précisément \(_{n}G^{o}\), ce qui force le groupe en question à avoir \(\mathbb{Z}/n\) pour quotient. Le caractère lui-même reste douteux.

Appliquant les mêmes réflexions aux extensions de \(\underline{\mathbb{Z}}_{n}\) par \(G^{o}_{n}\), on trouve que celles-ci correspondent aux torseurs sous le Groupe \(H_{n} = H \times_{S} S_{n} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\mathbb{Z}}_{n}, G^{o}_{n})\). Or, \(H\) étant fini localement libre sur \(S\), on en conclut aussitôt que la […] catégorie des torseurs sous \(H\) équivaut (par le foncteur « complétion formelle ») à la catégorie des torseurs sous \(\hat{H}\), i.e. des « systèmes cohérents » de torseurs \(P_{n}\) sous les \(H_{n}\). Cela implique donc que la catégorie des extensions de \(\underline{\mathbb{Z}}\) par \(G^{o\sharp}\) équivaut à celle des extensions de « systèmes cohérents » d'extensions des \(\underline{\mathbb{Z}}_{n}\) par les \(G^{o}_{n}\), ce qui précise donc la définition de l'extension \(G^{\sharp}\) de (7.6.1).

Le schéma en groupes \(G^{\sharp}\), en tant qu'extension de \(\underline{\mathbb{Z}}\) par \(G^{o\sharp}\), dépend évidemment encore de façon fonctorielle de \(G\). Sa formation est compatible aux changements de base par un morphisme de traits complets \(S' \to S\).

7.6.3. Notons que les constructions précédentes gardent également un sens sur une base plus générale qu'un […] [schéma local] complet ; il suffit de partir d'un anneau noethérien adique \(V\), dont la topologie est définie par un […] idéal \(\underline{m} \subset V\), et d'un schéma en groupes \(G\) sur \(V\) tel que \(G_{o} = G \otimes_{V} V_{o}\) (où \(V_{o} = V/m\)) soit extension d'un schéma en groupes étale fini par un […] schéma abélien par un tore. La question essentielle est celle de montrer que le schéma formel abélien \(\hat{B}\) [sur \(V\)] construit comme dans 7.1 en termes de \(G^{o}\) est algébrisable ; cela se voit par la méthode de 7.2 lorsqu'on suppose que \(S\) est normal.

83

IV — §1².

1.1.2 drawn in terms of III p. 16 added.

Unnecessary, take point of \(\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}, s})\)!

Introduce geometric points of \(\mathcal{X}\).

VI — 2, 7, 9, 11.

not used?! — to check!

2 : twice

7 : what what is the meaning?

9, 11 : 6.7.1 and 6.7.2 could be made into a single example — would make a nice example!

VII — 1, 2.

2 : I guess that one has equivalence of categories anyhow!!

VIII — 1, 2, 3/8.16.

Not too clear. Say that if \(A\) a local or [\(S\) (any scheme)] local henselian ring, then to any (for instance the localization of \(\mathcal{S}\) at \(s_{o}\)) and \(s_{o}, s_{o}^{*}\) two points \(x, y\) two points […], then the […] give one point \(\bar{x}, \bar{y}\) of \(k(x)/k\), \(k(y)/k\), then the « paths » of \(\bar{y}\) to \(\bar{x}\) \(\bar{x} \otimes \bar{y}\) correspond exactly to the point liftings […] i.e. to the […] of \(\pi_{o}(\bar{S} \otimes_{S} y) = \prod k_{i}\), i.e. \(k(y)\). Un petit diagramme accompagne la phrase : \(\bar{S}\) = strict loc. of \(S\) at \(\bar{x}\), au-dessus de \(S\), avec une flèche en pointillé venant de \(\bar{y}\).

IX — 1, 4, 5, 6, 9, 10\('\), 10\(''\), 12 ; 14 etc., 18, 19.

\(9.3.4 \Rightarrow 9.3.5\) looks tautological

\(9.3.5 \Rightarrow 9.3.2\) very cumbersome!

yoga […] Abhyankar lemma to be used

84Feuillet de tapuscrit, numéroté 69 par le dactylographe, donc antérieur dans le texte au feuillet de la page 82 : 7.2.1 à 7.2.5, où l'extension de Raynaud est définie et nommée. Le passage central est repris à la main, et la phrase biffée et sa réécriture sont données l'une et l'autre.

Appliquons 17.2.1 à au groupe formel \(\hat{A}\), dans le cas favorable envisagé dans la 7.1 où le schéma ab. formel abélien \(\hat{B}\) est algébrisable, [et où on suppose de plus \(T_{o}\) isotrivial]. On trouve alors une [en groupes \(A^{\sharp}\) sur \(S\)] extension canonique du schéma abélien \(B\) dont le [appelé le groupe de Raynaud associé au schéma en groupes \(A\) sur \(S_{o}\), tel que \(A\)] complété formel est \(B\), par le tore \(T\) sur \(S\) qui remonte \(T_{o}\), et que nous appellerons l'extension de Raynaud associée à \(A\), et que nous noterons \(A^{\sharp}\) :

\[ 0 \to T \to A^{\sharp} \to B \to 0. \tag{\struck{1}7.2.2} \]

Elle est donc définie, à isomorphisme unique près, par le fait qu'elle donne naissance à un système cohérent d'isomorphismes d'extensions

\[ A^{\sharp}_{n} \simeq A_{n} \tag{7.2.3} \]

(le deuxième membre muni de sa structure d'extension décrite dans (7.1.1)) i.e. qu'on a un isomorphisme de [schémas formels en] groupes […]

\[ (A^{\sharp})^{\wedge} \simeq \hat{A}, \tag{7.\struck{3}2.4} \]

respectant d'ailleurs les structures d'extensions. Il résulte de plus de 7.2.1.

7.2.5. Il résulte d'autre part […] immédiatement de 7.2.1 que la suite exacte (7.2.2) dépend fonctoriellement du schéma [en groupes] \(A\) sur \(S\) satisfaisant aux conditions envisagées dans 7.1, et que sa formation commute à tout changement de base par un homomorphisme \(S' \to S\) associé à un homomorphisme d'anneaux topologiques noethériens adiques \(V \to V'\).

85

X — 1.

[…] works (and is useful) in quasi coherent case…

State that \(\mathcal{E}\) is of finite type (resp. finite presentation) [or loc. free] if \(\mathcal{E}_{1}, \mathcal{E}_{2}\) are.

X — 5.

[…] Le point 5 est un croquis au crayon, entièrement barré d'une croix et illisible ; seul « \(+\,S_{3}\) » s'y lit.

X — 12.

Amounts to showing: It that […] covering of \(S\) is tame with r. to \(D_{1}, D_{2}\) iff its restriction to \(S_{1}, S_{2}\) are tamely ramified — should be trivial with the conditions considered!

Image inverse de \(\mathcal{O}\)-Modules, et voisinages infinitésimaux (page 86)

86Feuillet d'une écriture très fine, sur un papier que traverse le tapuscrit du verso ; une grande partie n'est pas lisible à la résolution du fac-similé et reste […].

Voyons dans le notion d'image inverse de \(\mathcal{O}\)-Modules. Un \(\mathcal{O}\)-Module quasi-cohérent est transformé en idem, un Module [fini cohérent] plat est transformé en idem. Il faut vérifier que ceci […] la notion […] d'image inverse […] Modules quasi-cohérents. « dans le notion » : lecture douteuse, la syntaxe demanderait « la ».

Supposons que si \(X' \to X \times_{S} S'\) soit […] ([…] ou moins ramifié), alors […] le morphisme

\[ T_{o \cdot X} X' \to T_{o \cdot S} S' \]

est […] […] (resp. non ramifié), et peut être […] de ce fait des voisinages infinitésimaux de tous ordres,

\begin{tikzcd}
X \times_{S} S' \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
S' \arrow[r] & S
\end{tikzcd}

\[ T_{o \cdot X} X' = T'_{o} \]

La page dessine ici, au crayon et très serré, un cube dont le carré ci-dessus n'est qu'une face : les autres sommets portent \(T_{o}\), \(T_{o} \times_{S} S'\), \(T'\) et deux étiquettes qui ne se lisent pas. Trois flèches portent la mention « n.r. » (non ramifié) et un sommet est barré d'une croix. Le cube n'est pas reproduit : l'essentiel de ses étiquettes est illisible, et le dessiner reviendrait à affirmer ce qu'on n'a pas lu.

dans \(T'\) […]. Alors \(f^{*}(\mathcal{F}) = \varinjlim_{n} \xi'_{n}\) […], si \(F\) est un faisceau […]

\(\pi_1^{t}\) d'un schéma formel régulier le long de sa fibre spéciale (pages 87 à 97)

87Grothendieck numérote cette page 1. Les six pages de la suite — 87, 89, 91, 93, 95, 97 — portent sa pagination 1 à 6 dans l'angle supérieur droit.

\(\mathcal{X}\) schéma formel régulier [connexe], \(\mathcal{X}_{o} = X_{o}\) diviseur régulier, \(D = \bigcup_{i = 0}^{n} D_{i}\) diviseurs […] normal crossings deux à deux, \(D_{o} = X_{o}\), [les \(D_{i}\) réguliers irréductibles], \(D' = \sum_{i \neq 0} D_{i}\), \(D'_{o}\) induit sur \(X_{o}\). La borne supérieure de la réunion définissant \(D\) est peu lisible ; « \(n\) » est une lecture.

\[ e \to I_{o} \to \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) \to \pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) \to e \]

Sous la suite, deux identifications portées à la volée : \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D)\) sous le deuxième terme, \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{U})\) et \(\pi_{1}(\mathcal{X}/D', \bar{\xi}_{1})\) sous le troisième, avec \(\mathcal{U} = \mathcal{X} - D_{o}\) entouré. Un croquis en marge de gauche dessine \(D_{o} = X_{o}\) coupé par \(D_{1}\) et \(D_{2}\), avec \(\bar{\xi}_{o}\) marqué.

\[ \struck{\ill{}} \to \mu^{\infty}_{X_{o}, \mathrm{tame}}(\bar{\xi}_{o}) \to I_{o} \to o \]

\(= \varprojlim_{n > o} \mu_{n}\), \(n\) inversible dans \(\mathcal{O}_{X_{o}}\)

Donc

\[ \mu(\bar{\xi}_{o}) \to \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D) \to \pi_{1}^{t}(\mathcal{U}) \to e \]

\(\prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_{\ell}\), \(p = \mathrm{car}\, X_{o}\)

Orientations de \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{U})\), […] \(I_{o}\) via orientations de \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{U})\), […] […]. Extension déterminée par

\[ \alpha \struck{\ill{}} \in H^{2}(\pi_{1}^{t}(\mathcal{U}), I_{o}) \]

Lemme 1. Soit \(\tilde{\mathcal{U}}^{t}\) rev. univ. de \(\mathcal{U}\) défini par \(\pi_{1}^{t}\). Alors \(H^{1}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, \mathcal{J}) = o\) si \(\mathcal{J}\) première aux car. considérées celle de \(X_{o}\) [n. cas \(\mathcal{J} = I\)]. Deux mentions entourées accompagnent l'énoncé : « constant » et « constant sur \(\tilde{\mathcal{U}}^{t}\) ».

\[ o \to H^{2}(\pi_{1}^{t}(\mathcal{U}), I) \xrightarrow{\;\rho\;} H^{2}(\mathcal{U}, I) \to H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, I_{o})^{\pi_{1}^{t}} \to H^{3}(\pi_{1}^{t}, I) \]

\[ H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, I_{o})^{\pi_{1}^{t}} = \mathrm{Hom}(\pi_{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}), I)^{\pi_{1}^{t}} = \mathrm{Hom}(\pi_{2}^{t}(\mathcal{U}), I)^{\pi_{1}^{t}} \]

Le dernier terme de la suite se prolonge par une flèche verticale vers \(H^{3}(\mathcal{U}, I)\).

Donc \(\alpha\) […] connu quand on connaît \(\rho(\alpha)\), et l'image de plus, dans \(H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, I)^{\pi_{1}^{t}} \simeq \mathrm{Hom}(\pi_{2}^{t}(\mathcal{U}), I)\) […] est nulle.

(pour \(\mathcal{M}\), \(H^{i}\), \(i > o\))

true si courbe over […] field

\(H^{2}(\mathcal{U}, I) \Leftarrow H^{2}(\pi_{1}^{t}, H^{o}(\pi_{1}^{t}, I))\) […] (Hochschild–Serre)

89Grothendieck numérote cette page 2, et note en tête \(i : X_{o} \to \mathcal{X}\).

Lemme 2. Soit \(\beta \in H^{1}(X_{o}, \mu)\) la classe de Chern […] d'auto-intersection de \(X_{o}\) dans \(\mathcal{X}\), i.e. […]

\[ \mathcal{L}_{X_{o}/\mathcal{X}} \simeq i^{*}(\underline{L}(X_{o})). \]

Soit \(\sigma : H^{1}(X, \mu) \to H^{2}(\mathcal{U}, I)\) l'homomorphisme canonique. Alors

\[ \rho(\alpha) = \sigma(\beta). \]

Cela détermine […] l'extension, \(\alpha\), […], sous réserve de […] […] \(I\) […] \(\mu\).

\[ H^{2}(\mathcal{U}, \mu) \to H^{2}(\mathcal{U}, I) \to H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, I_{o}) = \mathrm{Hom}(\pi_{2}^{t}(\mathcal{U}), I_{o}) \]

Sous le premier terme, \(\beta|_{\mathcal{U}}\) ; à droite, « par lemme 2 ». Au-dessus, au crayon : \(H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}, \tilde{\mu}) \simeq \mathrm{Hom}(\pi_{1}^{t}(\ldots), \mu_{o})\).

[…] sur \(\rho(\alpha)\). […]

\[ \pi_{2}^{t}(\mathcal{U}) = H_{2}(\tilde{\mathcal{U}}) \qquad \struck{\ill{}} \qquad \pi_{2}^{t}(\mathcal{U}) \to H_{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}) \]

Un carré suit, dont les sommets lisibles sont \(\beta\), \(\rho(\alpha)\) et \(\mu_{o}\) ; le quatrième est biffé.

… et par lemme 1 […] […] dans le \(\pi_{2}^{t}\) […] […].

Donc […] \(\mu_{o} \to I_{o}\) s'[…] sur \(\mathrm{Im}\, \pi_{2}^{t}(\mathcal{U})\). Je dis que […] le […], i.e. […].

Si \(I'_{o} = \mu_{o}/\mathrm{Im}\, \pi_{2}^{t}(\mathcal{U})\), on aura

\[ \mathrm{Im}\, \beta \in \ker\!\left(H^{2}(\mathcal{U}, I'_{o}) \to H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, I'_{o})\right) \simeq H^{2}(\pi_{1}^{t}, I'_{o}), \]

donc \(I\beta\) définit une extension […]

91Grothendieck numérote cette page 3. Elle est écrite d'une plume très fine sur un papier fortement traversé par le tapuscrit du verso, et n'est lisible qu'en partie.

… de \(\pi_{1}^{t}\) par \(I'_{o}\), […] […], […] \(\pi'_{1}\), […] ou on a un épimorphisme

\[ o \to \pi'_{1} \to \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D) \]

et il faut prouver que c'est un isomorphisme.

Ceci revient à vérifier : ceci […] […] surjectif […]

\[ \mu_{o} \to I_{o} \to \ill \]

[…] l'image […] \(\pi_{2}^{t}(\mathcal{U})\), […] \(I_{o}\) […] de l'image de […] […] […] de \(\mathcal{X}/X_{o}\).

L'hypothèse signifie exactement que l'image de

\[ \beta \;(\in H^{2}(\mathcal{U}, \mu)) \quad\text{dans}\quad H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, \mathcal{J}_{o}) \]

soit nulle ; de plus […] nulle […] i.e. […] […] fini [N.B. […]] […]

93Grothendieck numérote cette page 4. Même écriture et mêmes limites de lecture que la page 91 ; ce qui suit est ce que les formules et les phrases portantes laissent lire.

[Ceci qui […] (\(\ldots I_{o} \ldots\))] […] […] dans le cas où la classe \(\beta\) est dans le noyau de

\[ H^{2}(\mathcal{X}, \mu_{o}) \to H^{2}(\mathcal{U}, \mathcal{J}_{o}). \]

On peut supposer plus […] que \(\mathcal{J}_{o}\) est d'indice \(n > o\), \(\mu_{n}\) est opératif sur \(X_{o}\), alors \(\mathcal{J}_{o} = (\mu_{n})_{o}\), donc l'hypothèse dit que l'image de \(\beta_{o} \in \mathrm{Pic}(X_{o}) = H^{1}(X_{o}, \mathbb{G}_{m})\) dans \(H^{2}(X_{o}, \mu_{n})\) soit \(\beta_{o} \in \mathrm{Im}\, H^{1}\) dans \(H^{2}(X_{o}, \mu_{n})\) est […] \(\mathrm{Im}\, H^{2}_{D_{o}}(X, \mu_{n}) = \ill\) nulle, i.e. que […]

\[ \beta_{o} = n\gamma_{o} + \sum \lambda_{i} \beta_{o}^{i}, \]

où \(\beta^{i}\) […], \(\gamma \in \struck{\mathrm{Pic}(X_{o})}\) […], mais […]

\[ \beta \in \ill \; \mathrm{Pic}(X_{m}) \]

et on voit que le noyau de

\[ \mathrm{Pic}(X_{m}) \to \mathrm{Pic}(X_{o}) \]

est toujours uniquement divisible par \(n\), donc il en est de même du noyau de

\[ \mathrm{Pic}(\mathcal{X}) = \varprojlim \mathrm{Pic}(X_{m}) \to \mathrm{Pic}(X_{o}), \]

d'où il résulte que l'on a

\[ {}_{n}\mathrm{Pic}(\mathcal{X}) \to {}_{n}\!\left(\mathrm{Pic}(\mathcal{X})/\ill\right) \]

surjectif. Donc il existe \(\gamma \in \mathrm{Pic}(\mathcal{X})\) […] que \(\beta \in \mathrm{Pic}(\mathcal{X})\) […] \(\beta_{o}\) […] \(n\gamma + \sum a_{i} \beta_{i}\)

95Grothendieck numérote cette page 5.

… on ait \(n\gamma = \sum_{i} c_{i} \beta_{i}\). Les bornes de cette somme ne se lisent pas ; l'encadré de la marge droite donne la même relation sous la forme \(\beta^{o} = n\gamma + \sum_{1}^{r} c_{i} \beta^{i}\), avec \(\mathcal{J} \simeq \mu_{n}\).

On utilise maintenant le théorème de Kummer pour \(\mathcal{X}/D\) pour trouver un revêtement de \(\mathcal{X}/\underline{D_{o}}\) qui est […] d'un […] de Galois \(\mathcal{J}_{o} \simeq \mu_{n}\) […] […] sur \(X_{o}\) […]

\[ \pi_{2}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) \to \mu^{\infty}_{X_{o}, t}(\bar{\xi}_{o}) \to \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) \to \pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) \to o \]

\(\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1})\) comme extension de \(\pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o})\) est connue entièrement en termes de \(X_{o}/D'_{o}\) et de la classe

\[ \alpha \in H^{2}\!\left(X_{o} \struck{- D_{o}},\; \mu^{\infty}_{X_{o}, \mathrm{tame}}\right) \]

[self-intersection de \(X_{o}\) dans \(\mathcal{X}\)] […]

Exemple I. \(X_{o}\) courbe […] sur \(k\) alg. clos. Alors \(\pi_{2}^{t}(X_{o} - D'_{o}) = o\) […] si \(X_{o} \simeq \mathbb{P}^{1}_{k}\), \(D'_{o} = \emptyset\) […], on a \(\pi_{2}^{t}(X_{o}, \bar{\xi}_{o}) = \mu^{\infty}_{X_{o}, t}(\bar{\xi}_{o})\). L'[…] \(\mathbb{Z} \to \mu^{\infty}_{t}\) […] […] ([…]). […]

1) \(\left[X_{o} - D'_{o} \neq \mathbb{P}^{1}_{k}\right]\) […] : \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1})\) est une extension triviale de \(\pi_{1}^{t}(X_{o} - D_{o}, \bar{\xi}_{o})\) par \(\mu^{\infty}_{t}(\bar{\xi}_{o})\).

97Grothendieck numérote cette page 6.

2°) \(\left[X_{o} - D'_{o} = \mathbb{P}^{1}_{k}\right]\) i.e. \(X_{o} = \mathbb{P}^{1}_{k}\), \(D'_{o} = \emptyset\). Alors \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1})\) est une extension isomorphe à \(\mu_{n}(k)\), où \(n\) est la partie première à \(p = \mathrm{car}\, k\) du degré de la self-intersection \(X_{o} \cdot X_{o}\) dans \(\mathcal{X}\).

[plus […] dans \(X_{o}\) […] […] […]]

Exemple II. a) \(X_{o} = \mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}\). (Alors \(\mu^{\infty}_{t, X_{o}} = o\), donc

\[ \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) \simeq \pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}). \]

Le […] Si \(D'_{o} = \emptyset\), on trouve \(o\). Si \(D'_{o} \neq \emptyset\), la partie abélienne de \(\pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o})\) est calculable par la […] de

\[ \left(\simeq \prod_{\ell \in D'_{o}} (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{*}\right), \]

[…] ; […] doute \(\pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o})\) […] est finie par dévissage […]. Il y a des […] […] corps de nombres tamely ramified sur \(\mathbb{Q}\), qui ne sont pas […] […]??]

b) \(X_{o} = \mathrm{Spec}\, \mathbb{Z} - S\), \(S \neq \emptyset\). Alors

\[ \mu^{\infty}_{t, X_{o}} = \prod_{\ell \in S} \mu^{\infty}(\ell)_{X_{o}}. \]

Mais […] \(\pi_{2}^{t}(X_{o}/D'_{o})\) ???

Un résultat d'Abhyankar, et sa version semi-globale (pages 99 et 100)

99Feuillet non paginé par Grothendieck. Le haut de la page — une phrase sur un groupe d'ordre fini opérant sur \(E\), et un carré \(I_{o} \to I'_{o}\), \(I \to I'\) — est barré de plusieurs traits obliques, puis un trait horizontal sépare ce début du programme qui suit.

Il y a un […] groupe d'ordre fini […] \(\pi_{1}(\mathcal{U})\) qui opère sur \(E\) via un p-groupe. À fortiori,

\begin{tikzcd}
I_{o}(\struck{\ill{}}) \arrow[r] \arrow[d] & I'_{o} \arrow[d] \\
I(\struck{\ill{}}) \arrow[r] & I'
\end{tikzcd}

a) Un résultat de Abhyankar \(\oplus\)

b) Version [semi]-globale du […] résultat d'Abhyankar.

\(X\) schéma loc. noeth. connexe, \(D = \sum D_{i}\) diviseur fini [[…]] à croisements normaux (composantes \(X_{i}\) régulières).

On suppose \(Z = \bigcap D_{i} \neq \emptyset\), et que \((X, Z)\) est « hensélien », i.e. […] un ét. \(X'\) fini sur \(X\), connexe \(\neq \emptyset\), […] de \(Z\) dans \(Z'\) \(\pi_{o}(Z') \simeq \pi_{o}(X')\), \(Z'\) […] \(\neq \emptyset\) […]

Alors Soit \(X\) \(\mathcal{U} = X - \struck{\ill{}} \uncertain{D}\), \(\xi\) un pt géom. de \(\mathcal{U}\). Alors :

1. a)\(\mathcal{U}\) connexe, et \(\pi_{1}(\mathcal{U})_{t} \to \pi_{1}(X)\) surjectif.
2. b)Pour tout \(D_{i}\), le groupe d'inertie de \(\pi_{1}(\mathcal{U})_{t}\) relatif à \(\pi_{1}(\mathcal{U})\) est un sous-groupe distingué \(\pi_{1}(\mathcal{U})\) commutatif \(I_{i}\) de […] […], et on a un épimorphisme canonique \[ \struck{\ill{}} \prod_{\ell} T_{\ell}(\Omega^{*}) \to I_{i} \] l'inversible […] \(D_{i}\) ([…], […] \(Z\))
3. c)Les groupes \(I_{i}\) commutent, et leur […] produit est le noyau de \(\pi_{1}(\mathcal{U}, \xi)_{t} \to \pi_{1}(X, \xi)\).

a) Est immédiat.

b) L'invariance des \(D_{i}\) dans un […] […] […] modérément ramifié \(X'\) de \(X\) est […] (étale local) et connexe, donc \(I\) […] irréd., donc \(I_{i}\) est l'invariant. On sait bien qu'il est \(\simeq\) quotient de \(\prod_{\ell} T_{\ell}(\Omega^{*})\), \(\ell \neq\) car. […] \(D_{i}\). Il faut […] que \(I \to\) […] aux […] de \(D_{i}\). C'est une histoire locale sur \(D_{i}\).

c) Commutation des \(I_{i}\) : […] c'est local en un pt de […]

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1) \(X\) schéma, \(D_{i}\) diviseurs de Cartier \(\geqslant o\), \(n_{i}\) entiers \(\geqslant 1\) (\(1 \leqslant i \leqslant r\)), \(\Gamma\) schéma en groupes sur \(S\),

\[ \struck{\ill{}} \; \mu_{\underline{n}} = \prod \mu_{n_{i}} \qquad (\underline{n} = (n_{1}, \ldots, n_{r})) \quad \text{sur } X. \]

Extension de groupes sur \(X\) :

\[ 1 \to \mu_{\underline{n}} \to G \to \Gamma \to 1 \]

\[ X' \to \tilde{X}_{1} \to X \]

[…] […] sur \(X\), à gr. \(G\). On suppose […] que \(G\) opère sur \(\tilde{X}_{1}\), que \(\mu\) y opère trivialement, que […] \(\tilde{X}_{1}\) devient torseur […] sous \(\Gamma\). \(= \mu_{\underline{n}} \tilde{X}\)

b) En disant que […] : opérateurs \(\mu_{\tilde{X}}\), \(X'\) […] sur \(X\), […] loc. \(\mathcal{U}\) (sur \(\tilde{X}_{1}\)) de type kummerien relatif aux […] […] \(D_{i}\) […] ([…] […] diviseurs) (i.e. […]) :

\[ \tilde{X}[T_{1}, \ldots, T_{r}] \big/ \left(T_{1}^{n_{1}} - a_{1}, \ldots, T_{r}^{n_{r}} - a_{r}\right) \]

c) \(\Gamma\) […] les inerties des \(D_{i}\) […] (locaux). On a donné un iso

\[ \tilde{X} \times^{\Gamma} \mu \simeq \mu_{\underline{n}} \]

L'extension \(G/\ill\) de \(\Gamma\) par \(\mu\) définit une classe \(\alpha \in H^{2}(B_{\Gamma}, \mu)\) \(\ill \; H^{2}(B_{\Gamma}, \mu_{n_{i}})\). On […] […] […] canonique […] […] \(\tilde{X}\)

\[ H^{2}(B_{\Gamma}, \mu) \xrightarrow{\;\varphi\;} H^{2}(X, \mu_{\underline{n}}) \simeq \prod H^{2}(X, \mu_{n_{i}}) \]

\[ H^{2}(X, \mu_{\underline{n}}) = H^{2}\!\left(B_{\Gamma}/(\tilde{X}, \Gamma), \mu\right) \]

On veut prouver que, si \(\varphi(\alpha) = (\xi_{i})_{1 \leqslant i \leqslant r}\),

\[ \xi_{i} = c\!\left(\mathcal{O}_{X}(D_{i})\right) \pmod{n_{i}}. \]

[…] […] mod \(n_{i}\)

2) Variantes […] formelle, (ou […] loc. annelés, […])

En marge de gauche, écrit dans le sens de la hauteur, un petit diagramme reprend \(B_{\Gamma}/(\tilde{X}, \Gamma) \to X\) au-dessus de \(B_{\Gamma}\).