Fonds Grothendieck, cote n° 29, pages 61–80

« Th. de finitude relatif pour \pi_1 », fin (pages 61 à 64)

Grothendieck numérote cette page 2. La page est un palimpseste : un premier jet au crayon, repris à l'encre, puis biffé par endroits. La plus grande partie n'est pas lisible à la résolution du fac-similé et reste .

Théorème. X, ~~préschéma~~ alg. sur clos,

X' le normalisé de X_{\mathrm{red}}, D_i les composantes irréductibles de codim. 1 de p^{-1}(D)

\begin{tikzcd} X' \arrow[d, "p"] & \supset & D'_i \arrow[d] \\ X & \supset & D \end{tikzcd}

U = X - D

R^0 p'_{*} \ill{} si Y est régulier, il suffit

Puis, en bas de page, la réduction à une courbe :

\begin{tikzcd} C \arrow[r] \arrow[d, hook'] & X \arrow[d, hook'] \\ V \arrow[r] & U \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} C \times Y = C_Y \arrow[r] \arrow[d, hook'] & R \arrow[d, hook'] \\ V \times Y = V_Y \arrow[r] & P \end{tikzcd}

\pi_1(C) \to \pi_1(X) les images des D_i dans C sont des diviseurs singuliers, où l'induction sur (k, X, U) par (K, C, V), d'une courbe. Mais alors, les conditions,

Grothendieck numérote cette page 3

~~d'application la théorie de spécialisation des~~

Lorsque X n'est pas normal, on utilise le dévissage À détailler.

Corollaire. Soit U de type fini sur k, Y de type fini sur k, R un revêtement étale soit de U \times_k Y, Y Supposons que pour y, R_y est un revêtement trivial. Alors R , au-dessus d'un voisinage de y, d'un d'un tel voisinage.

Cor. Soient X', X'' propres sur k, Z' (Z'') des parties fermées, X = X' \times X'', Z = Z' \times X'' \cup X' \times Z'', considérant les groupes \pi_1^t(X'; Z'; x'), \pi_1^t(X''; Z''; x'') et \pi_1^t(X; Z, x), notés \pi, \pi', \pi''. Alors

\struck{\pi_1^t(X)} \quad \pi \longrightarrow \pi' \times \pi''

est un isomorphisme.

Cor. Soient X, Y de type fini sur k, \pi_1'(X) et \pi_1'(Y), \pi_1'(X \times Y) [mais elles la car.]. Alors

\pi_1'(X \times Y) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \pi_1'(X) \times \pi_1'(Y).

Grothendieck numérote cette page 4

\begin{tikzcd} X' \arrow[d] \\ X \end{tikzcd}

X' un normalisé ; Y \subset X — complète, irréductible ; U = X - Y.

Y_1 \ldots Y_r les composantes de Y de codim. 1 dans X ; Y'_{ij} les images inverses des Y_i dans X'.

~~\pi_1(U_i)~~ ~~\pi_1(U) le quotient de \pi_1(U) par le noyau de \pi_1(U) \to \pi_1(X)~~ ~~est engendré par~~

Considérons les rev. étales de X - Y qui ~~sont classifiés~~ deviennent étales sur les données des \mathcal{O}_{Y'_{ij}} : ils sont classifiés par un groupe de type galoisien \pi.

Th. Le groupe \pi est top. de génération finie.

Cor. 1. Soit X complète, Y de \geq 2, U = X - Y. Alors \pi_1(U)/\ill{} est top. de génération finie.

Cor. 2. Soit X ~~de type~~ alg. Alors \pi_1'(X) est top. de type fini.

Feuille de brouillon : des fragments isolés, sans phrase liante, sur la même question. Ils sont transcrits dans l'ordre où ils viennent sur la page.

\pi_1(X \times Y) \;\xrightarrow{\ \mathrm{surj}\ }\; \pi_1(X) \times \pi_1(Y)

X \supset Z \pi_1(Z) \to \pi_1(X) \to \pi_1(Y)

\begin{tikzcd} X \arrow[d] \\ Y \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} X'' \arrow[d, Rightarrow] \\ X' \arrow[d] \\ X \arrow[d] \\ {} \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} Y' \arrow[r] \arrow[d] & X' \arrow[d] \\ Y \arrow[r, hook] \arrow[d] & X \arrow[d] \\ {} & \mathbf{P}^r \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} X' \arrow[r, hook] \arrow[d] & \bar X' \arrow[d] \\ X \arrow[r, hook] \arrow[d] & \bar X \arrow[dl] \\ \mathbf{P}^r \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} Y \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\ H \arrow[r] & \mathbf{P}^r \end{tikzcd}

surj ??

\pi_1(Y) \longrightarrow \pi_1(X) \qquad (X \text{ normal})

X \subset \hat X ; X_0 \subset \hat X_0 plus régulier

\pi_1(X) \qquad\qquad \struck{\pi_1(Y) \to \pi_1(X) \leftarrow \pi_1(X - Y)}

« \pi_1 birationnel » (pages 65 à 69)

Grothendieck pagine lui-même cette suite A à L ; la page 65 porte A.

\pi_1 birationnel

Th. Soient k un corps alg. clos, X schéma connexe ~~propre~~ sur k, ~~Y une partie fermée~~ tel que les composantes irréductibles X_i soient isomorphes (avec la structure réduite induite) au ~~la complémentaire~~ complémentaire d'une partie fermée de codim. \geq 2 dans un schéma propre sur k.

Question. Y \subset X fermé, de codim. \geq 2 : est-ce que \pi_1(X-Y) \to \pi_1(X) a un noyau de type fini ??

Alors \pi_1(X) est top. de type fini.

Démonstration. Par SGA IX 6.2, on est ramené au cas où X est ~~irréductible~~ intègre, donc de la forme X = Z - Y, où Z est propre et Y de codim. \geq 2 dans Z.

X = \bar X - \bar X \cap Y,

et \bar X étant une composante irréductible de Z, \bar X \cap Y qui est de codim. \geq 2. On peut supposer Z ~~réduit~~ intègre, et on est ramené à prouver le

Corollaire. Z intègre et propre sur k, Y de codim. \geq 2 dans Z, X = Z - Y ; alors \pi_1(X) est top. de type fini.

Soit Z' \to Z un morphisme propre surjectif, avec Z' intègre ; soit X' l'image inverse de X dans Z', soit X' = Z' - Y', et Y' de codim. \geq 2 dans Z'. il suffit de prouver que \pi_1(X') est top. de type fini. Par le lemme de Chow,

on peut donc supposer que Z est projectif, ~~si dim~~ et par récurrence. \dim Z \leq 0, trivial. Si \dim Z = 1, on aura Y = \emptyset, i.e. X = Z, et le th. est connu. Si \dim Z \geq 2 on utilise ceci :

Lemme de Bertini (Zariski). Soit k un corps, X \xrightarrow{f} \mathbf{P}^r_k un morphisme, avec X irréductible, \dim f(X) \geq n ; soit 1 \leq s \leq n-1, et soit u le point générique de \mathbf{P}^r_k \times \cdots \times \mathbf{P}^r_k (s facteurs), et K une clôture algébrique de k(u), enfin L_u la variété linéaire dans \mathbf{P}^r_K définie par u, et

X_u = X \times_{\mathbf{P}^r_k} L_u = X_K \times_{\mathbf{P}^r_K} L_u.

peut-on remplacer « irréductible » par « connexe » ? — non

Alors X_u est irréductible.

Corollaire. ~~Il est~~ Si X est normal, alors \pi_1(X_u) \to \pi_1(X) est surjectif.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] X'_u \arrow[r] \arrow[d] & X' \arrow[d] \\ X_u \arrow[r] \arrow[d] & X_K \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\ L_u \arrow[r] & \mathbf{P}^r_K \arrow[r] & \mathbf{P}^r_k \end{tikzcd}

En effet, si X' \to X est un revêtement ~~connexe~~ étale connexe de X, on montre irréductible, donc X'_u = X' \times_X X_u est irréductible, donc connexe, O.K.

Reprenons donc Z normal de dim. n \geq 2, et X = Z - Y. Plongeons Z dans \mathbf{P}^r, et le morphisme induit f : X \to \mathbf{P}^r. On prend s = n-1, de sorte que X_u = X_K \cap L_u = Z_K \cap L_u ~~est une courbe~~ \neq \emptyset, car Y_K \cap L_u = \emptyset ; donc X_u = Z_K \cap L_u est une courbe projective, d'ailleurs normale. Si g est le genre, il résulte alors du corollaire au lemme de Bertini que \pi_1(X) admet 2g générateurs topologiques, O.K.

Conséquence. Soit K une extension de type fini d'un corps k. Je existe toujours un modèle projectif, ~~celui-ci~~ ~~normal~~ propre, et

~~X' les modèles particuliers régulier U « presque propre », i.e. complémentaire d'un fermé de codim. \geq 2 dans une partie fermée de codim. \geq 2 dans que modèle propre X.~~

\begin{tikzcd} & X'' \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ X & & X' \end{tikzcd}

~~D'ailleurs, tous les modèles U comme dessus, ordonnés par~~

D'ailleurs les modèles propres et normaux, pour la relation de domination, forment un ordonné filtrant croissant. Soit X_0 un tel modèle propre normal régulier, et sur X_0

\begin{tikzcd} X_1 \arrow[d, "f"] & X_1 \arrow[l] \\ X_0 & \supset U_1 \supset U_0 \end{tikzcd}

U_1 \to X_1 induit et à la limite, c'est de codim. \geq 2, ~~complémentaire dans X_0 d'un fermé de codim. \geq 2.~~

\begin{tikzcd} \pi_1(X_1) \arrow[d, "f_{*}"'] & \pi_1(U_1) \arrow[l] & \\ \pi_1(X_0) & \pi_1(U_0) \arrow[l] \arrow[r, "\sim"] \arrow[ul, "g_{*}"] & \pi_1(U_1) \end{tikzcd}

sous l'isomorphisme du bas il écrit « th. de pureté »

L'injection induite U \to X étant le complémentaire d'une partie fermée de codim. \geq 1, on voit que ( de pureté) on a un homo. surjectif (si X normal)

\pi_1(U) \longrightarrow \pi_1(X)

d'où : à la limite un homo. surjectif

\pi_1(U, \Omega) \longrightarrow \varprojlim_{X \text{ modèle propre}} \pi_1(X, \Omega)

où \Omega est une extension alg. close de K.

Le dernier est ce que j'ai appelé le groupe fondamental birationnel de K/k, noté \pi_1(K/k, \Omega). tout modèle \pi_1(X, \Omega) quotient de \pi_1(U). Il être complémentaire d'une partie fermée de codim. \geq 2 dans

Th. Si K/k est une extension de type fini, avec k alg. clos, alors \pi_1(K/k, \Omega) est top. de type fini.

« Pic birationnel » (pages 70 à 76)

Pic birationnel

Théorème. Soient f : X \to Y un morphisme dominant birationnel de préschémas intègres normaux, et propres sur k, avec Y loc. régulier. Alors le morphisme

\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_Y \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_X

est un isomorphisme.

X normal ? « sur k » ? — Y régulier ?? sur k ? — N.B. je

C'est un monomorphisme grâce au fait que f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_Y (universellement sur k !), donc une immersion fermée puisque un homo. de groupes propre. Montrons que c'est surjectif. Soit U l'ouvert de Y où f^{-1} est défini ; comme Y est factoriel,

\mathrm{Pic}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pic}(U),

d'où, utilisant

\begin{tikzcd} & X \arrow[d, "f"] \\ U \arrow[ur, "g"] \arrow[r, "i"'] & Y \end{tikzcd}

le diagramme commutatif

\begin{tikzcd} & \mathrm{Pic}(X) \arrow[dl, "g^{*}"] \\ \mathrm{Pic}(U) & \mathrm{Pic}(Y) \arrow[u, "f^{*}"'] \arrow[l, "i^{*}"] \end{tikzcd}

qui montre que \mathrm{Pic}(Y) \to \mathrm{Pic}(X) est un homo. un facteur direct, l'image étant \xi tels que ~~f^{*}(\xi) = 0~~ \xi = f^{*} i^{*-1} g^{*}(\xi). \xi \tau-équivalent à 0, donc i^{*-1} g^{*}(\xi) aussi, = \ill{}\ f^{*} i^{*-1} g^{*}(\xi). D'autre part, on voit

Revoir tout ça avec les cycles !

diviseur \sum n_i X_i, où les X_i sont les « diviseurs singuliers » pour f. Il reste donc à voir que si une telle combinaison linéaire est ~~algébriquement~~ \tau-équivalente à 0, elle est nulle. Ce (C'est là un lemme bien connu…)

vérifier ?

Ainsi, f^{*} : \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_Y \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_X est une immersion surjective. Il reste à prouver qu'elle induit un isom. sur les tangents à l'origine, donc à vérifier le

on peut ramener au projectif — insuffisant

Corollaire. Sous les conditions du th., l'homomorphisme

f^{*} : H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \longrightarrow H^1(X, \mathcal{O}_X)

est un isomorphisme.

On sait déjà qu'il est injectif, la question est la surjectivité. ~~Il suffit~~ En caractéristique p > 0, il suffit de prouver que sont bijectifs

H^1(Y, \mathcal{O}_Y)^F \longrightarrow H^1(X, \mathcal{O}_X)^F {}_F H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \longrightarrow {}_F H^1(X, \mathcal{O}_X)

où F est le Frobenius. Le premier homo. s'écrit

H^1(Y, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) \longrightarrow H^1(X, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z})

c'est un isomorphisme : cela du fait que \pi_1(X) \to \pi_1(Y) est un isomorphisme [ le th. de pureté sur Y].

Y régulier

Le deuxième homomorphisme s'écrit

H^0(Y, \mathcal{O}_Y / \mathcal{O}_Y^{p^{\nu}}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X / \mathcal{O}_X^{p^{\nu}})

[grâce au fait que X, Y sont réduits], ou aussi, supposant que k est alg. clos donc parfait, s'interprète comme

f^{*} : H^0(Y, \mathcal{O}_Y^{p^{-\nu}} / \mathcal{O}_Y) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X^{p^{-\nu}} / \mathcal{O}_X)

Y intègre sur k (?)

Ce dernier est bijectif grâce à la normalité de X et Y : les notations ci-dessus, on a un diagramme commutatif

\begin{tikzcd} & T(X) \arrow[dl, "g^{*}"] \\ T(U) & T(Y) \arrow[u, "f^{*}"'] \arrow[l, "i^{*}"] \end{tikzcd}

avec g^{*} injectif [car \mathcal{O}_X^{p^{-\nu}} / \mathcal{O}_X est sans torsion …], donc f^{*} et i^{*-1} g^{*} sont réciproques l'une de l'autre.

X normal

Dans le cas où k est de car. 0, on peut supposer que k est ~~de type fini~~ ~~sur \mathbf{Q}~~, le corps des fonctions d'un schéma intègre S de type fini sur \mathbf{Z}, et que f : X \to Y provient d'un morphisme de S-préschémas, \bar f : \bar X \to \bar Y, intègres, \bar Y lisse sur S, et \bar X normal sur S, les fibres de l'un et de l'autre étant connexes. Alors

~~\forall y \in Y, si H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \to H^1(X, \mathcal{O}_X) de dim. r, il existe~~

On peut supposer X et Y alg. plats sur S ~~de dim. 1~~, R^1 q_{*}(\mathcal{O}_{\bar Y}) \to R^1 p_{*}(\mathcal{O}_{\bar X}) est injectif, et ~~que~~ (car il l'est par d'ailleurs) alors sur S, le de H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \to H^1(X, \mathcal{O}_X) est de dim. r, = même ; mais pour les fibres le th. les s \in S, on vérifie au de

car > 0. Cela pour \nu = 0, et achève la démonstration.

Corollaire 1. Invariance birationnelle de \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k} pour X propre et simple sur k.

Corollaire 2. Soit K une extension ~~régulière~~ séparable primaire de type fini de k, admettant un modèle ~~régulier~~ propre et simple sur k. Alors \varinjlim_X \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k}, où X parcourt les modèles propres et normaux « sur k » de K, existe [le système inductif ~~projectif~~ est essentiellement constant].

N.B. si k , et K de dim. 1 sur k, c'est pour idiots !

Question. Le cor. 2 reste-t-il valable en supposant seulement que K admette un modèle « normal sur k » ?? le cas équivaudrait-il à conjecturer une assertion, semblables

\dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} reste majoré ; ordre (\mathrm{Tors}\ \mathrm{Pic}(X/k)) reste majoré ; \dim H^1(X, \mathcal{O}_X) reste majoré.

N.B. (i) résulte de (iii)

Théorème. Soit K une extension de type fini du corps k, ~~ayant un modèle propre et universellement sur k~~. ~~Soit (X_i)_{i \in I} le système~~ Il existe un entier n(K/k) tel que pour tout modèle X de K propre sur k, et normal sur k,

\dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \leq n(K/k)

Démonstration. ~~On est ramené au cas~~ b) il un modèle X de type indiqué, traité. Sinon, K est séparable sur k, et

\bar K = K \otimes_k \bar k

est une extension de type fini du corps alg. clos \bar k, et on est ramené au cas où k est alg. clos. Alors

\dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} = \tfrac{1}{2}\, \mathrm{rang}_{\mathbf{Z}_{\ell}} \left(\text{partie } \ell\text{-primaire de } \pi_1(X/k) \text{ rendu abélien}\right)

et à ce titre, on se sert du théorème de majoration uniforme du \pi_1(X/k)

pour les modèles normaux (résultant de la partie facile de Lefschetz, en les groupes fondamentaux rendus abéliens), fini. De façon plus précise il suffit, prenant un modèle X projectif sur k (propre et normal), de prendre dans X une « courbe générique C » et pour n(K) le genre de ladite courbe générique.

\begin{tikzcd} C' \arrow[r, hook] \arrow[d] & X' \arrow[d] \\ C_{k(u)} \arrow[r, hook] & X \arrow[r, hook] & \mathbf{P}^r \end{tikzcd}

Y a-t-il une démonstration du fait que cela donne une majoration, n'utilisant pas la théorie du groupe fondamental et le fait que \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k} est propre sur k si X est normale ?

démonstration directe ???

« Revêtements formels étales et th. de Mumford » (pages 77 à 80)

~~Comportement d'une kummérien et leur variante (\pi_1 discret etc. …)~~

Revêtements formels étales et th. de Mumford

J.-P. Murre à A. Grothendieck, Voorschoten, 30 avril 1969 (page 78)

Voorschoten, 30-4-69. Palestrinalaan 11.

Dear Grothendieck,

Last fall I wrote you that I was planning to work out your notes on formal tamely ramified coverings together with a result on ``plumbing''.

In doing so it turned out to be necessary — at least by the method I followed — to write again a lot of preliminaries on tamely ramified coverings, this time for formal schemes. I am still not ready with the above mentioned ``project''! Since it took me already much time, I would appreciate it very much to have — before proceeding — your opinion about the preliminary version which I have prepared so far. Of course it is not necessary to read the notes in detail. My question is: what do you think of this set-up and do you think it worthwhile to continue in this way? To me the entire thing seems somewhat indigestible.

I have adjoined some comments on the different chapters. The notes consists of two parts. Part one (Chap. I–VII) are the preliminaries, part two (Chap. VIII–X) are your notes and the plumbing. The chapter on the analogue of the theorem of Mumford has still to be written.

I hope you don't mind too much that I bother you again with these tamely ramified coverings!

With best wishes, Sincerely yours, J. P. Murre.

« Comments », deux pages dactylographiées jointes à la lettre (pages 79 et 80)

Comments.

Chap. I. Étale morphisms of formal schemes are defined as inductive systems of étale morphisms of usual schemes (1.1.2 and EGA I 10.12.3). Crucial lemmas: 1.1.6, 1.1.13 and 1.4.9.

As to 1.1.13: étale nbhs for formal schemes are locally completions of étale nbhs of usual schemes. This is used in 7.1.5, itself used in the reduction step 9.3.3.

Chap. II. There are Kummer coverings (II-1), generalized Kummer coverings (II-2) and coverings of Kummer type (II-6)!

No attempt has been made towards completeness; for instance there is no section on the automorphisms of (generalized) kummer coverings.

It would be useful to have a charaterization of the Algebra of a generalized Kummer cov. (cf. with 2.1.8 for Kummer coverings).

Chap. III. This is a nuisance!

I have tried to write only down those things needed for Chap. VIII–X. It was sufficient to follow the notes which I made for usual schemes and therefore I have not followed your new set-up. But one way or the other, one gets the feeling that the notion of tamely ramified covering, although natural, is very unmanageable if one has to use ``the functor'' instead of the geometric realization itself.

Lemma 3.2.11 is a technical lemma, used for instance in 3.5.8, 3.6.5 (and ~~many~~ at several places later on).

Very crucial are ~~are~~ 3.4.1, 3.4.2; also the notations introduced there are often used in the sequel.

For 3.5.5 I have given only an indication of the proof; in fact many proofs of III are standard but very unpleasant to spell out in all detail.

Part 3.6 (and especially 3.6.5) are important. Here the geometric realization determines the tamely ramified covering. Usually only normality, instead of regularity, seems to be needed. The difficulty is however that the notion of normality is (perhaps) not stable by étale localization (cf. 1.7.3 and 1.7.4).

Chap. VI. 6.1.3 is used in 8.1.9, see page VIII-8 point c. 6.2.1 and 6.2.2 are technical results, used in the proof that 9.3.5 implies 9.3.2 (see page IX-17).

Comments (2).

Chap. VII. This is a technical chapter. The results are delicate, but they are used in an essential way in 9.3 in the reduction step 9.3.3. As pointed out before: 1.1.13 is used in 7.1.5. In 7.1.5 we have to work with Kummer coverings instead of generalized Kummer coverings; the reason (or at least one of the reasons) is that we don't have an analoguous lemma for 2.1.8. As a consequence the assumption D_i \cap D_j = \emptyset (see 9.0.1) has to be made. Also 7.1.6 is a subtle lemma.

Chap. VIII. The first page of your notes ``Revêtements formels étales…''. Remark 8.1.6 seems to me to be correct (!) i.e. the isomorphism is canonical and essential for 8.1.9.iii.

Chap. IX. This is a working-out of your notes.

The assumption D_{i,0} \cap D_{j,0} = \emptyset is — as pointed out above — used in 9.3.3, in order to be able to apply 7.1.6 and 7.1.8 (page IX-13, line 4 top).

In IX-1 there are several points about which I am not certain (for instance page IX-4 below). Nevertheless I have used them (!) because it seems to me that you used them implicitely and without mentioning in your notes and probably these things are more or less standard results in étale cohomology.

In IX-2 I have not included (yet) the proof of the key-theorem 9.2.3. (this proof is explicitly given in the letter of Giraud).

As to IX-3: the reduction step 9.3.3. seems to me to be very delicate and depends upon the results in chap. VII. (In your notes you give the motivation in the margin !). It is — in particular — at this point that one has the feeling that the notion of tamely ramified covering is cumbersome.

I hope that part IX-3 is correctly written and that I don't have overlooked difficulties; I had a lot of trouble with it.

One final remark: I needed here the results on tamely ramified coverings for usual schemes; are these included in your planned final version of SGA 1 Exp. XII (see 9.0.4, 9.1.4, page IX-6 below)?

Chap. X. The plumbing. X-3 is again very cumbersome. It would be nicer to work directly with the geometric realization, but there I encountered difficulties, therefore I followed an easy but long way.