Fonds Grothendieck, cote n° 29, pages 41–60 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-08-22)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)29
Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Pages 41 à 60 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 3 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1959-1969Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/29.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
« Finitude (Pbs et conjectures) », suite (pages 41 à 45)
la page est traversée de traits de crayon gras et d'un griffonnage qui
recouvrent une partie de l'écriture ; ce qui suit est ce qui en reste lisible
A anneau noethérien, x, y \in A
a) A/x, A/y réguliers intègres de dim 1
b) Acomplet pour la topologie définie par xyun mot est porté en interligne au-dessus du mot rayé, et n'est pas
lisible : c'est l'hypothèse elle-même qui reste indéterminée
\hat{A}^{x} = \left\{ \sum a_{\alpha\beta}\, x^{\alpha} y^{\beta} \right\} = k[y][[x]]
(seul un nb fini de termes, pour \alpha \leq N donné, sont non nuls)
A = \left\{ \sum a_{\alpha\beta}\, x^{\alpha} y^{\beta} \right\}
(seul un nb fini des a_{\alpha\beta}, pour \alpha + \beta \leq N donné,
sont non nuls)
\hat{A}^{y} = \left\{ \sum a_{\alpha\beta}\, x^{\alpha} y^{\beta} \right\} = k[x][[y]]
(seul un nb fini des termes, pour \beta \leq N donné, sont non nuls)
à droite de la page, un croquis à l'encre : deux axes portés \beta et
\alpha, et une courbe qui découpe la région des indices
Prouvé
c) Modératoconjecture d'invariance birationnelle de la
ramification modérée [si X non projectif] (qui donne un sens
au pb.) et procéder comme b), a) [Lefschetz, résolution
normalisation, Bertini…] on est ramené à une surfacecourbe, diviseur à croisements normaux, ok.
2) Groupe fondamental local.
Xspectre schéma noeth., { complet ; str. local et bon }.
U un ouvert.
\pi^t_1(U) de type fini\pi'_1(U) de présentation finie
Via résolution, et conjecture de fameuse (invariance
birationnelle) dans le cas a), on doit s'en tirer, en se ramenant aux énoncés
analogues pour le 1)…
vérifier si c'est nécessaire
a) Par descente, on est ramené au cas X normal, et par
hyperplan [du moins si U = X - \text{origine}] on où
\dim X = 2. On dispose alors de Abhyankar et cela doit
marcher …
la page entière est barrée d'un long trait de crayon
\mathfrak{X}préschéma formel loc. noeth., \mathfrak{X}_0 un
sous-schéma de définition, \mathfrak{X}_0 = V(\mathcal{J}).
On va définir la catégorie \mathrm{Coh}(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0) des
« Modules cohérents finis de \mathfrak{X} mod \mathfrak{X}_0 ». Soit
\mathrm{Coh}(\mathfrak{X}) la catégorie des schémas formels finis
Modules cohérents sur \mathfrak{X}. Soit Soit \mathfrak{S}
l'ensemble des flèches u de \mathrm{Coh}(\mathfrak{X}) telles que
\operatorname{Ker} u et \operatorname{Coker} u soient tués par une puissance de \mathcal{J}. Alors l'ens.\mathfrak{S} satisfait aux axiomes qu'il faut pour former une catégorie de
fractions [N.B. on ; en pratique on prend la sous-catégorie épaisse
des Modules cohérents tués par une puiss. de \mathcal{J}].
\mathrm{Coh}(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0) est la catégorie des fractions.
Exemple. Soit X propre sur Y = \operatorname{Spec} A, A noeth.
séparé et complet pour l'idéal I, Y_0 = V(I), X_0 = X \times_Y Y_0,
\mathfrak{X} le complété formel de X. Alors
par le th. d'existence, \mathrm{Coh}(X)_{\mathrm{nilp}} étant les Modules à
support \subset X_0. On trouve
\mathrm{Coh}(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0) \approx \mathrm{Coh}(X - X_0) !
3) Théorèmes de finitude et simultanéité
Comment les groupes fondamentaux des fibres (d'un morphisme de type fini :
on désire des résultats genre constructibilité), qu'on a), b), c) :
c'est fait
Majoration « group-theoretical »uniforme dans les
cas de finitude dans\pi_1(X_{\bar s}), si X/S propre O.K.Majoration uniformedans des cas de finitude et de
utiles pour les \pi'_1(X_{\bar s}), ou mieux : la structure de
\pi'_1(X_{\bar s}) est fonction constructible de sMajoration uniforme dans les cas de finitude de
\pi^t_1(X_{\bar s}).
Il semble que les méthodes qui résoudront 1) résoudront également 3).
la page entière est barrée d'un long trait de crayon
On définit une catégorie R(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0) ainsi.
R(\mathfrak{X}) = catégorie des \mathfrak{X}-préschémas formels finis sur
\mathfrak{X}. On définit la catégorie des flèches \mathfrak{S} [isom. mod
\mathfrak{X}_0] par : u : \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}'' est un isom.
mod \mathfrak{X}_0 sss l'homom. d'Algèbres
\mathcal{A}'' \to \mathcal{A}' correspondant est un isom. de Modules mod
\mathfrak{X}_0. On vérifie qu'on obtient un calcul de fractions à droite
[détail bien compliqué, détail bien de bien,
explication]. La catégorie quotient est notée
R(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0).
Exemple. Reprenons l'exemple précédent. Alors
R(\mathfrak{X}) \approx R(X) par le Théorème de comparaison, donc
R(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0) est équivalente à R(X/X_0), qui à son tour
est équivalent à R(X - X_0).
à vérifier
[R(X/X_0) \to R(X - X_0), c'est facile comme on vérifie
directement, c'est comme on voit : le global
du Main Theorem par ex. …]
« Th. de finitude relatif pour \pi_1 » (pages 46 à 57)
Th. de finitude relatif pour \pi_1
Grothendieck numérote cette page I, et les suivantes II à VI
fid. plat
Lemme 1. Soit f : X \to Y un morphisme de
préschémas loc. noethériens, de type f.,
à fibres géom. connexes, noeth. avec Y intègre de point
gén. y, et soient soient X', X'' deux sous-schémas
de X, tels que X'_{\bar y} et X''_{\bar y} soient
K_{\bar y}-isomorphes . Alors \exists revêtement fini étale
Y_1 de Y tel que X' \times_Y Y_1 et X'' \times_Y Y_1 soient
X_{Y_1}-isomorphes.
Plus précisément, tel homom. donné
\bar u : X'_{\bar y} \to X''_{\bar y}, si K_1 est la plus petite
sous-extension de k(\bar y) sur laquelle il est
défini, alors siK_1 est étale sur Y,
et Y_1 tel que \bar u provient X' \times_Y Y_1 \to X'' \times_Y Y_1.
d'un « propre »
P. — le cas, en introduisant \underline{\mathrm{Hom}}_X(X', X'')\underline{\mathrm{Isom}}_X(X', X''), on peut supposer que
X' = X, d'autre part, on peut supposer inversement Z = X'' comme
(quitte à le vérifier pour comme de l'image de
X_{\bar y} \xrightarrow{\ \bar u\ } Z_{\bar y} \to Z). L'hyp. indique que
(SGA IX 6.2.) Z_y est la fibre . ZX \times_Y Y_1 peut supposer contenue dans k(\bar y), que
soit engendré par k(y) \to k
Soit Y_1 le revêtement de Y en y_1,
\begin{tikzcd}
X \arrow[d] & X_1 \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & Y_1 \arrow[l]
\end{tikzcd}
Z \approx X \times_Y Y_1, Y_1. X_1 est étale sur X
propre, et les de profondeur donnent un
X-isom. X_1 \approx Z, ce qui achève la démonstration.
Cela généralise SGA IX 6.1., 6.2. … Ne pas confondre
avec les résultats de SGA X, où on prend une fibre génériquevraie (en il y faut supposer que f propre
…).
Lemme 2. Soit X \to Y un morphisme de type fini, avec Y loc.
noeth. et univ. japonais. Alors pour tout faisceau d'ensembles constructible
F sur X, f_{*}(F) est constructible.
Standard
univ. japonais
Lemme 3.X schéma connexe noeth., (X_i) une
partition finie en parties loc. fermées, G un gpe fini. Supposons queConsidérons
l'ensemble desH^1(X_i, G) sont finis.Pour tout i,
Alors l'application
H^1(X, G) \longrightarrow \prod_i H^1(X_i, G)
est à : fibres finies. En particulier, si pour tout i,
H^1(X_i, G) est fini, kif kif pour H^1(X, G).
« kif kif » est bien ce que porte la page
Théorie de recollement des faisceaux étales, en utilisant lemme 2. Et
le fait suivant : Lemme 4. Si F, G sont des faisceaux étales
constr. sur X noethérien, alors \underline{\mathrm{Hom}}(F, G) est un
ens. fini.
PropositionVo Main PropositionS schéma
noeth. univ. japonais, G un gpe fini. Considérons
Pour tout X de t.f. sur S, H^1(X, G) est fini.Pour tout sous-schéma intègre affineS_0 de S, \ne \emptyset tel S' de S_0, tout schéma
affine lisse de t. fini X sur S', à fibres géom. connexes non
vides, H^1(X, G) est fini.Pour tout S', X comme dessus, S' et tout
ouvert non vide U de X, il existe un U' de U tel
que H^1(X|U', G) soit fini.
Je bien ceci qui
Pour tout s \in S, et tout schéma\bar X de
type fini non affine connexe sur ,
H^1(\bar X, G) est finiPour tout schéma affine intègre S'comme dans (ii), et tout H,
H^1(S', H) est fini.
LorsqueH est commutatif, on affaiblir b) en y remplaçant
H par G.
Dém. (ii) et (iii) résultent aussitôt lemme
3. Pour prouver que au contraire pour (iv), on doit utiliser et
plus lemme 1.
Cor1 Supposons que G est premier aux car.
résiduelles. Alors Supposons que pour tout
sous-schéma affine intègre non S_0 de S, et tout ouvertdenseS' de S_0, et pour tout sous-groupe H
de G \times G, on ait H^1(S', H) fini. Alors pour tout X de t.f. sur
S, H^1(X, G). Or comme ci-dessus, il suffit de faire
la condition (iv) H
Corollaire 2 Conditions équivalentes :
Pour tout X de t.f. sur Y, et tout gpeG premier
aux car. résiduelles , on a H^1(X, G) finiIdem, avec X affine
intègre S_0 et S'_0
NB. Dans le cor. 1, on utilise le fait pour h
avec rg. de , pour tout X de t.f. sur et G premier :
le cas de , H^1(X, G) est
Voyons comment ceci peut être prouvé par les méthodes envisagées ici.
finir si le
Récurrence sur \dim X. lemme 3, on
est ramené au cas où connexe. Si \dim X = 1, X est
lisse et projectif c'est facile
(réduction au cas de Abhyankar) ayant un lemme de Serre–Lang.
c'est dû à Serre–Lang.
Si \dim X \geq 2, on une fibrationlisseX \to Y, \dim Y < \dim X, si on , l'idée, de
les par hyp. de récurrence
Rmq.X sur k, pour tout X de le cas de . Alors la même chose fini.
tout X de t.f. sur k est vrai pour
« \pi_1 et \mathrm{Pic}^\tau birationnels » (pages 59 et 60)
\pi_1 et Pic^\tau birationnels
Grothendieck numérote cette page 1
Th. Soit X préschéma alg. sur k alg. clos. Alors \pi'_1(X) =
limite projective des groupes quotients discrets de \pi_1(X)
d'ordre premier à p, est de type fini.
Grâce à « van Kampen », on peut supposer X affine, puis X affine et
normal [sinon, X' \times_X X' \rightrightarrows X' \to X, et \pi_1(X) est engendré par
\pi'_1(X') et un fini de générateurs correspondant aux composantes
irréd. de X' \times_X X', donc il en est de de type profini,
(p)].
Si \dim X = 0, trivial.
Si \dim X = 1, théorie de la spécialisation du groupe fondamental nous
ramène au cas de la caractéristique 0, où on les
résultats par voie transcendante.
Si \dim X \geq 2, on considère un revêtement \bar X^n \longrightarrow \mathbf{P}^r_k et un sous-espace lin. L^{r-n+1}H, défini sur une ext. alg.
closeK de k, on peut
C = \bar X^n \times_{\mathbf{P}^r_k} L^{r-n+1}
qui une courbe normale de sur K, « générique », et
alors on que
\pi_1(C) \longrightarrow \pi_1(X)
est surjectif []. Donc \pi'_1(C) \to \pi'_1(X) l' aussi,
O.K.
QuestionX normale complète, Y \subset X : alors
\pi_1(X - Y) est-il le groupe engendré par les
groupes d'inertie wild et les composantes de codim. 1 de
Y, est-il top. de type fini ??