Cote n° 29 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration

« Finitude (Pbs et conjectures) », suite (pages 41 à 45)

41la page est traversée de traits de crayon gras et d'un griffonnage qui recouvrent une partie de l'écriture ; ce qui suit est ce qui en reste lisible

\(A\) anneau noethérien, \(x, y \in A\)

a) \(A/x\), \(A/y\) réguliers intègres de dim 1

b) \(A\) complet […] pour la topologie définie par \(xy\) un mot est porté en interligne au-dessus du mot rayé, et n'est pas lisible : c'est l'hypothèse elle-même qui reste indéterminée

\begin{tikzcd}
\hat{A}^{(x)} & & \hat{A}^{(y)} \\
& A \arrow[ul] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

\[ \hat{A}^{(x,y)} = k[[x,y]] \]

\(\hat{A}^{x} = \left\{ \sum a_{\alpha\beta}\, x^{\alpha} y^{\beta} \right\} = k[y][[x]]\) (seul un nb fini de termes, pour \(\alpha \leq N\) donné, sont non nuls)

\(A = \left\{ \sum a_{\alpha\beta}\, x^{\alpha} y^{\beta} \right\}\) (seul un nb fini des \(a_{\alpha\beta}\), pour \(\alpha + \beta \leq N\) donné, sont non nuls)

\(\hat{A}^{y} = \left\{ \sum a_{\alpha\beta}\, x^{\alpha} y^{\beta} \right\} = k[x][[y]]\) (seul un nb fini des termes, pour \(\beta \leq N\) donné, sont non nuls)

à droite de la page, un croquis à l'encre : deux axes portés \(\beta\) et \(\alpha\), et une courbe qui découpe la région des indices

42Prouvé c) Modérato conjecture d'invariance birationnelle de la ramification modérée [si \(X\) non […] projectif] (qui donne un sens au pb.) et procéder comme b), a) [Lefschetz, résolution normalisation, Bertini…] on est ramené […] à une surface courbe […], diviseur à croisements normaux, ok.

2) Groupe fondamental local.

\(X\) spectre schéma noeth., \{ complet ; str. local et bon \}. \(U\) un ouvert. […]

• a)\(\pi^t_1(U)\) de type fini
• b)\(\pi'_1(U)\) de présentation finie

Via résolution, et conjecture de fameuse (invariance birationnelle) dans le cas a), on doit s'en tirer, en se ramenant aux énoncés analogues pour le 1)…

vérifier si c'est nécessaire

a) Par descente, on est ramené au cas \(X\) normal, et par hyperplan [du moins si \(U = X - \text{origine}\)] on […] où \(\dim X = 2\). On dispose alors de Abhyankar et cela doit marcher …

43la page entière est barrée d'un long trait de crayon

\(\mathfrak{X}\) [pré]schéma formel loc. noeth., \(\mathfrak{X}_0\) un sous-schéma de définition, \(\mathfrak{X}_0 = V(\mathcal{J})\).

On va définir la catégorie \(\mathrm{Coh}(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0)\) des « Modules cohérents finis de \(\mathfrak{X}\) mod \(\mathfrak{X}_0\) ». Soit \(\mathrm{Coh}(\mathfrak{X})\) la catégorie des schémas formels finis Modules cohérents sur \(\mathfrak{X}\). Soit Soit \(\mathfrak{S}\) l'ensemble des flèches \(u\) de \(\mathrm{Coh}(\mathfrak{X})\) telles que \(\operatorname{Ker} u\) et \(\operatorname{Coker} u\) soient […] […] tués par une puissance de \(\mathcal{J}\). Alors l'ens. \(\mathfrak{S}\) satisfait aux axiomes qu'il faut pour former une catégorie de fractions [N.B. on […] ; en pratique on prend la sous-catégorie épaisse des Modules cohérents tués par une puiss. de \(\mathcal{J}\)]. \(\mathrm{Coh}(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0)\) est la catégorie des fractions.

Exemple. Soit \(X\) propre sur \(Y = \operatorname{Spec} A\), \(A\) noeth. séparé et complet pour l'idéal \(I\), \(Y_0 = V(I)\), \(X_0 = X \times_Y Y_0\), \(\mathfrak{X}\) le complété formel de \(X\). Alors

\begin{tikzcd}
\mathrm{Coh}(\mathfrak{X}) & \mathrm{Coh}(X) \arrow[l, "\approx"'] \\
\mathrm{Coh}(\mathfrak{X})_{\mathrm{nilp}} \arrow[u] & \mathrm{Coh}(X)_{\mathrm{nilp}} \arrow[u]
\end{tikzcd}

par le th. d'existence, \(\mathrm{Coh}(X)_{\mathrm{nilp}}\) étant les Modules à support \(\subset X_0\). On trouve \(\mathrm{Coh}(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0) \approx \mathrm{Coh}(X - X_0)\) !

443) Théorèmes de finitude et simultanéité

Comment les groupes fondamentaux des fibres (d'un morphisme de type fini : on désire des résultats genre constructibilité), qu'on […] a), b), c) :

c'est fait

• a)Majoration « group-theoretical » uniforme dans les cas de finitude dans \(\pi_1(X_{\bar s})\), si \(X/S\) propre O.K.
• b)Majoration uniforme dans des cas de finitude et de […] utiles pour les \(\pi'_1(X_{\bar s})\), ou mieux : la structure de \(\pi'_1(X_{\bar s})\) est fonction constructible de \(s\)
• c)Majoration uniforme dans les cas de finitude de \(\pi^t_1(X_{\bar s})\).

Il semble que les méthodes qui résoudront 1) résoudront également 3).

45la page entière est barrée d'un long trait de crayon

On définit une catégorie \(R(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0)\) ainsi. \(R(\mathfrak{X}) = \) catégorie des \(\mathfrak{X}\)-préschémas formels finis sur \(\mathfrak{X}\). On définit la catégorie des flèches \(\mathfrak{S}\) [isom. mod \(\mathfrak{X}_0\)] par : \(u : \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}''\) est un isom. mod \(\mathfrak{X}_0\) sss l'homom. d'Algèbres \(\mathcal{A}'' \to \mathcal{A}'\) correspondant est un isom. de Modules mod \(\mathfrak{X}_0\). On vérifie qu'on obtient un calcul de fractions à droite [détail bien compliqué, détail bien […] de bien, explication]. La catégorie quotient est notée \(R(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0)\).

Exemple. Reprenons l'exemple précédent. Alors \(R(\mathfrak{X}) \approx R(X)\) par le Théorème de comparaison, donc \(R(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_0)\) est équivalente à \(R(X/X_0)\), qui à son tour est équivalent à \(R(X - X_0)\).

à vérifier

[\(R(X/X_0) \to R(X - X_0)\), c'est […] facile comme on vérifie directement, c'est […] comme on voit […] : le […] global du Main Theorem par ex. …]

« Th. de finitude relatif pour \(\pi_1\) » (pages 46 à 57)

46Th. de finitude relatif pour \(\pi_1\)

47Grothendieck numérote cette page I, et les suivantes II à VI

[…]

fid. plat

Lemme 1. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme […] de préschémas loc. noethériens, de type f., à fibres géom. connexes, […] noeth. avec \(Y\) intègre de point gén. \(y\), et soient soient \(X'\), \(X''\) deux sous-schémas de \(X\), tels que \(X'_{\bar y}\) et \(X''_{\bar y}\) soient \(K_{\bar y}\)-isomorphes […]. Alors \(\exists\) revêtement fini étale […] \(Y_1\) de \(Y\) tel que \(X' \times_Y Y_1\) et \(X'' \times_Y Y_1\) soient \(X_{Y_1}\)-isomorphes.

Plus précisément, […] tel homom. donné \(\bar u : X'_{\bar y} \to X''_{\bar y}\), si \(K_1\) est la plus petite sous-extension de \(k(\bar y)\) sur laquelle il est défini, […] alors si \(K_1\) est étale sur \(Y\), […] et \(Y_1\) […] tel que \(\bar u\) provient […] \(X' \times_Y Y_1 \to X'' \times_Y Y_1\).

[…] d'un « propre » […]

P. — […] le cas, en introduisant \(\underline{\mathrm{Hom}}_X(X', X'')\) \(\underline{\mathrm{Isom}}_X(X', X'')\), on peut supposer que \(X' = X\), d'autre part, on peut supposer inversement \(Z = X''\) comme […] (quitte à le vérifier pour […] comme […] de l'image de \(X_{\bar y} \xrightarrow{\ \bar u\ } Z_{\bar y} \to Z\)). L'hyp. indique que (SGA IX 6.2.) \(Z_y\) […] est la fibre […]. \(Z\) \(X \times_Y Y_1\) […] peut supposer contenue dans \(k(\bar y)\), […] que […] soit engendré par […] \(k(y) \to k\) […]

49Soit \(Y_1\) le revêtement de \(Y\) en \(y_1\), […]

\begin{tikzcd}
X \arrow[d] & X_1 \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & Y_1 \arrow[l]
\end{tikzcd}

\(Z \approx X \times_Y Y_1\), \(Y_1\) […]. […] \(X_1\) est étale sur \(X\) propre, et les […] […] de profondeur […] donnent un \(X\)-isom. \(X_1 \approx Z\), ce qui achève la démonstration.

[…]

NB. […] on […] […] :

\[ \pi_1(X_{\bar y}, \xi) \to \pi_1(X, \xi) \to \pi_1(Y, \zeta) \to 0 \]

Cela généralise […] SGA IX 6.1., 6.2. … Ne pas confondre avec les résultats de SGA X, où on prend une fibre générique vraie (en […] il y faut supposer que \(f\) […] propre …).

51Lemme 2. Soit \(X \to Y\) un morphisme de type fini, avec \(Y\) loc. noeth. et univ. japonais. Alors pour tout faisceau d'ensembles constructible \(F\) sur \(X\), \(f_{*}(F)\) est constructible.

Standard

univ. japonais

Lemme 3. \(X\) schéma connexe […] noeth., \((X_i)\) une partition finie en parties loc. fermées, \(G\) un gpe fini. Supposons que Considérons l'ensemble des \(H^1(X_i, G)\) sont finis. Pour tout \(i\), Alors […] l'application

\[ H^1(X, G) \longrightarrow \prod_i H^1(X_i, G) \]

est à […] : fibres finies. En particulier, si pour tout \(i\), \(H^1(X_i, G)\) est fini, kif kif pour \(H^1(X, G)\). « kif kif » est bien ce que porte la page

[…] Théorie de recollement des faisceaux étales, en utilisant lemme 2. Et le fait suivant : Lemme 4. Si \(F\), \(G\) sont des faisceaux étales constr. sur \(X\) noethérien, alors \(\underline{\mathrm{Hom}}(F, G)\) est un […] ens. fini.

Proposition V^o Main Proposition \(S\) schéma […] noeth. univ. japonais, […] \(G\) un gpe fini. Considérons […]

53

• (i)Pour tout \(X\) de t.f. sur \(S\), \(H^1(X, G)\) est fini.
• (ii)Pour tout sous-schéma […] intègre affine \(S_0\) de \(S\), \(\ne \emptyset\) […] tel […] \(S'\) de \(S_0\), tout schéma [affine] lisse de t. fini \(X\) sur \(S'\), à fibres géom. connexes non vides, \(H^1(X, G)\) est fini.
• (iii)Pour tout \(S'\), \(X\) comme dessus, \(S'\) […] et tout ouvert non vide \(U\) de \(X\), il existe un […] \(U'\) de \(U\) tel que \(H^1(X|U', G)\) soit fini.

Je […] bien ceci qui […]

• (iv) a)Pour tout \(s \in S\), et tout schéma \(\bar X\) de […] type fini non affine connexe sur […], \(H^1(\bar X, G)\) est fini
• b)Pour tout […] schéma affine intègre \(S'\) […] [comme dans (ii)], et tout […] \(H\) […], \(H^1(S', H)\) est fini.

Lorsque \(H\) est commutatif, on […] affaiblir b) en y remplaçant \(H\) par \(G\).

Dém. […] (ii) et (iii) résultent aussitôt […] lemme 3. Pour prouver que […] au contraire pour (iv), on doit utiliser […] et plus lemme 1.

55Cor¹ Supposons que \(G\) est premier aux car. résiduelles. Alors […] Supposons que pour tout sous-schéma affine intègre non […] \(S_0\) de \(S\), et tout ouvert dense \(S'\) de \(S_0\), et pour tout […] sous-groupe \(H\) de \(G \times G\), on ait \(H^1(S', H)\) fini. Alors pour tout \(X\) de t.f. sur \(S\), \(H^1(X, G)\) […]. Or comme […] ci-dessus, il suffit de faire […] la condition (iv) […] \(H\) […]

Corollaire 2 Conditions équivalentes :

• (i)Pour tout \(X\) de t.f. sur \(Y\), et tout gpe \(G\) premier aux car. résiduelles […], on a \(H^1(X, G)\) fini
• (ii)[…] Idem, avec \(X\) […] […] affine intègre \(S_0\) et \(S'_0\) […]

NB. Dans le cor. 1, […] on utilise le fait […] pour […] \(h\) […] avec rg. de […], […] pour tout \(X\) de t.f. sur […] et \(G\) premier : le cas de […], \(H^1(X, G)\) est […]

Voyons comment ceci peut être prouvé par les méthodes envisagées ici.

57finir si le […]

[…] Récurrence sur \(\dim X\). […] […] lemme 3, on est ramené au cas où […] connexe. Si \(\dim X = 1\), \(X\) est lisse et […] […] projectif c'est facile (réduction au cas de Abhyankar) […] ayant un lemme de Serre–Lang. […] c'est dû à […] Serre–Lang.

Si \(\dim X \geq 2\), on […] une fibration lisse \(X \to Y\), \(\dim Y < \dim X\), […] si on […] […], l'idée, de […] les […] par hyp. de récurrence […]

Rmq. […] \(X\) […] sur \(k\), […] pour tout […] […] \(X\) de […] le cas de […]. Alors la même chose […] fini. […] […] tout \(X\) de t.f. sur \(k\) […] est vrai pour […]

« \(\pi_1\) et \(\mathrm{Pic}^\tau\) birationnels » (pages 59 et 60)

59\(\pi_1\) et Pic\(^\tau\) birationnels

60Grothendieck numérote cette page 1

Th. Soit \(X\) préschéma alg. sur \(k\) alg. clos. Alors \(\pi'_1(X) = \) limite projective des groupes quotients discrets de \(\pi_1(X)\) d'ordre premier à \(p\), […] est […] de type fini.

Grâce à « van Kampen », on peut supposer \(X\) affine, puis \(X\) affine et normal [sinon, […] \(X' \times_X X' \rightrightarrows X' \to X\), et \(\pi_1(X)\) est engendré par \(\pi'_1(X')\) et un […] fini de générateurs correspondant aux composantes irréd. de \(X' \times_X X'\), donc il en est de […] […] de type profini, […] \((p)\)].

Si \(\dim X = 0\), trivial.

Si \(\dim X = 1\), théorie de la spécialisation du groupe fondamental nous ramène au cas de la caractéristique 0, où on […] […] les résultats par voie transcendante.

Si \(\dim X \geq 2\), on considère un revêtement […] \(\bar X^n \longrightarrow \mathbf{P}^r_k\) et un […] […] [sous-espace lin. \(L^{r-n+1}\)] \(H\), défini sur une ext. alg. close \(K\) de \(k\), on peut […]

\[ C = \bar X^n \times_{\mathbf{P}^r_k} L^{r-n+1} \]

qui […] une courbe normale de […] sur \(K\), […] « générique », et alors on […] que

\[ \pi_1(C) \longrightarrow \pi_1(X) \]

est surjectif [[…]]. Donc \(\pi'_1(C) \to \pi'_1(X)\) l'[…] aussi, O.K.

Question \(X\) normale complète, \(Y \subset X\) […] : alors \(\pi_1(X - Y)\) est-il le […] groupe […] […] engendré […] par les groupes d'inertie wild […] et les composantes de […] codim. 1 de \(Y\), est-il […] top. de type fini ??