Fonds Grothendieck, cote n° 29, pages 21–40

« Données de ramification sur un schéma », suite (pages 21 à 33)

faisceau associé au préfaisceau précédent (NB la condition canularesque mise sur les (D_i) assure que l'on a bien un préfaisceau). Alors localement pour la topologie étale, on a donc une situation (D_i) comme dans a). Cela suffit pour définir une donnée de ramification \underline{R} sur B, généralisant d'ailleurs celle envisagée dans a) (du moins lorsque la famille (D_i)_{i \in I} de a) satisfait à la condition supplémentaire locale qu'on vient de formuler). Je vois deux cas particuliers ayant de l'intérêt, et ) où \underline{C} peut être défini en termes d'un diviseur D donné sur S : « sur B » sur la page, pour « sur S » ; et le \underline{C} de la dernière ligne est laissé en blanc, la machine ne portant pas les lettres soulignées de ce tapuscrit — comme les flèches et les lettres grecques, il est restitué ici d'après le texte

1o) S est localement noethérien, D est à croisements normaux, on prend comme D_i les composantes irréductibles locales régulières de D (qui ne sont définies que localement pour la topologie étale).

2o) S est au dessus d'un préschéma T, D est à croisements normaux relativement à T, on prend comme D_i les composantes locales lisses sur T (qui ne sont définies que localement pour la topologie étale). la lettre est surfrappée sur la page ; le relativement à T de la ligne précédente demande T

Dans le cas 1o), la catégorie \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S) est équivalente à une sous-catégorie pleine de la catégorie des revêtements de S, et sauf erreur (il faudrait le vérifier) il en est de même dans le cas 2o). Les revêtements en question s'appellent, dans leur cas 1o), revêtements modérément ramifiés au sens large relativement au diviseur D (NB on vérifie en effet que c'est une notion plus large que celle de « revêtement modérément ramifié par rapport à D », (signifiant : par rapport à la famille réduite à D). Le théorème d'Abhyankar permet de caractériser ces revêtements par la condition d'être étales sur S - \mathrm{supp}\,D, normaux en les points au dessus de \mathrm{supp}\,D, toute composante irréductible en domine une de S, enfin ils sont modérément ramifiés au sens classique en les points maximaux de D. Dans le cas 2o, il y aurait lieu d'appeler les revêtements obtenus « modérément ramifiés pour D, relativement à la

base T ». Lorsque T est régulier, les notions 1o et 2o coïncident. Le théorème de spécialisation pour le groupe fondamental tame peut se démontrer, par la technique de SGA 1, quand on utilise la notion de revêtement modérément ramifié au sens large, relativement au diviseur ~~dans les \underline{s}_T~~ D_\xi (D étant à croisement normaux relativement à T, S propre et lisse sur T).

Remarques. Evidemment, pour tout S' objet de \underline{Et}_S, on définit de façon évidente \mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{\ill{}}(S'), en considérant la restriction de \underline{R} à \underline{Et}_{S'} = (\underline{Et}_S)_{/S'}. Pour S' variable, on obtient ainsi une catégorie fibrée \underline{\mathrm{Rev}}^{\underline{R}} sur \underline{Et}_S, dont les fibres \mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{S'} sont les \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S'), et un foncteur cartésien (*) \qquad \underline{r} : \underline{\mathrm{Rev}}^{\underline{R}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Rev}} , fibrée sur \underline{Et}_S, où on désigne pour abréger par \underline{\mathrm{Rev}} la catégorie des revêtements des différents objets S' de \underline{Et}_S. (NB on suppose que pour tout S', le foncteur réalisation géométrique sur \underline{C}_{S'} est à valeurs dans les revêtements de S', et que le foncteur réalisation géométrique sur \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S') est bien défini). Il faut insister sur le fait que pour nous, la « donnée de ramification » \underline{R} est un objet de nature essentiellement auxiliaire, destiné à définir la catégorie fibrée \underline{\mathrm{Rev}}^{\underline{R}} (qui est même un champ) et le foncteur cartésien \underline{r} de (*) ; c'est (*) qui est l'objet véritable de l'étude. On regardera donc deux données de ramification \underline{R}, \underline{R}' comme essentiellement équivalentes, si elles définissaient des foncteurs (*) équivalents (par une équivalence, bien sûr, induisant l'identité sur \underline{\mathrm{Rev}}). On peut se convaincre sur des exemples que \underline{R} et \underline{R}' peuvent avoir des allures très différentes. Ainsi, sous les conditions de l'exemple 3), si \underline{R}' est défini par une sous-catégorie fibrée \underline{C}' de \underline{C}

telle que pour tout objet M d'un \underline{C}_{S'}, il existe un recouvrement de S' par des S'_i tel que pour tout i, M_{S'_i} soit ~~dominé~~ majoré par un M_i objet de \underline{C}'_{S'_i}, et supposant que le foncteur réalisation géométrique pour \underline{R}' est celui induit pour le foncteur réal. géom. pour \underline{R}, — alors on constate que \underline{R} et \underline{R}' sont « équivalents ». Comme cas particulier, signalons l'exemple de la donnée kummérienne a), dans le cas où les D_i admettent des équations globales par des sections c_i de \underline{O}_S. Alors on peut considérer le système projectif des Z^{\underline{n}}_{\underline{c}}, pour \underline{n} = (n_i)_{i \in I} variables, premiers ~~aux caractéristiques résiduelles~~ à la caractéristique de S (supposée exister). Considérons de plus le système projectif des groupes Z_{\underline{n}} = \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}, et supposons donné un isomorphisme entre celui-ci et le système projectif des \mu_{\underline{n}} (il en existe lorsque S est un schéma sur un corps algébriquement clos, par exemple). On peut alors considérer les Z^{\underline{n}}_{\underline{c}} comme des schémas à groupes Z_{\underline{n}}, formant un système projectif, donc on est sous les conditions de l'exemple 2, définissant une donnée de ramification \underline{R}' sur S. On constate alors que cette donnée est équivalente à la donnée \underline{R} décrite dans le cas particulier kummérien a).

Comme autre exemple de données de ramification équivalentes, signalons le suivant, où \underline{R} est la donnée de ramification considérée dans l'exemple 1. On se donne un revêtement principal P de S, de groupe G' (opérant à droite), et on suppose que G opère dessus librement à gauche, en commutant aux opérations de G'. Soit alors Z' = Z \times^G P, considéré comme revêtement à groupe d'opérateurs G', d'où une donnée de ramification \underline{R}'. Cette dernière est équivalente à \underline{R}, comme on voit en considérant les équivalences ~~quasi-inverses~~ de ~~entre~~ \underline{\mathrm{Rev}}^{\underline{R}} dans \underline{\mathrm{Rev}}^{\underline{R}'} opérateurs

évidente lorsque P = G'_S avec l'opération régulière droite de G', et l'opération gauche de G est donnée par un monomorphisme G \to G' ; on se ramène à ce cas particulier par localisation étale.

On peut se proposer de normaliser la notion de donnée de ramification, pour éliminer l'arbitraire dans le choix d'un \underline{R}. Mais alors il semble qu'on soit infailliblement conduit à prendre comme catégorie \underline{C} la catégorie \mathrm{Rev}^{\underline{R}} elle-même qu'on se propose de construire et d'étudier ! (Comparer avec la situation analogue pour les relations entre sites et topos, l'objet auxiliaire étant le site, l'objet intrinsèque de nature géométrique étant le topos associé à ce site).

2. Propriétés de la catégorie \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S). Le groupe fondamental \pi_1^{\underline{R}}(S,\ ).

On constate immédiatement que la catégorie \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S) hérite de toutes les propriétés d'exactitude établies pour la catégorie des revêtements étales d'un schéma donné, et dont une partie sont énoncés dans Exp V no4 (conditions G1 à G3). De façon précise, on peut dire que dans la catégorie \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S), les limites projectives finies et les limites inductives finies existent, et satisfont aux mêmes propriétés d'exactitude que dans la catégorie des ensembles (telle l'exactitude du foncteur changement de base dans cette catégorie) ; en particulier tout morphisme de la catégorie se factorise en le produit d'un épimorphisme et d'un monomorphisme, les épimorphismes et monomorphismes sont effectifs ; enfin tout monomorphisme est un isomorphisme avec un sommande direct. On fera attention que le foncteur « réalisation géométrique » sur \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S) commute bien aux limites inductives finies (et en particulier aux sommes finies), mais non pas en général aux limites projectives finies, et en particulier, pas aux produits de deux objets.

Pour appliquer la théorie de Galois générale de V 4, il faut dis-

poser de plus d'un foncteur fibre F : \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S) \longrightarrow (\text{Ens finis}) , (conditions G4, G5 de V 4) i.e. d'un foncteur exact. Dans le cas de l'exemple 1, tout point géométrique de Z fournit un tel foncteur fibre, et ce foncteur est conservatif (condition G6) si on suppose que toute partie ouverte et fermée de Z stable par G est vide ou égale à Z. De même, dans le cas de l'exemple 2, on obtient un foncteur fibre en prenant un point géométrique de Z = \varprojlim Z_i. Pour obtenir un foncteur fibre dans le cas plus général de l'exemple 3, on choisit un point géométrique s de S qui n'appartienne pas à « l'ensemble de ramification » de \underline{R}, i.e. tel que pour tout S' dans \underline{Et}_S et tout objet M de \underline{C}_{S'}, le revêtement à opérateurs (groupe G) \underline{r}(M) de S' soit principal en les points de S' au dessus de l'image de s dans S. Alors on constate que pour tout objet T de \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S), \underline{r}(T) est étale sur S en s, et le foncteur T \mapsto \underline{r}(T)(s) (fibre géométrique en s) est bien exact. Pour qu'il soit conservatif, il faut et il suffit que le site \underline{C} (pour la topologie image inverse de celle de \underline{Et}_S) soit connexe ; si on suppose, avec les notations de l'exemple 3, que pour tout M, définissant (\underline{r}(M), G), \underline{r}(M)/G \to S' soit un isomorphisme (ce qui sera sans doute le cas dans tous les cas intéressants), alors il revient au même de dire que S est connexe. Appliquant la théorie de V 4, on trouve donc un groupe pro-fini, noté \pi_1^{\underline{R}}(S, s), et une équivalence de la catégorie des ensembles finis où ce groupe opère continûment, avec la catégorie \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S).

3. Fonctorialités pour S et \underline{R} variables.

Considérons un morphisme f : T \to S de schémas, d'où un foncteur

continu f^{\circ} : \underline{Et}_S \longrightarrow \underline{Et}_T . On suppose donné une donnée de ramification \underline{R}_S = (\underline{C}_S, \underline{s}_S) sur S, une autre \underline{R}_T = (\underline{C}_T, \underline{s}_T) sur T, et un foncteur noté M \mapsto M \times_S T : \underline{C}_S \to \underline{C}_T, transformant morphismes cartésiens en morphismes carétsiens et rendant commutatif de diagramme « carétsiens » et « rendant commutatif de diagramme » sur la page

\begin{tikzcd} \underline{C}_S \arrow[r] \arrow[d] & \underline{C}_T \arrow[d] \\ \underline{Et}_S \arrow[r, "f^{\circ}"] & \underline{Et}_T \end{tikzcd}

Considérons de plus le carré de foncteurs

\begin{tikzcd}[column sep=huge] \underline{C}_S \arrow[r] \arrow[d, "\underline{s}_S"'] & \underline{C}_T \arrow[d, "\underline{s}_T"] \\ (\mathrm{Sch})_{/S} \arrow[r, "X \mapsto X \times_S T"'] & (\mathrm{Sch})_{/T} \end{tikzcd}

et supposons donné un morphisme u entre les deux composés : u(M) : \underline{s}_T(M \times_S T) \longrightarrow \underline{s}_S(M) \times_S T qui, pour tout M fixé sur S' \in \mathrm{Ob}\,\underline{Et}_S, soit un f^{\circ}(S')-morphisme. Sous ces conditions, on définit de façon évidente un foncteur, noté f^{\circ} si une confusion n'est pas à craindre (ou M \mapsto M \times_S T), de \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S) dans \mathrm{Rev}^{\underline{R}_T}(T) et un homomorphisme de foncteurs composés

\begin{tikzcd}[column sep=huge] \mathrm{Rev}^{\underline{R}_{(S)}}(S) \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Rev}^{\underline{R}_{(T)}}(T) \arrow[d] \\ \mathrm{Rev}(S) \arrow[r, "X \mapsto X \times_S T"'] & \mathrm{Rev}(T) \end{tikzcd}

Cet homomorphisme est un isomorphisme dans certains cas, par exemple sous les conditions de l'exemple 3, lorsqu'on suppose (sous les notations d'icelui) que pour tout sous-groupe H de G, le passage au quotient \underline{s}(M)/H commute au changement de base T \to S ; cette condition sera vérifiée

par exemple si T \to S est plat, ou dans les cas kummériens a) envisagés plus haut (en supposant que les images inverses des D_i dans T existent, et prenant ces derniers pour définir une donnée de recollement sur T).

On recule devant la tâche d'expliciter une propriété de transitivité pour un composé U \to T \to S, et jetant provisoirement un voile pudique sur ces abîmes, nous allons remarquer plutôt que le foncteur \mathrm{Rev}^{\underline{R}_{(S)}}(S) \to \mathrm{Rev}^{\underline{R}_{(T)}}(T) qu'on vient de construire a le bon goût d'être exact. Si alors, dans les conditions de l'exemple 3, t est un point géométrique de T, non ramifié pour \underline{R}_{(T)} dont l'image dans S est non ramifié pour \underline{R}_{(S)}, et si on suppose que u dans l'homomorphisme (*) de foncteurs composés induit un isomorphisme sur les fibres géométriques en t, alors les sorites de Exp V impliquent qu'on a un homomorphisme canonique \pi_1^{\underline{R}_{(T)}}(T, t) \to \pi_1^{\underline{R}_{(S)}}(S, s). Ceci s'applique en particulier au cas de données kummériennes type a), ou type b) 1o et 2o, quand on suppose que T \to S est un morphisme régulier resp. lisse (de sorte que les images inverses des D_i satisfont encore aux mêmes conditions de « normal crossings » que D lui-même).

Il y a a expliciter deux cas particuliers importants de fonctorialité. L'un est celui où T \to S est étale, et où \underline{R}_{(T)} est induit par \underline{R}_{(S)} sur S, auquel le ~~foncteur~~ carré nous était déjà connu par ailleurs (et l'homomorphisme de foncteurs composés y est un isomorphisme), puisque l'on dispose d'un foncteur cartésien \underline{\mathrm{Rev}}^{\underline{R}} \to \underline{\mathrm{Rev}} sur \underline{Et}_S. Lorsqu'on suppose de plus T fini sur S, S et T connexes, et qu'on est dans les conditions de l'exemple 3, alors l'homomorphisme sur les groupes fondamentaux est un monomorphisme, dont l'image est le sous-groupe de \pi_1^{\underline{R}}(S, s) défini par le revêtement ponctué T de S. Le deuxième cas est celui où T \to S est un morphisme entier, radiciel et surjectif, et où \underline{R}_{(T)}

est « l'image inverse » de \underline{R}_{(S)}, toujours sous les conditions de l'exemple 3. Alors il est trivial que \mathrm{Rev}^{\underline{R}_{(S)}}(S) \to \mathrm{Rev}^{\underline{R}_{(T)}}(T) est une équivalence, utilisant le résultat analogue pour les revêtements étales de schémas X et X \times_S T (où X ~~est~~ = \underline{s}(M) est un schéma sur S …). En particulier, quand on dispose d'un point géométrique non ramifié de T, on obtient un isomorphisme sur les groupes fondamentaux. Le même raisonnement, après localisation étale à peu près évidente, s'applique au cas kummérien .

J'ai fait allusion plusieurs fois à la donnée de définir une donnée de ramification image inverse d'une donnée de ramification sur S par un morphisme T \to S ; la définition explicite serait nécessairement un peu lourde ; je me borne à signaler que dans le cas où \underline{R} est défini par (Z, G) comme dans l'exemple 1, son image inverse est définie par (Z_T = Z \times_S T, G). L'ennui avec cette définition générale, c'est qu'elle ne s'applique pas directement au cas où \underline{R} est une donnée kummérienne associée à un système (D_i), car la donnée image inverse au sens précis précédent n'est pas la donnée correspondante au système (D_{i\,T}) même à équivalence de catégories fibrées près ; elle lui est seulement « essentiellement équivalente » au sens du no1. Seule une rédaction en forme permettra de se rendre compte s'il y a lieu d'introduire cette notion d'image inverse, ou s'il ne vaut pas mieux donner des conditions axiomatiques sur la donnée (*), sous les conditions de l'exemple 3, qui assurent moralement que \underline{R}_{(T)} est essentiellement équivalente à l'image inverse de \underline{R}_{(S)}. Bien sûr, ces conditions, pour être utiles, doivent s'appliquer directement aux cas kummériens. Ce sera sans doute le parti le plus raisonnable. Il me semble également qu'il serait raisonnable, assez rapidement après les définitions général-

es, de se borner aux données de ramification \underline{R} du type envisagé dans l'exemple 3 ; ce sont les seules sans doute qu'on rencontrera jamais, et les seules aussi où on sait construire le foncteur réalisation géométrique \underline{r} et en dire des choses raisonnables.

Avec l'une ou l'autre approche mentionnée à l'alinéa précédent pour traiter de données de ramifications sur des schémas variables sur S, (et toujours sous les conditions de l'exemple 3 …) on est en condition pour énoncer et démontrer qu'un morphisme fidèlement plat et quasi-compact T \to S est de descente effective pour la catégorie fibrée sur (S, T, T \times_S T, T \times_S T \times_S T) formée des revêtements de type \underline{R}_{(S)} …… Ceci s'appliquera en particulier à la descente fidèlement plate des revêtements kummériens ; c'est utilisé (sans démonstration) à la page 38 des notes de Murre dans le cas de la descente à partir d'un anneau complété, sans compter diverses utilisations de descente à partir d'un localisé strict. Il y a également lieu d'énoncer une propriété de passage à la limite, pour un système projectif (X_i) de schémas quasi-compacts et quasi-séparés à morphismes de transition affines ; cela permettra de ramener ce qui se passe au voisinage d'un point s d'un S à voir ce qui se passe en \mathrm{Spec}(\underline{O}_{S,s}). Par exemple, dans le cas S loc. noeth. normal muni d'une famille (D_i)_{i \in I} de diviseurs réduits, donc où la catégorie des revêtements kummériens s'identifie à une sous-catégorie de la catégorie des revêtements, on trouve que le revêtement X de S est kummérien ssi pour tout s \in S, il en est de même du revêtement induit sur \mathrm{Spec}(\underline{O}_{S,s}), et on peut dans cet énoncé remplacer \underline{O}_{S,s} ~~par~~ son hensélisé ou par son hensélisé strict, voire par son complété si les hypothèses faites restent stables

par passage au complété (par exemple si \underline{O}_{S,s} à fibres formelles géom. normales, par exemple s'il est excellent). Les mêmes observations s'appliqueront sans hypothèse de normalité ou de réduction quelconque, à condition de se borner aux revêtements ~~kummériens~~ mod. ram. galoisiens ; cf no suivant.

4. Cas des revêtements galoisiens. le chiffre du titre est surfrappé sur la page ; le no précédent étant le 3, et le renvoi de l'alinéa qui précède visant « le no suivant », c'est bien le 4

Un revêtement galoisien de type \underline{R} de S, à groupe de Galois G, est un objet X de \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S), sur lequel le groupe fini G opère à droite, de telle façon que dans la catégorie \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S) on obtienne un revêtement principal de l'objet final, i.e. 1o) le morphisme X \times G \to X \times X est un isomorphisme et 2o) le morphisme X \to objet final est couvrant. Comme \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S) est en tous cas une catégorie multigaloisienne, la notion de revêtement galoisien de type \underline{R} s'explicite également en termes des groupes fondamentaux décrivant cette catégorie. On peut enfin l'expliciter en revenant à la définition de \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S), et en exigeant que les revêtements des \underline{s}(M) (M \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}_{S'}) correspondants à X soient principaux de groupe G. Par abus de langage, le revêtement à opérateurs (\underline{r}(X), G) de S s'appellera également revêtement galoisien de type \underline{R} de S. Cet abus de langage ne présente pas d'inconvénient trop sérieux dans le cas où le foncteur de la catégorie des revêtements galoisiens de type \underline{R} de S, dans la catégorie des revêtements à opérateurs de S, défini par le foncteur « réalisation géométrique », est pleinement fidèle, lorsqu'on se borne à prendre comme morphismes dans la première les seuls isomorphismes. (Alors, en effet, pour un revêtement à opérateurs (T, G) donné de S, il existe, à isomorphisme canonique près, au plus un (X, G) galoisien de type \underline{R} dont il provient). Nous allons donner des conditions pour qu'il en soit bien ainsi, en nous plaçant comme d'habitude dans le cas de l'exemple 3. Voici d'abord la condition néc. et suffisan-

te dans le cas particulier de l'exemple 1 : pour tout localisé strict S' d'un point de S, prenant une composante connexe Z'_0 de Z' = Z \times_S S' et son stabilisateur H dans G, et pour deux sous-groupes distingués H_1, H_2 de H et tout isomorphisme u : Z'_0/H_1 \to Z'_0/H_2, compatible avec un isomorphisme \varphi : H/H_1 \to H/H_2, il existe un élément g de H tel que \mathrm{int}(g) applique H_1 sur H_2 et induise \varphi par passage au quotient, et tel que u soit induit par l'endomorphisme g_{Z'_0} de Z'_0 par passage aux quotients. Dans le cas général de l'exemple 3, il faut exiger ceci pour tous les couples (\underline{s}(M), G) sur les divers S' \in \underline{Et}_S.

This condition is satisfied in the case of Kummer data, as one sees by combining 1.10. and 1.15. of Murre's notes. This phenomenon explains why I have been so reluctant (wrongly so) to define ~~Kummer~~ tamely ramified coverings except in the Galois case : in the non galois case, it will have to be not just a covering satisfying some extra conditions, but a covering with some extra structure ; whereas in the Galois case, the extra structure is uniquely determined, if it exists. Note however that not all morphisms (in the usual naive sense) between (even Galois) tame coverings which are not isomorphisms should be considered, only those which come form morphisms in \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S), — that one has to be careful is shown by the counterexample to prop.1.16. of Murre's notes. Also, the natural notion of products of tame coverings, whether galois or not, is not the naïve fibered product over S (which by the way accounts for the complication of the proof of Murre's lemma 4.3.). This shows rather clearly that even in the Galois case, the consideration of the category \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S) is undispensable for a good comprehension of what is really going on. « come form », pour « come from », et « undispensable » sont sur la page

Remarques concernant l'exemple 3 du par. 1 (pages 32 et 33)

Remarques concernant l'exemple 3 du par.1. — La présentation de cet exemple n'est ni élégante ni naturelle, la donnée de \underline{s} et de étant un élément de structure artificiel. Il vaut mieux présenter les choses ainsi, en termes de conditions sur \underline{R}, savoir les suivantes :

a)Pour tout objet M d'un \underline{C}_{S'}, le faisceau étale associé au préfaisceau sur \underline{Et}_{S'} des automorphismes de M est représentable par un schéma en groupes \underline{G}(M) fini et étale sur S (évidemment déterminé à isomorphisme unique près).

Il est évident que G(M) opère sur le schéma relatif \underline{s}(M) = Z.

b)Pour tout objet S' de \underline{Et}_S, tout morphisme dans \underline{C}_{S'} est un épimorphisme, et tout endomorphisme d'un objet de \underline{C}_{S'} est un automorphisme. Pour tout morphisme u : M' \to M dans \underline{C}_{S'}, et tout automorphisme g' de M', il existe un automorphisme g de M tel que gu = ug'.

Cet automorphisme est évidemment unique, de plus la condition précédente implique qu'à u : M' \to M est associé un unique homomorphisme de schémas en groupes G(M') \to G(M) tel que u soit compatible avec les opérations de G(M') et G(M) sur M' et M.

c)Avec les notations précédentes, si l'homomorphisme G(M') \to G(M) est surjectif, et si H désigne son noyau, le morphisme \underline{s}(M') \to \underline{s}(M) induit un ~~morphisme~~ isomorphisme \underline{s}(M')/H \to \underline{s}(M), ~~en fait de~~ ~~un fibré principal sur \underline{s}(M) de groupe~~ (NB on suppose que les \underline{s}(M) sont ~~relativement des~~ relativement affines, de sorte que le passage au quotient a un sens). d)Deux homomorphismes de M' dans M sont, localement pour la topologie étale, déduits l'un de l'autre par composition avec un automorphisme de M. e)Etant donnés deux objets M, M' de \underline{C}_{S'}, il existe une famille couvrante de morphismes S'_i \to S' dans \underline{Et}_S, telle que pour tout i, les images M_i et M'_i de M et M' sur S'_i soient dominés par un même objet M''_i de \underline{C}_{S'_i}.

Lorsqu'on adopte cette présentation, on peut, dans la description des données de ramification kummériennes, se dispenser d'introduire aussi des isomorphismes u : G_{S'} \to \mu_{\underline{n}}\,S'.

Lettre à J.-P. Murre (pages 34 à 38)

Dear Murre,

I am very sorry I did not succeed to convey the intuitive idea behind the general nonsense of my notes. It seems to me that the basic example in order to understand the idea is example 1, where you can take Z to be a standard Kummer covering for definiteness, Z = Z^n_a, and S' (normal, say) ~~normal~~. Intuitively, when you look at coverings of S whose ramification type is not worse than the one of Z over S, you mean that the normalized inverse image Z' of S' over Z is étale. From the birational point of view, assuming S' connected and therefore corresponding to a field extension K' of the field of functions K of S, this means simply that K' is isomorphic to a subextension of an extension L' of the function field L of Z, unramified with respect to the model Z ; when S (and whence Z) is strictly local, hence L'=L, this means simply that K' is isomorphic to a subextension of L, a very reasonable way indeed of interpreting the intuitive fact that S'/S has no worse ramification than Z/S. (NB We assume of course now, for simplicity, that Z is connected, and moreover that Z is the normalisation of S in some finite Galois extension L of K). Note that anyhow, we want that the notion in question should be of local nature for the étale topology, thus we can reduce always to the strictly local case. Now by transport de structure the group G operating on Z must operate on S' (in a way compatible with the operations on Z), and it is immediate that we recover S' from the G-covering Z' of Z as being simply S'=Z'/G. Thus the category of étale coverings of S we are interested in is just equivalent to the catégory of coverings of (Z,G). This latter catégory on the other hand is of a very standard type ; the presence of G does not prevent it to share all the properties of catégories of étale coverings

as developped in Exp VI, and under a mild restriction in the nature of a connectedness assumption, we can say that the category in question is ~~classified~~ completely described by a certain pro-finite group, the so-called fundamental group of (Z,G), which in fact is an extension of G by the usual fundamental group of Z. On the other hand, for these latter considerations, all normality assumptions are completely superfluous. Their main use was to insure that the functor Z' \mapsto Z'/G from étale coverings of (Z,G) to coverings of S is fully faithful ; this latter fact, on the other hand, reduces at once to the case when Z is a principal covering of S, with group G (because this condition will be satisfied when restricting to a non empty open set U of S, and on the other hand the restriction functors to U resp. Z/U are fully faithful, because of normality) ; but in this case descent theory tells us that we get in fact an equivalence of the category of étale coverings of S, and the catégory of étale coverings of (Z,G) :

In most applications however, instead of having just one model for ramification (one Z^n_a say), we have an infinity of such (all Z^n_a say, fixed a and variable n), and the condition on coverings S' of S we are interested in is that the covering should (at least locally) have ramification no worse than one of the Z_i. This situation is described in example two. On the other hand, sometimes the ramification models are not defined globally (for instance in the Kummer case, when we give divisors which are not principal), only locally, in a way that among the set of models given over various open sets (or more generally, objects of the étale site) there are certain compatibility conditions, roughly that the restriction of any model over U to U \cap V has ramification no worse than the restriction of some model given over V. Such an example is

dealt with in example 3, which has the disadvantage of being somewhat involved and artificial in its technical details, but has the merit of allowing explicit construction of the functor « geometric realization ». Otherwise, the set up outlined before the examples seems more natural, and giving a closer grasp of the really essential features of what « ramification data » should really mean. (By the way, one shoul rather say « category of ramification data »).

You are of course right that in the definition of a Galois covering when I assume that the coverings of the various \underline{s}(M) are Galois étale coverings with Galois group G, that beforhand an action of G on X was given, which means that G acts on each of the coverings X(M) of \underline{s}(M) on a way compatible with the base changes \underline{s}(M') \to \underline{s}(M) stemming from arrows M' \to M. In the various examples 1 to 3, this means that the action of G commutes to étale localization on S (i.e. base changes S' \to S in the étale site of S) and to the action of the groups of automorphisms given on the various Z's.

Now let's come back to the case S strictly local ; then (for coverings defined over the whole of S) the general situation of example 3 reduces to the one of example 2, and replacing the Z_i's by suitable connected components, we may assume them connected if we want. For a given Z_i, the étale coverings of (Z_i, G_i) are trivial as coverings of Z_i alone (i.e. forgetting the action of G_i) because Z_i is strictly local too. Therefore the catégory of étale coverings of (Z_i, G_i) is just equivalent to the category of finite sets E on which G_i opérates ; to such an E is associated the constatnt covering E_{Z_i} of Z_i, but G_i operating on it via it's operation on E ; the geometric relaization over S of this is nothing else but Z_i \times^G E, the covering associated to the G-covering « constatnt », « relaization », « opérates » sont sur la page

Z_i of S and the action of G_i on E. When S is again arbitrary, this shows in a rather concrete way, locally (for étale topology), what it means, for a covering S' of S, to be associated to some M : it means that locally it is describable by a representation of an inertial group on a finite set, in the obvious way ; and the extra structure on one S' involved by deducing it from some S, can be described by saying that we give such local representations of S', in such a way that they match together i.e. satisfy some rather evident compatibility condition (This description makes a sense whenever the functor « geometric realization » is faithful — not necessarily fully faithful). The analogous description holds for Galois coverings with Galois group G, namely in the strictly local case, for a fixed Z_i, the category of these is equivalent to the category of finite sets E on which G_i operates on the left, H on the right, G_i and H commuting, in such a way that E is a principal homogeneous space (or, as we say, a torsor) under H ; up to isomorphism, they are classified by \mathrm{Hom}(G_i, H)/H, group homomorphisms mod. interior automorphism. Using this description, one easily proves the criterion I indicated for the « geometric realization-functor » to be fully faithful on the category of Galois coverings of type \underline{R} ; indeed, as usual the question is a local one for the étale topology, which allows one to reduce to the stricly local case.

Your interpretation of the Kummer case in the final formulation of example 3 is indeed the one I had in mind. Also, when I wrote n' \geqslant n, I meant of course the order relation of divisibility (it may be convenient to introduce this order relation explicitly, for simplicity of notations).

I realize that all the indications I have given you so far are extremely sketshy, and as a consequence that I am charging you with a considerable amount of work to put some sense and order into all that. Thus it is I, not you, who should apologize for causing a lot of trouble ! I look forward with great pleasure meeting you in Bures. As I am having some russian and chinese lessons on fridays, I will probably drop by on June 2.

With best regards

« Finitude (Pbs et conjectures) » (pages 39 et 40)

Finitude (Pbs et conjectures)

Théorèmes de finitude pour le groupe fondamental

1) Sur un corps algébriquement clos :

a)X propre/k \implies \pi_1(X) de type fini b)X t.f./k \implies \pi'_1(X) de présentation finie ' indique la partie première à la caractéristique c)X t.f./k \implies \pi^t_1(X) de type fini t indique que la ramification donne des « diviseurs » H ~~d'un corps~~ au corps de fonctions du

[NB. c) plus général que a)] \pi'_1(X) et \pi^t_1(X) sont entourés d'un même trait, et une flèche monte de \pi^t_1(X) vers \pi'_1(X)

X_i \subset X irréd. composant

a) démontré, [par descente réduction au normal, par Bertini au cas d'une courbe, puis théorie de spéc. du gpe fond. et méthode de transcendance ]

~~b) réduction au cas X normal [démontré]~~

b) le cas « type fini » est prouvé

[réduction au cas normal par descente, puis au cas où singularités « jolies » au sens Artin, on utilise alors la suite exacte des \pi_1 i.e. th. de spécialisation du gpe fond., puis au cas d'une courbe normale, au cas d'une courbe où on ne connaît par le th. de spéc. transcendant]

Quid : ceci, on est ramené dans b) au cas X normal [démontré] et [ni résolution] au cas X lisse/k. Si X ~~propre~~ [] résolution au cas d'une surface. d'une surface projective ~~complété~~ diviseurs (à normal crossings). le bas de la page est écrit jusqu'au bord de la feuille et la dernière ligne y est coupée ; les mots portés sous les ratures ne sont pas lisibles à la définition de la numérisation