Cote n° 29, pages 1–20

Cote n° 29 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration

Correspondance avec J.-P. Murre sur le groupe fondamental modéré (pages 1 à 11)

1Titre porté à l'encre en haut de la chemise, souligné : « Tame ramification ». c'est le titre de la main de Grothendieck ; celui de l'inventaire, entre crochets, est des archivistes

J.-P. Murre à A. Grothendieck, Voorschoten, 16 mai 1967 (pages 2 et 3)

2Voorschoten, May 16 1967. Palestrinalaan 11.

Dear Grothendieck,

I am trying to work out your letter with indications. However I have many difficulties and my progress is very slow. Usually I could find out from your manuscripts for what purpose you developped things in such or such a way, but this time I doubt whether I have grasped the essential points. I can understand your set-up only against the lemma of Abhyankar as background, namely instead of giving directly the covering \(r(X)\) (in your notation) of \(S\), you give the ``behaviour'' of the covering over other coverings, namely the \(\underline{s}(M)\), which are of a particular type; apparantly the behaviour over all these \(\underline{s}(M)\) together gives better information than the \(r(X)\) alone. Is this intuitively a reasonable way of thinking over your new set-up?

My main difficulty is that I don't see that for a Galois covering the extra structure is uniquely determined. First the concept of Galois covering itself: After the abstract definition and some variations you write: ( I assume that you have a copy) On peut enfin l'expliciter en revenant à la définition de \(\mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S)\), et en exigeant que les revêtements des \(\underline{s}(M)\) correspondants à \(X\) soient principaux de groupe \(G\). Now in all your examples there is also a group working on the \(\underline{s}(M)\), for instance in example 1 a group \(\mathcal{G}\) working on \(Z\), and this group acts also on the Galois covering \(X\). It seems to me that one must require that the actions of \(G\) and \(\mathcal{G}\) commute; is this correct? On the same and the next page of your letter you explain (for example 1) that the functor \(\underline{r}\) (geometric realization) is fully faithful (restricted to Galois coverings) under certain conditions; this I don't understand at all ( and makes this makes me feel very uncertain, since I expect that this is an important point if one wants to see what is going on). corresponding with « corresponding with », à l'encre bleue en marge, vise « the Galois covering \(X\) » ; les lettres grecques et scriptes de la lettre sont de même ajoutées à la main, la machine ne les portant pas

Some other points: in the final formulation of example 3 you introduce a sheme of groups \(G(M)\); with this formulation do the objects in example 3a, with this formulation, consist out of couples \(M=(\underline{a}, \underline{n})\) and \(G(M) = \mu_{\underline{n}}\)? Also you write: \(\mathrm{Hom}_{S'}(M',M)\) est vide sauf si \(\underline{n}' \geqslant \underline{n}\), auquel cas\dots{}etc\dots, it seems to me that this should be \dotssauf si \(\underline{n}' = \underline{m}\cdot\underline{n}\), auquel cas\dots and where \(\underline{m} = (m_i)_{i \in I}\) is a set of positive integers.

3I realize that I cause you a lot of trouble and work by asking every time for further explanation and that my assistance in writing the exposé is not very large. Therefore I suggest that you answer this letter only in case it is clear from my questions that I have really a misconception of your new set-up (and it would not surprise me if I have\dots). Otherwise I shall try to work out your theory as good as I can and make a preliminary manuscript which we can discuss when I am at Bures (I plan to come June 2). In any case, I hope to complete the definite version during my stay in Bures.

With kind regards, Sincerely yours, J. P. Murre.

J.-P. Murre à A. Grothendieck, Voorschoten, 29 mars 1967 (pages 4 et 5)

4Voorschoten, March 29 1967. Palestrinalaan 11.

Dear Grothendieck,

Enclosed I send you — finally —, in two different covers, the manuscript on the tame fund. group together with the papers which I borrowed from you.

As to the terminology. I have used scheme instead of preschema (without mentioning it, because I expect this will be a general remark in SGA I) but I have not used ``doublet'' because I don't know your final decision on this point. stroke

References. I have made freely references to EGA (also to EGA IV) but only to SGA 1960/61 (with one notable misleading : a reference to SGA X, Cor 3.3 etc, the purity theorem, is a misleading because the proof is only in SGA 1962). I don't know the ``new numbering'' of SGA (you mentioned something about it, but I don't remember) so I have used still SGA I, SGA V etc for the 1960/61 séminaire. SGA 1

I must admit that there are still many points which are not satisfactory in the exposition. Below are some comments, motivations and questions:

p.3 Hyp.1 — Perhaps it would have been nicer to avoid a little longer this assumption. However there is in SGA 1960/61 only a statement about quotients and existence of quotients in case the group is an ordinary finite group (it is only in SGA D that the theorems from TDTE III are proved and the proof is long and subtle!). This is the reason for making the assumption Hyp.1 already here.

p.5 line 6 below: the emphasis on \(H\) ordinary group : same reason.

p.6 (Cor 1.11) In fact this is a general question : I have hesitated a little bit with the word ``covering'' for ``revêtement'' (of course: already used in the title!) Originally revêtement was used as translation for covering for covering (in Lang's papers)! But now there may be confusion with ``covering in some topology'' for instance ``covering in the étale topology'' which is something entirely different. What do you think about this? I don't see what O.K.

5word to use else.

p.19 etc : I expected lemma 4.3 to be almost trivial but when I tried to write a proof I did not see an easier one. Also: the proof of lemma 4.4 is kind of subtle ( but this could be expected).

p.26. line 1: I shall try to find a precise reference.

line 3: the condition : irreducible in Zariski topology is unpleasant but I have not been able to avoid it.

last line in 3) : it seems necessary to mention also the points \(s'\).

p.33, 34 etc. — I did not see an easier proof for prop 7.4.

p.43 theor. 9.4 — You have mentioned that the theorem in this form is not satisfactory. For instance the trivial case with constant fibers and arbitrary crossings escapes. However I don't see how to get a satisfactory statement.

p.45. line 5 etc. — Is this indication sufficient?

I have not written an appendix on the Lefschetz theory. If you think this is useful then I can still try.

It is not necessary to return the manuscript, I have a carbon copy so you can refer to pages and numbers in your comments. Please give me, if necessary, indications for the way the final manuscript must be typed ( is the book a foto photo copy of the manuscript?) Also give me a deadline when you must have the manuscript because I am afraid that I may have already delayed the publication date of your first volume.

With best regards, Sincerely yours, J. P. Murre.

A. Grothendieck à J.-P. Murre (pages 7 et 8)

7Dear Murre,

Thanks you very much for your notes on the tame fundamental group, which I at last finished reading. I see you wrote them with much care, and I am all the more sorry that by my own fault, there is a number of misstatements which, I am affraid, will force you to do a serious recasting of the whole exposition. My notes definitely where too sketchy, and my oral explanations, I am affraid, partly wrong, which induced you into error a few times. Here the most serious drawbacks.

1.16. is false already when \(H\) is the unit group and when there is a single \(a\), say \(a = b^{n}\), \(Y' = Y\,T/(T^{n}-a)\). Then \(Y = S\), and a morphism of \(Y\) into \(Y'\) compatible with \(H = e \to H'\) is just a section of \(Y'\), which exists indeed; however \(H \to H'\) is not surjective. 3.6. is equally false, as you see by the previous example, using the given section to define an \(H'\)-morphism \(H' \to Y'\) which is not an isomorphism. As a consequence, the proof in your notes of 3.7. breaks down (as it uses 1.16) and so does the proof of 3.8. (I did not try to check 3.8. by some different proof). \(Y\,T/(T^{n}-a)\) : lire \(Y[T]/(T^{n}-a)\), la machine ne porte pas de crochets ; de même les flèches sont laissées en blanc dans tout le lot et rétablies ici

I am affraid the proof of 6.4. is false as stated, and that the statement is correct only if the \(D_i\) are regular. Indeed, the end of the proof seemed to me very dubious; be careful that the intertia groups are determined only up to interior automorphism! There is however a (tautological) generalization of the theorem for regular \(D_i\), corresponding to the data of a single divisor \(D\) with normal crossings, and a variant of the notion of tame ramification for such a divisor, by demanding that the coverings should be tamely ramified locally for the étale topology for the family of local irreducible components of \(D\); it is this notion of tameness which would seem more adapted to the situation of par. 9.

8The proof of 7.1. is not correct, when you conted on line \(-9\): there remains to be proven the following: \dots{} Alraedy when \(D=0\), the proof here would have to introduce connected étale coverings which are not Galois! This very strongly suggests that a notion of tame ramification should be introduced also in for non Galois coverings. The same remark applies to the proof of 10.1. Maybe you could get along some way in 7.1. using the normality assumptions, but I am convienced that these assumptions are anyhow artificial, as well as the assumption that the \(D_i\) should be reduced somewhere. You do not seem to make any use of these facts, really.

Also, one feels that 7.5. should be generalized to the case of a tamely ramified covering, and that it should come out trivially once the generalities have been dealt with properly.

I hope that the theory will come out more clearly and correctly by devoting some care to generalities on ramification data (not necessarily of Kummer type). I will try to write something up within the next days. Please excuse me for the trouble I caused you by not learning my lesson well enough before I put you to work!

It would be very nice indeed to have an appendix on Lefschetz theorem for the tame fundamental group, and it should not be hard to write it. However, if would be safer to wait till the general theory of tame ramification is written up!

Sincerely your's

A. Grothendieck à J.-P. Murre, 29 avril 1967 (pages 9 à 11)

929.4.67

Dear Murre,

I am sending you enclosed the sketch which I promised on ramification data, as well as your manuscript together with my annotations. As the paragraphs 1 to 5 will have to be changed entirely, there is maybe not much point for you to look up to carefully my annotations on these. I would only suggest that you put more formulas, arrows etc on separate separate lines, for easier reading; that you normalize the standard references to SGA, EGA (for instance, no need to indicate SGA when reference is being made to the seminar 1960–61 in which your talk is going to be included itself, reference as (XI 6.1) is then sufficient); that you be cautious when using a locution like ``if primitive \(n\).th roots exist over \(S\)'', which does not mean much by itself, unless you make clear what you really mean. I would propose the following tentative plan for your talk:

Kummer coverings with respect to a given set of sections.
Ramification data.
Properties of the catégory of coverings of type \(\underline{R}\). The group \(\pi_1^{\underline{R}}(S,\;)\).
Functorial behaviours.
Galois coverings of type \(\underline{R}\).
Abhyankars theorem (for divisors with normal crossings).

etc

The sections 6 to 10 essentially the same as in your notes, just taking into account my observations, and changing inner references according to the changes made in 1. to 5. A paragraph 11 could be an appendix on the tame variant of Lefschetz's theorem. — Par.1 is essentially your previous par.1; you should check exactly what is needed in it for what le troisième point porte \(\pi_1\) sous la forme \(\genfrac{}{}{0pt}{}{R}{1}(S,\;)\), l'exposant \(\underline{R}\) étant frappé au-dessus de l'indice 1 faute de pouvoir le placer autrement

10is to follow. Moreover, it would be reasonable to include the fact that when \(S\) is normal and the \(V(a_i)\) reduced, then the \(Z^{\underline{n}}_{\underline{a}}\) are normal (which now is included in your par.5), so that you can refer to this fact when mentioning examples in sections 2. to 5. The paragraphs 2 to 5 in this plan correspond approximately to the sections 1. to 4. in my sketchy notes. It will make some work, I am affraid, to put it into shape, but I have the feeling the notions developped with some generality can be useful still in other contexts than just for the kummer type ramification. If you think it would be much simpler to write these sections by restricting throughout to kummer type ramification, please feel free to do so, (and refer to the possible generalization by a suitable remark). I doubt however it will be much simpler, as there are at least two useful variants of the notion besides the one of your notes (cf ``particular case b'' in my sketch).

Some more specific observations. In theorem 6.4. (which should be formulated, I believe, in terms of tame ramification in the large sense, cf my notes), there is no need to look at the residue characteristics of the non maximal points of the \(D_i\). It will turn out a posteriori (and this should be pointed out in a reamrk or corollary) that if for every maximal point \(s\) of every \(D_i\), the inertia group at \(s\) is prime to the charactéristic of \(k(s)\), then the order of this group must be automatically prime to the residue characteristic at any specialization of \(s\). (This statement is non empty only when \(s\) is of char. zero, of course). In fact, the proof in your notes (after reduction to the strict local case, which is immediate) works out unchanged, provided you observe that if \(A\) is a regular local ring, \((x_i)_{1 \leqslant i \leqslant r}\) part of a regular system of parameters, and \((n_i)_{1 \leqslant i \leqslant r}\) a system of integers \(\geqslant 1\), not noecessarily

11prime to the residue characteristic, then the ring \[ B \;=\; A\,[T_1,\dots,T_r]\,/\,(T_1^{\,n_1}-x_1,\;\dots,\;T_r^{\,n_r}-x_r) \] is again regular. les crochets manquent au tapuscrit et sont rétablis

In theorem 7.1. the normality assumptions as well as reducedness assumptions are quite superfluous, only lemme 7.2. is used (which should be stated in paragraph 1, maybe in a single proposition with the analoguous statement concerning normalisty, and properties \((R_k)\) and \((S_k)\)). On the other hand the proof on page 32 seems to me a little short at one point; I tried to indicate some details in the margin.

As already stated in my notes, the statement of 9.4. is not the most natural one; one should use here the notion of tame ramification in the broad sense (just one divisor \(D\) being given, whith normal crossings relatively to \(S\)). This is The proof would, I guess, require to use the results of sections 7 and 8 in a slightly different form (using the suitable variant of the notion of tame ramification, cf example particular case b) in my notes). This however does not make any difficulty, in fact the proofs given in 7 and 8 work for any kind of ramification data, provided we assume a statement of the type 7.2. in paragraph 7.

In 10.2. and 10.3. the significance of the result comes from the fact that the groups considred are just \(\pi_1(U,\;)\) resp. \(\pi_1(U,\;)^{(p)}\), and the theorems should be stated accordingly.

I hope you will be able to get along with these rather sketchy indications. Please do not hesitate to call back on me for whatever does not seem clear to you!

With best wishes,

« Données de ramification sur un schéma » (pages 12 à 20)

121. Données de ramification sur un schéma.

Soit \(S\) un schéma (préschéma dans l'ancienne terminologie), \(\underline{Et}_S\) le site étale de \(S\). Nous appellerons donnée de ramification sur \(S\) la donnée d, \(\underline{R} = \) un couple \((\underline{C}, \underline{s})\), où \(\underline{C}\) est une catégorie fibrée sur \(\underline{Et}_S\) (en particulier i.e. c'est une catégorie \(\underline{C}\) munie d'un foncteur fibrant \(p : \underline{C} \to \underline{Et}_S\)) et où \(\underline{s} : \underline{C} \to \underline{Fl}_S\) est un foncteur cartésien, où \(\underline{Fl}_S\) désigne la catégorie fibrée des faisceaux schémas relatifs sur les objets \(S'\) de \(\underline{Et}_S\). On fera attention qu'on ne suppose pas que la catégorie fibrée \(\underline{C}\) soit un champ (i.e. qu'on puisse recoller morphismes et objects de \(\underline{C}\)). Un objet \(M\) de la catégorie fibre \(\underline{C}_{S'}\) (\(S' \in \mathrm{Ob}\,\underline{Et}_S\)) sera appelé un modèle de ramification pour \(\underline{R}\), et le schéma \(\underline{s}(M)\) sur \(S'\) sera appelé la réalisation géométrique de ce modèle. On fera attention qu'on ne suppose pas le foncteur \(\underline{s}\) fidèle ni pleinement fidèle, donc les morphismes entre modèles de ramification ne peuvent être identifiés aux morphismes entre leurs réalisations géométriques. Dans les exemples envisagés par la suite, les \(\underline{s}(M)\) sont finis sur \(S'\). dans tout le tapuscrit les flèches sont laissées en blanc, la machine n'en portant pas ; elles sont rétablies ici sans autre mention

Considérons le foncteur composé \(\underline{C} \xrightarrow{\ \underline{s}\ } \underline{Fl}_S \xrightarrow{\ \text{source}\ } (\mathrm{Sch})\), d'où un foncteur (le foncteur « réalisation géométrique ») \[ \underline{C} \longrightarrow (\mathrm{Sch}) . \] Considérons d'autre part la catégorie fibrée sur \((\mathrm{Sch})\) des schémas relatifs étales et finis (dont la catégorie fibre en \(T\) est donc la catégorie des revêtements étales finis de \(T\)), et soit \(\underline{D}\) la catégorie fibrée sur \(\underline{C}\) image inverse de la catégorie fibrée précédente par le foncteur réalisation géométrique. La fibre de cette catégorie fibrée en l'objet \(M\) de \(\underline{C}\) est donc la catégorie des revêtements étales finis de la réalisation géométrique \(\underline{s}(M)\) de \(M\). On appellera revêtement de

13Appelons crible couvrant de \(\underline{C}\) toute sous-catégorie pleine \(\underline{C}_0\) de \(\underline{C}\) qui est un crible (i.e. pour toute flèche, l'origine appartient à \(\underline{C}_0\) s'il en est de même de l'extrémité) et tel que les \(p(M)\) pour \(M \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}_0\) recouvrent l'objet final \(S\) de \(\underline{Et}_S\). Pour tout \(\underline{C}_0\), soit \(\mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{\underline{C}_0}(S)\) la catégorie des sections cartésiennes de \(\underline{D}\) au dessus de \(\underline{C}_0\). Pour \(\underline{C}_0\) variable, ces catégories forment […] un système inductif de catégories […] (NB si \(\underline{C}'_0 \subset \underline{C}_0\), on obtient un foncteur restriction évident \(\mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{\underline{C}_0}(S) \to \mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{\underline{C}'_0}(S)\)), et dont la limite inductive est notée \(\mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S)\) et appelée catégorie des revêtements de \(S\) de type \(\underline{R}\).

Signaons que dans tous les cas que nous aurons à utiliser, les foncteurs de transition \(\mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{\underline{C}_0}(S) \to \mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{\underline{C}'_0}(S)\) sont pleinement fidèles, donc aussi les foncteurs \(\mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{\underline{C}_0}(S) \to \mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S)\), qui permettent donc d'identifier (à équivalence près) les \(\mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{\underline{C}_0}(S)\) à des sous-catégories pleines de la catégorie \(\mathrm{Rev}^{\underline{R}}(S)\) des revêtements de type \(S\). Nous supposerons de plus que pour tout \(\underline{C}_0\), le foncteur composé et tout \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Rev}^{\underline{R}}_{\underline{C}_0}(S)\), le foncteur composé \(\underline{C}_0 \xrightarrow{\ X\ } \underline{D} \xrightarrow{\ \text{source}\ } (\mathrm{Sch})_{/S}\), (où le deuxième foncteur est le foncteur déduit du foncteur source sur la catégorie des schémas finis étales relatifs,) admet une limite inductive dans \((\mathrm{Sch})_{/S}\), que nous noterons \(\underline{r}(X)\), et que pour \(\underline{C}'_0 \subset \underline{C}_0\), désignant par \(X'\) la restriction de \(X\) à \(\underline{C}'_0\), l'homomorphisme canonique \(\underline{r}(X') \to \underline{r}(X)\) est un isomorphisme. (Ces conditions seront satisfaites dans les exemples 1 à 3 ci-dessous, de généralité croissante.) Les différents foncteurs \(\underline{r}\) se raccorderont alors et

14type \(\underline{R}\) de \(S\) une section cartésienne de \(\underline{D}\) sur \(\underline{C}\). Ces revêtements de type \(\underline{R}\) forment une catégorie notée suivant les notations standard \(\varinjlim \underline{D}/\underline{C}\)) que nous noterons \(\mathrm{Rev}_{\underline{R}}(S)\). On définira la réalisation géométrique d'un revêtement \(\Phi\) de type \(\underline{R}\) comme étant la limite inductive (si elle existe) dans \((\mathrm{Sch})\) du foncteur composé \(\underline{C} \xrightarrow{\ \Phi\ } \underline{D} \to (\mathrm{Sch})_{/S}\), où le deuxième de ces foncteurs est le foncteur source associant à tout revêtement (déduit du foncteur source sur la catégorie des schémas finis étales relatifs). Si pour tout \(\Phi\), cette limite inductive existe, on obtient un foncteur réalisation géométrique \[ \underline{r} : \mathrm{Rev}_{\underline{R}}(S) \longrightarrow (\mathrm{Sch})_{/S} . \] \(\Phi\) est frappé à la machine comme un o barré, faute de capitale grecque ; le sens est celui d'un revêtement de type \(\underline{R}\) plusieurs traits à l'encre bleue portent la phrase « Si pour tout \(\Phi\), cette limite inductive existe, » plus haut dans le paragraphe ; la transposition n'est pas exécutée

Dans les cas qui nous intéresseront par la suite, ce foncteur \(\underline{r}\) sera fidèle, mais pas nécessairement pleinement fidèle; il importera donc de bien distinguer entre une revêtement de type \(\underline{R}\) de \(S\), et sa réalisation géométrique, le premier n'étant pas déterminée par la seule connaissance du second.

Avant d'aller plus loin, donnons quelques exemples.

Exemple 1. Donnons-nous un schéma relatif \(Z\) sur \(S\), muni d'un groupe fini \(G\) opérant (à droite disons) par \(S\)-automorphismes. Soit \(\underline{C}_0\) la catégorie réduite à un objet et dont le monoïde des endomorphismes est \(G\), et prenons pour \(\underline{C}\) la catégorie produit \(\underline{Et}_S \times \underline{C}_0\), pour foncteur \(\underline{s}\) le foncteur \((S',g)\) […]. La donnée d'un foncteur cartésien de \(\underline{C}\) dans une catégorie fibrée \(\underline{C}'\) sur \(\underline{Et}_S\) équivaut manifestement à la donnée d'un objet de la catégorie fibre \(\underline{C}'_S\) avec une opération de \(G\) dessus, de sorte que \((Z,G)\) nous fournit bien un foncteur cartésien \(\underline{s}\). On trouve aussitôt que la catégorie \(\mathrm{Rev}_{\underline{R}}(S)\) est équivalente canoniquement à la catégorie des revêtements finis étales \(Z'\) de \(Z\), munis d'une opération (droite) de \(G\) […] rendant le morphisme structural \(Z' \to Z\) un \(G\)-morphisme.

15La réalisation géométrique d'un tel \(Z'\) existe si et seulement si le quotient \(Z'/G\) existe, et elle s'identifie alors à \(X = Z'/G\). Il en est ainsi si toute orbite de \(G\) dans \(Z\) est contenue dans un ouvert affine, ce qui implique en effet qu'il en est de même de toute orbite de \(G\) dans \(Z'\). Intuitivement, la considération […] les revêtements de type \(\underline{R}\) correspondent à des revêtements Dans les cas que nous avons en vue, \(Z\) est un revêtement de \(S\), donc la condition sur les orbites sera automatiquement satisfaite (il suffit que \(Z\) soit affine sur \(S\)) […] de plus les réalisations géométriques \(X = Z'/G\) seront automatiquement finies sur \(S\), donc i.e. des revêtements. En première approximation, ce seront les revêtements de \(S\) qui (en un un sens convenable \dots) deviennent étales au dessus du revêtement (ramifié en général) donné \(Z\), ce qui donne un sens intuitif à la notion de « donnée de ramification ».

Soit maintenant \(U\) un ouvert de \(S\) tel que \(Z|U\) soit un revêtement principal de groupe \(G\), et supposons que \(Z|U = V\) soit dense dans \(Z\) (plus généralement, que toute partie ouverte et fermée et stable par \(G\) de \(Z\) contenant \(Z|U\) soit égale à \(Z\)). Alors le foncteur \(Z' \mapsto Z'|V\) de la catégorie des \(G\)-revêtements étales de \(Z\) dans la catégorie des \(G\)-revétments étales de \(V\) est fidèle, d'autre part le foncteur \(Z'_V \mapsto Z'_V/G\) de la catégorie des \(G\)-revêtements étales de \(V\) dans la catégorie des revêtements étales de \(U\) est une équivalence de catégories, à fortiori fidèle, d'où on conclut que le foncteur réalisation géométrique \(Z' \mapsto Z'/G = X\) est fidèle.

Suivant le yoga général, […] la catégorie des revêtements de type \(\underline{R}\) est alors équivalente à la catégorie des « revêtements de \(S\) munis d'une structure de type \(\underline{R}\) », où par « structure de type \(\underline{R}\) » sur un revêtement \(X\) de \(S\) on entend la donnée d'une classe (mod isomorphisme) d'un \(Z' \in \mathrm{Rev}_{\underline{R}}(S)\) et d'un isomorphisme de \(\underline{r}(Z')\) (\(= Z'/G\)) avec \(X\). (Cette

16dernière remarque aurait dû figurer avant l'exemple, elle s'applique chaque fois que le foncteur \(\underline{r}\) est fidèle). Nous pouvons également Supposons maintenant \(V\) dense dans \(Z\) et de plus \(Z\) normal, alors on voit aussitôt que le foncteur \(Z' \mapsto Z'|V\) est pleinement fidèle, d'où résulte facilement qu'il en est de même du foncteur réalisation géométrique \(Z' \mapsto Z'/G\); donc dans ce cas, la catégorie \(\mathrm{Rev}_{\underline{R}}(S)\) est équivalente à une sous-catégorie pleine de la catégorie des revêtements normaux de \(S\), étales au dessus de \(U\), et dont toute composante irréductible domine une composante irréductible de \(S\) rencontrant \(U\).

Exemple 2. C'est une simple variante de l'exemple précédent : au lieu de se donner un \(S\)-schéma \(Z\) à groupe fini d'opérateurs \(G\), on se donne un système projectif \((Z_i, G_i)_{i \in I}\) de tels objets (\(I\) ensemble ordonné filtrant). La catégorie \(\underline{R}\) Le système projectif des groupes \((G_i)\) définit une catégorie fibrée \(\underline{C}_0\) sur la catégorie associée à \(I\) (les fibres de \(\underline{C}_0\) étant les catégories à un seul objet définies par les \(G_i^{\,0}\)), et on prendra \(\underline{C} = \underline{Et}_S \times \underline{C}_0\), et on définit \(\underline{s}\) de façon évidente. La catégorie \(\mathrm{Rev}_{\underline{R}}(S)\) est maintenant équivalente à la catégorie \(\varinjlim\) des catégories \(\mathrm{Rev}_{\underline{R}_i}(S)\) définies séparément par les \((Z_i, G_i)\).

Un cas intéressant est celui où les foncteurs transition (qui s'interprètent de façon évidente comme des foncteurs images inverses de revêtements étales à opérateurs) sont pleinement fidèles, de sorte que les \(\mathrm{Rev}_{\underline{R}_i}(S)\) s'identifient (à équivalence près) à des sous-catégories pleines de \(\mathrm{Rev}_{\underline{R}}(S)\) qui épuisent évidemment cette dernière. Il en sera ainsi si les morphismes de transition \((Z_i, G_i) \to (Z_j, G_j)\) sont tels que \(G_i \to G_j\) soit surjectif et \(Z_i \to Z_j\) induit un isomorphisme \(Z_j \simeq Z_i/N_{ij}\), où \(N_{ij}\) est le noyau de \(G_i \to G_j\) (en effet, il en résulte que pour tout revêtement étale \(Z'_j\)

17\(G' \to G\) \(M' \to M\) les deux flèches, à l'encre, sont au verso de la feuille ; elles fixent le sens des morphismes de l'exemple 3 du recto, où \(G' = \mathrm{Aut}(M')\) va dans \(G = \mathrm{Aut}(M)\) au-dessus de \(M' \to M\)

18de \(Z_j\), on a \(Z'_j \simeq Z'_{ij}/N_{ij}\), où \(Z'_i\) est l'image inverse de \(Z'_j\) sur \(Z_i\)). Dans ce cas, le foncteur « réalisation géométrique » est bien défini, et induit surchaque \(\mathrm{Rev}^{\underline{R}_i}(S)\) le foncteur réalisation géométrique déjà explicité dans l'exemple 1. Bien sûr, les conditions Notons que les critères signalés dans l'exemple 1 pour que le foncteur réalisation géométrique soit fidèle resp. pleinement fidèle, s'étendent de façon immédiate au cas envisagé ici.

Exemple 3. Supposons que \(\underline{R} = (\underline{C}, \underline{s})\) satisfasse aux conditions suivantes. Le foncteur \(\underline{s}\) se factorise en \(\underline{C} \xrightarrow{\ \underline{s}'\ } \underline{Flop}_S \to \underline{Fl}_S\), où \(\underline{Flop}_S\) désigne la catégorie fibrée sur \(\underline{Et}_S\) des schémas relatifs à groupe fini (opérant à droite) d'opérateurs, et \(\underline{Flop}_S \to \underline{Fl}_S\) est le foncteur « oubli des opérations ». Pour tout […] \(M\) […] \(\underline{s}\) […] Il faut préciser que (en vue de l'exemple kummérien plus bas) nous prenons comme morphismes d'un schéma à opérateurs \((Z,G)\) sur \(S\) dans un autre \((Z',G')\) les couples \((f,u)\), où \(f : X \to X'\) est un \(S\)-morphisme et \(u : G_S \to G'_S\) un morphisme (localement constant, pas nécessairement constant !) de schémas en groupes sur \(S\), de telle façon que \(f\) soit compatible avec \(u\) dans le sens évident. \(f : X \to X'\) : le tapuscrit écrit \(X\), \(X'\) là où les objets sont \(Z\), \(Z'\) ; la faute est sur la page et n'est pas corrigée ici

On suppose que pour toute flèche \(M' \to M\) dans un \(\underline{C}_S\), si la flèche correspondante \(\underline{s}(M') = (Z',G') \to \underline{s}(M) = (Z,G)\) induit un isomorphisme \(Z \simeq Z'/H\), où \(H\) est le noyau de \(G'_S \to G_S\) (qui est un sous-groupe localement constant de \(G'_S\)). On suppose […] aussi que pour tout objet \(M\) de \(\mathrm{Ob}\,\underline{C}_{S'}\), posant \(\underline{s}(M) = (Z,G)\), on se donne un automorphisme homomorphisme \(G \to \mathrm{Aut}(M)\), et pour tout \(g \in G\), il existe un endomorphisme \(g\) de \(M\) uniquement déterminé, tel que pour tout \(g \in G\), si \(\bar{g}\) est son image, minée, tel que \(\underline{s}(\bar{g})\) soit le couple \((g_Z, \mathrm{int}(g))\), et que tout endomorphisme de \(M\) soit localement de la forme \(\bar{g}\); on veut suppose de plus que la l'homomorphisme \(G \to \mathrm{Aut}(M)\) soit compatible avec images inverses, et que pour toute flèche \(M' \to M\) dans \(\underline{C}_{S'}\), considérons \(M'\) (resp. \(M\)) comme muni ud groupe \(G'\) (\(G\)) d'opérateurs, \(M' \to M\) soit compatible avec \(G' \to G\).

19la feuille reprend l'exemple 3 sous une autre forme ; les trois premières lignes, frappées à part en tête, remplacent la fin de la page précédente. Les deux moutures sont conservées telles quelles

Dans ce cas, le foncteur « réalisation géométrique » est bien défini et induit sur chaque \(\mathrm{Rev}_{\underline{R}_i}(S)\) le foncteur réalisation géométrique déjà explicité dans l'exemple précédent.

de \(Z_j\), on a \(Z'_j \simeq Z'_i/N_{ij}\), où \(Z'_i\) est l'image inverse de \(Z'_j\) sur \(Z_i\)). Notons que les critères signalés dans l'exemple 1 pour que le foncteur \(\underline{r} : \mathrm{Rev}_{\underline{R}}(S) \to (\mathrm{Sch})_{/S}\) soit fidèle resp. pleinement fidèle, s'étendent de façon immédiate au cas envisagé ici.

Exemple 3. Supposons que \(\underline{R} = (\underline{C}, \underline{s})\) satisfasse aux conditions suivantes : pour tout \(S' \in \mathrm{Ob}\,\underline{Et}_S\), et \(M \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}_{S'}\), le groupe des automorphismes \(G\) de \(M\) est fini, et pour toute flèche \(M' \to M\) de \(\underline{C}_{S'}\), il existe un unique morphisme de groupe \(G' = \mathrm{Aut}(M')\) dans \(G = \mathrm{Aut}(M)\) tel que \(M' \to M\) soit compatible avec les opérations de \(G'\), de plus si \(H\) est son noyau, le morphisme \(\underline{s}(M') \to \underline{s}(M)\) induit un isomorphisme \(\underline{s}(M')/H \simeq \underline{s}(M)\). Enfin On suppose que de plus que pour deux morphismes de \(M'\) dans \(M\), […] les […] l'un est déduit de l'autre par composition avec un élément de \(G\). Enfin, on suppose qu'étant donnés deux objets \(M\), \(M'\) de \(\underline{C}_{S'}\), il existe une famille surjective de morphismes étales \(S'_i \to S'\) telle que pour tout \(i\), \(M_{S'_i}\) et \(M'_{S'_i}\) soient majorés par un objet \(M''_i\) de \(\underline{C}_{S'_i}\).

Utilisant la théorie de la descente, on voit sous ces conditions que le foncteur réalisation géométrique \(\mathrm{Rev}_{\underline{R}}(S) \to (\mathrm{Sch})_{/S}\) est défini, et à valeurs dans les schémas finis sur revêtements de \(S\) (en supposant que les \(\underline{s}(M)\) sont des revêtements, bien sûr; pour pouvoir appliquer la descente, il suffirait même que les \(\underline{s}(M)\) soient affines sur \(S'\)). Ici encore, on a des critères pour que ce foncteur soit fidèle resp. pleinement fidèle : il suffit que pour tout \(S' \in \mathrm{Ob}\,\underline{Et}_S\) et tout \(M \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}_{S'}\), la réalisation géométrique \(\underline{s}(M)\), munie du groupe d'automorphismes \(G = \mathrm{Aut}(M)\), satisfasse aux conditions correspondantes envisagées dans l'exemple 1 pour \((Z,G)\).

Cas particuliers du type kummérien : a) Supposons données des sections

20\((a_i)_{i \in I}\) de […] sur \(\underline{S}\) une famille \((D_i)_{i \in I}\) de diviseurs (de Cartier) sur \(S\). Pour tout \(S'\) étale sur \(S\), on désigne par \(\underline{C}_{S'}\) la catégorie suivante : les objets sont les couples quadruples \(M = \) \((\underline{a}, \underline{n}, G, \underline{u})\), où \(\underline{a} = (a_i)_{i \in I}\) est une famille d'équations pour les \(D_{iS'}\), \(\underline{n} = (n_i)_{i \in I}\) une famille d'entiers \(\geqslant 1\) premiers aux caractéristiques résiduelles de \(S'\), […] \(G\) un groupe fini, et \(u : G_{S'} \xrightarrow{\ \sim\ } \uncertain{\mu}_{\underline{n}}\,S'\) un isomorphisme de schémas en groupes sur \(S'\). Étant donné un deuxième tel quadruple \(M' = (\underline{a}', \underline{n}', G', u')\), un morphisme de second […] le premier est \(M\) dans \(M\) \(\mathrm{Hom}_{S'}(M', M)\) est vide sáuf si \(\underline{n}' \geqslant \underline{n}\), auquel cas c'est l'ensemble des \(\underline{b} = (b_i)_{i \in I}\) tels que \(\underline{b}^{\,\underline{n}} = \underline{a}'\underline{a}^{-1}\). « 2tant donné » sur la page, pour « Étant donné » : la machine ne porte pas de capitale accentuée. La lettre grecque de \(\mu_{\underline{n}}\) est laissée en blanc et restituée d'après le contexte kummérien

La composition des morphismes, et la définition des foncteurs changements de base pour une flèche \(S'' \to S'\) dans \(\underline{Et}_S\), sont clairs. Le foncteur cartésien \(\underline{C} \to (\mathrm{Sch})_{/S}\) est défini en associant à \(M = (\underline{a}, \underline{n}, G, \underline{u})\) le revêtement Kummérien élémentaire \(Z^{\underline{n}}_{\underline{a}}\), et […] considéré comme un revêtement à groupe d'opérateurs \(G\), grâce à l'isomorphisme \(G \simeq \mu_{\underline{n}}\). On définit de façon évidente la valeur de \(\underline{r}\) sur les flèches de \(\underline{C}_{S'}\), et sa compatibilité avec les changements de base. On voit alors qu'on est sous les conditions de l'exemple 3. De plus, le foncteur \(\underline{r}\) est fidèle, et il est pleinement fidèle lorsque \(S\) est noethérien aux points de localement noethérien, et de plus normal en les points des \(\mathrm{supp}\,D_i\), et si de plus les \(D_i\) sont réduits, et toute composante irréductible d'un \(D_i\) est distincte de toute comp. d'un \(D_j\) pour \(j \neq i\).

b) Supposons donné un diviseur \(D\) sur \(S\), […] et considérons le faisceau sur \(\underline{Et}_S\) associé au préfaisceau qui, à tout \(S'\), associe l'ensemble des diviseurs ensembles \(\theta\) \((D_i)\) de diviseurs sur \(S'\) ayant les propriétés suivantes : \(D_{S'} = \ill{}\, D_i\), et pour tout \(s' \in S'\), les restrictions à \(\mathrm{Spec}\)\((\underline{O}_{S',s'})\) des \(D_i\) qui sont non nulles, sont deux à deux disjointes. Soit donnée une section du