Cote n° 29 · pages 1–216 · Lecture modernisée · Groupe fondamental [Autour de SGA 4 et SGA 7] : lettres (1959, 1967, 1969), tapuscrits et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1959-1969
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et l'ordre des feuillets

Deux cent seize pages ne se lisent pas d'affilée, et celles-ci moins que d'autres : le carton mêle quatre strates séparées par une décennie. Voici donc le fil, et les conventions qui valent pour tout ce qui suit.

Les stations

• Pages 1 à 40 — la correspondance de 1967 avec Murre, et le tapuscrit « Données de ramification sur un schéma » qu'elle accompagne : la donnée \(\mathcal{R} = (\mathcal{C}, s)\), la catégorie \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\), le foncteur de réalisation géométrique \(r\), le groupe \(\pi_1^{\mathcal{R}}(S,s)\), et le manifeste de la page 31.
• Pages 39 à 76 — ce à quoi la machine sert : les conjectures de finitude, le théorème de finitude relatif, puis le groupe fondamental et le groupe de Picard birationnels.
• Pages 77 à 100 — la théorie appliquée : l'échange de 1969 avec Murre sur les revêtements formels, et le calcul du \(\pi_1\) modéré d'un schéma formel le long de sa fibre spéciale.
• Pages 101 à 122 — la boîte à outils : quasi-unipotence, Bertini et ses variantes, fonctorialité des groupes d'inertie.
• Pages 124 à 160 — la strate ancienne, 1959 et 1960 : la lettre à Serre sur le groupe fondamental infinitésimal, les « feuilles anciennes », puis les axiomes des catégories galoisiennes.
• Pages 161 à 187 — les revêtements infinis : le progroupe fondamental, les cinq classes de recouvrements, la descente et son formalisme simplicial.
• Pages 188 à 216 — la synthèse, sans date : les domaines de ramification, et l'axiomatique des catégories multigaloisiennes.

Deux objets, presque un seul nom

C'est le seul piège de vocabulaire du carton, et il court d'un bout à l'autre.

La donnée de ramification de 1967, notée ici \(\mathcal{R} = (\mathcal{C}, s)\), est un objet auxiliaire : une catégorie fibrée quelconque au-dessus du site étale, munie d'un foncteur vers les schémas relatifs, dont on déduit la catégorie des revêtements. Le domaine de ramification des pages 190 et suivantes, noté \((R, r)\), est cette catégorie, prise comme donnée, et c'est un champ. Les deux ne sont pas de même nature, et le second est ce que la page 24 annonçait qu'on serait infailliblement conduit à prendre. La casse les distingue partout dans ce qui suit.

Le reste de la notation

\(\mathrm{Et}(S)\) est le site étale de \(S\) et \(\mathrm{Fl}_S\) la catégorie fibrée des schémas relatifs au-dessus de lui ; le tapuscrit les souligne, ce qui ne portait aucune information que la casse ne porte. On écrit \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) toujours en exposant, là où le tapuscrit écrit les deux. Et l'on écrit \(\pi^1(S, \xi\,;\, G)\) pour le foncteur des fibrés principaux pointés — que la lettre de 1959 note \(Z(S,a;G)\), que les feuilles anciennes notent d'un \(\mathfrak{Z}\) gothique, et que les pages 164 et suivantes notent \(\pi^1\) : trois notations, un seul foncteur, et c'est la lecture du carton entier qui permet de le dire.

Ce qui n'est pas établi

Deux énoncés sont annoncés dans le carton et n'y figurent pas. La page 196 écrit « Prop. 5 \dots » et rien après. La page 206 écrit « Prouvons que \(\alpha\) est essentiellement surjectif » et la démonstration ne suit pas, de sorte que la reconstitution d'un domaine de ramification à partir d'une famille génératrice reste conditionnelle : la pleine fidélité est démontrée, l'essentielle surjectivité ne l'est pas. Ces deux absences sont signalées à leur place et ne sont pas comblées.

Enfin, une part importante du carton est illisible à la définition du fac-similé — les transcriptions portent mille cinq cent soixante-dix marques d'illisibilité — et les pages 61, 141, 155 et 164 à 169 sont des palimpsestes où les formules se lisent et les phrases qui les joignent non. Là où c'est le cas, cette lecture donne les énoncés et dit que les liaisons manquent, plutôt que de les inventer.

1–11

Ce que Murre n'arrivait pas à voir (pages 1 à 11)

La chemise porte, de la main de Grothendieck, deux mots : « Tame ramification ». Dessous, quatre lettres de 1967, que le carton range dans le désordre. Remises dans l'ordre où elles ont été écrites, elles racontent une histoire complète.

29 mars 1967 : Murre envoie le manuscrit

Murre rédige, pour le séminaire de 1960–61, l'exposé sur le groupe fondamental modéré. Il envoie son manuscrit et sa propre liste de doutes : il a supposé plus tôt que nécessaire l'existence des quotients ; il hésite sur le mot covering, qui traduit revêtement mais entre en collision avec le « recouvrement » d'une topologie ; il n'a pas trouvé de démonstration plus simple pour deux de ses lemmes ; et il juge insatisfaisant, sans savoir l'amender, l'énoncé de son théorème 9.4.

La réponse : cinq énoncés faux, et un diagnostic

Grothendieck répond que les erreurs sont les siennes — ses notes étaient trop sommaires — et il en donne la liste. La première est un contre-exemple, et c'est le seul endroit de la correspondance où il calcule.

Soit \(S\) un schéma, \(b\) une section de \(\mathcal{O}_{S}\), \(n \geqslant 1\) inversible sur \(S\), et posons \(a = b^{n}\). Soit \[ Y' \;=\; \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S}[T]/(T^{n} - a) , \] revêtement kummérien élémentaire, principal sous \(H' = \mu_{n}\). Prenons pour \(H\) le groupe unité et \(Y = S\).¹ Un morphisme de \(Y\) dans \(Y'\) compatible avec l'inclusion \(H \to H'\) est simplement une section de \(Y'\) au-dessus de \(S\) : elle existe, \(T \mapsto b\). Or \(H \to H'\) n'est pas surjectif dès que \(n > 1\). L'énoncé 1.16 des notes de Murre — qu'un tel morphisme force \(H \to H'\) à être surjectif — est donc faux, et avec lui 3.6, puis les démonstrations de 3.7 et 3.8 qui s'en servaient.

Le théorème 6.4 (le théorème d'Abhyankar) n'est correct, sous la forme donnée, que si les diviseurs \(D_{i}\) sont réguliers ; Grothendieck avertit au passage que les groupes d'inertie ne sont déterminés qu'à automorphisme intérieur près, ce qui est la raison de la panne, et propose de remplacer la famille \((D_{i})\) par un unique diviseur \(D\) à croisements normaux, en demandant que les revêtements soient modérément ramifiés localement pour la topologie étale le long des composantes irréductibles locales de \(D\). C'est la notion qu'il appellera page 21 « modérément ramifié au sens large », et c'est elle, dit-il, qui convient au paragraphe 9.

La démonstration de 7.1 achoppe, elle, sur un point de principe : même pour \(D = 0\) elle aurait à faire intervenir des revêtements étales connexes non galoisiens. D'où le diagnostic, qui est l'origine de tout le reste : il faut une notion de ramification modérée pour les revêtements non galoisiens, et les hypothèses de normalité et de réduction dont les notes se servent sont artificielles.

29 avril 1967 : le plan en six paragraphes

La lettre suivante accompagne l'esquisse que reproduisent les pages 12 à 20, et propose de refondre les cinq premiers paragraphes de l'exposé en six : revêtements kummériens relatifs à une famille de sections ; données de ramification ; propriétés de la catégorie des revêtements de type \(\mathcal{R}\) et le groupe \(\pi_{1}^{\mathcal{R}}(S,\;)\) ; fonctorialités ; revêtements galoisiens de type \(\mathcal{R}\) ; théorème d'Abhyankar pour les diviseurs à croisements normaux.

Trois observations de cette lettre valent d'être retenues, parce que les pages suivantes s'en servent sans y revenir.

D'abord, une remarque de régularité : si \(A\) est un anneau local régulier, \((x_{i})_{1 \leqslant i \leqslant r}\) une partie d'un système régulier de paramètres et \((n_{i})\) des entiers \(\geqslant 1\) non nécessairement premiers à la caractéristique résiduelle, alors \[ B \;=\; A[T_{1},\dots,T_{r}]\,/\,(T_{1}^{\,n_{1}} - x_{1},\ \dots,\ T_{r}^{\,n_{r}} - x_{r}) \] est encore régulier. C'est ce qui permet de ne pas regarder les caractéristiques résiduelles des points non maximaux des \(D_{i}\) : il en résulte a posteriori que si, en tout point maximal \(s\) de chaque \(D_{i}\), le groupe d'inertie est d'ordre premier à la caractéristique de \(k(s)\), alors il l'est automatiquement en toute spécialisation de \(s\) — énoncé vide sauf si \(s\) est de caractéristique nulle.

Ensuite, une remarque de méthode : les démonstrations des paragraphes 7 et 8 « marchent pour n'importe quel type de données de ramification », pourvu qu'on dispose d'un énoncé du type de son lemme 7.2. C'est la première indication que la généralité coûte moins qu'elle ne rapporte, et c'est l'argument qu'il opposera à Murre quand celui-ci proposera de se restreindre au cas kummérien.

Enfin, la lecture correcte des groupes de 10.2 et 10.3 : ce sont \(\pi_{1}(U,\;)\) et son plus grand quotient premier à \(p\), et les théorèmes devraient être énoncés en ces termes.

16 mai 1967 : Murre ne voit toujours pas

La dernière lettre — placée en tête du carton, écrite en dernier — est la plus utile pour lire l'esquisse, parce qu'elle pose deux questions dont les réponses fixent des définitions que l'esquisse laisse incomplètes.

Murre demande si son intuition est juste : au lieu de donner directement le revêtement \(r(X)\) de \(S\), on donne le comportement du revêtement au-dessus d'autres revêtements, les \(s(M)\), qui sont d'un type particulier ; le comportement au-dessus de tous les \(s(M)\) ensemble en dit plus que \(r(X)\) seul. C'est exactement cela, et c'est la meilleure phrase du dossier pour dire ce qu'est une donnée de ramification.

Il demande ensuite — et c'est une lacune réelle — si, dans la définition d'un revêtement galoisien de type \(\mathcal{R}\), on ne doit pas exiger que l'action du groupe de Galois \(G\) commute à celle du groupe d'automorphismes que les modèles \(s(M)\) portent déjà. Grothendieck le confirme, mais dans la lettre d'accompagnement, à la page 36 : la définition de la page 30 est incomplète telle qu'elle est écrite, et cette lecture-ci l'a complétée là où elle se trouve.²

Il relève enfin, dans le cas kummérien, que la condition \(\underline{n}' \geqslant \underline{n}\) devrait s'écrire \(\underline{n}' = \underline{m} \cdot \underline{n}\). Grothendieck répond page 37 : « when I wrote \(n' \geqslant n\), I meant of course the order relation of divisibility ». La lecture ci-dessous écrit donc la divisibilité.

12–14

La donnée de ramification (pages 12 à 14)

Soit \(S\) un schéma et \(\mathrm{Et}(S)\) son site étale. Une donnée de ramification sur \(S\) est un couple \[ \mathcal{R} \;=\; (\mathcal{C},\, s) \] formé d'une catégorie fibrée \(p : \mathcal{C} \to \mathrm{Et}(S)\) et d'un foncteur cartésien \[ s : \mathcal{C} \longrightarrow \mathrm{Fl}_{S} , \] où \(\mathrm{Fl}_{S}\) est la catégorie fibrée sur \(\mathrm{Et}(S)\) dont la fibre en \(S'\) est la catégorie des schémas relatifs sur \(S'\).³ On ne suppose pas que \(\mathcal{C}\) soit un champ : ni les objets ni les morphismes ne se recollent nécessairement. On ne suppose pas non plus \(s\) fidèle, encore moins pleinement fidèle — et c'est le point de toute l'affaire.

Un objet \(M\) de la fibre \(\mathcal{C}_{S'}\) s'appelle un modèle de ramification, et le \(S'\)-schéma \(s(M)\) sa réalisation géométrique. Dans tous les exemples qui suivent, les \(s(M)\) sont finis sur \(S'\).

Composant \(s\) avec le foncteur source, on obtient un foncteur \(\mathcal{C} \to (\mathrm{Sch})\), et l'on peut tirer en arrière le long de lui la catégorie fibrée des schémas finis étales : on obtient une catégorie fibrée \(\mathcal{D}\) sur \(\mathcal{C}\), dont la fibre en \(M\) est la catégorie des revêtements étales finis de \(s(M)\).

Les revêtements de type \(\mathcal{R}\)

Un crible couvrant de \(\mathcal{C}\) est une sous-catégorie pleine \(\mathcal{C}_{0}\) qui est un crible — si l'extrémité d'une flèche est dans \(\mathcal{C}_{0}\), son origine y est — et telle que les \(p(M)\), pour \(M\) parcourant \(\mathcal{C}_{0}\), recouvrent \(S\). Pour un tel crible, on pose \[ \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}_{\mathcal{C}_{0}}(S) \;=\; \text{catégorie des sections cartésiennes de } \mathcal{D} \text{ au-dessus de } \mathcal{C}_{0} , \] et l'on définit la catégorie des revêtements de \(S\) de type \(\mathcal{R}\) comme la limite inductive de ces catégories suivant les restrictions : \[ \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S) \;=\; \varinjlim_{\mathcal{C}_{0}} \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}_{\mathcal{C}_{0}}(S) . \] Concrètement, un revêtement de type \(\mathcal{R}\) est la donnée, pour chaque modèle \(M\) d'un crible couvrant, d'un revêtement étale fini \(X(M)\) de \(s(M)\), et, pour chaque flèche \(M' \to M\), d'un isomorphisme \(X(M') \simeq X(M) \times_{s(M)} s(M')\), ces isomorphismes se composant. C'est la traduction exacte de la phrase de Murre : on ne donne pas le revêtement, on donne son comportement au-dessus de tous les modèles.⁴

Deux hypothèses accompagnent la définition, et il importe de les voir comme des hypothèses.⁵

1. (H1)Les foncteurs de restriction \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}_{\mathcal{C}_{0}}(S) \to \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}_{\mathcal{C}'_{0}}(S)\) sont pleinement fidèles. Alors les \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}_{\mathcal{C}_{0}}(S)\) s'identifient, à équivalence près, à des sous-catégories pleines de \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\), qui les épuise.
2. (H2)Pour tout crible \(\mathcal{C}_{0}\) et tout objet \(X\) de \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}_{\mathcal{C}_{0}}(S)\), le foncteur composé \(\mathcal{C}_{0} \xrightarrow{\ X\ } \mathcal{D} \to (\mathrm{Sch})_{/S}\) admet une limite inductive dans \((\mathrm{Sch})_{/S}\), notée \(r(X)\), et cette limite ne change pas quand on restreint \(X\) à un crible plus petit.

Sous (H2) les \(r\) partiels se raccordent en un unique foncteur \[ r : \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S) \longrightarrow (\mathrm{Sch})_{/S} , \] la réalisation géométrique. Les deux hypothèses sont vérifiées dans les trois exemples ci-dessous, « de généralité croissante ».

Dans les cas qui intéressent, \(r\) sera fidèle sans être pleinement fidèle. C'est là toute la mise : un revêtement de type \(\mathcal{R}\) n'est pas déterminé par sa réalisation géométrique, et il faut donc distinguer soigneusement les deux. Quand \(r\) est fidèle, on peut décrire \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) comme la catégorie des « revêtements de \(S\) munis d'une structure de type \(\mathcal{R}\) », une telle structure sur un revêtement \(X\) étant la donnée d'une classe d'isomorphie d'objets \(X' \in \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) et d'un isomorphisme \(r(X') \simeq X\).⁶

14–16

Exemple 1 : un revêtement à opérateurs (pages 14 à 16)

C'est l'exemple à garder en tête, et Grothendieck le dira lui-même page 34 : « the basic example in order to understand the idea is example 1 ».

Donnons-nous un \(S\)-schéma \(Z\) muni d'une action à droite d'un groupe fini \(G\) par \(S\)-automorphismes. Soit \(\mathcal{C}_{0}\) la catégorie à un objet dont le monoïde des endomorphismes est \(G\), et prenons \(\mathcal{C} = \mathrm{Et}(S) \times \mathcal{C}_{0}\). Se donner un foncteur cartésien de \(\mathcal{C}\) dans une catégorie fibrée sur \(\mathrm{Et}(S)\) revient à se donner un objet de la fibre au-dessus de \(S\) muni d'une action de \(G\) ; le couple \((Z, G)\) fournit donc bien un \(s\).

On trouve aussitôt une équivalence entre \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) et la catégorie des revêtements étales finis \(Z' \to Z\) munis d'une action à droite de \(G\) au-dessus de celle de \(G\) sur \(Z\) ; et la réalisation géométrique existe si et seulement si le quotient \(Z'/G\) existe, auquel cas \(r(Z') = Z'/G\). Il suffit pour cela que toute orbite de \(G\) dans \(Z\) soit contenue dans un ouvert affine — en particulier, il suffit que \(Z\) soit affine sur \(S\), ce qui sera le cas puisque \(Z\) sera un revêtement de \(S\).

Le sens intuitif

En première approximation, les objets de \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) sont les revêtements de \(S\) qui deviennent étales au-dessus du revêtement ramifié donné \(Z\). C'est ce qui donne son sens au mot « donnée de ramification » : \(Z\) est le patron de ramification que l'on s'autorise, et l'on regarde tout ce qui n'est pas pire que lui.

Grothendieck le dit une seconde fois, page 34, dans le langage des corps de fonctions, et cette formulation-là est la plus parlante. Supposons \(S\) intègre normal de corps de fonctions \(K\), et \(Z\) le normalisé de \(S\) dans une extension galoisienne finie \(L\) de \(K\). Un revêtement \(S'\) de \(S\), connexe, correspond à une extension \(K'\) de \(K\). Dire que \(S'\) n'a pas de ramification pire que \(Z/S\), c'est dire que l'image inverse normalisée de \(S'\) au-dessus de \(Z\) est étale ; et lorsque \(S\) est strictement local, cela revient tout simplement à dire que \(K'\) est isomorphe à une sous-extension de \(L\). La notion est de nature locale pour la topologie étale, de sorte qu'on peut toujours se ramener au cas strictement local, où elle est aussi simple que cela.

Alors, par transport de structure, \(G\) opère sur \(S'\), et l'on retrouve \(S'\) à partir du \(G\)-revêtement \(Z'\) de \(Z\) comme \(S' = Z'/G\).

Quand \(r\) est fidèle, quand il est pleinement fidèle

Soit \(U\) un ouvert de \(S\) tel que \(V = Z|U\) soit un revêtement principal de groupe \(G\), et supposons que toute partie ouverte et fermée de \(Z\) stable par \(G\) et contenant \(V\) soit égale à \(Z\) — c'est le cas si \(V\) est dense dans \(Z\).

1. (a)Alors \(r\) est fidèle. En effet le foncteur de restriction \(Z' \mapsto Z'|V\), des \(G\)-revêtements étales de \(Z\) dans ceux de \(V\), est fidèle ; et le foncteur \(Z'_{V} \mapsto Z'_{V}/G\), des \(G\)-revêtements étales de \(V\) dans les revêtements étales de \(U\), est une équivalence par descente le long du revêtement principal \(V \to U\) — a fortiori fidèle.
2. (b)Si de plus \(V\) est dense dans \(Z\) et \(Z\) est normal, alors \(Z' \mapsto Z'|V\) est pleinement fidèle, donc \(r\) l'est aussi. Dans ce cas \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) est équivalente à une sous-catégorie pleine de la catégorie des revêtements normaux de \(S\) : ceux qui sont étales au-dessus de \(U\) et dont toute composante irréductible domine une composante irréductible de \(S\) rencontrant \(U\).

L'énoncé (b) est une équivalence sur une sous-catégorie pleine, non une égalité : la sous-catégorie n'est pas décrite par une propriété fermée des revêtements, et c'est précisément le théorème d'Abhyankar qui, dans le cas des croisements normaux, la décrira ainsi.⁷

Signalons enfin ce que la page 35 ajoute et qui n'est pas dans l'esquisse : toutes les hypothèses de normalité sont superflues pour la théorie générale des revêtements étales de \((Z,G)\), qui a toutes les propriétés de celle des revêtements étales d'un schéma, et est décrite par un groupe profini — extension de \(G\) par \(\pi_{1}(Z)\). Les hypothèses de normalité ne servent qu'à assurer la pleine fidélité de \(Z' \mapsto Z'/G\).

16–18

Exemple 2 : un système projectif de modèles (pages 16 à 18)

Variante immédiate. Au lieu d'un seul couple \((Z, G)\), on se donne un système projectif \((Z_{i}, G_{i})_{i \in I}\) de tels couples, \(I\) ordonné filtrant. Le système projectif des \(G_{i}\) définit une catégorie fibrée \(\mathcal{C}_{0}\) sur la catégorie associée à \(I\), et l'on prend \(\mathcal{C} = \mathrm{Et}(S) \times \mathcal{C}_{0}\). Alors \[ \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S) \;\simeq\; \varinjlim_{i} \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}_{i}}(S) , \] limite inductive des catégories définies séparément par chaque \((Z_{i},G_{i})\).

Le cas intéressant est celui où les foncteurs de transition — qui sont des images inverses de revêtements étales à opérateurs — sont pleinement fidèles, de sorte que les \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}_{i}}(S)\) s'identifient à des sous-catégories pleines qui épuisent la limite : c'est l'hypothèse (H1) sur cet exemple. Il en est ainsi lorsque les morphismes de transition \((Z_{i}, G_{i}) \to (Z_{j}, G_{j})\) sont tels que \(G_{i} \to G_{j}\) soit surjectif et que \(Z_{i} \to Z_{j}\) induise un isomorphisme \(Z_{j} \simeq Z_{i}/N_{ij}\), \(N_{ij}\) étant le noyau de \(G_{i} \to G_{j}\). En effet, tout revêtement étale \(Z'_{j}\) de \(Z_{j}\) vérifie alors \(Z'_{j} \simeq Z'_{i}/N_{ij}\), où \(Z'_{i}\) est l'image inverse de \(Z'_{j}\) sur \(Z_{i}\).

La motivation est page 35 et elle est concrète : dans les applications on ne dispose pas d'un seul modèle de ramification, mais d'une infinité — tous les \(Z^{n}_{a}\) pour \(a\) fixé et \(n\) variable — et la condition qu'on veut imposer à un revêtement est d'avoir une ramification qui ne soit pire que celle de l'un des modèles.

18–19

Exemple 3, dans ses deux moutures (pages 18 et 19)

L'exemple 3 est retapé, et le carton conserve les deux états. Ils ne sont pas fusionnés ici : leur différence est la trace du travail, et elle va toujours dans le même sens — vers l'élimination d'une donnée arbitraire.

La situation qu'ils veulent couvrir est celle de la page 35 : les modèles de ramification ne sont pas définis globalement — dans le cas kummérien, les diviseurs peuvent n'être pas principaux — mais seulement localement, avec des conditions de compatibilité disant que la restriction d'un modèle donné sur \(U\) à \(U \cap V\) n'a pas de ramification pire que celle d'un modèle donné sur \(V\).

Première mouture : par une factorisation de \(s\)

On suppose que \(s\) se factorise \[ \mathcal{C} \xrightarrow{\ s'\ } \mathrm{Flop}_{S} \longrightarrow \mathrm{Fl}_{S} , \] où \(\mathrm{Flop}_{S}\) est la catégorie fibrée des schémas relatifs munis d'un groupe fini d'opérateurs à droite, le second foncteur étant l'oubli des opérations. Les morphismes de \(\mathrm{Flop}_{S}\) sont les couples \((f, u)\) où \(f : Z \to Z'\) est un \(S\)-morphisme et \(u : G_{S} \to G'_{S}\) un morphisme localement constant, pas nécessairement constant, de schémas en groupes sur \(S\), compatibles au sens évident.⁸ La liberté laissée à \(u\) est ce qui permettra, au cas kummérien, de faire varier le groupe des racines de l'unité d'un ouvert étale à l'autre.

On suppose alors deux choses. Pour toute flèche \(M' \to M\) dans un \(\mathcal{C}_{S'}\), si \(s(M') = (Z', G')\) et \(s(M) = (Z,G)\), la flèche induit un isomorphisme \(Z \simeq Z'/H\), où \(H\) est le noyau de \(G'_{S} \to G_{S}\). Et pour tout objet \(M\), posant \(s(M) = (Z,G)\), on se donne un homomorphisme \(G \to \operatorname{Aut}(M)\) tel que l'image \(\bar{g}\) de \(g\) vérifie \(s(\bar{g}) = (g_{Z}, \operatorname{int}(g))\), tout endomorphisme de \(M\) étant localement de cette forme ; le tout compatible aux images inverses et aux flèches de \(\mathcal{C}_{S'}\).

C'est cet homomorphisme \(G \to \operatorname{Aut}(M)\) qui est la donnée artificielle, et la seconde mouture s'en débarrasse.

Seconde mouture : par les groupes d'automorphismes

On suppose maintenant, sur \(\mathcal{R} = (\mathcal{C}, s)\) seule :

1. (1)pour tout \(S' \in \mathrm{Et}(S)\) et tout \(M \in \mathcal{C}_{S'}\), le groupe \(G = \operatorname{Aut}(M)\) est fini ;
2. (2)pour toute flèche \(M' \to M\) de \(\mathcal{C}_{S'}\), il existe un unique morphisme de groupes \(G' = \operatorname{Aut}(M') \to G = \operatorname{Aut}(M)\) rendant \(M' \to M\) équivariant ; et si \(H\) en est le noyau, \(s(M') \to s(M)\) induit un isomorphisme \(s(M')/H \simeq s(M)\) ;⁹
3. (3)deux morphismes de \(M'\) dans \(M\) se déduisent l'un de l'autre par composition avec un élément de \(G\) ;
4. (4)deux objets \(M\), \(M'\) de \(\mathcal{C}_{S'}\) sont localement majorés : il existe une famille surjective de morphismes étales \(S'_{i} \to S'\) telle que \(M_{S'_{i}}\) et \(M'_{S'_{i}}\) soient tous deux majorés par un même objet \(M''_{i}\) de \(\mathcal{C}_{S'_{i}}\).

Sous ces conditions, la théorie de la descente montre que la réalisation géométrique \(r : \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S) \to (\mathrm{Sch})_{/S}\) est définie, et à valeurs dans les revêtements de \(S\) dès que les \(s(M)\) en sont — il suffirait même, pour appliquer la descente, que les \(s(M)\) soient affines sur \(S'\). Et les critères de fidélité et de pleine fidélité de l'exemple 1 se transposent : il suffit que chaque \(\bigl(s(M), \operatorname{Aut}(M)\bigr)\) satisfasse, sur son \(S'\), les conditions que \((Z,G)\) y satisfaisait.

La condition (4) est celle qui fait le travail de recollement : c'est elle qui dit que les modèles locaux, donnés sur des ouverts étales différents, sont comparables. Le paragraphe des « Remarques » de la page 32 remplacera ces conditions par cinq conditions a) à e) portant sur \(\mathcal{R}\) seule, où la donnée de \(s\) elle-même a fondu ; c'est le troisième état de l'exemple 3, et il est lu plus bas, avec les pages 32 et 33.

19–20

Le cas kummérien (pages 19 et 20)

Soit \((D_{i})_{i \in I}\) une famille de diviseurs de Cartier sur \(S\). Pour \(S'\) étale sur \(S\), on prend pour \(\mathcal{C}_{S'}\) la catégorie dont les objets sont les quadruples \[ M = (\underline{a},\, \underline{n},\, G,\, u) , \] où \(\underline{a} = (a_{i})_{i \in I}\) est une famille d'équations des \(D_{i\,S'}\), \(\underline{n} = (n_{i})_{i \in I}\) une famille d'entiers \(\geqslant 1\) premiers aux caractéristiques résiduelles de \(S'\), \(G\) un groupe fini, et \(u : G_{S'} \xrightarrow{\ \sim\ } \mu_{\underline{n},\,S'}\) un isomorphisme de schémas en groupes.

Les morphismes sont donnés par \[ \operatorname{Hom}_{S'}(M', M) \;=\; \begin{cases} \bigl\{\, \underline{b} = (b_{i})_{i \in I} \ :\ \underline{b}^{\,\underline{n}} = \underline{a}'\,\underline{a}^{-1} \,\bigr\} & \text{si } \underline{n} \ \text{divise}\ \underline{n}' , \\[2pt] \varnothing & \text{sinon} , \end{cases} \] la divisibilité s'entendant composante par composante.¹⁰

Le foncteur cartésien associe à \(M\) le revêtement kummérien élémentaire \[ Z^{\underline{n}}_{\underline{a}} \;=\; \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S'}[T_{i}\,;\ i \in I]\,/\, (T_{i}^{\,n_{i}} - a_{i}) , \] considéré comme revêtement à groupe d'opérateurs \(G\) grâce à \(u : G \simeq \mu_{\underline{n}}\). On vérifie qu'on est alors dans les conditions de l'exemple 3.

Le foncteur \(r\) est fidèle ; il est pleinement fidèle lorsque \(S\) est localement noethérien, normal aux points des \(\operatorname{supp} D_{i}\), les \(D_{i}\) réduits, et toute composante irréductible d'un \(D_{i}\) distincte de toute composante d'un \(D_{j}\) pour \(j \neq i\).

Le groupe \(G\) et l'isomorphisme \(u\) sont ici encore des données arbitraires : Murre demande page 2 si les objets ne sont pas plutôt les couples \((\underline{a}, \underline{n})\) avec \(G(M) = \mu_{\underline{n}}\), et Grothendieck le confirme page 37. La présentation intrinsèque de la page 33 permet en effet de « se dispenser d'introduire aussi des isomorphismes \(u : G_{S'} \to \mu_{\underline{n},\,S'}\) », et l'objet se réduit au couple \((\underline{a}, \underline{n})\). C'est l'état auquel le carton reviendra vingt fois ; sous cette forme, la catégorie fibrée \(\mathcal{C}\) est un groupoïde, et son champ associé est une gerbe sous \(\mu_{\underline{n}}\) — ce que la page 200 dira explicitement, et ce qu'on appelle aujourd'hui le champ des racines \(\sqrt[\underline{n}]{\underline{D}/S}\).¹¹

Le tapuscrit continue à la page 21, avec le second cas kummérien — celui d'un diviseur \(D\) à croisements normaux dont les composantes ne sont définies que localement pour la topologie étale — et c'est là que le mot « modérément ramifié au sens large » est prononcé.

21–22

Le cas kummérien local, et la ramification modérée au sens large (pages 21 et 22)

La page 20 s'arrêtait au milieu du second cas kummérien. Le voici entier.

Soit \(D\) un diviseur sur \(S\). On considère le faisceau, sur \(\mathrm{Et}(S)\), associé au préfaisceau qui à \(S'\) associe l'ensemble des familles \((D_{i})\) de diviseurs sur \(S'\) telles que \(D_{S'} = \sum_{i} D_{i}\) et que, pour tout \(s' \in S'\), les restrictions à \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{S',s'})\) des \(D_{i}\) non nulles soient deux à deux disjointes. Une section de ce faisceau donne, localement pour la topologie étale, une situation comme au cas précédent, ce qui suffit à définir une donnée de ramification sur \(S\).¹²

Deux cas particuliers méritent un nom, car \(\mathcal{C}\) s'y décrit en termes du seul \(D\) :

1. 1^o)\(S\) localement noethérien, \(D\) à croisements normaux ; on prend pour \(D_{i}\) les composantes irréductibles locales régulières de \(D\), qui ne sont définies que localement pour la topologie étale ;
2. 2^o)\(S\) au-dessus d'un préschéma \(T\), \(D\) à croisements normaux relativement à \(T\) ; on prend pour \(D_{i}\) les composantes locales lisses sur \(T\).

Dans le cas 1^o, \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) est équivalente à une sous-catégorie pleine de la catégorie des revêtements de \(S\), et l'on appelle ses objets les revêtements modérément ramifiés au sens large relativement à \(D\). C'est une notion strictement plus large que celle de revêtement modérément ramifié par rapport à la famille réduite au seul \(D\), et c'est le théorème d'Abhyankar qui la caractérise : ce sont les revêtements étales sur \(S - \operatorname{supp} D\), normaux aux points au-dessus de \(\operatorname{supp} D\), dont toute composante irréductible en domine une de \(S\), et qui sont modérément ramifiés au sens classique aux points maximaux de \(D\).

C'est le seul endroit du carton où la structure redevient une propriété, et il vaut d'être noté comme tel : la caractérisation d'Abhyankar est ce qui rend le cas des croisements normaux exceptionnellement maniable, et son absence ailleurs est la raison d'être de tout l'appareil.

Le cas 2^o attend encore une vérification — « sauf erreur (il faudrait le vérifier) » —, et l'on parlerait alors de revêtements « modérément ramifiés pour \(D\), relativement à la base \(T\) ». Lorsque \(T\) est régulier les deux notions coïncident. L'intérêt du cas relatif est indiqué en une phrase : c'est avec la ramification modérée au sens large que le théorème de spécialisation pour le groupe fondamental modéré se démontre par la technique de SGA 1, pour \(S\) propre et lisse sur \(T\) et \(D\) à croisements normaux relativement à \(T\).¹³

22–24

La donnée est auxiliaire : l'analogie du site et du topos (pages 22 à 24)

Pour \(S'\) variable dans \(\mathrm{Et}(S)\) on définit \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S')\) en restreignant \(\mathcal{R}\) à \(\mathrm{Et}(S') = \mathrm{Et}(S)_{/S'}\), d'où une catégorie fibrée \(\underline{\mathrm{Rev}}^{\mathcal{R}}\) sur \(\mathrm{Et}(S)\) — qui est même un champ — et un foncteur cartésien \[ (\ast) \qquad r : \underline{\mathrm{Rev}}^{\mathcal{R}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Rev}} , \] où \(\underline{\mathrm{Rev}}\) désigne la catégorie fibrée des revêtements des objets de \(\mathrm{Et}(S)\).¹⁴

C'est ici que le tapuscrit dit ce qu'il faut penser de tout ce qui précède, et la phrase doit être citée :

Il faut insister sur le fait que pour nous, la « donnée de ramification » \(\mathcal{R}\) est un objet de nature essentiellement auxiliaire, destiné à définir la catégorie fibrée \(\underline{\mathrm{Rev}}^{\mathcal{R}}\) (qui est même un champ) et le foncteur cartésien \(r\) de \((\ast)\) ; c'est \((\ast)\) qui est l'objet véritable de l'étude.

On dira donc que deux données \(\mathcal{R}\), \(\mathcal{R}'\) sont essentiellement équivalentes si elles définissent des foncteurs \((\ast)\) équivalents, par une équivalence induisant l'identité sur \(\underline{\mathrm{Rev}}\).

Trois exemples d'équivalence

Le premier est formel. Sous les conditions de l'exemple 3, soit \(\mathcal{C}'\) une sous-catégorie fibrée de \(\mathcal{C}\) telle que tout objet \(M\) d'un \(\mathcal{C}_{S'}\) soit localement majoré par un objet de \(\mathcal{C}'\), et munissons \(\mathcal{R}'\) de la réalisation géométrique induite : alors \(\mathcal{R}\) et \(\mathcal{R}'\) sont équivalentes. Autrement dit, seul le crible compte, pas le catalogue.

Le deuxième compare les exemples 2 et 3 dans le cas kummérien. Si les \(D_{i}\) admettent des équations globales \(c_{i}\), on peut considérer le système projectif des \(Z^{\underline{n}}_{\underline{c}}\) pour \(\underline{n}\) variable, premier à la caractéristique de \(S\) (supposée exister), avec le système projectif des groupes \(\mathbb{Z}/n_{i}\mathbb{Z}\) ; si l'on dispose d'un isomorphisme entre ce dernier et le système des \(\mu_{\underline{n}}\) — il en existe lorsque \(S\) est un schéma sur un corps algébriquement clos — on est dans les conditions de l'exemple 2, et la donnée obtenue est équivalente à la donnée kummérienne de l'exemple 3. Les deux exemples décrivent donc, dans ce cas, la même chose ; ce qui les distingue est l'existence globale des racines de l'unité.

Le troisième est une torsion. Soit \(\mathcal{R}\) la donnée de l'exemple 1, définie par \((Z,G)\). Donnons-nous un revêtement principal \(P\) de \(S\) de groupe \(G'\) opérant à droite, et supposons que \(G\) opère à gauche sur \(P\), librement, en commutant à \(G'\). Alors \(Z' = Z \times^{G} P\), muni de \(G'\), définit une donnée \(\mathcal{R}'\) équivalente à \(\mathcal{R}\) : on le voit d'abord quand \(P = G'_{S}\) avec l'opération régulière droite et \(G \hookrightarrow G'\), puis par localisation étale.

« On soit infailliblement conduit \dots »

Et vient alors la phrase qui donne au dossier son programme :

On peut se proposer de normaliser la notion de donnée de ramification, pour éliminer l'arbitraire dans le choix d'un \(\mathcal{R}\). Mais alors il semble qu'on soit infailliblement conduit à prendre comme catégorie \(\mathcal{C}\) la catégorie \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}\) elle-même qu'on se propose de construire et d'étudier ! (Comparer avec la situation analogue pour les relations entre sites et topos, l'objet auxiliaire étant le site, l'objet intrinsèque de nature géométrique étant le topos associé à ce site.)

Il faut lire cela comme un problème ouvert posé à soi-même, et il est résolu dans le même carton, deux cents pages plus loin : le domaine de ramification des pages 190 à 200 est un champ de catégories multigaloisiennes au-dessus de \(\mathrm{Et}(S)\), muni d'une réalisation géométrique continue, c'est-à-dire exactement la catégorie elle-même prise comme donnée. Le carton ne date pas ces pages-là et cette lecture ne le fera pas ; mais la boucle est close, et elle l'est dans un seul carton.

24–25

La catégorie et son groupe fondamental (pages 24 et 25)

Exactitude

La catégorie \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) hérite de toutes les propriétés d'exactitude établies pour les revêtements étales d'un schéma. De façon précise : les limites projectives finies et les limites inductives finies y existent et satisfont les mêmes propriétés d'exactitude que dans la catégorie des ensembles ; tout morphisme s'y factorise en un épimorphisme suivi d'un monomorphisme ; épimorphismes et monomorphismes sont effectifs ; et tout monomorphisme est un isomorphisme sur un facteur direct.

Ce dernier énoncé est exactement l'axiome que la page 209 numérotera G3, et que SGA 1 V numérote de même : tout morphisme se factorise en un épimorphisme suivi d'un isomorphisme sur un sommande direct. Il est ici obtenu comme une propriété, et il sera là-bas posé comme un axiome ; c'est le même énoncé, à onze ans et cent quatre-vingts pages de distance.

Un avertissement, qui n'est pas une remarque de détail : la réalisation géométrique \(r\) commute aux limites inductives finies — en particulier aux sommes — mais pas aux limites projectives finies, et en particulier pas au produit de deux objets. Le produit de deux revêtements de type \(\mathcal{R}\) n'est donc pas le produit fibré de leurs réalisations au-dessus de \(S\). C'est le fait que la page 31 signalera comme la cause de la complication de l'un des lemmes de Murre.

Le foncteur fibre

Pour appliquer la théorie de Galois abstraite, il faut de plus un foncteur fibre \[ F : \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S) \longrightarrow (\text{ensembles finis}) , \] c'est-à-dire un foncteur exact.

Dans l'exemple 1, tout point géométrique de \(Z\) en fournit un ; il est conservatif si toute partie ouverte et fermée de \(Z\) stable par \(G\) est vide ou égale à \(Z\). Dans l'exemple 2, on prend un point géométrique de \(Z = \varprojlim Z_{i}\).

Dans le cas général de l'exemple 3, il faut travailler un peu. On choisit un point géométrique \(s\) de \(S\) qui n'appartienne pas à l'ensemble de ramification de \(\mathcal{R}\) : pour tout \(S'\) dans \(\mathrm{Et}(S)\) et tout \(M\) de \(\mathcal{C}_{S'}\), le revêtement à opérateurs \(\bigl(s(M), \operatorname{Aut}(M)\bigr)\) de \(S'\) doit être principal aux points de \(S'\) au-dessus de l'image de \(s\). Alors, pour tout objet \(T\) de \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\), \(r(T)\) est étale sur \(S\) en \(s\), et \[ F : T \longmapsto r(T)(s) \] est exact. Il est conservatif si et seulement si le site \(\mathcal{C}\), muni de la topologie image inverse de celle de \(\mathrm{Et}(S)\), est connexe ; et si l'on suppose que \(s(M)/\!\operatorname{Aut}(M) \to S'\) est un isomorphisme pour tout \(M\) — « ce qui sera sans doute le cas dans tous les cas intéressants » — cela revient à dire que \(S\) est connexe.

Le groupe

Sous ces conditions, la théorie de Galois abstraite fournit un groupe profini \[ \pi_{1}^{\mathcal{R}}(S, s) \] et une équivalence entre \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) et la catégorie des ensembles finis munis d'une action continue de ce groupe.

La connexité n'est pas un détail technique : c'est elle, et elle seule, qui permet de remplacer un groupoïde par un groupe. Sans elle, \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) n'est pas galoisienne mais seulement, comme la page 30 le dira, multigaloisienne — un produit de catégories galoisiennes indexé par les composantes connexes de l'objet final, donc un groupoïde profini et non un groupe.¹⁵

25–29

Fonctorialité en \(S\) et en \(\mathcal{R}\) (pages 25 à 29)

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas, d'où un foncteur continu \(f^{\circ} : \mathrm{Et}(S) \to \mathrm{Et}(T)\). Donnons-nous une donnée \(\mathcal{R}_{S} = (\mathcal{C}_{S}, s_{S})\) sur \(S\), une donnée \(\mathcal{R}_{T} = (\mathcal{C}_{T}, s_{T})\) sur \(T\), un foncteur \(M \mapsto M \times_{S} T\) de \(\mathcal{C}_{S}\) dans \(\mathcal{C}_{T}\) transformant morphismes cartésiens en morphismes cartésiens et relevant \(f^{\circ}\), et enfin un morphisme entre les deux composés

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
\mathcal{C}_{S} \arrow[r] \arrow[d, "s_{S}"'] & \mathcal{C}_{T} \arrow[d, "s_{T}"] \\
(\mathrm{Sch})_{/S} \arrow[r, "X \mapsto X \times_{S} T"'] & (\mathrm{Sch})_{/T}
\end{tikzcd}

soit \[ u(M) : s_{T}(M \times_{S} T) \longrightarrow s_{S}(M) \times_{S} T , \] morphisme au-dessus de \(f^{\circ}(S')\) pour chaque \(M\) sur \(S'\).

On en déduit un foncteur \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}_{S}}(S) \to \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}_{T}}(T)\) et un homomorphisme de foncteurs composés

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}_{S}}(S) \arrow[r] \arrow[d, "r"'] & \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}_{T}}(T) \arrow[d, "r"] \\
\mathrm{Rev}(S) \arrow[r, "X \mapsto X \times_{S} T"'] & \mathrm{Rev}(T)
\end{tikzcd}

Cet homomorphisme est un isomorphisme dans certains cas : sous les conditions de l'exemple 3, lorsque, pour tout sous-groupe \(H\) de \(G = \operatorname{Aut}(M)\), le passage au quotient \(s(M)/H\) commute au changement de base \(T \to S\) — ce qui est vérifié si \(T \to S\) est plat, ou dans les cas kummériens a) pourvu que les images inverses des \(D_{i}\) existent et servent à définir la donnée sur \(T\).

Le point de la construction est que le foncteur ainsi obtenu est exact. Il en résulte, par les sorites de la théorie de Galois abstraite, que si \(t\) est un point géométrique de \(T\) non ramifié pour \(\mathcal{R}_{T}\) dont l'image \(s\) dans \(S\) est non ramifiée pour \(\mathcal{R}_{S}\), et si \(u\) induit un isomorphisme sur les fibres géométriques en \(t\), on a un homomorphisme canonique \[ \pi_{1}^{\mathcal{R}_{T}}(T, t) \longrightarrow \pi_{1}^{\mathcal{R}_{S}}(S, s) . \] Cela s'applique aux données kummériennes des trois types dès que \(T \to S\) est régulier, respectivement lisse, de sorte que les images inverses des \(D_{i}\) vérifient encore les conditions de croisements normaux.

Sur la transitivité pour un composé \(U \to T \to S\), le tapuscrit renonce — « on recule devant la tâche \dots , jetant provisoirement un voile pudique sur ces abîmes » — et cette lecture n'y supplée pas.¹⁶

Deux cas particuliers

Le premier est le changement de base étale, avec \(\mathcal{R}_{T}\) induite par \(\mathcal{R}_{S}\) : le carré est déjà connu, puisqu'on dispose du foncteur cartésien \((\ast)\) sur \(\mathrm{Et}(S)\), et l'homomorphisme de foncteurs composés y est un isomorphisme. Si de plus \(T\) est fini sur \(S\), avec \(S\) et \(T\) connexes, et sous les conditions de l'exemple 3, l'homomorphisme sur les groupes fondamentaux est un monomorphisme, d'image le sous-groupe de \(\pi_{1}^{\mathcal{R}}(S,s)\) défini par le revêtement pointé \(T\) de \(S\).

Le second est le changement de base entier, radiciel et surjectif, avec \(\mathcal{R}_{T}\) image inverse de \(\mathcal{R}_{S}\). Alors le foncteur est trivialement une équivalence, par le résultat analogue pour les revêtements étales de \(X\) et \(X \times_{S} T\) ; en particulier, sur un point géométrique non ramifié de \(T\), on obtient un isomorphisme des groupes fondamentaux.

L'image inverse d'une donnée, et pourquoi elle est encombrante

Grothendieck signale une difficulté qu'il ne résout pas. Si \(\mathcal{R}\) est définie par \((Z,G)\) comme à l'exemple 1, son image inverse par \(T \to S\) est définie par \((Z \times_{S} T,\, G)\) ; c'est immédiat. Mais si \(\mathcal{R}\) est la donnée kummérienne associée à un système \((D_{i})\), l'image inverse au sens strict n'est pas la donnée associée au système \((D_{i\,T})\), même à équivalence de catégories fibrées près : elle lui est seulement « essentiellement équivalente » au sens ci-dessus.

Il en tire deux propositions : ou bien introduire la notion d'image inverse avec tout son poids, ou bien — c'est le parti qu'il juge le plus raisonnable — donner des conditions axiomatiques sur le carré \((\ast)\), sous les conditions de l'exemple 3, qui assurent moralement que \(\mathcal{R}_{T}\) est essentiellement équivalente à l'image inverse de \(\mathcal{R}_{S}\), et qui s'appliquent directement aux cas kummériens. Il ajoute qu'il serait raisonnable, « assez rapidement après les définitions générales », de se borner aux données du type de l'exemple 3 : ce sont les seules qu'on rencontrera jamais et les seules où l'on sache construire \(r\).

Descente et passage à la limite

Deux énoncés sont annoncés et non démontrés, avec l'usage qu'on veut en faire.

Un morphisme fidèlement plat et quasi-compact \(T \to S\) est de descente effective pour la catégorie fibrée des revêtements de type \(\mathcal{R}_{S}\) sur le diagramme \((S, T, T\times_{S}T, T\times_{S}T\times_{S}T)\). En particulier la descente fidèlement plate vaut pour les revêtements kummériens, ce qui est utilisé sans démonstration dans les notes de Murre pour la descente à partir d'un anneau complété.

Il y a lieu ensuite d'énoncer un passage à la limite pour un système projectif \((X_{i})\) de schémas quasi-compacts et quasi-séparés à morphismes de transition affines : cela ramène l'étude au voisinage d'un point \(s\) à celle de \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{S,s})\). Ainsi, pour \(S\) localement noethérien normal muni d'une famille \((D_{i})\) de diviseurs réduits — où la catégorie des revêtements kummériens est une sous-catégorie de celle des revêtements — un revêtement \(X\) de \(S\) est kummérien si et seulement si le revêtement induit sur \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{S,s})\) l'est pour tout \(s\), et l'on peut y remplacer \(\mathcal{O}_{S,s}\) par son hensélisé, par son hensélisé strict, voire par son complété si les hypothèses restent stables par complétion — par exemple si \(\mathcal{O}_{S,s}\) est excellent. Sans hypothèse de normalité ni de réduction, les mêmes observations valent à condition de se borner aux revêtements modérément ramifiés galoisiens, ce qui est le sujet du paragraphe suivant.

30–31

Revêtements galoisiens, et pourquoi la catégorie est indispensable (pages 30 et 31)

La définition, complétée

Un revêtement galoisien de type \(\mathcal{R}\) de \(S\), à groupe de Galois \(G\), est un objet \(X\) de \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) sur lequel le groupe fini \(G\) opère à droite de telle façon que, dans la catégorie \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\), on obtienne un revêtement principal de l'objet final : le morphisme \(X \times G \to X \times X\) est un isomorphisme, et \(X \to e\) est couvrant.

Il faut y ajouter une condition que la page ne porte pas, sans quoi la définition explicite qui suit ne coïncide pas avec celle-ci : l'action de \(G\) doit commuter aux actions des groupes d'automorphismes dont les modèles sont déjà munis, aussi bien qu'à la localisation étale sur \(S\).¹⁷

Sous cette condition, la notion s'explicite de trois façons équivalentes : comme ci-dessus ; en termes des groupes fondamentaux, puisque \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) est en tous cas une catégorie multigaloisienne ; et en revenant à la définition, en exigeant que, pour tout \(M \in \mathcal{C}_{S'}\), le revêtement \(X(M)\) de \(s(M)\) soit principal de groupe \(G\).

Par abus de langage, on appellera aussi revêtement galoisien de type \(\mathcal{R}\) le revêtement à opérateurs \(\bigl(r(X), G\bigr)\). L'abus est sans danger lorsque le foncteur de la catégorie des revêtements galoisiens de type \(\mathcal{R}\) — morphismes restreints aux isomorphismes — dans celle des revêtements à opérateurs de \(S\) est pleinement fidèle : alors, pour un revêtement à opérateurs \((T,G)\) donné, il existe au plus un \((X,G)\) galoisien de type \(\mathcal{R}\) dont il provienne, à isomorphisme canonique près.

La condition nécessaire et suffisante

Voici la condition, d'abord dans le cas de l'exemple 1. Pour tout localisé strict \(S'\) d'un point de \(S\), soit \(Z'_{0}\) une composante connexe de \(Z' = Z \times_{S} S'\) et \(H\) son stabilisateur dans \(G\). On demande : pour deux sous-groupes distingués \(H_{1}, H_{2}\) de \(H\) et tout isomorphisme \(u : Z'_{0}/H_{1} \to Z'_{0}/H_{2}\) compatible avec un isomorphisme \(\varphi : H/H_{1} \to H/H_{2}\), il existe \(g \in H\) tel que \(\operatorname{int}(g)\) applique \(H_{1}\) sur \(H_{2}\), induise \(\varphi\) par passage au quotient, et tel que \(u\) soit induit par \(g_{Z'_{0}}\).

Dans le cas général de l'exemple 3, on exige cela pour tous les couples \(\bigl(s(M), \operatorname{Aut}(M)\bigr)\) sur les divers \(S'\) de \(\mathrm{Et}(S)\).

Cette condition est satisfaite dans le cas kummérien — Grothendieck renvoie aux énoncés 1.10 et 1.15 des notes de Murre — et la démonstration du critère est esquissée page 37 : la question est locale pour la topologie étale, donc on se ramène au cas strictement local, où la classification est explicite (voir plus bas).

Le passage en anglais

C'est ici que le tapuscrit change de langue, en pleine page, parce que Grothendieck est en train de répondre à Murre. Le passage est le centre du dossier et il tient en quatre affirmations.

1. Ce phénomène explique pourquoi il a été si réticent — à tort — à définir les revêtements modérément ramifiés hors du cas galoisien : dans le cas non galoisien, ce ne sera pas un revêtement satisfaisant des conditions supplémentaires, mais un revêtement muni d'une structure supplémentaire ; alors que dans le cas galoisien, la structure est uniquement déterminée si elle existe, et l'on peut ne pas la voir.
2. Tous les morphismes au sens naïf entre revêtements modérés, même galoisiens, ne doivent pas être considérés : seuls ceux qui viennent de morphismes de \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\). Le contre-exemple à 1.16 (pages 7 et 8) montre qu'il faut y prendre garde.
3. La notion naturelle de produit de deux revêtements modérés, galoisiens ou non, n'est pas le produit fibré naïf au-dessus de \(S\) — ce qui, ajoute-t-il, explique la complication de la démonstration d'un des lemmes de Murre.
4. Donc : « This shows rather clearly that even in the Galois case, the consideration of the category \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) is undispensable for a good comprehension of what is really going on. »

32–33

Le troisième état de l'exemple 3 : cinq conditions sur \(\mathcal{R}\) (pages 32 et 33)

Deux feuillets séparés reprennent l'exemple 3 et l'ouvrent par un jugement : « La présentation de cet exemple n'est ni élégante ni naturelle, la donnée de \(s\) et de \dots étant un élément de structure artificiel. » Suit la présentation intrinsèque, en cinq conditions sur \(\mathcal{R}\) seule.

1. a)Pour tout objet \(M\) d'un \(\mathcal{C}_{S'}\), le faisceau étale associé au préfaisceau des automorphismes de \(M\) sur \(\mathrm{Et}(S')\) est représentable par un schéma en groupes \(G(M)\) fini et étale sur \(S'\), déterminé à isomorphisme unique près. Il opère sur le schéma relatif \(s(M)\).
2. b)Pour tout \(S'\), tout morphisme de \(\mathcal{C}_{S'}\) est un épimorphisme et tout endomorphisme un automorphisme ; et pour tout \(u : M' \to M\) et tout automorphisme \(g'\) de \(M'\), il existe un automorphisme \(g\) de \(M\) tel que \(gu = ug'\). Cet automorphisme est alors unique, et \(u\) détermine un unique homomorphisme de schémas en groupes \(G(M') \to G(M)\) le rendant équivariant.
3. c)Cet homomorphisme \(G(M') \to G(M)\) est surjectif, et si \(H\) en est le noyau, \(s(M') \to s(M)\) induit un isomorphisme \(s(M')/H \simeq s(M)\) — les \(s(M)\) étant supposés relativement affines, de sorte que le quotient a un sens.
4. d)Deux homomorphismes de \(M'\) dans \(M\) se déduisent l'un de l'autre, localement pour la topologie étale, par composition avec un automorphisme de \(M\).
5. e)Étant donnés \(M\), \(M'\) dans \(\mathcal{C}_{S'}\), il existe une famille couvrante \(S'_{i} \to S'\) dans \(\mathrm{Et}(S)\) telle que les images de \(M\) et \(M'\) sur \(S'_{i}\) soient dominées par un même objet \(M''_{i}\) de \(\mathcal{C}_{S'_{i}}\).

Trois choses sont à voir. La première est le mouvement : le groupe d'automorphismes, qui n'était qu'un groupe abstrait à la première mouture et un groupe fini à la seconde, est ici un schéma en groupes, obtenu par faisceautisation du préfaisceau des automorphismes — donc extrait de \(\mathcal{C}\) et non ajouté à elle. La condition c) fait alors de \(s(M') \to s(M)\) un torseur sous \(H\), ce que la page ébauche avant de biffer.

La deuxième est ce que cela permet : « on peut, dans la description des données de ramification kummériennes, se dispenser d'introduire aussi des isomorphismes \(u : G_{S'} \to \mu_{\underline{n},\,S'}\) ». Le quadruple \((\underline{a}, \underline{n}, G, u)\) des pages 19 et 20 se réduit au couple \((\underline{a}, \underline{n})\), et c'est la réponse à la question de Murre.

La troisième est la conditions d) et e) prises ensemble : \(\mathcal{C}_{S'}\) est localement un groupoïde connexe. C'est la structure que les pages 198 à 200 appelleront une gerbe, et sous cette forme la donnée kummérienne est la gerbe des racines \(\underline{n}\)-ièmes des équations des \(D_{i}\).

34–38

La lettre d'accompagnement : le cas strictement local (pages 34 à 38)

La lettre qui accompagne le tapuscrit est une explication, non un complément : elle reprend l'exemple 1 dans le langage des corps de fonctions (lu plus haut), puis fait le calcul strictement local, qui est ce que l'esquisse omet.

Plaçons-nous sur \(S\) strictement local. Pour des revêtements définis sur \(S\) tout entier, la situation générale de l'exemple 3 se ramène à celle de l'exemple 2 ; et, quitte à remplacer les \(Z_{i}\) par des composantes connexes, on peut les supposer connexes. Pour \(Z_{i}\) fixé, les revêtements étales de \(Z_{i}\) sont triviaux, puisque \(Z_{i}\) est lui aussi strictement local. Donc : \[ \bigl\{\text{revêtements étales de } (Z_{i}, G_{i})\bigr\} \;\simeq\; \bigl\{\text{ensembles finis } E \text{ munis d'une action de } G_{i}\bigr\} , \] et la réalisation géométrique sur \(S\) de l'objet associé à \(E\) est \(Z_{i} \times^{G_{i}} E\).

Cela donne, pour \(S\) quelconque et localement pour la topologie étale, une description concrète de ce que signifie, pour un revêtement \(S'\) de \(S\), d'être associé à un modèle \(M\) : cela signifie qu'il est localement décrit par une représentation d'un groupe d'inertie sur un ensemble fini ; et la structure supplémentaire consiste à se donner de telles représentations locales qui se recollent. La description a un sens dès que \(r\) est fidèle, sans qu'on ait à le supposer pleinement fidèle.

Pour les revêtements galoisiens de groupe \(H\), le calcul est le suivant, et il est joli. Dans le cas strictement local, pour \(Z_{i}\) fixé, la catégorie de ces revêtements est équivalente à celle des ensembles finis \(E\) munis d'une action à gauche de \(G_{i}\) et d'une action à droite de \(H\) qui commutent, \(E\) étant un torseur sous \(H\). À isomorphisme près, ils sont classés par \[ \operatorname{Hom}(G_{i}, H) \big/ H , \] homomorphismes de groupes modulo automorphisme intérieur.¹⁸

C'est de cette description que sort le critère de pleine fidélité du foncteur « réalisation géométrique » sur les revêtements galoisiens de type \(\mathcal{R}\) : la question est locale pour la topologie étale, ce qui ramène au cas strictement local, où l'on vient de tout calculer.

La lettre porte enfin, en passant, une remarque de vocabulaire qui n'est pas anodine : « By the way, one should rather say category of ramification data ». Le carton finira par lui donner raison.

39–40

Un dossier s'ouvre : « Finitude (Pbs et conjectures) » (pages 39 et 40)

Les pages 39 et 40 ouvrent une chemise nouvelle, de la main de Grothendieck, et sans rapport apparent avec ce qui précède — sauf qu'elle demande, du groupe fondamental, ce que le tapuscrit vient de construire.

Trois énoncés, sur un corps \(k\) algébriquement clos.

1. a)\(X\) propre sur \(k\) \(\Longrightarrow\) \(\pi_{1}(X)\) topologiquement de type fini.
2. b)\(X\) de type fini sur \(k\) \(\Longrightarrow\) \(\pi'_{1}(X)\) de présentation finie, où \(\pi'_{1}\) désigne le plus grand quotient premier à la caractéristique.
3. c)\(X\) de type fini sur \(k\) \(\Longrightarrow\) \(\pi^{t}_{1}(X)\) topologiquement de type fini, où \(\pi^{t}_{1}\) classifie les revêtements modérément ramifiés le long du bord d'une compactification.

Et une note en marge : « c) plus général que a) ». En effet, pour \(X\) propre il n'y a pas de bord, donc \(\pi^{t}_{1}(X) = \pi_{1}(X)\), et c) redonne a).¹⁹

L'état des démonstrations est noté en regard, et il faut le lire comme un tableau de bord. L'énoncé a) est démontré : réduction au cas normal, Bertini pour se ramener à une courbe, puis théorie de la spécialisation du groupe fondamental et méthode transcendante. Pour b), « le cas type fini est prouvé » : réduction au cas normal par descente, puis au cas où les singularités sont « jolies au sens Artin », suite exacte des \(\pi_{1}\), c'est-à-dire théorème de spécialisation, puis passage à une courbe normale. Reste ce que la résolution des singularités permettrait de faire, et le cas d'une surface projective avec un diviseur à croisements normaux.

Ces trois questions occupent les pages 41 à 76, où l'on trouvera le théorème de finitude relatif, le groupe fondamental birationnel, et l'énoncé — démontré là — que \(\pi'_{1}(X \times Y) = \pi'_{1}(X) \times \pi'_{1}(Y)\).

41–42

Deux complétions d'un croisement normal, et le groupe fondamental local (pages 41 et 42)

Le feuillet de calcul

Soit \(A\) un anneau noethérien, \(x, y \in A\), tels que \(A/x\) et \(A/y\) soient réguliers intègres de dimension 1, et supposons \(A\) complet pour la topologie définie par \(xy\). C'est le modèle local d'un croisement normal : deux branches régulières se coupant en un point.

On dispose alors de trois complétions, \[ \hat{A}^{(x)} \;=\; k[y][[x]] , \qquad \hat{A}^{(y)} \;=\; k[x][[y]] , \qquad \hat{A}^{(x,y)} \;=\; k[[x,y]] , \] et \(A\) s'envoie dans les deux premières, qui s'envoient toutes deux dans la troisième. En termes de la région d'indices \((\alpha, \beta)\) des séries \(\sum a_{\alpha\beta}\, x^{\alpha} y^{\beta}\), que la marge de la page dessine : \(\hat{A}^{(x)}\) n'autorise, pour chaque \(\alpha\) borné, qu'un nombre fini de \(\beta\) ; \(\hat{A}^{(y)}\) l'inverse ; et \(\hat{A}^{(x,y)}\) tout. Le croquis à l'encre, deux axes \(\alpha\) et \(\beta\) coupés par une courbe, figure exactement le découpage de cette région.²⁰

C'est la situation locale que la page 106 dessinera — deux branches et le petit disque \(Z = \operatorname{Spec}\hat{\mathcal{O}}_{X,a}\) autour de leur croisement — et celle que les pages 87 à 97 traiteront le long d'une fibre spéciale.

Invariance birationnelle, et le groupe fondamental local

La page 42 achève la liste des conjectures ouverte page 40. Son point c) est l'invariance birationnelle de la ramification modérée, marqué « Prouvé » en marge : c'est ce qui donne un sens au problème, puisqu'il permet ensuite de procéder par normalisation et par Bertini pour se ramener à une courbe munie d'un diviseur à croisements normaux, où l'on conclut.

Puis s'ouvre une deuxième question, locale cette fois. Soit \(X\) un schéma noethérien — complet, ou strictement local et « bon » — et \(U\) un ouvert. On conjecture :

1. a)\(\pi^{t}_{1}(U)\) topologiquement de type fini ;
2. b)\(\pi'_{1}(U)\) de présentation finie.

Par la résolution des singularités et l'invariance birationnelle du cas a), on doit s'en tirer en se ramenant aux énoncés globaux de la page 40. Et pour a), par descente on se ramène au cas \(X\) normal, puis par section hyperplane — du moins si \(U = X\) privé de l'origine — au cas \(\dim X = 2\), où l'on dispose du théorème d'Abhyankar.

En marge, deux notes qui sont des notes à soi-même : « vérifier si c'est nécessaire », et « cela doit marcher \dots ».

43–45

Un schéma formel modulo un sous-schéma de définition (pages 43 et 45)

Deux feuillets, chacun barré d'un long trait de crayon, construisent deux catégories quotient. Ils sont hors du fil des conjectures et ils annoncent les pages 87 à 97.

Soit \(\mathfrak{X}\) un préschéma formel localement noethérien et \(\mathfrak{X}_{0} = V(\mathcal{J})\) un sous-schéma de définition.

Les modules cohérents

Soit \(\mathrm{Coh}(\mathfrak{X})\) la catégorie des modules cohérents sur \(\mathfrak{X}\), et \(\mathfrak{S}\) l'ensemble des flèches \(u\) dont le noyau et le conoyau sont tués par une puissance de \(\mathcal{J}\). Cet ensemble admet un calcul de fractions, et l'on pose \[ \mathrm{Coh}(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_{0}) \;=\; \mathrm{Coh}(\mathfrak{X})\bigl[\mathfrak{S}^{-1}\bigr] . \] En pratique — c'est la remarque de la page — on prend la sous-catégorie épaisse des modules cohérents tués par une puissance de \(\mathcal{J}\) et l'on passe au quotient par elle.²¹

L'exemple, et ce qu'il calcule

Soit \(X\) propre sur \(Y = \operatorname{Spec} A\), \(A\) noethérien séparé et complet pour un idéal \(I\), \(Y_{0} = V(I)\), \(X_{0} = X \times_{Y} Y_{0}\), et \(\mathfrak{X}\) le complété formel de \(X\) le long de \(X_{0}\). Le théorème d'existence donne une équivalence \(\mathrm{Coh}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Coh}(\mathfrak{X})\), compatible avec les sous-catégories des modules à support dans \(X_{0}\) :

\begin{tikzcd}
\mathrm{Coh}(\mathfrak{X}) & \mathrm{Coh}(X) \arrow[l, "\approx"'] \\
\mathrm{Coh}(\mathfrak{X})_{\mathrm{nilp}} \arrow[u] & \mathrm{Coh}(X)_{\mathrm{nilp}} \arrow[u]
\end{tikzcd}

d'où, en passant aux quotients, \[ \mathrm{Coh}(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_{0}) \;\approx\; \mathrm{Coh}(X - X_{0}) . \] C'est le point d'exclamation de la page : ce qui reste du schéma formel une fois qu'on a divisé par ce qui vit sur la fibre spéciale, c'est le complémentaire de cette fibre.

Les revêtements

La même construction se fait avec les revêtements. Soit \(R(\mathfrak{X})\) la catégorie des préschémas formels finis sur \(\mathfrak{X}\), et disons qu'un \(u : \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}''\) est un isomorphisme modulo \(\mathfrak{X}_{0}\) si l'homomorphisme d'algèbres correspondant \(\mathcal{A}'' \to \mathcal{A}'\) en est un au sens précédent. On vérifie qu'on obtient un calcul de fractions à droite, et l'on note \(R(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_{0})\) la catégorie quotient.

Sur le même exemple, le théorème de comparaison donne \(R(\mathfrak{X}) \approx R(X)\), donc \[ R(\mathfrak{X}/\mathfrak{X}_{0}) \;\approx\; R(X/X_{0}) \;\approx\; R(X - X_{0}) , \] avec, en marge, « à vérifier » : c'est le second isomorphisme qui n'est pas formel, et la page indique qu'il faudrait passer par le Main Theorem global. Cette question — quand un revêtement formel est-il algébrisable — est exactement celle que Murre et Grothendieck traiteront en 1969 sous le nom de théorème de Mumford, aux pages 77 à 85 du même carton.²²

44–44

Finitude en famille (page 44)

Un troisième point de la chemise, sous le titre « Théorèmes de finitude et simultanéité », et marqué « c'est fait » en marge. La question est de savoir comment les groupes fondamentaux des fibres d'un morphisme de type fini dépendent du point de la base, et l'on veut des énoncés du type constructibilité. Trois formes, calquées sur a), b), c) de la page 40 :

1. a)majoration uniforme du \(\pi_{1}(X_{\bar{s}})\) dans les cas de finitude, pour \(X/S\) propre ;
2. b)majoration uniforme pour les \(\pi'_{1}(X_{\bar{s}})\), ou mieux : la structure de \(\pi'_{1}(X_{\bar{s}})\) est fonction constructible de \(s\) ;
3. c)majoration uniforme pour les \(\pi^{t}_{1}(X_{\bar{s}})\).

Et l'estimation : « il semble que les méthodes qui résoudront 1) résoudront également 3) ». La forme b) — la constructibilité, et non seulement une borne — est la plus forte des trois, et c'est celle que le lemme 1 ci-dessous prépare.

46–57

« Théorème de finitude relatif pour \(\pi_{1}\) » (pages 46 à 57)

Une suite de six feuillets que Grothendieck pagine lui-même I à VI. Elle est écrite vite et lourdement raturée ; les énoncés se lisent, les phrases qui les relient souvent pas. Ce qui suit est ce que les énoncés disent.

Le pont entre \(H^{1}\) et \(\pi_{1}\)

Il n'est pas écrit sur les pages et il faut l'avoir en tête pour les lire. Pour \(X\) connexe pointé en \(x\) et \(G\) un groupe fini, l'ensemble \(H^{1}(X,G)\) des classes de revêtements principaux de groupe \(G\) s'identifie à \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}\bigl(\pi_{1}(X,x),\, G\bigr) \big/ \operatorname{int}(G) . \] Or un groupe profini est topologiquement de type fini si et seulement s'il n'a, pour chaque entier \(n\), qu'un nombre fini de sous-groupes ouverts d'indice \(n\). Donc : \(\pi_{1}(X,x)\) est topologiquement de type fini si et seulement si \(H^{1}(X,G)\) est fini pour tout groupe fini \(G\). C'est pourquoi la suite, intitulée « théorème de finitude pour \(\pi_{1}\) », ne parle que de \(H^{1}\).

Lemme 1 : un isomorphisme générique géométrique descend

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de préschémas localement noethériens, \(Y\) intègre de point générique \(y\), et soient \(X'\), \(X''\) deux schémas sur \(X\) tels que \(X'_{\bar{y}}\) et \(X''_{\bar{y}}\) soient isomorphes au-dessus de \(k(\bar{y})\). Alors il existe un revêtement fini étale \(Y_{1}\) de \(Y\) tel que \(X' \times_{Y} Y_{1}\) et \(X'' \times_{Y} Y_{1}\) soient isomorphes au-dessus de \(X_{Y_{1}}\).

Plus précisément : si \(\bar{u} : X'_{\bar{y}} \to X''_{\bar{y}}\) est donné et si \(K_{1}\) est la plus petite sous-extension de \(k(\bar{y})\) sur laquelle il est défini, alors \(K_{1}\) est étale sur \(Y\), et sur le \(Y_{1}\) correspondant \(\bar{u}\) provient d'un morphisme \(X' \times_{Y} Y_{1} \to X'' \times_{Y} Y_{1}\).

La démonstration introduit \(\underline{\mathrm{Hom}}_{X}(X', X'')\) — ou son sous-schéma des isomorphismes — pour se ramener au cas \(X' = X\), puis invoque SGA IX 6.2 pour identifier la fibre en \(y\) et conclure par un argument de profondeur.²³

Deux notes accompagnent le lemme, et elles valent l'énoncé. La première rappelle la suite exacte d'homotopie \[ \pi_{1}(X_{\bar{y}}, \xi) \longrightarrow \pi_{1}(X, \xi) \longrightarrow \pi_{1}(Y, \zeta) \longrightarrow 0 , \] que le lemme généralise. La seconde avertit : « ne pas confondre avec les résultats de SGA X, où on prend une fibre générique vraie » — et où il faut alors supposer \(f\) propre. C'est bien la fibre générique géométrique qui intervient ici, et c'est ce qui rend l'énoncé utile en famille : il dit que l'isomorphisme, qui semblait n'exister qu'après passage à une clôture algébrique, est déjà défini sur une extension finie séparable.

Lemme 2 : constructibilité de \(f_{*}\)

Soit \(f : X \to Y\) de type fini, \(Y\) localement noethérien et universellement japonais. Alors, pour tout faisceau d'ensembles constructible \(F\) sur \(X\), \(f_{*}(F)\) est constructible.

La marge dit « standard », et le lemme n'est pas démontré.²⁴

Lemme 3 : \(H^{1}\) le long d'une partition

Soit \(X\) un schéma connexe noethérien, \((X_{i})\) une partition finie de \(X\) en parties localement fermées, et \(G\) un groupe fini. Alors l'application \[ H^{1}(X, G) \longrightarrow \prod_{i} H^{1}(X_{i}, G) \] est à fibres finies. En particulier, si \(H^{1}(X_{i}, G)\) est fini pour tout \(i\), il en est de même de \(H^{1}(X, G)\) — « kif kif », dit la page.²⁵

La démonstration passe par la théorie du recollement des faisceaux étales, en utilisant le lemme 2, et par le fait suivant : si \(F\) et \(G\) sont des faisceaux étales constructibles sur \(X\) noethérien, alors \(\operatorname{Hom}(F, G)\) est un ensemble fini.

La proposition principale

Soit \(S\) un schéma noethérien universellement japonais et \(G\) un groupe fini. Quatre conditions sont mises en regard, dont la page ne laisse lire que la forme.²⁶

1. (i)Pour tout \(X\) de type fini sur \(S\), \(H^{1}(X, G)\) est fini.
2. (ii)La même chose, restreinte aux \(X\) affines lisses de type fini au-dessus d'un ouvert dense \(S'\) d'un sous-schéma affine intègre non vide \(S_{0}\) de \(S\), à fibres géométriques connexes non vides.
3. (iii)La même chose affaiblie : pour de tels \(S'\), \(X\), et tout ouvert non vide \(U\) de \(X\), il existe un ouvert non vide \(U'\) de \(U\) tel que \(H^{1}(U', G)\) soit fini.
4. (iv)Une condition en deux moitiés : a) une condition fibre à fibre, pour \(s \in S\) et \(\bar{X}\) connexe de type fini sur \(s\) ; b) une condition sur la base seule, la finitude de \(H^{1}(S', H)\) pour \(S'\) comme en (ii) et \(H\) un groupe auxiliaire. Lorsque \(H\) est commutatif on peut affaiblir b) en y remplaçant \(H\) par \(G\).

De la démonstration, une seule phrase se lit, et elle suffit à répartir le travail : (ii) et (iii) résultent aussitôt du lemme 3 ; c'est pour (iv) qu'il faut le lemme 1. Le lemme 3 fait le découpage, le lemme 1 fait le passage de la fibre géométrique générique à la base.

Les deux corollaires

Corollaire 1. Supposons \(G\) d'ordre premier aux caractéristiques résiduelles. Supposons que pour tout sous-schéma affine intègre non vide \(S_{0}\) de \(S\), tout ouvert dense \(S'\) de \(S_{0}\) et tout sous-groupe \(H\) de \(G \times G\), l'ensemble \(H^{1}(S', H)\) soit fini. Alors \(H^{1}(X, G)\) est fini pour tout \(X\) de type fini sur \(S\).

C'est le passage par \(G \times G\) qui mérite l'attention : le lemme 1 compare deux revêtements, et les couples qu'il fait intervenir ont pour groupe structural un sous-groupe de \(G \times G\). La condition sur la base est donc plus forte que celle qu'on croirait avoir à imposer.

Corollaire 2. Deux conditions équivalentes : la finitude de \(H^{1}(X, G)\) pour tout \(X\) de type fini et tout \(G\) premier aux caractéristiques résiduelles, et la même chose restreinte comme en (ii).²⁷

La récurrence sur la dimension

La page 57 esquisse comment ce qui précède se démontrerait. Récurrence sur \(\dim X\). Par le lemme 3, on se ramène au cas connexe. Si \(\dim X = 1\), \(X\) est lisse, et c'est facile : réduction au cas d'Abhyankar, avec un lemme de Serre–Lang. Si \(\dim X \geqslant 2\), on construit une fibration lisse \(X \to Y\) avec \(\dim Y < \dim X\), et l'on conclut par l'hypothèse de récurrence.²⁸

59–60

« \(\pi_{1}\) et \(\mathrm{Pic}^{\tau}\) birationnels » : la première page (pages 59 et 60)

Une chemise nouvelle s'ouvre, dont la suite est aux pages 61 à 76. Sa première page — Grothendieck la numérote 1 — porte un théorème et sa démonstration par récurrence sur la dimension.

Théorème. Soit \(X\) un préschéma algébrique sur un corps \(k\) algébriquement clos. Alors \(\pi'_{1}(X)\), limite projective des quotients discrets de \(\pi_{1}(X)\) d'ordre premier à \(p\), est topologiquement de type fini.

La démonstration procède par réductions successives.

Grâce au théorème de van Kampen on peut supposer \(X\) affine, puis affine et normal : sinon, on considère \(X' \to X\) un revêtement convenable et le diagramme \(X' \times_{X} X' \rightrightarrows X' \to X\), et \(\pi_{1}(X)\) est engendré par \(\pi'_{1}(X')\) et par un nombre fini de générateurs correspondant aux composantes irréductibles de \(X' \times_{X} X'\).

Si \(\dim X = 0\), c'est trivial. Si \(\dim X = 1\), la théorie de la spécialisation du groupe fondamental ramène à la caractéristique zéro, où l'on conclut par voie transcendante.

Si \(\dim X \geqslant 2\), on considère un revêtement \(\bar{X}^{n} \to \mathbf{P}^{r}_{k}\) et un sous-espace linéaire \(L^{r-n+1}\) défini sur une extension algébriquement close \(K\) de \(k\), et l'on pose \[ C \;=\; \bar{X}^{n} \times_{\mathbf{P}^{r}_{k}} L^{r-n+1} , \] courbe normale sur \(K\), « générique ». On montre alors que \[ \pi_{1}(C) \longrightarrow \pi_{1}(X) \] est surjectif, d'où la surjectivité de \(\pi'_{1}(C) \to \pi'_{1}(X)\), ce qui conclut puisque le cas des courbes est acquis.

C'est le théorème de Bertini de Zariski qui fournit cette surjectivité, et il est énoncé et démontré à la page 66.

La question, et un mot anglais

La page se termine sur une question, qui est celle vers laquelle tout le dossier des finitudes tend. Soit \(X\) normale complète et \(Y \subset X\) fermé. Le quotient de \(\pi_{1}(X - Y)\) par le sous-groupe engendré par les groupes d'inertie sauvages aux composantes de codimension 1 de \(Y\) est-il topologiquement de type fini ?²⁹

61–64

Fin du théorème de finitude relatif : deux corollaires sur les produits (pages 61 à 64)

Les pages 61 à 63 portent, dans l'angle supérieur gauche, les numéros 2, 3 et 4 que Grothendieck donne à la suite ouverte page 46. La page 61 est un palimpseste — un premier jet au crayon repris à l'encre, puis biffé — et sa plus grande partie est perdue ; cette lecture n'y supplée pas. Ce qui en reste lisible est la réduction à une courbe : \(X'\) le normalisé de \(X_{\mathrm{red}}\), \(D_{i}\) les composantes irréductibles de codimension 1 de l'image inverse d'un diviseur \(D\), \(U = X - D\), et le passage du triplet \((k, X, U)\) au triplet \((K, C, V)\) où \(C\) est une courbe.

Deux corollaires en sortent, et ils sont propres.

Corollaire (produits de paires). Soient \(X'\), \(X''\) propres sur \(k\), et \(Z' \subset X'\), \(Z'' \subset X''\) des parties fermées. Posons \[ X = X' \times X'' , \qquad Z = (Z' \times X'') \cup (X' \times Z'') . \] Alors, pour des points-base compatibles, \[ \pi^{t}_{1}(X ; Z) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \pi^{t}_{1}(X' ; Z') \times \pi^{t}_{1}(X'' ; Z'') \] est un isomorphisme. Autrement dit : le groupe fondamental modéré d'un produit de paires est le produit des groupes fondamentaux modérés.

Corollaire (produits, partie première à \(p\)). Soient \(X\), \(Y\) de type fini sur \(k\). Alors \[ \pi'_{1}(X \times Y) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \pi'_{1}(X) \times \pi'_{1}(Y) . \]

Cette dernière est l'énoncé que la lettre à Serre de 1959 conjecturait, à la page 128 du même carton, comme conséquence de sa suite exacte d'homotopie — « elle impliquerait que pour des schémas complets \(X\), \(Y\) au-dessus d'un corps algébriquement clos \(k\), on a \(\pi_{1}(X\times Y/k) = \pi_{1}(X/k)\times\pi_{1}(Y/k)\) ». Dix ans, et une centaine de pages du carton, séparent la conjecture du corollaire.³⁰

La restriction à \(\pi'_{1}\) est signalée sur la page même : « mais elles \dots la car. ». C'est l'aveu que le \(p\)-groupe fondamental d'un produit n'est pas le produit des \(p\)-groupes fondamentaux — ce qui est exact, et c'est l'un des phénomènes propres à la caractéristique \(p\).

La page 63 énonce une variante de la question. Soit \(X'\) un normalisé de \(X\), \(Y \subset X\) fermé, \(U = X - Y\) ; soient \(Y_{1}, \dots, Y_{r}\) les composantes de \(Y\) de codimension 1 dans \(X\) et \(Y'_{ij}\) leurs images inverses dans \(X'\). Considérons les revêtements étales de \(X - Y\) qui deviennent étales au-dessus des anneaux locaux des \(Y'_{ij}\) : ils sont classifiés par un groupe de type galoisien \(\pi\).

Théorème. Le groupe \(\pi\) est topologiquement de génération finie.

Deux corollaires : pour \(X\) complète et \(Y\) de codimension \(\geqslant 2\), un quotient convenable de \(\pi_{1}(X - Y)\) est topologiquement de génération finie ; et pour \(X\) algébrique, \(\pi'_{1}(X)\) est topologiquement de type fini.³¹

La page 64 est un brouillon : des carrés de schémas, la surjectivité de \(\pi_{1}(X\times Y)\to\pi_{1}(X)\times\pi_{1}(Y)\), et en marge « surj ?? » en regard de \(\pi_{1}(Y)\to\pi_{1}(X)\) pour \(X\) normal. Elle n'est pas reprise ici : rien n'y est énoncé.

65–69

« \(\pi_{1}\) birationnel » (pages 65 à 69)

Grothendieck pagine cette suite A à E, et la suivante F à L.

Le théorème

Théorème. Soient \(k\) algébriquement clos et \(X\) un schéma connexe sur \(k\) dont les composantes irréductibles \(X_{i}\) soient isomorphes — avec leur structure réduite induite — au complémentaire d'une partie fermée de codimension \(\geqslant 2\) dans un schéma propre sur \(k\). Alors \(\pi_{1}(X)\) est topologiquement de type fini.

Démonstration. Par SGA IX 6.2 on se ramène au cas où \(X\) est intègre, donc de la forme \(X = Z - Y\) avec \(Z\) propre et \(Y\) de codimension \(\geqslant 2\) dans \(Z\) ; on peut supposer \(Z\) intègre. Si \(Z' \to Z\) est propre surjectif avec \(Z'\) intègre, et \(X'\) l'image inverse de \(X\), il suffit de prouver l'énoncé pour \(X'\) ; par le lemme de Chow on peut donc supposer \(Z\) projectif.

Récurrence sur \(\dim Z\). Si \(\dim Z \leqslant 0\), trivial. Si \(\dim Z = 1\), alors \(Y = \varnothing\) puisque \(Y\) est de codimension \(\geqslant 2\), donc \(X = Z\) et le théorème est connu. Si \(\dim Z \geqslant 2\), on utilise le lemme suivant.

Le lemme de Bertini de Zariski

Lemme. Soient \(k\) un corps, \(f : X \to \mathbf{P}^{r}_{k}\) un morphisme avec \(X\) irréductible et \(\dim \overline{f(X)} \geqslant n\). Soit \(1 \leqslant s \leqslant n-1\), soit \(u\) le point générique d'un produit de \(s\) facteurs paramétrant les hyperplans, \(K\) une clôture algébrique de \(k(u)\), \(L_{u}\) la variété linéaire de \(\mathbf{P}^{r}_{K}\) définie par \(u\), et \[ X_{u} \;=\; X \times_{\mathbf{P}^{r}_{k}} L_{u} \;=\; X_{K} \times_{\mathbf{P}^{r}_{K}} L_{u} . \] Alors \(X_{u}\) est irréductible.

En marge, la question et sa réponse, de sa main : « peut-on remplacer irréductible par connexe ? — non ». C'est un avertissement, non une remarque : c'est l'irréductibilité, non la connexité, qui se transmet à une section générique, et l'argument suivant repose entièrement sur cette différence.

Corollaire. Si \(X\) est normal, alors \(\pi_{1}(X_{u}) \to \pi_{1}(X)\) est surjectif.

Démonstration. Soit \(X' \to X\) un revêtement étale connexe. Puisque \(X\) est normal, \(X'\) est normal, donc connexe implique irréductible ; par le lemme, \(X'_{u} = X' \times_{X} X_{u}\) est irréductible, donc connexe. Un revêtement étale connexe de \(X\) reste donc connexe au-dessus de la section générique, ce qui est exactement la surjectivité annoncée.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X'_u \arrow[r] \arrow[d] & X' \arrow[d] \\
X_u \arrow[r] \arrow[d] & X_K \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
L_u \arrow[r] & \mathbf{P}^r_K \arrow[r] & \mathbf{P}^r_k
\end{tikzcd}

La conclusion : \(2g\) générateurs

Reprenons \(Z\) normal de dimension \(n \geqslant 2\) et \(X = Z - Y\). Plongeons \(Z\) dans \(\mathbf{P}^{r}\), et prenons \(s = n-1\), de sorte que \(L_{u}\) soit de codimension \(n-1\). Alors \[ X_{u} \;=\; X_{K} \cap L_{u} \;=\; Z_{K} \cap L_{u} \;\neq\; \varnothing , \] la seconde égalité parce que \(Y_{K} \cap L_{u} = \varnothing\) — \(Y\) étant de dimension \(\leqslant n-2\) et \(L_{u}\) générique de codimension \(n-1\). Donc \(X_{u}\) est une courbe projective, d'ailleurs normale. Si \(g\) en est le genre, le corollaire au lemme de Bertini donne : \(\pi_{1}(X)\) admet \(2g\) générateurs topologiques.³²

Le passage à la limite sur les modèles

Soit \(K\) une extension de type fini de \(k\). Les modèles propres et normaux de \(K\), ordonnés par domination, forment un ensemble ordonné filtrant croissant.

Soit \(X\) un tel modèle et \(U \subset X\) un ouvert. Deux faits, à distinguer soigneusement :

1. si \(X\) est normal et \(U\) est un ouvert dense, l'homomorphisme \(\pi_{1}(U) \to \pi_{1}(X)\) est surjectif — un revêtement étale connexe de \(X\) reste connexe au-dessus de \(U\) ;
2. si \(X\) est régulier et \(X - U\) de codimension \(\geqslant 2\), l'homomorphisme est un isomorphisme : c'est le théorème de pureté.

C'est cette distinction que le diagramme de la page 68 porte, l'isomorphisme du bas étant annoté « th. de pureté ».³³

\begin{tikzcd}
\pi_1(X_1) \arrow[d, "f_{*}"'] & \pi_1(U_1) \arrow[l] & \\
\pi_1(X_0) & \pi_1(U_0) \arrow[l] \arrow[r, "\sim"] \arrow[ul, "g_{*}"] & \pi_1(U_1)
\end{tikzcd}

À la limite, on obtient un homomorphisme surjectif \[ \pi_{1}(U, \Omega) \longrightarrow \varprojlim_{X \text{ modèle propre}} \pi_{1}(X, \Omega) , \] \(\Omega\) étant une extension algébriquement close de \(K\). Le terme de droite est ce que Grothendieck appelle le groupe fondamental birationnel de \(K/k\), et qu'il note \(\pi_{1}(K/k, \Omega)\).

Théorème. Si \(K/k\) est une extension de type fini avec \(k\) algébriquement clos, alors \(\pi_{1}(K/k, \Omega)\) est topologiquement de type fini.³⁴

70–76

« Pic birationnel » (pages 70 à 76)

Le théorème

Théorème. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme dominant birationnel de préschémas intègres normaux, propres sur \(k\), avec \(Y\) localement régulier. Alors \[ f^{*} : \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X} \] est un isomorphisme.

C'est un monomorphisme parce que \(f_{*}(\mathcal{O}_{X}) = \mathcal{O}_{Y}\) universellement — ce qui est le théorème principal de Zariski, \(f\) étant propre birationnel et \(Y\) normal — donc une immersion fermée, s'agissant d'un homomorphisme de schémas en groupes propres.

Montrons qu'il est surjectif. Soit \(U\) l'ouvert de \(Y\) où \(f^{-1}\) est défini ; son complémentaire est de codimension \(\geqslant 2\). Comme \(Y\) est localement régulier, donc factoriel, la restriction \[ i^{*} : \mathrm{Pic}(Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pic}(U) \] est un isomorphisme.³⁵ Soit \(g : U \to X\) la section de \(f\) sur \(U\) et \(i : U \to Y\) l'inclusion, de sorte que \(i = f \circ g\) et \(i^{*} = g^{*} \circ f^{*}\) :

\begin{tikzcd}
& X \arrow[d, "f"] \\
U \arrow[ur, "g"] \arrow[r, "i"'] & Y
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
& \mathrm{Pic}(X) \arrow[dl, "g^{*}"] \\
\mathrm{Pic}(U) & \mathrm{Pic}(Y) \arrow[u, "f^{*}"'] \arrow[l, "i^{*}"]
\end{tikzcd}

Puisque \(i^{*}\) est un isomorphisme, \(f^{*}\) est injectif et admet \((i^{*})^{-1} g^{*}\) pour rétraction : \(\mathrm{Pic}(Y)\) est un facteur direct de \(\mathrm{Pic}(X)\), d'image l'ensemble des \(\xi\) tels que \(\xi = f^{*}(i^{*})^{-1}g^{*}(\xi)\).

Le supplémentaire est engendré par les diviseurs \(\sum n_{i} X_{i}\) portés par les composantes exceptionnelles de \(f\). Il reste donc à voir qu'une telle combinaison \(\tau\)-équivalente à zéro est nulle — « c'est là un lemme bien connu », et c'est en effet la non-dégénérescence de la forme d'intersection sur les diviseurs exceptionnels. Ainsi \(f^{*}\) est une immersion surjective, et il ne reste plus qu'à voir qu'elle induit un isomorphisme sur les espaces tangents à l'origine, c'est-à-dire le

Corollaire. Sous les conditions du théorème, \[ f^{*} : H^{1}(Y, \mathcal{O}_{Y}) \longrightarrow H^{1}(X, \mathcal{O}_{X}) \] est un isomorphisme.

Le corollaire en caractéristique \(p\)

L'injectivité est acquise ; c'est la surjectivité qu'il faut. En caractéristique \(p > 0\), il suffit de prouver que sont bijectifs les deux homomorphismes \[ H^{1}(Y, \mathcal{O}_{Y})^{F} \longrightarrow H^{1}(X, \mathcal{O}_{X})^{F} , \qquad {}_{F}H^{1}(Y, \mathcal{O}_{Y}) \longrightarrow {}_{F}H^{1}(X, \mathcal{O}_{X}) , \] où \(F\) est le Frobenius : les invariants d'une part, la partie tuée par \(F\) d'autre part.

Le premier s'écrit, par la suite exacte d'Artin–Schreier \(0 \to \mathbb{Z}/p \to \mathcal{O} \xrightarrow{F-1} \mathcal{O} \to 0\), \[ H^{1}(Y, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \longrightarrow H^{1}(X, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) , \] et c'est un isomorphisme parce que \(\pi_{1}(X) \to \pi_{1}(Y)\) en est un, par le théorème de pureté sur \(Y\) régulier.³⁶

Le second s'écrit, \(X\) et \(Y\) étant réduits, \[ H^{0}\bigl(Y, \mathcal{O}_{Y}/\mathcal{O}_{Y}^{p^{\nu}}\bigr) \longrightarrow H^{0}\bigl(X, \mathcal{O}_{X}/\mathcal{O}_{X}^{p^{\nu}}\bigr) , \] ou encore, \(k\) étant algébriquement clos donc parfait, \[ f^{*} : H^{0}\bigl(Y, \mathcal{O}_{Y}^{p^{-\nu}}/\mathcal{O}_{Y}\bigr) \longrightarrow H^{0}\bigl(X, \mathcal{O}_{X}^{p^{-\nu}}/\mathcal{O}_{X}\bigr) . \] Il est bijectif grâce à la normalité de \(X\) et de \(Y\) : avec les notations ci-dessus, on a le même triangle, où \(g^{*}\) est injectif parce que \(\mathcal{O}_{X}^{p^{-\nu}}/\mathcal{O}_{X}\) est sans torsion ; donc \(f^{*}\) et \((i^{*})^{-1}g^{*}\) sont réciproques l'un de l'autre.

\begin{tikzcd}
& T(X) \arrow[dl, "g^{*}"] \\
T(U) & T(Y) \arrow[u, "f^{*}"'] \arrow[l, "i^{*}"]
\end{tikzcd}

C'est le seul endroit du carton où le découpage par le Frobenius soit écrit pour lui-même, et il vaut d'être retenu comme méthode : la partie de \(H^{1}(\mathcal{O})\) fixée par le Frobenius est du groupe fondamental, la partie tuée par lui est de la normalité.

Le corollaire en caractéristique zéro

On peut supposer que \(k\) est le corps des fonctions d'un schéma intègre \(S\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), et que \(f : X \to Y\) provient d'un morphisme de \(S\)-préschémas \(\bar{f} : \bar{X} \to \bar{Y}\), intègres, \(\bar{Y}\) lisse sur \(S\), \(\bar{X}\) normal sur \(S\), à fibres connexes. On peut alors supposer \(X\) et \(Y\) plats sur \(S\), et l'on a l'injectivité de \(R^{1}q_{*}(\mathcal{O}_{\bar{Y}}) \to R^{1}p_{*}(\mathcal{O}_{\bar{X}})\) ; la constance de la dimension sur \(S\), jointe au cas de caractéristique \(> 0\) appliqué aux fibres, donne le résultat.³⁷

Les deux corollaires et la question

Corollaire 1. Invariance birationnelle de \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k}\) pour \(X\) propre et lisse sur \(k\).

Corollaire 2. Soit \(K\) une extension séparable primaire de type fini de \(k\) admettant un modèle propre et lisse sur \(k\). Alors \(\varinjlim_{X} \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k}\), \(X\) parcourant les modèles propres et normaux de \(K\) sur \(k\), existe — le système inductif étant essentiellement constant.

Question. Le corollaire 2 reste-t-il valable en supposant seulement que \(K\) admette un modèle normal ? Cela équivaudrait à trois énoncés de bornitude, sur tous les modèles propres normaux :

1. \(\dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k}\) reste majoré ;
2. l'ordre de la torsion de \(\mathrm{Pic}(X/k)\) reste majoré ;
3. \(\dim H^{1}(X, \mathcal{O}_{X})\) reste majoré.

Avec, en marge, l'observation que (i) résulte de (iii).

La borne uniforme, et la question finale

Théorème. Soit \(K\) une extension de type fini du corps \(k\). Il existe un entier \(n(K/k)\) tel que, pour tout modèle \(X\) de \(K\) propre et normal sur \(k\), \[ \dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \;\leqslant\; n(K/k) . \]

Démonstration. On se ramène au cas où \(k\) est algébriquement clos, en posant \(\bar{K} = K \otimes_{k} \bar{k}\), extension de type fini de \(\bar{k}\). On utilise alors \[ \dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \;=\; \tfrac{1}{2}\, \operatorname{rang}_{\mathbb{Z}_{\ell}} \bigl(\text{partie $\ell$-primaire de } \pi_{1}(X/k) \text{ rendu abélien}\bigr) , \] et l'on conclut par le théorème de majoration uniforme du \(\pi_{1}\) pour les modèles normaux — lequel résulte de la partie facile de Lefschetz, prise sur les groupes fondamentaux rendus abéliens.³⁸

De façon plus précise : prenant un modèle \(X\) projectif propre et normal, on prend dans \(X\) une « courbe générique \(C\) » — celle du lemme de Bertini ci-dessus — et pour \(n(K)\) le genre de cette courbe générique. C'est donc, à un facteur près, la même borne que celle du groupe fondamental birationnel : les deux moitiés de la chemise donnent le même entier.

\begin{tikzcd}
C' \arrow[r, hook] \arrow[d] & X' \arrow[d] \\
C_{k(u)} \arrow[r, hook] & X \arrow[r, hook] & \mathbf{P}^r
\end{tikzcd}

La chemise s'achève sur une question, et sur trois points d'interrogation en marge : y a-t-il une démonstration du fait que cela donne une majoration, n'utilisant pas la théorie du groupe fondamental et le fait que \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k}\) est propre sur \(k\) si \(X\) est normale ?

77–80

« Revêtements formels étales et théorème de Mumford » : Murre revient (pages 77 à 80)

Un feuillet de sa main porte le titre, et sous lui vient une lettre de Murre datée du 30 avril 1969 — deux ans après l'échange sur la ramification modérée. Elle accompagne la version préliminaire des notes que Murre a rédigées sur les revêtements formels modérément ramifiés et sur un résultat de « plumbing », et elle demande un avis avant d'aller plus loin : « To me the entire thing seems somewhat indigestible ». Le chapitre sur l'analogue du théorème de Mumford reste à écrire.

Suivent deux pages de commentaires, chapitre par chapitre, dont trois méritent d'être relevées parce qu'elles disent où la théorie fait mal.

• Chapitre I : les morphismes étales de schémas formels sont définis comme systèmes inductifs de morphismes étales de schémas ordinaires, et le lemme crucial est que les voisinages étales formels sont localement des complétés de voisinages étales ordinaires.
• Chapitre III : « This is a nuisance ! » Murre n'a pas suivi le nouveau dispositif — celui des données de ramification — et il en donne la raison : « one gets the feeling that the notion of tamely ramified covering, although natural, is very unmanageable if one has to use the functor instead of the geometric realization itself ». C'est la réponse de l'utilisateur au manifeste de la page 31, et elle mérite d'être lue à côté de lui : ce que Grothendieck tient pour indispensable à la compréhension, Murre le tient pour impraticable à la rédaction.
• Chapitre III encore : c'est en 3.6 que la réalisation géométrique détermine le revêtement modérément ramifié, et Murre note que la normalité, plutôt que la régularité, suffit d'ordinaire — avec cette difficulté que la normalité n'est peut-être pas stable par localisation étale formelle.

Le reste des commentaires est technique : quels lemmes servent où, quelle hypothèse (\(D_{i} \cap D_{j} = \varnothing\)) est imposée par quel manque, et l'aveu, pour le chapitre IX, que certains points ont été utilisés sans être certains « because it seems to me that you used them implicitely and without mentioning in your notes ». Les notes de lecture que Grothendieck a prises sur ce texte sont aux pages 81, 83 et 85.

81–85

Notes de lecture, et l'appel d'un champ (pages 81, 83 et 85)

Trois feuillets, en anglais, notent chapitre par chapitre ce que Grothendieck veut voir changer dans le texte de Murre — celui que la lettre du 30 avril 1969, page 78, accompagnait. Ce sont des notes de travail, faites de renvois et de phrases coupées, et il n'y a pas lieu de les paraphraser toutes. Six items, qui disent chacun quelque chose.

• Se restreindre aux morphismes adiques. L'ambiguïté sur ce qu'est un point d'un schéma formel est jugée « quite general » — et le chapitre IV se voit prescrire d'introduire les points géométriques de \(\mathcal{X}\), plutôt que de raisonner sur \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{\mathcal{X},s})\).
• Le chapitre III ne sert qu'à un énoncé. « whole ch. III seems used only to get 3.5.8 ». Et il faudrait y ajouter deux choses : une interprétation topologique de \(\pi_{1}^{D}\), et une section sur le cas où les diviseurs ont des équations — « This should make the situation much clearer ! ». C'est le cas particulier a) des pages 19 et 20, et c'est en effet celui où la donnée kummérienne se décrit sans détour.
• Le champ. « Appl. descent for tamely ramified coverings ? At least one would like to have a champ on \(\mathrm{Et}(S)\) ! »³⁹
• La normalité est un artifice. « Normality-assumption unnatural (formal normality, as formal schemes\dots) ». C'est le même reproche qu'il faisait à Murre en 1967 (page 8 : « I am convinced that these assumptions are anyhow artificial »), et que Murre lui retourne dans ses commentaires (page 79 : la normalité n'est peut-être pas stable par localisation étale).
• Où est le lemme d'Abhyankar ? La question est posée deux fois, page 81 et en marge de la page 83 : « yoga Abhyankar lemma to be used ». C'est la reconnaissance que le résultat qui, dans le cas des croisements normaux, transforme la structure en propriété, n'a pas trouvé sa place dans la rédaction formelle.
• Le dernier item, page 85, est le plus concret, et c'est un diagnostic de rédaction : ce que le chapitre X démontre longuement revient à montrer qu'un revêtement de \(S\) est modéré relativement à \(D_{1}, D_{2}\) si et seulement si ses restrictions à \(S_{1}\), \(S_{2}\) le sont — « should be trivial with the conditions considered ! ».

Deux feuillets de son propre tapuscrit : l'extension de Raynaud

Les pages 82 et 84 sont deux feuillets d'un tapuscrit français à lui, dans le désordre — ses pages 74 et 69 —, portant des corrections de sa main. Ils n'ont pas de rapport direct avec ce qui précède, mais l'un d'eux baptise un objet, et le baptême est fait à la main sur la page.

La page 84 démontre que, dans le cas favorable où le schéma formel abélien \(\hat{B}\) est algébrisable et où \(T_{o}\) est isotrivial, on trouve un schéma en groupes \(A^{\sharp}\) sur \(S\), extension canonique \[ 0 \longrightarrow T \longrightarrow A^{\sharp} \longrightarrow B \longrightarrow 0 \] du schéma abélien \(B\) par le tore \(T\) qui relève \(T_{o}\), caractérisée à isomorphisme unique près par le fait de donner un système cohérent d'isomorphismes d'extensions \(A^{\sharp}_{n} \simeq A_{n}\), c'est-à-dire un isomorphisme de schémas formels en groupes \((A^{\sharp})^{\wedge} \simeq \hat{A}\) respectant les structures d'extension. Elle dépend fonctoriellement de \(A\) et sa formation commute au changement de base.

La phrase centrale a été refaite à la main, et le carton conserve les deux états : le tapuscrit annonçait « une extension canonique du schéma abélien \(B\) \dots que nous appellerons l'extension de Raynaud associée à \(A\) », et l'insertion manuscrite substitue « un schéma en groupes \(A^{\sharp}\) sur \(S\) appelé le groupe de Raynaud associé au schéma en groupes \(A\) sur \(S_{o}\) ». Le nom se déplace de l'extension à l'objet, sur la page.⁴⁰

86–86

Images inverses et voisinages infinitésimaux (page 86)

Un feuillet d'une écriture très fine, sur un papier que traverse le tapuscrit du verso ; la plus grande partie n'en est pas lisible et cette lecture n'y supplée pas. Ce qui s'en dégage est une question, non un énoncé : l'image inverse d'un module quasi-cohérent est quasi-cohérente, celle d'un module plat est plate, et il faut vérifier que cela respecte la notion voulue ; puis, si \(X' \to X \times_{S} S'\) est non ramifié, il en va de même du morphisme induit sur les espaces tangents, et l'on peut passer aux voisinages infinitésimaux de tous ordres.

\begin{tikzcd}
X \times_{S} S' \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
S' \arrow[r] & S
\end{tikzcd}

Le cube au crayon dont ce carré n'est qu'une face n'est pas reproduit : la transcription en donne la raison, qui est la bonne — le dessiner reviendrait à affirmer ce qu'on n'a pas lu.

87–89

Le \(\pi_{1}\) modéré d'un schéma formel le long de sa fibre spéciale (pages 87 et 89)

Voici le calcul. Grothendieck pagine cette suite 1 à 6.

La situation

Soit \(\mathcal{X}\) un schéma formel régulier connexe, \(X_{o} = \mathcal{X}_{o}\) un diviseur régulier — la fibre spéciale —, et \[ D \;=\; \bigcup_{i=0}^{n} D_{i} \] un diviseur à croisements normaux, les \(D_{i}\) réguliers irréductibles, avec \(D_{o} = X_{o}\). On pose \(D' = \sum_{i \neq 0} D_{i}\), on note \(D'_{o}\) le diviseur induit sur \(X_{o}\), et \(\mathcal{U} = \mathcal{X} - D_{o}\).

Il faut avoir en tête le dessin que la marge de la page porte : \(D_{o} = X_{o}\) horizontal, coupé transversalement par \(D_{1}\) et \(D_{2}\), et le point de base \(\bar{\xi}_{o}\) sur \(X_{o}\) en dehors des croisements.

La suite exacte

Elle est double, et la seconde ligne dévisse le noyau de la première : \[ e \longrightarrow I_{o} \longrightarrow \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) \longrightarrow \pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) \longrightarrow e , \] \[ \mu^{\infty}_{X_{o},\,\mathrm{mod}}(\bar{\xi}_{o}) \longrightarrow I_{o} \longrightarrow 0 , \] où \(\mu^{\infty}_{X_{o},\,\mathrm{mod}} = \varprojlim_{n} \mu_{n}\), la limite étant prise sur les \(n\) inversibles dans \(\mathcal{O}_{X_{o}}\) — donc, si \(p\) est la caractéristique de \(X_{o}\), un groupe isomorphe à \(\prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_{\ell}\) après choix d'une orientation.⁴¹

Le terme \(\pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o})\) s'identifie à \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{U})\) et à \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D')\) : c'est le théorème de spécialisation, écrit à la volée sous la suite. Autrement dit : ôter la fibre spéciale ne change pas le groupe fondamental modéré, et tout le contenu du calcul est dans l'extension par \(I_{o}\), qui est la monodromie autour de cette fibre.

L'extension est centrale et donc déterminée par une classe \[ \alpha \;\in\; H^{2}\bigl(\pi_{1}^{t}(\mathcal{U}),\, I_{o}\bigr) , \] une fois choisie une orientation de \(I_{o}\) via celles de \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{U})\).

Lemme 1 : le revêtement universel modéré n'a pas de \(H^{1}\)

Lemme 1. Soit \(\tilde{\mathcal{U}}^{t}\) le revêtement universel de \(\mathcal{U}\) défini par \(\pi_{1}^{t}\). Alors \(H^{1}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, \mathcal{J}) = 0\) pour \(\mathcal{J}\) constant, premier aux caractéristiques considérées.

C'est ce qui rend la suite spectrale de Hochschild–Serre utilisable en bas degré : elle donne alors \[ 0 \to H^{2}\bigl(\pi_{1}^{t}(\mathcal{U}), I\bigr) \xrightarrow{\ \rho\ } H^{2}(\mathcal{U}, I) \to H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, I)^{\pi_{1}^{t}} \to H^{3}\bigl(\pi_{1}^{t}, I\bigr) , \] de sorte que \(\alpha\) est connu dès qu'on connaît \(\rho(\alpha)\) et qu'on sait que son image plus loin est nulle. Et, toujours par le lemme 1 — c'est l'argument de Hurewicz —, \[ H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, I)^{\pi_{1}^{t}} \;=\; \operatorname{Hom}\bigl(\pi_{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}), I\bigr)^{\pi_{1}^{t}} \;=\; \operatorname{Hom}\bigl(\pi_{2}^{t}(\mathcal{U}), I\bigr)^{\pi_{1}^{t}} . \] C'est pourquoi \(\pi_{2}\) apparaît ici : il mesure exactement ce qui empêche la classe \(\alpha\) d'être lue sur \(H^{2}\) de \(\mathcal{U}\).⁴²

Lemme 2 : la classe est celle de l'auto-intersection

Lemme 2. Soit \(i : X_{o} \to \mathcal{X}\) l'inclusion et soit \(\beta\) la classe de l'auto-intersection de \(X_{o}\) dans \(\mathcal{X}\), c'est-à-dire la classe du fibré normal \[ \mathcal{L}_{X_{o}/\mathcal{X}} \;\simeq\; i^{*}\bigl(\mathcal{O}(X_{o})\bigr) \] dans \(\mathrm{Pic}(X_{o}) = H^{1}(X_{o}, \mathbb{G}_{m})\). Soit \(\sigma : H^{1}(X_{o}, \mathbb{G}_{m}) \to H^{2}(\mathcal{U}, I)\) l'homomorphisme canonique — image de Kummer suivie de restriction. Alors \[ \rho(\alpha) \;=\; \sigma(\beta) . \]

C'est le théorème. Il dit que la monodromie modérée autour de la fibre spéciale est déterminée par le fibré normal de cette fibre — c'est-à-dire par son nombre d'auto-intersection, si \(X_{o}\) est une courbe dans une surface.⁴³

Grothendieck ajoute la réserve qu'il faut : cela détermine l'extension sous réserve de contrôler le passage de \(I\) à \(\mu\), c'est-à-dire de savoir que \(\mu_{o} \to I_{o}\) ne perd rien sur l'image de \(\pi_{2}^{t}(\mathcal{U})\). Il pose \(I'_{o} = \mu_{o}/\operatorname{Im} \pi_{2}^{t}(\mathcal{U})\) et observe que l'image de \(\beta\) tombe alors dans \[ \ker\Bigl(H^{2}(\mathcal{U}, I'_{o}) \to H^{2}(\tilde{\mathcal{U}}^{t}, I'_{o})\Bigr) \;\simeq\; H^{2}\bigl(\pi_{1}^{t}, I'_{o}\bigr) , \] donc définit bien une extension.

91–93

Le cas où la classe s'annule : Picard formel (pages 91 et 93)

Les pages 91 et 93 sont écrites d'une plume très fine sur un papier fortement traversé par le tapuscrit du verso, et une bonne part n'en est pas lisible. L'articulation est néanmoins claire, et le calcul du milieu de la page 93 est complet.

Il s'agit du cas où la classe \(\beta\) est dans le noyau de \(H^{2}(\mathcal{X}, \mu) \to H^{2}(\mathcal{U}, \mathcal{J}_{o})\). Supposons \(\mathcal{J}_{o} \simeq \mu_{n}\) avec \(n\) inversible sur \(X_{o}\). L'hypothèse dit alors que l'image de \(\beta_{o} \in \mathrm{Pic}(X_{o}) = H^{1}(X_{o}, \mathbb{G}_{m})\) dans \(H^{2}(X_{o}, \mu_{n})\) est nulle, c'est-à-dire que \[ \beta_{o} \;=\; n\gamma_{o} \;+\; \sum_{i} \lambda_{i}\,\beta_{o}^{i} , \] où les \(\beta^{i}\) sont les classes des autres composantes du diviseur.

Il faut relever cette relation de \(X_{o}\) à \(\mathcal{X}\), et c'est ici que le schéma formel travaille. Soit \(X_{m}\) le \(m\)-ième voisinage infinitésimal de \(X_{o}\). Alors :

le noyau de \(\mathrm{Pic}(X_{m}) \to \mathrm{Pic}(X_{o})\) est uniquement divisible par \(n\).

La raison, que la page ne donne pas, est immédiate et vaut d'être écrite : ce noyau est filtré par les \(H^{1}(X_{o}, \mathcal{I}^{k}/\mathcal{I}^{k+1})\), qui sont des groupes de cohomologie de \(\mathcal{O}_{X_{o}}\)-modules ; et la multiplication par \(n\) est bijective sur un \(\mathcal{O}_{X_{o}}\)-module puisque \(n\) est inversible dans \(\mathcal{O}_{X_{o}}\).⁴⁴

Il en va donc de même du noyau de \[ \mathrm{Pic}(\mathcal{X}) \;=\; \varprojlim_{m} \mathrm{Pic}(X_{m}) \longrightarrow \mathrm{Pic}(X_{o}) , \] d'où la surjectivité de \({}_{n}\mathrm{Pic}(\mathcal{X})\) sur la \(n\)-torsion du quotient, et l'existence d'un \(\gamma \in \mathrm{Pic}(\mathcal{X})\) relevant \(\gamma_{o}\), avec \[ \beta \;=\; n\gamma + \sum_{i} a_{i}\beta_{i} \qquad \text{dans } \mathrm{Pic}(\mathcal{X}) . \]

95–97

Le théorème, et deux exemples (pages 95 et 97)

L'énoncé

Une fois obtenue une relation \(n\gamma = \sum_{i} c_{i}\beta_{i}\) sur \(\mathcal{X}\), on applique le théorème de Kummer pour \(\mathcal{X}/D\) : il fournit un revêtement de \(\mathcal{X}\), modéré le long de \(D_{o}\), galoisien de groupe \(\mathcal{J}_{o} \simeq \mu_{n}\), trivial au-dessus de \(X_{o}\). On obtient ainsi la suite exacte complète \[ \pi_{2}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) \to \mu^{\infty}_{X_{o},\,\mathrm{mod}}(\bar{\xi}_{o}) \to \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) \to \pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) \to 0 , \] et la conclusion :

\(\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1})\), comme extension de \(\pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o})\), est connu entièrement en termes de \(X_{o}/D'_{o}\) et de la classe \(\alpha \in H^{2}\bigl(X_{o}, \mu^{\infty}_{X_{o},\,\mathrm{mod}}\bigr)\), qui est l'auto-intersection de \(X_{o}\) dans \(\mathcal{X}\).

Exemple I : une courbe sur un corps algébriquement clos

Soit \(X_{o}\) une courbe sur \(k\) algébriquement clos. Alors \(\pi_{2}^{t}(X_{o} - D'_{o}) = 0\) sauf si \(X_{o} \simeq \mathbb{P}^{1}_{k}\) et \(D'_{o} = \varnothing\), auquel cas \(\pi_{2}^{t}(X_{o}) = \mu^{\infty}_{X_{o},\,\mathrm{mod}}\). Deux cas, donc, et ils sont opposés.

1. 1)Si \(X_{o} - D'_{o} \neq \mathbb{P}^{1}_{k}\) : alors \(\pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1})\) est une extension triviale de \(\pi_{1}^{t}(X_{o} - D_{o}, \bar{\xi}_{o})\) par \(\mu^{\infty}_{\mathrm{mod}}(\bar{\xi}_{o})\). La monodromie et le groupe fondamental de la fibre se séparent, et il n'y a rien à calculer.
2. 2)Si \(X_{o} - D'_{o} = \mathbb{P}^{1}_{k}\), c'est-à-dire \(X_{o} = \mathbb{P}^{1}_{k}\) et \(D'_{o} = \varnothing\) : alors \[ \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) \;\simeq\; \mu_{n}(k) , \] où \(n\) est la partie première à \(p = \operatorname{car} k\) du degré de l'auto-intersection \(X_{o} \cdot X_{o}\) dans \(\mathcal{X}\).

Le second cas est celui qu'il faut retenir, et c'est le plus concret du carton. Une droite projective d'auto-intersection \(-d\) dans une surface fibrée a, pour groupe fondamental modéré de son voisinage formel épointé, le groupe des racines \(n\)-ièmes de l'unité, \(n\) étant la partie de \(d\) première à la caractéristique. La monodromie est cyclique d'ordre \(d\) : c'est ce que l'on attend d'une singularité quotient cyclique, et le calcul le rend.

Exemple II : les entiers

1. a)\(X_{o} = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}\). Alors \(\mu^{\infty}_{\mathrm{mod},\,X_{o}} = 0\), donc \[ \pi_{1}^{t}(\mathcal{X}/D, \bar{\xi}_{1}) \;\simeq\; \pi_{1}^{t}(X_{o}/D'_{o}, \bar{\xi}_{o}) : \] il n'y a pas de monodromie du tout.⁴⁵ Si \(D'_{o} = \varnothing\), on trouve \(0\) — c'est le théorème de Minkowski : \(\mathbb{Q}\) n'a pas d'extension non ramifiée. Si \(D'_{o} \neq \varnothing\), la partie abélienne se calcule par la théorie du corps de classes et vaut \[ \prod_{\ell \in D'_{o}} (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{*} , \] les extensions abéliennes de \(\mathbb{Q}\) modérément ramifiées en les seuls \(\ell \in D'_{o}\) étant les sous-corps de \(\mathbb{Q}(\zeta_{\prod \ell})\). Il ajoute que le groupe entier doit être fini par dévissage, et pose une question qu'il laisse ouverte sur les corps de nombres modérément ramifiés sur \(\mathbb{Q}\).
2. b)\(X_{o} = \operatorname{Spec}\mathbb{Z} - S\), avec \(S \neq \varnothing\). Alors \[ \mu^{\infty}_{\mathrm{mod},\,X_{o}} \;=\; \prod_{\ell \in S} \mu^{\infty}(\ell)_{X_{o}} , \] puisque les \(n\) inversibles sur \(\mathbb{Z}[1/S]\) sont exactement ceux dont les facteurs premiers sont dans \(S\). Et la page se termine sur une question, à laquelle rien ne répond : « Mais \(\pi_{2}^{t}(X_{o}/D'_{o})\) ??? ».

99–100

Abhyankar semi-global, et la même classe une deuxième fois (pages 99 et 100)

Deux feuillets non paginés ouvrent une question nouvelle, et le second réénonce, sous forme de programme, le théorème qu'on vient de démontrer.

Une version semi-globale du résultat d'Abhyankar

Soit \(X\) un schéma localement noethérien connexe et \(D = \sum D_{i}\) un diviseur à croisements normaux à composantes régulières. Supposons \(Z = \bigcap_{i} D_{i} \neq \varnothing\) et le couple \((X, Z)\) hensélien. Posons \(\mathcal{U} = X - D\) et soit \(\xi\) un point géométrique de \(\mathcal{U}\). Alors :

1. a)\(\mathcal{U}\) est connexe, et \(\pi_{1}(\mathcal{U})_{\mathrm{mod}} \to \pi_{1}(X)\) est surjectif ;
2. b)pour chaque \(D_{i}\), le groupe d'inertie relatif à \(D_{i}\) est un sous-groupe distingué commutatif \(I_{i}\) de \(\pi_{1}(\mathcal{U})_{\mathrm{mod}}\), et l'on a un épimorphisme canonique \[ \prod_{\ell} T_{\ell}(\Omega^{*}) \longrightarrow I_{i} , \] le produit étant pris sur les \(\ell\) distincts de la caractéristique en \(D_{i}\) ;
3. c)les \(I_{i}\) commutent entre eux, et leur produit est le noyau de \(\pi_{1}(\mathcal{U}, \xi)_{\mathrm{mod}} \to \pi_{1}(X, \xi)\).

L'énoncé a) est immédiat. Pour b), l'invariance des \(D_{i}\) dans un revêtement modérément ramifié \(X'\) de \(X\) est de nature étale locale et \(X'\) est connexe donc irréductible, ce qui identifie \(I_{i}\) ; le fait qu'il soit quotient du produit des modules de Tate est le calcul local classique. Pour c), la commutation des \(I_{i}\) est locale en un point du croisement.⁴⁶

Le programme kummérien : la classe, une deuxième fois

La page 100 reprend, pour un \(X\) quelconque, ce que le lemme 2 démontrait pour un schéma formel.

Soient \(X\) un schéma, \((D_{i})_{1 \leqslant i \leqslant r}\) des diviseurs de Cartier \(\geqslant 0\), \((n_{i})\) des entiers \(\geqslant 1\), \(\mu_{\underline{n}} = \prod_{i} \mu_{n_{i}}\) sur \(X\), \(\Gamma\) un schéma en groupes, et une extension de groupes sur \(X\) \[ 1 \longrightarrow \mu_{\underline{n}} \longrightarrow G \longrightarrow \Gamma \longrightarrow 1 . \] Donnons-nous \(X' \to \tilde{X}_{1} \to X\) avec \(G\) opérant sur \(\tilde{X}_{1}\), \(\mu_{\underline{n}}\) y opérant trivialement, de sorte que \(\tilde{X}_{1}\) devienne un torseur sous \(\Gamma\) ; et \(X'\) kummérien au-dessus de \(\tilde{X}_{1}\) relativement aux \(D_{i}\), c'est-à-dire \[ X' \;=\; \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{\tilde{X}}[T_{1}, \dots, T_{r}]\,\big/\, \bigl(T_{1}^{n_{1}} - a_{1},\ \dots,\ T_{r}^{n_{r}} - a_{r}\bigr) . \] L'extension \(G\) de \(\Gamma\) par \(\mu_{\underline{n}}\) définit une classe \(\alpha \in H^{2}(B_{\Gamma}, \mu_{\underline{n}})\), et le torseur \(\tilde{X}\) fournit un homomorphisme \[ \varphi : H^{2}(B_{\Gamma}, \mu_{\underline{n}}) \longrightarrow H^{2}(X, \mu_{\underline{n}}) \;\simeq\; \prod_{i} H^{2}(X, \mu_{n_{i}}) . \]

Ce qu'on veut prouver. Si \(\varphi(\alpha) = (\xi_{i})_{1 \leqslant i \leqslant r}\), alors \[ \xi_{i} \;=\; c\bigl(\mathcal{O}_{X}(D_{i})\bigr) \pmod{n_{i}} . \]

C'est le lemme 2 de la page 89, écrit sans schéma formel : la classe de l'extension d'inertie est la classe de Chern du diviseur. La page 102 en donne une rédaction en corollaire ; et la page 200, tout à la fin du carton, l'écrit une quatrième fois, pour la gerbe des racines \(\underline{n}\)-ièmes des \(D_{i}\) : « L'existence d'une section dépend de la nullité d'un élément de \(H^{2}(X, \mu_{\underline{n}})\), qui n'est autre, comme on devine, que la classe de cohomologie des \(D_{i}\) ». Quatre énoncés, cent dix pages, une seule identité.

La page se clôt sur une ligne qui indique où cela devait aller : « Variantes \dots formelle, ou \dots loc. annelés ».

101–102

Deux pages isolées : un symbole local, et le théorème kummérien redit (pages 101 et 102)

Le symbole local

La page 101 est le carbone d'un tapuscrit français, sans lien avec le reste du carton. Elle achève la démonstration d'une réciprocité pour les symboles locaux sur une variété abélienne \(A\) : pour deux cycles \(\underline{a}\), \(\underline{b}\) et un diviseur \(X\), on veut \[ j_{o}(X_{\underline{a}}, \underline{b}) \;=\; j_{o}(X^{-}_{\underline{b}}, \underline{a}) . \] Le cas où \(\underline{b}\) appartient au noyau d'Albanese se traite par linéarité et par l'invariance du symbole sous les translations, ce qui ramène au cas déjà traité ; le cas général se ramène, en modifiant \(\underline{b}\), à celui où les supports sont étrangers, et l'on conclut par l'invariance du symbole \(i\) sous l'application \(\zeta(x) = a + b - x\).

C'est de la théorie des symboles locaux au sens de Serre, et le carton n'y revient pas.

Le théorème kummérien, troisième énoncé

La page 102 — numérotée 3 par lui, dans un cercle — reprend en corollaire le programme de la page 100. Elle est écrite très vite et raturée d'un bout à l'autre ; la transcription en laisse une large part illisible et cette lecture n'invente pas ce qui manque. Ce qui se lit est l'articulation, et c'est elle qui compte.

Soit \(X\) un schéma normal localement intègre, \((D_{i})\) des diviseurs de Cartier, et \(X'\) un revêtement dont les groupes d'inertie relatifs aux \(D_{i}\) sont tels que \(X'\) soit modérément ramifié le long des \(D_{i}\). On a alors une extension \[ 1 \longrightarrow I \longrightarrow G \longrightarrow \Gamma \longrightarrow 1 , \] avec \(\tilde{X} = X'/I\) revêtement principal de \(X\) de groupe \(\Gamma\), d'où une classe \(\alpha \in H^{2}(\Gamma, I)\), puis une classe \[ \alpha \in H^{2}\bigl(X,\ \tilde{X} \times^{\Gamma} I\bigr) . \] On dispose d'un isomorphisme canonique \(\tilde{D} \times^{\Gamma} I \simeq \prod_{i} \mu_{n_{i},\,D}\) sur \(D\), compatible aux opérations de \(\Gamma\), et la conclusion visée est la même que celle des pages 89, 100 et 200 : la classe est celle du fibré normal, \[ c\bigl(\mathcal{O}_{X}(D)\bigr) \in H^{2}(X, \mu_{\underline{n}}) , \qquad c\bigl(T_{D/X}\bigr) \in H^{2}(D, \mu_{\underline{n}}) . \]

103–104

Le théorème de monodromie locale (pages 103 et 104)

La relation, et d'où elle vient

La page 103 est barrée de deux longs traits diagonaux, et c'est la seule page de cette suite qui se lise proprement de bout en bout.

Le contexte est celui d'un corps local de corps résiduel fini à \(q\) éléments. Le quotient modéré de son groupe de Galois est engendré par deux éléments : un relèvement \(f\) du Frobenius, et un générateur \(g\) de l'inertie modérée — qui, après choix d'isomorphismes \(\mathbb{Z}_{\ell}(1) \simeq \mathbb{Z}_{\ell}\) pour tout \(\ell\), engendre topologiquement \(\prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_{\ell}\). Ils satisfont la relation \[ (6.4) \qquad f\,g\,f^{-1} \;=\; g^{q} , \] qui exprime que le Frobenius multiplie le tour par \(q\). Le groupe est le produit semi-direct de \(\mathbb{Z}\) par \(\prod_{\ell\neq p}\mathbb{Z}_{\ell}\), \(\mathbb{Z}\) opérant par multiplication par \(q\).

Le lemme

Lemme. Soient \(F\), \(G\) deux automorphismes d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie sur un corps, et \(q > 1\) un entier tels que \[ F G F^{-1} \;=\; G^{q} . \] Alors \(G\) est quasi-unipotent : ses valeurs propres sont toutes des racines de l'unité ; autrement dit, il existe \(N \geqslant 1\) tel que \(G^{N}\) soit unipotent.⁴⁷

Démonstration. L'ensemble \(\Phi\) des valeurs propres de \(G\) dans une clôture algébrique du corps de base est aussi celui de \(FGF^{-1}\), donc celui de \(G^{q}\) : c'est donc une partie finie de \(\bar{R}^{*}\) stable par \(\lambda \mapsto \lambda^{q}\). Comme \(\Phi\) est fini, pour tout \(\lambda \in \Phi\) il existe deux entiers \(N' \neq N''\) avec \(\lambda^{q^{N'}} = \lambda^{q^{N''}}\), d'où \(\lambda^{q^{N'} - q^{N''}} = 1\) : \(\lambda\) est une racine de l'unité.

C'est le théorème de monodromie locale, dans sa forme purement algébrique : la relation de commutation entre Frobenius et inertie interdit à la monodromie d'être quelconque. Il n'y a pas d'hypothèse de géométrie dans le lemme — seulement la relation \((6.4)\) et la finitude de la dimension.⁴⁸

\(\pi_{2}\)

La page 104 définit, en cinq lignes, l'objet dont les pages 87 à 97 se servaient sans le définir.

1. a)Si \(X\) est simplement connexe, le foncteur \(M \rightsquigarrow H^{2}(X, M)\), sur les groupes abéliens finis, est exact — \(H^{1}(X, M)\) étant nul — donc pro-représentable, et l'on pose \[ H^{2}(X, M) \;=\; \operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}} \bigl(\pi_{2}(X),\, M\bigr) . \]
2. b)Dans le cas général, \(\pi_{2}(X, \xi) = \pi_{2}\bigl(\tilde{X}(\xi) \bigr)\), où \(\tilde{X}(\xi)\) est le revêtement universel pointé défini par \(\xi\).

C'est le \(\pi_{2}\) de l'homotopie étale, et le procédé — définir un groupe d'homotopie comme le pro-objet qui pro-représente un foncteur de cohomologie — est exactement celui que la lettre à Serre de 1959 emploie pour \(\pi_{1}\) (page 126) et que les pages 164 à 185 systématiseront. Le bas de la page porte un croquis en perspective de trois diviseurs se coupant à croisements normaux ; il n'est pas repris, n'étant pas un diagramme.

105–110

Un feuillet d'EGA IV, et de l'algèbre commutative (pages 105 à 110)

« Attention à l'ambiguïté dans lisse ! »

La page 105 est le feuillet IV-878 du tapuscrit d'EGA IV, portant ses corrections. Il court de la proposition (17.4.10) — un morphisme localement de présentation finie est non ramifié si et seulement si ses fibres le sont — jusqu'au théorème (17.5.1), qui donne les quatre caractérisations équivalentes de la lissité en un point : lissité, platitude plus lissité de la fibre, régularité du morphisme, et lissité formelle de \(\mathcal{O}_{X,x}\) comme \(\mathcal{O}_{Y,y}\)-algèbre pour les topologies discrètes.

Deux corrections sont substantielles : « localement noethérien » est biffé et remplacé par « localement de type fini » dans l'argument sur la fibre, et les deux équivalences sont étiquetées en marge. La troisième est un avertissement, et il vaut pour tout le carton : « Attention à l'ambiguïté dans « lisse » ! » — le mot ayant servi, dans les premières rédactions, tantôt pour lisse et tantôt pour simple.⁴⁹

Le \(\pi_{1}\) local le long de deux branches

La page 106 dessine deux branches \(X_{T'}\) et \(X_{T''}\) se coupant en un point \(p\), et un petit disque \(Z = \operatorname{Spec} \hat{\mathcal{O}}_{X,a}\) autour du croisement. Les deux traces \(Z' = X_{T'} \cap Z\) et \(Z'' = X_{T''} \cap Z\) correspondent aux corps résiduels \(k(p')\) et \(k(p'')\), qui sont les corps locaux en \(a\) des deux branches. Le diagramme de groupes fondamentaux qui en résulte,

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \hat{\mathbb{Z}} = \pi_{1}(Z') \arrow[dl] \arrow[dr] & \pi_{1}(Z'') = \hat{\mathbb{Z}}
 \arrow[dl] \arrow[d] \\
\pi_{1}(X_{T'}) \arrow[dr] & \pi_{1}(X_{T''}) \arrow[d] & \pi_{1}(Z) =
\hat{\mathbb{Z}}^{2} \arrow[dl] \\
 & \pi_{1}(X_{T}) &
\end{tikzcd}

est celui qu'un théorème de descente devrait clore, et la page le dit sans le faire : « On doit prouver un th. de descente de nature essentiellement locale, plus déterminer certains hom. canoniques ». C'est la situation locale des pages 41 et 87, vue une troisième fois.

Polynômes unitaires et idéaux étrangers

Les pages 107, 109 et 110 sont de l'algèbre commutative élémentaire, mise en place pour un usage qui n'est pas dit. Le point est le suivant. Pour deux idéaux \(Q\), \(Q'\) d'un anneau commutatif \(A\), on a l'équivalence \[ Q + Q' = A \;\Longleftrightarrow\; Q \cap Q' = Q\,Q' , \] et sous cette condition \(A/QQ' \to A/Q \times A/Q'\) est un isomorphisme. D'où : les décompositions de \(B/R\) en produit de deux anneaux correspondent aux couples d'idéaux \(J\), \(J'\) avec \(JJ' = R\) et \(J + J' = B\) ; et si \(B = A[T]\) et \(R = (P)\) avec \(P\) unitaire, ces décompositions sont exactement les factorisations \(P = QQ'\) en polynômes unitaires. L'unicité permet de se ramener au cas local, et l'existence se voit alors sur le complété.

C'est le mécanisme de factorisation dont on se sert pour décomposer une algèbre finie étale en facteurs connexes ; le carton s'en servira à la page 152, où la proposition 3.2 caractérise les morphismes finis étales de rang \(n\).

112–115

« Théorème de Bertini et variantes » (pages 112 à 115)

Un tapuscrit corrigé de sa main. Il énonce ce que la page 66 — « \(\pi_{1}\) birationnel » — utilisait sans le démontrer, puis va plus loin.

Dans tout ce qui suit \(k\) est un corps et \(\mathbf{P}^{r} = \mathbf{P}^{r}_{k}\).

Les deux énoncés de base

Théorème de Bertini 1. Soit \(f : X \to \mathbf{P}^{r}_{k}\) un morphisme, \(X\) un schéma algébrique géométriquement irréductible, et \(n = \dim \overline{f(X)}\). Soit \(L_{t}\) le sous-espace linéaire générique de codimension \(s \leqslant n-1\). Alors \(Y_{t} = f_{t}^{-1}(L_{t})\), dans \(X_{t} = X \otimes_{k} k(t)\), est géométriquement irréductible.

Énoncé local 2. Soit \(f : X \to \mathbf{P}^{r}\) avec \(X\) algébrique. Soit \(Z \subset X\) l'ensemble des points où \(f\) est ramifié ou où \(X\) n'est pas géométriquement unibranche — respectivement pas normal, pas lisse. Si \(\dim \overline{f(Z)} < s\), alors \(Y_{t} = f_{t}^{-1}(L_{t})\) est géométriquement unibranche — respectivement normal, lisse.

Le second est le mécanisme de tout ce qui suit, et il faut voir sa forme : la propriété qu'on veut sur la section générique s'obtient en écartant par la dimension le lieu où elle échoue sur \(X\).

Les corollaires

Corollaire 3. Sous les conditions de 1 et 2, avec \(k\) algébriquement clos, le morphisme canonique \(\pi_{1}(Y_{\bar{t}}) \to \pi_{1}(X)\) est surjectif.

Remarque 4. Utilisant les théorèmes de changement de base pour le \(\pi_{1}\), on conclut que \[ (\ast) \qquad \pi_{1}(Y_{\bar{t}}) \longrightarrow \pi_{1}(X_{\bar{t}}) \] est surjectif si \(X\) est propre, et que \[ (\ast\ast) \qquad \pi_{1}^{!}(Y_{\bar{t}}) \longrightarrow \pi_{1}^{!}(X_{\bar{t}}) \] est surjectif sans hypothèse de propreté, où \(!\) désigne le plus grand quotient profini premier à l'exposant caractéristique de \(k\).⁵⁰ On n'affirme pas que \((\ast)\) soit toujours surjectif sans propreté : c'est exactement la différence que \((\ast\ast)\) mesure, et elle est du côté sauvage.

Corollaire 4 (de 1). Si \(X\) est de plus propre, alors pour toute sous-variété linéaire \(L_{t}\) de codimension \(s\) — générique ou non — \(Y_{t} = f_{t}^{-1}(L_{t})\) est géométriquement connexe. C'est le théorème de connexité.

Corollaire 5. Sous les hypothèses de 3, avec \(X\) propre, \(\pi_{1}(Y_{\bar{t}}) \to \pi_{1}(X)\) est surjectif, l'identification \(\pi_{1}(X) \simeq \pi_{1}(X_{\bar{t}})\) venant du théorème de changement de base. En marge : « cf. SGA 1 X 2.11 ».

Le théorème 6 : la version modérée, pour \(t\) non générique

C'est le résultat propre du tapuscrit, et il répond au besoin qu'énonce la page 113 : un énoncé de surjectivité pour un \(t\) non générique, sans hypothèse de propreté, et pour des quotients plus gros que ceux de \((\ast\ast)\).

Théorème 6. Supposons \(k\) algébriquement clos, \(X\) propre, \(f : X \to \mathbf{P}^{r}\), \(L_{t}\) un sous-espace linéaire de codimension \(s\) défini sur \(k\), et \(D \subset X\) un sous-schéma fermé, tels que :

1. a)\(Y_{t} = f^{-1}(L_{t})\) est non vide ;
2. b)pour tout \(x \in Y_{t}\) : \(X\) est lisse en \(x\), \(Y_{t}\) est lisse en \(x\) et de codimension \(s\) dans \(X\) en \(x\), et \(f\) est net en \(x\) ;
3. c)pour tout \(x \in D_{t} = D \cap Y_{t}\) : ou bien \(\operatorname{codim}_{x}(D_{t}, Y_{t}) \geqslant 2\), ou bien \(D\) est un diviseur sur \(X\) en \(x\) qui induit sur \(Y_{t}\) en \(x\) un diviseur à croisements normaux.

Supposons \(U = X - D\) irréductible et posons \(U_{t} = U \cap Y_{t}\). Soit \(\pi^{t}_{1}(U)\) le quotient de \(\pi_{1}(U)\) classifiant les revêtements modérément ramifiés le long des composantes de codimension 1 de \(D\) qui rencontrent \(Y_{t}\), et \(\pi^{t}_{1}(U_{t})\) le quotient analogue pour \(D_{t}\). Alors \[ \pi^{t}_{1}(U_{t}) \longrightarrow \pi^{t}_{1}(U) \] est surjectif.

Démonstration. Pour \(L_{t'}\) générique la conclusion est le corollaire 3 : un revêtement étale connexe \(V\) de \(U\) reste connexe au-dessus de \(U_{t'}\). Il faut la faire descendre à \(t\). Sur un voisinage ouvert \(T\) de \(\bar{t}\) dans la grassmannienne, la famille des \(Y_{t'}\) est un morphisme propre et lisse \(Y \to T\), et celle des \(D_{t'}\) un sous-schéma fermé \(\Delta\) de \(Y\), réunion d'un \(\Delta_{1}\) de codimension \(\geqslant 2\) sur chaque fibre — qui ne compte pas, par le théorème de pureté relative — et d'un diviseur \(\Delta_{2}\) à croisements normaux relatifs. Le revêtement \(V\) définit un revêtement \(V'\) de \(U' = Y - \Delta\) ; par pureté, \(V'\) se prolonge en un revêtement étale \(V''\) de \(U'' = Y - \Delta_{2}\), modérément ramifié sur les fibres relativement à \(\Delta_{2}\). On conclut par le théorème de spécialisation pour le groupe fondamental modéré.⁵¹

Remarque 7 : où il bute

Avec les notations de SGA 7 XVIII, le théorème 6 s'applique à tout pinceau de Lefschetz \(D\) et donne la surjectivité de \[ \pi^{t}_{1}(D - \check{D}) \longrightarrow \pi^{t}_{1}(\mathbf{P} - \check{X}) , \] d'où le théorème de conjugaison des cycles évanescents — donc l'irréductibilité de la cohomologie évanescente — pourvu qu'on ne soit pas dans le cas \(\operatorname{car} k = 2\) avec \(\dim X\) impaire.

Dans ce cas-là, dit-il, « je ne sais pas prouver la conjugaison sous \(\pi_{1}(D - \check{D})\), sauf pour un pinceau générique, puisqu'alors la représentation envisagée est sauvage ; j'ignore si elle reste vraie pour un pinceau général ». Il ajoute que la conjugaison des sous-groupes de monodromie locale dans \(\operatorname{Aut}(H^{n-1}(Y))\), qui est très élémentaire, reste vraie et suffit pour le théorème caractérisant le cas où la condition (A) n'est pas vérifiée.

C'est l'un des deux endroits du carton où Grothendieck écrive noir sur blanc qu'il ne sait pas ; l'autre est la page 179.

116–120

« Comportement fonctoriel des groupes d'inertie » (pages 116 à 120)

Un second tapuscrit corrigé, en cinq numéros dont le cinquième déborde sur la page 121. Il traite ce que la lettre de 1967 signalait comme la cause de l'effondrement du théorème 6.4 de Murre.

1. Ce qu'est un groupe d'inertie, et de quoi il dépend

Soient \(X\) un schéma, \(U\) un ouvert, \(G\) un groupe profini, \(U'\) un revêtement principal de \(U\) de groupe \(G\), \(x\) un point géométrique de \(X\), \(\bar{X}\) le localisé strict de \(X\) en \(x\), \(\bar{U}\) l'image inverse de \(U\) et \(\bar{U}' = U' \times_{U} \bar{U}\). Donnons-nous de plus un \(\bar{X}\)-schéma \(\bar{X}'\) à opérateurs \(G\) prolongeant \(\bar{U}'\).

Le cas d'intérêt est celui où \(x \in X - U\) est adhérent à \(U\), où \(\bar{X}'\) est entier sur \(\bar{X}\), et où \(\mathcal{O}_{\bar{X}} = \bar{p}_{*}(\mathcal{O}_{\bar{X}'})^{G}\) — de sorte que \(G\) opère transitivement sur la fibre \(\bar{X}'_{\bar{x}}\). Si \(X\) est normal en \(x\) et \(\bar{U}\) non vide, on prend pour \(\bar{X}'\) le normalisé de \(\bar{X}\) relativement à \(\bar{U}'\), comme limite projective des normalisés dans les quotients finis.

Pour \(\xi \in \bar{X}'_{\bar{x}}\), le stabilisateur \[ G_{\xi} \;=\; \{\, g \in G \;:\; g\cdot\xi = \xi \,\} \] est le groupe d'inertie relatif à \(\xi\). Quand \(G\) opère transitivement sur la fibre, les \(G_{\xi}\) forment une classe de sous-groupes conjugués, qu'on appelle par abus les sous-groupes d'inertie relatifs à \(x\).

Il faut lire l'avertissement qui suit, parce qu'il est le sujet de tout ce tapuscrit : cette classe n'est pas déterminée par la seule connaissance de \(x\), elle dépend du choix du prolongement \(\bar{X}'\) de \(\bar{U}'\). La convention — \(X\) normal en \(x\), \(x\) spécialisation d'un point de \(U\), prolongement par normalisation — est ce qui la fixe, et elle est sous-entendue partout ensuite.

2. Fonctorialité

Soit une seconde situation \((Y, V, H, V')\), un morphisme \(f : X \to Y\) avec \(f(U) \subset V\), un morphisme \(f' : U' \to V'\) au-dessus de lui, et un homomorphisme \(\varphi : G \to H\) rendant \(f'\) équivariant. Le cas courant est celui où \(U'\) et \(V'\) sont des quotients des revêtements universels de \(U\) et \(V\) pointés en \(a\) et \(b = f(a)\), où \(G\) et \(H\) sont des quotients de \(\pi_{1}(U,a)\) et \(\pi_{1}(V,b)\), et où \(\varphi\) est induit par \(f_{*}\) ; alors \(f'\) et \(\varphi\) sont déterminés sans ambiguïté par \(f\), et leur existence signifie seulement que \(f_{*}\) passe aux quotients.

Étant donné un prolongement \(\bar{f}' : \bar{X}' \to \bar{Y}'\), on a alors la relation évidente \[ (2.1) \qquad \varphi(G_{\xi}) \;\subset\; H_{\bar{f}'(\xi)} : \] un morphisme envoie inertie dans inertie. Et si les deux actions sont transitives sur les fibres, \(\varphi\) applique tout groupe d'inertie de \(G\) relatif à \(x\) dans un groupe d'inertie de \(H\) relatif à \(y = f(x)\).

Reste l'existence de \(\bar{f}'\). En pratique \(\bar{U}'\) est schématiquement dense dans \(\bar{X}'\) et \(\bar{Y}'\) est séparé sur \(\bar{Y}\), ce qui rend \(\bar{f}'\) unique s'il existe ; et il existe — en l'interprétant comme \(\bar{X}' \to \bar{Y}' \times_{\bar{Y}} \bar{X}'\) — lorsque \(\bar{Y}'\) est entier sur \(\bar{Y}\), par EGA II 6.1.14. La commutation aux actions de \(G\) est alors automatique.

3. Le calcul local

Supposons \(\mathcal{O}_{X,x}\) régulier et \(\bar{U} = \bar{X} - \bar{D}\) avec \(\bar{D}\) un diviseur à croisements normaux dans le schéma strictement local régulier \(\bar{X}\), et supposons la ramification de \(\bar{U}'\) modérée aux points maximaux de \(\bar{D}\). Le calcul local classique donne alors : pour tout \(\xi\), le groupe d'inertie \(G_{\xi}\) est canoniquement un quotient du groupe \[ (3.1) \qquad I \;=\; \prod_{\ell \neq p} \underline{Z}_{\ell}(1)\bigl(k(\bar{x})\bigr)^{C} \;=\; \prod_{\ell \neq p} T_{\ell}\bigl(k(\bar{x})\bigr)^{C} , \] où \(C\) est l'ensemble des composantes irréductibles de \(\bar{D}\) et \(p\) la caractéristique résiduelle en \(x\). Un facteur par branche du diviseur : c'est la structure entière de l'inertie modérée.

Le même calcul montre que le facteur correspondant à une composante \(\bar{D}_{c}\) coïncide avec le groupe d'inertie en n'importe quel point de \(\bar{X}'\) au-dessus du point maximal de \(\bar{D}_{c}\) qui générise \(\xi\) — et de tels points existent toujours. Donc la classe de conjugaison de ce facteur ne dépend que de la composante irréductible de \(D = X - U\). C'est l'énoncé qui manquait à Murre, et c'est celui que la page 7 annonçait.

4. La matrice des multiplicités

Reprenons la situation de 2 avec, des deux côtés, la structure de 3 : \(\bar{V} = \bar{Y} - \operatorname{supp}\bar{E}\), \(\bar{E}\) à croisements normaux, \(C'\) l'ensemble de ses composantes. Pour tout \(c' \in C'\), l'image inverse de \(\bar{E}_{c'}\) est un diviseur sur \(\bar{X}\) de support contenu dans celui de \(\bar{D}\), donc \[ \bar{f}^{*}(\bar{E}_{c'}) \;=\; \sum_{c \in C} n_{c,c'}\,\bar{D}_{c} , \] les \(n_{c,c'}\) étant des entiers \(\geqslant 0\) non tous nuls pour \(c'\) fixé. Un calcul d'images inverses de revêtements kummériens donne alors la commutativité de

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
G_{\xi} \arrow[r, "\varphi"] & H_{y} \\
\prod_{\ell} \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x})^{C} \arrow[u] \arrow[r, "N"] &
\prod_{\ell} \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{y})^{C'} \arrow[u]
\end{tikzcd}

les flèches verticales étant les épimorphismes canoniques de (3.1) et \(N\) l'homomorphisme de matrice \((n_{c,c'})\), compte tenu que \(k(\bar{y}) \to k(\bar{x})\) induit \(\underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{y}) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x})\).⁵²

Critère. Pour que \(N\) soit un isomorphisme, il faut et il suffit que \(\operatorname{card} C = \operatorname{card} C'\) et que l'entier ordinaire \(\det N\) soit égal à \(\pm\, p^{r}\), \(p\) étant l'exposant caractéristique de \(k(x)\) et de \(k(y)\). Dans ce cas les sous-groupes d'inertie de \(H\) en \(y\) sont exactement les conjugués des images de ceux de \(G\) en \(x\).

Le critère est joli et il est exact : \(N\) doit être inversible sur \(\prod_{\ell \neq p}\mathbb{Z}_{\ell}\), ce qui revient à demander que \(\det N\) soit inversible dans cet anneau, c'est-à-dire premier à tout \(\ell \neq p\), c'est-à-dire une puissance de \(p\) au signe près. La caractéristique n'entre donc qu'à un seul endroit, et sous cette forme.

5. Le cas d'un diviseur image inverse

Le numéro 5 particularise à \(V = Y - \operatorname{supp} E\) avec \(E\) un diviseur \(\geqslant 0\) sur \(Y\) et \(U = f^{-1}(V)\), sous deux conditions : que les anneaux locaux soient noethériens aux points concernés, et que \(D = f^{*}(E)\) soit défini et régulier. Le tapuscrit s'interrompt au milieu de cette seconde condition ; il reprend à la page 121 avec la condition de transversalité et la conclusion sur les classes de conjugaison d'homomorphismes \(\underline{Z}_{\ell}(1) \to G\).

121–122

Une classe de conjugaison par branche (pages 121 et 122)

Le tapuscrit commencé à la page 116 s'achève. Sous les conditions du numéro 5 — \(D = f^{*}(E)\) régulier, \(\operatorname{supp} E\) irréductible et régulier aux points de \(f(\operatorname{supp} D)\), avec la condition de transversalité — les images par \(\varphi : G \to H\) des sous-groupes d'inertie de \(G\) en un point \(x\) de \(\operatorname{supp} D\) sont des sous-groupes d'inertie de \(H\) relatifs au point maximal de \(\operatorname{supp} E\).

Il en résulte le corollaire pratique : pour toute représentation linéaire de \(G\) dans un module \(M\) qui se factorise par \(H\), les images dans \(\operatorname{Aut}(M)\) des sous-groupes d'inertie de \(G\) relatifs aux divers points de \(\operatorname{supp} D\) sont conjuguées. C'est ce qu'on veut savoir quand on étudie une famille : la monodromie locale est la même, à conjugaison près, tout le long du diviseur.

L'énoncé le plus précis

On peut demander mieux. Pour tout \(\xi\) au-dessus d'un point géométrique \(\bar{x}\) de \(\operatorname{supp} D\), considérons l'homomorphisme \[ \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x}) \longrightarrow G \] dont l'image est le sous-groupe d'inertie correspondant. Pour \(\xi\) variable et \(\bar{x}\) fixé, il varie par composition avec un automorphisme intérieur de \(G\) : on a donc, pour \(\bar{x}\) fixé, une classe de conjugaison d'homomorphismes.

Pour \(\bar{x}\) variable dans une composante \(D_{i}\) de l'ensemble des points réguliers de \(D\) de caractéristique \(\neq \ell\), on passe d'un tel homomorphisme à un autre en composant avec l'un des isomorphismes \(\underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x}) \to \underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x}')\) associés à une classe de chemins de \(\bar{x}\) à \(\bar{x}'\). Si cet isomorphisme ne dépend pas du choix de la classe de chemins — c'est-à-dire si le faisceau \(\ell\)-adique de Tate \(\underline{Z}_{\ell}(1)\) est trivial sur \(D_{i}\), ce qui se voit déjà sur sa restriction au point générique — alors on identifie tous les \(\underline{Z}_{\ell}(1)(\bar{x})\) à un même groupe \(\underline{Z}_{\ell}(1)(D_{i})\), et l'on obtient une classe de conjugaison d'homomorphismes \[ \underline{Z}_{\ell}(1)(D_{i}) \longrightarrow G \] bien déterminée par la seule composante \(D_{i}\).

Si de plus \(\underline{Z}_{\ell}(1)\) est trivial sur l'ouvert \(X_{\ell}\) des points de \(X\) de caractéristique \(\neq \ell\) et que celui-ci est connexe, on identifie tout à un unique \(\underline{Z}_{\ell}(1)\), et l'on obtient, pour chaque \(i\), une classe de conjugaison d'homomorphismes \(\underline{Z}_{\ell}(1) \to G\). Ces classes peuvent être distinctes pour des \(i\) distincts — et c'est bien pour cela qu'on les a construites. La formation en est fonctorielle relativement à un morphisme \(f : X \to Y\) du type étudié aux numéros 2 et 4, « ce que le lecteur explicitera lui-même s'il en a besoin ».

Une note en marge de la page 121, à ne pas laisser passer : « Remords au n^o 3, 4 ». Elle porte sur les deux numéros où la classe d'inertie est construite, et le carton n'en dit pas davantage.

124–126

Lettre à Serre, 18 octobre 1959 : le groupe fondamental infinitésimal (pages 124 à 126)

Le contexte, en trois lignes

La lettre s'ouvre sur Tate et les courbes elliptiques, dont Grothendieck dit n'avoir « pas du tout compris pourquoi ses résultats suggèreraient l'existence d'une telle définition » — il s'agit d'une définition globale des variétés analytiques sur un corps valué complet — et reste sceptique. Puis, sans transition :

J'ai réfléchi un petit peu à la partie « infinitésimale » du groupe fondamental, juste assez pour me convaincre que ça existe et est raisonnable.

Le dispositif

On se donne un schéma connexe \(S\) (par exemple un schéma algébrique sur un corps \(k\)), une catégorie auxiliaire \(\mathcal{C}\) (par exemple les schémas algébriques finis sur \(k\)) où les produits fibrés existent, et une catégorie \(\mathcal{G}\) dont les objets sont des groupes de \(\mathcal{C}\) (par exemple les groupes algébriques finis sur \(k\)), soumise à :

1. (i)\(\mathcal{G}\) est stable par produits, et par noyaux de couples de morphismes — le sous-groupe maximum où deux morphismes coïncident, qui existe puisqu'il s'exprime par un produit fibré ;
2. (ii)les images existent, sont des quotients, et sont dans \(\mathcal{G}\) ;
3. (iii)toute suite décroissante de sous-groupes appartenant à \(\mathcal{G}\) d'un objet de \(\mathcal{G}\) est stationnaire.

Et un foncteur covariant \(F\) de \(\mathcal{G}\) dans les schémas en groupes sur \(S\) (par exemple \(G \mapsto S \times_{k} G\)), soumis à :

1. (iv)\(F\) est exact : il commute aux produits, aux noyaux de couples, aux images ;
2. (v)tout \(H\) de la forme \(F(G)\) est « spécial », c'est-à-dire admet une suite exacte de schémas en groupes finis et plats sur \(S\) \[ e \longrightarrow H_{\mathrm{inf}} \longrightarrow H \longrightarrow H_{\mathrm{s\acute{e}p}} \longrightarrow e , \] où \(H_{\mathrm{inf}}\) est purement infinitésimal — la projection sur \(S\) est géométriquement injective — et \(H_{\mathrm{s\acute{e}p}}\) non ramifié sur \(S\) ;
3. (vi)\(S\) est réduit.

Il ajoute, et c'est important pour lire ce qui suit : « Les conditions (v) et (vi) ont une sale gueule, et sont essentiellement provisoires. » Elles ne servent qu'à un lemme.

Lemme. Soient \(H\) comme en (v), \(S\) comme en (vi), \(P\) et \(Q\) deux fibrés principaux homogènes sous \(H\), et \(u\), \(v\) deux isomorphismes de \(P\) dans \(Q\) transformant un point marqué donné en un autre donné. Alors \(u = v\).

Démonstration. En tordant \(H\), on se ramène au cas où \(P\) est trivial ; alors il suffit d'observer qu'une section de \(Q\) est un isomorphisme de \(S\) sur une composante connexe de \(Q_{\mathrm{r\acute{e}d}}\).

Le lemme est ce qui fait tenir toute la construction : un fibré principal pointé n'a pas d'automorphisme pointé. Sans cela, la classification n'est pas un ensemble mais un groupoïde, et le foncteur ci-dessous ne serait pas à valeurs dans les ensembles.

Le foncteur, et ce qu'il vérifie

Soit \(a\) un point marqué de \(S\) — une extension algébriquement close du corps résiduel d'un \(s \in S\). Pour \(G \in \mathcal{G}\), on note \[ Z(S, a\,;\, G) \;=\; Z(G) \] l'ensemble des classes d'isomorphie de fibrés principaux homogènes sur \(S\), de groupe \(F(G)\), munis d'un point marqué au-dessus de \(a\). C'est un foncteur covariant de \(\mathcal{G}\) dans les ensembles, et il vérifie :

1. 1)il commute aux produits, puisque \(F\) y commute ;
2. 2)il commute aux noyaux de couples : si \(G'' \to G \rightrightarrows G'\) est exacte dans \(\mathcal{G}\), alors \(Z(G'') \to Z(G) \rightrightarrows Z(G')\) l'est, c'est-à-dire que \(Z(G'')\) s'identifie à l'ensemble des éléments de \(Z(G)\) ayant même image par les deux flèches. Cela résulte de l'exactitude de \(F\) et du lemme.

La pro-représentabilité

De ces deux propriétés il résulte formellement qu'il existe un système projectif filtrant \((G_{i})_{i \in I}\) dans \(\mathcal{G}\), à morphismes de transition épimorphiques, essentiellement unique, avec un isomorphisme fonctoriel \[ Z(G) \;=\; \varinjlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{G}}(G_{i}, G) . \]

C'est ce système projectif — pris modulo l'équivalence qui, intuitivement, revient à passer à la limite projective des \(G_{i}\) — qui est le groupe fondamental. On le note \(\pi_{1}^{\mathcal{G}}(S, a)\) ; et dans le cas d'un corps de base \(k\) avec \(\mathcal{G}\) la catégorie des groupes algébriques finis sur \(k\), on écrira \(\pi_{1}(S/k, a)\) : « c'est le groupe proalgébrique (mais avec partie infinitésimale) fondamental du \(k\)-schéma \(S\) ».

Il faut voir la forme du geste, parce qu'il revient dix fois dans le carton : on ne construit pas le groupe, on construit le foncteur qu'il devrait représenter, et on montre que ce foncteur est pro-représentable. Les pages 164 à 185 feront la même chose pour des groupes structuraux infinis, la page 104 pour \(\pi_{2}\), et la page 208 axiomatisera la catégorie où c'est possible.⁵³

Le dévissage sur un corps parfait

Lorsque \(k\) est parfait, tout groupe algébrique fini se décompose en partie infinitésimale et partie réduite, et le groupe fondamental est le produit semi-direct de sa partie séparable — un groupe profini ordinaire sur lequel \(\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\) opère — par sa partie infinitésimale, laquelle ne dépend d'ailleurs plus du point base.

Deux remarques qu'il faut lire ensemble. La première : la partie séparable est « plus grande » que le groupe fondamental ordinaire, parce qu'elle classifie les revêtements principaux dont le groupe structural est un groupe fini et séparable sur \(k\) — c'est-à-dire un groupe fini ordinaire sur lequel on fait opérer \(\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\) de façon non nécessairement triviale. La seconde : « J'avoue que si \(k\) n'est pas algébriquement clos, le groupe fondamental ci-dessus n'est sans doute pas le bon » ; il faudrait prendre celui de \(S \times_{k} \bar{k}\), muni de sa donnée de descente, donc défini en réalité sur \(k\).⁵⁴

127–129

Ce que la lettre conjecture, et ce qu'elle calcule (pages 127 à 129)

La suite exacte d'homotopie, à trouver

« Je ne sais encore comment devrait être formulée la suite exacte d'homotopie ; pour bien faire, l'inclusion dans le groupe fondamental d'une partie infinitésimale devrait donner une théorie satisfaisante du comportement du groupe fondamental par spécialisation. »

L'espoir est le suivant. Soit \(f : X \to Y\) propre et séparable à fibres absolument connexes — c'est-à-dire \(f_{*}(\mathcal{O}_{X}) = \mathcal{O}_{Y}\) — muni d'une section qui détermine des points-base sur les fibres. Alors les groupes fondamentaux totaux des fibres devraient former sur \(Y\) un pro-schéma en groupes filtrant : il existerait un système projectif \(\pi_{1}(X/Y, s) = (G_{i})_{i \in I}\) de schémas en groupes « spéciaux » sur \(Y\), à morphismes de transition épimorphiques, dont les groupes fondamentaux des fibres se déduiraient par simple spécialisation.

Et la conjecture proprement dite : \(\pi_{1}(X/Y)\), \(\pi_{1}(X)\) et l'image inverse par \(f\) de \(\pi_{1}(Y)\) devraient être reliés par une suite exacte. Il ajoute — et c'est la seule fois du carton où il rêve à voix haute — « Il y a de la joie en perspective pour les groupes d'homotopie supérieurs \dots ».

Une conséquence immédiate est notée : pour des schémas complets \(X\), \(Y\) sur \(k\) algébriquement clos, \[ \pi_{1}(X \times Y/k) \;=\; \pi_{1}(X/k) \times \pi_{1}(Y/k) . \] C'est l'énoncé qui figure à la page 62 — mais pour le quotient premier à la caractéristique, non pour le groupe total. La différence est exactement la partie infinitésimale, et c'est elle qui rend l'énoncé de 1959 plus fort que celui de 1967.

Le calcul sur une variété abélienne

C'est le morceau de la lettre.

Utilisant les raisonnements de Serre, on conclut que si \(X\) est une variété abélienne sur \(k\), alors \(\pi_{1}(X/k)\) est abélien, et qu'un revêtement principal minimal \(X'\) de \(X\) est une variété abélienne isogène à \(X\). On en déduit \[ \pi_{1}(X/k) \;=\; \varprojlim_{n} {}_{n}X , \] où \({}_{n}X\) est le noyau de la multiplication par \(n\) — avec sa partie infinitésimale, bien sûr — l'homomorphisme de \({}_{mn}X\) dans \({}_{n}X\) étant induit par la multiplication par \(m\).

Et, par la dualité de Cartier : ce groupe fondamental est dual du groupe ind-algébrique \[ \varinjlim_{n} {}_{n}X^{*} , \] où \(X^{*}\) est la variété duale.

Prenant la \(p\)-composante, « on trouve ce qui, pour le nombre premier \(p\), doit jouer le rôle du module de Weil » — c'est-à-dire l'analogue en caractéristique \(p\) du module de Tate. Il ajoute qu'il est hors de doute qu'on peut associer fonctoriellement à un groupe proalgébrique infinitésimal abélien un module sur l'anneau de Witt, et que ce module se décompose en les trois morceaux correspondant aux trois types principaux de groupes algébriques abéliens ; ce qui donnerait au théorème de Serre « une formulation plus naturelle », avec une démonstration uniforme sans distinction entre \(\ell \neq p\) et \(\ell = p\), et montrerait que « ta somme abracadabrante se comporte bien quand on fait varier \(X\) dans une famille ».

Ce que c'est, aujourd'hui

L'objet construit dans cette lettre — le pro-schéma en groupes finis qui classifie les torseurs pointés sous les schémas en groupes finis, avec sa partie infinitésimale — est ce qu'on appelle aujourd'hui le schéma en groupes fondamental. La construction publiée, par la voie tannakienne des fibrés essentiellement finis, est due à Madhav Nori (thèse de 1976, article de 1982), qui démontre en particulier que pour une variété abélienne \(\pi^{N}(X) = \varprojlim_{n} {}_{n}X\), et la dualité de Cartier avec \(\varinjlim {}_{n}X^{*}\).⁵⁵

Le calendrier

La lettre se termine ainsi, et il faut la lire jusqu'au bout :

J'espère arriver dans l'année prochaine à une théorie satisfaisante du groupe fondamental, et achever la rédaction des Chapitres IV, V, VI, VII (ce dernier étant le groupe fondamental), en même temps que des catégories. Dans deux ans résidus, dualité, intersections, Chern, Riemann-Roch. Dans trois ans cohomologie de Weil, et un peu d'homotopie si Dieu veut. Et entre-temps, je ne sais quand, le grand théorème d'existence avec Picard etc, un peu de courbes algébriques, les schémas abéliens. Sauf difficultés imprévues ou enlisement, le multiplodoque devrait être fini d'ici 3 ans, ou 4 au maximum. On pourra commencer à faire de la géométrie algébrique !

130–134

Les « feuilles anciennes » : représentabilité et recollement (pages 130 à 134)

Onze feuillets manuscrits que la chemise appelle « Vrai groupe fondamental [feuilles anciennes] » reprennent la même théorie de sa main. Ils sont d'une écriture pâle et lourdement raturée, et la transcription y laisse beaucoup d'illisible ; ce qui suit est ce qui s'énonce.

Le foncteur des fibrés pointés

Soit \(f : X \to S\) propre et plat, muni d'une section \(\sigma\), avec \(f_{*}(\mathcal{O}_{X}) = \mathcal{O}_{S}\) universellement. Soit \(G\) un groupe fini et étale sur \(S\) — le cas important étant \(G = S \times \Gamma\) pour \(\Gamma\) un groupe fini ordinaire. On note \(F_{G}(T)\) l'ensemble des classes d'isomorphie de fibrés principaux homogènes sur \(X_{T}\), de groupe \(G_{X_{T}}\), munis d'une section le long de \(\sigma_{T}\) — c'est-à-dire d'un isomorphisme \(\sigma_{T}^{*}(X') \simeq G_{T}\).

Question. Le foncteur \(T \mapsto F_{G}(T)\) est-il représentable ? Si oui, le schéma qui le représente est étale sur \(S\). On note que \(F_{G}\) est compatible aux limites et à la descente fidèlement plate quasi-compacte.

C'est le même foncteur que le \(Z(S,a;G)\) de la lettre, rendu relatif : la lettre le prenait sur un \(S\) fixe et cherchait à le pro-représenter ; ici on le prend en famille et l'on cherche à le représenter. La différence n'est pas de degré : la seconde question est celle de la constructibilité en famille que la page 44 appelait de ses vœux.

Un critère de représentabilité

Critère. Soit \(S\) un préschéma localement noethérien et \(F : (\mathrm{Sch})_{/S} \to (\mathrm{Ens})\) un foncteur vérifiant :

1. (i)\(F\) est compatible aux limites inductives d'anneaux ;
2. (ii)\(F\) est compatible à la descente fidèlement plate quasi-compacte et à la localisation ;
3. (iii)si \(A\) est un anneau local noethérien complet sur \(S\) de corps résiduel \(k\), alors \(F(A) \simeq F(k)\) ;
4. (iv)\(F\) est séparé ;
5. (v)pour tout corps \(k\) sur \(S\), \(F(k)\) est fini, et \(F(k) \to F(k')\) est bijectif pour \(k'\) une extension algébrique séparable de \(k\).⁵⁶

Alors \(F\) est représentable par un schéma étale, séparé et quasi-fini sur \(S\).

C'est la condition (iii) qui porte le poids : elle dit que le foncteur ne voit que la fibre spéciale d'un anneau local complet, ce qui est la version foncteur du fait qu'un revêtement étale d'un local complet est déterminé par sa fibre spéciale. La démonstration est esquissée puis s'arrête au milieu d'une phrase.

Le lemme de recollement

Lemme. Soit \(S\) localement noethérien, et pour tout \(s \in S\) un préschéma \(X(s)\) quasi-fini étale séparé sur \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{s})\), avec, pour \(s \in \overline{\{t\}}\), des morphismes \(\varphi_{st} : X(t) \to X(s)\) au-dessus de \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{t}) \to \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{s})\) vérifiant \(\varphi_{st}\varphi_{tu} = \varphi_{su}\). Alors il existe un préschéma \(X\) quasi-fini séparé étale sur \(S\) et des isomorphismes \[ \varphi_{s} : X \times_{S} \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{s}) \xrightarrow{\ \sim\ } X(s) \] compatibles, et \(X\) est unique à isomorphisme unique près.

\begin{tikzcd}
X(s) \arrow[d] & X(t) \arrow[l, "\varphi_{st}"'] \arrow[d] \\
\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{s}) & \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{t}) \arrow[l]
\end{tikzcd}

L'unicité résulte d'un énoncé plus général de pleine fidélité sur les préschémas de type fini sur \(S\). Sur l'existence, Grothendieck écrit : « Je ne suis pas [sûr] de mon raisonnement » — et la marge propose la stratégie qui convient : montrer que pour tout \(s\), \(X(s)\) se réalise sur un voisinage ouvert \(U\) de \(s\), puis recoller.

136–140

Groupes admissibles, couples minimaux, et la proposition 4 (pages 136 à 140)

Les groupes admissibles

Soit \(S\) un schéma réduit connexe. Appelons admissible un schéma en groupes \(G\), fini et plat sur \(S\), admettant une suite exacte \[ e \longrightarrow U \longrightarrow G \longrightarrow \Gamma \longrightarrow e \] avec \(U \to S\) plat, fini et géométriquement injectif, et \(\Gamma \to S\) plat, fini et séparable. Alors le sous-groupe \(U\) est déterminé de façon unique — avec, en marge, la question : « pour cette question, l'hypothèse « \(S\) réduit » est-elle nécessaire ? ».

C'est la condition (v) de la lettre, débarrassée du foncteur \(F\) : un groupe est admissible s'il se dévisse en une partie infinitésimale et une partie étale.

Proposition 1. Soit \(S' \to S\) un morphisme et \(G\) un \(S\)-groupe fini. Si \(G\) est admissible, \(G \times_{S} S'\) l'est — c'est trivial, la suite exacte se changeant de base. Réciproquement, si \(G \times_{S} S'\) est admissible et si \(S' \to S\) est fidèlement plat, alors \(G\) est admissible, par descente et unicité de \(U\).⁵⁷

Corollaire. Si \(G\) est admissible et \(P\) un fibré principal sous \(G\), alors \(\operatorname{Aut}(P)\), comme \(S\)-groupe, est admissible.

Proposition 2. Si \((P, \xi)\) est un fibré principal pointé sous un \(S\)-groupe admissible \(G\), alors \(\operatorname{Aut}(P, \xi)\) est réduit à l'identité.

Proposition 3. Deux sections d'un préschéma réduit connexe \(P\) sur \(S\) qui coïncident en un point sont identiques. Plus précisément : si \(s\) est une section de \(P/S\), il existe un sous-préschéma fermé \(Q\) de \(P\) tel que \(Q_{\mathrm{r\acute{e}d}} \to S\) soit un isomorphisme, d'isomorphisme réciproque induit par \(s\).

Les propositions 2 et 3 sont le lemme de la lettre, découpé en deux : la seconde est le fait géométrique, la première la conséquence dont on se sert.

Minimalité

Un couple \((P, \xi)\), relatif à un \(G\) admissible, est dit minimal s'il n'existe pas de sous-groupe admissible \(G' \subset G\) et de \((P', \xi')\) relatif à \(G'\) tels que \[ (P, \xi) \;\simeq\; (P', \xi') \times_{G'} G . \] Autrement dit : \((P,\xi)\) n'est pas obtenu par extension du groupe structural depuis un sous-groupe strict.⁵⁸

On pose alors \[ \mathfrak{Z}(S, a\,;\, G) \;=\; \mathfrak{Z}(G) \;=\; \bigl\{\text{classes d'isomorphie de $G$-fibrés principaux pointés au-dessus de } a\bigr\} , \] foncteur covariant en le \(S\)-groupe admissible \(G\). C'est le \(Z(S,a;G)\) de la lettre, écrit d'une autre lettre, et c'est aussi le \(\pi^{1}(S,\xi\,;\,G)\) des pages 164 et suivantes : trois notations, un seul foncteur, et c'est la lecture du carton entier qui permet de le dire.

La proposition 4, démontrée deux fois

Proposition 4. Soit \(\alpha \in \mathfrak{Z}(G)\) minimal. Alors \[ u \longmapsto u_{*}(\alpha) , \qquad \operatorname{Hom}^{\mathrm{gr}}_{S}(G, G') \longrightarrow \mathfrak{Z}(G') \] est injective.

Démonstration. Soient \(u, v : G \to G'\) avec \(u_{*}(\alpha) = v_{*}(\alpha)\). Soit \((P, \xi)\) de classe \(\alpha\) et \((P', \xi')\) de classe \(u_{*}(\alpha) = v_{*}(\alpha)\). Le couple \((u,v) : G \to G' \times G'\) donne \[ (Q, \eta) \;=\; (P, \xi) \times_{G} (G' \times G') \;=\; \bigl[(P,\xi) \times_{u} G'\bigr] \times \bigl[(P,\xi) \times_{v} G'\bigr] , \] et par hypothèse il existe un unique homomorphisme \((P', \xi') \to (Q, \eta)\) compatible avec la diagonale \(G' \to G' \times G'\).

\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "{(u,v)}"] & G' \times G' \\
H \arrow[u] \arrow[r] & G' \arrow[u]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
(P, \xi) \arrow[r] & (Q, \eta) \\
(R, \lambda) \arrow[u] \arrow[r] & (P', \xi') \arrow[u]
\end{tikzcd}

Soit \((R, \lambda)\) le produit fibré de \((P, \xi)\) et \((P', \xi')\) au-dessus de \((Q, \eta)\), et \(H\) le noyau du couple \(G \rightrightarrows G'\) — c'est-à-dire le sous-groupe où \(u\) et \(v\) coïncident. Alors \((R, \lambda)\) est un fibré principal de groupe \(H\), et la minimalité de \((P, \xi)\) force \(H = G\), donc \(u = v\).

C'est l'énoncé sur lequel toute la pro-représentabilité repose : c'est lui qui rend unique le morphisme entre deux couples minimaux, donc qui fait des couples minimaux un système projectif et non un groupoïde. La lettre l'utilise page 127 sans le démontrer ; ces feuillets le démontrent, et deux fois — la page 139 porte une première tentative qui s'arrête sur la phrase « Soit \((R,\lambda)\) le produit fibré de \((P,\xi)\) et \((P',\xi')\) sur \((Q,\eta)\) », et la page 140 la reprend depuis le début et la conduit à terme.⁵⁹

La fin de la démonstration — l'extension de base \((S_{1}, a_{1}) \to (S, a)\) et l'identification de \(P_{1}\) à \(G'_{1}\) — est aux pages 141 et 142, et c'est de là que sort le pro-objet \(\pi_{1}^{\mathcal{C}}(S, \xi)\).

141–142

Le pro-objet \(\pi_{1}^{\mathcal{C}}(S,\xi)\) (pages 141 et 142)

La fin de la proposition 4

La démonstration commencée page 140 s'achève par extension de la base. On se donne \((S_{1}, a_{1}) \to (S, a)\) ; la situation devient celle de \(G_{1}\), \(G'_{1}\), \((P_{1}, \xi_{1})\), \((Q_{1}, \eta_{1})\), et le fibré \(P_{1}\) s'identifie alors à \(G'_{1}\) muni de son marquage \(\varepsilon'_{1}\), tandis que \(Q_{1}\) s'identifie à \(G'_{1} \times_{S_{1}} G'_{1}\) muni de \((\varepsilon'_{1}, \varepsilon'_{1})\). Il suffit alors de voir que \((P'_{1}, \xi'_{1}) \to (Q_{1}, \eta_{1})\) est l'inclusion diagonale \(G'_{1} \to G'_{1} \times_{S_{1}} G'_{1}\).

Notant \(w\) l'isomorphisme \((P, \xi) \times_{u} G' \to (P, \xi) \times_{v} G'\) et \(w_{1}\) son extension à \(S_{1}\), l'assertion revient à dire que \(w_{1}\) transporte la section naturelle de \(P_{1} \times_{u_{1}} G'_{1}\) sur celle de \(P_{1} \times_{v_{1}} G'_{1}\) ; et cela résulte de l'unicité de \(P \to P \times_{u} G'\) compatible au marquage.

\begin{tikzcd}[column sep=large]
P \arrow[r, "\mathrm{can}"] \arrow[rr, bend right=30, "\mathrm{can}"'] & P \times_u G' \arrow[r, "w"] & P \times_v G'
\end{tikzcd}

Le pro-objet

Restent deux propriétés formelles. D'abord la multiplicativité, \[ \mathfrak{Z}(G \times G') \;=\; \mathfrak{Z}(G) \times \mathfrak{Z}(G') , \] et ensuite la condition minimale sur les sous-groupes appartenant à \(\mathcal{C}\) d'un objet de \(\mathcal{C}\).⁶⁰

Ces propriétés formelles suffisent pour construire un pro-objet de \(\mathcal{C}\), au moyen d'un système projectif d'épimorphismes, que l'on note \[ \pi_{1}^{\mathcal{C}}(S, \xi) . \]

C'est le même objet que la lettre de 1959 construit page 126, obtenu ici sans passer par les couples minimaux, mais par les seules propriétés du foncteur. Deux exemples sont amorcés et laissés inachevés : \(\mathcal{C}\) une classe de groupes définis par un groupe abstrait — « on retrouve le groupe fondamental » — et \(\mathcal{C}\) provenant d'un corps \(k\).⁶¹

144–146

Données de descente : la relation de cocycle (pages 144 à 146)

Deux feuillets écrivent la condition de cocycle pour une donnée de descente le long d'un morphisme, dans le langage des groupoïdes fondamentaux.

On dispose d'un \(S' \to S\) et de ses puissances fibrées, avec les projections \(p_{i}^{\alpha}\) de \(\pi''_{\alpha}\) dans \(\pi'\) et \(p_{ij}^{\alpha\beta}\) de \(\pi'''_{\beta}\) dans \(\pi''_{\alpha}\), indexées par les trois couples \((1,2)\), \((2,3)\), \((1,3)\). Les relations entre elles font intervenir des automorphismes intérieurs, et le carré qui les résume est celui-ci :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
E \arrow[r, "A_{\alpha'}"] \arrow[d, "a'_{\beta}"'] & E \arrow[r, "a''_{\beta}", "\sim"'] & E \arrow[d, "A_{\alpha''}"] \\
E \arrow[r, "A_{\alpha'''}"'] & E \arrow[r, "a'''_{\beta}"', "\sim"] & E
\end{tikzcd}

d'où la relation, que la page encadre : \[ \boxed{\; A_{\alpha''}\, a''_{\beta}\, A_{\alpha'} \;=\; a'''_{\beta}\, A_{\alpha'''}\, a'_{\beta} \;} \]

C'est la condition de cocycle, écrite comme la commutation d'un rectangle. La page 146 la reprend en termes de chemins — \(g_{s''} = g_{s'''}g_{s'}\), d'où \(g = 1\) pour des chemins triviaux — puis abandonne : elle est barrée presque entièrement. Ce qui reste au bas de la feuille est le diagramme simplicial \(S \leftarrow S' \leftarrow S'' \leftarrow S'''\) avec les \(R_{i}\) au-dessus, et trois mots isolés.

Cette relation reviendra sous une forme réglée à la page 180, où les données de descente sur un faisceau constant sont décrites comme des applications \(f : K_{1} \to G\) vérifiant \(f \circ p_{1} = (f \circ p_{0})(f \circ p_{2})\). C'est la même identité, et c'est là seulement qu'elle est écrite proprement.

148–150

« Compléments aux notes IHES » : le \(\pi_{1}\) d'un produit fibré (pages 148 à 150)

L'énoncé

Soient \(X\) et \(Y\) deux schémas sur \(S\), avec \(X\) propre, séparable et surjectif sur \(S\), et \(Y\) non vide. Soit \(c\) un point géométrique de \(X \times_{S} Y\), d'images \(a\), \(b\), \(d\) dans \(X\), \(Y\), \(S\). On dispose de l'homomorphisme canonique \[ \pi_{1}(X \times_{S} Y,\, c) \longrightarrow \pi_{1}(X, a) \times_{\pi_{1}(S, d)} \pi_{1}(Y, b) . \]

Il est toujours surjectif. Il est bijectif dès que la condition suivante est vérifiée : il existe un \(S'\) non vide, étale sur \(S\), tel que \(Y' = Y \times_{S} S'\) admette une section sur \(S'\) — c'est-à-dire, ce qui revient au même, tel qu'il existe un \(S\)-morphisme \(S' \to Y\) — et tel que \(\pi_{1}(X') \to \pi_{1}(X)\) soit injectif.

Le cas particulier qui sert : lorsque \(S = \operatorname{Spec} k\), on obtient \[ \pi_{1}(X \times_{k} Y) \;\simeq\; \pi_{1}(X) \times_{\pi_{1}(k)} \pi_{1}(Y) \] pour \(X\) propre universellement connexe sur \(k\) et \(Y\) simplement connexe sur \(k\), sans plus.

Il faut mesurer ce que la condition coûte. Elle demande un point rationnel de \(Y\), au moins après une extension étale de la base — ce qui n'est pas automatique — et l'injectivité de \(\pi_{1}(X') \to \pi_{1}(X)\). Sans elle, seule la surjectivité subsiste, et la différence est réelle : c'est elle qui sépare le théorème de Künneth pour \(\pi_{1}\) de la simple existence d'un homomorphisme.

La démonstration

Elle est page 150, et c'est une échelle de suites exactes. Les deux noyaux \[ \operatorname{Ker}\bigl[\pi_{1}(X) \to \pi_{1}(S)\bigr] \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Ker}\bigl[\pi_{1}(X \times_{S} Y) \to \pi_{1}(Y)\bigr] \] s'identifient tous deux à l'image de \(\pi_{1}(\bar{X}_{s})\) — le groupe fondamental de la fibre géométrique — et la comparaison des deux lignes donne le résultat.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& \operatorname{Im}(\pi_1(\bar{X}_s) \to \pi_1(X)) \arrow[d, no head] & & & \\
e \arrow[r] & \operatorname{Ker}[\pi_1(X) \to \pi_1(S)] \arrow[r, "\sim"] & \pi_1(X) \times_{\pi_1(S)} \pi_1(Y) \arrow[r] & \pi_1(Y) \arrow[r] & e \\
e \arrow[r] & \operatorname{Ker}[\pi_1(X \times_S Y) \to \pi_1(Y)] \arrow[u] \arrow[d, no head] \arrow[r] & \pi_1(X \times_S Y) \arrow[u] \arrow[r] & \pi_1(Y) \arrow[u] \arrow[r] & e \\
& \operatorname{Im}(\pi_1(\bar{X}_s) \to \pi_1(X \times_S Y)) & & &
\end{tikzcd}

C'est la propreté de \(X\) sur \(S\) qui fait marcher les deux identifications : elle donne la suite exacte d'homotopie, dont les deux lignes sont deux instances.

La page 149, entre les deux, ne porte qu'un croquis : \(X \to S\) avec \(S'\) à côté. C'est le changement de base dont les deux autres pages discutent, et c'est tout ce que la feuille contient.

151–151

Le topos des \(\pi\)-ensembles (page 151)

Une page entière barrée de trois traits diagonaux, et elle mérite d'être lue malgré la biffure : elle vérifie que la catégorie des ensembles finis à opérateurs est un topos et que sa cohomologie est celle du groupe.

Soit \(\pi\) un groupe et \(\mathcal{E}^{\pi}\) la catégorie des ensembles finis où \(\pi\) opère à gauche, l'objet final étant le point \(e\), l'objet initial \(\varnothing\). Le \(\pi\)-ensemble \(\pi_{s} = \pi\) (translations à droite) a pour groupe d'automorphismes \(\pi\) lui-même, par \(x \mapsto xg^{-1}\).

Un faisceau d'ensembles sur \(\mathcal{E}^{\pi}\) est alors la même chose qu'un ensemble fini \(E\) où \(\pi\) opère, via \[ E \;=\; F(\pi_{s}) , \qquad F(U) \;=\; \operatorname{Hom}_{\pi}(U, E) . \] Plus précisément, si \(U = \coprod_{i} \pi/\pi_{i}\) est la décomposition en orbites, alors la catégorie fibrée \(\mathcal{F}^{\pi}\) vérifie \(\mathcal{F}_{U} \simeq \prod_{i} E^{\pi_{i}}\) ; et \[ H^{0}(F) = \Gamma(F) = E^{\pi} , \qquad H^{1}(F) \simeq H^{1}(\pi, E) , \qquad H^{i}(F) \simeq H^{i}(\pi, E) , \] la dernière ligne valant pour \(F\) et \(E\) commutatifs.

C'est le topos classifiant \(B\pi\), et l'identification de sa cohomologie à celle du groupe. La page 209 s'en servira sans le redémontrer : « prenant pour \(\mathcal{T}\) le topos \((B\pi_{i})\) ».

152–156

Un morphisme fini étale de rang \(n\) est un \(P/H\) (pages 152 à 156)

La proposition 3.2

Proposition. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini. Les conditions suivantes sont équivalentes.

1. (i)\(f\) est étale, et \(X\) est de rang localement égal à \(n\) sur \(Y\).
2. (ii)Il existe \(Y_{1} \to Y\) fidèlement plat tel que \(X \times_{Y} Y_{1}\) soit \(Y_{1}\)-isomorphe à \(Y_{1} \times I_{n}\), où \(I_{n}\) est un ensemble à \(n\) éléments.
3. (ii bis)La même chose avec \(Y_{1}\) un revêtement galoisien, de groupe le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_{n}\).
4. (iii)\(X\) est isomorphe à un \(P/H\), où \(P\) est un revêtement étale galoisien de \(Y\) de groupe \(G\) et \(H\) un sous-groupe de \(G\).
5. (iii bis)La même chose avec \(G = \mathfrak{S}_{n}\) et \(H\) le stabilisateur d'un point de \(I_{n}\).

Entre (ii) et (ii bis), et entre (iii) et (iii bis), la page écrit « kif – kif » : c'est la même chose.

La démonstration de Serre

L'implication (i) \(\Rightarrow\) (iii bis) est créditée sur la page : « la démonstration qui suit [est] due à J.-P. Serre ». Elle vaut d'être écrite en entier, car elle est le mécanisme de toute la théorie.

Soit \(X^{n} = X \times_{Y} \cdots \times_{Y} X\) le produit fibré de \(n\) copies, sur lequel \(\mathfrak{S}_{n}\) opère par permutation des facteurs. Soit \(P \subset X^{n}\) le complémentaire du lieu où deux coordonnées coïncident — c'est-à-dire l'ensemble des \(n\)-uplets de points deux à deux distincts au-dessus d'un même point de \(Y\). C'est une partie ouverte et fermée de \(X^{n}\), parce que le lieu de coïncidence en est une (la diagonale d'un morphisme étale est ouverte et fermée) ; elle est stable sous \(\mathfrak{S}_{n}\), qui y opère sans point fixe par construction. Enfin, \(X\) étant de rang \(n\) sur \(Y\), la fibre géométrique de \(P\) au-dessus d'un point de \(Y\) est exactement l'ensemble des \(n!\) bijections de \(I_{n}\) sur la fibre de \(X\).

Donc \(P \to Y\) est un revêtement étale galoisien de groupe \(\mathfrak{S}_{n}\) — la page en fait la conclusion d'une proposition 2.5 qu'elle cite sans l'énoncer et qui n'est pas dans ce carton.⁶² Et la dernière projection \(X^{n} \to X\) est invariante sous le stabilisateur \(H = \mathfrak{S}_{n-1}\) du dernier indice, d'où \(X \simeq P/H\).⁶³

Les implications restantes se ferment : (iii bis) \(\Rightarrow\) (iii) est triviale ; (iii) \(\Rightarrow\) (i) résulte d'un lemme antérieur ; (iii) \(\Rightarrow\) (ii bis) en prenant \(Y_{1} = P\) et en utilisant \((X \times G)/H \simeq X \times G/H\) ; et (ii bis) \(\Rightarrow\) (i) est immédiat.

La proposition 3.1 : l'existence de \(X/G\)

Proposition. Soit \(X\) étale sur \(Y\) et quasi-compact, et \(G\) un groupe fini opérant par \(Y\)-automorphismes. Alors \(X/G\) existe, \(X \to X/G\) est fini, et \(X/G \to Y\) est étale.

Démonstration. Soit \(I\) l'ensemble des composantes connexes de \(X\), sur lequel \(G\) opère ; en regroupant les composantes par orbite, \(X\) est la somme des \(X_{(\alpha)} = \bigcup_{i \in \alpha} X_{i}\), stables sous \(G\), et \(X/G = \bigsqcup_{\alpha} X_{(\alpha)}/G\). On se ramène donc au cas où \(G\) opère transitivement sur les composantes connexes. Soit \(X_{0}\) l'une d'elles et \(G_{0}\) son stabilisateur : alors \(X \simeq X_{0} \times_{G_{0}} G\) et \(X/G \simeq X_{0}/G_{0}\).

On peut alors supposer que \(G_{0}\) opère fidèlement ; mais il opère aussi sans inertie, et il reste à voir que \(X/G\) est étale sur \(Y\). Faisant une extension fidèlement plate de la base, on se ramène au cas où l'extension résiduelle \(k(x)/k(y)\) est triviale, et l'on conclut sur les complétés : \[ \hat{\mathcal{O}}_{y} \longrightarrow \hat{\mathcal{O}}_{x'} \xrightarrow{\ \sim\ } \hat{\mathcal{O}}_{x} . \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[dr] & \\
& X' = X/G \arrow[d] \\
& Y \ni y
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[row sep=small]
k(x) \arrow[d, no head] \\
k(x') \arrow[d, no head] \\
k(y)
\end{tikzcd}

La tour des corps résiduels est dessinée ici dans l'ordre des inclusions, \(k(y) \subset k(x') \subset k(x)\).⁶⁴

Corollaire. Si \(X\) est étale sur \(Y\) en \(x\) et si \(g : X \to X'\) est un \(Y\)-morphisme étale en \(x\), alors \(X'\) est étale sur \(Y\) en \(g(x)\).⁶⁵

157–158

« Catégorie galoisienne » : Gal 1 à Gal 6 (pages 157 et 158)

Ce sont les deux pages les plus citables de cette suite. Elles écrivent la liste d'axiomes, et l'on y voit la liste se faire : un axiome est écrit puis biffé en entier, les numéros sont réattribués, et le mot « indécomposable » est remplacé interlinéairement par « connexe » à chacune de ses occurrences.

Les données

1. (i)Une catégorie \(\mathcal{C}\).
2. (ii)Un foncteur \(F : \mathcal{C} \to (\text{ensembles finis})\).

Les axiomes

• Gal 1Dans \(\mathcal{C}\), les sommes et les produits finis existent — d'où l'existence de l'objet initial \(0\) et de l'objet final \(1\).
• Gal 4\(F\) commute aux sommes et aux produits.

On dit alors qu'un objet \(X\) est connexe si \(X = X' \sqcup X''\) implique \(X' \simeq 0\) ou \(X'' \simeq 0\).

• Gal 2Tout \(X\) s'écrit \(X \simeq \coprod_{i \in I} X_{i}\) avec les \(X_{i}\) connexes non nuls, et toute décomposition \(X \simeq X' \sqcup X''\) provient d'une partition \(I = I' \sqcup I''\). Les \(X_{i}\), déterminés de façon essentiellement unique avec leurs flèches vers \(X\), sont les composantes connexes de \(X\). On a \(X = 0\) si et seulement si \(I = \varnothing\).
• Gal 3Soit \(f : X \to Y\) avec \(Y\) connexe non nul. Alors les composantes \(X_{i}\) de \(X\) telles que \(f\) induise un isomorphisme \(f_{i} : X_{i} \xrightarrow{\ \sim\ } Y\) sont en correspondance biunivoque avec les sections \(g : Y \to X\) de \(f\), la section associée à \(X_{i}\) étant le composé \(Y \xrightarrow{f_{i}^{-1}} X_{i} \hookrightarrow X\). Il suffit de le vérifier pour \(X = Z \times Y\) et \(f = p_{2}\).
• Gal 5Si \(f : X \to Y\) induit une bijection \(F(X) \xrightarrow{\ \sim\ } F(Y)\), c'est un isomorphisme. Cela implique en particulier que \(F(X) = \varnothing\) entraîne \(X = 0\). Il suffit de le vérifier quand \(X\) est une composante connexe d'un produit \(Z \times Y\) et \(f\) induit par \(p_{2}\).
• Gal 6Soit \(X\) connexe non nul et galoisien, c'est-à-dire tel que \(G = \operatorname{Aut}(X)\) opère transitivement dans \(F(X)\). Alors pour tout sous-groupe \(H\) de \(G\), le quotient \(X/H\) existe dans \(\mathcal{C}\) et \[ F(X/H) \;\simeq\; F(X)/H . \]

Ce qu'on voit dans la fabrication

Un axiome antérieur — « \(F(X) = \varnothing \Rightarrow X\) est une unité à gauche » — est biffé en entier, et pour cause : il est conséquence de Gal 5, comme la page le note aussitôt entre crochets. C'est un axiome retiré parce que redondant, et la même chose se reproduira page 211 avec l'axiome G5, dont il écrira qu'il le soupçonne redondant sans le démontrer.⁶⁶

Le remplacement de « indécomposable » par « connexe » n'est pas une correction de style : c'est le moment où le vocabulaire de la géométrie passe dans une axiomatique qui n'en a pas besoin, et c'est le mot que les pages 190 à 216 emploieront sans plus jamais l'expliquer.

La seconde version : des points au lieu d'un foncteur

La page 158 recommence, avec un dispositif différent : une catégorie \(\mathcal{C}\), une sous-catégorie pleine \(\mathcal{P}\) dont les objets s'appellent les points, et une classe de morphismes dits non ramifiés. Les neuf conditions, numérotées \(1^{\mathrm{o}}\) à \(9^{\mathrm{o}}\) dans un ordre qui n'est pas celui de leur écriture, disent : que les sommes finies et les produits fibrés existent ; que les morphismes non ramifiés sont stables par composition et changement de base ; qu'il y a des composantes connexes ; que les points sont connexes, de sorte que \(\operatorname{Hom}(\xi, X \sqcup Y) = \operatorname{Hom}(\xi, X) \sqcup \operatorname{Hom}(\xi, Y)\) ; qu'une section d'un morphisme non ramifié sur un objet connexe est un isomorphisme sur une composante connexe ; et qu'un morphisme non ramifié dont les fibres \(\operatorname{Hom}(\xi, X) \to \operatorname{Hom}(\xi, Y)\) sont réduites à un élément est un isomorphisme. Enfin, la neuvième donne l'existence de \(X/H\) comme en Gal 6.

Sous ces conditions on définit \(\pi_{1}(X, x)\) pour \(x \in \operatorname{Hom}(\xi, X)\), et — c'est la dernière ligne de la page — « c'est un foncteur covariant en \((X, x)\) » :

\begin{tikzcd}
\xi \arrow[r, "x"] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
\xi' \arrow[r, "x'"'] & X'
\end{tikzcd}

Le foncteur fibre a été remplacé par la famille des points ; c'est le passage du groupe fondamental au groupoïde fondamental, et c'est la structure que les catégories multigaloisiennes de la page 208 axiomatiseront.

159–160

« Groupe fondamental dans les catégories » (pages 159 et 160)

Deux dernières pages poussent l'abstraction d'un cran, et c'est le cadre le plus large du carton.

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie munie d'une famille \((D)\) de morphismes satisfaisant :

1. (i)\((D)\) contient les identités et est stable par composition ;
2. (ii)\((D)\) est stable par changement de base ;
3. (iii)les morphismes de \((D)\) sont des morphismes de descente universels stricts ;
4. (iv)les morphismes qui « descendent » par un \(g \in (D)\) le font pour un \(f \in (D)\) — mais on ne suppose pas qu'on puisse faire descendre tout morphisme par un \(f \in (D)\) ;
5. (v)la projection \(X \times I \to X\) est dans \((D)\).

Exemple. \(\mathcal{C}\) la catégorie des préschémas, \((D)\) les morphismes plats et propres — ou plats et quasi-propres.

On développe alors la théorie des fibrés principaux dans ce cadre : les groupes structuraux sont les \(X \times G\) pour \(G\) un groupe abstrait fini, et les fibrés principaux sur \(X\) de groupe \(G\) sont ceux dont la projection \(P \to X\) appartient à \((D)\).

Il faut voir ce que la clause (iv) refuse. Elle dit qu'on ne demande pas à \((D)\) d'être une classe de recouvrements au sens d'une topologie : tout objet n'est pas descendable. C'est la même retenue que la page 190 exprimera en posant l'axiome R3 — une famille de sous-objets dont les réalisations recouvrent est de descente effective — au lieu de supposer que tout est recouvert. Le cadre le plus abstrait du carton est aussi celui qui promet le moins, et c'est là son intérêt.

Les trois dernières lignes de la page 160 amorcent les notions d'espaces à opérateurs admissibles et d'homomorphismes admissibles de groupes structuraux, et s'arrêtent.

161–162

La normalité n'est pas une commodité (pages 161 et 162)

L'énoncé

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre dominant, \(Y\) normal connexe et localement noethérien. Alors l'image de \[ \pi_{1}(X) \longrightarrow \pi_{1}(Y) \] est d'indice fini.⁶⁷ La démonstration se ramène au cas \(Y = \operatorname{Spec}(K)\), en remplaçant \(K\) par une extension séparable finie convenable et \(X\) par une composante connexe de \(X'\).

Le contre-exemple

C'est la moitié lisible de la page, et c'en est le propos :

Si \(Y\) n'est pas normal, le théorème est faux.

Prenons pour \(Y\) une courbe rationnelle sur \(k\) algébriquement clos ayant un point double ordinaire — une cubique nodale, par exemple — et pour \(X\) sa normalisée. Alors \(X \simeq \mathbb{P}^{1}_{k}\), donc \[ \pi_{1}(X) \;=\; 0 , \] tandis que \[ \pi_{1}(Y) \;\simeq\; \hat{\mathbb{Z}} . \] L'image est triviale dans un groupe infini : elle n'est pas d'indice fini.

Le groupe \(\pi_{1}(Y)\) se voit à l'œil. Prenons \(n\) copies \(C_{1}, \dots, C_{n}\) de \(\mathbb{P}^{1}\) et recollons \(\infty_{i}\) à \(0_{i+1}\) cycliquement ; le collier ainsi obtenu s'envoie sur \(Y\), chaque \(C_{i}\) par la normalisation, et le morphisme est fini étale de degré \(n\) — au point double, les deux branches s'envoient isomorphiquement sur les deux branches. C'est un revêtement galoisien de groupe \(\mathbb{Z}/n\), et il existe pour tout \(n\). Le groupe fondamental est donc \(\hat{\mathbb{Z}}\) tout entier.⁶⁸ Enfin, l'hypothèse \(X \simeq \mathbb{P}^{1}\) — c'est-à-dire \(Y\) rationnelle — est ce qui donne \(\pi_{1}(X) = 0\) ; la page ne l'écrit pas et elle est nécessaire.

Grothendieck ajoute une observation qui explique où le raisonnement casserait : dans ce cas, on ne peut pas former \(\underline{\mathrm{Hom}}_{Y}(X, Y \sqcup Y)\). C'est le schéma des morphismes du lemme 1 de la page 47, et son absence est ce qui interdit de descendre l'isomorphisme générique. La normalité de \(Y\) était ce qui le faisait exister.

La page 162 ne porte qu'un carré encadré, \(f_{*}(X_{1})\) au-dessus de \(S \leftarrow T\), et rien d'autre.

164–169

Le progroupe fondamental pour les revêtements infinis (pages 164 à 169)

Le feuillet qui ouvre la suite porte de sa main, avec une rature : « Le Groupe Progroupe fondamental pour les revêtements infinis principaux ». La rature est où le nom a changé : ce n'est pas un groupe, c'est un pro-groupe.

Le foncteur

Soit \(S\) un préschéma connexe et \(\xi\) un point géométrique. Pour tout groupe \(\pi\) — pas nécessairement fini — on note \(\pi^{1}(S, \xi\,;\, \pi)\) l'ensemble des classes d'isomorphie de fibrés principaux homogènes sur \(S\), de groupe structural \(\pi\), pointés au-dessus de \(\xi\).

C'est le même foncteur que le \(Z(S,a;G)\) de la lettre à Serre et que le \(\mathfrak{Z}(S,a;G)\) des feuilles anciennes, avec la restriction de finitude levée ; et c'est cette levée qui fait toute la difficulté de ces pages.

\(\alpha\)) Le foncteur est exact à gauche

a) Il commute aux produits finis. Trivial.

b) Il transforme une injection en une injection. Soit \(\pi \hookrightarrow \pi'\). La raison est le lemme d'unicité déjà rencontré : entre deux \(\pi'\)-fibrés pointés il existe au plus un isomorphisme respectant les points marqués. Si \(P'_{1}\) et \(P'_{2}\) proviennent de \(\pi\)-fibrés \(P_{i} \subset P'_{i}\) avec \(\xi_{i} = \xi'_{i}\), l'unique isomorphisme \(u' : P'_{1} \to P'_{2}\) se restreint donc en \(u : P_{1} \to P_{2}\).

Et la page 165 dit exactement d'où vient la réduction du groupe structural : \(P_{i}\) se déduit de \(P'_{i}\) par une section de \(P'_{i}/\pi\) pointée par \(\xi'_{i}\) ; et une telle section, si elle existe, est unique. Réduire le groupe structural, c'est trancher une section ; le point marqué la rend unique.

c) Il préserve l'exactitude d'un couple. Si \(\pi \to \pi' \rightrightarrows \pi''\) est exacte, il en va de même des images. On considère \(Q\), le sous-schéma des coïncidences des deux morphismes \(u_{1}, u_{2} : P' \to P''\) ; il est ouvert et fermé, contient \(\xi'\), est stable par \(\pi\), et lui correspond donc un sous-préschéma ouvert et fermé \(S'\) de \(P'/\pi\), fidèlement plat et quasi-compact sur \(S\).⁶⁹

d) La filtration décroissante

C'est le point nouveau, et il demande une hypothèse : \(S\) localement noethérien, ou bien \(\pi\) artinien (condition de chaîne descendante).

Soit \(c \in \pi^{1}(S,\xi;\pi)\) correspondant à \((P, \xi)\). Considérons deux sous-groupes \(\pi'\), \(\pi''\) auxquels on peut restreindre le groupe structural. Alors \[ P/(\pi' \cap \pi'') \longrightarrow P/\pi' \times P/\pi'' \] est une immersion ouverte et fermée, et le point \((y', y'')\) donné par les deux réductions est dans son image. On peut donc restreindre le groupe structural à \(\pi' \cap \pi''\).

Il en résulte que les groupes auxquels on peut restreindre forment un système filtrant décroissant \((\pi_{i})\), avec des \(P_{i} \subset P\) correspondants. C'est l'analogue, pour des groupes infinis, de la condition de minimalité de la lettre de 1959 : là, la chaîne descendante était stationnaire par hypothèse ; ici elle ne l'est pas, et il faut montrer que l'intersection porte encore un fibré.

L'intersection porte un fibré

C'est ce que démontrent les pages 167 et 169.

La question est locale sur \(S\), et par étalement sur un \(S^{(0)}\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\) on peut supposer \(S\) noethérien. Soit alors \(P^{0}\) la composante connexe de \(\xi\) dans \(P\) : elle est ouverte et fermée, \(P\) étant localement noethérien donc localement connexe.

Assertion. \(P^{0} \to S\) est surjectif.

L'image est constructible et stable par générisation ; on se ramène au cas d'un anneau de valuation complet, où l'on conclut.

Alors, puisque \(P^{0} \subset \bigcap_{i} P^{(i)}\) et que chacun des \(P^{(i)}\) est une réunion de composantes connexes de \(P\), il en va de même de leur intersection \(P'\). Celle-ci est stable sous \(\pi' = \bigcap_{i} \pi_{i}\), et ses fibres géométriques sont non vides puisqu'elles contiennent celle de \(P^{0}\). Donc \(P'\) est un fibré principal homogène sous \(\pi'\).

La conséquence

Conséquence. Si \(\pi\) varie dans une catégorie de groupes artiniens stable par produits finis et par sous-groupes, le foncteur \[ \pi \longmapsto \pi^{1}(S, \xi\,;\, \pi) \] est strictement pro-représentable.

L'application : ce que le groupe élargi classe

La page 168 dit à quoi cela sert, et c'est l'énoncé qui donne son sens à ces pages.

Une relation étale est dite à groupe structural \(\pi\) si le schéma des isomorphismes \(\underline{\mathrm{Isom}}_{S}(E_{S}, T)\) est un revêtement principal de groupe \(\pi_{S}\). Si \(S\) est connexe muni d'un point géométrique \(\xi\), alors se donner un \(T\) muni d'une telle structure revient à se donner des opérations continues de \(\tilde{\pi}_{1}(S, \xi)\) sur \(F\), c'est-à-dire un homomorphisme continu \(\tilde{\pi}_{1}(S,\xi) \to \pi\).

Exemple. Les schémas en groupes commutatifs sans torsion sur \(S\), de type fini, correspondent aux \(\tilde{\pi}_{1}(S,\xi)\)-modules qui sont des \(\mathbb{Z}\)-modules de type fini.

C'est exactement ce que le groupe fondamental ordinaire ne peut pas faire : un \(\mathbb{Z}\)-module de type fini n'est pas un ensemble fini, et le groupe profini ne classe que des ensembles finis. Le groupe élargi est la réponse à ce manque.⁷⁰

170–171

Les cinq classes de recouvrements (pages 170 et 171)

Ces deux pages sont écrites au net et se lisent presque entièrement — ce qui, dans ce carton, mérite d'être signalé.

Soit \(S\) un préschéma. Pour tout groupe discret \(G\) on pose \[ H^{1}_{\mathcal{C}}(S, G) \;=\; \varinjlim_{T/S} H^{1}(T/S, G) , \qquad H^{1}(T/S, G) \;=\; H^{1}\bigl(\pi_{0}(K_{T/S}),\, G\bigr) , \] la limite étant prise sur une catégorie \(\mathcal{C}\) de \(S\)-préschémas. Les cinq classes qui importent sont :

• \(C_{1}\)les \(S\)-préschémas fidèlement plats quasi-compacts ;
• \(C_{2}\)les mêmes, de type fini ;
• \(C_{3}\)les mêmes, quasi-finis ;
• \(C_{4}\)les mêmes, finis principaux ;
• \(C_{5}\)les mêmes, finis étales principaux.

On a des applications injectives canoniques \(H^{1}_{C_{i}}(S,G) \hookrightarrow H^{1}_{C_{j}}(S,G)\) pour \(C_{i} \subset C_{j}\).

Pourquoi cela n'a d'intérêt que pour \(G\) infini

Si \(G\) est fini, tous ces homomorphismes sont bijectifs, et \(H^{1}(S,G)\) est simplement l'ensemble des classes de revêtements étales principaux de groupe \(G\), soit \[ \operatorname{Hom}\bigl(\pi_{1}(S,a),\, G\bigr) \big/ \operatorname{int}(G) . \] La raison est le théorème de descente : \(G_{T}\) est alors fini, donc affine sur \(T\), et la descente fidèlement plate quasi-compacte des schémas affines est effective. Toutes les classes donnent la même réponse, et l'appareil est vide.

D'où la phrase qui justifie ces pages : « Notre intérêt ici est le cas \(G\) infini ».

Les comparaisons

• En général, \(H^{1}_{C_{3}} \simeq H^{1}_{C_{2}}\) : quasi-fini ou de type fini, cela ne change rien.
• Si \(S\) est le spectre d'un anneau de Dedekind, \(H^{1}_{C_{2}} \xrightarrow{\ \sim\ } H^{1}_{C_{1}}\), d'où \(H^{1}_{C_{3}} \simeq H^{1}_{C_{2}} \simeq H^{1}_{C_{1}}\).
• Si \(S\) est le spectre d'un anneau de valuation discrète complet à corps résiduel algébriquement clos, \(H^{1}_{C_{i}} \simeq H^{1}(\hat{V}/V, -)\) pour \(i = 1, 2, 3\) : une seule extension suffit.
• Si \(S\) est le spectre d'un anneau local complet \(V\) de corps résiduel \(k\), alors \(H^{1}_{C_{5}} \simeq H^{1}_{C_{4}} \simeq H^{1}_{C_{3}} \simeq H^{1}_{C_{2}}\), et de plus \(H^{1}_{C_{i}}(V, -) \simeq H^{1}_{C_{i}}(k, -)\) pour \(i = 2,3,4,5\).

La dernière ligne est la version « groupes infinis » du fait que le groupe fondamental d'un anneau local complet est celui de son corps résiduel.

173–173

Un plan en sept sections (page 173)

Le feuillet qui précède porte, de sa main, le seul mot « Plan ». Voici ce qu'il annonce, pour deux théorèmes de changement de base :

• IPremier théorème de changement de base pour \(\pi_{1}\), ou théorème de comparaison.
• IIDeuxième théorème de changement de base pour \(\pi_{1}\).

1. Morphismes \((-1)\)-connexes et \(0\)-connexes.
2. Morphismes locaux \((-1)\)-connexes et \(0\)-connexes.
3. Caractérisation des morphismes locaux ou globaux \(i\)-connexes (\(i = 0, 1\)).
4. Deuxième théorème du changement de base pour \(\pi_{1}\) : énoncés et corollaires.
5. Démonstration des théorèmes.
6. Généralisation à l'aide de la résolution des singularités.
7. Application : la dimension cohomologique de certains corps.

Le vocabulaire des morphismes \(i\)-connexes — un morphisme est \((-1)\)-connexe s'il est surjectif au sens des faisceaux, \(0\)-connexe s'il induit de plus une bijection sur les \(\pi_{0}\), \(1\)-connexe s'il induit un isomorphisme sur les \(\pi_{1}\) — est celui de l'homotopie, transposé. Le plan n'est pas exécuté dans ce carton.

175–176

\(\pi_{2}\) contre la tour des revêtements (pages 175 et 176)

Le feuillet qui ouvre la suite porte, de sa main, « \(\Pi_{2}\) ». Ce sont deux pages de calcul, sans phrases.

Le calcul

On dispose de la tour d'un revêtement \(X^{i} \to X\), de son revêtement universel \(\tilde{X}\), et des revêtements universels itérés \(\tilde{\tilde{X}}^{i}\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\widetilde{\widetilde{X}}{}^i \arrow[d] & \\
\widetilde{X}^i \arrow[d] & \widetilde{X} \arrow[d, no head] \\
X^i \arrow[r] & X
\end{tikzcd}

et l'on pose \(\tilde{\pi}/H_{i} = \pi_{i}\). Le calcul est \[ \pi^{2}(X, G) \;\simeq\; H^{2}(\check{X}, G) \;\simeq\; \varinjlim_{i} H^{2}(X_{i}, G) \;\simeq\; \varinjlim_{i} H^{2}(\tilde{X}_{i}, G) , \] la suite spectrale de Hochschild–Serre donnant \[ E_{2}^{p,q} \;=\; H^{p}\bigl(H_{i},\, H^{q}(\tilde{X}, G)\bigr) \;\Longrightarrow\; H^{*}(\tilde{X}_{i}, G) , \] puis, en passant à la limite sur \(i\), la suite exacte \[ \cdots \to \varinjlim_{i} H^{2}(H_{i}, G) \to \pi^{2}(X, G) \to \varinjlim_{i} \pi^{2}(\tilde{X}_{i}, G)^{H_{i}} \to \varinjlim_{i} H^{3}(H_{i}, G) . \] Grothendieck entoure les deux extrémités, qui sont ce qu'il voulait : \[ \operatorname{Ker}\bigl(\pi^{2}(X,G) \to \pi^{2}(X^{k},G)\bigr) \;\simeq\; \varinjlim_{i} H^{2}(H_{i}, G) , \] \[ \operatorname{Coker} \;\simeq\; \operatorname{Ker}\Bigl(\varinjlim_{i} H^{3}(H_{i}, G) \longrightarrow H^{3}(\tilde{X}, G)\Bigr) . \] Autrement dit : ce que le passage aux revêtements fait perdre et gagne en \(\pi_{2}\) est de la cohomologie des groupes de la tour.⁷¹

Le cas d'une fibration

La page 176 fait la même chose pour une fibration \(\bar{F} \to X \to Y\), avec la suite exacte d'homotopie \(\pi_{1}(\bar{F}) \to \pi_{1}(X) \to \pi_{1}(Y) \to e\), et aboutit à l'annulation \[ H^{1}\bigl(Y'/Y,\ \operatorname{Hom}(\pi_{1}(\bar{F}),\, \mathfrak{z})\bigr) \;=\; 0 , \] qui est la condition sous laquelle le passage de la fibre à l'espace total est sans obstruction.⁷²

178–180

Descente : pro-représentabilité, et une question ouverte (pages 178 à 180)

Le feuillet qui ouvre la suite porte, de sa main : « \(\pi_{0}\), \(\pi_{1}\) et formalisme simplicial (Revêtements infinis) ».

La proposition

Soit \(S\) un préschéma connexe, \(S' \to S\) un morphisme submersif — par exemple fidèlement plat quasi-compact, ou propre surjectif — et \(S''\), \(S'''\) le carré et le cube fibrés. On suppose que \(S'\) est somme de préschémas connexes, c'est-à-dire que \(\pi_{0}(S')\) est discret. Soit \(\xi\) un point géométrique de \(S\).

Alors, pour un groupe \(G\) variable, le foncteur covariant \[ G \longmapsto \pi^{1}(S'/S, \xi\,;\, G) \] — l'ensemble des classes, à isomorphisme près, de données de descente sur \(G_{S'}\) relatives à \(S' \to S\), pointées au-dessus de \(\xi\) — est strictement pro-représentable : \[ \pi^{1}(S'/S, \xi\,;\, G) \;=\; \varinjlim_{i} \operatorname{Hom}(\pi_{i},\, G) . \]

Deux raffinements. Si \(\pi_{0}(S'')\) est quasi-compact, les \(\pi_{i}\) sont de type fini. Et si \(S''\) n'a qu'un nombre fini \(n''\) de composantes connexes, le foncteur est représentable : \[ \pi^{1}(S'/S, \xi\,;\, G) \;\simeq\; \operatorname{Hom}\bigl(\pi_{1}(S'/S, \xi),\, G\bigr) , \] avec \(\pi_{1}(S'/S,\xi)\) un groupe discret de type fini, engendré par \(n''\) générateurs.⁷³

C'est le groupe fondamental de la descente : un groupe discret de type fini, engendré par autant d'éléments que \(S''\) a de composantes connexes. La finitude du nombre de générateurs vient donc de la combinatoire du recouvrement, non de la géométrie — exactement comme au contre-exemple de la page 161.

La question ouverte

Considérons de même le foncteur \(G \mapsto \pi^{1}_{\mathrm{eff}}(S'/S, \xi\,;\, G)\) des données de descente effectives pointées. Il est également pro-représentable, par un système projectif de quotients des \(\pi_{i}\).

Et vient l'aveu :

J'ignore, si \(S\), \(S'\), \(S''\) sont noethériens, si ce dernier foncteur est représentable ; a fortiori j'ignore si dans ce cas \(\pi^{1} = \pi^{1}_{\mathrm{eff}}\), c'est-à-dire si toute donnée de descente sur \(G_{S'}\) est effective.

Il ajoute que c'est vrai sous une hypothèse supplémentaire, et note en marge : « Pb intér. pour l'affirmative [\dots et \(S' \to S\) fidèlement plat quasi-compact] ».

Il vaut la peine de dire pourquoi la question est ouverte, parce que la raison se lit en rapprochant cette page de la page 170.

Lorsque \(G\) est fini, le schéma en groupes constant \(G_{S'}\) est fini sur \(S'\), donc affine sur \(S'\) ; et le théorème de descente fidèlement plate de Grothendieck dit précisément que la descente est effective pour les morphismes affines. La question est alors réglée, et c'est ce que la page 170 constatait en disant que les cinq classes donnent la même réponse pour \(G\) fini.

Lorsque \(G\) est infini, \(G_{S'}\) est la somme disjointe d'une famille infinie de copies de \(S'\) : elle n'est pas quasi-compacte sur \(S'\), donc pas affine, et le théorème de descente ne l'atteint plus. La question est donc ouverte exactement dans le cas que la page 170 déclarait être le seul intéressant.

La traduction simpliciale

La page 180 réduit tout cela à de la combinatoire. On dispose du diagramme semi-simplicial des \(X_{i}\), de leurs fibres \(X_{i}^{\xi}\), et des ensembles \[ K_{i}^{\xi} \;=\; \pi_{0}(X_{i}^{\xi}) , \] avec, en dessous, la version pointée \(k_{i}\) et les inclusions \(i_{j}\). Alors :

Les données de descente sur \(E_{X_{0}}\) correspondent aux données de descente sur \(E_{K_{0}}\), c'est-à-dire aux applications ensemblistes \(f : K_{1} \to G\) vérifiant \[ f \circ p_{1} \;=\; (f \circ p_{0})\,(f \circ p_{2}) , \] deux telles applications étant équivalentes si \(f'(q) = h(p_{1}q)\, f(q)\, h(p_{0}q)^{-1}\) ; et les données pointées sont celles qui vérifient de plus \(f(i_{1}(q)) = e_{G}\) pour tout \(q \in k_{1}\), l'équivalence étant restreinte aux \(h\) tels que \(h(i_{0}(q)) = 1\).

C'est la relation de cocycle non abélienne en degré 1, et c'est la même que celle que la page 144 encadrait : \(A_{\alpha''} a''_{\beta} A_{\alpha'} = a'''_{\beta} A_{\alpha'''} a'_{\beta}\). Elle est ici écrite proprement, sur un ensemble semi-simplicial, ce qui rend visible sa nature : un \(1\)-cocycle non abélien sur le nerf du recouvrement. La pro-représentabilité de la proposition ci-dessus n'est alors rien d'autre que la présentation par générateurs de ce nerf — d'où les \(n''\) générateurs. Les pages 181 à 185 poursuivent ce calcul, sur des foncteurs semi-cosimpliciaux abstraits.

181–185

Foncteurs semi-cosimpliciaux, et le van Kampen (pages 181, 182, 184 et 185)

Ces quatre pages continuent le calcul de la page 180 en le rendant abstrait : au lieu du diagramme simplicial d'un recouvrement, un diagramme de foncteurs. Elles sont d'un crayon très pâle sur un feuillet dont le verso transparaît, et la transcription y laisse beaucoup d'illisible.

Quand un foncteur est pro-représentable

Soit \(F\) un endofoncteur de la catégorie des ensembles. On cherche quand \[ F(I) \;\simeq\; C(K, I) , \] \(C(K,I)\) désignant les applications continues d'un espace \(K\) totalement discontinu dans l'ensemble discret \(I\) — c'est-à-dire les fonctions localement constantes à valeurs dans \(I\). Trois conditions nécessaires :

1. a)\(F\) commute aux limites projectives finies, c'est-à-dire est exact à gauche ;
2. b)\(F\bigl(\bigcap_{\alpha} I_{\alpha}\bigr) = \bigcap_{\alpha} F(I_{\alpha})\) pour toute famille filtrante de sous-ensembles de \(I\) ;
3. c)\(\varprojlim_{j} \pi_{0j} \to \pi_{0i}\) est surjectif pour tout \(i\).

Et le point : ces conditions sont nécessaires et suffisantes, et équivalent à dire que \(F\) est strictement pro-représentable par un système projectif strict d'ensembles \((\pi_{0i})\) ; on prend alors \(K = \varprojlim \pi_{0i}\) muni de la topologie limite des topologies discrètes.

La condition c) est celle qui distingue un système projectif strict d'un système quelconque : elle dit qu'aucune information n'est perdue en passant à la limite. Sans elle, \(K\) pourrait être vide sans qu'aucun \(\pi_{0i}\) le soit.

Une remarque en note, avec sa référence : si \(F\) est représenté de deux façons par des \(C(L, I)\) avec \(L\) un groupe topologique, on a bien \(\pi_{0}(L) \to K\), mais si \(L\) n'est pas compact ce n'est ni un isomorphisme, ni surjectif, ni injectif.⁷⁴

Le noyau, et le foncteur semi-cosimplicial

Soit \(F^{*} : F^{0} \rightrightarrows F^{1}\) un couple de foncteurs, et \[ \pi^{0}(F^{*}) \;=\; \operatorname{Ker}\bigl(F^{0} \rightrightarrows F^{1}\bigr) . \] Si \(F^{0}\) et \(F^{1}\) sont pro-représentables par \(K_{0}\) et \(K_{1}\), les deux flèches proviennent de \(K_{0} \leftleftarrows K_{1}\), et \(\pi^{0}(F^{*})\) l'est aussi.

On considère alors un foncteur semi-cosimplicial

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
F^0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r, bend right=12]
  & F^1 \arrow[r, bend left=20] \arrow[r] \arrow[r, bend right=20] & F^2
\end{tikzcd}

auquel on associe deux foncteurs \(\pi^{0}(F^{*}; E)\) et \(\pi^{1}(F^{*}; G)\), pour \(E\) un ensemble et \(G\) un groupe variables ; et, si l'on se donne de plus un pointage \(\xi : F^{*} \to f^{*}\),

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
F^0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r, bend right=12] \arrow[d, "\xi^0"]
  & F^1 \arrow[r, bend left=20] \arrow[r] \arrow[r, bend right=20]
    \arrow[d, "\xi^1"] & F^2 \arrow[d, "\xi^2"] \\
f^0 \arrow[r, bend left=12] \arrow[r, bend right=12]
  & f^1 \arrow[r, bend left=20] \arrow[r] \arrow[r, bend right=20] & f^2
\end{tikzcd}

les versions pointées \(\pi^{0}(F^{*}, \xi; E)\) et \(\pi^{1}(F^{*}, \xi; G)\). Lorsque tout est pro-représentable, on se ramène par un procédé standard à un ensemble semi-simplicial pointé \[ K_{0} \leftleftarrows K_{1} \Lleftarrow K_{2} , \qquad k_{0} \leftleftarrows k_{1} \Lleftarrow k_{2} , \] et l'on retrouve exactement les cocycles de la page 180. C'est le \(\pi^{0}\) et le \(\pi^{1}\) non abéliens d'un objet semi-cosimplicial.

Le van Kampen

La page 185 se termine sur le programme, et il faut le lire :

Il y a lieu de généraliser ces constructions — on a vu que des \(K_{i}\), des \(\overline{K}_{i}\), on a des catégories galoisiennes à chaque point, pour décider de descente : le Van Kampen \dots

C'est-à-dire : la descente d'un revêtement le long d'un recouvrement est un calcul de \(\pi^{0}\) et de \(\pi^{1}\) sur le nerf de ce recouvrement, et le théorème de van Kampen — qui reconstruit le groupe fondamental d'un espace à partir de ceux d'un recouvrement — en est la forme classique. Le carton s'en servait déjà librement à la page 60 ; il en donne ici la raison.⁷⁵

183–187

Trois feuillets d'un autre ordre (pages 183, 186 et 187)

Un feuillet d'esquisses

La page 183 est un feuillet en travers, couvert de tracés sans ordre de lecture : le diagramme \(\overline{K}_{0} \leftleftarrows \overline{K}_{1} \Lleftarrow \overline{K}_{2}\) avec les mentions « fini » et « groupe topologique discret » ; la formule d'équivalence des données de descente de la page 180 ; l'anneau \(k[[s,t]]\) ; un chemin d'arêtes de \(x\) à \(a\) dont les flèches ne vont pas toutes dans le même sens ; et, encadré, un symbole \(\pi_{1}^{\#}(S,a)\) surmonté de « \(S\) connexe ». Le croisillon est tracé deux fois de la même façon, donc c'est une notation ; rien sur la feuille n'en fixe le sens, et cette lecture ne le conjecture pas.

Une proposition sur les morphismes de type fini

La page 186 est écrite au net, à l'encre bleue, et porte une proposition sans rapport avec ce qui l'entoure.

Proposition. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme avec 1) \(Y\) localement noethérien ; 2) \(X\) n'ayant qu'un nombre fini de composantes irréductibles ; 3) \(f\) localement de type fini et séparé. Alors \(f\) est de type fini.

La démonstration se ramène à \(Y\) affine noethérien et \(X\) intègre, puis construit un \(X''\) fini au-dessus de \(X\) et birationnel au-dessus d'un \(X'\) intègre, de sorte que \(X'' \to X\) soit fini et surjectif ; il suffit alors de voir \(X''\) de type fini sur \(Y\), et \(X'' \to X'\) étant birationnel entre schémas intègres, on conclut par la normalisation.⁷⁶

Un opérateur d'homotopie pour \(d''\)

La page 187 est barrée de deux longues diagonales et se lit néanmoins d'un bout à l'autre. Elle est d'analyse complexe — le seul feuillet du carton qui le soit — et donne un opérateur d'homotopie explicite pour l'opérateur de Cauchy–Riemann \(d''\) en \(n\) variables.

Sur un polydisque, on dispose pour chaque variable de deux opérateurs intégraux : le noyau de Cauchy, qui projette sur les fonctions holomorphes en \(z_{j}\), \[ U_{j} f \;=\; \frac{1}{2\pi i} \int_{B_{j}} f(z_{1}, \ldots, t, \ldots, z_{n})\, \frac{dt}{t - z_{j}} , \] et l'opérateur de Cauchy–Pompeiu, qui résout \(\partial/\partial\bar{z}_{j}\), \[ T_{j} f \;=\; \frac{1}{2\pi i} \iint_{K_{j}} f(z_{1}, \ldots, t, \ldots, z_{n})\, \frac{dt \wedge \overline{dt}}{t - z_{j}} . \] On introduit ensuite, à partir des fonctions symétriques élémentaires \(p_{k} = \sum x_{1}x_{2}\cdots x_{k}\), la combinaison \[ \varphi_{n}(x_{1}, \ldots, x_{n}) \;=\; \frac{1}{n}\left(1 + \frac{p_{1}}{n-1} + \frac{p_{2}}{\binom{n-1}{2}} + \cdots + p_{n-1}\right) , \] et l'on note \(\varphi_{n}(U ; j_{1}, \ldots, j_{q})\) ce que devient \(\varphi_{n}(U_{1}, \ldots, U_{n})\) quand on remplace par zéro les \(U_{j_{1}}, \ldots, U_{j_{q}}\). L'opérateur d'homotopie, pour une forme \(\omega = a\, d\bar{z}_{j_{1}} \wedge \cdots \wedge d\bar{z}_{j_{q}}\) avec \(q \geqslant 1\), est alors \[ P\omega \;=\; \varphi_{n}(U ; j_{1}, \ldots, j_{q}) \ast \sum_{\gamma=1}^{q} (-1)^{\gamma-1} (T_{j_{\gamma}} a)\; d\bar{z}_{j_{1}} \wedge \cdots \wedge \widehat{d\bar{z}_{j_{\gamma}}} \wedge \cdots \wedge d\bar{z}_{j_{q}} , \] et il vérifie \[ P\, d'' f \;=\; f - U_{1}U_{2}\cdots U_{n}\, f , \] c'est-à-dire : \(f\) moins sa partie holomorphe est un bord. C'est le lemme de Dolbeault–Grothendieck, avec son opérateur écrit explicitement.⁷⁷

190–191

Domaines de ramification : les axiomes R1 à R4 (pages 190 et 191)

Grothendieck pagine cette suite 1 à 10, puis 11 à 16 aux pages 201 à 206.

La définition

Soit \(S\) un schéma, \(\mathrm{Et}(S)\) son site étale et \(\mathcal{U}\) un univers. Un domaine de ramification sur \(S\) est un couple \((R, r)\) formé d'un champ en \(\mathcal{U}\)-catégories multigaloisiennes \(R\) sur \(\mathrm{Et}(S)\) et d'un morphisme continu \[ r : R \longrightarrow \mathrm{Fl}_{S} , \] appelé réalisation géométrique, où \(\mathrm{Fl}_{S}\) est la catégorie fibrée sur \(\mathrm{Et}(S)\) dont la fibre en \(S'\) est \((\mathrm{Sch})_{/S'}\). Un objet \(X\) de \(R_{S'}\) est un revêtement de type \(R\) sur \(S'\), et \(r(X)\) est sa réalisation géométrique.

Il faut s'arrêter ici. Le carton emploie les mêmes mots pour deux objets différents. La donnée de ramification de 1967 — notée \(\mathcal{R} = (\mathcal{C}, s)\) plus haut — est un catalogue auxiliaire : une catégorie fibrée quelconque, avec un foncteur vers les schémas, dont on déduit la catégorie des revêtements. Le domaine de ramification \((R, r)\) de cette page est la catégorie des revêtements, prise comme donnée, et c'est un champ. Les deux ne sont pas de même nature, et le second est ce que la page 24 annonçait qu'on serait « infailliblement conduit » à prendre.

Les axiomes sont les suivants.

• R1\(r\) commute aux sommes finies et au passage au quotient par une relation d'équivalence. Il n'est en général pas exact à gauche.
• R2Pour \(S' \in \mathrm{Et}(S)\) et \(X \in R_{S'}\), l'application \(X' \mapsto r(X')\) est une bijection de l'ensemble des sous-objets directs de \(X\) sur l'ensemble des parties ouvertes et fermées de \(r(X)\).
• R3Pour une famille \((X_{i})\) — pas nécessairement finie — de sous-objets de \(X\) telle que les \(r(X_{i})\) recouvrent \(r(X)\), la famille \(X_{i} \to X\) est une famille de descente effective.
• R4Pour \(X \to Y\) dominant dans \(R_{S}\), on veut que les \(r(X_{i})\) recouvrent \(r(Y)\).⁷⁸

Les marges de la page portent trois desiderata qui ne sont pas des axiomes mais disent ce qu'on voudrait : que les foncteurs de changement de base soient exacts ; que dans \(\mathrm{Fl}_{S}\) le quotient soit déterminable ; et que la famille des objets de \(R_{S'}\) soit localement constante finie.

Proposition 1 : c'est une topologie

Disons qu'une famille de flèches \(X_{i} \to X\) de \(R_{S'}\) est couvrante si la famille \(r(X_{i}) \to r(X)\) est surjective — c'est-à-dire, grâce à R1 et « c'est Kif Kif », si les images \(X_{i} \subset X\) sont telles que les \(r(X_{i})\) recouvrent \(r(X)\).

Proposition 1. Ces familles sont les familles couvrantes d'une topologie sur \(R_{S'}\), et le foncteur de changement de base \(R_{S'} \to R_{S''}\) est continu.

La vérification des quatre axiomes d'une topologie est page 191, et elle est courte :

1. a)une famille majorée par une famille couvrante est couvrante — trivial ;
2. b)une somme est couvrante — trivial ;
3. c)stabilité par changement de base : grâce à b) on se ramène au cas où les \(X_{i} \to X\) sont des monomorphismes ; mais alors \(r\) commute aux produits fibrés \(X_{i} \times_{X} X'\), et l'on gagne ;
4. d)nature locale : si des \(X'_{\alpha} \to X\) couvrent \(X\) et que pour chaque \(\alpha\) les \(X_{i} \times_{X} X'_{\alpha}\) couvrent \(X'_{\alpha}\), alors les \(X_{i}\) couvrent \(X\) — même réduction aux monomorphismes.

Le mécanisme est le même dans c) et d), et il vaut d'être nommé : \(r\) n'est pas exact à gauche en général, mais il l'est sur les monomorphismes, et b) permet toujours de s'y ramener. C'est là tout le contenu de R1 et R2.

Corollaire. Prenant les topos associés aux \(R_{S'}\), on trouve un champ en topos \(\tilde{R}_{S'}\) au-dessus de la sous-catégorie des objets localement constants finis de \(R_{S'}\).

Un bloc rayé de plusieurs diagonales pose ensuite une question à laquelle la page ne répond pas : pour \(X \to Y\) avec \(Y = \coprod_{n} Y_{n}\) et chaque \(X \times_{Y} Y_{n} \to Y_{n}\) de somme effective, la famille des \(Y_{n} \to Y\) est-elle couvrante ? Elle est laissée ouverte.

192–194

Objets subordonnés, et l'exemple 1 de 1967 retrouvé (pages 192 à 194)

Vide et connexe

Proposition 2 (utilise R1 et R2). Pour \(X \in R_{S'}\) : \[ X = \varnothing \;\Longleftrightarrow\; r(X) = \varnothing , \qquad X \text{ connexe} \;\Longleftrightarrow\; r(X) \text{ connexe} . \]

Subordination

Soit \(C\) une catégorie multigaloisienne et \(P\) un objet. Un objet \(X\) de \(C\) est dit subordonné à \(P\) si \(X_{P} \to P\) est constant — au sens où \(X_{P}\) est somme de copies de \(P\).⁷⁹

Pour \(P\) fixé, les objets subordonnés à \(P\) forment une sous-catégorie pleine stable par limites projectives finies et par facteurs directs — car les objets constants par morceaux sur \(P\) forment une telle sous-catégorie de \(C_{/P}\) — donc une catégorie multigaloisienne pleine \(C^{(P)}\) de \(C\).

Prenant \(C = R_{S'}\) et les objets localement subordonnés à \(P\), on obtient une sous-catégorie fibrée pleine multigaloisienne \(R^{P}\) de \(R\).

R2 équivaut à la fidélité de \(r\)

Un feuillet inséré entre ses pages 3 et 4, et rayé de plusieurs diagonales, porte une proposition qu'il vaut la peine de retenir :

Proposition. Sous R1, R3 et R4, l'axiome R2 équivaut à ce que \(r\) soit fidèle.

Démonstration. Supposons \(r\) fidèle. Soient \(X'\), \(X''\) deux sous-objets de \(X\) avec \(r(X') \supset r(X'')\) dans \(r(X)\). Comme \(r(X' \cap X'') = r(X') \cap r(X'')\), les inclusions \(X' \cap X'' \subset X'\) et \(X' \cap X'' \subset X''\) deviennent des isomorphismes par \(r\), ce qui ramène au cas d'une inclusion \(X' \subset X''\), soit \(X'' = X' \sqcup X_{1}\). Alors \(r(X'') = r(X') \sqcup r(X_{1})\), et \(r(X') = r(X'')\) équivaut à \(r(X_{1}) = \varnothing\), donc à \(X_{1} = \varnothing\).

Cette proposition mérite d'être mise en regard des pages 12 à 20. En 1967, la non-pleine-fidélité de la réalisation géométrique était le fait fondamental — « il importera de bien distinguer entre un revêtement de type \(\mathcal{R}\) et sa réalisation géométrique » — et la fidélité était une propriété qu'on vérifiait au cas par cas sur les exemples. Ici, elle est promue au rang d'axiome, sous la forme R2, et c'est le seul axiome des quatre qui porte sur ce que \(r\) ne perd pas.

Proposition 3, et l'exemple 1 de 1967

Proposition 3. Soit \(P\) un objet galoisien de groupe \(G\) dans \(R_{S'}\). Le foncteur \(X \mapsto r(X \times P)/r(P)\) est une équivalence de la catégorie des objets de \(R_{S'}\) subordonnés à \(P\) avec la catégorie des objets constants par morceaux sur \(r(P)\) munis d'une action de \(G\) compatible avec celle qu'il a sur \(r(P)\).

La démonstration est en deux temps : utilisant R2, le foncteur est pleinement fidèle ; utilisant R2 et R3, il est essentiellement surjectif. Et comme \(G\) opère sur \(R\) il opère sur \(r(P)\), l'équivalence étant compatible.

Corollaire 1. Soit \(P\) galoisien de groupe \(G\) dans \(R_{S}\). Le même foncteur induit une équivalence de la catégorie des objets de \(R_{S}\) localement subordonnés à \(P\) avec la catégorie des revêtements étales de \(Z = r(P)\) munis d'une action de \(G\) compatible, satisfaisant la condition suivante — automatiquement vérifiée si \(Z\) est fini sur \(S\) : les \(S' \to S\) étales tels que \(Z_{S'}\) y devienne constant par morceaux recouvrent \(S\).

Grothendieck ajoute lui-même, après un trait oblique : « Localisant sur \(S\), on trouve une description du champ \(R^{P}\) en termes des schémas \(Z\) à groupe d'opérateurs \(G\) sur \(S\). »

C'est l'exemple 1 du tapuscrit de 1967, page 14 du carton : un schéma \(Z\) sur \(S\) muni d'un groupe fini \(G\) d'opérateurs, la catégorie des revêtements étales de \(Z\) à opérateurs, et \(r(Z') = Z'/G\). Ce qui était le premier et le plus simple des trois exemples devient ici la description du sous-champ engendré par un objet galoisien. L'exemple est devenu un théorème.

195–196

L'exemple 2, et pourquoi l'exemple 3 devait exister (pages 195 et 196)

Proposition 4 : la réciproque

Proposition 4. Pour tout schéma \(Z\) sur \(S\) muni d'un groupe fini \(G\) d'opérateurs agissant de façon admissible, le champ décrit ci-dessus est un champ en \(\mathcal{U}\)-catégories multigaloisiennes, et le foncteur « passage au quotient par \(G\) » — qui est défini, l'action étant admissible — en fait un domaine de ramification sur \(S\).

La vérification est brève, et il faut la lire pour voir combien les axiomes sont peu coûteux. Que \(R_{S'}\) soit multigaloisienne : on part de la catégorie des revêtements à opérateurs \(G\) de \(Z_{S'}\), dont on prend une sous-catégorie pleine stable par limites projectives finies et par facteurs directs. Que R1 soit vérifié : \(r\) est un passage au quotient, donc commute aux limites inductives finies, calculées au sens des schémas. R2, R3 et R4 sont immédiats.⁸⁰

L'exemple 2

Supposons \(S\) affine et \(R\) soumis à « une petite condition supplémentaire » vérifiée en pratique. Alors tout objet de \(R_{S}\) est subordonné à un objet galoisien à opérateurs \((P, G)\) de \(R_{S}\), de sorte que \[ R_{S} \;=\; \varinjlim_{P} R^{P}_{S} \] est limite inductive filtrante de sous-catégories, et l'on obtient une description de \(R_{S}\) en termes d'un système projectif d'objets à opérateurs \((Z_{i}, G_{i})\).

C'est l'exemple 2 du tapuscrit de 1967, page 16 du carton : un système projectif \((Z_{i}, G_{i})\) de schémas à opérateurs, et \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S) = \varinjlim_{i} \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}_{i}}(S)\). Là encore, l'exemple est devenu une description.

Si l'objet final de \(R_{S}\) est connexe, on peut prendre les \(P_{i}\) connexes ; les morphismes de transition \(G_{j} \to G_{i}\) sont alors surjectifs et \(Z_{i} \simeq Z_{j}/H_{ij}\), et les \(Z_{i}/G_{i}\) sont connexes. Ce sont exactement les conditions sous lesquelles, en 1967, les foncteurs de transition de l'exemple 2 étaient pleinement fidèles.

C'est ici que la page annonce, relativement à un tel système projectif, « un énoncé comme précédemment » sous le nom de Proposition 5 — et n'énonce rien. Le numéro est suivi de points de suspension et la page passe à autre chose.⁸¹

Et pourquoi il faut recoller

Vient alors l'observation qui justifie tout ce qui suit :

Partant de \(R\) et construisant les \((Z_{i}, G_{i})\), on obtient un nouveau \((R', r')\) et une inclusion \(R' \hookrightarrow R\) ; il n'est pas vrai en général que ce soit une équivalence : le champ \(R\) n'est pas nécessairement engendré par ses sections globales. Donc pour définir un \(R\) en général, il faut localiser et recoller.

C'est la raison d'être de l'exemple 3 de 1967, et c'est ici seulement qu'elle est dite. La page 35 du carton l'expliquait déjà en termes concrets — « sometimes the ramification models are not defined globally (for instance in the Kummer case, when we give divisors which are not principal), only locally » — mais sans énoncé. L'exemple 3, avec ses quatre conditions, puis ses cinq conditions a) à e) de la page 32, était l'appareil de recollement écrit à la main. Ici, la nécessité du recollement est un fait sur le champ \(R\), et le recollement lui-même va être fait une fois pour toutes.

Les homomorphismes

Un homomorphisme de domaines de ramification \((R, r) \to (R', r')\) est un couple \((\varphi, \lambda)\) où \(\varphi : R \to R'\) est un foncteur continu et exact et \(\lambda\) un isomorphisme de foncteurs continus \(r'\varphi \simeq r\).

197–198

La 2-catégorie \(\mathrm{Domram}(S)\), et le recollement (pages 197 et 198)

Une 2-catégorie

Les domaines de ramification sur \(S\) forment une 2-catégorie, \(\mathrm{Domram}(S)\) ; et pour \(S\) variable, ces 2-catégories forment une 2-catégorie fibrée.

C'est ici que se règle ce devant quoi la page 27 avait reculé : « On recule devant la tâche d'expliciter une propriété de transitivité pour un composé \(U \to T \to S\), et jetant provisoirement un voile pudique sur ces abîmes ». Les abîmes étaient la 2-catégorialité, et elle est ici assumée comme une structure plutôt que subie comme une complication.

Proposition 6

Si \((R, r)\) est défini par \((Z, G)\), on dispose dans \(R_{S}\) d'un objet galoisien canonique \(P\) de groupe \(G\). Un homomorphisme \((R, r) \to (R', r')\) définit alors un objet \(\varphi(P)\) de \(R'\), galoisien de groupe \(G\), et un isomorphisme compatible à \(G\) \[ r'(\varphi(P)) \;\overset{\alpha}{\simeq}\; Z . \]

Proposition 6. Cela donne une équivalence entre \(\underline{\mathrm{Hom}}\bigl((R,r),(R',r')\bigr)\) et la catégorie des couples \((P', \alpha)\) où \(P'\) est un objet galoisien de \(R'_{S}\) de groupe \(G\) et \(\alpha\) un \(G\)-isomorphisme \(r'(P') \simeq Z\).

Corollaire. Dans tout homomorphisme \((\varphi, \lambda)\) de domaines de ramification, \(\varphi\) est nécessairement pleinement fidèle.

C'est un énoncé fort, et il faut le mesurer : il n'y a pas de morphisme non trivial qui écrase. Un domaine de ramification ne s'envoie dans un autre que comme sous-domaine, et le corollaire suivant dit lequel.

Corollaire. Si \((R', r')\) est défini par \((Z', G')\), alors \(\underline{\mathrm{Hom}}\bigl((R,r),(R',r')\bigr)\) est équivalent à la catégorie des revêtements principaux \(P'\) de \(Z'\) de groupe \(G\), sur lesquels \(G'\) opère compatiblement avec ses opérations sur \(Z'\), munis d'un isomorphisme de \(G\)-schémas sur \(S\) \[ P'/G' \;\simeq\; Z . \]

Le recollement

Soient des \(S'_{i}\) couvrant \(S\), sur chacun un schéma à groupe d'opérateurs admissible \((Z_{i}, G_{i})\) ; sur chaque \(S_{i} \times_{S} S_{j}\) une subordination de \((Z_{ij}, G_{i})\) à \((Z_{ji}, G_{j})\), où \(Z_{ij} = Z_{i} \times_{S_{i}} (S_{i} \times_{S} S_{j})\) ; sur les triples, des isomorphismes de transitivité ; et enfin une condition de compatibilité sur les triples. Alors on peut recoller les \((R_{i}, r_{i})\).

La construction générale, par les gerbes

Soit \(C\) une catégorie fibrée de « modèles » sur \(\mathrm{Et}(S)\) — pas nécessairement un champ — et \(s : C \to \mathrm{Fl}_{S}\) un foncteur continu. On suppose :

• \(C\) fibrée en groupoïdes ;
• deux objets d'un \(C_{S'}\) localement isomorphes ;
• \(C_{S'}\) localement non vide.

Le champ associé est alors une gerbe. On suppose de plus que le lien de cette gerbe est localement constant fini : pour tout \(x \in C_{S'}\), le faisceau associé au préfaisceau \(S'' \mapsto \operatorname{Aut}(x_{S''})\) est représentable par un revêtement étale de \(S'\).

On a alors une « représentation » de cette gerbe dans le préchamp \(\mathrm{Fl}_{S}\), et l'on associe au tout un domaine de ramification :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \mathrm{Rev}\,\mathrm{Fl}_S \arrow[d] \\
\mathcal{G} \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Fl}_S \\
\mathrm{Et}(S) &
\end{tikzcd}

les objets de \(R_{S'}\) sont les homomorphismes continus \(\mathcal{G} \to \mathrm{Rev}\,\mathrm{Fl}_{S}\) qui relèvent \(\mathcal{G} \to \mathrm{Fl}_{S}\).

C'est, littéralement, la définition de 1967 : la page 12 posait une catégorie fibrée \(\mathcal{C}\) sur \(\mathrm{Et}(S)\), un foncteur cartésien \(s\) vers les schémas relatifs, et définissait \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) comme la catégorie des sections cartésiennes de l'image inverse de la catégorie fibrée des revêtements étales. Ce sont les mêmes objets, et le mot « relèvement » est le mot juste pour « section cartésienne ». Ce qui a changé tient en deux mots : \(\mathcal{C}\) est maintenant une gerbe à lien localement constant, et le résultat est un champ. La normalisation demandée page 24 est faite.

199–200

Les exemples kummériens, et la classe une quatrième fois (pages 199 et 200)

Exemple 1 : des équations globales

Donnons-nous une famille \(\underline{a} = (a_{i})_{i \in I}\) de sections de \(\mathcal{O}_{S}\) et une famille \(\underline{n} = (n_{i})_{i \in I}\) d'entiers \(\geqslant 1\). On prend pour \(C_{S'}\) le groupoïde correspondant, avec \[ s(C_{S'}) \;=\; Z^{\underline{a}}_{\underline{n}} , \qquad \mu_{\underline{n}}(S') \;=\; \prod_{i \in I} \mu_{n_{i}}(S') , \] et l'opération qui en dérive. Les axiomes sont vérifiés. Ici la gerbe est triviale — il y a une section globale, à savoir \(\underline{a}\) elle-même — et le domaine se réduit aux revêtements étales de \(Z^{\underline{a}}_{\underline{n}}\) sur lesquels \(\mu_{\underline{n}}\) opère compatiblement.

Exemple 1 bis. La limite sur \(\underline{n}\) : le domaine de ramification kummérien défini par \(\underline{a}\).

Exemple 2 : des diviseurs, et la gerbe

Donnons-nous une famille \((D_{i})_{i \in I}\) de diviseurs et une famille \((n_{i})\) d'entiers. On prend \[ \operatorname{Ob}(C_{S'}) \;=\; \bigl\{\, \underline{a} = (a_{i})_{i \in I} \;:\; a_{i} \text{ est une équation de } D_{i} \,\bigr\} , \] \[ \operatorname{Hom}(\underline{a}, \underline{b}) \;=\; \bigl\{\, \xi = (\xi_{i})_{i \in I} \;:\; b_{i} = a_{i}\,\xi_{i}^{\,n_{i}} \,\bigr\} , \] la composition et les images inverses étant évidentes. Le groupe des automorphismes d'un objet est \(\{\xi : \xi_{i}^{n_{i}} = 1\} = \mu_{\underline{n}}\), et le champ associé est donc une gerbe abélienne de groupe \(\mu_{\underline{n}}\). Elle est localement non vide — les équations existent localement — et sa classe obstrue l'existence d'une section globale. Grothendieck la nomme :

L'existence d'une section dépend de la nullité d'un élément de \(H^{2}(X, \mu_{\underline{n}})\), qui n'est autre, comme on devine, que la classe de cohomologie des \(D_{i}\) dans les \(H^{1}(X, \mu_{n_{i}})\) !

C'est le théorème des pages 87 à 97, énoncé pour la quatrième fois dans ce carton, et sous sa forme la plus nue.⁸²

Exemple 2 bis. La limite sur \(\underline{n}\) : le domaine de ramification kummérien défini par \(D = (D_{i})\).

Ce que ces exemples sont, aujourd'hui

La gerbe de l'exemple 2, avec les revêtements étales de son revêtement kummérien équivariants sous \(\mu_{\underline{n}}\), est ce qu'on appelle aujourd'hui le champ des racines \(\sqrt[\underline{n}]{\underline{D}/S}\) : le champ dont les points sont les choix de racines \(n_{i}\)-ièmes des équations des \(D_{i}\), et dont la gerbe d'inertie le long de \(D_{i}\) est \(\mu_{n_{i}}\). Les revêtements de type \(R\) ne sont alors rien d'autre que les revêtements finis étales de ce champ, et le groupe \(\pi_{1}^{\mathcal{R}}(S)\) construit à la page 25 du carton est son groupe fondamental.⁸³

Le boitement, avoué

La page se termine sur une réserve : « Ces exemples boitent un tant soit peu ; on voudrait au fait que les \(n_{i}\) ne soient pas premiers avec les [caractéristiques] résiduelles des \(D_{i}\) seulement \dots ». C'est-à-dire : la condition de modération devrait porter sur chaque \(D_{i}\) séparément, et non globalement sur \(S\). C'est exactement l'assouplissement que la donnée kummérienne des pages 19 et 20 opérait en laissant les \(u : G_{S'} \to \mu_{\underline{n},S'}\) varier localement — et les pages 201 à 206 vont reprendre la question sous le titre des familles génératrices.

La page s'interrompt en cours de phrase, sur « Dans le cas de l'exemple 2 ». La suite est à la page 201, et elle ne revient pas sur les exemples.

201–202

Familles génératrices, et la donnée de 1967 retrouvée (pages 201 et 202)

Grothendieck pagine cette suite 11 à 16, à la suite du 1–10 des pages 190 à 200.

Ce qu'est une famille génératrice

Soit \((R, r)\) un domaine de ramification sur \(S\). Une famille d'objets \(X_{i}/S_{i}\) de \(R\), avec \(S_{i} \in \mathrm{Et}(S)\), est dite génératrice si, pour tout objet \(X\) de \(R\) sur un \(S'\), les \(S''\) étales sur \(S'\) pour lesquels il existe un \(i\), un morphisme \(S'' \to S_{i}\) et une subordination de \(X_{S''}\) à \(X_{i,S''}\), recouvrent \(S'\).

En clair : tout revêtement est localement subordonné à un des générateurs. C'est la même condition que le crible couvrant de 1967, dite du côté du champ.

Le refus de la présentation naïve

On pourrait vouloir reconstituer \((R, r)\) à partir des seuls \((Z_{i}, G_{i}) = (r(X_{i}), \operatorname{Aut}(X_{i}))\), en précisant les compatibilités. Grothendieck écarte ce parti, et son jugement mérite d'être retenu tel quel : « la formulation de telles données est pénible et finalement peu utile ».⁸⁴

Le couple \((C, s)\), et où le carton se referme

Il lui préfère d'associer à \(R\) une catégorie \(C\) sur \(\mathrm{Et}(S)\) et un foncteur \[ \varphi : C \longrightarrow R , \] dit générateur si les \(\varphi(M)\) forment une famille génératrice — c'est-à-dire si, pour tout \(X \in R\) sur \(S'\), les \(S''\) étales sur \(S'\) tels que \(X_{S''}\) soit subordonné à un objet de \(C_{S''}\) recouvrent \(S'\). Et il pose \[ s \;=\; r\varphi \;:\; C \longrightarrow \mathrm{Fl}_{S} , \] en annonçant qu'on peut alors, à équivalence près, reconstituer \((R, r)\) en termes de \((C, s)\) — et de même les \((R_{S'}, r_{S'})\), avec toutes les fonctorialités.

Le couple \((C, s)\) est la donnée de ramification de 1967. Le tapuscrit de la page 12 posait : « une donnée de ramification sur \(S\) est un couple \((\mathcal{C}, s)\), où \(\mathcal{C}\) est une catégorie fibrée sur \(\mathrm{Et}(S)\) et \(s : \mathcal{C} \to \mathrm{Fl}_{S}\) un foncteur cartésien ». C'est le même couple, avec le même nom pour le second membre. Ce qui a changé est son statut : en 1967 c'était la donnée dont on déduisait la catégorie ; ici c'est une présentation de la catégorie, qui existe d'abord, et dont on demande si elle la détermine.

Les sections cartésiennes

Soit \(X\) un objet de \(R_{S}\), et \(C_{X}\) la sous-catégorie pleine de \(C\) formée des objets \(M\) sur un \(S'\) tels que \(X_{S'}\) soit subordonné à \(\varphi(M)\) et que \(\varphi(M) \to X_{S'}\) soit un épimorphisme. Pour un tel \(M\), \[ r\bigl(X_{S'} \times \varphi(M)\bigr) \longrightarrow r\varphi(M) = s(M) \] est un revêtement étale. Donc \[ M \longmapsto r\bigl(X \times_{S'} \varphi(M)\bigr) \big/ s(M) \] donne une section cartésienne de la catégorie fibrée des revêtements étales relatifs, tirée en arrière sur \(C_{X}\) par \(C_{X} \xrightarrow{\ s\ } \mathrm{Fl}_{S}\).

Ce sont les revêtements de type \(\mathcal{R}\) de 1967. La page 13 du carton posait : « on appellera revêtement de type \(\mathcal{R}\) de \(S\) une section cartésienne de \(\mathcal{D}\) sur \(\mathcal{C}\) », \(\mathcal{D}\) étant l'image inverse par \(s\) de la catégorie fibrée des revêtements étales finis. C'est mot pour mot la même construction, dans l'autre sens : là on partait de \(\mathcal{C}\) pour fabriquer les sections cartésiennes, ici on part d'un objet \(X\) du champ pour lui associer une section cartésienne.

Les sous-catégories \(R_{S}^{C_{0}}\)

Pour un crible admissible \(C_{0}\) de \(C\), soit \(R_{S}^{C_{0}}\) la sous-catégorie pleine de \(R_{S}\) formée des objets \(X\) tels que, pour tout \(S' \in \mathrm{Et}(S)\), \(X_{S'}\) soit localement subordonné à tout objet de \(C_{0}\) sur \(S'\). C'est une sous-catégorie multigaloisienne de \(R_{S}\), stable par limites projectives et par sommes directes, et l'on dispose d'un foncteur \[ (\ast) \qquad \alpha : R_{S}^{C_{0}} \longrightarrow \varprojlim_{C_{0}} \bigl(\mathcal{E}\,|\,C_{0}\bigr) , \] \(\mathcal{E}\) désignant la catégorie fibrée des revêtements étales relatifs.⁸⁵

203–206

\(\alpha\) est pleinement fidèle ; et la suite manque (pages 203 à 206)

La formule visée

Faisons parcourir à \(C_{0}\) les cribles admissibles de \(C\), et supposons la catégorie fibrée \(C\) localement filtrante — ce qui entraîne que l'intersection de deux cribles couvrants est couvrante. Alors les \(R_{S}^{C_{0}}\) forment une famille filtrante de sous-catégories multigaloisiennes pleines de \(R_{S}\), de réunion \(R_{S}\). Donc, si les \(\alpha_{0}\) sont des équivalences, on aura \[ R_{S} \;\simeq\; \varinjlim_{C_{0}} \; \varprojlim_{C_{0}} \bigl(\mathcal{E}\,|\,C_{0}\bigr) , \] formule qui explicite \(R_{S}\) en termes de \((C, s)\).

C'est la formule de 1967. La page 13 du carton posait \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S) = \varinjlim_{\mathcal{C}_{0}} \mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}_{\mathcal{C}_{0}}(S)\), où \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}_{\mathcal{C}_{0}}(S)\) était la catégorie des sections cartésiennes au-dessus de \(\mathcal{C}_{0}\), c'est-à-dire précisément \(\varprojlim_{\mathcal{C}_{0}}\). Une limite inductive sur les cribles, de limites projectives sur chaque crible : c'est la même formule, aux deux extrémités du carton. Et les deux hypothèses (H1) et (H2) que la lecture des pages 12 à 14 avait dû isoler — la pleine fidélité des foncteurs de transition, l'existence de \(r\) — sont maintenant ce qu'il s'agit de démontrer.

Et l'on annonce que pour cela il suffit que \(\varphi\) soit pleinement fidèle.

Ce qui est facile

\(\alpha\) est un foncteur exact de catégories multigaloisiennes ; il suffit donc, pour la fidélité, de voir que \[ \alpha(X) = \varnothing \;\Longrightarrow\; X = \varnothing . \] C'est immédiat : la question est locale sur le site étale, il existe un \(M \in C_{0,S}\), et \(r(\varphi(M) \times X) = \varnothing\) entraîne \(\varphi(M) \times X = \varnothing\) par la proposition 2 de la page 192.

Ce qui demande du travail : la pleine fidélité

Soit \(X \in R_{S}^{C_{0}}\) et \(Z = \alpha(X) = Z_{1} \sqcup Z_{2}\) ; il faut montrer que cette décomposition provient d'une décomposition de \(X\).

La question est locale sur \(S\) ; on peut donc supposer qu'il existe \(M \in C_{S}\) avec \(\varphi(M) \to e\) épimorphique. Considérons \[ r\bigl(X \times \varphi(M)\bigr) \;=\; \alpha(X)(M) \;=\; Z(M) \longrightarrow r(\varphi(M)) = s(M) . \] Il se coupe en \(Z_{1}(M) \sqcup Z_{2}(M)\), donc par l'axiome R2 \(X \times \varphi(M)\) se coupe en \(X_{1} \sqcup X_{2}\).

Reste à montrer que cette décomposition provient d'une décomposition de \(X\) : c'est-à-dire que pour tout objet \(T\) de \(R_{S}^{C_{0}}\) et deux morphismes \(T \rightrightarrows \varphi(M)\), les deux images inverses de \(X_{1}\) coïncident.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
T \arrow[d, bend left=12] \arrow[d, bend right=12]
  & X \times T \arrow[d, bend left=12] \arrow[d, bend right=12] & \\
\varphi(M) \arrow[d]
  & X \times \varphi(M) \arrow[l, no head] \arrow[r] \arrow[d] & X_1 \\
e & X \arrow[l, no head] &
\end{tikzcd}

L'argument est le suivant, et c'est le morceau de bravoure de cette suite.

Le morphisme \(T \times \varphi(M) \to \varphi(M)\) est un épimorphisme. Or \(T \times \varphi(M)\), étant subordonné à \(\varphi(M)\), est constant par morceaux sur \(\varphi(M)\) ; et un objet constant par morceaux et épimorphique est recouvert, pour la topologie canonique, par les images des sections \(w\) de \(T \times \varphi(M)\) sur \(\varphi(M)\). On peut donc remplacer le couple \(T \rightrightarrows \varphi(M)\) d'abord par les composés \[ T \times \varphi(M) \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_{1}\ } T \rightrightarrows \varphi(M) \] — ce qui est licite, \(\varphi(M) \to e\) étant un épimorphisme — puis par les composés \(\varphi(M) \xrightarrow{\ w\ } T \times \varphi(M) \to \cdots\). On est ainsi ramené au cas \(T = \varphi(M)\). Mais alors, \(\varphi\) étant pleinement fidèle, les deux flèches \(M \rightrightarrows M\) sont identiques.

Le mécanisme mérite d'être nommé : quand tout objet est localement constant sur un modèle, on peut remplacer un objet quelconque par le modèle lui-même, parce que les sections le recouvrent. C'est exactement pour cela que la subordination avait été définie.

On obtient donc une décomposition \[ X \;=\; X_{1} \sqcup X_{2} \] uniquement déterminée par la condition \(Z_{1} = \alpha(X_{1})\). Il reste à voir qu'elle ne dépend pas du choix de \(M\) : c'est ce que fait la fin de la page 205 et la page 206, en localisant sur \(S\) et en utilisant que \(C\) est localement filtrante.⁸⁶

Et la suite manque

La page 206 se termine sur une seule ligne :

Prouvons que \(\alpha\) est essentiellement surjectif.

La démonstration ne suit pas. La page s'arrête là et la suite du carton est d'un autre sujet.

Il faut donc dire ce qui est acquis et ce qui ne l'est pas. Est acquise la pleine fidélité de \(\alpha\) — \(R_{S}^{C_{0}}\) s'envoie fidèlement et pleinement dans la limite projective. N'est pas acquise l'essentielle surjectivité, donc l'équivalence annoncée à la page 203 reste conditionnelle, et avec elle la reconstitution de \((R, r)\) à partir de \((C, s)\). La boucle que le carton ferme — de la donnée de 1967 au champ, et du champ à la donnée — est fermée dans un sens et pas dans l'autre.

208–209

Catégories multigaloisiennes : les conditions A et B (pages 208 et 209)

À partir d'ici et jusqu'à la fin, le texte est écrit au net, à l'encre bleue, et se lit presque de bout en bout — à la différence de tout ce qui précède dans ce carton. Grothendieck pagine 1 à 4, insère deux feuillets « 1 bis » et « 1 ter », puis 5 et 6.

A) Ce que c'est

Soit \(\mathcal{U}\) un univers et \(C\) une catégorie. Les conditions suivantes sont équivalentes.

1. (i)Il existe un \(\mathcal{U}\)-topos \(\mathcal{T}\) et une équivalence \(C \simeq \mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\), où \(\mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\) est la sous-catégorie pleine des objets localement constants finis.⁸⁷
2. (ii)\(C\) est une \(\mathcal{U}\)-catégorie dont l'ensemble des classes d'isomorphie d'objets est \(\mathcal{U}\)-petit, et il existe sur \(C\) une topologie — moins fine que la topologie canonique — telle que \(C \to \tilde{C}\) induise une équivalence \(C \xrightarrow{\ \sim\ } \tilde{C}_{\mathrm{cf}}\).
3. (ii bis)La même chose, en prenant la topologie la plus fine de la descente effective universelle.
4. (iii)Pour tout objet \(X\) de \(C\), les objets \(S\) tels que \(X_{S}\) soit constant fini sur \(S\) forment une famille de descente effective universelle.
5. (iv)Quatre conditions, portées sur un feuillet inséré (page 212).

La condition (i) est la définition conceptuelle : une catégorie multigaloisienne est la catégorie des systèmes locaux finis d'un topos. La condition (iii) est la définition opératoire : tout objet devient constant après un changement de base convenable. Que les deux coïncident est tout le contenu de A.

B) Le cas multigaloisien proprement dit

Les conditions suivantes sont équivalentes.

1. (i)\(C\) satisfait aux conditions de A), et son objet final est somme effective universelle d'objets connexes.
2. (ii)\(C\) satisfait aux axiomes G0 à G5 ci-dessous.
3. (iii)\(C\) est équivalente à une catégorie produit \(\prod_{i \in I} C_{i}\), les \(C_{i}\) étant galoisiennes.

Avec la note qui explique le mot : les \(C_{i}\) correspondent aux composantes connexes \(e_{i}\) de l'objet final ; et la donnée d'une équivalence \(C_{i} \simeq C(\pi_{i})\) avec la catégorie des ensembles finis à opérateurs d'un groupe profini \(\pi_{i}\) correspond à la donnée d'un foncteur fibre de \(C_{/e_{i}}\), c'est-à-dire d'un « revêtement universel » de \(e_{i}\).

Voilà ce que « multigaloisien » veut dire, et c'est la réponse à une question que le carton posait à sa page 30, en 1967, en employant le mot sans le définir. Une catégorie galoisienne est celle des ensembles finis sur lesquels opère un groupe profini ; elle exige que l'objet final soit connexe. Une catégorie multigaloisienne est un produit de catégories galoisiennes, une par composante connexe de l'objet final : elle correspond donc non à un groupe mais à un groupoïde profini, et c'est ce qu'il faut quand on ne veut pas supposer la base connexe. C'est exactement ce qui manquait au paragraphe 2 du tapuscrit de 1967, dont le groupe \(\pi_{1}^{\mathcal{R}}(S,s)\) n'existait que sous une hypothèse de connexité du site.

Les axiomes G0 à G5

• G0\(C\) est une \(\mathcal{U}\)-catégorie, et l'ensemble des classes d'isomorphie d'objets est \(\mathcal{U}\)-petit.
• G1Existence des limites projectives finies et des sommes finies.
• G2Les relations d'équivalence sont effectives, et les épimorphismes sont universels.
• G3Tout morphisme \(X \to Y\) se factorise en un épimorphisme suivi d'un isomorphisme sur un facteur direct.
• G4L'objet final est somme effective universelle d'objets connexes.
• G5Soit \(f : X \to Y\) avec \(X\) et \(Y\) connexes. Alors il existe un entier \(N\) tel que, pour tout \(Y' \to Y\) non vide, \dots⁸⁸

L'axiome G3 est le seul de la liste qui ait traversé tout le carton : c'est la propriété que la page 24, en 1967, obtenait comme un théorème sur \(\mathrm{Rev}^{\mathcal{R}}(S)\) — « tout morphisme de la catégorie se factorise en le produit d'un épimorphisme et d'un monomorphisme \dots tout monomorphisme est un isomorphisme avec un sommande direct » — et c'est l'axiome G3 de SGA 1, exposé V.

209–211

Les démonstrations, et un axiome soupçonné (pages 209 à 211)

Démonstration de A : le revêtement des repères, une seconde fois

Les implications (iii) \(\Rightarrow\) (ii bis) \(\Rightarrow\) (ii) \(\Rightarrow\) (i) sont triviales. Pour (i) \(\Rightarrow\) (iii) :

Soit \(X \in \mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\). L'objet final de \(\mathcal{T}\) est somme d'objets \(e_{i}\) (\(i \in \mathbb{N}\)) au-dessus desquels \(X|e_{i}\) est de rang \(i\). Posons alors \[ P_{i} \;=\; \mathbf{Isom}_{e_{i}}\bigl([1,i]_{e_{i}},\ X\bigr) , \] le faisceau des identifications de \(X\) avec l'ensemble constant à \(i\) éléments. C'est un objet de \(\mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\), l'application \(P_{i} \to e_{i}\) est un épimorphisme — autrement dit \(P_{i}\) est un torseur sous \((\mathfrak{S}_{i})_{e_{i}}\) — et \[ X_{P_{i}} \;\simeq\; [1, i]_{P_{i}} . \] Les \(P_{i} \to e\) forment donc une famille de descente effective universelle pour \(\mathcal{T}\), donc aussi pour \(\mathcal{T}_{\mathrm{cf}}\), qui est stable par limites projectives et inductives finies.

C'est la démonstration de Serre, page 152 du carton. Là, \(X \to Y\) était un morphisme fini étale de rang \(n\), et \(P\) le complémentaire de la diagonale dans \(X^{n}\) — c'est-à-dire le schéma des \(n\)-uplets de points deux à deux distincts, ou encore le schéma des identifications de la fibre avec \(I_{n}\) —, torseur sous \(\mathfrak{S}_{n}\). Ici, \(\mathbf{Isom}([1,i], X)\) est le même objet, écrit dans un topos quelconque. Le carton contient donc la construction dans son cas géométrique et dans sa forme abstraite, à soixante pages de distance, et l'attribution à Serre est portée sur la première.

Démonstration de B, et l'axiome G5

Les conditions A(ii) impliquent aisément G0, G1, G2, G3. Pour G4, il faut prouver que pour tout \(X \in C\) les \(S_{i} \to e\) tels que \(X_{S_{i}}\) soit constant fini recouvrent \(e\) pour la topologie de la descente effective ; cela s'obtient en utilisant G2 et G4, en sommant sur les composantes connexes \(e_{i}\) de l'objet final.

Puis l'énoncé de récurrence : si \(X \to Y\) est tel que \(Y\) soit non vide et \(X\) connexe, alors il existe \(Y' \to Y\) de descente effective universelle avec \(X_{Y'} \simeq [1,n]_{Y'}\) ; on procède par récurrence sur le rang, et c'est là que G5 sert.

Remarque. Grothendieck note qu'il soupçonne G5 d'être redondant, c'est-à-dire conséquence des autres axiomes, et indique ce qu'il faudrait pour le montrer : pour toute composante connexe \(e_{i}\) de l'objet final, l'existence d'un foncteur exact \[ F : C \longrightarrow (\text{Ens.\ finis}) \qquad \text{tel que} \qquad F(e_{i}) \neq \varnothing . \] Il ne le démontre pas.⁸⁹

212–214

Compter les feuillets sans compter de points : les morphismes de degré \(n\) (pages 212 et 214)

Deux feuillets insérés, que Grothendieck numérote « 1 bis » et « 1 ter » dans un cercle, portent les quatre conditions que la page 208 annonçait sous A(iv). Elles sont numérotées à rebours — (3), (2), (1), (0) — chaque chiffre cerclé.

Ce qu'elles font mérite d'être dit avant d'être lu : elles axiomatisent directement la notion de morphisme de degré \(n\). Dire qu'un revêtement a \(n\) feuillets suppose d'ordinaire qu'on compte les points d'une fibre ; ici, il n'y a pas de points, et il faut donc dire ce qu'un degré est par ses propriétés seules.

• (3)Pour tout objet non vide, on se donne, pour chaque \(n\), une classe de « morphismes de degré \(n\) », telle que : \begin{enumerate}
• a)elle soit stable par changement de base ;
• b)elle soit additive pour les sommes finies ;
• c)un isomorphisme soit de degré 1 ;
• d')pour tout \(f : X \to Y\), \(Y\) soit somme directe disjointe effective universelle \(Y = \coprod_{n \in \mathbb{N}} Y_{n}\) avec \(X_{n} = X \times_{Y} Y_{n} \to Y_{n}\) de degré \(n\) ;
• d)si \(f\) est de degré \(n \geqslant 1\), \(f\) soit un morphisme de descente effective — donc universelle, grâce à a) ;
• e)si \(f\) est de degré \(0\), alors \(X = \varnothing\), et \(f\) soit un isomorphisme sur un sommande direct universel. \end{enumerate}
• (2)Tous les monomorphismes sont d'un type prescrit.
• (1)Existence des limites projectives finies.
• (0)\(C\) est une \(\mathcal{U}\)-catégorie et ses classes d'isomorphie forment un ensemble \(\mathcal{U}\)-petit.

La condition d') est celle qui fait tout le travail : elle dit que le degré n'est pas un nombre attaché au morphisme, mais une décomposition de la base. C'est la traduction exacte, sans points, du fait qu'un morphisme fini étale a un rang localement constant.

La récurrence

De ces conditions on déduit A(iii) : pour \(X\) donné, les \(S \to e\) tels que \(X_{S}\) soit constant fini forment une famille de descente effective universelle. On se ramène, par a) et d'), au cas d'un \(X \to Y\) de degré \(n\). Si \(n = 0\) on conclut par 3 e), \(X\) étant vide et \(Y \to Y\) convenant. Si \(n > 0\), on procède par récurrence, l'énoncé étant supposé acquis pour les entiers \(< n\) :

Utilisant 3 d), posons \(X' = X \times_{Y} X\) au-dessus de \(Y' = X\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d] & X \times_Y X = X' \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & X = Y' \arrow[l, no head]
\end{tikzcd}

La diagonale \(\Delta_{X,Y}\) existe par (1), et par (2) c'est un isomorphisme sur un sommande direct universel : donc \(X' \simeq Y' \sqcup X'_{1}\). Par 3 a), \(X' \to Y'\) est de degré \(n\) ; par 3 c), \(Y' \to Y'\) est de degré 1 ; donc par additivité, \(X'_{1} \to Y'\) est de degré \(n - 1\). L'hypothèse de récurrence fournit alors une famille \(Y''_{s} \to Y'\) de descente effective universelle qui trivialise \(X'_{1}\) ; et comme \(X' \simeq Y' \sqcup X'_{1}\) universellement, \[ X'' \;=\; X \times_{Y} Y'' \;\simeq\; Y'' \sqcup \underbrace{\bigl(X'_{1} \times_{Y'} Y''\bigr)}_{\textstyle Y'' \times [1, n-1]} \;=\; Y'' \times [1, n] . \] Et \(Y'' \to Y\) est de descente effective universelle comme composé de deux tels.

L'unicité

Conclusion. Dans les conditions de A(iv), la notion de « morphisme de degré \(n\) » est uniquement déterminée, et elle équivaut à : il existe \(Y' \to Y\) épimorphisme effectif universel, et de descente effective, avec \[ X \times_{Y} Y' \;\simeq\; [1, n]_{Y'} . \]

C'est-à-dire : un morphisme est de degré \(n\) s'il devient l'ensemble constant à \(n\) éléments après un changement de base convenable, et cette définition-là est forcée. On ne pouvait pas la prendre pour définition dès le départ — il aurait fallu savoir que « \(n\) éléments » a un sens — et c'est pour cela que les six propriétés a) à e) sont posées d'abord.

Une explicitation accompagne : pour vérifier qu'un \(f\) est un morphisme de descente effective, il suffit de savoir que c'est un épimorphisme effectif universel, et que les relations d'équivalence sont effectives universelles.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
Z'' \arrow[d]
  & Z \arrow[l, dashed] \arrow[d]
  & D \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12] \arrow[d] \\
Y & X \arrow[l]
  & X \times_Y X \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12]
\end{tikzcd}

213–213

Un feuillet d'un autre sujet : puissances fibrées et partitions (page 213)

Une feuille en travers, sans numéro de sa main, barrée de deux longues diagonales, et sans continuité avec ce qui l'entoure. Elle est transcrite à son rang et lue ici de même.

Soit \(f : X \to Y\) et \(E\) un ensemble fini ; soit \(X^{E}\) la puissance fibrée de \(X\) au-dessus de \(Y\) indexée par \(E\). À toute partition \(P\) de \(E\) est associée une immersion fermée

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X^P \arrow[r, hook, "\alpha_P"] & X^E
\end{tikzcd}

— celle qui identifie les coordonnées à l'intérieur de chaque bloc — et l'on a la décomposition disjointe \[ X^{E} \;=\; \bigcup_{P} \alpha_{P}\bigl((X^{P})^{\ast}\bigr) , \] où \((X^{P})^{\ast}\) est la partie ouverte des points à coordonnées deux à deux distinctes. De même, pour la petite diagonale de \(Y\), \[ (f^{E})^{-1}\bigl(\Delta_{y}^{(E)}\bigr) \;=\; \bigcup_{P} \alpha_{P}(F_{P}) \qquad \text{(réunion disjointe)} , \] les morceaux étant de dimension \[ n - (\operatorname{card} P - 1)\, d \;\geqslant\; n - (\operatorname{card} E - 1)\, d , \] avec égalité pour la seule partition maximale \(P_{0}\).⁹⁰

Le cas \(\operatorname{card} E = 3\)

Les partitions de \(E\) à trois éléments sont : celle en un bloc (la petite diagonale), les trois en deux blocs, et celle en trois blocs. D'où \[ (f^{3})^{-1}\bigl(\Delta_{y}^{(3)}\bigr) \;=\; \underset{n - 2d}{F_{3}} \;\cup\; \underset{n - d}{\bigcup_{1 \leqslant i < j \leqslant 3} \alpha_{ij}(F_{2})} \;\cup\; \underset{n}{\Delta_{X}^{(3)}} , \] les dimensions notées étant les dimensions « génériques ». Le cas numérique travaillé sur la page est \(\dim X = 3\), \(\dim Y = 4\), avec \(\dim F_{3} = 1\) et \(\dim \alpha_{ij}(F_{2}) = 2\) — ce qui donne \(n = 3\) et \(d = 1\).⁹¹

N.B. Si \(f\) est convenable, \(\overline{F}_{3} \cap \Delta_{X}^{(3)} = \varnothing\) et \(\overline{\alpha_{ij}(F_{2})} \cap \Delta_{X}^{(3)} = \varnothing\). Mais la question que la page pose et laisse ouverte est celle des intersections croisées : \[ \overline{F}_{3} \cap \overline{\alpha_{ij}(F_{2})} , \qquad \overline{F}_{3} \cap \alpha_{ij}(\overline{F}_{2}) \;? \]

215–216

Le cas galoisien, et la dernière proposition (pages 215 et 216)

C) Le cas galoisien

Conditions équivalentes, définissant les catégories galoisiennes :

1. (i)Comme A(i), avec l'objet final de \(\mathcal{T}\) connexe.
2. (ii), (ii bis), (iii), (iv) Comme dans A, en supposant de plus l'objet final de \(C\) connexe.
3. (v)Les axiomes G0, G1, G2, G3, et de plus : il existe un foncteur \[ F : C \longrightarrow (\text{Ens.\ fini}) \] conservatif et exact — respectant les limites projectives finies et commutant aux sommes finies.
4. (vi)Il existe un groupe profini \(\pi\) et une équivalence \(C \simeq C(\pi)\).

C'est la liste de SGA 1, exposé V, dans sa forme définitive : les axiomes de la catégorie, l'existence d'un foncteur fibre exact et conservatif, et la conclusion — la catégorie est celle des ensembles finis à opérateurs d'un groupe profini. La différence avec B tient en un mot : ici l'objet final est connexe, et le groupoïde se réduit à un groupe.

Il faut mesurer ce que le carton vient de faire. La liste Gal 1 à Gal 6 de la page 157 exigeait la décomposition en composantes connexes comme un axiome ; la liste G0 à G5 de la page 209 la déduit ; et la condition (v) ci-dessus remplace toute la machinerie par une seule hypothèse d'existence, celle du foncteur fibre. Trois états de la même axiomatique, dans un seul carton, et c'est le dernier qui est passé dans SGA 1.

La proposition finale

Proposition. Soit \(u : C \to C'\) un foncteur exact, \(C\) et \(C'\) multigaloisiennes. Alors :

1. (i)\(u\) est fidèle \(\Longleftrightarrow\) \(u\) est conservatif \(\Longleftrightarrow\) pour tout objet \(X\) de \(C\), \(u(X) = \varnothing\) entraîne \(X = \varnothing\).
2. (ii)\(u\) est pleinement fidèle \(\Longleftrightarrow\) pour tout objet \(X\) de \(C\), \(u\) induit une bijection de l'ensemble des sous-objets de \(X\) sur l'ensemble des sous-objets de \(u(X)\).
3. (iii)\(u\) est une équivalence \(\Longleftrightarrow\) \(u\) est pleinement fidèle et tout objet de \(C'\) est subordonné à un objet de l'image.

C'est sur cette proposition, dont la démonstration ne suit pas, que la cote s'arrête ; la moitié inférieure de la page est nue.

Ce que dit cette dernière page, et pourquoi elle est à sa place. Ce sont les critères sous lesquels les axiomes du domaine de ramification ont été choisis, page 190, cent trente pages plus tôt dans le même carton. L'axiome R2 — « l'application \(X' \mapsto r(X')\) est une bijection de l'ensemble des sous-objets directs de \(X\) sur l'ensemble des parties ouvertes et fermées de \(r(X)\) » — est le critère (ii). La proposition 2 de la page 192 — « \(X = \varnothing\) si et seulement si \(r(X) = \varnothing\) » — est le critère (i). Et le critère (iii), la subordination, est le mot même sur lequel toute la théorie des familles génératrices est bâtie aux pages 201 à 206. La réalisation géométrique \(r\) n'est pas un foncteur entre catégories multigaloisiennes — son but est la catégorie des schémas — de sorte que la proposition ne s'y applique pas littéralement. Mais c'est bien elle qui donne aux axiomes R1 et R2 leur raison d'être : ils demandent de \(r\) exactement les propriétés qui, entre catégories multigaloisiennes, caractérisent la fidélité et la pleine fidélité. Le carton s'achève donc sur les raisons de son propre point de départ.