Cote n° 28 · pages 1–10 · Lecture modernisée · [Groupes algébriques (SGA 3)] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–10

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier va d'un théorème connu à une axiomatique, en dix pages, et il vaut mieux avoir les stations en tête avant d'entrer dans le détail.

• Page 1. Le théorème d'Enriques en dimension 2, ses quatre corollaires, et l'annonce du programme en dimension \(n\). Puis les définitions : pseudo-morphismes, pseudo-isomorphismes, les foncteurs en groupes \(\mathrm{Psaut}\) et \(\mathrm{Baut}\), et \(\mathrm{Cr}_{n,k}\) comme l'un d'eux.
• Pages 2 et 3. Les pseudo-opérations : axiomes, noyau, rigidification par le schéma des stabilisateurs, pseudo-transitivité.
• Pages 3 et 4. Les tores : un tore qui pseudo-opère de façon rigidifiée opère librement, d'où \(\dim T \leq \dim X\), la caractérisation de la rationalité, et la conjugaison des tores déployés de dimension \(n\) dans \(\mathrm{Cr}_{n,k}\), avec \(N(T)/T \simeq \mathrm{Aut}_{\mathrm{gp}}(T)\).
• Page 4. Un critère, équivalent à un énoncé de rationalité stable, pour qu'un tore de dimension \(d\) soit contenu dans un tore maximal. Puis le problème : classer les \(G\) contenant \(T\).
• Pages 4 et 5. La donnée qui va tout porter : une rétraction rationnelle \(f : G \dashrightarrow T\), et trois axiomes sur elle.
• Page 6. Le cas du rang un, où apparaît le couple \((x_\alpha, \rho_\alpha)\) avec \(\langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1\) ; puis la décomposition de \(\mathfrak{g}\).
• Pages 6 et 7. La réduction à \(\mathrm{PGL}(2)\), qui donne l'existence et l'unicité de ce couple pour chaque racine, et la décomposition de Levi.
• Pages 7 et 8. L'homomorphisme \(\varphi_\alpha : \mathrm{GL}(2) \to G\) quand \(\alpha\) et \(-\alpha\) sont racines, la coracine, le groupe de Weyl \(W^*\).
• Pages 8 et 9. Quand deux groupes radiciels commutent, les trois cas que cela laisse, les constantes de structure et le théorème de conjugaison.
• Page 10. Les cinq axiomes du « système d'Enriques » et le théorème d'existence.

Notations, valables pour tout le document. \(k\) est un corps, \(T\) un tore déployé de dimension \(n\), \(M = X^*(T)\) son groupe de caractères et \(M^* = X_*(T)\) celui de ses sous-groupes à un paramètre, \(\langle\,,\rangle : M^* \times M \to \mathbf{Z}\) la dualité. \(R \subset M\) désigne l'ensemble des racines, \(\rho : R \to M^*\) l'application \(\alpha \mapsto \rho_\alpha\), et l'on garde la normalisation des feuillets, \(\langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1\). On pose \(R_s = R \cap (-R)\). Pour \(\alpha \in R\), \(U_\alpha\) est le sous-groupe radiciel, \(x_\alpha : \mathbf{G}_a \xrightarrow{\ \sim\ } U_\alpha\) sa paramétrisation et \(\mathfrak{g}^\alpha = \mathrm{Lie}\,U_\alpha\). Enfin \(\mathrm{Cr}_{n,k}\) est le groupe de Cremona, c'est-à-dire le groupe des transformations birationnelles de \(\mathbf{P}^n_k\).

Une convention de signe. Le petit cercle des formules \(\mathrm{Psaut}_k(K)(k) \simeq \mathrm{Aut}_k(K)^\circ\) et \(\mathrm{Lie}(\mathrm{Baut}_k(K)) \simeq \mathrm{Der}_k(K)^\circ\) de la page 1 est lu ici comme le passage au groupe opposé, respectivement à l'algèbre de Lie opposée.¹

1–1

I. Le théorème d'Enriques, et ce qu'il donne à généraliser (page 1)

Les surfaces rationnelles minimales sur un corps algébriquement clos sont le plan projectif \(\mathbf{P}^2\), la quadrique \(\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1\), et les surfaces de Hirzebruch \(F_n = \mathbf{P}(\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(n))\) pour \(n \geq 2\) ; \(F_0\) est la quadrique et \(F_1\) le plan éclaté en un point, ce qui est la raison pour laquelle la liste commence à \(2\).² Leurs groupes d'automorphismes connexes sont \[ \mathrm{Aut}^\circ(\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1) = \mathrm{PGL}_2 \times \mathrm{PGL}_2, \qquad \mathrm{Aut}^\circ(\mathbf{P}^2) = \mathrm{PGL}_3, \] \[ \mathrm{Aut}^\circ(F_n) = H^0\bigl(\mathbf{P}^1, \mathcal{O}(n)\bigr) \rtimes \bigl(\mathrm{GL}_2/\mu_n\bigr). \] Cette dernière écriture appelle une remarque.³

Théorème (Enriques). Tout sous-groupe algébrique linéaire connexe de \(\mathrm{Cr}_2\) est contenu, à conjugaison près, dans l'un des précédents.

Corollaire. Ces groupes ont quatre propriétés que le dossier retient comme le cahier des charges de la généralisation : leur partie réductive est de type \(A\) ;⁴ ils sont définis sur \(\mathbf{Z}\) ; ce sont des groupes d'automorphismes de variétés projectives très simples, sur lesquelles ils opèrent avec une orbite ouverte ; et ils contiennent un tore de rang \(2\), c'est-à-dire de la dimension de la surface.

C'est ce dernier trait que le dossier prend pour fil. Le programme est annoncé sur la même page : généraliser à la dimension \(n\), les difficultés étant liées aux tores maximaux, et se restreindre pour cela aux sous-groupes de rang maximum.⁵

1–2

II. Applications birationnelles en famille : \(\mathrm{Psaut}\) et \(\mathrm{Baut}\) (pages 1 et 2)

Tout le dossier travaille en famille, sur une base \(S\), et la première tâche est de donner un sens fonctoriel à « application birationnelle ».

Soit \(X\) lisse et séparé sur \(S\). Un pseudo-morphisme \(X \dashrightarrow Y\) est une classe d'équivalence de morphismes \(U \to Y\) définis sur un ouvert \(U \subset X\) dense dans les fibres, deux tels étant identifiés s'ils coïncident sur un ouvert plus petit encore dense ; un pseudo-isomorphisme est un pseudo-morphisme inversible, c'est-à-dire une application birationnelle relative.⁶ D'où deux foncteurs en groupes sur les \(S\)-schémas : \[ \mathrm{Psaut}_S(X), \qquad \mathrm{Baut}_S(X), \] les pseudo-automorphismes de \(X\), et les automorphismes birationnels. Le groupe de Cremona en est un cas : \[ \mathrm{Cr}_{n,k} = \mathrm{Baut}_k\bigl(k(t_1, \ldots, t_n)\bigr), \] les transformations birationnelles de \(\mathbf{P}^n_k\) n'étant autres que les \(k\)-automorphismes de son corps de fonctions.⁷ Sur les points rationnels et sur les algèbres de Lie, la contravariance du passage au corps des fonctions donne \[ \mathrm{Psaut}_k(K)(k) \simeq \mathrm{Aut}_k(K)^\circ, \qquad \mathrm{Lie}\bigl(\mathrm{Baut}_k(K)\bigr) \simeq \mathrm{Der}_k(K)^\circ, \] le cercle désignant le passage à l'opposé.

Ces foncteurs ne sont pas représentables en général — c'est même là toute la difficulté du sujet — et la question utile est de savoir ce qu'un morphisme depuis un groupe algébrique peut faire. Deux énoncés y répondent.

Proposition. La section unité de \(\mathrm{Baut}_S(X)\) est une immersion fermée dans chacun des deux cas suivants : \(S\) artinien ; les fibres de \(X\) irréductibles.⁸

Corollaire. Si \(G\) est un schéma en groupes et \(G \to \mathrm{Baut}_S(X)\) un homomorphisme, le noyau est un sous-schéma en groupes fermé.⁹

Lemme. Si \(X\) est une courbe lisse et propre sur \(k\), tout homomorphisme d'un schéma en groupes vers \(\mathrm{Baut}_k(X)\) se factorise par \(\mathrm{Aut}_k(X)\) : une application birationnelle entre courbes lisses propres est un isomorphisme. C'est ce lemme, et lui seul, qui permettra plus loin de remplacer un quotient de dimension \(1\) par un sous-groupe de \(\mathrm{PGL}(2)\).

2–3

III. Pseudo-opérations : axiomes, noyau, rigidification (pages 2 et 3)

Soit \(G\) un schéma en groupes lisse de type fini sur \(k\) et \(X\) un schéma. Une pseudo-opération de \(G\) sur \(X\) est un pseudo-morphisme \[ \varphi : G \times X \dashrightarrow X, \] d'ouvert de définition \(U \subset G \times X\), soumis à deux axiomes : les deux projections issues de \(U\) sont dominantes (PO 1), et \(\varphi\) est associative (PO 2), au sens où le carré

\begin{tikzcd}[column sep=large]
G \times G \times X \arrow[r, "m \times X"] \arrow[d, "G \times \varphi"'] & G \times X \arrow[d, "\varphi"] \\
G \times X \arrow[r, dashed] & X
\end{tikzcd}

commute en tant que diagramme de pseudo-morphismes.¹⁰ Sur les points, cela se lit : pour \(g, h \in G(S)\) et \(x \in X(S)\), si \(h \cdot x\) est défini et \(g(h \cdot x)\) aussi, alors \(gh \cdot x\) est défini et vaut \(g(h\,x)\).

Il existe alors un sous-groupe distingué fermé \(N \subset G\), le noyau, tel que \(G/N\) se plonge dans \(\mathrm{Baut}_k(X)\).

Rigidification. Considérons le pseudo-morphisme \(G \times X \dashrightarrow X \times X\), \((g,x) \mapsto (\varphi(g,x), x)\), et l'image réciproque \(F\) de la diagonale :

\begin{tikzcd}
G \times X \arrow[r, dashed] & X \times X \\
U \arrow[u, hook] & \\
F \arrow[u, hook] \arrow[r] & X \arrow[uu]
\end{tikzcd}

\(F\) est le schéma des stabilisateurs. L'opération est dite rigidifiée lorsque \(F \to X\) est fidèlement plat.

Proposition. Si l'opération est rigidifiée, \(F_X\) est un sous-schéma en groupes de \(G_X = G \times X\) au-dessus de \(X\).

Corollaire. Le noyau \(N\) est le plus grand sous-schéma en groupes constant de \(F_X\) : un élément agit trivialement exactement s'il stabilise tous les points.

Pseudo-transitivité. L'opération est dite pseudo-transitive lorsque \(G \times X \to X \times X\) est dominant ; pour une opération véritable cela signifie qu'il y a une orbite dense, et une seule.

Proposition. Si \(G\) est pseudo-transitif sur \(X\), alors \(X\) est pseudo-isomorphe à un espace homogène.

3–4

IV. Les tores maximaux du groupe de Cremona (pages 3 et 4)

Tout ce qui précède sert à établir le fait suivant, qui est le premier résultat substantiel du dossier.

Proposition. Soit \(T\) un tore déployé pseudo-opérant de façon rigidifiée sur \(X\) irréductible. Alors \(F = e \times X\).

Autrement dit un tore qui pseudo-opère de façon rigidifiée opère librement : les stabilisateurs sont triviaux. Trois corollaires en découlent, tous géométriques.

Corollaire 1. \(\dim T \leq \dim X\), avec égalité si et seulement si l'opération est pseudo-transitive.

Corollaire 2. Si \(\dim T = \dim X\), alors \(X\) est pseudo-isomorphe à \(T\).

Corollaire 3. Pour \(X\) irréductible de dimension \(n\), les conditions suivantes sont équivalentes : \(X\) est rationnelle ; \(\mathrm{Psaut}(X) \simeq \mathrm{Cr}_{n,k}\) ; \(\mathrm{Psaut}(X)\) contient un tore de dimension \(n\).

La dernière équivalence est exactement l'énoncé, dans le vocabulaire d'aujourd'hui, qu'une variété torique est rationnelle : une action fidèle d'un tore déployé de la dimension de la variété, avec orbite dense, force la rationalité.¹¹

Vient alors la série qui donne son titre à la section, page 4 :

Corollaire 4. Les tores déployés de dimension \(n\) de \(\mathrm{Cr}_{n,k}\) sont conjugués.

Corollaire 5. Ils sont maximaux, égaux à leur propre centraliseur,¹² leur normalisateur est lisse, et \[ N(T)/T \;\simeq\; \mathrm{Aut}_{\mathrm{gp}}(T) \;\simeq\; \mathrm{GL}_n(\mathbf{Z}). \]

Corollaire 6. \(T\) est un tore maximal de \(\mathrm{Cr}_{n,k}\).

Le corollaire 4 est ce qui autorise toute la suite : puisque les tores déployés de dimension maximale sont conjugués, en fixer un ne restreint rien. On notera que l'hypothèse « déployé » est employée partout et n'est pas décorative — la conjugaison passe par le corollaire 2, donc par une trivialisation de torseur qui n'est disponible que pour les tores déployés.¹³

Proposition. \(T\) déployé, \(X\) irréductible, la pseudo-opération étant pseudo-fidèle : alors \(X\) est pseudo-isomorphe à \(T \times Y\), avec \(Y\) irréductible quelconque.

C'est la forme birationnelle du quotient par un tore : une action fidèle rend la variété birationnelle au produit du tore par un quotient rationnel.¹⁴

4–4

V. Un critère de rationalité stable (page 4)

De la proposition précédente, la page tire un critère pour qu'un tore de dimension \(d\) soit contenu dans un tore maximal, et ce critère est un énoncé de théorie des corps.

Corollaire 1. Soit \(0 \leq d \leq n\). Les conditions suivantes sont équivalentes : (a) toute image de \(\mathbf{G}_m^d\) dans \(\mathrm{Cr}_{n,k}\) est contenue dans un tore maximal ; (b) pour toute extension \(K/k\) de degré de transcendance \(d\), si \(K(t_1, \ldots, t_{n-d})\) est pure sur \(k\), alors \(K\) est pure sur \(k\).¹⁵

La condition (b) est ce qu'on appelle aujourd'hui la question de la rationalité stable : un corps qui devient pur après adjonction de variables était-il déjà pur ?¹⁶ La page en donne l'état des connaissances de 1970, sous forme d'une note entre crochets : le cas \(d = 0\) est trivial ; \(d = 1\) est le théorème de Lüroth ; \(d = 2\) vaut en caractéristique nulle par le critère de Castelnuovo — la page écrit « car. nulle » en regard, et la restriction n'est pas de précaution, il existe en caractéristique positive des surfaces unirationnelles non rationnelles ; \(d = n\) est trivial sur un corps algébriquement clos. D'où la conclusion de la page : le critère « marche si \(n \leq 3\) ».

Le premier cas ouvert est donc \(d = 3\), et il a été tranché depuis, par la négative : il existe des variétés de dimension \(3\) stablement rationnelles et non rationnelles.¹⁷

4–5

VI. Le problème, et la rétraction \(f\) (pages 4 et 5)

Le problème est posé sur la page 4 : classer les groupes algébriques lisses \(G \subset \mathrm{Cr}_{n,k}\) contenant un tore déployé de dimension \(n\). Ce que la page appelle aussitôt après le théorème de structure en fixe le cadre : le tore \(T\) étant fixé une fois pour toutes, on cherche les \(G\) tels que \[ T \subset G \subset \mathrm{Baut}(T), \] l'opération de \(G\) étant transitive ; ce qu'on veut au bout est un espace homogène \(X\) sous \(G\), de dimension \(n\), sur lequel \(T\) opère fidèlement avec une orbite ouverte — c'est-à-dire, dans le vocabulaire d'aujourd'hui, une variété torique dont \(G\) est le groupe d'automorphismes.

La donnée qui va porter toute la théorie est écrite sur la page 5. On dispose d'un sous-groupe \(H \subset G\) tel que la multiplication \[ T \times H \longrightarrow G \] soit une immersion ouverte — la grosse cellule — et que l'intersection des conjugués de \(H\) soit réduite à l'élément neutre ; et d'un pseudo-morphisme \[ f : G \dashrightarrow T, \] qui est la projection sur le facteur \(T\) dans cette cellule. Les axiomes qu'on lui impose sont trois :

1. 1)\(f(gg') = f\bigl(g\,f(g')\bigr)\), les deux membres étant définis simultanément ;
2. 2)\(f\) est définie en tout point de \(T\) et y induit l'identité ;
3. 3)si \(f(gt) = f(g't)\) pour tout \(t\) où les deux membres sont définis, alors \(g = g'\).¹⁸

D'où, immédiatement, l'équivariance à gauche : \(f(tg) = t\,f(g)\).

C'est ce \(f\), et non l'espace \(X\), qui sera l'objet manipulé jusqu'à la fin du dossier. On peut le voir comme une carte du groupe autour de son tore, et les trois axiomes comme ce qu'il faut pour que cette carte détermine le groupe.

6–6

VII. Le rang un, et la naissance du couple \((\alpha, \rho_\alpha)\) (page 6)

La seconde séance commence par une remarque de souplesse : on peut restreindre l'étude à un \(G' = \mathrm{Cent}_G(Q)\), où \(Q\) est un sous-tore de \(T\), et l'on peut passer au quotient par un sous-tore central \(Z \subset T\), les trois axiomes restant vérifiés — « il faut un peu d'attention pour le troisième ».

Puis le cas décisif : \(\dim G - \dim T = 1\). Alors \(G\) n'est pas commutatif — sinon \(T\) serait central, ce qu'il n'est pas dès que \(T \neq G\) — et \(G\) est produit semi-direct \[ G = T \cdot G_u, \qquad G_u \simeq \mathbf{G}_a . \]

Proposition. Il existe un unique couple \[ x_\alpha : \mathbf{G}_a \xrightarrow{\ \sim\ } U, \qquad \rho_\alpha : \mathbf{G}_m \longrightarrow T \] tel que \[ t\,x_\alpha(\lambda)\,t^{-1} = x_\alpha\bigl(\alpha(t)\,\lambda\bigr), \qquad f\bigl(x_\alpha(\lambda)\bigr) = \rho_\alpha(1+\lambda), \] où \(\alpha \in M\) est le caractère par lequel \(T\) agit sur \(U\) ; la seconde formule n'a de sens que là où \(1 + \lambda\) est inversible, ce qui est précisément le domaine de définition de \(f\) le long de \(U\). On en tire les deux relations qui gouvernent tout le reste : \[ \langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1, \qquad H = x_\alpha(1)\, T\, x_\alpha(-1). \] La seconde est suivie d'un « (?) » de sa main.¹⁹ Inversement, la donnée de \(\alpha\) et \(\rho_\alpha\) vérifiant \(\langle \alpha, \rho_\alpha \rangle = 1\) reconstitue le groupe.

Le couple \((\alpha, \rho_\alpha)\) soumis à \(\langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1\) est l'objet central du dossier, et c'est celui que la théorie appelle aujourd'hui une racine de Demazure : \(\rho_\alpha\), vu dans le réseau des cocaractères, est le générateur primitif d'un rayon de l'éventail de la variété, et \(\alpha\) un caractère qui vaut \(1\) contre ce rayon et reste négatif ou nul contre les autres.²⁰

Le cas général. Pour \(T \subset G\) quelconque, l'algèbre de Lie se décompose sous l'action adjointe de \(T\) : \[ \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 \oplus \bigoplus_{\alpha \in R} \mathfrak{g}^\alpha, \qquad R \subset M \text{ fini}, \] avec \(\mathfrak{g}_0 = \mathrm{Lie}\,T\), ce qui traduit \(T = \mathrm{Cent}_G(T)\), et \(\dim \mathfrak{g}^\alpha = 1\).

6–7

VIII. La réduction à \(\mathrm{PGL}(2)\) (pages 6 et 7)

Comment passer du rang un au rang quelconque : en fabriquant, pour chaque caractère, un quotient de dimension \(1\).

Soit \(\chi : T \to \mathbf{G}_m\) un caractère, \(T_\chi = (\ker \chi)^\circ\) et \(Z_\chi = \mathrm{Cent}_G(T_\chi)\). Le quotient \(Z_\chi/T_\chi\) a pour tore maximal \(T/T_\chi\), de dimension \(1\), et opère birationnellement et fidèlement sur une courbe rationnelle ; par le lemme de la page 2, il s'y plonge comme groupe d'automorphismes : \[ Z_\chi/T_\chi \hookrightarrow \mathrm{Aut}(\mathbf{P}^1) = \mathrm{PGL}(2). \] Restent quatre possibilités, selon le sous-groupe de \(\mathrm{PGL}(2)\) contenant le tore maximal que l'on rencontre : le tore maximal lui-même, et alors \(Z_\chi = T\) ; son normalisateur, et alors \(Z_\chi/T\) est d'ordre \(2\) ; un Borel, et alors \(\dim Z_\chi/T = 1\) ; ou \(\mathrm{PGL}(2)\) tout entier.²¹

Conclusion. Supposons \(\chi \in R\). Les deux premiers cas sont exclus, et l'on obtient :

(1) \(\dim \mathfrak{g}_\alpha = 1\), et il existe un unique \[ x_\alpha : \mathbf{G}_a \longrightarrow Z_\chi \subset G, \qquad x_\alpha(\mathbf{G}_a) = U_\alpha, \quad \mathrm{Lie}(U_\alpha) = \mathfrak{g}_\alpha, \] avec \(t\,x_\alpha(\lambda)\,t^{-1} = x_\alpha(\alpha(t)\lambda)\), et un unique \(\rho_\alpha : \mathbf{G}_m \to T\) avec \(f(x_\alpha(\lambda)) = \rho_\alpha(1+\lambda)\) et \(\langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1\). Enfin \[ \mathrm{Lie}\,Z_\chi = \mathfrak{g}_0 \oplus \bigoplus_{\beta \in \mathbf{Q}\chi \,\cap\, R} \mathfrak{g}^\beta . \]

(2) Si \(\lambda\alpha \in R\) avec \(\lambda \neq 1\), alors \(\lambda = -1\) : les seuls multiples d'une racine qui soient des racines sont \(\pm\alpha\).²² Lorsque \(-\alpha \in R\), on obtient les deux sous-groupes de Borel contenant \(T\), à savoir \(T\,U_\alpha\) et \(T\,U_{-\alpha}\).

Décomposition de Levi. \(G^\circ = L \cdot U\) avec \(L \supset T\) réductif, et les racines de \(L\) sont exactement les \(\alpha \in R\) tels que \(-\alpha \in R\), c'est-à-dire \(R_s\).²³

7–8

IX. \(\mathrm{GL}(2)\), coracines, groupe de Weyl (pages 7 et 8)

Corollaire. Si \(G\) est connexe, \(G^\circ\) est engendré par \(T\) et les \(U_\alpha\), et \(f\) est entièrement déterminée par la connaissance des \(x_\alpha\) et des \(\rho_\alpha\).²⁴

Théorème. Si \(\alpha\) et \(-\alpha\) sont racines, il existe un homomorphisme \(\varphi_\alpha : \mathrm{GL}(2) \to G\) tel que \[ \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = x_\alpha(\lambda), \qquad \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} = x_{-\alpha}(\lambda), \] \[ \varphi_\alpha \begin{pmatrix} \mu & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \rho_\alpha(\mu), \qquad \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix} = \rho_{-\alpha}(\mu), \] et tel que \(f\) et l'action de \(T\) se lisent sur les matrices : \[ f\left(\varphi_\alpha \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right) = \rho_\alpha(a+b)\,\rho_{-\alpha}(c+d), \] \[ \varphi_\alpha \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot t = t \cdot \rho_\alpha\!\left(a + \frac{b}{\alpha(t)}\right) \rho_{-\alpha}\bigl(c\,\alpha(t) + d\bigr). \]

C'est \(\mathrm{GL}(2)\) et non \(\mathrm{SL}(2)\) qui intervient, et la raison est que les deux cocaractères \(\rho_\alpha\) et \(\rho_{-\alpha}\) sont ici des données séparées : c'est leur différence qui joue le rôle de la coracine.

Observation. L'élément de Weyl \[ w_\alpha = \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] agit sur \(T\) par la réflexion \[ s_\alpha(t) = t\;\alpha^{*}\bigl(\alpha(t)\bigr)^{-1}, \qquad \alpha^{*} = \rho_\alpha - \rho_{-\alpha}, \] et \(\alpha^*\) est ce que la page nomme, sous la formule, la coracine.²⁵

Le groupe de Weyl. Avec \(M = X^*(T)\), le système de racines de \(L\) est le triplet \(\{M,\, R_s,\, \alpha \mapsto \rho_\alpha - \rho_{-\alpha}\}\), où \(R_s = R \cap (-R)\), et \[ N_{G^\circ}(T) = T \cdot W^{*}, \] \(W^*\) étant engendré par les \(w_\alpha\), \(\alpha \in R_s\). Il opère sur \(R\), et \[ \rho_{s_\alpha(\beta)} = s_\alpha(\rho_\beta), \qquad \mathrm{int}(w_\alpha)\,x_\beta = x_{s_\alpha(\beta)} . \] Une note de marge, ici, ne se laisse pas concilier avec ce qui précède.²⁶

8–9

X. Commutation, constantes de structure, conjugaison (pages 8 et 9)

Proposition. Pour \(\alpha, \beta \in R\), les groupes \(U_\alpha\) et \(U_\beta\) commutent si et seulement si \[ \rho_\alpha = \rho_\beta \quad \text{ou} \quad \langle \rho_\alpha, \beta \rangle = \langle \rho_\beta, \alpha \rangle = 0. \]

Corollaire 1. \(\rho_\alpha \neq \rho_\beta \Longrightarrow \langle \rho_\alpha, \beta \rangle \leq 0\).

Corollaire 2. Si \(\langle \rho_\alpha, \beta \rangle < 0\) et \(\langle \rho_\beta, \alpha \rangle < 0\), alors \(\alpha + \beta = 0\).

Trois cas subsistent donc pour un couple de racines : (a) \(\rho_\alpha = \rho_\beta\), les deux racines pointant le même rayon ; (b) \(\alpha + \beta = 0\), le cas semi-simple ; (c) à l'ordre près des deux racines, \[ \langle \rho_\alpha, \beta \rangle = -n \leq 0, \qquad \langle \rho_\beta, \alpha \rangle = 0 . \]

Proposition (cas (c)). Dans ce cas :

1. 1)si \(\lambda\alpha + \mu\beta \in R\) avec \(\lambda, \mu \in \mathbf{N}\), alors \(\lambda\alpha + \mu\beta\) vaut \(\alpha\) ou \(\beta + i\alpha\) pour un \(i\) borné ;²⁷
2. 2)\(\beta + i\alpha \in R\), et \(\rho_{\beta+i\alpha} = \rho_\beta\), dès que \(\binom{n}{i} \neq 0\) dans \(k\), pour \(0 \leq i \leq n\) ;
3. 3)et l'on a la formule de commutation \[ x_\alpha(\lambda)\,x_\beta(\mu)\,x_\alpha(-\lambda) = \prod_i x_{\beta+i\alpha}\!\left(\pm \binom{n}{i}\, \lambda^{i}\,\mu\right). \]

C'est la formule de commutation de Chevalley, et la condition sur les coefficients binomiaux est ce qui en fait, ici, un énoncé sensible à la caractéristique : en caractéristique nulle tous les \(\binom{n}{i}\) sont non nuls et la chaîne \(\beta, \beta+\alpha, \ldots, \beta+n\alpha\) est entièrement faite de racines ; en caractéristique \(p\) elle se troue.²⁸

Au niveau infinitésimal : \[ [X_\alpha, X_\beta] = \bigl(\langle \rho_\alpha, \beta \rangle - \langle \rho_\beta, \alpha \rangle\bigr)\, X_{\alpha+\beta} \quad \text{si } \alpha + \beta \neq 0, \qquad [X_\alpha, X_{-\alpha}] = \rho_\alpha - \rho_{-\alpha} = \alpha^{*}, \] et la page souligne que toutes les formules ont leurs coefficients dans \(\mathbf{Z}\) : la théorie est définie sur \(\mathbf{Z}\), ce qui est la seconde des quatre propriétés relevées page 1 sur la liste d'Enriques.

Théorème de conjugaison. Deux sous-groupes connexes \(G, G' \supset T\) de \(\mathrm{Cr}_{n,k}\) ayant mêmes \(R\) et \(\rho\) sont conjugués dans \(\mathrm{Cr}_{n,k}\).

C'est le théorème d'unicité de la théorie, et il a exactement la forme du théorème d'isomorphisme des groupes réductifs : la donnée radicielle détermine le groupe. Traduit sur les variétés, il dit que l'éventail détermine la variété torique.²⁹

10–10

XI. Les systèmes d'Enriques (page 10)

La dernière page recueille tout ce qui précède en une définition. Un système d'Enriques est la donnée de deux réseaux en dualité \(M\) et \(M^*\), d'une partie \(R \subset M\) et d'une application \(\rho : R \to M^*\) soumises à cinq axiomes :

1. 1)\(R\) est fini ;
2. 2)\(\langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1\) pour tout \(\alpha \in R\) ;
3. 3)\(\rho_\alpha \neq \rho_\beta \Longrightarrow \langle \rho_\alpha, \beta \rangle \leq 0\) ;
4. 4)\(\langle \rho_\alpha, \beta \rangle < 0\) et \(\langle \rho_\beta, \alpha \rangle < 0 \Longrightarrow \alpha + \beta = 0\) ;
5. 5)si \(\rho_\alpha \neq \rho_\beta\) et \(\langle \rho_\beta, \alpha \rangle = 0\), alors \(\beta + i\alpha \in R\) dès que \(\binom{n}{i} \neq 0\) dans \(k\), pour \(0 \leq i \leq n\), où \(n = -\langle \rho_\alpha, \beta \rangle\).³⁰

Théorème d'existence. Tout système d'Enriques provient d'un groupe : « on trouve tous les syst. d'Enriques ». La page s'arrête sur cette ligne.³¹

Il vaut la peine de mesurer l'écart avec la donnée radicielle d'un groupe réductif, car c'est lui qui contient toute la nouveauté. Là-bas on a \((X^*, X_*, R, R^\vee)\) avec \(R\) symétrique et \(\alpha \mapsto \alpha^\vee\) injective. Ici deux choses tombent : \(R\) n'est pas symétrique — c'est ce que l'axiome 4) autorise en n'imposant \(\alpha + \beta = 0\) que sous une double négativité — et \(\rho\) n'est pas injective, plusieurs racines pouvant partager le même \(\rho_\alpha\), ce qui est le cas (a) de la page 9. La partie symétrique \(R_s = R \cap (-R)\) redonne un système de racines ordinaire, celui du facteur de Levi ; tout le reste produit des groupes unipotents. Un groupe réductif est le cas particulier \(R = R_s\).

XII. Ce que le dossier annonce et n'établit pas

Quatre choses, qu'il vaut mieux consigner que laisser croire acquises.

Le théorème d'existence de la page 10 est écrit en une ligne et n'est pas démontré ; c'est pourtant la moitié de la classification.

Le problème posé page 4 demandait de classer les groupes ; ce que le dossier livre est la donnée combinatoire qui les classe. Les variétés \(X\) elles-mêmes — celles sur lesquelles ces groupes opèrent, et dont l'existence est le contenu géométrique de l'affaire — ne sont construites nulle part dans ces dix pages, et l'objet qui les construirait, l'éventail, n'y figure pas.

La proposition sur les courbes irréductibles propres, en tête de la page 2, est biffée en entier et remplacée par le lemme qui la suit ; ce qu'elle disait n'est pas repris.

Enfin le critère de la page 4 est laissé ouvert au premier cas non trivial, \(d = 3\), et l'on a dit plus haut comment la question s'est close depuis, par la négative.