Fonds Grothendieck, cote n° 27, pages 21–36

encre bleue ; suite, semble-t-il, des notes sur les algèbres de Lie des pages 17 à 19 ; les numéros de conditions renvoient à la liste de la page 22

Remarques 1) Même si \psi est birationnel, et \mathfrak{h} provient d'un sous-groupe H de G lisse sur k, la condition (ix) pas nécessairement vérifiée.« Même si » est écrit « M̄ si », ici et en 2) ; « birationnel », souligné, est en interligne au-dessus d'un mot biffé, peut-être « étale »

Exemple G = \mathrm{Sl}(2,k), k car. 2, alors \mathfrak{g} est nilpotente, donc la seule sous-algèbre de Cartan est \mathfrak{g} elle-même. Soit B Borel, alors ~~\mathfrak{L}~~ \mathfrak{h} = \mathrm{Lie}(B), on sait que \bigcup_{g \in G(k)} \mathrm{ad}(g)\, \mathfrak{L} = \mathfrak{g} et , donc donc \psi dominant. D'ailleurs \mathfrak{u} = \mathfrak{g}, \quad B \subset N \neq G, \quad \text{donc} \quad \dim N = \dim B = \mathrm{rang}\, \mathfrak{h}, donc \dim X = \dim G, ~~D'ailleurs~~ donc \psi gén. qu.-fini.

~~avec que \mathfrak{u} = \mathfrak{e}_{\mathfrak{h}}, \mathfrak{u} = \mathfrak{m}_a = \mathfrak{g} (car \mathfrak{u} \subset \mathfrak{m}_a)~~

D'ailleurs, plus ~~donc \varphi lisse en tout point , \psi étale en tout point~~deux lignes barrées et couvertes d'une ligne ondulée ; à droite, un encadré entièrement raturé où se lisent encore N = M_a, G/N, B \subset G et deux points marqués a, b

… ici que \psi est birationnel. ~~B \cap B~~

2) Même si \psi ~~birationnel~~ dominant et \mathfrak{h} = \mathfrak{u}, la condition (x) pas nécessairement vérifiée. Prenons G = \mathrm{Pl}(2,k), k car. 2, \mathfrak{g} base X, Y, H, [X, Y] = 2H = 0, \qquad [H, X] = X, \qquad [H, Y] = Y. suite à la page 23

encadré à gauche, sous un trait horizontal fléché : N.B. \varphi lisse en (e, a) \Updownarrow \mathrm{ad}(a)_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}} injectif, i.e. [x, a] \in \mathfrak{h} \Rightarrow x \in \mathfrak{h}, \qquad \mathfrak{m}_a = \mathfrak{h} \Downarrow \mathfrak{h} = \mathfrak{u}

page écrite tête-bêche par rapport au scan, lue retournée ; tout le corps est annulé par deux longues diagonales, et se lit néanmoins. Dans la marge gauche, une accolade réunit (i)-(iii), des flèches doubles verticales relient les conditions (v)-(ix), une accolade (ix)-(xi), et un long trait courbe remonte de (xi) vers (iii)

\mathfrak{h} \subset \mathfrak{u} \subset \mathfrak{m}_aen haut à droite, souligné d'un trait fléché

(i)\mathfrak{h} contient une sous-algèbre de Cartan (ii)\mathfrak{h} = \mathfrak{u}, \mathfrak{h} contient des éléments réguliers de \mathfrak{g} (iii)\exists\, a \in \mathfrak{h} t.q. \mathrm{ad}_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}(a) iinjectif (i.e. tel que \mathfrak{h} = \mathfrak{m}_a) (iv)\psi : X \to W(\mathfrak{g}) dominant, et \mathfrak{h} = \mathfrak{u}. (v)\psi : X \to W(\mathfrak{g}) gén. lisse (vi)\psi : X \times W(\mathfrak{h}) \to W(\mathfrak{g}) gént lisse (vii)\psi : X \to W(\mathfrak{g}) dominant (viii)\psi : X \to W(\mathfrak{g}) dominant et quasi-fini (ix)\psi gén. qu.-fini et \mathfrak{h} = \mathfrak{u} (x)~~(xiii)~~ ~~\psi dominant~~ \psi : X \to W(\mathfrak{g}) dominant, et [\mathfrak{h} est l'alg. de Lie d'un sous-groupe lisse H de \mathfrak{g}] (xi)~~(xii)~~ \psi : X \to W(\mathfrak{g}) dominant, et N lisse.

un point noir en marge droite en regard de (iv), (vii), (viii), (x), (xi)

\mathfrak{h} minimale parmi les k-algèbres de Lie qui :

a)soit = normalisateur, et satisfasse densité ; b)soit = normalisateur, et satisfait au th. de densité densité ; c)soit définie par H lisse, et d)soit telles que \exists\, a \in \mathfrak{h}, \mathrm{ad}(a)_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}} injectif e)~~soit telles que~~

un mot souligné et répété au-dessus de a) et sous b), lu « densité » avec doute ; « th. de densité » est souligné d'un long trait

suite de l'exemple 2) de la page 21

La sous-algèbre de Cartan est \mathfrak{d} = \mathfrak{t} = kH. Ici, de \mathfrak{g} ~~contenant~~ \mathfrak{t} = kH est une sous-algèbre. ~~= Cartan~~

Mais prenons \mathfrak{h} = kH + k(\lambda X + \mu Y), si ~~\mathfrak{h} était~~ le normalisateur N/e de \mathfrak{h} étant de dim 2, (donc \mathfrak{h} = \mathrm{Lie}(H)) ~~il contiendrait T'~~ i.e. lisse) donc dans ~~il contiendrait un tore maximal T'~~ , ~~fait~~ un Borel, or (T est un C-sous-groupe) \mathfrak{h} \supset \mathfrak{t} ~~Borel B, et tel que~~ ~~\mathfrak{h} = kH + kX B = \mathrm{Norm}\ldots~~ impliquerait H \supset T, donc on Borel(s)lignes très raturées ; un encadré barré d'une ondulation à gauche

~~donc~~ si \lambda, \mu \neq 0, contenant T, donc \mathfrak{h} n'est pas algèbre de Lie d'aucun sous-groupe lisse de G …

Exemple d'un groupe lisse résoluble connexe G sur \mathbb{F}_p, interligne entouré, en haut à droite, en partie biffé dont l'algèbre de Lie n'a pas d'élément régulier. \mathfrak{t} = \mathbb{F}_p^2.

Soit (\alpha_i)_{i \in I} une famille finie de formes lin. \neq 0 sur \mathbb{F}_p^2 telles que \bigcup \mathrm{Ker}\, \alpha_i = \mathbb{F}_p^2 . le second membre a été récrit plusieurs fois ; la lecture \mathbb{F}_p^2 est celle de la dernière couche (On peut prendre formes nulles, et \bigcap \mathrm{Ker}\, \alpha_i = 0). Soient les \chi_i caractères infinitésimaux associés : homomorphismes \chi_i : T = \mathbf{G}_m^2 \longrightarrow \mathbf{G}_m qui G = T \cdot U \struck{\mathbf{G}_a^{I}}, \qquad U = \mathbf{G}_a^{I} avec T opérant sur \mathbf{G}_a^{I} par les \chi_i.

Alors T opère sur \mathfrak{g}/\mathfrak{t} par les caractères \chi_i, on peut montrer que T i.e. le centralisateur de T . Le centre de G est donc égal au centre réductif, donc égal au noyau de T \to \mathrm{GL}(\mathfrak{g}) ; qui est nul, Enfin, un élément de \mathfrak{t} étant dans \bigcup \mathrm{Ker}\, \alpha_i, ne peut être régulier. Or tout tore maximal de G est conjugué de T [par un élément unique de U(\mathbb{F}_p)] donc \mathfrak{g} n'a pas d'élément régulier [car il serait conjugué d'un élément de \mathfrak{t}].

T est i.e. C(T) note écrite de biais dans la marge gauche, en regard de « Le centre de G … »

~~Soit~~

Cas d'un schéma en groupes séparé étale de t.f. sur S dont le centre n'est pas représentable (S = spectre d'un anneau de valuation discrète A A).

On part d'un groupe ensembliste E, de centre trivial, et d'un sous-groupe commutatif F non trivial (p.ex. le groupe engendré par un élément s \neq e de E). Soit ~~\mathcal{F}~~ G le sous-groupe ouvert de E_S obtenu en enlevant de la fibre spéciale E_k de E_S le fermé E_k - F_k. Donc G_0 = F_k, \qquad G_1 = E_K . Alors le foncteur \mathrm{Cent}(G) n'est pas représentable, car il ne commute pas : projective indiquée des A_n = A/\mathfrak{m}^{n+1}, on a donc Z(\hat{A}) = \{e\}, \qquad \varprojlim Z(A_n) = F .

N.B. Si G est plat de présentation finie sur S, à fibres connexes alors Z est représentable ……

la page est barrée de trois longs traits obliques

~~Contrexemple !~~ Soit \mathfrak{s} une sous-algèbre de \mathfrak{g}les deux lettres sont de forme cursive ; lecture douteuse

(i)Si \mathfrak{s} tel que \mathfrak{g}_{\mathfrak{s}} régulier, que s'annule \mathfrak{s}, \mathfrak{g}_{\mathfrak{s}} régulier. (ii)Si \mathfrak{g} est régulier, alors \exists une sous-algèbre de Cartan une \mathfrak{c} de \mathfrak{g} qui contient \mathfrak{s}.

~~Contrexemple~~mot souligné, repassé puis biffé ; le reste de la page est vide

Théorème de ½ continuité

titre de sa main, souligné, en haut à droite du feuillet de garde (page 27), qui ne porte rien d'autre ; le « ½ » est écrit en petite fraction, pour « semi- ». Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

G lisse connexe sur le corps alg. clos. e \longrightarrow H \longrightarrow G \longrightarrow A \longrightarrow e sous H : « groupe affine lisse connexe » ; sous A : « abélienne »

\rho_{\mathrm{ab}}(G) = \dim A \qquad \rho_{\mathrm{aff}}(G) = \dim H le premier indice se lit aussi « as » \rho_{\mathrm{r}}(G) = \rho_{\mathrm{r}}(H) = \text{dim tores maximaux} \rho_{\mathrm{s}}(G) = \rho_{\mathrm{s}}(H) = \rho_{\mathrm{r}}(H/\mathrm{rad}(H)) avant \rho_{\mathrm{r}}, deux signes biffés, le second « dim » d_{\mathrm{s}}(G) = d_{\mathrm{s}}(H) = \dim(H/\mathrm{rad}(H)), \rho_{\mathrm{n}}(G) = \rho_{\mathrm{u}}(V) + \rho_{\mathrm{ab}}(G) = \text{dimension des Cartan} \rho_{\mathrm{na}}(G) = \rho_{\mathrm{u}}(V) \rho_{\mathrm{u}}(G) = \rho_{\mathrm{u}}(V) = \rho_{\mathrm{na}}(G) - \rho_{\mathrm{r}}(H)

à droite, une accolade : \left\{ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{rs}}(G) = \rho_{\mathrm{rs}}(H) = \rho_{\mathrm{r}}(H/\mathrm{rad}(H)) \\[2pt] \rho_{\mathrm{rad}}(G) = \rho_{\mathrm{r}}(\mathrm{rad}(H)) \end{array} \right. entre les deux lignes, une ligne biffée « \rho_{\mathrm{rad}}(G) = \rho_{\mathrm{rad}}(H) = \ldots » ; dans la dernière ligne, \rho_{\mathrm{r}}(\mathrm{rad}(H)) est écrit au-dessus d'un \rho_{\mathrm{r}} ; lecture d'ensemble douteuse

, \underline{\rho_{\mathrm{ab}}}, \rho_{\mathrm{r}}, ~~\rho_{\mathrm{s}}~~, \rho_{\mathrm{na}}, \rho_{\mathrm{ss}}, \rho_{\mathrm{rad}}\rho_{\mathrm{r}} … \rho_{\mathrm{na}} et \rho_{\mathrm{ss}}, \rho_{\mathrm{rad}} sont enfermés dans deux cadres ~~\dim G = \rho_{\mathrm{aff}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{rad}} + \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{ab}}~~

\underline{\rho_{\mathrm{aff}}}, \rho_{\mathrm{rad}}

\rho_{\mathrm{na}} = \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{u}} \rho_{\mathrm{n}} = \rho_{\mathrm{na}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{u}} + \rho_{\mathrm{ab}}

~~\rho_{\mathrm{s}} \geqslant \rho_{\mathrm{rs}}~~ ~~\rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{rs}} + \rho_{\mathrm{rr}}~~ \left\{ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{aff}} = \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}} \\ \dim G = \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{aff}} = \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}} \end{array} \right.

\rho_{\mathrm{r}}, \rho_{\mathrm{u}}, \rho_{\mathrm{ab}}, \rho_{\mathrm{na}}, \rho_{\mathrm{n}} sont les mêmes pour G et pour un ss-groupe de Cartan …un trait vertical dans la marge embrasse ces deux lignes

feuille de calculs épars, sans ordre ; la moitié supérieure est traversée de grands traits obliques qui semblent délimiter des zones plutôt qu'annuler. On transcrit de haut en bas

{}_n A_0 \qquad T_0 \subset C_0 \qquad T_0 \subset \underbrace{C_0^{H}}_{\text{\scriptsize V.A}} \subset C_0 le C_0^{H} porte un petit \circ en indice ; « V.A » sous l'accolade (x u) \qquad x^{n} = 1 \qquad (xu)^{n} = \,?? H^2(\ , T_0) \simeq H^2(\ , {}_\infty T_0) = H^2(\ , \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) G - \qquad \rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}} \begin{array}{c} \rho_{\mathrm{ab}} + \ldots \\ \vee\!| \\ \rho'_{\mathrm{ab}} \end{array} \qquad \frac{G_1}{Z_1} = Z \qquad \rho_{\mathrm{ab}}(Z_0) \leqslant \rho_{\mathrm{ab}}(Z_1) = \rho_{\mathrm{ab}}(G_1) à gauche, le « +\,\ldots » après \rho_{\mathrm{ab}} est raturé \rho_{\mathrm{ab}} + 2\rho_{\mathrm{r}} \qquad \rho_{\mathrm{a}} + \qquad \rho_{\mathrm{ab}} + \qquad \rho_{\mathrm{rig}}. deux traits verticaux sous « G - » ; un long trait horizontal sépare la moitié supérieure

suit un tableau d'accolades, qu'on rend ainsi : sous \rho_{\mathrm{naff}} s'accolent \rho_{\mathrm{rs}}, \rho_{\mathrm{u}}, \rho_{\mathrm{ab}}, et sous eux \rho_{\mathrm{n}} ; sous d s'accolent d_{\mathrm{ss}} et d_{\mathrm{radaff}}, puis d_{\mathrm{rad}} et d_{\mathrm{aff}} ; à gauche \rho_{\mathrm{ss}} ~~\rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}}\, \rho_{\mathrm{r.radaff}}~~ d_{\mathrm{radaff}} \geqslant \rho_{\mathrm{u}} + \tilde\rho_{\mathrm{r}} \rho_{\mathrm{ab}} + d_{\mathrm{ss}} + \underbrace{(\rho_{\mathrm{r}} - \rho_{\mathrm{ss}})}_{\rho_{\mathrm{r\,radaff}}} \qquad \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}} + (d_{\mathrm{ss}} - \rho_{\mathrm{ss}}) les deux expressions sont enfermées dans un cadre arrondi

à droite, deux colonnes numérotées, les nombres entourés ; la première réunie par une accolade, la seconde par une autre \begin{array}{ll} (1)\ \rho_{\mathrm{ab}} & (5)\ \rho_{\mathrm{n}} \\ (2)\ \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{rig}} & (6)\ \rho_{\mathrm{u}} \\ (3)\ \rho_{\mathrm{ss}} & (7)\ \rho_{\mathrm{naff}} \\ (4)\ d_{\mathrm{ss}} & (8)\ d_{\mathrm{aff}} \\ & (9)\ d_{\mathrm{rad}} \\ & (10)\ d_{\mathrm{radaff}} \end{array} \begin{array}{l} (2) + (5) \Longrightarrow (6) \\ (1) + (5) \Longrightarrow (7) \\ (1) \Longleftrightarrow (8) \\ (3) \Longleftrightarrow (9) \\ (1) + (3) \Longrightarrow (10) \end{array} le premier chiffre de la première ligne est surchargé (un 2 sur un autre chiffre)

Th Soit G un préschéma en groupes lisse séparé de présentation finie sur S. Alors

(i)~~Les fonctions~~ \rho_{\mathrm{aff}}, d~~\dim G~~ sont \tfrac12 continues sup., et de les fonctions \rho_{\mathrm{n}}, \rho_{\mathrm{na}}, \rho_{\mathrm{u}} sont semi-continues supérieurement ~~si G est sur S [ ]~~« \rho_{\mathrm{aff}}, d » entouré, en interligne, relié par un trait au début de la ligne suivante ; le « d » est écrit sur un mot biffé (ii)~~Si G est plat sur S~~, les fonctions \rho_{\mathrm{ab}}, \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}}, \rho_{\mathrm{s}} sont semi-continues inférieurement.

un trait vertical dans la marge gauche embrasse l'énoncé

On se ramène comme d'habitude au cas où S affine noeth., spectre d'un anneau de valuation discrète, point générique s_1, et à prouver les inégalités \left\{ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{aff}} \geqslant \rho'_{\mathrm{aff}} \qquad d \geqslant d' \\[2pt] (5)\ \rho_{\mathrm{n}} \geqslant \rho'_{\mathrm{n}}, \quad (6)\ \rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}, \quad (7)\ \rho_{\mathrm{na}} \geqslant \rho'_{\mathrm{na}} \\[4pt] (1)\ \rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}}, \quad (2)\ \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}} + \rho'_{\mathrm{r}}, \quad (3)\ \rho_{\mathrm{s}} \leqslant \rho'_{\mathrm{s}} \end{array} \right. numéros entourés ; le (5) et le (6) sont surchargés (des numéros antérieurs corrigés), le (7) aussi ; « \rho_{\mathrm{aff}} \geqslant \rho'_{\mathrm{aff}} » est biffé en fin de la deuxième ligne et reporté, entouré, en tête de la première, avec « d \geqslant d' »

quitte« quitte » en interligne, sur un mot biffé prenons réserve de platitude. Ce sont pour un groupe algébrique sur un corps , des quantités invariantes changeant G en G_{\mathrm{réd}}^{\circ}, et de plus pour \rho_{\mathrm{aff}} et d, c'est une fonction croissante du groupe. Donc prouver [quitte à remplacer G par \overline{G_1^{\circ}}] ~~de remplacer G_1~~ toujours G plat sur S, et de plus

(quitte à faire une extension finie de S et remplacer G par \overline{G_{1\,\mathrm{réd}}^{\circ}} ] que G_1 est connexe et lisse/k(s_1), enfin [quitte à remplacer G par G_0 composante neutre de G_0] que G_0 est également connexe [mais peut-être pas lisse]. le « [ » ouvrant du premier crochet est à la fin de la page 31

a) L'inégalité d \geqslant d' bien connue, mais pour mémoire, elle se réduit ici (en effet) à l'égalité d = d'. L'inégalité \rho_{\mathrm{aff}} \geqslant \rho'_{\mathrm{aff}} équivaut alors à \rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}} [car \rho_{\mathrm{aff}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho'_{\mathrm{aff}} + \rho'_{\mathrm{ab}} = d], que nous allons traiter plus bas.

b) ~~Considérons~~ On peut supposer que G_0 admet un tore maximal splitté T_0 (car alg. clos]. ~~{}_nT_0 Soit~~ C_0 le Cartan associé. Pour T_0 ~~prolonger le premier résiduelle.~~

G lisse/S

~~Alors pour les premiers n,~~ à la caractéristique résiduelle, considérons ~~{}_nC_0 = \mathrm{Ker}\,[\,n^{\text{ième}} \text{ des } C_0\,]. Comme C_0/T_0 = M_0~~ la ligne « {}_nC_0 = \ldots » est barrée d'un long trait qui descend vers la droite ; « = M_0 » est écrit sur un mot raturé

… est une extension d'une V.A. A_0 par un groupe unipotent lisse connexe U_0, on voit que les extensions correspondantes de {}_nA_0 par U_0 splittent canoniquement, ~~des extensions~~ {}_nU_0, les trois dernières lignes sont traversées de trois courbes obliques qui semblent les annuler

{}_nT_0, on peut le prolonger en un sous-groupe fini étale H(n) de G, tel que H(m) = {}_mH(n) si m \mid n. La famille des sous-groupes fermés lisses \underline{\mathrm{Cent}}\, H(n) de G est stationnaire, sa valeur limite C est telle que D_0 = \mathrm{Cent}_{G_0}(T_0) = C_0 . G lisse/k De plus, on voit que C_1 = réductif et nilpotent que C_1 [i.e. C_{\bar s_1} contient un Cartan de G_{\bar s_1}], c'est un à vérifier« c'est un … à vérifier » souligné d'une ligne ondulée.

\ast Il s'ensuit que ~~\rho_{\mathrm{u}}(G_1) = \rho_{\mathrm{u}}(C_1), \rho_{\mathrm{r}}(G_1) = \rho_{\mathrm{r}}(C_1)~~ \rho_{\mathrm{r}}, \rho_{\mathrm{u}}, \rho_{\mathrm{ab}}, \rho_{\mathrm{n}}, \rho_{\mathrm{na}} sont les mêmes pour G_1 et C_1 \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{u}}(G_1) = \rho_{\mathrm{u}}(C_1) \\ \rho_{\mathrm{ab}}(G_1) = \rho_{\mathrm{ab}}(C_1) \\ \rho_{\mathrm{n}}(G_1) = \rho_{\mathrm{n}}(C_1) \end{array} au-dessus, une première ligne biffée identique à la suivante ; les quatre lignes sont encadrées et traversées de deux traits obliques ; les lettres des deux dernières sont douteuses et sont les mêmes pour C_0 et G_0, donc pour la formule (5)le chiffre avant la parenthèse se lit « 1) » ou « 5) », est ramené au cas où G = C, i.e. G_0 nilpotent. Alors la relation \boxed{\rho_{\mathrm{n}} \geqslant \rho'_{\mathrm{n}}} triviale, car \rho_{\mathrm{n}} = d = d'.

Lemme C groupe nilpotent connexe lisse sur corps alg. clos k. Alors \overbrace{C/\underline{\mathrm{Cent}}(C)^{\circ}_{\mathrm{réd}}}^{Z} est unipotent. Pour H groupe de type multiplicatif H, \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr}}(H, C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr}}(H, Z). En particulier, : {}_nC \simeq {}_nZ de C,

pour écrit de biais dans la marge gauche, en bas

~~Corollaire Soit G lisse sur S, et supposons que~~ ~~On sait que tel ss-groupe S~~

Appliquons ceci au cas où C = G_0, alors si S est hensélien strict. local, les {}_nC se prolongent de façon unique en des sous-groupes H(n) étales finis de G, évidemment centraux, et {}_mH(n) = H(m) \quad \text{si } m \mid n .

Notons que \rho_{\mathrm{ab}} et \rho_{\mathrm{r}}, donc \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{rig}} sont fonctions croissantes d'un groupe ~~lisse~~ alg. [qu'on peut supposer lisse/k(s_1) !]

Soit K l'adhérence de la limite des H(n)_1, et \overline{K}_1 = K_{1}^{\circ}, alors \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{ab}}(K_1) \leqslant \rho_{\mathrm{ab}}(G_1) = \rho'_{\mathrm{ab}} \\ \rho_{\mathrm{r}}(K_1) \leqslant \rho_{\mathrm{r}}(G_1) = \rho'_{\mathrm{r}} \\ \rho_{\mathrm{rig}}(K_1) \leqslant \rho_{\mathrm{rig}}(G_1) = \rho'_{\mathrm{rig}}. \end{array} Donc pour prouver (1) et (2), on est ramené à prouver la même chose pour K remplaçant G, puisque K_0 \supset H(n)_0 = {}_nG_0 ceci facilement (Cartan …),une flèche courbe, dans la marge gauche, relie « D'autre part » à « Donc pour prouver »

D'autre part, \rho_{\mathrm{ab}}(G_0) = \rho_{\mathrm{ab}}(K_0), \qquad \rho_{\mathrm{r}}(G_0) = \rho_{\mathrm{r}}(K_0)

la limite de G, mais on a gagné la commutativité, qui implique d'ailleurs \rho_{\mathrm{n}} = \struck{\ill{}}\, \rho'_{\mathrm{n}} = d. L'inégalité (2) équivaut alors à l'inégalité (6), ~~donc~~ et (1) à (7) et (8).« (1) à (7) et (8) » : chiffres entourés, sous la ligne

est ramené à prouver \rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}, puis \rho_{\mathrm{aff}} \geqslant d'_{\mathrm{aff}}interligne relié par une accolade ; l'indice se lit mal Remplaçant G par l'adhérence de G_1 unipot. [quitte défini/k(s_1)] on est ramené pour \rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}} à prouver que si G_1 est unipotent, il en est de même de G_0.

[sans restriction limitation]en marge gauche, en regard ; la même note revient plus bas

Facile pour les points d'ordre fini.

Pour la deuxième assertion, on est ramené à prouver que si G_1 est affine, G_0 est affine.

[sans restriction limitation]

On est ramené au cas où S semi local \dim S = 1, \mathbb{Z}, schéma intègre de type fini ~~sur~~, (à priori …). ~~Considérons G et la~~ supposer le tore maximal de G_1 est splitté. Donc k(s_0) est fini. Passant à la clôture hensélienne (mais pas strictement hensélienne !) en s_0, d'où un \tilde S, \tilde G sur \tilde S, ~~{}_n\tilde G~~ soit \ell distinct de la caractéristique résiduelle, et un premier sur \tilde S, sous \tilde H(n). {}_n\tilde G .

dans la marge gauche, un croquis : une flèche descendant vers « S », un angle droit marqué d'un point, et un segment portant un point

Alors \pi_1(\tilde S) = \pi_1(s_0) \simeq \mathbb{Z} opère sur H(n)_{\bar s_0} = M_n, d'où, à la limite, des opérations de \mathbb{Z} sur \varprojlim M_n = M \simeq \mathbb{Z}_\ell^{\,2\rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}}}. D'autre part, ~~, donc~~ comme M_\infty \simeq \varprojlim H(n)_{\bar s_1} un H(n) entouré, au-dessus d'un indice raturé [ opération déterminée mod une opération de \pi_1(\tilde S) sur M_\infty] d'où M_\infty \subset \varprojlim_n ({}_nG)_{\bar s_1} = ~~donc~~

\varprojlim ({}_nT)_{\bar s_1} \simeq ({}_n\mathbf{G}_m)^{r}_{\bar s_1}, donc les opérations de \pi_1(\tilde S, \bar s_0) sur M_\infty se font par l'intermédiaire du « caractère cyclotomique » l'opération sur les racines de l'unité. Or si on a \rho_{\mathrm{ab}} \neq 0, alors les opérations Galois \pi_1(\tilde S, \bar s_0) = \pi_1(s_0, \bar s_0) par l'intermédiaire exclusif de caractère . On est ramené à sur une V.A. sur un corps \mathfrak{k} de type fini mais ici suffisant …]le « [ » ouvrant manque sur la page

un trait horizontal sépare la suite

…écrit de biais dans la marge gauche, devant un trait vertical qui embrasse les lignes suivantes

Restent à prouver (3) et (9).

(3) \Longleftrightarrow (9), et résultat que un groupe réductif spécialise en un réductifchiffres entourés

(4) On regarde un tore maximal T_0 de G_0, on prolonge les {}_nT H(n) sous-groupes compatibles G_1 H(n)_1/R_1 \cap H(n)_1 , \quad \ldots r_0 = \rho_{\mathrm{ss}}(G_0) \leqslant \dim T_0/T_0 \cap R_0 de « n-rang » \geqslant \dim T_0/T_0 \cap R_0 \geqslant r_0. n-rang \leqslant \rho'_{\mathrm{ss}}, d'où \rho'_{\mathrm{ss}} \geqslant \rho_{\mathrm{ss}} \ldots« \leqslant \dim T_0/T_0\cap R_0 » est en interligne, relié par une accolade à « r_0 = \rho_{\mathrm{ss}}(G_0) »

dans la marge gauche, en regard de (4) : \begin{array}{cc} G & G_1 \\ \cup & \cup \\ \overline{R}_1 = R & R_1 \end{array} \qquad G_0/R_0