Cote n° 27 · batch 2 · pages 21–36 · Transcription · SGA D [SGA 3]. Compléments XII à XVII : tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1962-1970]
Édition de démonstration

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encre bleue ; suite, semble-t-il, des notes sur les algèbres de Lie des pages 17 à 19 ; les numéros de conditions renvoient à la liste de la page 22

Remarques 1) Même si \(\psi\) est […] [birationnel], et \(\mathfrak{h}\) provient d'un sous-groupe \(H\) de \(G\) lisse sur \(k\), […] la condition (ix) […] pas nécessairement vérifiée.« Même si » est écrit « M̄ si », ici et en 2) ; « birationnel », souligné, est en interligne au-dessus d'un mot biffé, peut-être « étale »

Exemple \(G = \mathrm{Sl}(2,k)\), \(k\) car. \(2\), alors \(\mathfrak{g}\) est nilpotente, donc la [seule] sous-algèbre de Cartan […] est \(\mathfrak{g}\) elle-même. Soit \(B\) Borel, alors \(\mathfrak{L}\) \(\mathfrak{h} = \mathrm{Lie}(B)\), on sait que \[ \bigcup_{g \in G(k)} \mathrm{ad}(g)\, \mathfrak{L} = \mathfrak{g} \] et […], donc […] donc \(\psi\) dominant. D'ailleurs \[ \mathfrak{u} = \mathfrak{g}, \quad B \subset N \neq G, \quad \text{donc} \quad \dim N = \dim B = \mathrm{rang}\, \mathfrak{h}, \] donc \(\dim X = \dim G\), D'ailleurs […] […] [donc \(\psi\) gén. qu.-fini].

avec que \(\mathfrak{u} = \mathfrak{e}_{\mathfrak{h}}\), \(\mathfrak{u} = \mathfrak{m}_a = \mathfrak{g}\) (car \(\mathfrak{u} \subset \mathfrak{m}_a\))

D'ailleurs, […] […] plus […] […] donc \(\varphi\) lisse en tout point […], \(\psi\) étale en tout pointdeux lignes barrées et couvertes d'une ligne ondulée ; à droite, un encadré entièrement raturé où se lisent encore \(N = M_a\), \(G/N\), \(B \subset G\) et deux points marqués \(a\), \(b\)

… ici que \(\psi\) est birationnel. […] […] \(B \cap B\)

2) Même si \(\psi\) birationnel [dominant] et \(\mathfrak{h} = \mathfrak{u}\), la condition (x) […] pas nécessairement vérifiée. Prenons \(G = \mathrm{Pl}(2,k)\), \(k\) car. \(2\), \(\mathfrak{g}\) […] base \(X, Y, H\), \[ [X, Y] = 2H = 0, \qquad [H, X] = X, \qquad [H, Y] = Y. \] suite à la page 23

encadré à gauche, sous un trait horizontal fléché : N.B. \(\varphi\) lisse en \((e, a)\) \[ \Updownarrow \] \(\mathrm{ad}(a)_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}\) injectif, i.e. \[ [x, a] \in \mathfrak{h} \Rightarrow x \in \mathfrak{h}, \qquad \mathfrak{m}_a = \mathfrak{h} \] \[ \Downarrow \] \[ \mathfrak{h} = \mathfrak{u} \]

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page écrite tête-bêche par rapport au scan, lue retournée ; tout le corps est annulé par deux longues diagonales, et se lit néanmoins. Dans la marge gauche, une accolade réunit (i)-(iii), des flèches doubles verticales relient les conditions (v)-(ix), une accolade (ix)-(xi), et un long trait courbe remonte de (xi) vers (iii)

\(\mathfrak{h} \subset \mathfrak{u} \subset \mathfrak{m}_a\)en haut à droite, souligné d'un trait fléché

un point noir en marge droite en regard de (iv), (vii), (viii), (x), (xi)

\(\mathfrak{h}\) […] […] minimale parmi les \(k\)-algèbres de Lie qui […] :

un mot souligné et répété au-dessus de a) et sous b), lu « densité » avec doute ; « th. de densité » est souligné d'un long trait

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suite de l'exemple 2) de la page 21

La sous-algèbre de Cartan est \(\mathfrak{d} = \mathfrak{t} = kH\). Ici, […] […] […] […] […] […] de \(\mathfrak{g}\) contenant \(\mathfrak{t} = kH\) […] […] […] [est une sous-algèbre]. […] […] […] \(=\) Cartan

Mais prenons \[ \mathfrak{h} = kH + k(\lambda X + \mu Y), \] si \(\mathfrak{h}\) était […] le normalisateur [\(N/e\)] de \(\mathfrak{h}\) étant de dim \(2\), (donc \(\mathfrak{h} = \mathrm{Lie}(H)\)) il contiendrait \(T'\) i.e. lisse) donc dans il contiendrait un tore maximal \(T'\) […] […] […] […] […] […], […] fait [un Borel], or […] […] […] […] (T est un C-sous-groupe) […] \(\mathfrak{h} \supset \mathfrak{t}\) […] Borel […] […] \(B\), et tel que \(\mathfrak{h} = kH + kX\) […] […] \(B = \mathrm{Norm}\ldots\) impliquerait \(H \supset T\), donc on […] […] […] Borel(s)lignes très raturées ; un encadré barré d'une ondulation à gauche

donc […] si \(\lambda, \mu \neq 0\), […] contenant \(T\), […] donc […] \(\mathfrak{h}\) n'est pas algèbre de Lie d'aucun sous-groupe lisse de \(G\) …

3)

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Exemple d'un groupe lisse résoluble [connexe] \(G\) sur \(\mathbb{F}_p\), [[…] […] […]]interligne entouré, en haut à droite, en partie biffé dont l'algèbre de Lie n'a pas d'élément régulier. \(\mathfrak{t} = \mathbb{F}_p^2\).

Soit \((\alpha_i)_{i \in I}\) une famille [finie] de formes [lin. \(\neq 0\)] sur […] \(\mathbb{F}_p^2\) telles que \[ \bigcup \mathrm{Ker}\, \alpha_i = \mathbb{F}_p^2 . \] le second membre a été récrit plusieurs fois ; la lecture \(\mathbb{F}_p^2\) est celle de la dernière couche (On peut prendre […] […] formes […] nulles, et \(\bigcap \mathrm{Ker}\, \alpha_i = 0\)). Soient […] les \(\chi_i\) […] caractères infinitésimaux associés : […] homomorphismes \[ \chi_i : T = \mathbf{G}_m^2 \longrightarrow \mathbf{G}_m \] qui […] […] […] […] […] […] \[ G = T \cdot U \struck{\mathbf{G}_a^{I}}, \qquad U = \mathbf{G}_a^{I} \] avec \(T\) opérant sur \(\mathbf{G}_a^{I}\) par les \(\chi_i\).

Alors \(T\) opère sur \(\mathfrak{g}/\mathfrak{t}\) par les caractères \(\chi_i\), on peut montrer que \(T\) […] […] […] i.e. le centralisateur de \(T\) […] […]. Le centre de \(G\) est donc égal au centre réductif, donc égal au noyau de \(T \to \mathrm{GL}(\mathfrak{g})\) ; qui est nul, […] […] Enfin, un […] élément de \(\mathfrak{t}\) […] […] étant dans \(\bigcup \mathrm{Ker}\, \alpha_i\), ne peut être régulier. Or tout tore maximal de \(G\) est conjugué de \(T\) [par un élément unique de \(U(\mathbb{F}_p)\)] donc […] […] \(\mathfrak{g}\) n'a pas d'élément régulier [car il serait conjugué d'un élément de \(\mathfrak{t}\)].

[…] \(T\) est […] […] […] […] i.e. \(C(T)\) […] […] […] […] […] […]note écrite de biais dans la marge gauche, en regard de « Le centre de \(G\) … »

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Soit

Cas d'un schéma en groupes [séparé] étale de t.f. sur \(S\) dont le centre n'est pas représentable (\(S =\) spectre d'un anneau de valuation discrète \(A\) \(A\)).

On part d'un groupe ensembliste \(E\), de centre trivial, et d'un sous-groupe commutatif […] \(F\) non […] [trivial] (p.ex. le groupe engendré par un élément \(s \neq e\) de \(E\)). Soit \(\mathcal{F}\) \(G\) le sous-groupe ouvert de \(E_S\) obtenu en enlevant de la fibre spéciale \(E_k\) de \(E_S\) le fermé \(E_k - F_k\). Donc \[ G_0 = F_k, \qquad G_1 = E_K . \] Alors le foncteur \(\mathrm{Cent}(G)\) n'est pas représentable, car il ne commute pas : […] […] projective indiquée des \(A_n = A/\mathfrak{m}^{n+1}\), on a donc \[ Z(\hat{A}) = \{e\}, \qquad \varprojlim Z(A_n) = F . \]

N.B. Si \(G\) est [plat] […] de présentation finie sur \(S\), à fibres connexes alors \(Z\) est représentable ……

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la page est barrée de trois longs traits obliques

Contrexemple ! Soit \(\mathfrak{s}\) une sous-algèbre de \(\mathfrak{g}\)les deux lettres sont de forme cursive ; lecture douteuse

Contrexemplemot souligné, repassé puis biffé ; le reste de la page est vide

Théorème de ½ continuité

titre de sa main, souligné, en haut à droite du feuillet de garde (page 27), qui ne porte rien d'autre ; le « ½ » est écrit en petite fraction, pour « semi- ». Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

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\(G\) lisse connexe sur le corps alg. clos. \[ e \longrightarrow H \longrightarrow G \longrightarrow A \longrightarrow e \] sous \(H\) : « groupe affine lisse connexe » ; sous \(A\) : « abélienne »

\[ \rho_{\mathrm{ab}}(G) = \dim A \qquad \rho_{\mathrm{aff}}(G) = \dim H \] le premier indice se lit aussi « as » \[ \rho_{\mathrm{r}}(G) = \rho_{\mathrm{r}}(H) = \text{dim tores maximaux} \] \[ \rho_{\mathrm{s}}(G) = \rho_{\mathrm{s}}(H) = \rho_{\mathrm{r}}(H/\mathrm{rad}(H)) \] avant \(\rho_{\mathrm{r}}\), deux signes biffés, le second « dim » \[ d_{\mathrm{s}}(G) = d_{\mathrm{s}}(H) = \dim(H/\mathrm{rad}(H)), \] \[ \rho_{\mathrm{n}}(G) = \rho_{\mathrm{u}}(V) + \rho_{\mathrm{ab}}(G) = \text{dimension des Cartan} \] \[ \rho_{\mathrm{na}}(G) = \rho_{\mathrm{u}}(V) \] \[ \rho_{\mathrm{u}}(G) = \rho_{\mathrm{u}}(V) = \rho_{\mathrm{na}}(G) - \rho_{\mathrm{r}}(H) \]

à droite, une accolade : \[ \left\{ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{rs}}(G) = \rho_{\mathrm{rs}}(H) = \rho_{\mathrm{r}}(H/\mathrm{rad}(H)) \\[2pt] \rho_{\mathrm{rad}}(G) = \rho_{\mathrm{r}}(\mathrm{rad}(H)) \end{array} \right. \] entre les deux lignes, une ligne biffée « \(\rho_{\mathrm{rad}}(G) = \rho_{\mathrm{rad}}(H) = \ldots\) » ; dans la dernière ligne, \(\rho_{\mathrm{r}}(\mathrm{rad}(H))\) est écrit au-dessus d'un \(\rho_{\mathrm{r}}\) ; lecture d'ensemble douteuse

[…], \(\underline{\rho_{\mathrm{ab}}}\), \(\rho_{\mathrm{r}}\), \(\rho_{\mathrm{s}}\), \(\rho_{\mathrm{na}}\), \(\rho_{\mathrm{ss}}\), \(\rho_{\mathrm{rad}}\)\(\rho_{\mathrm{r}}\) … \(\rho_{\mathrm{na}}\) et \(\rho_{\mathrm{ss}}\), \(\rho_{\mathrm{rad}}\) sont enfermés dans deux cadres \(\dim G = \rho_{\mathrm{aff}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{rad}} + \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{ab}}\)

\(\underline{\rho_{\mathrm{aff}}}\), \(\rho_{\mathrm{rad}}\)

\[ \rho_{\mathrm{na}} = \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{u}} \] \[ \rho_{\mathrm{n}} = \rho_{\mathrm{na}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{u}} + \rho_{\mathrm{ab}} \]

\(\rho_{\mathrm{s}} \geqslant \rho_{\mathrm{rs}}\) \(\rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{rs}} + \rho_{\mathrm{rr}}\) \[ \left\{ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{aff}} = \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}} \\ \dim G = \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{aff}} = \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}} \end{array} \right. \]

\(\rho_{\mathrm{r}}, \rho_{\mathrm{u}}, \rho_{\mathrm{ab}}, \rho_{\mathrm{na}}, \rho_{\mathrm{n}}\) sont les mêmes pour \(G\) et pour un ss-groupe de Cartan …un trait vertical dans la marge embrasse ces deux lignes

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feuille de calculs épars, sans ordre ; la moitié supérieure est traversée de grands traits obliques qui semblent délimiter des zones plutôt qu'annuler. On transcrit de haut en bas

\[ {}_n A_0 \qquad T_0 \subset C_0 \qquad T_0 \subset \underbrace{C_0^{H}}_{\text{\scriptsize V.A}} \subset C_0 \] le \(C_0^{H}\) porte un petit \(\circ\) en indice ; « V.A » sous l'accolade \[ (x u) \qquad x^{n} = 1 \qquad (xu)^{n} = \,?? \] \[ H^2(\ , T_0) \simeq H^2(\ , {}_\infty T_0) = H^2(\ , \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \] \[ G - \qquad \rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}} \] \[ \begin{array}{c} \rho_{\mathrm{ab}} + \ldots \\ \vee\!| \\ \rho'_{\mathrm{ab}} \end{array} \qquad \frac{G_1}{Z_1} = Z \qquad \rho_{\mathrm{ab}}(Z_0) \leqslant \rho_{\mathrm{ab}}(Z_1) = \rho_{\mathrm{ab}}(G_1) \] à gauche, le « \(+\,\ldots\) » après \(\rho_{\mathrm{ab}}\) est raturé \[ \rho_{\mathrm{ab}} + 2\rho_{\mathrm{r}} \qquad \rho_{\mathrm{a}} + \qquad \rho_{\mathrm{ab}} + \qquad \rho_{\mathrm{rig}}. \] deux traits verticaux sous « \(G -\) » ; un long trait horizontal sépare la moitié supérieure

suit un tableau d'accolades, qu'on rend ainsi : sous \(\rho_{\mathrm{naff}}\) s'accolent \(\rho_{\mathrm{rs}}\), \(\rho_{\mathrm{u}}\), \(\rho_{\mathrm{ab}}\), et sous eux \(\rho_{\mathrm{n}}\) ; sous \(d\) s'accolent \(d_{\mathrm{ss}}\) et \(d_{\mathrm{radaff}}\), puis \(d_{\mathrm{rad}}\) et \(d_{\mathrm{aff}}\) ; à gauche \(\rho_{\mathrm{ss}}\) \(\rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}}\, \rho_{\mathrm{r.radaff}}\) \[ d_{\mathrm{radaff}} \geqslant \rho_{\mathrm{u}} + \tilde\rho_{\mathrm{r}} \] \[ \rho_{\mathrm{ab}} + d_{\mathrm{ss}} + \underbrace{(\rho_{\mathrm{r}} - \rho_{\mathrm{ss}})}_{\rho_{\mathrm{r\,radaff}}} \qquad \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}} + (d_{\mathrm{ss}} - \rho_{\mathrm{ss}}) \] les deux expressions sont enfermées dans un cadre arrondi

à droite, deux colonnes numérotées, les nombres entourés ; la première réunie par une accolade, la seconde par une autre \[ \begin{array}{ll} (1)\ \rho_{\mathrm{ab}} & (5)\ \rho_{\mathrm{n}} \\ (2)\ \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{rig}} & (6)\ \rho_{\mathrm{u}} \\ (3)\ \rho_{\mathrm{ss}} & (7)\ \rho_{\mathrm{naff}} \\ (4)\ d_{\mathrm{ss}} & (8)\ d_{\mathrm{aff}} \\ & (9)\ d_{\mathrm{rad}} \\ & (10)\ d_{\mathrm{radaff}} \end{array} \] \[ \begin{array}{l} (2) + (5) \Longrightarrow (6) \\ (1) + (5) \Longrightarrow (7) \\ (1) \Longleftrightarrow (8) \\ (3) \Longleftrightarrow (9) \\ (1) + (3) \Longrightarrow (10) \end{array} \] le premier chiffre de la première ligne est surchargé (un 2 sur un autre chiffre)

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\underline{Th} Soit \(G\) un préschéma en groupes [lisse] séparé de présentation finie sur \(S\). Alors

un trait vertical dans la marge gauche embrasse l'énoncé

On se ramène comme d'habitude au cas où \(S\) affine noeth., spectre d'un anneau de valuation discrète, […] point générique \(s_1\), et à prouver les inégalités \[ \left\{ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{aff}} \geqslant \rho'_{\mathrm{aff}} \qquad d \geqslant d' \\[2pt] (5)\ \rho_{\mathrm{n}} \geqslant \rho'_{\mathrm{n}}, \quad (6)\ \rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}, \quad (7)\ \rho_{\mathrm{na}} \geqslant \rho'_{\mathrm{na}} \\[4pt] (1)\ \rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}}, \quad (2)\ \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}} + \rho'_{\mathrm{r}}, \quad (3)\ \rho_{\mathrm{s}} \leqslant \rho'_{\mathrm{s}} \end{array} \right. \] numéros entourés ; le (5) et le (6) sont surchargés (des numéros antérieurs corrigés), le (7) aussi ; « \(\rho_{\mathrm{aff}} \geqslant \rho'_{\mathrm{aff}}\) » est biffé en fin de la deuxième ligne et reporté, entouré, en tête de la première, avec « \(d \geqslant d'\) »

[…] [quitte]« quitte » en interligne, sur un mot biffé prenons […] réserve de platitude. Ce sont […] […] pour un groupe algébrique sur un corps […], […] des quantités invariantes […] changeant \(G\) en \(G_{\mathrm{réd}}^{\circ}\), et de plus pour \(\rho_{\mathrm{aff}}\) et \(d\), c'est une fonction \underline{croissante} du groupe. Donc […] […] prouver [quitte à remplacer \(G\) par \(\overline{G_1^{\circ}}\)] de remplacer \(G_1\) […] […] […] […] \underline{toujours} \(G\) plat sur \(S\), et de plus

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(quitte à faire une \underline{extension} finie de \(S\) et remplacer \(G\) par \(\overline{G_{1\,\mathrm{réd}}^{\circ}}\) ] que \(G_1\) est [connexe et] lisse\(/k(s_1)\), enfin [quitte à remplacer \(G\) par \(G_0\) composante neutre de \(G_0\)] que \(G_0\) est également connexe [mais peut-être pas lisse]. le « [ » ouvrant du premier crochet est à la fin de la page 31

a) L'inégalité \(d \geqslant d'\) bien connue, mais pour mémoire, elle se réduit \underline{ici} (en effet) à l'égalité \(d = d'\). L'inégalité \(\rho_{\mathrm{aff}} \geqslant \rho'_{\mathrm{aff}}\) \underline{équivaut alors} à \(\rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}}\) [car \(\rho_{\mathrm{aff}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho'_{\mathrm{aff}} + \rho'_{\mathrm{ab}} = d\)], que nous allons traiter plus bas.

b) Considérons On peut supposer que \(G_0\) admet un tore maximal splitté \(T_0\) (car […] […] […] […] […] […] alg. clos]. […] \({}_nT_0\) […] Soit \(C_0\) le Cartan associé. Pour […] […] [\(T_0\) […]] […] […] prolonger le premier […] […] […] […] résiduelle.

\(G\) lisse\(/S\)

Alors pour les premiers […] […] […] \(n\), [[…] à la caractéristique résiduelle, considérons] \({}_nC_0 = \mathrm{Ker}\,[\,n^{\text{ième}} \text{ des } C_0\,]\). Comme \(C_0/T_0 = M_0\) […]la ligne « \({}_nC_0 = \ldots\) » est barrée d'un long trait qui descend vers la droite ; « \(= M_0\) » est écrit sur un mot raturé

… est une extension d'une V.A. \(A_0\) par un groupe unipotent [lisse] connexe \(U_0\), on voit que les extensions correspondantes de \({}_nA_0\) par \(U_0\) splittent canoniquement, […] […] […] des extensions […] […] \({}_nU_0\), […]les trois dernières lignes sont traversées de trois courbes obliques qui semblent les annuler

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\({}_nT_0\), on peut le prolonger en un sous-groupe [fini] étale \(H(n)\) de \(G\), tel que \(H(m) = {}_mH(n)\) si \(m \mid n\). La famille des sous-groupes fermés lisses \(\underline{\mathrm{Cent}}\, H(n)\) de \(G\) est stationnaire, sa valeur limite \(C\) est telle que \[ D_0 = \mathrm{Cent}_{G_0}(T_0) = C_0 . \] \(G\) lisse\(/k\) De plus, on voit que \(C_1\) […] \(=\) […] réductif et nilpotent que \(C_1\) [i.e. […] \(C_{\bar s_1}\) contient un Cartan de \(G_{\bar s_1}\)], c'est un […] […] […] à vérifier« c'est un … à vérifier » souligné d'une ligne ondulée.

\(\ast\) Il s'ensuit que \(\rho_{\mathrm{u}}(G_1) = \rho_{\mathrm{u}}(C_1)\), \(\rho_{\mathrm{r}}(G_1) = \rho_{\mathrm{r}}(C_1)\) \(\rho_{\mathrm{r}}, \rho_{\mathrm{u}}, \rho_{\mathrm{ab}}, \rho_{\mathrm{n}}, \rho_{\mathrm{na}}\) sont les mêmes pour \(G_1\) et \(C_1\) \[ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{u}}(G_1) = \rho_{\mathrm{u}}(C_1) \\ \rho_{\mathrm{ab}}(G_1) = \rho_{\mathrm{ab}}(C_1) \\ \rho_{\mathrm{n}}(G_1) = \rho_{\mathrm{n}}(C_1) \end{array} \] au-dessus, une première ligne biffée identique à la suivante ; les quatre lignes sont encadrées et traversées de deux traits obliques ; les lettres des deux dernières sont douteuses et sont […] […] […] les mêmes pour \(C_0\) et \(G_0\), donc pour la formule (5)le chiffre avant la parenthèse se lit « 1) » ou « 5) », […] est ramené au cas où \[ G = C, \] i.e. \(G_0\) […] […] nilpotent. Alors la relation \[ \boxed{\rho_{\mathrm{n}} \geqslant \rho'_{\mathrm{n}}} \] triviale, car \(\rho_{\mathrm{n}} = d = d'\).

\underline{Lemme} \(C\) groupe nilpotent connexe lisse sur corps alg. clos \(k\). Alors \[ \overbrace{C/\underline{\mathrm{Cent}}(C)^{\circ}_{\mathrm{réd}}}^{Z} \] est unipotent. Pour […] \(H\) groupe de type multiplicatif \(H\), \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr}}(H, C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr}}(H, Z). \] En particulier, […] […] […] : […] […] \({}_nC \simeq {}_nZ\) […] […] […] de \(C\), […] […] […]

pour […] […] […] […]écrit de biais dans la marge gauche, en bas

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\underline{Corollaire} Soit \(G\) lisse sur \(S\), et supposons que On sait que […] tel ss-groupe […] \(S\)

Appliquons ceci au cas où \(C = G_0\), alors si \(S\) est hensélien strict. local, les \({}_nC\) se prolongent de \underline{façon} \underline{unique} en des sous-groupes \(H(n)\) […] étales finis de \(G\), évidemment centraux, et \[ {}_mH(n) = H(m) \quad \text{si } m \mid n . \]

Notons que \(\rho_{\mathrm{ab}}\) et \(\rho_{\mathrm{r}}\), donc \(\rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{rig}}\) sont fonctions croissantes d'un groupe lisse alg. [[qu'on peut supposer lisse\(/k(s_1)\) !]]

Soit \(K\) […] l'adhérence de [la limite des \(H(n)_1\)], et \(\overline{K}_1 = K_{1}^{\circ}\), [alors] […] […] \[ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{ab}}(K_1) \leqslant \rho_{\mathrm{ab}}(G_1) = \rho'_{\mathrm{ab}} \\ \rho_{\mathrm{r}}(K_1) \leqslant \rho_{\mathrm{r}}(G_1) = \rho'_{\mathrm{r}} \\ \rho_{\mathrm{rig}}(K_1) \leqslant \rho_{\mathrm{rig}}(G_1) = \rho'_{\mathrm{rig}}. \end{array} \] Donc pour prouver (1) et (2), on est ramené à prouver la même chose pour \(K\) remplaçant \(G\)[, puisque \(K_0 \supset H(n)_0 = {}_nG_0\)] ceci facilement (Cartan …),une flèche courbe, dans la marge gauche, relie « D'autre part » à « Donc pour prouver »

D'autre part, […] \[ \rho_{\mathrm{ab}}(G_0) = \rho_{\mathrm{ab}}(K_0), \qquad \rho_{\mathrm{r}}(G_0) = \rho_{\mathrm{r}}(K_0) \]

[…] […] […] la limite de \(G\), mais on a gagné la \underline{commutativité}, qui implique d'ailleurs \(\rho_{\mathrm{n}} = \struck{\ill{}}\, \rho'_{\mathrm{n}} = d\). L'inégalité (2) équivaut alors à l'inégalité (6), donc [et] (1) à (7) et (8).« (1) à (7) et (8) » : chiffres entourés, sous la ligne

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est ramené à prouver \(\rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}\), [puis \(\rho_{\mathrm{aff}} \geqslant d'_{\mathrm{aff}}\)]interligne relié par une accolade ; l'indice se lit mal Remplaçant \(G\) par l'adhérence de \(G_1\) unipot. [quitte […] […] défini\(/k(s_1)\)] on est ramené [pour \(\rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}\)] à prouver que si \(G_1\) est \underline{unipotent}, \underline{il en est de même de} \(G_0\).

[sans restriction […] limitation]en marge gauche, en regard ; la même note revient plus bas

Facile pour les points d'ordre fini.

Pour la deuxième assertion, on est ramené à prouver que si \(G_1\) est \underline{affine}, \(G_0\) est \underline{affine}.

[sans restriction […] limitation]

On est ramené au cas où […] […] \(S\) [semi local \(\dim S = 1\)], […] \(\mathbb{Z}\), […] schéma [intègre] de type fini sur, (à priori …). Considérons […] \(G\) et la […] […] […] […] supposer \underline{le tore maximal de \(G_1\) est splitté.} Donc […] […] \(k(s_0)\) est fini. Passant à la clôture hensélienne (mais pas strictement hensélienne !) en \(s_0\), d'où un \(\tilde S\), \(\tilde G\) sur \(\tilde S\), […] \({}_n\tilde G\) soit \(\ell\) distinct de la caractéristique résiduelle, et un premier […] […] sur \(\tilde S\), sous \(\tilde H(n)\). \({}_n\tilde G\) […] […] […] […] […].

dans la marge gauche, un croquis : une flèche descendant vers « \(S\) », un angle droit marqué d'un point, et un segment portant un point

Alors \(\pi_1(\tilde S) = \pi_1(s_0) \simeq \mathbb{Z}\) opère sur \(H(n)_{\bar s_0} = M_n\), d'où, à la limite, des opérations de \(\mathbb{Z}\) sur \[ \varprojlim M_n = M \simeq \mathbb{Z}_\ell^{\,2\rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}}}. \] D'autre part, […] […], donc comme \[ M_\infty \simeq \varprojlim H(n)_{\bar s_1} \] un \(H(n)\) entouré, au-dessus d'un indice raturé [[…] opération déterminée mod une opération de \(\pi_1(\tilde S)\) sur \(M_\infty\)] d'où \[ M_\infty \subset \varprojlim_n ({}_nG)_{\bar s_1} = \] donc

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\[ \varprojlim ({}_nT)_{\bar s_1} \simeq ({}_n\mathbf{G}_m)^{r}_{\bar s_1}, \] donc les opérations de \(\pi_1(\tilde S, \bar s_0)\) sur \(M_\infty\) se font par l'intermédiaire du « caractère cyclotomique » l'opération sur les racines de l'unité. Or si on a \(\rho_{\mathrm{ab}} \neq 0\), alors les opérations […] […] […] Galois \[ \pi_1(\tilde S, \bar s_0) = \pi_1(s_0, \bar s_0) \] […] […] […] par l'intermédiaire exclusif de […] caractère […]. On est ramené à […] […] sur une V.A. […] sur un corps \(\mathfrak{k}\) de type fini […] […] mais ici suffisant …]le « [ » ouvrant manque sur la page

un trait horizontal sépare la suite

[…] […] […] …écrit de biais dans la marge gauche, devant un trait vertical qui embrasse les lignes suivantes

Restent à prouver (3) et (9).

\[ (3) \Longleftrightarrow (9), \] et […] résultat […] […] que \underline{un} \underline{groupe réductif} […] \underline{spécialise en un réductif}chiffres entourés

(4) On regarde un tore maximal \(T_0\) de \(G_0\), on prolonge les \({}_nT\) […] […] \(H(n)\) […] […] sous-groupes compatibles […] […] […] […] \(G_1\) \[ H(n)_1/R_1 \cap H(n)_1 , \quad \ldots \] \[ r_0 = \rho_{\mathrm{ss}}(G_0) \leqslant \dim T_0/T_0 \cap R_0 \] […] de « \(n\)-rang » \(\geqslant \dim T_0/T_0 \cap R_0 \geqslant r_0\). […] […] […] \(n\)-rang \(\leqslant \rho'_{\mathrm{ss}}\), d'où \(\rho'_{\mathrm{ss}} \geqslant \rho_{\mathrm{ss}} \ldots\)« \(\leqslant \dim T_0/T_0\cap R_0\) » est en interligne, relié par une accolade à « \(r_0 = \rho_{\mathrm{ss}}(G_0)\) »

dans la marge gauche, en regard de (4) : \[ \begin{array}{cc} G & G_1 \\ \cup & \cup \\ \overline{R}_1 = R & R_1 \end{array} \qquad G_0/R_0 \]