Cote n° 27 · batch 2 · pages 21–36 · Transcription · SGA D [SGA 3]. Compléments XII à XVII : tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1962-1970]
Édition de démonstration

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encre bleue ; suite, semble-t-il, des notes sur les algèbres de Lie des pages 17 à 19 ; les numéros de conditions renvoient à la liste de la page 22

Remarques 1) Même si \(\psi\) est […] ⌜birationnel⌝, et \(\mathfrak{h}\) provient d'un sous-groupe \(H\) de \(G\) lisse sur \(k\), […] la condition (ix) n'est pas néc. vérifiée.« Même si » est écrit « M̄ si », ici et en 2) ; « birationnel », souligné, est en interligne au-dessus d'un mot biffé, peut-être « étale »

Exemple \(G = \mathrm{Sl}(2,k)\), \(k\) car. \(2\), alors \(\mathfrak{g}\) est nilpotente, donc la ⌜seule⌝ sous-algèbre de Cartan […] est \(\mathfrak{g}\) elle-même. Soit \(B\) Borel, alors \(\mathfrak{L}\) \(\mathfrak{h} = \mathrm{Lie}(B)\), on sait que \[ \bigcup_{g \in G(k)} \mathrm{ad}(g)\, \mathfrak{L} = \mathfrak{g} \] et […], donc […] donc \(\psi\) dominant. D'ailleurs \[ \mathfrak{u} = \mathfrak{g}, \quad B \subset N \neq G, \quad \text{donc} \quad \dim N = \dim B = \mathrm{rang}\, \mathfrak{h}, \] donc \(\dim X = \dim G\), D'ailleurs […] […] ⌜donc \(\psi\) gén. qu.-fini⌝.

avec que \(\mathfrak{u} = \mathfrak{e}_{\mathfrak{h}}\), \(\mathfrak{u} = \mathfrak{m}_a = \mathfrak{g}\) (car \(\mathfrak{u} \subset \mathfrak{m}_a\))

D'ailleurs, […] […] plus […] […] donc \(\varphi\) lisse en tout point […], \(\psi\) étale en tout pointdeux lignes barrées et couvertes d'une ligne ondulée ; à droite, un encadré entièrement raturé où se lisent encore \(N = M_a\), \(G/N\), \(B \subset G\) et deux points marqués \(a\), \(b\)

… ici que \(\psi\) est birationnel. […] […] \(B \cap B\)

2) Même si \(\psi\) birationnel ⌜dominant⌝ et \(\mathfrak{h} = \mathfrak{u}\), la condition (x) n'est pas néc. vérifiée. Prenons \(G = \mathrm{Pl}(2,k)\), \(k\) car. \(2\), \(\mathfrak{g}\) a une base \(X, Y, H\), \[ [X, Y] = 2H = 0, \qquad [H, X] = X, \qquad [H, Y] = Y. \] suite à la page 23

encadré à gauche, sous un trait horizontal fléché : N.B. \(\varphi\) lisse en \((e, a)\) \[ \Updownarrow \] \(\mathrm{ad}(a)_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}\) injectif, i.e. \[ [x, a] \in \mathfrak{h} \Rightarrow x \in \mathfrak{h}, \qquad \mathfrak{m}_a = \mathfrak{h} \] \[ \Downarrow \] \[ \mathfrak{h} = \mathfrak{u} \]

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page écrite tête-bêche par rapport au scan, lue retournée ; tout le corps est annulé par deux longues diagonales, et se lit néanmoins. Dans la marge gauche, une accolade réunit (i)-(iii), des flèches doubles verticales relient les conditions (v)-(ix), une accolade (ix)-(xi), et un long trait courbe remonte de (xi) vers (iii)

\(\mathfrak{h} \subset \mathfrak{u} \subset \mathfrak{m}_a\)en haut à droite, souligné d'un trait fléché

un point noir en marge droite en regard de (iv), (vii), (viii), (x), (xi)

\(\mathfrak{h}\) […] minimale parmi les \(k\)-algèbres de Lie qui […] :

« densité » est écrit au-dessus de la fin de a) et sous celle de b), où il reprend un mot non lu (« dis… tion ») ; « th. de … » est souligné d'un long trait

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suite de l'exemple 2) de la page 21

La sous-algèbre de Cartan est \(\mathfrak{d} = \mathfrak{t} = kH\). Ici, tout sous-espace de la forme vectoriel de \(\mathfrak{g}\) contenant \(\mathfrak{t} = kH\) […] […] […] ⌜est une sous-algèbre⌝. […] […] […] \(=\) Cartan

Mais prenons \[ \mathfrak{h} = kH + k(\lambda X + \mu Y), \] si \(\mathfrak{h}\) était […] le normalisateur ⌜\(N/e\)⌝ de \(\mathfrak{h}\) étant de dim \(2\), (donc \(\mathfrak{h} = \mathrm{Lie}(H)\)) il contiendrait \(T'\) i.e. lisse) donc dans \(H\) contiendrait un tore maximal \(T'\) […] […] […] […] serait résoluble, donc un […] […] le Borel sous-groupe de Borel, or les seuls sous-groupes (T est un C-sous-groupe) […] \(\mathfrak{h} \supset \mathfrak{t}\) […] Borel […] […] \(B\), et tel que \(\mathfrak{h} = kH + kX\) […] […] \(B = \mathrm{Norm}\ldots\) impliquerait \(H \supset T\),lignes très raturées ; un encadré barré d'une ondulation à gauche

donc […] il n'y a que deux Borels contenant \(T\), […] donc si \(\lambda, \mu \neq 0\), on voit que \(\mathfrak{h}\) n'est pas algèbre de Lie d'un sous-groupe lisse de \(G\) …

3)

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Exemple d'un groupe lisse résoluble ⌜connexe⌝ \(G\) sur \(\mathbb{F}_p\), ⌜[…] […] […]⌝interligne entouré, en haut à droite, en partie biffé dont l'algèbre de Lie n'a pas d'élément régulier. \(\mathfrak{t} = \mathbb{F}_p^2\).

Soit \((\alpha_i)_{i \in I}\) une famille ⌜finie⌝ de formes ⌜lin. \(\neq 0\)⌝ sur […] \(\mathbb{F}_p^2\) telles que \[ \bigcup \mathrm{Ker}\, \alpha_i = \mathbb{F}_p^2 . \] le second membre a été récrit plusieurs fois ; la lecture \(\mathbb{F}_p^2\) est celle de la dernière couche (On peut […] […] […] \(p+1\) formes non nulles, et \(\bigcap \mathrm{Ker}\, \alpha_i = 0\)). Soient« Soient », souligné, en fin de ligne ; la suite de la phrase se lit mal les \(\alpha_i\) […] les caractères infinitésimaux associés : des hom. \[ \chi_i : T = \mathbf{G}_m^2 \longrightarrow \mathbf{G}_m \] qui […] […] […] […] […] […] \[ G = T \cdot U \struck{\mathbf{G}_a^{I}}, \qquad U = \mathbf{G}_a^{I} \] avec \(T\) opérant sur \(\mathbf{G}_a^{I}\) par les \(\chi_i\).

Alors \(T\) opère sur \(\mathfrak{g}/\mathfrak{t}\) par les caractères \(\chi_i\), on peut montrer que \(T\) est un Cartan i.e. […] […] unipotente de \(G\) est nulle. Le centre de \(G\) est donc égal au centre réductif, donc égal au noyau de \(T \to \mathrm{GL}(\mathfrak{g})\) ; qui est nul, […] […] Enfin, un […] élément de \(\mathfrak{t}\) […] […] étant dans \(\bigcup \mathrm{Ker}\, \alpha_i\), ne peut être régulier. Or tout tore maximal de \(G\) est conjugué de \(T\) [par un élément unique de \(U(\mathbb{F}_p)\)] donc […] tout \(\mathfrak{g}\) n'a pas d'élément régulier [car il serait conjugué d'un élément de \(\mathfrak{t}\)].

[…] \(T\) est […] un sous-groupe de type (C), i.e. […] […] […] sous-algèbre de Cartannote écrite de biais dans la marge gauche, en regard de « Le centre de \(G\) … »

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Soit

Cas d'un schéma en groupes ⌜séparé⌝ étale de t.f. sur \(S\) dont le centre n'est pas représentable (\(S =\) spectre d'un anneau de valuation discrète \(A\) \(A\)).

On part d'un groupe ensembliste \(E\), de centre trivial, et d'un sous-groupe commutatif […] \(F\) non […] ⌜trivial⌝ (p.ex. le groupe engendré par un élément \(s \neq e\) de \(E\)). Soit \(\mathcal{F}\) \(G\) le sous-groupe ouvert de \(E_S\) obtenu en enlevant de la fibre spéciale \(E_k\) de \(E_S\) le fermé \(E_k - F_k\). Donc \[ G_0 = F_k, \qquad G_1 = E_K . \] Alors le foncteur \(\mathrm{Cent}(G)\) n'est pas représentable, car il ne commute pas à la limite projective adique des \(A_n = A/\mathfrak{m}^{n+1}\), on a donc \[ Z(\hat{A}) = \{e\}, \qquad \varprojlim Z(A_n) = F . \]

N.B. Si \(G\) est ⌜plat⌝ de présentation finie sur \(S\), à fibres connexes alors \(Z\) est représentable ……

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la page est barrée de trois longs traits obliques

Contrexemple ! Soit \(g\) une section de \(\mathfrak{g}\)la première lettre a la forme d'un \(S\) ; c'est l'élément que les deux alinéas appellent \(g\). « Contrexemple ! », souligné, n'est traversé que par les traits qui annulent la page

Contrexemplemot souligné, repassé puis biffé ; le reste de la page est vide

Théorème de ½ continuité

titre de sa main, souligné, en haut à droite du feuillet de garde (page 27), qui ne porte rien d'autre ; le « ½ » est écrit en petite fraction, pour « semi- ». Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

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\(G\) lisse connexe sur le corps alg. clos. \[ e \longrightarrow H \longrightarrow G \longrightarrow A \longrightarrow e \] sous \(H\) : « groupe affine lisse connexe » ; sous \(A\) : « abélienne »

\[ \rho_{\mathrm{ab}}(G) = \dim A \qquad \rho_{\mathrm{aff}}(G) = \dim H \] le premier indice se lit aussi « as » \[ \rho_{\mathrm{r}}(G) = \rho_{\mathrm{r}}(H) = \text{dim tores maximaux} \] \[ \rho_{\mathrm{s}}(G) = \rho_{\mathrm{s}}(H) = \rho_{\mathrm{r}}(H/\mathrm{rad}(H)) \] avant \(\rho_{\mathrm{r}}\), deux signes biffés, le second « dim » \[ d_{\mathrm{s}}(G) = d_{\mathrm{s}}(H) = \dim(H/\mathrm{rad}(H)), \] \[ \rho_{\mathrm{n}}(G) = \rho_{\mathrm{u}}(V) + \rho_{\mathrm{ab}}(G) = \text{dimension des Cartan} \] \[ \rho_{\mathrm{na}}(G) = \rho_{\mathrm{u}}(V) \] \[ \rho_{\mathrm{u}}(G) = \rho_{\mathrm{u}}(V) = \rho_{\mathrm{na}}(G) - \rho_{\mathrm{r}}(H) \]

à droite, une accolade : \[ \left\{ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{rs}}(G) = \rho_{\mathrm{rs}}(H) = \rho_{\mathrm{r}}(H/\mathrm{rad}(H)) \\[2pt] \rho_{\mathrm{rad}}(G) = \rho_{\mathrm{r}}(\mathrm{rad}(H)) \end{array} \right. \] entre les deux lignes, une ligne biffée « \(\rho_{\mathrm{rad}}(G) = \rho_{\mathrm{rad}}(H) = \ldots\) » ; dans la dernière ligne, \(\rho_{\mathrm{r}}(\mathrm{rad}(H))\) est écrit au-dessus d'un \(\rho_{\mathrm{r}}\) ; lecture d'ensemble douteuse

[…], \(\underline{\rho_{\mathrm{ab}}}\), \(\rho_{\mathrm{r}}\), \(\rho_{\mathrm{s}}\), \(\rho_{\mathrm{na}}\), \(\rho_{\mathrm{ss}}\), \(\rho_{\mathrm{rad}}\)\(\rho_{\mathrm{r}}\) … \(\rho_{\mathrm{na}}\) et \(\rho_{\mathrm{ss}}\), \(\rho_{\mathrm{rad}}\) sont enfermés dans deux cadres \(\dim G = \rho_{\mathrm{aff}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{rad}} + \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{ab}}\)

\(\underline{\rho_{\mathrm{aff}}}\), \(\rho_{\mathrm{rad}}\)

\[ \rho_{\mathrm{na}} = \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{u}} \] \[ \rho_{\mathrm{n}} = \rho_{\mathrm{na}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{u}} + \rho_{\mathrm{ab}} \]

\(\rho_{\mathrm{s}} \geqslant \rho_{\mathrm{rs}}\) \(\rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{rs}} + \rho_{\mathrm{rr}}\) \[ \left\{ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{aff}} = \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}} \\ \dim G = \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{aff}} = \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}} \end{array} \right. \]

\(\rho_{\mathrm{r}}, \rho_{\mathrm{u}}, \rho_{\mathrm{ab}}, \rho_{\mathrm{na}}, \rho_{\mathrm{n}}\) sont les mêmes pour \(G\) et pour un ss-groupe contenant un Cartan …un trait vertical dans la marge embrasse ces deux lignes

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feuille de calculs épars, sans ordre ; la moitié supérieure est traversée de grands traits obliques qui semblent délimiter des zones plutôt qu'annuler. On transcrit de haut en bas

\[ {}_n A_0 \qquad T_0 \subset C_0 \qquad T_0 \subset \underbrace{C_0^{H}}_{\text{\scriptsize V.A}} \subset C_0 \] le \(C_0^{H}\) porte un petit \(\circ\) en indice ; « V.A » sous l'accolade \[ (x u) \qquad x^{n} = 1 \qquad (xu)^{n} = \,?? \] \[ H^2(\ , T_0) \simeq H^2(\ , {}_\infty T_0) = H^2(\ , \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \] \[ G - \qquad \rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}} \] \[ \begin{array}{c} \rho_{\mathrm{ab}} + \ldots \\ \vee\!| \\ \rho'_{\mathrm{ab}} \end{array} \qquad \frac{G_1}{Z_1} = Z \qquad \rho_{\mathrm{ab}}(Z_0) \leqslant \rho_{\mathrm{ab}}(Z_1) = \rho_{\mathrm{ab}}(G_1) \] à gauche, le « \(+\,\ldots\) » après \(\rho_{\mathrm{ab}}\) est raturé \[ \rho_{\mathrm{ab}} + 2\rho_{\mathrm{r}} \qquad \rho_{\mathrm{a}} + \qquad \rho_{\mathrm{ab}} + \qquad \rho_{\mathrm{rig}}. \] deux traits verticaux sous « \(G -\) » ; un long trait horizontal sépare la moitié supérieure

suit un tableau d'accolades, qu'on rend ainsi : sous \(\rho_{\mathrm{naff}}\) s'accolent \(\rho_{\mathrm{rs}}\), \(\rho_{\mathrm{u}}\), \(\rho_{\mathrm{ab}}\), et sous eux \(\rho_{\mathrm{n}}\) ; sous \(d\) s'accolent \(d_{\mathrm{ss}}\) et \(d_{\mathrm{radaff}}\), puis \(d_{\mathrm{rad}}\) et \(d_{\mathrm{aff}}\) ; à gauche \(\rho_{\mathrm{ss}}\) \(\rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}}\, \rho_{\mathrm{r.radaff}}\) \[ d_{\mathrm{radaff}} \geqslant \rho_{\mathrm{u}} + \tilde\rho_{\mathrm{r}} \] \[ \rho_{\mathrm{ab}} + d_{\mathrm{ss}} + \underbrace{(\rho_{\mathrm{r}} - \rho_{\mathrm{ss}})}_{\rho_{\mathrm{r\,radaff}}} \qquad \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}} + (d_{\mathrm{ss}} - \rho_{\mathrm{ss}}) \] les deux expressions sont enfermées dans un cadre arrondi

à droite, deux colonnes numérotées, les nombres entourés ; la première réunie par une accolade, la seconde par une autre \[ \begin{array}{ll} (1)\ \rho_{\mathrm{ab}} & (5)\ \rho_{\mathrm{n}} \\ (2)\ \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{rig}} & (6)\ \rho_{\mathrm{u}} \\ (3)\ \rho_{\mathrm{ss}} & (7)\ \rho_{\mathrm{naff}} \\ (4)\ d_{\mathrm{ss}} & (8)\ d_{\mathrm{aff}} \\ & (9)\ d_{\mathrm{rad}} \\ & (10)\ d_{\mathrm{radaff}} \end{array} \] \[ \begin{array}{l} (2) + (5) \Longrightarrow (6) \\ (1) + (5) \Longrightarrow (7) \\ (1) \Longleftrightarrow (8) \\ (3) \Longleftrightarrow (9) \\ (1) + (3) \Longrightarrow (10) \end{array} \] le premier chiffre de la première ligne est surchargé (un 2 sur un autre chiffre)

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Th Soit \(G\) un préschéma en groupes ⌜lisse⌝ séparé de présentation finie sur \(S\). Alors

un trait vertical dans la marge gauche embrasse l'énoncé

On se ramène comme d'habitude au cas où \(S\) affine noeth., spectre d'un anneau de valuation discrète, pt fermé \(s_0\), pt générique \(s_1\), et à prouver les inégalités \[ \left\{ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{aff}} \geqslant \rho'_{\mathrm{aff}} \qquad d \geqslant d' \\[2pt] (5)\ \rho_{\mathrm{n}} \geqslant \rho'_{\mathrm{n}}, \quad (6)\ \rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}, \quad (7)\ \rho_{\mathrm{na}} \geqslant \rho'_{\mathrm{na}} \\[4pt] (1)\ \rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}}, \quad (2)\ \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}} + \rho'_{\mathrm{r}}, \quad (3)\ \rho_{\mathrm{s}} \leqslant \rho'_{\mathrm{s}} \end{array} \right. \] numéros entourés ; le (5) et le (6) sont surchargés (des numéros antérieurs corrigés), le (7) aussi ; « \(\rho_{\mathrm{aff}} \geqslant \rho'_{\mathrm{aff}}\) » est biffé en fin de la deuxième ligne et reporté, entouré, en tête de la première, avec « \(d \geqslant d'\) »

[…] ⌜[…]⌝ deuxun mot en interligne, au-dessus d'un mot biffé premières sans réserve de platitude. Ce sont des pour un groupe algébrique sur un corps alg. clos \(k\) des quantités invariantes en changeant \(G\) en \(G_{\mathrm{réd}}^{\circ}\), et de plus pour \(\rho_{\mathrm{aff}}\) et \(d\), c'est une fonction croissante du groupe. Donc […] nous pouvons [quitte à remplacer \(G\) par \(\overline{G_1^{\circ}}\)] ⌜de supposer⌝ et \(G_1\) […] en tous cas \(G\) plat sur \(S\), et de plus

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(quitte à faire une extension finie de \(S\) et remplacer \(G\) par \(\overline{G_{1\,\mathrm{réd}}^{\circ}}\) ] que \(G_1\) est ⌜connexe et⌝ lisse\(/k(s_1)\), enfin [quitte à remplacer \(G\) par \(G^{\circ}\) composante neutre de \(G_0\)] que \(G_0\) est également connexe [mais peut-être pas lisse]. le « [ » ouvrant du premier crochet est à la fin de la page 31

a) L'inégalité \(d \geqslant d'\) bien connue, mise pour mémoire, elle se réduit ici (en effet) à l'égalité \(d = d'\). L'inégalité \(\rho_{\mathrm{aff}} \geqslant \rho'_{\mathrm{aff}}\) équivaut donc à \(\rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}}\) [car \(\rho_{\mathrm{aff}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho'_{\mathrm{aff}} + \rho'_{\mathrm{ab}} = d\)], que nous allons traiter plus bas.

b) Considérons On peut supposer que \(G_0\) admet un tore maximal splitté \(T_0\) (car on peut supposer \(k(s_0)\) alg. clos]. Les \({}_nT_0\) Soit \(C_0\) le Cartan associé. Pour tt \(n\) premier on peut prolonger l' premier à la car. résiduelle.

\(G\) lisse\(/S\)

Alors pour les puissances de \(\ell\) et \(n\), à la caractéristique résiduelle, considérons \({}_nC_0 = \mathrm{Ker}\,[\,n^{\text{ième}} \text{ des } C_0\,]\). Comme \(C_0/T_0 = M_0\) estla ligne « \({}_nC_0 = \ldots\) » est barrée d'un long trait qui descend vers la droite ; « \(= M_0\) » est écrit sur un mot raturé une extension d'une V.A. \(A_0\) par un groupe unipotent ⌜lisse⌝ connexe \(U_0\), on voit que les extensions correspondantes de \({}_nA_0\) par \(U_0\) splittent canoniquement, donc […] ⌜l'image⌝ […] des extensions […] \({}_nU_0\), d'oùles dernières lignes sont traversées de trois courbes obliques qui semblent les annuler

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\({}_nT_0\), on peut le prolonger en un sous-groupe ⌜fini⌝ étale \(H(n)\) de \(G\), tel que \(H(m) = {}_mH(n)\) si \(m \mid n\). La famille des sous-groupes fermés lisses \(\underline{\mathrm{Cent}}\, H(n)\) de \(G\) est stationnaire, sa valeur limite \(C\) est telle que \[ D_0 = \mathrm{Cent}_{G_0}(T_0) = C_0 . \] \(G\) lisse\(/k\) De plus, on voit que \(C_1\) a même rang réductif et nilpotent que \(G_1\) [i.e. […] \(C_{\bar s_1}\) contient un Cartan de \(G_{\bar s_1}\)] : c'est un lemme à vérifier« c'est un lemme à vérifier » souligné d'une ligne ondulée.

\(\ast\) Il s'ensuit que \(\rho_{\mathrm{n}}(G_1) = \rho_{\mathrm{n}}(C_1)\), \(\rho_{\mathrm{r}}(G_1) = \rho_{\mathrm{r}}(C_1)\) \(\rho_{\mathrm{r}}, \rho_{\mathrm{u}}, \rho_{\mathrm{ab}}, \rho_{\mathrm{n}}, \rho_{\mathrm{na}}\) sont les mêmes pour \(G_1\) et \(C_1\) \[ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{u}}(G_1) = \rho_{\mathrm{u}}(C_1) \\ \rho_{\mathrm{ab}}(G_1) = \rho_{\mathrm{ab}}(C_1) \\ \rho_{\mathrm{r}}(G_1) = \rho_{\mathrm{r}}(C_1) \end{array} \] au-dessus, une première ligne biffée identique à la suivante ; les quatre lignes sont encadrées et traversées de deux traits obliques et sont aussi les mêmes pour \(C_0\) et \(G_0\), donc pour la formule 1) ⌜5)⌝, on est ramené au cas où \[ G = C, \] i.e. \(G_0\) […] nilpotent. Alors la relation \[ \boxed{\rho_{\mathrm{n}} \geqslant \rho'_{\mathrm{n}}} \] triviale, car \(\rho_{\mathrm{n}} = d = d'\).

Lemme \(C\) groupe nilpotent connexe lisse sur corps alg. clos \(k\). Alors \[ \overbrace{C/\underline{\mathrm{Centr}}(C)^{\circ}_{\mathrm{réd}}}^{Z} \] est unipotent. Pour tout \(H\) groupe de type multiplicatif \(H\), \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr}}(H, C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr}}(H, Z). \] En particulier, pour \(n\) premier […] : […] […] \({}_nC \simeq {}_nZ\) […] […] […] […] de \(C\), […]

pour […] […] alg. closécrit de biais dans la marge gauche, en bas

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Corollaire Soit \(G\) lisse sur \(S\), et supposons que On sait qu'un tel ss-groupe […] \(S\)

Appliquons ceci au cas où \(C = G_0\), alors si \(S\) est […] str. local, les \({}_nC\) se prolongent de façon unique en des sous-groupes \(H(n)\) […] étales finis de \(G\), nécessairement centraux, et \[ {}_mH(n) = H(m) \quad \text{si } m \mid n . \]

Notons que \(\rho_{\mathrm{ab}}\) et \(\rho_{\mathrm{r}}\), donc \(\rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}} = \rho_{\mathrm{rig}}\) sont fonctions croissantes d'un groupe lisse alg. ⌜[qu'on peut supposer lisse\(/k(s_1)\) !]⌝

Soit \(K\) […] l'adhérence de ⌜la limite des \(H(n)_1\)⌝, et \(\overline{K}_1 = K_{1}^{\circ}\), alors […] […] \[ \begin{array}{l} \rho_{\mathrm{ab}}(K_1) \leqslant \rho_{\mathrm{ab}}(G_1) = \rho'_{\mathrm{ab}} \\ \rho_{\mathrm{rig}}(K_1) \leqslant \rho_{\mathrm{rig}}(G_1) = \rho'_{\mathrm{rig}}. \end{array} \] Donc pour prouver (1) et (2), on est ramené à prouver la même chose pour \(K\) remplaçant \(G\). \(=\) Ceci puisque⌜ \(K_0 \supset H(n)_0 = {}_nG_0\)⌝, on voit facilement ([…] …),une flèche courbe, dans la marge gauche, relie « D'autre part » à « Donc pour prouver »

D'autre part, on a \[ \rho_{\mathrm{ab}}(G_0) = \rho_{\mathrm{ab}}(K_0), \qquad \rho_{\mathrm{r}}(G_0) = \rho_{\mathrm{r}}(K_0) \]

On a perdu la limite de \(G\), mais on a gagné la commutativité, qui implique d'ailleurs \(\rho_{\mathrm{n}} = \struck{\ill{}}\, \rho'_{\mathrm{n}} = d\). L'inégalité (2) équivaut alors à l'inégalité (6), donc ⌜et⌝ (1) à (7) et (8).« (1) à (7) et (8) » : chiffres entourés, sous la ligne

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est ramené à prouver \(\rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}\), ⌜puis \(d_{\mathrm{aff}} \geqslant d'_{\mathrm{aff}}\)⌝interligne relié par une accolade ; la première lettre est écrite sur une autre Remplaçant \(G\) par l'adhérence de \(G_1\) unipot. [qui est bien défini\(/k(s_1)\)] on est ramené ⌜pour \(\rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}\)⌝ à prouver que si \(G_1\) est unipotent, il en est de même de \(G_0\).

[sans restriction de limitation]en marge gauche, en regard ; la même note revient plus bas

Facile pour les points d'ordre fini.

Pour la deuxième assertion, on est ramené à prouver que si \(G_1\) est affine, \(G_0\) est affine.

[sans restriction de limitation]

On est ramené au cas où \(S\) […] ⌜\(S\) est semi-local \(\dim S = 1\)⌝, sur le \(\mathbb{Z}\), […] schéma ⌜intègre⌝ de type fini sur, (à priori …). Considérons \(G\) et la partie […] co pt fermé \(s_1\) […] on peut supposer le tore maximal de \(G_1\) est splitté. Donc on trouve où \(k(s_0)\) est fini. Passant à la clôture hensélienne (mais pas strictement hensélienne !) en \(s_0\), d'où un \(\tilde S\), \(\tilde G\) sur \(\tilde S\), les \({}_n\tilde G\) soit \(\ell\) distinct de la caractéristique résiduelle, \(n\) une puissance de \(\ell\), \({}_n\tilde G\) […] une partie […] […] sur \(\tilde S\), soit \(\tilde H(n)\).

Redessiné (#73), non vérifié par un humaindans la marge gauche, un croquis : une flèche descendant vers « \(S\) », un angle droit marqué d'un point, et un segment portant un point

Alors \(\pi_1(\tilde S) = \pi_1(s_0) \simeq \mathbb{Z}\) opère sur \(H(n)_{\bar s_0} = M_n\), d'où par passage à la limite des opérations de \(\mathbb{Z}\) sur \[ \varprojlim M_n = M \simeq \mathbb{Z}_\ell^{\,2\rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}}}. \] D'autre part, […] […], donc comme \[ M_\infty \simeq \varprojlim H(n)_{\bar s_1} \] un \(H(n)\) entouré, au-dessus d'un indice raturé [[…] opération déterminée mod une opération de \(\pi_1(\tilde S)\) sur \(M_\infty\)] d'où \[ M_\infty \subset \varprojlim_n ({}_nG)_{\bar s_1} = \] donc

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\[ \varprojlim ({}_nT)_{\bar s_1} \simeq ({}_n\mathbf{G}_m)^{r}_{\bar s_1}, \] donc les opérations de \(\pi_1(\tilde S, \bar s_0)\) sur \(M_\infty\) se font par l'intermédiaire du « caractère cyclotomique » l'opération sur les racines de l'unité. Or si on a \(\rho_{\mathrm{ab}} \neq 0\), alors les opérations du groupe de Galois \[ \pi_1(\tilde S, \bar s_0) = \pi_1(s_0, \bar s_0) \] ne se font pas par l'intermédiaire exclusif de ce caractère […]. On est ramené à un énoncé sur une V.A. sur un corps \(\mathfrak{k}\) de type fini […] mais ici suffisant …]le « [ » ouvrant manque sur la page

un trait horizontal sépare la suite

[…] […] […] …écrit de biais dans la marge gauche, devant un trait vertical qui embrasse les lignes suivantes

Restent à prouver (3) et (9).

\[ (3) \Longleftrightarrow (9), \] et […] résultat […] que groupe réductif se spécialise en un réductifchiffres entourés

(4) On regarde un tore maximal \(T_0\) de \(G_0\), on prolonge les \({}_nT\) en des \(H(n)\) de sous-groupes compatibles […] […] […] \(G_1\) \[ r_0 = \rho_{\mathrm{ss}}(G_0) \leqslant \dim T_0/T_0 \cap R_0 \] « \(\leqslant \dim T_0/T_0\cap R_0\) » est en interligne, relié par une accolade à « \(r_0 = \rho_{\mathrm{ss}}(G_0)\) » que les \(H(n)_1/R_1 \cap H(n)_1\) sont de « \(n\)-rang » \(\geqslant \dim T_0/T_0 \cap R_0 \geqslant r_0\). Ils sont […] de \(n\)-rang \(\leqslant \rho'_{\mathrm{ss}}\), d'où \(\rho'_{\mathrm{ss}} \geqslant \rho_{\mathrm{ss}} \ldots\)

dans la marge gauche, en regard de (4) : \[ \begin{array}{cc} G & G_1 \\ \cup & \cup \\ \overline{R}_1 = R & R_1 \end{array} \qquad G_0/R_0 \]