Fonds Grothendieck, cote n° 27, pages 1–20

Divers pour XII à XIV

inscrit au crayon en haut à droite du feuillet de garde (page 1), qui ne porte rien d'autre ; les deux chiffres romains sont soulignés. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Co Exp XIIIau crayon, en haut à droite, « XIII » souligné, à gauche du numéro tapé 6

feuillet de tapuscrit paginé 6, repris à la main. Le texte tapé est publié : on en donne la teneur et ses interventions, sans le recomposer. Il porte l'énoncé de la Proposition 1.3 — avec les notations précédentes, G, V, W géométriquement irréductibles et l'inégalité (2) valable, les conditions (i) \mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a et N lisse sur k ; (ii) \mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a et \dim X = \dim V (cf. lemme 1.2) ; (iii), (iii bis), (iii ter) \mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a et \psi : X \to V génériquement quasi-fini, resp. non ramifié, resp. étale ; (iv), (iv bis) \psi non ramifié, resp. étale, en (e^{*}, a) ; (v) \psi lisse en (e^{*}, a), N lisse sur k et (2) une égalité ; (vi) M_a et N coïncidant au voisinage de e — la chaîne d'implications (3), et le début de la démonstration par le lemme 1.1 et 1.2. Les lettres gothiques \mathfrak{n}, \mathfrak{m}_a, les \psi et toutes les flèches d'implication sont portées à la main dans les blancs de la frappe

première ligne : « Avec les notations précédentes, supposons ~~encore~~ » — la désinence « ons » à l'encre sur la frappe ; l'ajout tapé en interligne « et G, V, W géométriquement irréductibles. » est relié au texte par un trait d'encre et une virgule, et le « c » de « considérons » est surchargé en capitale ; dans (v), « égalité. » écrit à la main au début de la ligne suivante, suivi d'un mot manuscrit biffé, ; (3) en marge gauche de la chaîne d'implications, qu'il écrit à l'encre : (\mathrm{v}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv\ bis}) \Rightarrow (\mathrm{iii\ ter}) \Rightarrow (\mathrm{i}) \Leftrightarrow (\mathrm{ii}) \Leftrightarrow (\mathrm{iii}) \Leftrightarrow (\mathrm{iii\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv}) \Leftrightarrow (\mathrm{vi}) ; « {}\Leftrightarrow (\mathrm{iii\ bis}) \Leftrightarrow{} » est ajouté en interligne au-dessus, entre (iii) et (iv), avec une accolade ; un crochet enserre « (v) » ; le « bis » tapé de (iii ter) est surchargé en « ter » ; la suite : « si V est ~~lisse sur k et W géométriquement~~ génériquement réduit, on a (iii ter) \Leftrightarrow (i), si ~~de plus~~ enfin V est ~~géométriquement~~ normal en a toutes les conditions envisagées sont équivalentes. » — « génériquement », « enfin » et « en a » de sa main en interligne, « ter » et « (i) » surchargés à l'encre ; dans la démonstration, « (i) \Rightarrow (iv) \Leftrightarrow (vi) », le dernier chiffre corrigé à l'encre ; « (iv) implique ~~(iii bis)~~ que \psi est génériquement non ramifié » ; « donc », « \geqslant », « \leqslant », « on a » et une virgule après « 1.2. » portés ou repassés à l'encre.

feuillet paginé 7. Fin de la démonstration de la proposition 1.3 : (iv bis) implique \mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a et équivaut à (v) ; si V est génériquement réduit, (iii bis) \Rightarrow (iii ter) ; si V est normal en a, (iv) \Rightarrow (iv bis) par SGA I 9.5 (ii). Puis le Corollaire 1.4 (\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a, V normal en a : \phi est lisse en (e, a), donc M_a est lisse sur k en e et \psi lisse en (e^{*}, a)) et le début de sa démonstration par la suite d'inégalités \dim V + \mathrm{rang}\, \mathfrak{n} \leqslant \dim(G \times W) \leqslant \dim_{(e,a)} \phi^{-1}(a) + \dim V \leqslant \dim \mathfrak{m}_a + \dim V, la théorie de la dimension et un théorème de Chevalley. Mêmes lettres et flèches portées à la main

« Si V est ~~réduit (ou seulement~~ génériquement réduit, » — la virgule à l'encre ; l'interligne tapé « comme » est pris dans la phrase ; « et non seulement non ramifié » : l'interligne tapé « non » relié par un signe d'insertion à l'encre ; un mot tapé biffé à l'encre après « en (e^{*}, a), » ; Corollaire 1.4 : après « \mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a, » l'ajout tapé en interligne « V normal en a. » est tiré dans la ligne par une accolade d'encre ; un signe biffé avant « donc » ; le « rang » repassé, le dernier « V » de la suite d'inégalités et « provient » surchargés à l'encre ; retouches d'une lettre (« Corollaire », « rédiduel », « générique ») qu'on ne relève pas une à une.

eà l'encre, dans la marge gauche, en regard de la première ligne

feuillet paginé 8. Fin de la démonstration de 1.4 (troisième inégalité par l'isomorphisme \phi^{-1}(a) \simeq M_a, lissité de \phi par un théorème de EGA IV) ; remarque que la démonstration invoque des résultats délicats mais n'est pas utilisée ensuite ; puis l'énoncé du Corollaire 1.5, indépendant du choix de a : conditions (i), (i bis), (i ter) (\psi génériquement non ramifié, étale, lisse avec N lisse et (2) une égalité), (ii) à (iv) (il existe a \in W(k) tel que …), et les implications (ii) \Leftrightarrow (iii) \Leftrightarrow (iv) \Rightarrow (i) \Leftrightarrow (i bis) \Leftrightarrow (i ter), toutes équivalentes si k est algébriquement clos. Lettres gothiques, \psi, \in et flèches portés à la main

« c'est une égalité si et seulement si M_a est régulier en e i.e. lisse sur k en e i.e. \phi^{-1}(a) est lisse sur k en (e,a) » — « régulier en e i.e. » de sa main en interligne, relié par une accolade ; « Comme V est ~~réduit~~ normal donc réduit en e » ; les interlignes tapés « s'ensuit (par un » et « la » (« de la théorie des schémas ») sont reliés à l'encre ; « ~~sur~~ en (e,a) » ; « n'aurons » surchargé ; Corollaire 1.5 : « ~~Considérons les~~ et supposons V génériquement ~~réduit. Alors les …~~ séparable sur k. Considérons les conditions suivantes » — « séparable sur k. » de sa main en interligne ; (i) : un mot biffé avant \psi ; « (i ter) » surchargé sur « (i bis) » ; dans (ii) et (iii), les lettres gothiques portées à la main se lisent « \mathfrak{m} = \mathfrak{n}_a », dans l'ordre inverse de la page 2 ; on transcrit tel quelsic ?.

feuillet paginé 9. Démonstration du corollaire 1.5 (réduction au cas k algébriquement clos, \psi dominant, choix d'un point x \in X(k) où \psi est non ramifié et d'image régulière) ; puis l'énoncé du Corollaire 1.6 : pour que \psi soit birationnel, il faut et il suffit que les conditions de 1.5 soient satisfaites et qu'il existe un ouvert non vide U de V tel que tout a \in U(k) soit contenu dans un unique conjugué de W par un élément de G(k) ; et, pour a \in V(k), l'équivalence de (i) un unique conjugué de W contient a, (ii) l'ensemble de ces conjugués est fini non vide, (iii) le schéma \psi^{-1}(a) a un point isolé. \psi, \phi, \in et flèches portés à la main

« On aura x = \phi(g^{*}, a) » : le \phi à l'encre ; Corollaire 1.6 : « Soient G, V, W comme dans 1.3 » — le 3 surchargé à l'encre, un mot biffé ensuite — et, en interligne, « (V normal, k alg. clos.) », les quatre premiers mots de sa main devant l'interligne tapé « alg. clos. » ; « un élément de G(k) », la fin du mot à l'encre ; dans (iii), les guillemets « » autour de « des conjugués de W qui contiennent a » sont à l'encre.

feuillet paginé 10. Suite du corollaire 1.6 : si de plus W est réduit et si U est le plus grand ouvert de V au-dessus duquel \psi est un isomorphisme, les conditions équivalent aussi à (iv) a \in U(k) ; la démonstration par le Main Theorem de Zariski et la platitude de p : X \to G/N. Puis la Remarque 1.7 : sous 1.6, un point satisfaisant (i) à (iii) sera appelé point W-régulier de V ; sans k algébriquement clos, a est W-régulier si \phi^{-1}(a) est non vide et fini sur k(a) ; sous les conditions plus générales de 1.5, on introduit le degré de projection d de \psi et le plus grand ouvert U au-dessus duquel \psi est étale et fini. \psi et flèches portés à la main

« Lorsque de plus W est réduit » : l'interligne tapé « W est » tiré à l'encre ; deux traits de crayon dans la marge gauche, sous « (iv) a \in U(k) » ; « On notera que l'hypothèse que \psi est birationnel » ; « que W soit réduit ou non » ; « Theorem » surchargés à l'encre ; Remarque 1.7 : « point » et « W-régulier » soulignés à l'encre ; la phrase « Cette notion manifestement est stable par extension du corps de base k \to k', avec k' algébriquement clos. » est barrée d'un trait d'encre, que longe une ligne festonnée dont le sens n'est pas sûr ; « est non vide et fini sur k(a), » — interligne tapé relié à l'encre, virgule à l'encre, un mot manuscrit biffé ; « étale » et « fini » soulignés à l'encre ; « Lorsque V est normal (et X réduit (p.ex. W réduit)), alors un a \in V » — « et » de sa main devant l'interligne tapé, les parenthèses à l'encre ; « rationnel » surchargé.

Complément XII

titre de sa main, souligné, en tête de la page 8

6. Le tore central maximal. Relations avec groupe

Tores quotients d'un groupe algébrique

6.1. Définition en général Compatibilité avec extension de la base, descente, …

6.2. Existence lorsqu'il existe un centr. réductif, etc …les deux lignes de droite sont enfermées par un trait d'accolade qui les rattache à 6.1 et 6.2

6.3. ~~N.B. , des groupes algébriques~~ Cas d'un groupe algébrique : un maximal central [N.B. le groupe algébrique n'est affine …].

lisse affineencadré à droite, au-dessus de 6.4, relié par un trait à la ligne de 6.4

6.4. Soit G un groupe algébrique lisse sur un corps parfait, ~~alors~~ soit R son tore central maximal. Alors il existe un sous-groupe fini Z de R, tel que G_Z soit de R_Z et d'un H. De plus, H est tel que tout ce paragraphe est encadré et annulé par quatre longues diagonales et un trait sous sa dernière ligne ; l'indice de G_Z, R_Z se lit mal (peut-être G/Z, R/Z)

Th. 6.4 (Rosenlicht)nom entouré, au crayon, dans l'interligne au-dessus du théorème. X, Y géom. intègres sur un corps k, munis de pts a, b rationnels dans k. Soit \varphi : X \times Y \to \mathbf{G}_m \quad \text{tel que} \quad \varphi(x, y) = 1, la lettre devant « (x,y) = 1 » est surchargée et l'argument ne se lit pas sûrement alors \varphi est de la forme \varphi(x, y) = \varphi_1(x)\, \varphi_2(y) i.e. ~~\varphi_1(\varphi_2)~~ u(w) produisant morphismes X \to \mathbf{G}_m (Y \to \mathbf{G}_m).

~~On peut supposer que X, Y affines.~~

Equivalent : ceci :

Si u(x, b) = 1, u(a, y) = 1 identiquement, alors u(x, y) = 1 identiquement. Sous cette forme, on peut supposer k alg. clos. ~~Alors~~ ~~N.B.~~ ~~aussi~~ ~~implique X, Y~~ ; généralement : ~~u(x,y)~~ X \times Y \to \mathbf{G}_m de la forme …passage très raturé : plusieurs lignes biffées, un encadré, et une ligne en vague qui relie la phrase conservée à la ligne encadrée

On peut supposer X, Y affines, et une réduction immédiate nous ramène au cas où X, Y sont de dim 1.

Corollaire. Kif-kif, G remplacé par un groupe

Soit T un tore.encadré à droite

~~X \times Y \subset \overline{X} \times \overline{Y}~~

Corollaire. Tout morphisme ~~O(\overline{X} \times \overline{Y})~~ ~~d'un~~ u : G \to \mathbf{G}_m, ~~qui~~ G groupe lisse connexe, qui envoie e dans e, est un homomorphisme de groupes. « lisse connexe » souligné au crayon ; la ligne X \times Y \subset \overline{X} \times \overline{Y} et le O(\overline{X} \times \overline{Y}) sont barrés d'un long trait de crayon

~~Corollaire 3~~ ~~Proposition ? \mathrm{Hom}(G, \mathbf{G}_m)~~ \mathrm{Hom}_k(G, \mathbf{G}_m) ~~de type fini.~~ ~~Déf~~ groupe de type fini.

Proposition ? Il existe un [épimorphisme ]au-dessus, en interligne : « G algébrique » et « hom » G \longrightarrow H H de t.m., tel que H tout hom. de G dans un groupe de t.m. se factorise de façon unique par H.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] R \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & Z \arrow[d, hook] \\ T \arrow[r, hook] & G \arrow[d] \\ & \Gamma \end{tikzcd}

diagramme de la marge gauche : R \subset Z, T \subset G, les inclusions verticales, une flèche descendant de G vers une lettre lue \Gamma ; à droite de Z un griffonnage et une flèche descendante non lus

b) Lorsque k est parfait, la formation de H est compatible avec H extension de la base.

c) Lorsque G est connexe et lisse« et lisse » au crayon, en interligne, H est un tore.

\begin{tikzcd} G \arrow[r, "\text{épim}"] & H \\ G^{\circ}_{\mathrm{réd}} \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & H^{\circ} \arrow[u] \end{tikzcd}

G/G^{\circ}_{\mathrm{réd}} \to H/H^{\circ} le trait entre G et G^{\circ}_{\mathrm{réd}} porte une marque biffée

N.B. Si k est imparfait, même si G est connexe et lisse, la formation de H n'est en général pas compatible …

~~Corollaire~~ Proposition. G un groupe connexe sur k, R un ~~groupe de t.m.~~ tore. Alors les extensions de G par R qui splittent ~~H^{i}_{\mathrm{Hochschild}}(G, R) \simeq~~ principaux homogènes splittent.la ligne biffée porte, sous H, le mot « Hochschild »

0 \to C^{\cdot}(e, R) \to C^{\cdot}(H, R) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(H^{\cdot}, R) \to 0 H^{i}(\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(H^{\cdot}, R)) un E biffé devant \mathrm{Hom} ; les deux lignes sont fermées à droite par un crochet

En effet, d'ext. centrale cocycles , d'une extension de H par R, donc splitte.

XII

« XII », souligné, dans la marge gauche en tête de la page 11

Cor. 5.8. Supposons S normal noeth.. ~~Soit~~ irréductible.

Soit U un ouvert de S, tel que S - U de codim \geqslant 2. Alors tt ss-groupe de t.m. de G|U provient d'un unique ss-groupe de t.m. de G.

Cor. 5.9. Supposons S normal de point y, soit \overline{H}_y un ~~sous-groupe de t.m.~~ sous-tore de G_y. Pour que H_y soit la fibre générique d'un ~~sous-groupe de t.m.~~ tore \overline{H} de G, il faut et il suffit que pour tout s \in S tel que ~~\dim(\overline{H}_y)~~ \dim \mathcal{O}_{S,s} = 1, (\overline{H}_y)^{\circ}_{s, \mathrm{réd}} soit ~~un tore.~~ de t.m.

rédiger mieuxécrit de biais dans la marge gauche, en regard de la fin du corollaire 5.9, qu'un trait vertical embrasse

~~Cor. 5.10. Sous les conditions précédentes, supposons que \overline{H}_y soit un tore résiduel) utilise un~~annulé par quatre diagonales ; une ligne biffée et un interligne au milieu ne se lisent pas

Alors …

Lemme —

en bas à droite : « TSVP »

Lemme utilisé au corollaire nouveau ?

!!dans la marge gauche, en regard de la première ligne

XI , Corollaire 4.« XI » souligné ; le chiffre après « 4. » est surchargé

G lisse affine sur S local fini S. H(n) famille de ss-groupes de G, de t.m., H(n) H(m)une relation entre H(n) et H(m), indicée, dont le signe ne se lit pas sûrement, on suppose qu'il existe un ss-groupe de t.m. H_s de G_s tel que H(n)_s = H_s pour tt n. Alors \exists ss-groupe H de t.m. unique de G tel que H = H(n), \forall n.« de t.m. » est entouré en interligne ; le signe entre H et H(n) porte peut-être un indice

Remarque. ~~Je utilise~~ Envisager , dans l'un des diviseurs premiers P \neq \emptyset (P premiers) prouvera que la torsion du type H_s est première à P. On utilise pour ceci la variante de la démonstration précédente, où M remplacé sous-groupe de t.m. de type = type de H_s [et utilisera de densité de dém. la fermeture ]un trait vertical dans la marge gauche embrasse la remarque

Proposition. Soit G groupe algébrique affine sur corps alg. clos k. Alors \mathrm{Pic}(G) est fini. Si G_{\mathrm{réd}} est ~~lisse et~~ résoluble, ~~\mathrm{Pic}(G)~~ \mathrm{Pic}(G) est nul. Si G est lisse, ~~connexe~~, ~~G est \mathrm{Pic}(G)~~ \mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G/B)/\mathrm{Im}\, \mathbf{D}(T) [B Borel, T \subset B tore maximal, \mathbf{D}(T) \to \mathrm{Pic}(G/B), \qquad \mathbf{D}(T) \simeq \mathrm{Hom}(B, \mathbf{G}_m) par caractéristiques]le \simeq est porté sous \mathbf{D}(T), verticalement ; plusieurs soulignements au crayon

dans la marge gauche, en regard : R \subset B \subset G \to G/B, et au-dessous « R \cap T » avec un \breve{T} dont le signe n'est pas sûr

Si G est semi-simple, \mathrm{Pic}(G) = 0 ssi G est simplement connexe.

à gauche de cet énoncé, une ligne ondulée enferme le diagramme suivant, qu'il met en regard de deux colonnes de quotients

\begin{tikzcd} \mathrm{Pic}(G/B) \arrow[r, leftrightarrow] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \mathbf{D}(T/R) \arrow[d] \\ \mathrm{Pic}(G/B) & \mathbf{D}(T) \arrow[l] \end{tikzcd}

\begin{array}{ll} G/R \to G/B, & T/R \subset G/R \\ G \to G/B, & T \subset G \end{array} colonne de gauche ; une flèche montante relie les deux lignes ; devant T/R, une flèche partant d'un T biffé

G/R = GP(n) \to \text{Dém.}, \qquad G = GL(n) \to \text{Dém.}, \quad T(n) \subset G « Dém. » est une lecture douteuse ; un G biffé entre les deux lignes ; les deux exemples sont écrits l'un sous l'autre dans la marge gauche, sous un trait

Proposition. G groupe alg. affine sur un corps k. Alors \exists entier n > 0 [égal au degré d'une extension convenable k' de k] tel que n \,\mathrm{Pic}(G) = 0. ~~Si G_{\mathrm{réd}} , alors pour un du corps~~ G. Les précisions le passage biffé est encadré et barré de lignes en festons

1°) On peut prendre pour n le degré de toute extension finie k' de k ayant les propriétés suivantes :

a) G_{k' \mathrm{réd}} est lisse sur k' i.e. séparable/k'

b) ~~G_{k' \mathrm{réd}} admet un Borel~~ Les pts de G/G^{\circ} sont ~~définis~~ rationnels sur k'.

c) « Le » radical R' ~~est~~ de G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}} est défini sur k', et splitté ~~G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}} admet un Borel B' qui est splitté~~ sur k' [suite de composition : quotients successifs \mathbf{G}_a ou \mathbf{G}_m]« de G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}} » est la ligne biffée d'abord écrite pour c), rattachée par un trait au radical

d) hyp G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}}/R' a ~~un groupe~~ déployé ~~a un tore maximal de B'~~ [ maximal est splitté] et N(T'), C(T') ~~! , donc~~interlignes et biffures enchevêtrés ; lecture d'ensemble douteuse

Par suite, 1°) Si G est unipotent connexe, on peut prendre une puissance de la caractéristique. 2°) Si G est ~~réductif~~ simple, alors (\mathrm{Hom}(G, \mathbf{G}_m) étant nul, après ) ] \mathrm{Pic} ~~G est lisse~~le bloc est encadré et annulé par trois diagonales

2°) Supposons que \mathrm{Hom}_{\bar k\text{-gr}}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_{m \bar k}) = 0, et que G est lisse et connexe« lisse et » entouré, en interligne, avec un « k-gr » au-dessus. Soit \tilde k la clôture algébrique séparable de k. Alors \mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G_{\tilde k}). ~~En particulier, si \mathrm{Hom}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_m)~~ Si même \mathrm{Hom}_{\tilde k\text{-gr}}(G_{\tilde k}, \mathbf{G}_{m k}) = 0 [ce qui de la condition précédente sur \tilde k, G est de unipotent nul] … = \mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G_{\tilde k}). « séparable » est souligné deux fois et « algébrique » écrit au-dessus, sans que l'un biffe clairement l'autre ; un trait vertical dans la marge embrasse le 2°)

3°) Si G est unipotent, alors on sait que \mathrm{Pic}(G) est annulé par une puissance de la car. p. Si G est de unipotent nul et \mathrm{Hom}_{\bar k\text{-gr}}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_{m \bar k}) = 0, alors \mathrm{Pic}(G) ~~fini~~ \simeq \mathrm{Pic}(G_{\bar k}) = groupe fini.

~~(vii) \overset{?}{\Longrightarrow} (vi)~~

~~(vii) \not\Rightarrow (vi) = si \psi birationnel, \mathrm{Sl}(2, k) car. 2.~~

~~(vi) \not\Rightarrow (v)~~

~~(x) \not\Rightarrow (i)~~

~~(vii) \not\Rightarrow (x) ok.~~

~~a fortiori (vi) \not\Rightarrow (i), (x) \not\Rightarrow (xiii)~~

~~(x) \not\Rightarrow (i) ; Cas semi-simple — –~~

~~(i) \not\Rightarrow (x) ; a fortiori (vi) \not\Rightarrow (v), (vi) \not\Rightarrow (x), (i) \Rightarrow (xiii) ; GP(2, k), car. 2~~toute la moitié supérieure de la page est annulée par de longues diagonales ; un « ? » en marge gauche en regard de « (vi) \not\Rightarrow (v) » ; les groupes « a fortiori » sont entourés

!en marge gauche, avec un trait qui mène à l'accolade suivante \left\{ \begin{array}{ll} (\mathrm{vii}) \not\Rightarrow (\mathrm{vi}) & = \text{si } \psi \text{ birationnel} : \mathrm{Sl}(2, k), \text{ car. } 2 \\[3pt] (\mathrm{x}) \not\Rightarrow (\mathrm{v}) & [\mathrm{x} \not\Rightarrow (\mathrm{i}),\ (\mathrm{x}) \not\Rightarrow (\mathrm{xiii}),\ (\mathrm{vi}) \Rightarrow (\mathrm{v})] \\ & \text{Cas d'un système de } G \text{ semi-simple} \ldots \\[3pt] (\mathrm{i}) \not\Rightarrow (\mathrm{x}) & [(\mathrm{v}) \not\Rightarrow (\mathrm{x}),\ (\mathrm{vi}) \not\Rightarrow (\mathrm{x}),\ (\mathrm{i}) \not\Rightarrow (\mathrm{xiii})] \\ & GP(2, k), \text{ car. } 2 \end{array} \right. « système » est une lecture douteuse

dans la marge gauche, en regard, « G = PGl(2, k) », « \dim W = 1 », « \dim X : 3 - 1 + 2 = 4 », un zigzag de biffure sur ces lignes, et une boucle qui enferme (\mathrm{vii}) \not\Rightarrow (\mathrm{vi}), \qquad (\mathrm{x}) \not\Rightarrow (\mathrm{v}), \qquad (\mathrm{v}) \not\Rightarrow (\mathrm{i})

(v) \not\Rightarrow (i) ???encadré ; à droite, \mathrm{x} \neq \mathrm{i}

\mathfrak{h} = \mathfrak{n}entouré

(xii) = (x) + (vii)

(xiii) = (xii) + (v)encadré ; le dernier signe, sous une tache d'encre, ne se lit pas

~~Si \mathfrak{h}~~

Lemme. \mathfrak{h} alg. de Lie nilpotente sur un corps infini k opérant sur un vectoriel V. Supposons que pour tt x \in \mathfrak{h}, \rho(x) soit non injectif. Alors \exists\, v \in V, v \neq 0 tel que \rho(\mathfrak{h}) v = 0.« sur un corps infini k » est entouré, en interligne, relié au texte ; un trait vertical dans la marge embrasse l'énoncé

\bar k , V = \coprod V_i, V_i ~~propre~~ primaires pour la fonction poids \lambda_i sur \mathfrak{h}. L'hypothèse signifie que pour tt x \in \mathfrak{h}, \exists\, i tel que \lambda_i(x) = 0, donc V = \bigcup V(\lambda_i). Par le principe du prolongement des identités, on en conclut que \exists\, i tel que \lambda_i = 0. Donc, \mathfrak{h} opère sur V_i par opérations nilpotentes. Donc par Engel, \exists\, v \in \mathfrak{h}sic ?, v \neq 0, tel que \mathfrak{h} . v = 0, ok.

P_i(x, t) = \sum c_i(x)\, t^{n-i} \underbrace{t^{n} - c_1(x)\, t^{n-1} \ldots \pm c_n}_{[t - \lambda(x)]^{n}} = 0 \qquad \lambda(x)^{n} = c_n ces trois lignes sont au crayon ; la lettre de P_i et le signe du dernier terme sont douteux

page au crayon, sauf la chaîne d'implications, à l'encre

\mathfrak{L} \subset \mathfrak{g}, \qquad \mathfrak{L} + k\, \mathfrak{g}_{\alpha}, \qquad \sum_{\beta \neq \alpha} \lambda_{\beta} X_{-\beta} \bar\beta = 0 \Bigl[ X_{-\alpha}, \sum_{\beta \neq \alpha} \lambda_{\beta} X_{-\beta} \Bigr] = \sum \lambda_{\beta} [X_{-\alpha}, X_{-\beta}], \qquad [X_{\alpha}, X_{\beta}]

Deux racines X_1, X_2, X_3

suivent deux esquisses de matrices, une 2 \times 2 et une 3 \times 3 figurées par des points, puis un \mathfrak{L} et une lettre biffée

\begin{array}{l} (\mathrm{xiv}) \Rightarrow (\mathrm{i}) \Rightarrow (\mathrm{iii}) \Rightarrow (\mathrm{v}) \\ (\mathrm{xiv}) \searrow (\mathrm{x}?) \Rightarrow (\mathrm{xii}) \end{array} le numéro de la seconde ligne, noté ici (\mathrm{x}?), est surchargé et souligné, et ne se lit pas

[Une seule racine \alpha > 0 telle que \bar\alpha = 0 ; une racine \beta > 0 telle que [X_{\alpha}, X_{\beta}] \neq 0]

Alors \mathfrak{L} + k\, \mathfrak{g}_{-\beta} est son propre normalisateur, satisfait au th. de densité, mais ne contient que des algèbres de Cartan.le tout encadré ; « seule » et « satisfait » soulignés