Cote n° 27, pages 1–20

Cote n° 27 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · SGA D [SGA 3]. Compléments XII à XVII : tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1962-1970]
Édition de démonstration

Divers pour XII à XIV

inscrit au crayon en haut à droite du feuillet de garde (page 1), qui ne porte rien d'autre ; les deux chiffres romains sont soulignés. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Co Exp XIIIau crayon, en haut à droite, « XIII » souligné, à gauche du numéro 6 du feuillet

p. 6 du tapuscrit. Les pages 2 à 6 (pp. 6 à 10 du tapuscrit) sont données en entier : le texte dactylographié et toutes ses interventions à l'encre. Les corrections à l'encre sont de la main de la dactylo (vérifié sur le fac-similé) : ce qu'elle ajoute est pris dans le texte sans marque, ce qu'elle barre à l'encre comme biffé ; les ajouts tapés en interligne sont pris dans le texte sans marque, et signalés en note quand un trait d'encre les appelle. Les lettres gothiques \(\mathfrak{n}\), \(\mathfrak{m}_a\) (l'indice \(a\) est tapé), les \(\psi\) (souvent écrits sur un ø tapé), le signe \(\in\) et toutes les flèches d'implication sont portés à la main dans les blancs de la frappe ; on ne le répète pas à chaque occurrence. Le ø tapé est rendu \(\phi\) ; le petit point surélevé que la machine met après \(e\) et \(g\) est rendu \({}^{*}\). Les fautes de frappe recouvertes de x à la machine ne sont pas relevées, même quand un trait d'encre y passe aussi ; un mot tapé que la dactylo barre à l'encre est donné biffé quand il se lit. « ramifié » est frappé « ramffié » en (iii bis) et (iv) ; on normalise sans le marquer

Proposition 1.3. Avec les notations précédentes, on suppos[ons] encore l'inégalité (2) valable, et \(G, V, W\) géométriquement irréductibles[,] considérons les conditions suivantes : « on » est couvert d'une tache d'encre, « ons » écrit à l'encre sur la fin de « suppose ». « et \(G, V, W\) géométriquement irréductibles. » est tapé en interligne au-dessus de « Considérons les conditions suivantes » ; un trait d'encre part de la virgule qui remplace le point final, court sous l'interligne et descend devant « Considérons », dont l'initiale est couverte d'encre

(i)\(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), et \(N\) est lisse sur \(k\).
(ii)\(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), et \(\dim X = \dim V\) (cf lemme 1.2.).
(iii)\(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), et \(\psi : X \to V\) est génériquement quasi-fini.
(iii bis)\(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), et \(\psi : X \to V\) est génériquement non ramifié.
(iii ter)\(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), et \(\psi : X \to V\) est génériquement étale.
(iv)\(\psi : X \to V\) est non ramifié en \((e^{*}, a)\).
(iv bis)\(\psi : X \to V\) est étale en \((e^{*}, a)\).
(v)\(\psi : X \to V\) est lisse en \((e^{*}, a)\), et \(N\) est lisse sur \(k\), (2) une égalité égalité.
(vi)\(M_a\) et \(N\) coïncident au voisinage de \(e\).

dans (v), le mot tapé en tête de la ligne suivante est raturé à l'encre, et « égalité. » récrit de la main de la dactylo à sa gauche

Alors on a les implications

dans la marge gauche, à l'encre, de la main de la dactylo : « (3) » \[ (\mathrm{v}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv\ bis}) \Longrightarrow (\mathrm{iii\ ter}) \Longrightarrow (\mathrm{i}) \Leftrightarrow (\mathrm{ii}) \Leftrightarrow (\mathrm{iii}) \Leftrightarrow (\mathrm{iii\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv}) \Leftrightarrow (\mathrm{vi}) \; ; \] si \(V\) est lisse sur \(k\) et \(W\) géométriquement génériquement réduit, on a (iii ter) \(\Leftrightarrow\) (i), si de plus enfin \(V\) est géométriquement normal en \(a\) toutes les conditions envisagées sont équivalentes. « (3) » est écrit à l'encre dans la marge gauche, en face de la chaîne. « \(\Leftrightarrow\) (iii bis) \(\Leftrightarrow\) » est de la main de la dactylo en interligne, au-dessus de la frappe, et une accolade le fait tomber entre (iii) et (iv) ; le point-virgule final est à l'encre ; un crochet d'encre, ouvert à droite et surmonté d'un petit trait fléché, enserre « (v) » en tête de la chaîne, sans qu'on voie ce qu'il demande. Dans « (iii ter) », ici et à la ligne suivante, « ter » est écrit à l'encre sur les lettres tapées ; le (i) de « (iii ter) \(\Leftrightarrow\) (i) » est écrit à l'encre sur un signe tapé, et le \(V\) de « si \(V\) est » repassé. « génériquement », « enfin » et « en a » sont de la main de la dactylo au-dessus des mots que la dactylo barre

On sait déjà par le lemme 1.1. que l'on a (i) \(\Rightarrow\) (iv) \(\Leftrightarrow\) (vi), d'autre part (vi) implique évidemment par définition \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\) et (iv) implique (iii bis) que \(\psi\) est génériquement non ramifié (NB il résulte des hypothèses faites que \(X\) est irréductible comme image de \(G \times W\) qui l'est), donc (iv) \(\Leftrightarrow\) (vi) \(\Rightarrow\) (iii bis), évidemment (iii bis) \(\Rightarrow\) (iii) De plus (iii) \(\Rightarrow\) (ii), car comme \(\dim X \geqslant \dim V\) (1.2.) il s'ensuit que si \(\psi\) est génériquement quasi-fini, donc \(\dim X \leqslant \dim V\), on a \(\dim X = \dim V\). Enfin, en vertu de 1.2., (ii) \(\Rightarrow\) (i), ce qui prouve l'équivalence des conditions (i) (ii) (iii) (iii bis) (iv) (vi). Evidemment (iii ter) \(\Rightarrow\) (iii bis) et (iv bis) \(\Rightarrow\) (iv), donc par ce qui précède dans « (iv) \(\Leftrightarrow\) (vi) » de la première ligne, le second i de (vi) est écrit à l'encre sur un signe tapé ; un signe tapé après « irréductible » est couvert d'encre ; en bout de ligne après « (iii bis) \(\Rightarrow\) (iii) », un trait d'encre, peut-être une ponctuation ; les signes \(\geqslant\), \(\leqslant\) sont à l'encre, et « donc », « on a » écrits à l'encre sur la frappe

p. 7 du tapuscrit

(iv bis) implique \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), d'où aussitôt que (iv bis) \(\Longrightarrow\) (iii ter). Enfin, (iv bis) signifie aussi que \(\psi : X \to V\) est lisse en \((e^{*}, a)\) et que \(\dim X = \dim V\), donc équivaut à (v) en vertu de 1.2. Cela prouve les implications (3). Si \(V\) est réduit (ou seulement génériquement réduit), comme (iii bis) implique que la fibré générique de \(X \to V\) est non ramifiée sur le corps rédiduel du point générique de \(V\), donc étale sur ce dernier, et que ce corps est aussi l'anneau local de \(V\) en son point générique, il s'ensuit que \(X \to V\) est génériquement étale, et par suite on a (iii bis) \(\Rightarrow\) (iii ter). Enfin, si \(V\) est normal en \(a\), alors (iv) \(\Longrightarrow\) (iv bis), car comme \(\dim X = \dim V\) par 1.2. , (iv) implique que \(\psi\) est dominant, et on peut appliquer SGA I 9.5. (ii) qui implique que \(\psi\) est étale et non seulement non ramifié en \((e^{*}, a)\), ce qui prouve Cela achève la démonstration de 1.3. Notons d'ailleurs que la condition (ii) implique déjà en vertu de 1.2. que l'inégalité (2) est en fait une égalité. Notons aussi le la parenthèse fermante après « réduit » est couverte d'encre ; « comme » est tapé en interligne, au-dessus d'un mot recouvert à la machine ; le « non » de « non ramifié en \((e^{*}, a)\) » est tapé en interligne et appelé par un trait d'encre ; « ce qui prouve », recouvert de x à la machine, est en outre barré à l'encre ; le « = » de « \(\dim X = \dim V\) par 1.2. » et la parenthèse ouvrante de « (iii bis) » sont repassés à l'encre ; « fibré » et « rédiduel » sont tels quels (sic), et d'une lettre de « rédiduel » on ne sait si l'encre la corrige

Corollaire 1.4. Supposons que l'on ait \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), \(V\) normal en \(a\). Alors \(\phi\) est lisse en \((e,a)\), donc (1.1. b) \(M_a\) est lisse sur \(k\) en \(e\), et \(\psi\) est lisse en \((e^{*}, a)\). « \(V\) normal en \(a\). » est tapé en interligne et tiré dans la ligne par une accolade d'encre, la virgule qui le précède est à l'encre ; un signe tapé devant « donc » est couvert d'encre ; le \(\psi\) est écrit sur un ø tapé

En effet, on a les inégalités \[ \dim V + \mathrm{rang}\, \mathfrak{n} \leqslant \dim(G \times W) \leqslant \dim_{(e,a)} \phi^{-1}(a) + \dim V \leqslant \dim \mathfrak{m}_a + \dim V , \] où la première inégalité n'est autre que (2), la deuxième inégalité provient de la théorie de la dimension pour le morphisme \(\phi : G \times W \to V\) en le point \((e,a)\), et est une égalité si et seulement si \(\phi\) est dominant et la dimension de \(\phi^{-1}(a)\) en \((e,a)\) est celle de la fibre générique, ce qui (en vertu de l'hypothèse que \(V\) est normal en \(a\), et d'un théorème de Chevalley) signifie aussi que \(\phi\) est universellement ouvert en \((e,a)\) ; enfin la troisième inégalité est provient de l'isomor- les trois \(\leqslant\) sont à l'encre ; l'initiale de « rang » et le dernier \(V\) de la suite sont repassés à l'encre ; « est » est couvert d'encre, et le milieu de « provient » écrit à l'encre sur la frappe

p. 8 du tapuscrit

dans la marge gauche, à l'encre, de la main de la dactylo : « \(e\) » phisme \(\phi^{-1}(a) \simeq M_a\), transformant \((e,a)\) en \(e\), c'est une égalité si et seulement si \(M_a\) est régulier en \(e\) i.e. lisse sur \(k\) en \(e\) i.e. \(\phi^{-1}(a)\) est lisse sur \(k\) en \((e,a)\). Si \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), alors les membres extrêmes de la suite d'inégalités précédente sont égaux, donc tous les termes sont égaux, ce qui implique que \(\phi\) est universellement ouvert en \((e,a)\) et que sa fibre en ce point est lisse sur \(k\). Comme \(V\) est réduit normal donc réduit en \(e\), il s'ensuit, (par un théorème de EGA IV) que \(\phi\) est lisse sur en \((e,a)\), ce qui prouve 1.4. La démonstration invoque certains résultats assez délicats de la théorie des schémas, mais nous n'aurons pas besoin de 1.4. pour la suite. le \(\simeq\) est à l'encre. « régulier en e i.e. » est de la main de la dactylo en interligne, relié à la ligne par un crochet ; le \(e\) de l'ajout est empâté d'encre, et un \(e\) de la main de la dactylo est écrit dans la marge gauche, en regard de la première ligne. « s'ensuit, (par un » est tapé en interligne au-dessus d'un passage recouvert à la machine, le \(p\) repassé à l'encre ; « la » de « de la théorie » est tapé en interligne, appelé par un signe d'encre ; le r de « n'aurons » est écrit à l'encre sur la frappe

Les conditions de 1.3. étaient relatives au choix d'un point \(a\) de \(W(k)\). On conclut de 1.3. l'énoncé suivant, indépendant d'un tel choix :

Corollaire 1.5. Soient \(G, V, W\) sur \(k\) comme dans 1.3. Considérons les et supposons \(V\) génériquement réduit. Alors les […] séparable sur \(k\). Considérons les conditions suivantes : « séparable sur k. » est de la main de la dactylo en interligne, au-dessus de ce que la dactylo barre ; les deux passages barrés à l'encre sont aussi entrecoupés de x tapés

(i)[…] \(\psi : X \to V\) est génériquement non ramifié.
(i bis)\(\psi : X \to V\) est génériquement étale.
(i ter)\(\psi : X \to V\) est génériquement lisse, \(N\) est lisse sur \(k\) et l'inégalité (2) une égalité.
(ii)Il existe \(a \in W(k)\) tel que \(N\) est lisse sur \(k\), et il existe \(a \in W(k)\) tel que \(\mathfrak{m} = \mathfrak{n}_a\).
(iii)\(\psi : X \to V\) est génériquement quasi-fini, et il existe \(a \in W(k)\) tel que \(\mathfrak{m} = \mathfrak{n}_a\).
(iv)Il existe \(a \in W(k)\) tel que \(M_a\) et \(N\) coïncident au voisinage de \(e\).

dans (i), un mot tapé est couvert d'encre, et le \(\psi\) écrit sur un ø tapé ; les lettres « if » de « ramifié » sont repassées. Dans « (i ter) », « ter » est repassé à l'encre et une lettre tapée devant lui couverte. Dans (ii) et (iii), les lettres gothiques de la main de la dactylo se lisent \(\mathfrak{m} = \mathfrak{n}_a\), dans l'ordre inverse de la page 2 ; on transcrit tel quel (sic ?)

Alors on a les implications \[ (\mathrm{ii}) \Leftrightarrow (\mathrm{iii}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv}) \Longrightarrow (\mathrm{i}) \Leftrightarrow (\mathrm{i\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{i\ ter}) , \] et si \(k\) est algébriquement clos, toutes les conditions envisagées sont

p. 9 du tapuscrit

équivalentes.

L'équivalence de (ii) (iii) (iv) (en fait, pour tout \(a \in W(k)\) choisi) et le fait que ces conditions impliquent toutes les autres, est contenu dans 1.3. En vertu de 1.2. le fait que \(N\) est lisse sur \(k\) et (2) une égalité équivaut à \(\dim X = \dim V\), ce qui montre l'équivalence de (i bis) et (i ter), qui impliquent évidemment (i), reste à prouver que (i) implique (i bis), et , lorsque \(k\) est algébriquement clos, que (i) implique (ii). Quitte à passer à la clôture algébrique de \(k\), on peut supposer \(k\) algébriquement clos , et on est réduit à prouver alors (i) \(\Rightarrow\) (ii). Or comme \(\dim X \geqslant \dim V\) en vertu de 1.2. , on voit que (i) implique que \(\psi : X \to V\) est dominant , et comme \(V\) est génériquement réduit, il existe un ouvert non vide de \(X\) qui est régulier et à fortiori normal, donc il existe un \(x \in X(k)\) tel que \(\psi\) soit non ramifié en \(x\) et que \(\psi(x)\) soit un point normal de \(V\). Alors régulier et à fortiori normal de \(V\). On aura \(x = (g^{*}, a)\), et quitte à remplacer \(x\) par \((e^{*}, g^{-1}.a)\), on peut supposer \(a \in W(k)\). Alors en vertu de (1.3. (iv) \(\Rightarrow\) (i) ) il s'ensuit que \(a\) satifait à la condition 1.5. (ii), ce qui achève la démonstration. la ligne « il existe un ouvert non vide de \(X\) qui est régulier et à fortiori normal, » est tapée par-dessus une ligne recouverte de x à la machine, que barre en outre un trait d'encre ; de même un passage recouvert avant « \(x \in X(k)\) ». Le \(\geqslant\) est à l'encre ; les \(\psi\) sont écrits sur des ø tapés. Dans « \(x = (g^{*}, a)\) », un signe tapé devant la parenthèse est couvert d'une tache d'encre : un \(\phi\) repassé ou supprimé, on ne tranche pas. « satifait » est tel quel (sic)

Corollaire 1.6. Soient \(G, V, W\) comme dans 1.3. (\(V\) normal, \(k\) alg. clos., […] Pour que \(\psi : X \to V\) soit un morphisme birationnel, il faut et il suffit que les conditions équivalentes de 1.5. soient satisfaites, et que de plus il existe un ouvert non vide \(U\) de \(V\) tel que tout \(a \in U(k)\) soit contenu dans un unique conjugué de \(W\) par un élé[ment] de \(G(k)\). De plus, pour un \(a \in V(k)\), les conditions suivantes sont alors équivalentes : le 3 de « 1.3. » est écrit à l'encre sur un chiffre tapé, et le mot tapé qui suit est couvert d'encre. En interligne, « ( V normal, k » est de sa main devant « alg. clos. », qui est tapé ; un trait d'encre court sous l'ensemble et le fait tomber après « 1.3. » ; la parenthèse n'est pas refermée, un signe d'encre (virgule ?) finit l'interligne. « birationnel » est souligné à l'encre ; « ment » d'« élément » est à l'encre

(i)Il existe un unique conjugué de \(W\) contenant \(a\).
(ii)L'ensemble des conjugués de \(W\) contenant \(a\) est fini non vide.
(iii)Le schéma \(\psi^{-1}(a)\) « des conjugués de \(W\) qui contiennent \(a\) » contient un point isolé.

p. 10 du tapuscrit

Lorsque de plus \(W\) est réduit, et si \(U\) désigne le plus grand ouvert de \(V\) tel que \(\psi\) induise un isomorphisme \(\psi^{-1}(U) \to U\), alors les conditions précédentes équivalent aussi à « \(W\) est » est tapé en interligne et tiré dans la ligne par un trait d'encre, au-dessus de « réduit », dont la dernière lettre tapée est couverte d'encre ; avant « de plus », un passage recouvert de x à la machine est barré à l'encre

(iv)\(a \in U(k)\).

deux traits de crayon dans la marge gauche, sous « (iv) »

La première assertion est claire sur la forme 1.5. (i bis). L'équivalence de (i) à (iv) est une conséquence bien connue du Main Theorem de Zariski[.] On not[era] que […] l'hypothèse que \(\psi\) est birationnel implique que \(X\) est génériquement réduit, donc (comme \(p : X \to G/N\) est fidèlement plat) que \(G/N\) est génériquement réduit donc réduit; par suite si \(W\) est réduit, il en est de même de \(X\) qui est plat sur \(G/N\) à fibres géométriques isomorphes à \(W\) donc réduites. En tous cas, que \(W\) soit réduit ou non, \(X\) est irréductible (comme image de \(G \times W\) qui l'est, \(G\) et \(W\) l'étant), et l'équivalence de (i) à (iii) résulte alors du Main Theorem appliqué au morphisme \(X_{\mathrm{réd}} \to V\) induit par \(\psi\). le point après « Zariski », « On » et « era » de « notera » sont écrits à l'encre sur la frappe ; un mot court est couvert d'encre après « que ». Deux passages recouverts de x à la machine, avant « \(X\) est génériquement réduit » et avant « plat sur \(G/N\) », ne sont pas relevés. Le \(W\) et le milieu de « soit », le \(G\) de « \(G \times W\) », une lettre d'« irréductible » et de « Theorem » sont repassés à l'encre

Remarque 1.7. Sous les conditions de 1.6. , un point \(a\) de \(V(k)\) qui satisfait aux conditions équivalentes (i) à (iii) pourra être appelé un point \(W\)-régulier de \(V\) (relatif aux opérations de \(G\) sur \(V\)). Cette notion manifestement est stable par extension du corps de base \(k \to k'\), avec \(k'\) algébriquement clos. Si on ne suppose plus \(k\) algébriquement clos, on dira encore qu'un point \(a\) de \(V\) est \(W\)-régulier si \(\phi^{-1}(a)\) est non vide et fini sur \(k(a)\). […] Sous les conditions plus générales de 1.5. (i) à (i ter) , i.e. \(\psi\) étant génériquement étale (mais pas nécessairement birationnel), il y a lieu d'introduire le degré de projection \(d\) de \(\psi\), et le plus grand ouvert \(U\) de \(V\) tel que \(\psi\) induise un morphisme \(\psi^{-1}(U) \to U\) qui soit étale et fini. Lorsque \(V\) est normal (et \(X\) réduit (p.ex. \(W\) réduit)), alors un \(a \in V\) est dans \(U\) si et seulement si \(\psi^{-1}(a)\) est fini et a un degré séparable égal à \(d\), i.e. (lorsque \(k\) est algébriquement clos et \(a\) est rationnel « Remarque » est souligné à la machine ; « point » et « régulier » sont soulignés à l'encre. La phrase « Cette notion … algébriquement clos. » est barrée d'un trait d'encre, que longe en dessous une ligne festonnée dont le sens n'est pas sûr. Le « W- » de « W-régulier » est tapé en interligne ; « non vide et » est tapé en interligne et appelé par un trait d'encre ; le point après « \(k(a)\) » est à l'encre, et au-dessus de la ligne quelques mots de la main de la dactylo sont raturés, illisibles. Le ø tapé de « \(\phi^{-1}(a)\) » n'est pas récrit en \(\psi\), alors que la condition (iii) de 1.6 porte sur \(\psi^{-1}(a)\) ; on transcrit la frappe. « étale » et « fini » sont soulignés à l'encre ; « (et » est de la main de la dactylo devant l'interligne tapé « X réduit (p.ex. W réduit) », que ferme une parenthèse et une virgule d'encre ; « rationnel » est repassé à l'encre. Le tapuscrit s'arrête là, au pied du feuillet 10, au milieu de la phrase ; la suite ne figure pas dans ce lot

Complément XII

titre de sa main, souligné, en tête de la page 8

6. Le tore central maximal. Relations avec le […] gpe

Tores quotients d'un groupe algébrique

6.1. Définition en général Compatibilité avec extension de la base, descente, spécialisation …

6.2. Existence lorsqu'il existe un centr. réductif, etc …les deux lignes de droite sont enfermées par un trait d'accolade qui les rattache à 6.1 et 6.2

6.3. N.B. […] particulier, des groupes algébriques Cas d'un groupe algébrique : un tore maximal central [N.B. le groupe algébrique n'est pas […] affine …].

lisse […] affineencadré à droite, au-dessus de 6.4, relié par un trait à la ligne de 6.4

6.4. Soit \(G\) un groupe algébrique sur un corps parfait, alors soit \(R\) son tore central maximal. Alors il existe un sous-groupe fini \(Z\) de \(R\), tel que \(G_Z\) soit facteur direct du […] un produit de \(G\) \(R_Z\) et d'un groupe \(H\). De plus, \(H\) est tel quetout ce paragraphe est encadré et annulé par quatre longues diagonales et un trait sous sa dernière ligne ; l'indice de \(G_Z\), \(R_Z\) est le \(Z\) (ʒ) du sous-groupe fini ; « lisse affine », encadré au-dessus, est appelé par un trait dans la première ligne, après « algébrique »

Th. 6.4 (Rosenlicht)nom entouré, au crayon, dans l'interligne au-dessus du théorème. \(X\), \(Y\) géom. intègres sur un corps \(k\), munis de pts \(a\), \(b\) rationnels dans \(k\). Soit \[ \varphi : X \times Y \to \mathbf{G}_m \quad \text{tel que} \quad \varphi(x, y) = 1, \] la lettre devant « \((x,y) = 1\) » est surchargée et l'argument ne se lit pas sûrement alors \(\varphi\) est de la forme \[ \varphi(x, y) = \varphi_1(x)\, \varphi_2(y) \] i.e. \(\varphi_1(\varphi_2)\) \(u(w)\) est un […] […] \(X \to \mathbf{G}_m\) (\(Y \to \mathbf{G}_m\)).

On peut supposer que \(k\) alg. clos \(X\), \(Y\) affines.

Equivalent : ceci : \(k\)

Si \(u(x, b) = 1\), \(u(a, y) = 1\) identiquement, alors \(u(x, y) = 1\) identiquement. Sous cette forme, on peut supp. \(k\) \(k\) alg. clos. Alors l'énoncé équivalent Bien entendu […] N.B. que l'énoncé aussi […] […] implique \(X\), \(Y\) […] […] […] […] ; Alors l'énoncé […] : génériquement […] : \(u(x,y)\) […] […] \(X \times Y \to \mathbf{G}_m\) est de la forme …passage très raturé : plusieurs lignes biffées, un encadré, et une ligne en vague qui relie la phrase conservée à la ligne encadrée

On peut supposer \(X\), \(Y\) affines, et une réduction immédiate nous ramène au cas où \(X\), \(Y\) de dim 1.

Corollaire. Kif-kif, \(G\) remplacé par un deux groupe […]

Soit \(T\) un tore.encadré à droite

\(X \times Y \subset \overline{X} \times \overline{Y}\) […]

Corollaire. Tout morphisme \(O(\overline{X} \times \overline{Y})\) d'un \(u : G \to \mathbf{G}_m\), qui \(G\) groupe lisse connexe, qui envoie \(e\) dans \(e\), est un hom. de groupes. De plus« lisse connexe » souligné au crayon ; la ligne \(X \times Y \subset \overline{X} \times \overline{Y}\) et le \(O(\overline{X} \times \overline{Y})\) sont barrés d'un long trait de crayon

Corollaire 3 […] Proposition ? \(\mathrm{Hom}(G, \mathbf{G}_m)\) […] […] \(\mathrm{Hom}_k(G, \mathbf{G}_m)\) […] groupe de type fini. Déf est un groupe de type fini.

Proposition ? Il existe un hom. [épimorphisme]au-dessus, en interligne : « \(G\) […] algébrique » et « hom » \[ G \longrightarrow H \] \(H\) de t.m., tel que \(H\) […] tout hom. de \(G\) dans un groupe de t.m. se factorise de façon unique par \(H\).

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
R \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & Z \arrow[d, hook] \\
T \arrow[r, hook] & G \arrow[d] \\
& \Gamma
\end{tikzcd}

diagramme de la marge gauche : \(R \subset Z\), \(T \subset G\), les inclusions verticales, une flèche descendant de \(G\) vers une lettre lue \(\Gamma\) ; à droite de \(Z\) un griffonnage et une flèche descendante non lus

b) Lorsque \(k\) est parfait, la formation de \(H\) est compatible avec \(H\) extension de la base.

c) Lorsque \(G\) est connexe ⌜et lisse⌝« et lisse » au crayon, en interligne, \(H\) est un tore.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "\text{épim}"] & H \\
G^{\circ}_{\mathrm{réd}} \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & H^{\circ} \arrow[u]
\end{tikzcd}

\[ G/G^{\circ}_{\mathrm{réd}} \to H/H^{\circ} \] le trait entre \(G\) et \(G^{\circ}_{\mathrm{réd}}\) porte une marque biffée

N.B. Si \(k\) est imparfait, même si \(G\) ⌜linéaire et […]⌝ est connexe et lisse, la formation de \(H\) n'est en général pas compatible …

Corollaire Proposition. \(G\) un groupe connexe lisse sur \(k\), \(R\) un groupe de t.m. ⌜tore⌝. Alors les extensions de \(G\) par un \(R\) qui splittent en \(H^{i}_{\mathrm{Hochschild}}(G, R) \simeq\) tant que fibrés princ. homogènes splittent.la ligne biffée porte, sous \(H\), le mot « Hochschild »

\[ 0 \to C^{\cdot}(e, R) \to C^{\cdot}(H, R) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(H^{\cdot}, R) \to 0 \] \[ H^{i}(\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(H^{\cdot}, R)) \] un \(E\) biffé devant \(\mathrm{Hom}\) ; les deux lignes sont fermées à droite par un crochet

En effet, ⌜d'ext. centrale⌝ […] groupe […] […] ⌜[…]⌝ […] vérifiée, elle provient d'une extension de \(H\) par \(R\), donc splitte.

XII

« XII », souligné, dans la marge gauche en tête de la page 11

Cor. 5.8. Supposons \(S\) normal ⌜noeth.⌝. Soit irréductible.

Soit \(U\) un ouvert de \(S\), tel que \(S - U\) de codim \(\geqslant 2\). Alors tt […] ss-groupe de t.m. de \(G|U\) provient d'un unique ss-groupe de t.m. de \(G\).

Cor. 5.9. Supposons \(S\) normal noeth. irréd. de pt gén. \(y\), soit \(\overline{H}_y\) un sous-groupe de t.m. ⌜sous-tore⌝ de \(G_y\). Pour que \(H_y\) soit la fibre gén. d'un sous-groupe de t.m. ⌜tore⌝ \(\overline{H}\) de \(G\), il faut et il suffit que pour tout \(s \in S\) tel que \(\dim(\overline{H}_y)\) \(\dim \mathcal{O}_{S,s} = 1\), \((\overline{H}_y)^{\circ}_{s, \mathrm{réd}}\) soit un tore. de t.m.

rédiger mieuxécrit de biais dans la marge gauche, en regard de la fin du corollaire 5.9, qu'un trait vertical embrasse

Cor. 5.10. Sous les conditions précédentes, supposons que \(\overline{H}_y\) est \(=\) un tore […] […] […] […] […] […] […] torsion de son type soit […] car. résiduelles) […] […] utilise unannulé par quatre diagonales ; une ligne biffée et un interligne au milieu ne se lisent pas

Alors …

Lemme —

en bas à droite : « TSVP »

Lem[me] utilise un corollaire nouveau ?

!!dans la marge gauche, en regard de la première ligne

XI 4, Corollaire 4.[…]« XI » souligné ; le chiffre après « 4. » est surchargé base locale

\(G\) lisse affine sur \(S\) local […] […] fini \(S\). […] \(H(n)\) famille de ss-groupes de \(G\), de t.m., \(H(n)\) […] \(H(m)\)une relation entre \(H(n)\) et \(H(m)\), indicée, dont le signe ne se lit pas sûrement, on suppose qu'il existe un ss-groupe de t.m. \(H_s\) de \(G_s\) tel que \(H(n)_s = H_s\) pour tt \(n\). Alors \(\exists\) ss-groupe \(H\) ⌜de t.m.⌝ unique de \(G\) tel que \(H\) […] \(= H(n)\), \(\forall n\).« de t.m. » est entouré en interligne ; le signe entre \(H\) et \(H(n)\) porte peut-être un indice

Remarque. Il suffit Envisager […] […] […], on a dans l'un des diviseurs premiers est \(\in P \neq \emptyset\) (\(P\) un ens. de nbs premiers) prouvera que la torsion du type \(H_s\) est première à \(P\). On utilise pour ceci la variante de la démonstration précédente, où \(M\) remplacé […] […] sous-groupe de t.m. de type \(=\) type de \(H_s\) [et on […] utilisera le th. de densité de […] dém. […] la fermeture […] ]un trait vertical dans la marge gauche embrasse la remarque

Proposition. Soit \(G\) groupe algébrique affine sur corps alg. clos \(k\). Alors \(\mathrm{Pic}(G)\) est fini. Si \(G_{\mathrm{réd}}\) est lisse et résoluble, \(\mathrm{Pic}(G)\) […] \(\mathrm{Pic}(G)\) est nul. Si \(G\) est lisse, […] ⌜connexe⌝, \(G\) est un \(\mathrm{Pic}(G)\) […] […] […] \[ \mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G/B)/\mathrm{Im}\, \mathbf{D}(T) \] [\(B\) Borel, \(T \subset B\) tore maximal, \[ \mathbf{D}(T) \to \mathrm{Pic}(G/B), \qquad \mathbf{D}(T) \simeq \mathrm{Hom}(B, \mathbf{G}_m) \] par caractéristiques]le \(\simeq\) est porté sous \(\mathbf{D}(T)\), verticalement ; plusieurs soulignements au crayon

dans la marge gauche, en regard : \(R \subset B \subset G \to G/B\), et au-dessous « \(R \cap T\) » avec un \(\breve{T}\) dont le signe n'est pas sûr

Si \(G\) est […] ⌜semi-simple⌝, \(\mathrm{Pic}(G) = 0\) ssi \(G\) est simplement connexe.

à gauche de cet énoncé, une ligne ondulée enferme le diagramme suivant, qu'il met en regard de deux colonnes de quotients

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\mathrm{Pic}(G/B) \arrow[r, leftrightarrow] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \mathbf{D}(T/R) \arrow[d] \\
\mathrm{Pic}(G/B) & \mathbf{D}(T) \arrow[l]
\end{tikzcd}

\[ \begin{array}{ll} G/R \to G/B, & T/R \subset G/R \\ G \to G/B, & T \subset G \end{array} \] colonne de gauche ; une flèche montante relie les deux lignes ; devant \(T/R\), une flèche partant d'un \(T\) biffé

\[ G/R = GP(n) \to \text{Dém.}, \qquad G = GL(n) \to \text{Dém.}, \quad T(n) \subset G \] « Dém. » est une lecture douteuse ; un \(G\) biffé entre les deux lignes ; les deux exemples sont écrits l'un sous l'autre dans la marge gauche, sous un trait

Proposition. \(G\) réductif un groupe alg. affine sur un corps \(k\). Alors \(\exists\) entier \(n > 0\) [égal au degré d'une extension convenable \(k'\) de \(k\)] tel que unipotent, \(n \,\mathrm{Pic}(G) = 0\). Si \(G_{\mathrm{réd}}\) […] est résoluble), alors on peut prendre pour \(n\) une puissance de la caract. […] \(G\). Les précisions suiventle passage biffé est encadré et barré de lignes en festons

1°) On peut prendre pour \(n\) le degré de toute extension finie \(k'\) de \(k\) ayant les propriétés suivantes :

a) \(G_{k' \mathrm{réd}}\) est lisse sur \(k'\) i.e. séparable\(/k'\)

b) \(G_{k' \mathrm{réd}}\) admet un Borel Les pts de \(G/G^{\circ}\) sont définis ⌜rationnels⌝ sur \(k'\).

c) « Le » radical \(R'\) est ⌜de \(G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}}\)⌝ est défini sur \(k'\), et splitté \(G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}}\) admet un Borel \(B'\) qui est splitté sur \(k'\) [suite de composition : quotients successifs \(\mathbf{G}_a\) ou \(\mathbf{G}_m\)]« de \(G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}}\) » est la ligne biffée d'abord écrite pour c), rattachée par un trait au radical

d) ⌜hyp […]⌝ \(G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}}/R'\) est un groupe \(k\) simple ⌜déployé⌝ a un tore maximal de \(B'\) [Trivialement splitté] et \(N(T')\), \(C(T')\) […] […] […]! […], doncinterlignes et biffures enchevêtrés ; lecture d'ensemble douteuse

Par suite, 1°) Si \(G\) est unipotent ⌜connexe⌝, on peut prendre pour \(n\) une puissance de la caractéristique. 2°) Si \(G\) est réductif semi-simple, alors (\(\mathrm{Hom}(G, \mathbf{G}_m)\) étant nul, après ext. du corps de base] \(\mathrm{Pic}\) \(G\) est lissele bloc est encadré et annulé par trois diagonales

2°) Supposons que \(\mathrm{Hom}_{\bar k\text{-gr}}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_{m \bar k}) = 0\), et que \(G\) est ⌜lisse et⌝ connexe« lisse et » entouré, en interligne, avec un « \(k\)-gr » au-dessus. Soit \(\tilde k\) la clôture ⌜algébrique⌝ séparable de \(k\). Alors \(\mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G_{\tilde k})\). En particulier, si \(\mathrm{Hom}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_m)\) Si même \(\mathrm{Hom}_{\tilde k\text{-gr}}(G_{\tilde k}, \mathbf{G}_{m k}) = 0\) [ce qui a lieu […] […] plus de la condition précédente sur \(\tilde k\), \(G\) est de rang unipotent nul] … \(= \mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G_{\tilde k})\). « séparable » est souligné deux fois et « algébrique » écrit au-dessus, sans que l'un biffe clairement l'autre ; un trait vertical dans la marge embrasse le 2°)

3°) Si \(G\) est unipotent, alors on sait que \(\mathrm{Pic}(G)\) est annulé par une puissance de la car. \(p\). Si \(G\) est de rang unipotent nul et \(\mathrm{Hom}_{\bar k\text{-gr}}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_{m \bar k}) = 0\), alors \(\mathrm{Pic}(G)\) fini \(\simeq \mathrm{Pic}(G_{\bar k}) =\) groupe fini.

(vii) \(\overset{?}{\Longrightarrow}\) (vi)

(vii) \(\not\Rightarrow\) (vi) = si \(\psi\) birationnel, \(\mathrm{Sl}(2, k)\) car. 2.

(vi) \(\not\Rightarrow\) (v)

(x) \(\not\Rightarrow\) (i)

(vii) \(\not\Rightarrow\) (x) ok.

a fortiori (vi) \(\not\Rightarrow\) (i), (x) \(\not\Rightarrow\) (xiii)

(x) \(\not\Rightarrow\) (i) ; Cas semi-simple — –

(i) \(\not\Rightarrow\) (x) ; a fortiori (vi) \(\not\Rightarrow\) (v), (vi) \(\not\Rightarrow\) (x), (i) \(\Rightarrow\) (xiii) ; \(GP(2, k)\), car. 2toute la moitié supérieure de la page est annulée par de longues diagonales ; un « ? » en marge gauche en regard de « (vi) \(\not\Rightarrow\) (v) » ; les groupes « a fortiori » sont entourés

!en marge gauche, avec un trait qui mène à l'accolade suivante \[ \left\{ \begin{array}{ll} (\mathrm{vii}) \not\Rightarrow (\mathrm{vi}) & = \text{si } \psi \text{ birationnel} : \mathrm{Sl}(2, k), \text{ car. } 2 \\[3pt] (\mathrm{x}) \not\Rightarrow (\mathrm{v}) & [\mathrm{x} \not\Rightarrow (\mathrm{i}),\ (\mathrm{x}) \not\Rightarrow (\mathrm{xiii}),\ (\mathrm{vi}) \Rightarrow (\mathrm{v})] \\ & \text{Cas d'un système de } G \text{ semi-simple} \ldots \\[3pt] (\mathrm{i}) \not\Rightarrow (\mathrm{x}) & [(\mathrm{v}) \not\Rightarrow (\mathrm{x}),\ (\mathrm{vi}) \not\Rightarrow (\mathrm{x}),\ (\mathrm{i}) \not\Rightarrow (\mathrm{xiii})] \\ & GP(2, k), \text{ car. } 2 \end{array} \right. \] « système » est une lecture douteuse

dans la marge gauche, en regard, « \(G = PGl(2, k)\) », « \(\dim W = 1\) », « \(\dim X : 3 - 1 + 2 = 4\) », un zigzag de biffure sur ces lignes, et une boucle qui enferme \[ (\mathrm{vii}) \not\Rightarrow (\mathrm{vi}), \qquad (\mathrm{x}) \not\Rightarrow (\mathrm{v}), \qquad (\mathrm{v}) \not\Rightarrow (\mathrm{i}) \]

(v) \(\not\Rightarrow\) (i) ???encadré ; à droite, \(\mathrm{x} \neq \mathrm{i}\)

\(\mathfrak{h} = \mathfrak{n}\)entouré

(xii) \(=\) (x) \(+\) (vii)

(xiii) \(=\) (xii) \(+\) (v)encadré ; le dernier signe, sous une tache d'encre, ne se lit pas

Si \(\mathfrak{h}\) […]

Lemme. \(\mathfrak{h}\) alg. de Lie nilpotente ⌜sur un corps infini \(k\)⌝ opérant sur un vectoriel \(V\). Supposons que pour tt \(x \in \mathfrak{h}\), \(\rho(x)\) soit non injectif. Alors \(\exists\, v \in V\), \(v \neq 0\) tel que \(\rho(\mathfrak{h}) v = 0\).« sur un corps infini \(k\) » est entouré, en interligne, relié au texte ; un trait vertical dans la marge embrasse l'énoncé

\(\bar k\) alg., \(V = \coprod V_i\), \(V_i\) propre ⌜primaires⌝ pour la fonction poids \(\lambda_i\) sur \(\mathfrak{h}\). L'hypothèse signifie que pour tt \(x \in \mathfrak{h}\), \(\exists\, i\) tel que \(\lambda_i(x) = 0\), donc \(V = \bigcup V(\lambda_i)\). Par le principe du prolongement des identités, on en conclut que \(\exists\, i\) tel que \(\lambda_i = 0\). Donc, \(\mathfrak{h}\) opère sur \(V_i\) […] par opérations nilpotentes. Donc […] […] par Engel, \(\exists\, v \in \mathfrak{h}\)sic, pour \(V\) (ou \(V_i\)), \(v \neq 0\), tel que \(\mathfrak{h} . v = 0\), ok.

\[ P_i(x, t) = \sum c_i(x)\, t^{n-i} \] \[ \underbrace{t^{n} - c_1(x)\, t^{n-1} \ldots \pm c_n}_{[t - \lambda(x)]^{n}} = 0 \qquad \lambda(x)^{n} = c_n \] ces trois lignes sont au crayon ; la lettre de \(P_i\) et le signe du dernier terme sont douteux

page au crayon, sauf la chaîne d'implications, à l'encre

\[ \mathfrak{L} \subset \mathfrak{g}, \qquad \mathfrak{L} + k\, \mathfrak{g}_{\alpha}, \qquad \sum_{\beta \neq \alpha} \lambda_{\beta} X_{-\beta} \] […] \(\bar\beta = 0\) \[ \Bigl[ X_{-\alpha}, \sum_{\beta \neq \alpha} \lambda_{\beta} X_{-\beta} \Bigr] = \sum \lambda_{\beta} [X_{-\alpha}, X_{-\beta}], \qquad [X_{\alpha}, X_{\beta}] \]

Deux racines \(X_1, X_2, X_3\)

suivent deux esquisses de matrices, une \(2 \times 2\) et une \(3 \times 3\) figurées par des points, puis un \(\mathfrak{L}\) et une lettre biffée

\[ \begin{array}{l} (\mathrm{xiv}) \Rightarrow (\mathrm{i}) \Rightarrow (\mathrm{iii}) \Rightarrow (\mathrm{v}) \\ (\mathrm{xiv}) \searrow (\mathrm{x}?) \Rightarrow (\mathrm{xii}) \end{array} \] le numéro de la seconde ligne, noté ici \((\mathrm{x}?)\), est surchargé et souligné, et ne se lit pas

[Une seule racine \(\alpha > 0\) telle que \(\bar\alpha \neq 0\) ; une racine \(\beta > 0\) telle que \([X_{\alpha}, X_{\beta}] \neq 0\)]

Alors \(\mathfrak{L} + k\, \mathfrak{g}_{-\beta}\) est son propre normalisateur, satisfait au th. de densité, mais ne contient que des non-algèbres de Cartan.le tout encadré ; « seule » et « satisfait » soulignés ; dans la première ligne, le signe après \(\bar\alpha\) semble barré, alors que celui de \(\bar\beta = 0\) plus haut ne l'est pas