Cote n° 27, pages 1–20

Cote n° 27 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · SGA D [SGA 3]. Compléments XII à XVII : tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1962-1970]
Édition de démonstration

Divers pour XII à XIV

inscrit au crayon en haut à droite du feuillet de garde (page 1), qui ne porte rien d'autre ; les deux chiffres romains sont soulignés. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Co Exp XIIIau crayon, en haut à droite, « XIII » souligné, à gauche du numéro tapé 6

feuillet de tapuscrit paginé 6, repris à la main. Le texte tapé est publié : on en donne la teneur et ses interventions, sans le recomposer. Il porte l'énoncé de la Proposition 1.3 — avec les notations précédentes, \(G\), \(V\), \(W\) géométriquement irréductibles et l'inégalité (2) valable, les conditions (i) \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\) et \(N\) lisse sur \(k\) ; (ii) \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\) et \(\dim X = \dim V\) (cf. lemme 1.2) ; (iii), (iii bis), (iii ter) \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\) et \(\psi : X \to V\) génériquement quasi-fini, resp. non ramifié, resp. étale ; (iv), (iv bis) \(\psi\) non ramifié, resp. étale, en \((e^{*}, a)\) ; (v) \(\psi\) lisse en \((e^{*}, a)\), \(N\) lisse sur \(k\) et (2) une égalité ; (vi) \(M_a\) et \(N\) coïncidant au voisinage de \(e\) — la chaîne d'implications (3), et le début de la démonstration par le lemme 1.1 et 1.2. Les lettres gothiques \(\mathfrak{n}\), \(\mathfrak{m}_a\), les \(\psi\) et toutes les flèches d'implication sont portées à la main dans les blancs de la frappe

première ligne : « Avec les notations précédentes, suppos[ons] encore » — la désinence « ons » à l'encre sur la frappe ; l'ajout tapé en interligne « et \(G, V, W\) géométriquement irréductibles. » est relié au texte par un trait d'encre et une virgule, et le « c » de « considérons » est surchargé en capitale ;
dans (v), « égalité. » écrit à la main au début de la ligne suivante, suivi d'un mot manuscrit biffé, […] ;
(3) en marge gauche de la chaîne d'implications, qu'il écrit à l'encre : \[ (\mathrm{v}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv\ bis}) \Rightarrow (\mathrm{iii\ ter}) \Rightarrow (\mathrm{i}) \Leftrightarrow (\mathrm{ii}) \Leftrightarrow (\mathrm{iii}) \Leftrightarrow (\mathrm{iii\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv}) \Leftrightarrow (\mathrm{vi}) ; \] « \({}\Leftrightarrow (\mathrm{iii\ bis}) \Leftrightarrow{}\) » est ajouté en interligne au-dessus, entre (iii) et (iv), avec une accolade ; un crochet enserre « (v) » ; le « bis » tapé de (iii ter) est surchargé en « ter » ;
la suite : « si \(V\) est lisse sur \(k\) et \(W\) géométriquement [génériquement] réduit, on a (iii ter) \(\Leftrightarrow\) (i), si de plus [enfin] \(V\) est géométriquement normal [en \(a\)] […] toutes les conditions envisagées sont équivalentes. » — « génériquement », « enfin » et « en a » de sa main en interligne, « ter » et « (i) » surchargés à l'encre ;
dans la démonstration, « (i) \(\Rightarrow\) (iv) \(\Leftrightarrow\) (vi) », le dernier chiffre corrigé à l'encre ; « (iv) implique (iii bis) que \(\psi\) est génériquement non ramifié » ; « donc », « \(\geqslant\) », « \(\leqslant\) », « on a » et une virgule après « 1.2. » portés ou repassés à l'encre.

feuillet paginé 7. Fin de la démonstration de la proposition 1.3 : (iv bis) implique \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\) et équivaut à (v) ; si \(V\) est génériquement réduit, (iii bis) \(\Rightarrow\) (iii ter) ; si \(V\) est normal en \(a\), (iv) \(\Rightarrow\) (iv bis) par SGA I 9.5 (ii). Puis le Corollaire 1.4 (\(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), \(V\) normal en \(a\) : \(\phi\) est lisse en \((e, a)\), donc \(M_a\) est lisse sur \(k\) en \(e\) et \(\psi\) lisse en \((e^{*}, a)\)) et le début de sa démonstration par la suite d'inégalités \(\dim V + \mathrm{rang}\, \mathfrak{n} \leqslant \dim(G \times W) \leqslant \dim_{(e,a)} \phi^{-1}(a) + \dim V \leqslant \dim \mathfrak{m}_a + \dim V\), la théorie de la dimension et un théorème de Chevalley. Mêmes lettres et flèches portées à la main

« Si \(V\) est réduit (ou seulement génériquement réduit[,] […] » — la virgule à l'encre ; l'interligne tapé « comme » est pris dans la phrase ;
« et non seulement [non] ramifié » : l'interligne tapé « non » relié par un signe d'insertion à l'encre ; un mot tapé biffé à l'encre après « en \((e^{*}, a)\), » ;
Corollaire 1.4 : après « \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_a\), » l'ajout tapé en interligne « \(V\) normal en \(a\). » est tiré dans la ligne par une accolade d'encre ; un signe biffé avant « donc » ;
le « rang » repassé, le dernier « \(V\) » de la suite d'inégalités et « provient » surchargés à l'encre ; retouches d'une lettre (« Corollaire », « rédiduel », « générique ») qu'on ne relève pas une à une.

\(e\)à l'encre, dans la marge gauche, en regard de la première ligne

feuillet paginé 8. Fin de la démonstration de 1.4 (troisième inégalité par l'isomorphisme \(\phi^{-1}(a) \simeq M_a\), lissité de \(\phi\) par un théorème de EGA IV) ; remarque que la démonstration invoque des résultats délicats mais n'est pas utilisée ensuite ; puis l'énoncé du Corollaire 1.5, indépendant du choix de \(a\) : conditions (i), (i bis), (i ter) (\(\psi\) génériquement non ramifié, étale, lisse avec \(N\) lisse et (2) une égalité), (ii) à (iv) (il existe \(a \in W(k)\) tel que …), et les implications (ii) \(\Leftrightarrow\) (iii) \(\Leftrightarrow\) (iv) \(\Rightarrow\) (i) \(\Leftrightarrow\) (i bis) \(\Leftrightarrow\) (i ter), toutes équivalentes si \(k\) est algébriquement clos. Lettres gothiques, \(\psi\), \(\in\) et flèches portés à la main

« c'est une égalité si et seulement si \(M_a\) est [régulier en \(e\) i.e.] lisse sur \(k\) en \(e\) i.e. \(\phi^{-1}(a)\) est lisse sur \(k\) en \((e,a)\) » — « régulier en \(e\) i.e. » de sa main en interligne, relié par une accolade ;
« Comme \(V\) est réduit normal donc réduit en \(e\) » ; les interlignes tapés « s'ensuit (par un » et « la » (« de [la] théorie des schémas ») sont reliés à l'encre ; « sur en \((e,a)\) » ; « n'aurons » surchargé ;
Corollaire 1.5 : « Considérons les et supposons \(V\) génériquement réduit. Alors les … [séparable sur \(k\).] Considérons les conditions suivantes » — « séparable sur k. » de sa main en interligne ;
(i) : un mot biffé avant \(\psi\) ; « (i ter) » surchargé sur « (i bis) » ;
dans (ii) et (iii), les lettres gothiques portées à la main se lisent « \(\mathfrak{m} = \mathfrak{n}_a\) », dans l'ordre inverse de la page 2 ; on transcrit tel quelsic ?.

feuillet paginé 9. Démonstration du corollaire 1.5 (réduction au cas \(k\) algébriquement clos, \(\psi\) dominant, choix d'un point \(x \in X(k)\) où \(\psi\) est non ramifié et d'image régulière) ; puis l'énoncé du Corollaire 1.6 : pour que \(\psi\) soit birationnel, il faut et il suffit que les conditions de 1.5 soient satisfaites et qu'il existe un ouvert non vide \(U\) de \(V\) tel que tout \(a \in U(k)\) soit contenu dans un unique conjugué de \(W\) par un élément de \(G(k)\) ; et, pour \(a \in V(k)\), l'équivalence de (i) un unique conjugué de \(W\) contient \(a\), (ii) l'ensemble de ces conjugués est fini non vide, (iii) le schéma \(\psi^{-1}(a)\) a un point isolé. \(\psi\), \(\phi\), \(\in\) et flèches portés à la main

« On aura \(x = \phi(g^{*}, a)\) » : le \(\phi\) à l'encre ;
Corollaire 1.6 : « Soient \(G, V, W\) comme dans 1.3 » — le 3 surchargé à l'encre, un mot biffé ensuite — et, en interligne, « ([\(V\) normal, \(k\)] alg. clos.) », les quatre premiers mots de sa main devant l'interligne tapé « alg. clos. » ;
« un élé[ment] de \(G(k)\) », la fin du mot à l'encre ;
dans (iii), les guillemets « » autour de « des conjugués de \(W\) qui contiennent \(a\) » sont à l'encre.

feuillet paginé 10. Suite du corollaire 1.6 : si de plus \(W\) est réduit et si \(U\) est le plus grand ouvert de \(V\) au-dessus duquel \(\psi\) est un isomorphisme, les conditions équivalent aussi à (iv) \(a \in U(k)\) ; la démonstration par le Main Theorem de Zariski et la platitude de \(p : X \to G/N\). Puis la Remarque 1.7 : sous 1.6, un point satisfaisant (i) à (iii) sera appelé point \(W\)-régulier de \(V\) ; sans \(k\) algébriquement clos, \(a\) est \(W\)-régulier si \(\phi^{-1}(a)\) est non vide et fini sur \(k(a)\) ; sous les conditions plus générales de 1.5, on introduit le degré de projection \(d\) de \(\psi\) et le plus grand ouvert \(U\) au-dessus duquel \(\psi\) est étale et fini. \(\psi\) et flèches portés à la main

« Lorsque de plus [\(W\) est] réduit » : l'interligne tapé « W est » tiré à l'encre ;
deux traits de crayon dans la marge gauche, sous « (iv) \(a \in U(k)\) » ;
« [On] not[era] que […] l'hypothèse que \(\psi\) est birationnel » ; « que \(W\) [soi]t réduit ou non » ; « Th[eo]rem » surchargés à l'encre ;
Remarque 1.7 : « point » et « \(W\)-régulier » soulignés à l'encre ; la phrase « Cette notion manifestement est stable par extension du corps de base \(k \to k'\), avec \(k'\) algébriquement clos. » est barrée d'un trait d'encre, que longe une ligne festonnée dont le sens n'est pas sûr ;
« est [non vide et] fini sur \(k(a)\)[,] […] » — interligne tapé relié à l'encre, virgule à l'encre, un mot manuscrit biffé ;
« étale » et « fini » soulignés à l'encre ; « Lorsque \(V\) est normal ([et] \(X\) réduit (p.ex. \(W\) réduit)), alors un \(a \in V\) » — « et » de sa main devant l'interligne tapé, les parenthèses à l'encre ; « ra[tion]nel » surchargé.

Complément XII

titre de sa main, souligné, en tête de la page 8

6. Le tore central maximal. Relations avec […] […] groupe

Tores quotients d'un groupe algébrique

6.1. Définition en général Compatibilité avec extension de la […] base, descente, […] …

6.2. Existence lorsqu'il existe un centr. réductif, etc …les deux lignes de droite sont enfermées par un trait d'accolade qui les rattache à 6.1 et 6.2

6.3. N.B. […] […], des groupes algébriques Cas d'un groupe algébrique : un […] maximal central [N.B. le groupe algébrique n'est […] […] affine …].

lisse […] affineencadré à droite, au-dessus de 6.4, relié par un trait à la ligne de 6.4

6.4. Soit \(G\) un groupe algébrique lisse sur un corps parfait, alors soit \(R\) son tore central maximal. Alors il existe un sous-groupe fini \(Z\) de \(R\), tel que \(G_Z\) soit […] […] […] […] […] de \(R_Z\) et d'un […] […] \(H\). De plus, \(H\) est tel que […]tout ce paragraphe est encadré et annulé par quatre longues diagonales et un trait sous sa dernière ligne ; l'indice de \(G_Z\), \(R_Z\) se lit mal (peut-être \(G/Z\), \(R/Z\))

Th. 6.4 (Rosenlicht)nom entouré, au crayon, dans l'interligne au-dessus du théorème. \(X\), \(Y\) géom. intègres sur un corps \(k\), munis de pts \(a\), \(b\) rationnels dans \(k\). Soit \[ \varphi : X \times Y \to \mathbf{G}_m \quad \text{tel que} \quad \varphi(x, y) = 1, \] la lettre devant « \((x,y) = 1\) » est surchargée et l'argument ne se lit pas sûrement alors \(\varphi\) est de la forme \[ \varphi(x, y) = \varphi_1(x)\, \varphi_2(y) \] i.e. \(\varphi_1(\varphi_2)\) \(u(w)\) […] […] […] produisant[…] morphismes \(X \to \mathbf{G}_m\) (\(Y \to \mathbf{G}_m\)).

On peut supposer que […] […] \(X\), \(Y\) affines.

Equivalent : ceci : […]

Si \(u(x, b) = 1\), \(u(a, y) = 1\) identiquement, alors \(u(x, y) = 1\) identiquement. Sous cette forme, on peut supposer […] \(k\) alg. clos. Alors […] […] […] N.B. […] […] […] aussi […] […] implique \(X\), \(Y\) […] […] […] […] ; […] […] généralement […] : \(u(x,y)\) […] […] \(X \times Y \to \mathbf{G}_m\) […] de la forme …passage très raturé : plusieurs lignes biffées, un encadré, et une ligne en vague qui relie la phrase conservée à la ligne encadrée

On peut supposer \(X\), \(Y\) affines, et une réduction immédiate nous ramène au cas où \(X\), \(Y\) [sont] de dim 1.

Corollaire. Kif-kif, \(G\) remplacé par un […] groupe […]

Soit \(T\) un tore.encadré à droite

\(X \times Y \subset \overline{X} \times \overline{Y}\) […]

Corollaire. Tout morphisme \(O(\overline{X} \times \overline{Y})\) d'un \(u : G \to \mathbf{G}_m\), qui \(G\) groupe lisse connexe, qui envoie \(e\) dans \(e\), est un homomorphisme de groupes. […] […]« lisse connexe » souligné au crayon ; la ligne \(X \times Y \subset \overline{X} \times \overline{Y}\) et le \(O(\overline{X} \times \overline{Y})\) sont barrés d'un long trait de crayon

Corollaire 3 […] Proposition ? \(\mathrm{Hom}(G, \mathbf{G}_m)\) […] […] \(\mathrm{Hom}_k(G, \mathbf{G}_m)\) […] […] […] de type fini. Déf […] groupe de type fini.

Proposition ? Il existe un […] [épimorphisme […]]au-dessus, en interligne : « \(G\) […] algébrique » et « hom » \[ G \longrightarrow H \] \(H\) de t.m., tel que \(H\) […] tout hom. de \(G\) dans un groupe de t.m. se factorise de façon unique par \(H\).

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
R \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & Z \arrow[d, hook] \\
T \arrow[r, hook] & G \arrow[d] \\
& \Gamma
\end{tikzcd}

diagramme de la marge gauche : \(R \subset Z\), \(T \subset G\), les inclusions verticales, une flèche descendant de \(G\) vers une lettre lue \(\Gamma\) ; à droite de \(Z\) un griffonnage et une flèche descendante non lus

b) Lorsque \(k\) est parfait, la formation de \(H\) est compatible avec \(H\) extension de la base.

c) Lorsque \(G\) est connexe [et lisse]« et lisse » au crayon, en interligne, \(H\) est un tore.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "\text{épim}"] & H \\
G^{\circ}_{\mathrm{réd}} \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & H^{\circ} \arrow[u]
\end{tikzcd}

\[ G/G^{\circ}_{\mathrm{réd}} \to H/H^{\circ} \] le trait entre \(G\) et \(G^{\circ}_{\mathrm{réd}}\) porte une marque biffée

N.B. Si \(k\) est imparfait, [même] si \(G\) […] […] […] est connexe et lisse, la formation de \(H\) n'est en général pas compatible […] …

Corollaire Proposition. \(G\) un groupe connexe […] sur \(k\), \(R\) un groupe de t.m. [tore]. Alors les extensions […] de \(G\) par \(R\) qui splittent […] \(H^{i}_{\mathrm{Hochschild}}(G, R) \simeq\) […] […] principaux homogènes splittent.la ligne biffée porte, sous \(H\), le mot « Hochschild »

\[ 0 \to C^{\cdot}(e, R) \to C^{\cdot}(H, R) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(H^{\cdot}, R) \to 0 \] \[ H^{i}(\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(H^{\cdot}, R)) \] un \(E\) biffé devant \(\mathrm{Hom}\) ; les deux lignes sont fermées à droite par un crochet

En effet, [d'ext. centrale] […] […] cocycles […], […] […] […] d'une extension de \(H\) par \(R\), donc splitte.

XII

« XII », souligné, dans la marge gauche en tête de la page 11

Cor. 5.8. Supposons \(S\) normal [noeth.]. Soit irréductible.

Soit \(U\) un ouvert de \(S\), tel que \(S - U\) de codim \(\geqslant 2\). Alors tt […] ss-groupe de t.m. de \(G|U\) provient d'un unique ss-groupe de t.m. de \(G\).

Cor. 5.9. Supposons \(S\) normal […] […] […] de […] point \(y\), soit \(\overline{H}_y\) un sous-groupe de t.m. [sous-tore] de \(G_y\). Pour que \(H_y\) soit la fibre générique d'un sous-groupe de t.m. [tore] \(\overline{H}\) de \(G\), il faut et il suffit que pour tout \(s \in S\) tel que \(\dim(\overline{H}_y)\) \(\dim \mathcal{O}_{S,s} = 1\), \((\overline{H}_y)^{\circ}_{s, \mathrm{réd}}\) soit un tore. de t.m.

rédiger mieuxécrit de biais dans la marge gauche, en regard de la fin du corollaire 5.9, qu'un trait vertical embrasse

Cor. 5.10. Sous les conditions précédentes, supposons que \(\overline{H}_y\) soit […] un tore […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] résiduel) […] […] utilise unannulé par quatre diagonales ; une ligne biffée et un interligne au milieu ne se lisent pas

Alors …

Lemme —

en bas à droite : « TSVP »

Lemme utilisé au corollaire nouveau ?

!!dans la marge gauche, en regard de la première ligne

XI […], Corollaire 4.[…]« XI » souligné ; le chiffre après « 4. » est surchargé […] […]

\(G\) lisse affine sur \(S\) local […] […] fini \(S\). […] \(H(n)\) famille de ss-groupes de \(G\), de t.m., \(H(n)\) […] \(H(m)\)une relation entre \(H(n)\) et \(H(m)\), indicée, dont le signe ne se lit pas sûrement, on suppose qu'il existe un ss-groupe de t.m. \(H_s\) de \(G_s\) tel que \(H(n)_s = H_s\) pour tt \(n\). Alors \(\exists\) ss-groupe \(H\) [de t.m.] unique de \(G\) tel que \(H\) […] \(= H(n)\), \(\forall n\).« de t.m. » est entouré en interligne ; le signe entre \(H\) et \(H(n)\) porte peut-être un indice

Remarque. Je utilise Envisager […] […] […] […], […] […] dans l'un des diviseurs premiers […] […] \(P \neq \emptyset\) (\(P\) […] […] […] premiers) prouvera que la torsion du type \(H_s\) est première à \(P\). On utilise pour ceci la variante de la démonstration précédente, où \(M\) remplacé […] […] sous-groupe de t.m. de type \(=\) type de \(H_s\) [et […] […] utilisera […] […] de densité de […] dém. […] la fermeture […] ]un trait vertical dans la marge gauche embrasse la remarque

Proposition. Soit \(G\) groupe algébrique affine sur corps alg. clos \(k\). Alors \(\mathrm{Pic}(G)\) est fini. Si \(G_{\mathrm{réd}}\) est lisse et résoluble, \(\mathrm{Pic}(G)\) […] \(\mathrm{Pic}(G)\) est nul. Si \(G\) est lisse, connexe, \(G\) est […] \(\mathrm{Pic}(G)\) […] […] […] \[ \mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G/B)/\mathrm{Im}\, \mathbf{D}(T) \] [\(B\) Borel, \(T \subset B\) tore maximal, \[ \mathbf{D}(T) \to \mathrm{Pic}(G/B), \qquad \mathbf{D}(T) \simeq \mathrm{Hom}(B, \mathbf{G}_m) \] par caractéristiques]le \(\simeq\) est porté sous \(\mathbf{D}(T)\), verticalement ; plusieurs soulignements au crayon

dans la marge gauche, en regard : \(R \subset B \subset G \to G/B\), et au-dessous « \(R \cap T\) » avec un \(\breve{T}\) dont le signe n'est pas sûr

Si \(G\) est […] [semi-simple], \(\mathrm{Pic}(G) = 0\) ssi \(G\) est simplement connexe.

à gauche de cet énoncé, une ligne ondulée enferme le diagramme suivant, qu'il met en regard de deux colonnes de quotients

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\mathrm{Pic}(G/B) \arrow[r, leftrightarrow] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \mathbf{D}(T/R) \arrow[d] \\
\mathrm{Pic}(G/B) & \mathbf{D}(T) \arrow[l]
\end{tikzcd}

\[ \begin{array}{ll} G/R \to G/B, & T/R \subset G/R \\ G \to G/B, & T \subset G \end{array} \] colonne de gauche ; une flèche montante relie les deux lignes ; devant \(T/R\), une flèche partant d'un \(T\) biffé

\[ G/R = GP(n) \to \text{Dém.}, \qquad G = GL(n) \to \text{Dém.}, \quad T(n) \subset G \] « Dém. » est une lecture douteuse ; un \(G\) biffé entre les deux lignes ; les deux exemples sont écrits l'un sous l'autre dans la marge gauche, sous un trait

Proposition. \(G\) […] […] groupe alg. affine sur un corps \(k\). Alors \(\exists\) entier \(n > 0\) [égal au degré d'une extension convenable \(k'\) de \(k\)] tel que […] \(n \,\mathrm{Pic}(G) = 0\). Si \(G_{\mathrm{réd}}\) […] […], alors […] […] […] pour un […] […] […] du corps […] \(G\). Les précisions […] […]le passage biffé est encadré et barré de lignes en festons

1°) On peut prendre pour \(n\) le degré de toute extension finie \(k'\) de \(k\) ayant les propriétés suivantes :

a) \(G_{k' \mathrm{réd}}\) est lisse sur \(k'\) i.e. séparable\(/k'\)

b) \(G_{k' \mathrm{réd}}\) admet un Borel Les pts de \(G/G^{\circ}\) sont définis [rationnels] sur \(k'\).

c) « Le » radical \(R'\) est [de \(G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}}\)] est défini sur \(k'\), et splitté \(G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}}\) admet un Borel \(B'\) qui est splitté sur \(k'\) [suite de composition : quotients successifs \(\mathbf{G}_a\) ou \(\mathbf{G}_m\)]« de \(G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}}\) » est la ligne biffée d'abord écrite pour c), rattachée par un trait au radical

d) [hyp […]] \(G^{\circ}_{k' \mathrm{réd}}/R'\) a un groupe […] […] [déployé] a un tore maximal de \(B'\) [[…] maximal est splitté] et \(N(T')\), \(C(T')\) […] […] […]! […], doncinterlignes et biffures enchevêtrés ; lecture d'ensemble douteuse

Par suite, 1°) Si \(G\) est unipotent [connexe], on peut prendre […] une puissance de la caractéristique. 2°) Si \(G\) est réductif […] simple, alors (\(\mathrm{Hom}(G, \mathbf{G}_m)\) étant nul, après […] […] […]) […] […] […]] \(\mathrm{Pic}\) \(G\) est lissele bloc est encadré et annulé par trois diagonales

2°) Supposons que \(\mathrm{Hom}_{\bar k\text{-gr}}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_{m \bar k}) = 0\), et que \(G\) est [lisse et] connexe« lisse et » entouré, en interligne, avec un « \(k\)-gr » au-dessus. Soit \(\tilde k\) la clôture [algébrique] séparable de \(k\). Alors \(\mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G_{\tilde k})\). En particulier, si \(\mathrm{Hom}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_m)\) Si même \(\mathrm{Hom}_{\tilde k\text{-gr}}(G_{\tilde k}, \mathbf{G}_{m k}) = 0\) [ce qui […] […] […] de la condition précédente sur \(\tilde k\), \(G\) est de […] unipotent nul] … \(= \mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G_{\tilde k})\). « séparable » est souligné deux fois et « algébrique » écrit au-dessus, sans que l'un biffe clairement l'autre ; un trait vertical dans la marge embrasse le 2°)

3°) Si \(G\) est unipotent, alors on sait que \(\mathrm{Pic}(G)\) est annulé par une puissance de la car. \(p\). Si \(G\) est de […] unipotent nul et \(\mathrm{Hom}_{\bar k\text{-gr}}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_{m \bar k}) = 0\), alors \(\mathrm{Pic}(G)\) fini \(\simeq \mathrm{Pic}(G_{\bar k}) =\) groupe fini.

(vii) \(\overset{?}{\Longrightarrow}\) (vi)

(vii) \(\not\Rightarrow\) (vi) = si \(\psi\) birationnel, \(\mathrm{Sl}(2, k)\) car. 2.

(vi) \(\not\Rightarrow\) (v)

(x) \(\not\Rightarrow\) (i)

(vii) \(\not\Rightarrow\) (x) ok.

a fortiori (vi) \(\not\Rightarrow\) (i), (x) \(\not\Rightarrow\) (xiii)

(x) \(\not\Rightarrow\) (i) ; Cas semi-simple — –

(i) \(\not\Rightarrow\) (x) ; a fortiori (vi) \(\not\Rightarrow\) (v), (vi) \(\not\Rightarrow\) (x), (i) \(\Rightarrow\) (xiii) ; \(GP(2, k)\), car. 2toute la moitié supérieure de la page est annulée par de longues diagonales ; un « ? » en marge gauche en regard de « (vi) \(\not\Rightarrow\) (v) » ; les groupes « a fortiori » sont entourés

!en marge gauche, avec un trait qui mène à l'accolade suivante \[ \left\{ \begin{array}{ll} (\mathrm{vii}) \not\Rightarrow (\mathrm{vi}) & = \text{si } \psi \text{ birationnel} : \mathrm{Sl}(2, k), \text{ car. } 2 \\[3pt] (\mathrm{x}) \not\Rightarrow (\mathrm{v}) & [\mathrm{x} \not\Rightarrow (\mathrm{i}),\ (\mathrm{x}) \not\Rightarrow (\mathrm{xiii}),\ (\mathrm{vi}) \Rightarrow (\mathrm{v})] \\ & \text{Cas d'un système de } G \text{ semi-simple} \ldots \\[3pt] (\mathrm{i}) \not\Rightarrow (\mathrm{x}) & [(\mathrm{v}) \not\Rightarrow (\mathrm{x}),\ (\mathrm{vi}) \not\Rightarrow (\mathrm{x}),\ (\mathrm{i}) \not\Rightarrow (\mathrm{xiii})] \\ & GP(2, k), \text{ car. } 2 \end{array} \right. \] « système » est une lecture douteuse

dans la marge gauche, en regard, « \(G = PGl(2, k)\) », « \(\dim W = 1\) », « \(\dim X : 3 - 1 + 2 = 4\) », un zigzag de biffure sur ces lignes, et une boucle qui enferme \[ (\mathrm{vii}) \not\Rightarrow (\mathrm{vi}), \qquad (\mathrm{x}) \not\Rightarrow (\mathrm{v}), \qquad (\mathrm{v}) \not\Rightarrow (\mathrm{i}) \]

(v) \(\not\Rightarrow\) (i) ???encadré ; à droite, \(\mathrm{x} \neq \mathrm{i}\)

\(\mathfrak{h} = \mathfrak{n}\)entouré

(xii) \(=\) (x) \(+\) (vii)

(xiii) \(=\) (xii) \(+\) (v)encadré ; le dernier signe, sous une tache d'encre, ne se lit pas

Si \(\mathfrak{h}\) […]

Lemme. \(\mathfrak{h}\) alg. de Lie nilpotente [sur un corps infini \(k\)] opérant sur un vectoriel \(V\). Supposons que pour tt \(x \in \mathfrak{h}\), \(\rho(x)\) soit non injectif. Alors \(\exists\, v \in V\), \(v \neq 0\) tel que \(\rho(\mathfrak{h}) v = 0\).« sur un corps infini \(k\) » est entouré, en interligne, relié au texte ; un trait vertical dans la marge embrasse l'énoncé

\(\bar k\) […], \(V = \coprod V_i\), \(V_i\) propre [primaires] pour la fonction poids \(\lambda_i\) sur \(\mathfrak{h}\). L'hypothèse signifie que pour tt \(x \in \mathfrak{h}\), \(\exists\, i\) tel que \(\lambda_i(x) = 0\), donc \(V = \bigcup V(\lambda_i)\). Par le principe du prolongement des identités, on en conclut que \(\exists\, i\) tel que \(\lambda_i = 0\). Donc, \(\mathfrak{h}\) opère sur \(V_i\) […] par opérations nilpotentes. Donc […] […] par Engel, \(\exists\, v \in\) \(\mathfrak{h}\)sic ?, \(v \neq 0\), tel que \(\mathfrak{h} . v = 0\), ok.

\[ P_i(x, t) = \sum c_i(x)\, t^{n-i} \] \[ \underbrace{t^{n} - c_1(x)\, t^{n-1} \ldots \pm c_n}_{[t - \lambda(x)]^{n}} = 0 \qquad \lambda(x)^{n} = c_n \] ces trois lignes sont au crayon ; la lettre de \(P_i\) et le signe du dernier terme sont douteux

page au crayon, sauf la chaîne d'implications, à l'encre

\[ \mathfrak{L} \subset \mathfrak{g}, \qquad \mathfrak{L} + k\, \mathfrak{g}_{\alpha}, \qquad \sum_{\beta \neq \alpha} \lambda_{\beta} X_{-\beta} \] […] \(\bar\beta = 0\) \[ \Bigl[ X_{-\alpha}, \sum_{\beta \neq \alpha} \lambda_{\beta} X_{-\beta} \Bigr] = \sum \lambda_{\beta} [X_{-\alpha}, X_{-\beta}], \qquad [X_{\alpha}, X_{\beta}] \]

Deux racines \(X_1, X_2, X_3\)

suivent deux esquisses de matrices, une \(2 \times 2\) et une \(3 \times 3\) figurées par des points, puis un \(\mathfrak{L}\) et une lettre biffée

\[ \begin{array}{l} (\mathrm{xiv}) \Rightarrow (\mathrm{i}) \Rightarrow (\mathrm{iii}) \Rightarrow (\mathrm{v}) \\ (\mathrm{xiv}) \searrow (\mathrm{x}?) \Rightarrow (\mathrm{xii}) \end{array} \] le numéro de la seconde ligne, noté ici \((\mathrm{x}?)\), est surchargé et souligné, et ne se lit pas

[Une seule racine \(\alpha > 0\) telle que \(\bar\alpha = 0\) ; une racine \(\beta > 0\) telle que \([X_{\alpha}, X_{\beta}] \neq 0\)]

Alors \(\mathfrak{L} + k\, \mathfrak{g}_{-\beta}\) est son propre normalisateur, satisfait au th. de densité, mais ne contient que des […] algèbres de Cartan.le tout encadré ; « seule » et « satisfait » soulignés