Cote n° 27 · pages 1–36 · Lecture modernisée · SGA D [SGA 3]. Compléments XII à XVII : tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1962-1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Ces trente-six feuillets sont des chutes d'atelier : ce qui reste sur la table quand on a fini d'écrire un gros traité, ici le séminaire sur les schémas en groupes, rédigé au début des années soixante sous le sigle SGA 3. La chemise porte « Divers pour XII à XIV » : des compléments aux exposés de ce traité qui étudient les tores, les sous-groupes de Cartan et les éléments réguliers. On y trouve quelques feuillets dactylographiés qu'il corrige à la plume, et surtout des notes rapides, à l'encre, où il éprouve des énoncés.

Un groupe algébrique est un groupe dont les éléments forment une variété, les opérations étant données par des polynômes : les matrices inversibles, le cercle, une courbe elliptique. La géométrie y distingue trois matières. Il y a la matière compacte, celle des variétés abéliennes, dont la courbe elliptique — une bouée, un tore au sens des topologues — est le premier exemple. Il y a la matière circulaire, celle des groupes multiplicatifs : le groupe des nombres complexes non nuls, qui se rétracte sur un cercle, et ses puissances, qu'on appelle aussi, pour compliquer, des tores. Et il y a la matière rectiligne, celle des groupes unipotents : la droite munie de l'addition. Tout groupe algébrique se fabrique à partir de ces trois matières, et plusieurs nombres mesurent combien il en contient.

Le dernier tiers du dossier pose une question sur ces nombres. Qu'arrive-t-il quand un groupe dégénère — quand il varie dans une famille et qu'en un point de la famille il change brusquement de forme ? Une courbe elliptique peut dégénérer en le groupe multiplicatif : on pince un des lacets de la bouée, et il reste un cylindre. Le groupe multiplicatif peut à son tour dégénérer en la droite additive : le cercle s'ouvre. Le « théorème de semi-continuité » des pages 27 à 36 dit que la dégénérescence va toujours dans ce sens-là et jamais dans l'autre : en se spécialisant, la matière compacte ne peut que diminuer, la somme des matières compacte et circulaire aussi, la matière rectiligne ne peut que croître. La démonstration est belle. Pour montrer qu'une partie compacte ne peut pas surgir, elle compte les points d'ordre fini, qui se transportent d'un membre de la famille à l'autre, et regarde comment les symétries d'un corps fini les permutent. Sur le cercle, ces symétries agissent comme sur les racines de l'unité. Sur une variété abélienne, elles agissent autrement, et un théorème célèbre de Weil sur les courbes et les variétés abéliennes des corps finis dit exactement en quoi. Les deux comportements ne peuvent pas se confondre, et cela suffit.

La partie centrale du dossier traite d'une autre question, plus ancienne : comment reconnaître, dans un groupe, les éléments « génériques », dont un voisinage est aussi simple que possible ? Pour les matrices, ce sont celles dont les valeurs propres sont distinctes. Le traité avait donné une réponse en toute caractéristique, et ces notes cherchent jusqu'où elle tient. Elles dressent une liste de onze conditions qu'on pourrait vouloir prendre pour définition, et les séparent l'une de l'autre par des contre-exemples. Ceux-ci se trouvent en caractéristique 2, où \(1 + 1 = 0\) et où les matrices de trace nulle ne se comportent plus comme d'habitude, ou sur un corps fini, qui peut être trop petit pour contenir un seul élément générique. Sur le corps à \(p\) éléments, le plan n'a que \(p+1\) droites passant par l'origine, et chacun de ses points est sur l'une d'elles : aucun point n'évite toutes les droites interdites. Le dossier contient aussi des énoncés plus courts. Le lemme de Rosenlicht dit qu'une fonction qui ne s'annule jamais sur un produit se factorise en un produit de deux fonctions. Un calcul du groupe de Picard des groupes algébriques mesure, par exemple, pourquoi le groupe des matrices à homothétie près n'est pas simplement connexe. Enfin, un groupe sur un anneau de valuation discrète a un centre qu'aucun schéma ne représente.

Ce que ces feuillets montrent peut-être le mieux, c'est une manière de travailler. Un énoncé est écrit, puis son contre-exemple est cherché dans les plus petits groupes qui soient, \(\mathrm{SL}_{2}\) et \(\mathrm{PGL}_{2}\) en caractéristique 2. Une hypothèse est ajoutée au crayon quand l'exemple la réclame. Et Grothendieck s'arrête, au milieu de la démonstration du théorème principal, pour écrire que tel point est « à vérifier », au lieu de passer outre. Une marge dit « rédiger mieux », une autre « !! ».

Keywords — SGA 3, smooth group scheme, group of multiplicative type, maximal central torus, Rosenlicht unit lemma, character group, maximal multiplicative quotient, extension by a torus, Picard group of an algebraic group, simply connected semisimple group, Cartan subalgebra, regular element, nilpotent Lie algebra, Engel's theorem, adjoint action, characteristic 2 counterexamples, representability of the centre, Chevalley structure theorem, Cartan subgroup, abelian rank, reductive rank, unipotent rank, semisimple rank, upper semicontinuity, Tate module, Frobenius weights, semi-abelian variety

1–36

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier ne suit pas une démonstration, mais un traité : chaque station se rattache à un exposé de SGA 3, et plusieurs se répondent.

Les pages 1 et 27 sont des chemises, dont l'inscription donne un titre. Les pages 7 et 16 sont blanches. Les pages 20 et 30 sont des versos dactylographiés où rien n'est de sa main : le premier traite de sous-algèbres nilpotentes égales à leur normalisateur, comme la page 19 ; le second d'une lettre sur les modules de différentielles.

Les conventions

Groupes. On écrit \(\mathbf{G}_{m}\), \(\mathbf{G}_{a}\) ; « de type multiplicatif » en entier, là où il écrit « t.m. » ; \(X^{*}(T)\) pour le groupe des caractères, qu'il note \(\mathbf{D}(T)\). Le manuscrit dit « préschéma » ; on écrit « schéma ».

Le cadre du tapuscrit et de l'algèbre de Lie. \(N\) est le stabilisateur de \(W\) dans \(G\), \(M_{a}\) le transporteur de \(a\) dans \(W\), \(\mathfrak{n}\) et \(\mathfrak{m}_{a}\) leurs algèbres de Lie. Pour une sous-algèbre \(\mathfrak{h}\) de \(\mathfrak{g}\), \(\mathfrak{u}\) est son normalisateur dans \(\mathfrak{g}\), et \(W(\mathfrak{g})\) le schéma vectoriel de \(\mathfrak{g}\). Les mêmes lettres servent dans les deux stations, et c'est voulu : la seconde est un cas particulier de la première.

Les invariants. Pour un groupe algébrique lisse et connexe \(G\) sur un corps algébriquement clos, on écrit \(1 \to G_{\mathrm{aff}} \to G \to A \to 1\) sa décomposition de Chevalley, et l'on fixe, une fois pour toutes, les noms de la page 29 plutôt que ceux, un peu différents, des pages 28 et 31. On en donne la liste au début de la dernière section. Un invariant sans accent se rapporte à la fibre spéciale, un invariant accentué (\(\rho'\), \(d'\)) à la fibre générique. \(s_{0}\) est le point fermé, \(s_{1}\) le point générique.

Deux homonymies à ne pas confondre. La lettre \(H\) désigne sur ces pages trois objets différents. On garde \(H(n)\) pour les familles de sous-groupes finis des pages 12 et 33 à 36. On écrit \(G^{\mathrm{tm}}\) le quotient de type multiplicatif universel de la page 10, et \(G_{\mathrm{aff}}\) la partie affine de la page 28. La lettre \(R\) est un tore à la page 10 ; le radical de la page 36 est noté \(\mathrm{Rad}\).

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

2–6

Le tapuscrit de l'exposé XIII (pages 2 à 6)

Cinq feuillets dactylographiés, paginés 6 à 10, portent au crayon « Exp XIII » sur le premier.1 Le texte tapé est publié. On en donne la teneur, sans le recomposer, et l'on dit ce qu'il y a changé. Les lettres gothiques, les \(\psi\) et \(\varphi\), et toutes les flèches d'implication sont de sa main, portées dans les blancs de la frappe.

Le cadre. \(k\) est un corps, \(G\) un \(k\)-groupe algébrique qui opère sur un \(k\)-schéma \(V\), et \(W\) un sous-schéma de \(V\). \(N\) est le stabilisateur de \(W\), et \(X = G \times^{N} W\) le produit contracté, avec \(p : X \to G/N\). Soit \[ \varphi : G \times W \to V, \quad (g, w) \mapsto g\,w, \] et \(\psi : X \to V\) le morphisme qu'il induit. On note \(e^{*}\) l'image de \(e\) dans \(G/N\). Pour \(a \in W(k)\), on note \(M_{a}\) le transporteur \(\{ g \in G : g\,a \in W \}\) ; alors \(\varphi^{-1}(a) \simeq M_{a}\) et \(N \subset M_{a}\). On note \(\mathfrak{n} \subset \mathfrak{m}_{a}\) leurs algèbres de Lie.2

Proposition 1.3. On suppose \(G\), \(V\), \(W\) géométriquement irréductibles et l'inégalité (2) satisfaite. On considère les conditions suivantes : (i) \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_{a}\) et \(N\) lisse ; (ii) \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_{a}\) et \(\dim X = \dim V\) ; (iii), (iii bis), (iii ter) \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_{a}\) et \(\psi\) génériquement quasi-fini, resp. non ramifié, resp. étale ; (iv), (iv bis) \(\psi\) non ramifié, resp. étale, en \((e^{*}, a)\) ; (v) \(\psi\) lisse en \((e^{*}, a)\), \(N\) lisse, et (2) une égalité ; (vi) \(M_{a}\) et \(N\) coïncident au voisinage de \(e\). On a les implications \[ \mathrm{(v)} \Leftrightarrow \mathrm{(iv\,bis)} \Rightarrow \mathrm{(iii\,ter)} \Rightarrow \mathrm{(i)} \Leftrightarrow \mathrm{(ii)} \Leftrightarrow \mathrm{(iii)} \Leftrightarrow \mathrm{(iii\,bis)} \Leftrightarrow \mathrm{(iv)} \Leftrightarrow \mathrm{(vi)} . \] Si \(V\) est génériquement réduit, (iii ter) \(\Leftrightarrow\) (i). Si de plus \(V\) est normal en \(a\), toutes ces conditions sont équivalentes.

La chaîne d'implications est écrite de sa main, et c'est lui qui y insère (iii bis). Il corrige surtout les hypothèses des deux dernières phrases.3

Corollaire 1.4. Si \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_{a}\) et si \(V\) est normal en \(a\), alors \(\varphi\) est lisse en \((e, a)\). Par suite \(M_{a}\) est lisse sur \(k\) en \(e\), et \(\psi\) est lisse en \((e^{*}, a)\). La démonstration repose sur la chaîne \[ \dim V + \dim \mathfrak{n} \leqslant \dim (G \times W) \leqslant \dim_{(e,a)} \varphi^{-1}(a) + \dim V \leqslant \dim \mathfrak{m}_{a} + \dim V , \] qui devient une suite d'égalités quand \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_{a}\). La dernière est une égalité si et seulement si \(M_{a}\) est régulier en \(e\), c'est-à-dire lisse sur \(k\) en \(e\).4

Corollaire 1.5. C'est la version qui ne dépend pas du choix de \(a\). On suppose \(V\) génériquement séparable sur \(k\).5 Les conditions (i), (i bis), (i ter) disent que \(\psi\) est génériquement non ramifié, resp. étale, resp. lisse avec \(N\) lisse et (2) une égalité. Les conditions (ii) à (iv) disent qu'il existe \(a \in W(k)\) satisfaisant la condition correspondante de 1.3. On a (ii) \(\Leftrightarrow\) (iii) \(\Leftrightarrow\) (iv) \(\Rightarrow\) (i) \(\Leftrightarrow\) (i bis) \(\Leftrightarrow\) (i ter), et toutes sont équivalentes si \(k\) est algébriquement clos.6

Corollaire 1.6. Ici \(V\) est normal et \(k\) algébriquement clos.7 Pour que \(\psi\) soit birationnel, il faut et il suffit que les conditions de 1.5 soient satisfaites et qu'il existe un ouvert non vide \(U\) de \(V\) tel que tout \(a \in U(k)\) soit contenu dans un unique conjugué de \(W\). Pour \(a \in V(k)\), les conditions suivantes sont alors équivalentes : (i) un seul conjugué de \(W\) contient \(a\) ; (ii) les conjugués de \(W\) qui contiennent \(a\) sont en nombre fini non nul ; (iii) \(\psi^{-1}(a)\) a un point isolé. Si de plus \(W\) est réduit, et si \(U\) est le plus grand ouvert au-dessus duquel \(\psi\) est un isomorphisme, elles équivalent aussi à (iv) \(a \in U(k)\). La démonstration passe par le Main Theorem de Zariski et la platitude de \(p\).

Remarque 1.7. Sous les hypothèses de 1.6, un point satisfaisant (i) à (iii) est dit \(W\)-régulier. Sans supposer \(k\) algébriquement clos, on dit que \(a \in V\) est \(W\)-régulier si \(\psi^{-1}(a)\) est non vide et fini sur \(k(a)\).8 Sous les hypothèses plus générales de 1.5, on introduit le degré \(d\) de \(\psi\) et le plus grand ouvert au-dessus duquel \(\psi\) est étale et fini. Il biffe la phrase selon laquelle la notion serait « manifestement » stable par extension du corps de base à un corps algébriquement clos.

8–10

Complément à l'exposé XII : le tore central maximal (pages 8 à 10)

Le plan. Un §6, « Le tore central maximal », puis des « tores quotients d'un groupe algébrique ». 6.1 : définition en général, compatibilité avec l'extension de la base, descente. 6.2 : existence lorsqu'il existe un centre réductif. 6.3 : le cas d'un groupe algébrique.9

Théorème 6.4 (Rosenlicht). Soient \(X\) et \(Y\) deux \(k\)-schémas de type fini géométriquement intègres, \(a \in X(k)\) et \(b \in Y(k)\). Toute fonction inversible \(u\) sur \(X \times_{k} Y\) s'écrit \[ u(x, y) = u_{1}(x)\, u_{2}(y), \qquad u_{1}, u_{2} \text{ inversibles}, \] et l'on peut prendre \(u_{1}(x) = u(x, b)\), \(u_{2}(y) = u(a, y)\) si l'on normalise \(u(a, b) = 1\).10 Sous forme équivalente : si \(u(x, b) = 1\) et \(u(a, y) = 1\) identiquement, alors \(u = 1\). Sous cette forme on peut supposer \(k\) algébriquement clos, puis \(X\) et \(Y\) affines, et une réduction immédiate ramène au cas où ils sont de dimension 1 : deux points d'une variété irréductible sont toujours sur une courbe irréductible.11

Corollaire. Soit \(G\) un \(k\)-groupe lisse et connexe. Tout morphisme de schémas \(u : G \to \mathbf{G}_{m}\) tel que \(u(e) = 1\) est un homomorphisme de groupes. En effet, \(G\) est géométriquement intègre, et \((x, y) \mapsto u(xy)\, u(x)^{-1} u(y)^{-1}\) vaut \(1\) sur \(G \times \{e\}\) et sur \(\{e\} \times G\).12 En particulier le groupe des caractères \(X^{*}(G) = \mathrm{Hom}_{k\text{-gr}}(G, \mathbf{G}_{m})\) s'identifie au groupe des fonctions inversibles sur \(G\) qui valent \(1\) en \(e\). C'est un groupe abélien de type fini.

Proposition. Soit \(G\) un \(k\)-groupe algébrique.

  1. a)Il existe un épimorphisme \(G \to G^{\mathrm{tm}}\) vers un groupe de type multiplicatif, par lequel tout homomorphisme de \(G\) vers un groupe de type multiplicatif se factorise de façon unique.
  2. b)Si \(k\) est parfait, la formation de \(G^{\mathrm{tm}}\) commute à l'extension de la base.
  3. c)Si \(G\) est connexe et lisse, \(G^{\mathrm{tm}}\) est un tore.

Si \(k\) est imparfait, la formation de \(G^{\mathrm{tm}}\) ne commute pas en général à l'extension de la base, même pour \(G\) connexe et lisse.13

Proposition. Soient \(G\) un \(k\)-groupe lisse et connexe et \(R\) un tore. Toute extension de \(G\) par \(R\) qui est triviale comme \(R\)-torseur est triviale comme extension.

L'argument est celui de Rosenlicht. Le groupe connexe \(G\) agit trivialement sur le tore \(R\), dont le groupe d'automorphismes est discret : l'extension est centrale. Une section \(s\) du torseur, normalisée par \(s(e) = e\), donne un cocycle \(c(x, y) = s(x)\, s(y)\, s(xy)^{-1}\), morphisme de \(G \times G\) dans \(R\), égal à \(e\) sur \(G \times \{e\}\) et \(\{e\} \times G\). Il est donc identiquement égal à \(e\), et \(s\) est un homomorphisme.14

11–12

Prolonger un sous-groupe de type multiplicatif (pages 11 et 12)

Deux corollaires pour l'exposé XII, puis un pour l'exposé XI. Le groupe \(G\) y est un \(S\)-schéma en groupes dont le feuillet ne rappelle pas les hypothèses.15

Corollaire 5.8. Soit \(S\) noethérien, normal et irréductible, et \(U\) un ouvert de \(S\) dont le complémentaire est de codimension \(\geqslant 2\). Tout sous-groupe de type multiplicatif de \(G_{U}\) provient d'un unique sous-groupe de type multiplicatif de \(G\).16

Corollaire 5.9. Soit \(S\) normal, de point générique \(y\), et \(\overline{H}_{y}\) un sous-tore de \(G_{y}\). Pour que \(\overline{H}_{y}\) soit la fibre générique d'un sous-tore \(\overline{H}\) de \(G\), il faut et il suffit que, pour tout \(s \in S\) tel que \(\dim \mathcal{O}_{S,s} = 1\), la composante neutre réduite de la fibre en \(s\) de l'adhérence de \(\overline{H}_{y}\) soit de type multiplicatif.17

Pour l'exposé XI, corollaire 4.? Soient \(S\) local et \(G\) lisse et affine sur \(S\). Soit \((H(n))_{n}\) une famille de sous-groupes de type multiplicatif de \(G\), avec \({}_{m}H(n) = H(m)\) pour \(m \mid n\), dont les fibres spéciales sont les \({}_{n}H_{s}\) d'un sous-groupe de type multiplicatif \(H_{s}\) de \(G_{s}\). Il existe alors un unique sous-groupe de type multiplicatif \(H\) de \(G\) tel que \({}_{n}H = H(n)\) pour tout \(n\).18 Une remarque envisage de n'utiliser que les \(n\) dont les diviseurs premiers sont dans un ensemble \(P\) non vide de nombres premiers. Il faut alors que la torsion du type de \(H_{s}\) soit première à \(P\). On y applique une variante de la démonstration précédente et un argument de densité.

13–15

Le groupe de Picard d'un groupe affine (pages 13 à 15)

Proposition. Soit \(G\) un groupe algébrique affine sur un corps algébriquement clos \(k\).

  1. (a)\(\mathrm{Pic}(G)\) est fini.
  2. (b)Si \(G_{\mathrm{réd}}\) est résoluble, \(\mathrm{Pic}(G) = 0\).
  3. (c)Si \(G\) est lisse et connexe, \(B\) un sous-groupe de Borel et \(T \subset B\) un tore maximal, \[ \mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G/B) / \mathrm{Im}\, X^{*}(T) , \] où \(X^{*}(T) \simeq X^{*}(B) \to \mathrm{Pic}(G/B)\) associe à un caractère le fibré en droites qu'il définit sur \(G/B\).
  4. (d)Si \(G\) est semi-simple, \(\mathrm{Pic}(G) = 0\) si et seulement si \(G\) est simplement connexe.

L'hypothèse sur \(G_{\mathrm{réd}}\) plutôt que sur \(G\) est à sa place : \(G\) étant affine, \(\mathrm{Pic}(G) = \mathrm{Pic}(G_{\mathrm{réd}})\), les obstructions à relever un fibré en droites à travers un nilpotent étant des groupes de cohomologie cohérente d'un schéma affine. Pour (b), un groupe résoluble lisse et connexe est, comme variété, un produit de \(\mathbf{G}_{m}\) et de droites affines. La formule (c) vient de la suite exacte \(X^{*}(G) \to X^{*}(B) \to \mathrm{Pic}(G/B) \to \mathrm{Pic}(G) \to \mathrm{Pic}(B) = 0\).19

Proposition. Soit \(G\) un groupe algébrique affine sur un corps \(k\) quelconque. Il existe un entier \(n > 0\) tel que \(n\, \mathrm{Pic}(G) = 0\).

  1. 1°)Soit \(k'\) une extension finie de \(k\) sur laquelle \((G_{k'})_{\mathrm{réd}}\) est lisse, les points de \(G/G^{\circ}\) sont rationnels, le radical de \((G_{k'})^{\circ}_{\mathrm{réd}}\) est défini et déployé, et le quotient semi-simple est déployé. L'entier \([k':k]\) annule le noyau de \(\mathrm{Pic}(G) \to \mathrm{Pic}(G_{k'})\). \(\mathrm{Pic}(G)\) est donc annulé par \([k':k]\) multiplié par l'exposant de \(\mathrm{Pic}(G_{k'})\).20
  2. 2°)On suppose \(G\) lisse et connexe et \(\mathrm{Hom}_{k_{s}\text{-gr}}(G_{k_{s}}, \mathbf{G}_{m}) = 0\), où \(k_{s}\) est une clôture séparable de \(k\) et \(\Gamma = \mathrm{Gal}(k_{s}/k)\). Alors \[ \mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G_{k_{s}})^{\Gamma} . \] Par le corollaire au lemme de Rosenlicht (page 9), les fonctions inversibles sur \(G_{k_{s}}\) sont les constantes. La suite spectrale de Hochschild–Serre donne alors \(0 \to H^{1}(\Gamma, k_{s}^{*}) \to \mathrm{Pic}(G) \to \mathrm{Pic}(G_{k_{s}})^{\Gamma} \to \mathrm{Br}(k) \to \mathrm{Br}(G)\). Le premier terme est nul par le théorème 90 de Hilbert, et la dernière flèche est injective, scindée par le point rationnel \(e\).21
  3. 3°)Si \(G\) est unipotent, \(\mathrm{Pic}(G)\) est annulé par une puissance de la caractéristique \(p\) ; il le donne pour connu. Si \(G\) est réductif, lisse et connexe, et sans caractère sur \(\bar k\), \(\mathrm{Pic}(G)\) est fini, sous-groupe de \(\mathrm{Pic}(G_{k_{s}}) = \mathrm{Pic}(G_{\bar k})\).22

21–22

Sous-algèbres de Cartan et éléments réguliers (pages 17 à 26)

Le cadre, et onze conditions (pages 21 et 22)

C'est le cadre du tapuscrit, appliqué à l'action adjointe. \(G\) est lisse sur \(k\), d'algèbre de Lie \(\mathfrak{g}\), et \(\mathfrak{h}\) est une sous-algèbre. On prend \(V = W(\mathfrak{g})\) et \(W = W(\mathfrak{h})\). \(N\) est le normalisateur de \(\mathfrak{h}\) dans \(G\), \(X = G \times^{N} W(\mathfrak{h})\) et \(\psi : X \to W(\mathfrak{g})\). Pour \(a \in \mathfrak{h}\), \(\mathfrak{m}_{a} = \{ x \in \mathfrak{g} : [x, a] \in \mathfrak{h} \}\). Soit enfin \(\mathfrak{u}\) le normalisateur de \(\mathfrak{h}\) dans \(\mathfrak{g}\) ; c'est l'algèbre de Lie du schéma \(N\), qui peut n'être pas lisse. On a \[ \mathfrak{h} \subset \mathfrak{u} \subset \mathfrak{m}_{a} . \] Un encadré de la page 21 dit : \(\varphi\) est lisse en \((e, a)\) si et seulement si \(\mathrm{ad}(a)\) est injectif sur \(\mathfrak{g}/\mathfrak{h}\), c'est-à-dire \(\mathfrak{m}_{a} = \mathfrak{h}\) ; et cela entraîne \(\mathfrak{h} = \mathfrak{u}\). En effet, la différentielle de \(\varphi\) en \((e, a)\) est \((x, b) \mapsto [x, a] + b\), de \(\mathfrak{g} \times \mathfrak{h}\) dans \(\mathfrak{g}\). Elle est surjective si et seulement si \(\mathrm{ad}(a)\) est surjectif, donc bijectif, sur l'espace de dimension finie \(\mathfrak{g}/\mathfrak{h}\).23

La page 22 dresse une liste de conditions sur \(\mathfrak{h}\) :24

  1. (i)\(\mathfrak{h}\) contient une sous-algèbre de Cartan ;
  2. (ii)\(\mathfrak{h} = \mathfrak{u}\) et \(\mathfrak{h}\) contient des éléments réguliers de \(\mathfrak{g}\) ;
  3. (iii)il existe \(a \in \mathfrak{h}\) tel que \(\mathrm{ad}(a)\) soit injectif sur \(\mathfrak{g}/\mathfrak{h}\), c'est-à-dire \(\mathfrak{m}_{a} = \mathfrak{h}\) ;
  4. (iv)\(\psi\) est dominant et \(\mathfrak{h} = \mathfrak{u}\) ;
  5. (v)\(\psi\) est génériquement lisse ;
  6. (vi)\(X \times W(\mathfrak{h}) \to W(\mathfrak{g})\) est génériquement lisse ;
  7. (vii)\(\psi\) est dominant ;
  8. (viii)\(\psi\) est dominant et quasi-fini ;
  9. (ix)\(\psi\) est génériquement quasi-fini et \(\mathfrak{h} = \mathfrak{u}\) ;
  10. (x)\(\psi\) est dominant, et \(\mathfrak{h}\) est l'algèbre de Lie d'un sous-groupe lisse de \(G\) ;
  11. (xi)\(\psi\) est dominant, et \(N\) est lisse.

Au-dessous, il cherche la bonne définition. \(\mathfrak{h}\) serait « minimale » parmi les sous-algèbres qui sont égales à leur normalisateur et satisfont au théorème de densité, ou qui sont définies par un sous-groupe lisse, ou qui possèdent un \(a\) comme en (iii). La liste s'arrête sur un e) biffé.25

18–18

Un lemme sur les algèbres de Lie nilpotentes (page 18)

Lemme. Soit \(\mathfrak{h}\) une algèbre de Lie nilpotente sur un corps infini \(k\), opérant sur un espace vectoriel \(V\) de dimension finie par \(\rho\). Si \(\rho(x)\) n'est injectif pour aucun \(x \in \mathfrak{h}\), il existe \(v \in V\) non nul tel que \(\rho(\mathfrak{h})\, v = 0\).

Sur \(\bar k\), \(V\) se décompose en sous-espaces primaires \(V_{i}\) pour des fonctions poids \(\lambda_{i}\) sur \(\mathfrak{h}\). L'hypothèse dit que pour tout \(x \in \mathfrak{h}\), l'un des \(\lambda_{i}(x)\) est nul. Par le principe du prolongement des identités, l'un des \(\lambda_{i}\) est identiquement nul. Alors \(\mathfrak{h}\) opère sur \(V_{i}\) par endomorphismes nilpotents, et le théorème d'Engel donne un \(v \neq 0\) tué par \(\mathfrak{h}\). Comme le noyau commun des \(\rho(x)\) est défini sur \(k\), il est non nul sur \(k\).

Les lignes au crayon du bas de la page disent pourquoi le prolongement des identités s'applique : si \(n_{i} = \dim V_{i}\), le polynôme caractéristique de \(\rho(x)\) sur \(V_{i}\) est \((t - \lambda_{i}(x))^{n_{i}}\). Donc \(\lambda_{i}(x)^{n_{i}} = \pm \det(\rho(x)|_{V_{i}})\) est une fonction polynomiale de \(x\). Le produit de ces déterminants s'annule sur \(\mathfrak{h}(k)\), donc est nul, \(k\) étant infini.26

Appliqué à une sous-algèbre de Cartan \(\mathfrak{c}\), nilpotente et égale à son normalisateur, opérant sur \(\mathfrak{g}/\mathfrak{c}\), le lemme donne un \(a \in \mathfrak{c}\) tel que \(\mathrm{ad}(a)\) soit injectif sur \(\mathfrak{g}/\mathfrak{c}\). Sinon, un vecteur tué par \(\mathfrak{c}\) fournirait un élément du normalisateur hors de \(\mathfrak{c}\). Le même \(a\) convient pour toute \(\mathfrak{h} \supset \mathfrak{c}\), car \(\mathfrak{g}/\mathfrak{h}\) est un quotient de \(\mathfrak{g}/\mathfrak{c}\). Sur un corps infini, (i) entraîne donc (iii).27

21–23

Deux contre-exemples en caractéristique 2 (pages 21 et 23)

1) \(\mathrm{SL}_{2}\). Même si \(\psi\) est birationnel et si \(\mathfrak{h}\) provient d'un sous-groupe lisse, la condition (ix) peut être en défaut. Soit \(k\) algébriquement clos de caractéristique 2 et \(G = \mathrm{SL}_{2}\), de base \(X, Y, H\) avec \([X, Y] = H\) et \(H\) central. Alors \(\mathfrak{g}\) est nilpotente, et sa seule sous-algèbre de Cartan est \(\mathfrak{g}\) elle-même. Soit \(B\) un Borel et \(\mathfrak{h} = \mathrm{Lie}(B) = kH + kX\). Tout élément de \(\mathfrak{g}\) a une droite propre, donc est dans l'algèbre de Lie d'un Borel : \(\bigcup_{g} \mathrm{Ad}(g)\,\mathfrak{h} = \mathfrak{g}\), et \(\psi\) est dominant. \(\mathfrak{h}\) est un idéal, donc \(\mathfrak{u} = \mathfrak{g} \neq \mathfrak{h}\) : (ix) est en défaut, (i) aussi. Comme \(B \subset N \neq G\), \(\dim N = \dim B = \dim \mathfrak{h}\), et \(\dim X = \dim G\) : \(\psi\) est génériquement quasi-fini. Il est de plus birationnel.28

2) \(\mathrm{PGL}_{2}\). Même si \(\psi\) est dominant et \(\mathfrak{h} = \mathfrak{u}\), la condition (x) peut être en défaut. Soit \(G = \mathrm{PGL}_{2}\), toujours en caractéristique 2, de base \(X, Y, H\) avec \[ [X, Y] = 2H = 0, \qquad [H, X] = X, \qquad [H, Y] = Y . \] La sous-algèbre de Cartan contenant \(H\) est \(\mathfrak{t} = kH\). Soit \[ \mathfrak{h} = kH + k(\lambda X + \mu Y), \qquad \lambda \mu \neq 0 . \] C'est une sous-algèbre, égale à son normalisateur, qui contient la sous-algèbre de Cartan \(\mathfrak{t}\) : (i) est satisfaite. \(\psi\) est dominant. Mais \(\mathfrak{h}\) n'est l'algèbre de Lie d'aucun sous-groupe lisse de \(G\). Un tel sous-groupe serait de dimension 2 et connexe, donc un Borel. Il contiendrait alors le tore \(T\) d'algèbre de Lie \(\mathfrak{t}\), et les deux Borels qui contiennent \(T\) ont pour algèbres de Lie \(kH + kX\) et \(kH + kY\).29

17–19

Le tableau des implications (pages 17 et 19)

La page 17 dresse, dans l'ancienne numérotation à quatorze conditions, un tableau d'implications et de non-implications. Il le rature une première fois et le récrit dans une accolade : (vii) \(\not\Rightarrow\) (vi) si \(\psi\) est birationnel, par \(\mathrm{SL}_{2}\) en caractéristique 2 ; (x) \(\not\Rightarrow\) (v) ; (i) \(\not\Rightarrow\) (x), par \(\mathrm{PGL}_{2}\) en caractéristique 2. Il note aussi (xii) \(=\) (x) \(+\) (vii) et (xiii) \(=\) (xii) \(+\) (v). Les deux exemples sont ceux qui viennent d'être lus.30

La page 19, au crayon, prépare un troisième exemple par un calcul de racines. Soit \(\mathfrak{L} \subset \mathfrak{g}\), \(\alpha > 0\) la seule racine positive telle que \(\bar\alpha = 0\), et \(\beta > 0\) une racine telle que \([X_{\alpha}, X_{\beta}] \neq 0\). Alors \(\mathfrak{L} + k\,\mathfrak{g}_{-\beta}\) serait son propre normalisateur et satisferait au théorème de densité, mais ne contiendrait « que des … algèbres de Cartan ».31

24–24

Un groupe résoluble sans élément régulier rationnel (page 24)

Exemple. Il existe un groupe lisse, connexe et résoluble \(G\) sur \(\mathbf{F}_{p}\) dont l'algèbre de Lie n'a aucun élément régulier rationnel.

Soit \(T = \mathbf{G}_{m}^{2}\), d'algèbre de Lie \(\mathfrak{t}\), avec \(\mathfrak{t}(\mathbf{F}_{p}) = \mathbf{F}_{p}^{2}\). Soit \((\alpha_{i})_{i \in I}\) une famille finie de formes linéaires non nulles sur \(\mathbf{F}_{p}^{2}\) telles que \[ \bigcup_{i} \mathrm{Ker}\, \alpha_{i} = \mathbf{F}_{p}^{2} , \] par exemple une forme pour chacune des \(p + 1\) droites du plan, ce qui assure aussi \(\bigcap_{i} \mathrm{Ker}\, \alpha_{i} = 0\). Soient \(\chi_{i} : T \to \mathbf{G}_{m}\) des caractères dont les différentielles sont les \(\alpha_{i}\), et \[ G = T \ltimes U, \qquad U = \mathbf{G}_{a}^{I}, \] \(T\) opérant sur le \(i\)-ème facteur par \(\chi_{i}\). Un élément \(x\) de \(\mathfrak{t}\) est régulier si et seulement si aucun \(\alpha_{i}(x)\) n'est nul. Sinon, \(\mathrm{ad}(x)\) tue une droite de \(\mathrm{Lie}(U)\), et le nilespace de \(x\) dépasse la dimension de \(\mathfrak{t}\). Aucun élément de \(\mathfrak{t}(\mathbf{F}_{p})\) n'est donc régulier. Or tout tore maximal de \(G\) défini sur \(\mathbf{F}_{p}\) est conjugué de \(T\) par un élément de \(U(\mathbf{F}_{p})\). Un élément régulier rationnel serait donc conjugué d'un élément de \(\mathfrak{t}(\mathbf{F}_{p})\).32

25–26

Un centre non représentable (page 25)

Exemple. Soit \(S\) le spectre d'un anneau de valuation discrète \(A\), de corps résiduel \(k\), de corps des fractions \(K\). Il existe un \(S\)-schéma en groupes séparé, étale et de type fini dont le foncteur centre n'est pas représentable.

On part d'un groupe fini \(E\) de centre trivial et d'un sous-groupe commutatif non trivial \(F\), par exemple engendré par un élément \(s \neq e\).33 Soit \(G\) le sous-groupe ouvert du groupe constant \(E_{S}\) obtenu en retirant de la fibre spéciale le fermé \(E_{k} - F_{k}\). Ses fibres sont \[ G_{0} = F_{k}, \qquad G_{1} = E_{K} . \] Posons \(A_{n} = A/\mathfrak{m}^{n+1}\). Sur \(A_{n}\), \(G\) est le groupe constant commutatif \(F\), dont le centre est \(F\) tout entier. Sur le complété \(\hat A\), une section de \(G\) est un élément de \(F\), et elle est centrale seulement si elle commute à \(E\) sur la fibre générique ; le centre de \(E\) étant trivial, c'est \(e\). Donc \[ Z(\hat A) = \{e\} \neq F = \varprojlim_{n} Z(A_{n}) . \] Pour tout schéma \(Z'\), au contraire, \(Z'(\hat A) = \varprojlim Z'(A_{n})\) : un système compatible de points se factorise par un même ouvert affine, et \(\hat A = \varprojlim A_{n}\). Le centre n'est donc pas représentable.34

La page 26 est barrée de trois traits : un « Contrexemple ! » sur les sous-algèbres de Cartan contenant une sous-algèbre \(\mathfrak{s}\) donnée, dont les deux énoncés sont en grande partie illisibles, et qu'il abandonne.

27–27

Le théorème de semi-continuité (pages 27 à 36)

La chemise de la page 27 porte « Théorème de ½ continuité ».35 Les notes sont à l'encre noire sur papier bistre, et sans pagination de sa main. En revanche, les pages 31 à 36 portent ses numéros entourés (1) à (10), fixés à la page 29.

28–29

Les invariants (pages 28 et 29)

Soit \(G\) un groupe algébrique lisse et connexe sur un corps algébriquement clos, et \[ 1 \to G_{\mathrm{aff}} \to G \to A \to 1 \] sa décomposition de Chevalley, \(G_{\mathrm{aff}}\) affine lisse connexe, \(A\) variété abélienne. Soient \(T\) un tore maximal, \(\mathrm{Rad}\) le radical de \(G_{\mathrm{aff}}\), \(C = Z_{G}(T)\) le sous-groupe de Cartan et \(C_{\mathrm{aff}} = Z_{G_{\mathrm{aff}}}(T)\), qui est nilpotent, produit de \(T\) et d'un groupe unipotent. On pose :

On a \[ \rho_{\mathrm{n}} = \rho_{\mathrm{na}} + \rho_{\mathrm{ab}} = \rho_{\mathrm{r}} + \rho_{\mathrm{u}} + \rho_{\mathrm{ab}}, \qquad d = \rho_{\mathrm{ab}} + d_{\mathrm{aff}} = \rho_{\mathrm{ab}} + d_{\mathrm{ss}} + d_{\mathrm{rad}} , \] et \(\rho_{\mathrm{r}}\), \(\rho_{\mathrm{u}}\), \(\rho_{\mathrm{ab}}\), \(\rho_{\mathrm{na}}\), \(\rho_{\mathrm{n}}\) sont les mêmes pour \(G\) et pour un sous-groupe de Cartan.36

La page 29 est une feuille de calculs. On y lit la liste numérotée qui servira de repère : \[ \begin{array}{llll} (1)\ \rho_{\mathrm{ab}} & (2)\ \rho_{\mathrm{rig}} & (3)\ \rho_{\mathrm{ss}} & (4)\ d_{\mathrm{ss}} \\ (5)\ \rho_{\mathrm{n}} & (6)\ \rho_{\mathrm{u}} & (7)\ \rho_{\mathrm{na}} & (8)\ d_{\mathrm{aff}} \end{array} \] puis (9) \(d_{\mathrm{rad}}\) et (10) \(d_{\mathrm{radaff}}\), ce dernier non défini. Elle note les implications (2) \(+\) (5) \(\Rightarrow\) (6), (1) \(+\) (5) \(\Rightarrow\) (7), (1) \(\Leftrightarrow\) (8), (3) \(\Leftrightarrow\) (9), (1) \(+\) (3) \(\Rightarrow\) (10). Les trois premières sont de l'arithmétique : \(d\) étant constant dans une famille lisse, on a \(\rho_{\mathrm{u}} = \rho_{\mathrm{n}} - \rho_{\mathrm{rig}}\), \(\rho_{\mathrm{na}} = \rho_{\mathrm{n}} - \rho_{\mathrm{ab}}\) et \(d_{\mathrm{aff}} = d - \rho_{\mathrm{ab}}\).37

31–32

L'énoncé et les réductions (pages 31 et 32)

Théorème. Soit \(G\) un schéma en groupes lisse, séparé et de présentation finie sur \(S\). Pour \(s \in S\), on évalue chaque invariant sur la composante neutre de la fibre géométrique en \(s\).

  1. (i)\(d_{\mathrm{aff}}\), \(d\), \(\rho_{\mathrm{n}}\), \(\rho_{\mathrm{na}}\) et \(\rho_{\mathrm{u}}\) sont semi-continues supérieurement.
  2. (ii)\(\rho_{\mathrm{ab}}\), \(\rho_{\mathrm{rig}} = \rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}}\) et \(\rho_{\mathrm{ss}}\) sont semi-continues inférieurement.

Deux exemples font voir le sens des inégalités et pourquoi c'est \(\rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}}\), et non \(\rho_{\mathrm{r}}\), qui est semi-continue. Une courbe elliptique à réduction multiplicative dégénère en \(\mathbf{G}_{m}\) : \(\rho_{\mathrm{ab}}\) tombe de 1 à 0 et \(\rho_{\mathrm{r}}\) monte de 0 à 1, leur somme reste 1. Le schéma en groupes \(\mathrm{Spec}\, A[x, (1 + \pi x)^{-1}]\) sur un anneau de valuation discrète d'uniformisante \(\pi\) a pour fibre générique \(\mathbf{G}_{m}\) et pour fibre spéciale \(\mathbf{G}_{a}\) : \(\rho_{\mathrm{r}}\) tombe, \(\rho_{\mathrm{u}}\) monte.38

Réductions. « Comme d'habitude », on se ramène au cas où \(S\) est le spectre d'un anneau de valuation discrète, de point fermé \(s_{0}\) et de point générique \(s_{1}\).39 Il faut prouver, les invariants accentués étant ceux de la fibre générique : \[ d_{\mathrm{aff}} \geqslant d'_{\mathrm{aff}}, \quad d \geqslant d', \quad \mathrm{(5)}\ \rho_{\mathrm{n}} \geqslant \rho'_{\mathrm{n}}, \quad \mathrm{(6)}\ \rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}, \quad \mathrm{(7)}\ \rho_{\mathrm{na}} \geqslant \rho'_{\mathrm{na}}, \] \[ \mathrm{(1)}\ \rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}}, \quad \mathrm{(2)}\ \rho_{\mathrm{rig}} \leqslant \rho'_{\mathrm{rig}}, \quad \mathrm{(3)}\ \rho_{\mathrm{ss}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ss}} . \] Ces quantités ne changent pas quand on remplace un groupe algébrique par sa composante neutre réduite. De plus, \(d_{\mathrm{aff}}\) et \(d\) croissent avec le groupe. On peut donc remplacer \(G\) par l'adhérence de sa fibre générique, qui est plate. Quitte à faire une extension finie de \(S\), on peut supposer \(G_{1}\) connexe et lisse. On peut enfin supposer \(G_{0}\) connexe, mais peut-être pas lisse.40

a) Pour \(G\) lisse, \(d = d'\) ; alors \(d_{\mathrm{aff}} \geqslant d'_{\mathrm{aff}}\) équivaut à \(\rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}}\), qu'on prouve plus bas.

32–33

Le sous-groupe de Cartan : l'inégalité (5) (pages 32 et 33)

b) On peut supposer que \(G_{0}\) a un tore maximal déployé \(T_{0}\). Soit \(C_{0}\) le sous-groupe de Cartan qu'il définit. Pour \(n\) premier à la caractéristique résiduelle, \(S\) étant hensélien, le sous-groupe \({}_{n}T_{0}\) se prolonge en un sous-groupe fini étale \(H(n)\) de \(G\), avec \(H(m) = {}_{m}H(n)\) si \(m \mid n\).41 Les centralisateurs \(\underline{\mathrm{Cent}}_{G}\, H(n)\) sont des sous-groupes fermés lisses de \(G\). Leur famille est stationnaire, et sa valeur limite \(C\) a pour fibre spéciale \[ C_{0} = \underline{\mathrm{Cent}}_{G_{0}}(T_{0}) , \] la réunion des \({}_{n}T_{0}\) étant dense dans \(T_{0}\).

Il faudrait aussi que \(C_{\bar s_{1}}\) contienne un sous-groupe de Cartan de \(G_{\bar s_{1}}\). La page l'affirme et ajoute : « c'est un [point] à vérifier ».42 Admettons-le. Les invariants \(\rho_{\mathrm{r}}\), \(\rho_{\mathrm{u}}\), \(\rho_{\mathrm{ab}}\), \(\rho_{\mathrm{n}}\), \(\rho_{\mathrm{na}}\) sont alors les mêmes pour \(G_{1}\) et \(C_{1}\), et pour \(G_{0}\) et \(C_{0}\). Pour (5), on est donc ramené au cas \(G = C\), c'est-à-dire \(G_{0}\) nilpotent. L'inégalité \[ \rho_{\mathrm{n}} \geqslant \rho'_{\mathrm{n}} \] devient triviale, puisque \(\rho_{\mathrm{n}} = d = d' \geqslant \rho'_{\mathrm{n}}\).43

33–34

Un lemme sur les groupes nilpotents, et le passage au cas commutatif (pages 33 et 34)

Lemme. Soit \(C\) un groupe lisse, connexe et nilpotent sur un corps algébriquement clos \(k\) de caractéristique \(p \geqslant 0\). Soit \(Z = \underline{\mathrm{Cent}}(C)^{\circ}_{\mathrm{réd}}\). Alors \(C/Z\) est unipotent. Pour tout groupe \(H\) de type multiplicatif, \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr}}(H, C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr}}(H, Z) . \] En particulier \({}_{n}C = {}_{n}Z\) pour \(n\) premier à \(p\).44

On l'applique à \(C = G_{0}\). Si \(S\) est local strictement hensélien, les \({}_{n}G_{0}\) se prolongent de façon unique en des sous-groupes finis étales \(H(n)\) de \(G\), centraux, avec \({}_{m}H(n) = H(m)\) si \(m \mid n\). Or \(\rho_{\mathrm{ab}}\), \(\rho_{\mathrm{r}}\) et donc \(\rho_{\mathrm{rig}}\) croissent avec le groupe. Soit \(K\) l'adhérence dans \(G\) de la réunion des \(H(n)_{1}\). On a \[ \rho_{\mathrm{ab}}(K_{1}) \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}}, \qquad \rho_{\mathrm{rig}}(K_{1}) \leqslant \rho'_{\mathrm{rig}} , \] et \(\rho_{\mathrm{ab}}(K_{0}) = \rho_{\mathrm{ab}}(G_{0})\), \(\rho_{\mathrm{r}}(K_{0}) = \rho_{\mathrm{r}}(G_{0})\), puisque \(K_{0}\) contient tous les \({}_{n}G_{0}\). Pour (1) et (2), on peut donc remplacer \(G\) par \(K\).45

On a perdu la limite de \(G\), mais gagné la commutativité. Pour un groupe commutatif, \(\rho_{\mathrm{n}} = d\), donc \(\rho_{\mathrm{u}} = d - \rho_{\mathrm{rig}}\) et \(\rho_{\mathrm{na}} = d_{\mathrm{aff}} = d - \rho_{\mathrm{ab}}\). L'inégalité (2) équivaut alors à (6), et (1) à (7) et à (8).

35–36

Le cas commutatif : unipotence et affinité (pages 35 et 36)

Il reste à prouver, pour \(G\) commutatif, \(\rho_{\mathrm{u}} \geqslant \rho'_{\mathrm{u}}\) et \(d_{\mathrm{aff}} \geqslant d'_{\mathrm{aff}}\).

Unipotence. En remplaçant \(G\) par l'adhérence de la partie unipotente de \(G_{1}\), on est ramené à prouver que si \(G_{1}\) est unipotent, \(G_{0}\) l'est aussi. C'est « facile par les points d'ordre fini ». Si \(G_{0}\) n'était pas unipotent, il contiendrait un tore ou une partie abélienne, donc des points d'ordre \(n\) premier à la caractéristique résiduelle. Ceux-ci se prolongent en sous-groupes finis étales, dont les fibres génériques seraient des points d'ordre \(n\) d'un groupe unipotent. Or il n'y en a pas.46

Affinité. Pour \(d_{\mathrm{aff}}\), on est ramené à prouver que si \(G_{1}\) est affine, \(G_{0}\) l'est aussi, c'est-à-dire \(\rho_{\mathrm{ab}}(G_{0}) = 0\). On se ramène au cas où \(S\) est semi-local de dimension 1, localisé d'un schéma intègre de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Le corps résiduel \(k(s_{0})\) est alors fini, et l'on peut supposer déployé le tore maximal de \(G_{1}\).47 Passons au hensélisé \(\tilde S\) en \(s_{0}\) — « mais pas strictement hensélien ! » — et fixons un nombre premier \(\ell\) distinct de la caractéristique résiduelle. Pour \(n = \ell^{m}\), les \({}_{n}G_{0}\) se prolongent en sous-groupes finis étales \(H(n)\) sur \(\tilde S\). Le groupe \[ \pi_{1}(\tilde S) = \pi_{1}(s_{0}) \simeq \hat{\mathbf{Z}} \] opère sur \(M_{n} = H(n)_{\bar s_{0}}\), donc sur \[ M = \varprojlim_{n} M_{n} \simeq \mathbf{Z}_{\ell}^{\,2\rho_{\mathrm{ab}} + \rho_{\mathrm{r}}} , \] le module de Tate de la partie semi-abélienne de \(G_{0}\).48 D'autre part, \(M\) s'identifie, de façon compatible à l'action, à \(\varprojlim H(n)_{\bar s_{1}}\). Ce module est contenu dans \(\varprojlim ({}_{n}G)_{\bar s_{1}}\), qui, \(G_{1}\) étant affine et commutatif, est le module de Tate de son tore déployé : \((\mathbf{Z}_{\ell}(1))^{r}\). Le groupe de Galois opère donc sur \(M\) par le caractère cyclotomique : le Frobenius de \(k(s_{0})\), de cardinal \(q\), y opère par multiplication par \(q\).

Or si \(\rho_{\mathrm{ab}} \neq 0\), \(M\) a pour quotient le module de Tate de la variété abélienne \(A_{0}\) sur le corps fini \(k(s_{0})\). Par le théorème de Weil, le Frobenius y a des valeurs propres de valeur absolue \(q^{1/2}\), et non \(q\). C'est impossible : \(\rho_{\mathrm{ab}}(G_{0}) = 0\), et \(G_{0}\) est affine.49

36–36

Le rang semi-simple (page 36)

« Restent à prouver (3) et (9) », avec la note « (3) \(\Leftrightarrow\) (9) » et un résultat sur la spécialisation des groupes réductifs.50 Il esquisse la preuve de (3).

Soit \(T_{0}\) un tore maximal de \(G_{0}\), et \(\mathrm{Rad}_{0}\), \(\mathrm{Rad}_{1}\) les radicaux des parties affines des deux fibres. Soit \(r_{0} = \rho_{\mathrm{ss}}(G_{0})\) ; on a \(r_{0} = \dim T_{0}/(T_{0} \cap \mathrm{Rad}_{0})\). On prolonge les \({}_{n}T_{0}\) en une famille compatible de sous-groupes \(H(n)\) de \(G\). L'adhérence de \(\mathrm{Rad}_{1}\) est un sous-groupe distingué résoluble ; sa fibre spéciale est donc contenue dans \(\mathrm{Rad}_{0}\). Les images des \(H(n)_{1}\) dans \(G_{1}/\mathrm{Rad}_{1}\) forment alors un système compatible dont le rang, quand \(n = \ell^{m}\) croît, est au moins \(\dim T_{0}/(T_{0} \cap \mathrm{Rad}_{0}) = r_{0}\). Ce rang est au plus le rang de \(G_{1}/\mathrm{Rad}_{1}\), c'est-à-dire \(\rho'_{\mathrm{ss}}\).51 D'où \[ \rho_{\mathrm{ss}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ss}} . \]

Notes

  1. Le premier mot de l'inscription, lu « Co », est douteux. L'identification à l'exposé XIII de SGA 3 repose sur cette inscription et sur la numérotation des énoncés. On ne confronte pas ces feuillets au texte publié, et l'on ne dit pas si ses corrections y ont passé. ↩
  2. Les définitions de \(X\), \(N\), \(M_{a}\) sont sur les pages 1 à 5 du tapuscrit, qui ne sont pas dans le dossier ; on les restitue. C'est la seule lecture compatible avec ce que portent les feuillets : l'isomorphisme \(\varphi^{-1}(a) \simeq M_{a}\) (page 4), la projection plate \(p : X \to G/N\) (page 6), le point \((e^{*}, a)\) de \(X\), et la condition « \(M_{a}\) et \(N\) coïncident au voisinage de \(e\) ». L'inégalité (2), qui figure dans les hypothèses, est elle aussi sur une page absente. ↩
  3. Le tapuscrit demandait « \(V\) lisse sur \(k\) et \(W\) géométriquement réduit », puis « de plus \(V\) géométriquement normal ». Il écrit en interligne « génériquement » et « enfin … normal en \(a\) ». La démonstration de la page 3 n'utilise en effet que cela : \(V\) génériquement réduit pour passer de (iii bis) à (iii ter), car un morphisme non ramifié au-dessus d'un corps est étale ; et \(V\) normal en \(a\) pour passer de (iv) à (iv bis), par SGA 1, I 9.5. La correction ajuste l'énoncé à la preuve. ↩
  4. « régulier en \(e\) i.e. » est de sa main, en interligne. L'équivalence est juste, parce que \(e\) est un point rationnel : en un point rationnel, régulier et lisse coïncident, et \(\dim_{e} M_{a} = \dim T_{e} M_{a}\) caractérise l'un et l'autre. Le tapuscrit ajoute que la démonstration invoque des résultats délicats (la théorie de la dimension, un théorème de Chevalley, EGA IV pour la lissité) mais n'est pas utilisée ensuite. ↩
  5. Le tapuscrit disait « génériquement réduit ». Il biffe et écrit « séparable sur \(k\) ». La correction est nécessaire : la démonstration commence par se ramener au cas \(k\) algébriquement clos, et l'hypothèse doit survivre à ce changement de base. « Génériquement réduit » ne survit pas à une extension inséparable ; la séparabilité du corps des fonctions (la réduction géométrique au point générique) survit. ↩
  6. Dans (ii) et (iii), les lettres gothiques portées à la main se lisent « \(\mathfrak{m} = \mathfrak{n}_{a}\) », dans l'ordre inverse de la page 2. On lit \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}_{a}\), seule forme qui ait un sens ici. ↩
  7. « \(V\) normal, \(k\) » est de sa main, devant l'interligne tapé « alg. clos ». ↩
  8. La transcription, qui résume ce feuillet sans le recomposer, porte ici \(\varphi^{-1}(a)\). Or \(\varphi^{-1}(a) \simeq M_{a}\) contient une copie de \(N\) (page 4), et ne peut être fini que si \(N\) l'est. La définition voulue, cohérente avec la condition (iii) de 1.6, porte sur \(\psi^{-1}(a)\). Nous ne savons pas si l'écart est dans le tapuscrit ou dans son résumé. « non vide et » est tapé en interligne et relié à l'encre. ↩
  9. Titres de sa main, soulignés ; la fin de la ligne de titre et plusieurs mots de 6.2 et 6.3 sont illisibles, et une note « N.B. le groupe algébrique … affine » est en partie perdue. Un 6.4 est rédigé puis annulé par quatre diagonales : pour \(G\) lisse sur un corps parfait et \(R\) son tore central maximal, il existerait un sous-groupe fini \(Z\) de \(R\) tel que \(G/Z\) se décompose à l'aide de \(R/Z\) et d'un sous-groupe \(H\). La lecture des quotients et du mot qui dit comment ils se combinent est douteuse ; on ne reconstruit pas l'énoncé. ↩
  10. La page écrit « \(\varphi(x,y) = 1\) » ; la lettre de l'argument est surchargée et ne se lit pas sûrement. La normalisation en un point rationnel est la seule lecture qui donne un sens à l'égalité. Le nom de Rosenlicht est sur la page, entouré au crayon ; le résultat est de 1961. ↩
  11. La page ne va pas plus loin que cette réduction. Une ligne biffée, « \(X \times Y \subset \overline{X} \times \overline{Y}\) », indique la suite attendue : plonger les courbes dans leurs complétées lisses et raisonner sur les diviseurs de \(u\). Tout un passage intermédiaire est très raturé. ↩
  12. La démonstration est la nôtre ; la page énonce le corollaire et souligne « lisse connexe ». Un corollaire précédent, « Kif-kif, \(G\) remplacé par un groupe … », est illisible. ↩
  13. « et lisse » est ajouté au crayon dans c), et il est nécessaire : \(G = \mu_{p}\) est connexe, et \(G^{\mathrm{tm}} = \mu_{p}\) n'est pas un tore. Le N.B. sur les corps imparfaits est juste, et en voici un exemple, qui est le nôtre. Soit \(k'= k(t^{1/p})\) avec \(t \in k\) non puissance \(p\)-ième, et \(G = R_{k'/k}\mathbf{G}_{m}\) la restriction de Weil. Sur \(k\), \(X^{*}(G)\) est engendré par la norme \(N\), qui vaut \(x \mapsto x^{p}\) sur le tore diagonal \(\mathbf{G}_{m} \subset G\). Sur \(\bar k\), \(G\) devient le produit de \(\mathbf{G}_{m}\) par un groupe unipotent, et \(X^{*}(G_{\bar k})\) est engendré par la projection \(\chi\) sur \(\mathbf{G}_{m}\), avec \(N = \chi^{p}\). Le quotient universel sur \(k\), \(N : G \to \mathbf{G}_{m}\), devient après extension le composé de \(\chi\) et du Frobenius, qui n'est pas le quotient universel sur \(\bar k\). Un diagramme en marge relie un tore \(T \subset G\), un sous-groupe \(R \subset Z\) et un quotient de \(G\) ; il est en partie illisible. ↩
  14. Énoncé et démonstration sont reconstruits : la page porte « les extensions … de \(G\) par \(R\) qui splittent … principaux homogènes splittent » et « En effet, d'ext. centrale … cocycles … d'une extension de \(H\) par \(R\), donc splitte », avec de nombreux mots illisibles. « lisse » est ajouté par nous : le lemme de Rosenlicht demande \(G\) géométriquement intègre. Suivent, fermées par un crochet, une suite exacte de complexes de cochaînes \(0 \to C^{\cdot}(e, R) \to C^{\cdot}(G^{\mathrm{tm}}, R) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\ldots, R) \to 0\) et une cohomologie de Hochschild biffée ; on ne les interprète pas. ↩
  15. Dans les exposés XI et XII, où ces énoncés s'insèrent, \(G\) est lisse et affine sur \(S\) ; on le suppose. Cette lecture ne vérifie pas que cela suffise à chacun des énoncés qui suivent. ↩
  16. Ce qui rend la normalité suffisante, c'est que le prolongement a lieu dans \(G\). Pour un tore abstrait au-dessus de \(U\), l'énoncé analogue exige davantage. Voici un exemple, le nôtre : soit \(S\) l'hensélisé du cône \(xy = z^{2}\) au sommet, sur un corps algébriquement clos de caractéristique \(\neq 2\). Il est normal, et l'ouvert \(U\) complémentaire du sommet a un revêtement étale connexe de degré 2. Le tore de normes associé n'a pas de prolongement en un tore sur \(S\), car \(S\) est strictement hensélien et tout tore sur \(S\) serait déployé. ↩
  17. Il corrige « sous-groupe de t.m. » en « sous-tore » et « un tore » en « de t.m. » ; pour un groupe réduit et connexe, c'est la même chose. Une ou deux hypothèses sur \(S\) sont illisibles. En marge, de biais : « rédiger mieux ». L'énoncé combine un critère aux points de codimension 1 et le corollaire 5.8 pour la codimension \(\geqslant 2\). Un corollaire 5.10, qui supposait \(\overline{H}_{y}\) un tore, est annulé. ↩
  18. Les relations entre \(H(n)\), \(H(m)\) et \(H\) sont mal lisibles : le signe entre \(H(n)\) et \(H(m)\) ne se lit pas, celui entre \(H\) et \(H(n)\) porte peut-être un indice, et la page écrit \(H(n)_{s} = H_{s}\). On les restitue d'après les pages 33 et 34, où la même famille apparaît en clair : « \(H(m) = {}_{m}H(n)\) si \(m \mid n\) ». Un mot avant « \(S\) », lu « fini », pourrait porter une hypothèse sur \(S\) ; on ne le restitue pas et l'on ne démontre pas l'énoncé. En tête de la page : « Lemme utilisé au corollaire nouveau ? » et, en marge, « !! ». ↩
  19. Ces justifications sont les nôtres ; la page énonce. La marge porte deux exemples, sous un trait : \(G/R = GP(n)\) et \(G = GL(n)\), qu'on lit \(\mathrm{PGL}_{n}\) et \(\mathrm{GL}_{n}\). On a \(\mathrm{Pic}(\mathrm{GL}_{n}) = 0\) et \(\mathrm{Pic}(\mathrm{PGL}_{n}) = \mathbf{Z}/n\). Elle porte aussi un diagramme qui compare les deux calculs de (c) pour \(G\) et \(G/R\), \(R\) le centre. ↩
  20. La page dit qu'« on peut prendre pour \(n\) le degré de toute extension finie \(k'\) » ayant les propriétés a) à d). Prise à la lettre, l'affirmation est fausse : pour \(G = \mathrm{PGL}_{2}\) sur \(k\) algébriquement clos, \(k' = k\) convient, et l'on aurait \(\mathrm{Pic}(\mathrm{PGL}_{2}) = 0\), alors qu'il vaut \(\mathbf{Z}/2\). Ce que le degré annule, par l'argument de norme (\(N_{k'/k} \circ \mathrm{res} = [k':k]\)), c'est le noyau de la restriction ; on énonce cela. Les conditions c) et d) sont très raturées. Le « déployé » de d) et les mots sur \(N(T')\), \(C(T')\) sont d'une lecture d'ensemble douteuse. Un bloc annulé donnait deux cas particuliers : \(G\) unipotent connexe, où une puissance de la caractéristique suffit, et \(G\) simple. ↩
  21. La page écrit \(\mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G_{\tilde k})\), avec \(\tilde k\) la clôture « séparable », soulignée deux fois, ou « algébrique », écrite au-dessus. Aucun des deux mots ne l'emporte clairement. Sans les invariants, l'isomorphisme est faux. Pour une forme extérieure \(G\) de \(\mathrm{PGL}_{3}\), déployée par une extension quadratique \(L/k\), le groupe de Galois agit par \(-1\) sur \(\mathrm{Pic}(G_{k_{s}}) = \mathbf{Z}/3\), et \(\mathrm{Pic}(G) = 0\). Avec la clôture algébrique, l'énoncé serait faux d'une autre manière : les groupes unipotents non déployés sur un corps imparfait ont un \(\mathrm{Pic}\) non nul que \(\bar k\) tue. Sa condition entre crochets, que \(G\) soit de « … unipotent nul », va dans ce sens. La démonstration est la nôtre ; l'énoncé sous cette forme est un lemme de J.-J. Sansuc (1981), postérieur à ces notes. ↩
  22. La page : « Si \(G\) est de … unipotent nul et \(\mathrm{Hom}_{\bar k\text{-gr}}(G_{\bar k}, \mathbf{G}_{m\bar k}) = 0\), alors \(\mathrm{Pic}(G) \simeq \mathrm{Pic}(G_{\bar k}) =\) groupe fini ». On lit « de radical unipotent nul », c'est-à-dire réductif, et l'on remplace l'isomorphisme par l'inclusion que donne 2°). Sur \(k_{s}\), \(G\) est déployé, et son \(\mathrm{Pic}\) ne change plus par extension algébriquement close. ↩
  23. La justification est la nôtre. L'identification \(V = W(\mathfrak{g})\), \(W = W(\mathfrak{h})\) l'est aussi ; c'est ce que portent les notations des pages 21 et 22 (\(\psi : X \to W(\mathfrak{g})\), \(N\), \(\mathfrak{m}_{a}\), \(\varphi\) lisse en \((e, a)\)). ↩
  24. Tout le corps de la page 22 est annulé par deux longues diagonales, et se lit néanmoins. Les numéros (x) et (xi) récrivent (xiii) et (xii), qui sont biffés : la liste de quatorze conditions à laquelle renvoient les pages 17 et 19 en est un état antérieur, qui n'est pas dans le dossier. En marge, des accolades réunissent (i)–(iii) et (ix)–(xi), et des flèches doubles verticales relient (v) à (ix). ↩
  25. Lecture d'ensemble douteuse. « Satisfaire au théorème de densité » veut dire, pensons-nous, que les conjugués de \(\mathfrak{h}\) remplissent un ouvert dense de \(\mathfrak{g}\), c'est-à-dire (vii). Le mot « densité » est répété et souligné, et lu avec doute. ↩
  26. L'argument est celui de la page, complété par nous. Le complément compte : en caractéristique \(p\), les poids d'une algèbre de Lie nilpotente ne sont pas nécessairement linéaires, et ce sont leurs puissances qui sont polynomiales. La page écrit « \(\exists\, v \in \mathfrak{h}\) » ; on lit \(v \in V\). ↩
  27. Cette application est la nôtre ; c'est, pensons-nous, la raison d'être du lemme à cet endroit. La chaîne « (xiv) \(\Rightarrow\) (i) \(\Rightarrow\) (iii) \(\Rightarrow\) (v) » de la page 19 est écrite dans l'ancienne numérotation, et nous ne savons pas si ses (i) et (iii) sont ceux de la page 22. ↩
  28. La page le dit à la fin d'une phrase dont le début est perdu (« … ici que \(\psi\) est birationnel »). Une ligne biffée affirmait d'abord « \(\varphi\) lisse en tout point, \(\psi\) étale en tout point », ce qui est faux ici : \(\mathfrak{m}_{a} \supset \mathfrak{u} = \mathfrak{g}\). La birationalité est juste, mais elle a une raison subtile, qui est la nôtre. Un élément générique \(Z = \bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & a \end{smallmatrix}\bigr)\) de \(\mathfrak{g}\) a une seule valeur propre, double, \(a + \sqrt{bc}\), et une seule droite propre, \([\sqrt{b} : \sqrt{c}]\). Cette droite n'est définie que sur une extension purement inséparable de degré 2 de \(k(\mathfrak{g})\), et \(G \times^{B} W(\mathfrak{h}) \to W(\mathfrak{g})\) est radiciel de degré 2. Mais le normalisateur \(N\) n'est pas \(B\) : c'est un schéma non lisse, d'algèbre de Lie \(\mathfrak{u} = \mathfrak{g}\) de dimension 3. \(G/N\) est le tordu de Frobenius de \(G/B\), où la droite propre a pour coordonnées \([b : c]\), rationnelles. La fibre générique de \(\psi\) est un point rationnel, et \(\psi\) est birationnel. C'est le même phénomène qui met (xi), « \(N\) lisse », en défaut. ↩
  29. La page est très raturée, et l'on en restitue l'argument. Les vérifications de ce que \(\mathfrak{h}\) est égale à son normalisateur et de ce que \(\psi\) est dominant sont les nôtres. Pour la seconde : sur \(\mathfrak{pgl}_{2}\) en caractéristique 2, la trace est bien définie, et les orbites génériques sont les fibres de la trace. La trace de \(\gamma H + s(\lambda X + \mu Y)\) est \(\gamma\), qui parcourt \(k\). La page écrit le groupe « \(\mathrm{Pl}(2, k)\) » et le tableau de la page 17 « \(GP(2, k)\) ». ↩
  30. Un « (v) \(\not\Rightarrow\) (i) ??? » est encadré. En marge, un calcul de dimension pour \(G = \mathrm{PGL}_{2}\) et \(\dim W = 1\) : \(\dim X = 3 - 1 + 2 = 4\). On ne traduit pas le tableau dans la numérotation de la page 22, faute de la liste à laquelle il renvoie. ↩
  31. Encadré, et de lecture douteuse sur les trois mots décisifs ; le qualificatif des algèbres de Cartan est illisible. On ne sait pas ce que désignent \(\mathfrak{L}\) et la barre. On ne reconstruit pas l'exemple. La page 20, verso dactylographié sans rien de sa main, traite de sous-algèbres nilpotentes égales à leur normalisateur. ↩
  32. « rationnel » est ajouté par nous. Sur \(\bar{\mathbf{F}}_{p}\), un élément générique de \(\mathfrak{t}\) est régulier, et c'est la finitude du corps qui fait l'exemple. Il montre que l'hypothèse « \(k\) infini », sous laquelle on construit les sous-algèbres de Cartan à partir des éléments réguliers, ne peut pas être levée, même pour un groupe résoluble. La page établit aussi, par un argument en partie illisible, que le centre de \(G\) est trivial. La prose de la page, en particulier « caractères infinitésimaux » et la note de biais en marge, est d'une lecture douteuse ; le second membre de l'égalité a été récrit plusieurs fois. ↩
  33. « fini » est ajouté par nous : la page dit « groupe ensembliste », et « de type fini » l'exige. Par exemple \(E = S_{3}\) et \(F\) engendré par une transposition. ↩
  34. La dernière phrase est la nôtre ; la page dit que le foncteur « ne commute pas » à la limite projective des \(A_{n}\). Suit un N.B. inachevé : « Si \(G\) est plat de présentation finie sur \(S\), à fibres connexes, alors \(Z\) est représentable …… ». L'énoncé n'est pas démontré, et cette lecture ne le vérifie pas. ↩
  35. La fraction ½ est écrite en petit, pour « semi- ». ↩
  36. Les noms varient d'une page à l'autre, et on fixe ceux de la page 29. La page 28 écrit \(\rho_{\mathrm{aff}}\) pour \(d_{\mathrm{aff}}\), \(\rho_{\mathrm{s}}\) ou \(\rho_{\mathrm{rs}}\) pour \(\rho_{\mathrm{ss}}\), \(d_{\mathrm{s}}\) pour \(d_{\mathrm{ss}}\), et \(H\) pour \(G_{\mathrm{aff}}\). Elle définit \(\rho_{\mathrm{rad}}\) comme le rang du radical, mais l'emploie deux lignes plus bas comme sa dimension, dans « \(\rho_{\mathrm{aff}} = \rho_{\mathrm{ss}} + \rho_{\mathrm{rad}}\) » ; on écrit \(d_{\mathrm{ss}}\) et \(d_{\mathrm{rad}}\). Elle exprime aussi \(\rho_{\mathrm{u}}\) et \(\rho_{\mathrm{na}}\) à l'aide d'un \(V\) qu'elle ne définit pas ; on le lit \(C_{\mathrm{aff}}\). Que \(C\) ait les mêmes invariants que \(G\) se voit ainsi : \(C\) contient \(T\), se surjecte sur \(A\) (car \(G = G_{\mathrm{aff}} \cdot N_{G}(T)\)), et est son propre sous-groupe de Cartan. Le premier indice, « ab », se lit aussi « as ». ↩
  37. L'équivalence (3) \(\Leftrightarrow\) (9), qui revient à la page 36, n'est pas expliquée, et cette lecture ne sait pas la justifier : la dimension du radical n'est pas déterminée par le rang semi-simple. Le haut de la page porte des calculs épars : \({}_{n}A_{0}\), \(T_{0} \subset C_{0}\), « V.A. », \(H^{2}(\ , T_{0}) \simeq H^{2}(\ , \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\), \(\rho_{\mathrm{ab}} \leqslant \rho'_{\mathrm{ab}}\). Ils annoncent la démonstration. Le premier chiffre de « (2) \(+\) (5) » est surchargé. ↩
  38. Les deux exemples sont les nôtres. Dans (ii), « Si \(G\) est plat sur \(S\) » est biffé, et « lisse » est ajouté en interligne à l'énoncé. Les notations \(\rho_{\mathrm{r}}\), \(\rho_{\mathrm{u}}\), \(\rho_{\mathrm{n}}\) sont, à notre connaissance, celles de l'exposé XII de SGA 3, qui traite le cas affine. Ce qui est propre à ces pages est le cas général, avec la partie abélienne, où \(\rho_{\mathrm{r}}\) seul n'est plus semi-continu. ↩
  39. Ce « comme d'habitude » suppose que les fonctions en jeu sont localement constructibles, ce qui permet de ramener la semi-continuité à la spécialisation le long des traits. La page ne le dit pas, et cette lecture ne le vérifie pas. ↩
  40. Les crochets de la page sont déséquilibrés : le premier s'ouvre en bas de la page 31 et se ferme à la page 32. Plusieurs mots de la phrase de réduction sont illisibles ou douteux (« quitte », « réserve de platitude »). ↩
  41. Une première voie est abandonnée (lignes biffées et traversées de courbes). Elle passait par \(C_{0}/T_{0}\), extension d'une variété abélienne \(A_{0}\) par un groupe unipotent lisse connexe \(U_{0}\), et par le scindage canonique des extensions de \({}_{n}A_{0}\) par \(U_{0}\). En marge : « \(G\) lisse\(/S\) », puis « \(G\) lisse\(/k\) ». ↩
  42. Souligné d'une ligne ondulée. C'est de cela que dépend l'inégalité (5). Nous ne le vérifions pas non plus. La réunion des \(H(n)_{1}\) a pour adhérence un groupe commutatif dont la composante neutre peut avoir une partie abélienne. Que son centralisateur contienne un sous-groupe de Cartan n'est pas immédiat. ↩
  43. Le chiffre devant « formule » se lit « 1) » ou « 5) ». La relation est encadrée sur la page. ↩
  44. La page place \(Z\) au-dessus d'une accolade qui semble couvrir tout le quotient \(C/\underline{\mathrm{Cent}}(C)^{\circ}_{\mathrm{réd}}\). Lu ainsi, le second énoncé serait faux : il n'y a pas d'homomorphisme non trivial d'un groupe de type multiplicatif vers un groupe unipotent, alors que \(C\) contient son tore maximal. On lit donc \(Z\) comme le centre, conformément à ce que la suite en fait. « premier à \(p\) » est ajouté par nous. La justification est la nôtre : \(C\) est engendré par sa partie anti-affine, centrale, et par sa partie affine, produit d'un tore central et d'un groupe unipotent ; une image de type multiplicatif tombe dans le tore, et un point de torsion d'ordre premier à \(p\) a une image triviale dans le quotient unipotent. ↩
  45. « [qu'on peut supposer lisse\(/k(s_{1})\) !] » est ajouté en interligne. La justification de l'égalité des invariants sur la fibre spéciale est lue avec doute (« Cartan … »). Un « Corollaire » est biffé en tête de page. ↩
  46. Le développement de « facile » est le nôtre. En marge, deux fois : « [sans restriction … limitation] ». ↩
  47. La réduction à une base de type fini sur \(\mathbf{Z}\) est annoncée (« à priori … ») et n'est pas conduite ; nous ne la vérifions pas. En marge, un croquis : une flèche vers « \(S\) », un angle droit, un segment pointé. ↩
  48. La page écrit \(\pi_{1}(s_{0}) \simeq \mathbf{Z}\) ; c'est le groupe de Galois d'un corps fini, \(\hat{\mathbf{Z}}\), engendré topologiquement par le Frobenius. ↩
  49. La fin de l'argument est reconstruite. La page dit que les opérations de Galois se font « par l'intermédiaire exclusif » d'un « caractère » (lecture douteuse), puis qu'on est ramené à un énoncé « sur une V.A. … sur un corps \(\mathfrak{k}\) de type fini … mais ici suffisant », avec un crochet ouvrant absent. Nous comprenons que l'énoncé général, sur un corps de type fini, n'est pas nécessaire, le corps résiduel étant ici fini. Le recours au théorème de Weil sur les poids du Frobenius (1948) est le nôtre. Un argument voisin, par le module de Tate de la partie semi-abélienne et l'action de l'inertie, est celui de SGA 7, exposé IX (1967-1969) ; on ne sait pas lequel des deux textes précède l'autre. ↩
  50. La page écrit que « un groupe réductif … spécialise en un réductif », un mot illisible au milieu. Sous cette forme, c'est faux : le groupe \(\mathrm{Spec}\, A[x, (1 + \pi x)^{-1}]\) de la page 31 a pour fibre générique \(\mathbf{G}_{m}\) et pour fibre spéciale \(\mathbf{G}_{a}\). Ce qui est vrai, pour \(G\) lisse et affine, c'est l'inverse : si la fibre spéciale est réductive, la fibre générique l'est aussi. Le lieu des fibres réductives est ouvert (SGA 3, exposé XIX, à notre connaissance). Le mot illisible est peut-être une négation. On ne tranche pas. ↩
  51. Le paragraphe est numéroté « (4) », et la plupart de ses mots de liaison sont illisibles. L'argument qui borne la fibre spéciale de l'adhérence de \(\mathrm{Rad}_{1}\) est le nôtre, suggéré par la marge « \(\overline{R}_{1} = R\) ». La page parle de « \(n\)-rang ». Pour un seul \(n\), la borne par le rang est fausse : \((\mathbf{Z}/2)^{2}\) se plonge dans \(\mathrm{PGL}_{2}\), de rang 1, en caractéristique \(\neq 2\). Elle vaut pour le système compatible tout entier, dont l'adhérence est un groupe commutatif de tore de dimension au moins le rang \(\ell\)-adique du système. C'est ainsi qu'on lit. ↩