Cote n° 26 · batch 1 · pages 1–10 · Transcription · EGA VI. Plans, notations, problèmes ouverts : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [après 1967]
Édition de démonstration

V — Plan. Notations

titre de sa main, à l'encre, dans l'angle supérieur droit du premier feuillet — une chemise brune qui ne porte rien d'autre : « V » souligné, puis « Plan », « Notations ». Le feuillet ne reçoit pas de page ; ses mots ouvrent la section

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A) Descente et passage au quotient

§ 1 Descente fidèlement plate

§ 2 Passage aux quoti[…] Topologies sur \((\mathrm{Sch})_{/S}\). Propriétés générales des Généralités sur les foncteurs sur foncteurs sur \((\mathrm{Sch})_{/S}\). [Intervertir 1 et 2 ??] \((= \mathrm{Sch})_{/S}\)

la ligne du § 2 est réécrite par-dessus une première rédaction biffée ; « Topologies sur \((\mathrm{Sch})_{/S}\) » est interligné au-dessus, « foncteurs sur \((\mathrm{Sch})_{/S}\) » au-dessous, d'une encre plus bleue

§ 3 Passage au quotient plat.

§ 4 Descente non plate [Applications : Ram. Samuel généralisé… Appl. à platitude d'une relation schématique et lemme de Hironaka.

la seconde ligne du crochet, « Appl. à platitude … Hironaka », est ajoutée en dessous d'une encre plus bleue ; le crochet n'est pas refermé

§ 5 Passage au quotient non plat. [Passage aux quots en gén.]

§ 6 Descente de schémas relatifs étales, … [Évt descente des […] faisceaux étales ?? …]

B) Méthodes non projectives de construction

titre reconstitué de ses corrections : « Propriétés générales des foncteurs sur \((\mathrm{Sch})_{/S}\) » est biffé en entier ; « Méthodes non projectives » est écrit en dessous, et « de construction », entouré, est rattaché par un trait à la suite de « Méthodes ». Vient ensuite une ligne encadrée puis biffée, numérotée d'un § lui-même biffé : « Propriétés générales des foncteurs et propriétés de permanence »

§ […] Propriétés générales des foncteurs et propriétés de permanence

§ 7 Proreprésentabilité (et variantes).

§ 9 Invariants différentiels de tangents et normaux

le numéro est un 8 surchargé en 9, avec une flèche au-dessus ; « tangents et normaux » est interligné au-dessus du mot biffé

§ 10 (Après § 12 ??) Propriétés générales de foncteurs, propriétés de permanence \(\left\{\;\text{Foncteurs excellents sur } S \text{ ; morphismes excellents ??}\right.\)

« § 10 » est entouré, « Après § 12 ?? » encadré au-dessus de la ligne ; l'accolade et son contenu sont dans la marge droite

§ 11 Représentabilités élémentaires du type \(\prod_{Y/S} X/Y\). (Comme cas […] ? Cas Greenberg ?) cf SGAD VIII 6 et XI 6.8.

le numéro est un 10 biffé, remplacé par 11 ; le tout entouré et relié par un trait à « § 10 » et à « § 8 » — les trois numéros sont en cours de redistribution. La lettre sous le \(\prod\) est un X surchargé, lu Y d'après la feuille de notations (p. 8) où la même surcharge se lit ; de même p. 4

§ 8 Construction de Modules cohérents

le numéro, encadré, est surchargé et se lit 8 ; une première valeur n'est plus lisible

§ 12 Représentabilité Foncteurs représ. par morphismes loc. pr. f.

« Foncteurs » est interligné au-dessus du mot biffé, « représ. » au-dessus de « repr. »

§ 13 Applications : des ths de représentabilité relatifs. (y compris pour les foncteurs étales…)

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Dactylographie, p. 32

pages 3 et 5 : dactylographie de sa main, paginée 32 et 31 par la machine, lettres grecques et flèches encrées à la main, le tout biffé d'un long trait diagonal. Dans l'ordre des archivistes sa page 32 (ici) précède sa page 31 (p. 5), qui la précède dans le texte ; le paragraphe 7.9.3 ouvert au bas de la p. 5 se poursuit ici

Considérant la restriction de \(\varphi\) à la sous-catégorie pleine de \(\widetilde{X}_{\text{ét}}\) formée des ouverts de ce topos, ou ce qui revient au même (6.1.) des ouverts \(U\) de \(X\), on trouve une application \[ \varphi_0 : \mathcal{U}(X) \longrightarrow \{0, 1\} \] commutant aux sup quelconques et aux inf finis. (On note que pour \(U \in \mathcal{U}(X)\), \(\varphi(U)\) est vide ou réduit un point, et on prend \(\varphi_0(U) = 0\) ou \(1\) suivant qu'on est dans l'un ou l'autre cas). On voit facilement […], grâce au fait que tout fermé irréductible de \(X\) a un point génerique et un seul, que \(\varphi_0\) est defini à l'aide d'un […] unique \(x \in X\), par la condition \[ \varphi_0(U) = 1 \quad \text{sss} \quad x \in U , \] i.e. \[ \varphi(U) \neq \emptyset \iff x \in U . \] Soit \(F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{X}_{\text{ét}}\), alors l'image de \(F\) dans le faisceau final \(X\) est un ouvert ; et comme \[ \varphi(F) \longrightarrow \varphi(U) \] est surjectif, on voit que \(\varphi(F) \neq \emptyset\) sss \(\varphi(U) \neq \emptyset\) i.e. sss \(x \in U\). Soit alors \(C_\varphi\) la catégorie des couples \((X', \xi)\) où \(X' \in \mathrm{Ob}\,X_{\text{ét}}\), et \(\xi \in \varphi(X')\). On a signalé dans 7.9.1. que \(C_\varphi^{\circ}\) est pseudo-filtrante connexe. De plus grâce à 7.9.2. et à ce qui précéde appliqué à \(X'\) au lieu de \(X\), si \((X', \xi) \in \mathrm{Ob}\,X_{\text{ét}}\), il lui est associé un unique point \(x' \in X'\), tel que pour un morphisme étale \(X'' \longrightarrow X'\), \(\xi\) est dans l'image de \(\varphi(X'') \longrightarrow \varphi(X')\) sss \(x'\) est dans celle de \(X''\). On conclut de ceci que le préschéma \(\varprojlim\) des \(X'\) suivant la catégorie \(C\) des \((X', \xi)\) existe et est un localisé strict \(Z\) de \(X\), correspondant donc à un point géométrique \(\xi\) et un foncteur fibre \(\mathcal{E}_{\xi}\).

« réduit un point », « génerique », « defini », « précéde » : sic. Les s finals de « les préschémas » sont recouverts à la machine, d'où « le préschéma ». Le dernier symbole est un glyphe manuscrit épais, indexé \(\xi\), qui n'est pas le \(\xi\) des occurrences précédentes

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C) Méthodes projectives de construction

« de construction » est interligné au-dessus de « projectives », qui est encadré, et rattaché à « Méthodes » par un trait

§ 14 Familles limitées.

§ 15 Foncteurs et Schémas de Hilbert. (+ appl. aux quotients).

§ 16 Foncteurs et Schémas de Picard. (Ths d'existence projectifs exclusivement ; également le cas de groupes structuraux affines commutatifs plus généraux que \(\mathbb{G}_m\)…)

« Foncteurs et » est interligné au-dessus de « Schémas » aux § 15 et § 16, avec une parenthèse ouvrante ajoutée devant « Schémas ». La parenthèse du § 16 court sur quatre lignes dans la marge droite, contre une accolade qui regroupe les § 16 à § 20

§ 17 Variantes de Picard.

§ 18 Applications aux courbes

§ 18 Formalisme des normes

§ 20 Invariants multiprojectifs de Mumford.

la colonne des numéros § 16 à § 20 est surchargée : le premier « 18 » est écrit sur un autre chiffre, le second « 18 » et le « 20 » aussi, et la numérotation ne se suit plus. Elle est transcrite telle qu'elle se lit

D) Méthodes mixtes de construction

« de construction » interligné au-dessus de « mixtes », entre parenthèses

§ 21 Cas de représentabilité de \(\underline{\mathrm{Pic}}\), \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\circ}\), \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_X\)… (y compris le cas de Mumford utilisant § 20).

le numéro se lit « 20 » surchargé en « 21 » ; le « § 20 » de la parenthèse est lui aussi surchargé

§ 22 Cas de représentabilité des foncteurs \(\prod_{Y/S} X/Y\) etc.

sous le \(\prod\), un X surchargé, lu Y (cf. p. 2, § 11)

(Ths du type Matsumura).

NB. On suppose connus, tous les gén. fondamentaux (topologies, descente, faisceaux, quotient) ; i.e. rappelés au besoin dans V.

le NB est isolé entre deux traits horizontaux ; le « V » est souligné et précédé d'un petit rond, comme sur la chemise

Manquent :

Il manquerait

les trois rubriques sont écrites dans la marge gauche, chacune contre une accolade qui enserre ses lignes ; « dans Chap. sur schémas en groupes » est relié par un trait à l'accolade des deux premières lignes, sous « Il manquerait » biffé. « qualitative » est interligné au-dessus de « (générale »

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Dactylographie, p. 31

la page commence au milieu d'une phrase ; ce qui précède n'est pas dans le dossier

(les morphismes se définissant de la façon évidente), et on note qu'on a un homomorphisme évident \[ (\ast) \qquad \varinjlim_{(Y, \xi) \in C_\varphi^{\circ}} \check{Y} \longrightarrow \varphi \] en remarquant que \[ \mathrm{Hom}\bigl(\varinjlim_{C_\varphi} \check{Y}, \varphi\bigr) \simeq \varprojlim_{C_\varphi} \mathrm{Hom}(\check{Y}, \varphi) \simeq \varprojlim_{C_\varphi} \varphi(\widetilde{Y}) . \] Or on a un élément canonique dans \(\varprojlim_{C_\varphi} \varphi(\widetilde{Y})\), en associant à tout \((Y, \xi)\) l'élément \(\xi\) de \(\varphi(Y)\). Utilisant le fait que les \(\varprojlim\) finies existent dans \(C\), et que le foncteur \(Y \rightsquigarrow \varphi(\widetilde{Y})\) y commute, on voit que dans \(C_\varphi\) les \(\varprojlim\) finies existent ; à fortion \(C_\varphi^{\circ}\) est pseudo-filtrant. Utilisant que tout faisceau \(F\) est limite inductive des faisceaux de la forme \(\widetilde{Y}\), et utilisant le fait que \(\varphi\) commute aux limites inductives, on conclut aisement que l'homomorphisme de foncteurs \((\ast)\) est bijectif, et donne donc la représentation annoncée.

« à fortion », « aisement » : sic

7.9.2. Remarquons également que si \(\underline{E}\) est un topos, \(Y\) un objet de \(\underline{E}\), d'où un topos \(\underline{E}_{/Y}\), alors la donnée d'un foncteur fibre \(\varphi\) pour \(\underline{E}_{/Y}\) équivaut à la donnée d'un couple \((\varphi, \xi)\), où \(\varphi\) est un foncteur fibre pour \(\underline{E}\), et \(\xi \in \varphi(Y)\). Au foncteur fibre \(\psi : \underline{E}_{/Y} \longrightarrow (\mathrm{Ens})\) on associe le couple \((\varphi, \xi)\), où \(\varphi\) est le composé \(\varphi(Z) = \psi(Z \times Y)\), \(\xi \in \varphi(Y) = \psi(Y \times Y)\) est l'image de l'unique élément de \(\psi(Y)\) par le morphisme diagonal de \(Y \times Y\).

7.9.3. Revenons maintenant au cas du site \(C = \widetilde{X}_{\text{ét}}\), et soit \(\varphi : \widetilde{X}_{\text{ét}} \longrightarrow (\mathrm{Ens})\) un foncteur fibre sur le topos étale de \(X\).

la suite est la p. 3

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Recommandation importante

Partout où c'est possible, remplacer « fid. plt qu.-cpt » par « couvrant ».

un trait horizontal sépare la recommandation de ce qui suit

(pré)-Relations d'équivalence en pièces détachées !? \[ (R_0^{i}) \leftleftarrows (R_1^{ij}) \]

la formule est entourée ; devant elle un signe biffé, illisible. Des deux flèches entre \((R_1^{ij})\) et \((R_0^{i})\), seule l'inférieure porte une pointe lisible

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page biffée en entier par quatre longs traits diagonaux ; les cinq premières lignes le sont une seconde fois par des traits courts. Dans l'angle supérieur gauche, un gribouillis. Tout est transcrit

Th. de finitude pour les schémas de Hilbert

Th. de Matsusaka pour les automorphismes d'une variété polarisée

Th. de la th « courbe générique » [pour Picard]

Schémas de Hilbert d'une courbe […] sur \(S\).

Picard des courbes sur \(S\) [« diviseur \(\Theta\) » etc ?]

Picard d'un schéma propre non projectif sur \(k\)

Picard d'un \(S\)-schéma projectif à fibres réductibles [p.ex. cas d'une courbe sur \(S\)]

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large]
  A \arrow[r] & B \arrow[d] \arrow[drr] & C \arrow[dl] \arrow[dr] & D \arrow[dr] \arrow[rr, bend left=25] & E \arrow[d] & J & K \\
  & H \arrow[dr] & & G \arrow[dl] & F \arrow[l] & & \\
  & & I & & & &
\end{tikzcd}

les douze lettres sont posées sur trois rangs, sans autre légende ; la flèche \(A \to B\) est ondulée, les flèches \(B \to G\), \(C \to G\) et \(D \to F\) sont tracées d'un trait épais, les autres d'un trait fin. Les traits diagonaux qui biffent la page traversent aussi le diagramme

\(L\) Appendice : Pbs ouverts.

sous un trait horizontal qui ferme le diagramme

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Notations

le titre est dans l'angle supérieur droit, souligné, séparé de la première ligne par un trait vertical. Sur toute la hauteur de la marge droite, contre un trait vertical, une colonne de lettres en regard des lignes : F, X, X, X, X, X, X, Y, puis X, X, G. Chaque nom de foncteur est écrit trois fois sur sa ligne : doublement souligné, simplement souligné, non souligné ; deux flèches de sa main, « préfaisceau » et « faisceau », désignent les occurrences simplement soulignées des lignes Prépic et Prépic\('\)

F, X, X, X, X, X, X, Y, X, X, G

\[\begin{align*} \underline{\underline{\mathrm{Quot}}}_{F/X/S}(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Quot}}(F'/X'/S')\bigr) = \mathrm{Quot}(F'/X'/S') \\ \underline{\underline{\mathrm{Hilb}}}_{X/S}(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Hilb}}(X'/S')\bigr) = \mathrm{Hilb}(X'/S') \qquad = \underline{\underline{\mathrm{Quot}}}_{\mathcal{O}_X/X/S}(S') \\ \underline{\underline{\mathrm{Div}}}_{X/S}(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Div}}(X'/S')\bigr) = \mathrm{Div}(X'/S') \end{align*}\]

aux trois occurrences de « Div » le nom continue par des lettres gribouillées jusqu'à l'illisible, comme s'il en avait essayé un plus long ; au-dessus du premier, une apostrophe

\[\begin{align*} \underline{\underline{\mathrm{Hom}}}_S(X, Y)(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Hom}}_{S'}(X', Y')\bigr) = \mathrm{Hom}_{S'}(X', Y') = \mathrm{Hom}_S(X \times_S S', Y) \\ \underline{\underline{\mathrm{Isom}}}_S(X, Y)(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Isom}}_{S'}(X', Y')\bigr) = \mathrm{Isom}_{S'}(X', Y') \\ \underline{\underline{\mathrm{Aut}}}_S(X)(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Aut}}_{S'}(X')\bigr) = \mathrm{Aut}_{S'}(X') \\ \underline{\underline{\mathrm{Imm}}}_S(X, Y)(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Imm}}_{S'}(X', Y')\bigr) = \mathrm{Imm}_{S'}(X', Y') \end{align*}\]

à la ligne Aut, après \((X)\), un \((S')\) recouvert de traits est réécrit à côté

\[ \Bigl(\underline{\underline{\prod}}_{Y/S} X/Y\Bigr)(S') = \Gamma\bigl(S', \underline{\Gamma}_{Y'/S'}(X'/Y')\bigr) = \bigl[\Gamma_{Y'/S'}(X'/Y') = \bigr]\;\Gamma(X'/Y') \]

dans le \(\Gamma(S', \ldots)\), un mot biffé jusqu'à l'illisible précède \(\underline{\Gamma}_{Y'/S'}\). Sous \(\underline{\underline{\prod}}_{Y/S} X/Y\), une accolade et le mot « ou », puis, à la marge gauche :

\[ \underline{\underline{\Gamma}}_{Y/S}(X/Y) = \underline{\underline{H}}^{0}_{Y/S}(X/Y) \]

les deux barres de fraction de cette ligne sont repassées d'un trait épais, et la ligne se termine par un signe biffé ; le Y sous le \(\prod\) de la ligne précédente est un X surchargé

\[\begin{align*} \underline{\underline{\mathrm{Prépic}}}_{X/S}(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Prépic}}_{X'/S'}\bigr) = \mathrm{Prépic}(X'/S') \qquad = H^1(X', \mathcal{O}_{X'}^{*}) \\ \underline{\underline{\mathrm{Prépic}}}'_{X/S}(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Prépic}}'_{X'/S'}\bigr) = \mathrm{Prépic}'(X'/S') \qquad = \Gamma\bigl(S', \underline{H}^{1}_{X'/S'}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X'})\bigr) \\ \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{X/S}(S') &= \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Pic}}_{X'/S'}\bigr) = \mathrm{Pic}(X'/S') \qquad = \widetilde{\underline{\underline{\mathrm{Prépic}}}}_{X/S}(S') \end{align*}\]

à la ligne Prépic, l'indice de \(\underline{\mathrm{Prépic}}\) est un pâté sous lequel se lit \(X'/S'\) ; la ligne continuait par « \(= H^1(\ldots) = \Gamma(S', H^1_{\ldots})\) », recouvert de hachures jusqu'à l'illisible, et « \(= H^1(X', \mathcal{O}_{X'}^{*})\) » est écrit au-dessus. À la ligne Prépic\('\), une lettre est raturée dans le premier « Prépic », un \(\neq\) biffé suit \(\mathrm{Prépic}'(X'/S')\), et « faisceau » est écrit sous \(\underline{H}^{1}_{X'/S'}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X'})\). À la ligne Pic, le tilde couvre « Prépic » et l'argument commence par un pâté

2. \[\begin{align*} \mathrm{Hom}\Bigl(\underline{\underline{\prod}}_{X/S} \underline{F}, \underline{M}\Bigr) &= H^0\bigl(\underline{F} \otimes_S \underline{M}\bigr), & \underline{\mathrm{Hom}}\Bigl(\underline{\prod}_{X/S} \underline{F}, \underline{M}\Bigr) &= \underline{H}^{0}_{X/S}\bigl(\underline{F} \otimes_S \underline{M}\bigr) \\ \underline{V}\Bigl(\prod_{X/S} \underline{F}\Bigr) &= \prod_{X/S} V(\underline{F}) & \underline{V}\Bigl(\underline{\underline{\prod}}_{X/S} \underline{F}\Bigr) &= \underline{\underline{\mathrm{Hom}}}_{X/S}(F, \underline{\mathcal{O}}_X) \end{align*}\]

au-dessus des deux \(\prod_{X/S}\underline{F}\) de la première ligne, « contravariant en F » (le premier suivi d'un mot biffé), avec une accolade. La formule de droite de la seconde ligne est entourée, précédée d'un « ? », et suivie dans la marge de « Notation opportune ??? »

\(\underline{\underline{\mathrm{Hom}}}_{X/S}(F, G)(S') = \Gamma\bigl(S', \underline{\mathrm{Hom}}_{X'/S'}(F', G')\bigr) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}(F', G')\)

ligne encadrée puis biffée de hachures, avec au-dessus un second départ, « \(\underline{\underline{\mathrm{Hom}}}_{X/S}(F, G)(S')\) », biffé de même

\[\begin{align*} \mathrm{Hom}\bigl(\underline{\underline{\mathrm{Hom}}}_{X/S}(F, G), \underline{M}\bigr) &= \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_X}(F, G \otimes_{\mathcal{O}_S} M) \\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}}\bigl(\underline{\underline{\mathrm{Hom}}}_{X/S}(F, G) \otimes_{\mathcal{O}_S} S', \mathcal{O}_{S'}\bigr) &= \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}(F', G') \\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_S}\bigl(\underline{\underline{\mathrm{Hom}}}_{X/S}(F, G), \underline{M}\bigr) &= \underline{\mathrm{Hom}}_{X/S}(F, G \otimes M) \end{align*}\]

les deux premières lignes sont à gauche, prises dans une accolade, la troisième à leur droite sur la hauteur de la première ; l'indice \(\mathcal{O}_X\) de la première est suivi d'un pâté, et l'indice \(X/S\) du dernier \(\underline{\mathrm{Hom}}\) de la troisième est barré d'un trait

Problèmes ouverts

titre de sa main, à l'encre, dans l'angle supérieur droit d'une seconde chemise brune (page 9), qui ne reçoit pas de page

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Problèmes-types à résoudre

les lettres a), c) et j) sont encadrées d'un trait épais ; dans la marge gauche, entourés, des renvois aux paragraphes du plan et à un chapitre VI. Ils sont donnés ici en marginales, devant l'item qu'ils accompagnent

§ 7

a) Anneaux de définition pour des structures sans automorphismes

§§ 20, 21 ; Chap VI

b) Hilbert, Picard sans hypothèse projective [Résultats partiels]

Dual d'un schéma abélien non projectif [OK par Raynaud]

« OK par Raynaud » est encadré ; « Chap VI » est écrit en regard de cette seconde ligne, le VI repassé au feutre

§§ 3, 4

c) Passage au quotient sans hypothèse de platitude

double trait horizontal

Mumford

d) Passage aux quotients par \(\mathrm{Gl}_n\), opérant « sans point fixe »

e) Modules de variétés plus ou moins quelconques. — Cas des schémas abéliens

d) et e) sont pris dans un crochet épais ; « Mumford », entouré, est relié à ce crochet

Mumford-Seshadri-Narasimhan pour fibrés vectoriels ; cas fini : […]

f) Classification de fibrés principaux sur \(X/Y\) (par exemple) à groupe affine \(G\) sur \(Y\), en distinguant les cas

« sur \(X/Y\) » est interligné au-dessus de « principaux » avec un trait de renvoi ; « (par exemple) » est d'une encre plus pâle. La marginale est entourée et rattachée au crochet qui enserre f). Un « § 17 », entouré, est relié par un trait à la ligne « \(G\) commutatif » et à g)

§ 17

g) Cas particulier ; \(G\) fini :

Pb mal posé ?

h) Cas particulier : \(X = \mathbb{P}^1_Y\), \(G = \mathrm{Gl}(n)\).

double trait horizontal

Chap VI ; Oui

i) Les modules formels d'une variété abélienne […] sont-ils simples sur l'anneau de base ?

« simples » souligné ; « Oui » est entouré, sous « Chap VI » dont le VI est repassé au feutre

double trait horizontal

j) « Th. du carré » dans cas non projectif …