Cote n° 26 · pages 1–10 · Lecture modernisée · EGA VI. Plans, notations, problèmes ouverts : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [après 1967]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–10

Le dossier, son ordre, et les conventions

Le dossier tient en dix pages, dont deux chemises. La première porte de sa main « V », souligné, puis « Plan » et « Notations » ; la seconde, « Problèmes ouverts ».¹ Entre les deux, trois choses distinctes :

• Le plan (pages 2 et 4) : quatre parties A) à D), vingt-deux paragraphes, dont les numéros sont en cours de redistribution — plusieurs sont surchargés, un est biffé, un autre porte « Après § 12 ?? ». Il se termine par une liste de ce qui « manque », c'est-à-dire de ce que ce chapitre suppose traité dans trois autres : les schémas en groupes, Picard, le groupe fondamental.
• Trois feuilles de travail : une recommandation de rédaction et une question sur les relations d'équivalence (page 6) ; une liste de sept théorèmes, biffée en entier, sous laquelle un diagramme de douze lettres (page 7) ; la feuille des notations (page 8), qui fixe une douzaine de foncteurs et le formalisme qui les relie.
• Les problèmes-types à résoudre (page 10), dix items a) à j), avec dans la marge les paragraphes du plan qui en dépendent et, trois fois, l'état de la question.

Les versos des deux feuilles du plan (pages 3 et 5) portent autre chose : une dactylographie de sa main, paginée 31 et 32 par la machine, biffée d'un trait diagonal et réemployée comme papier. Elle traite des foncteurs fibres du topos étale et n'a aucun rapport avec le plan ; elle est lue en dernier, pour elle-même.

L'ordre de lecture

Le plan se lit dans l'ordre des pages. Pour la dactylographie l'ordre des archivistes est l'inverse de celui du texte : la page 5 (sa page 31) précède la page 3 (sa page 32), et le paragraphe 7.9.3 ouvert au bas de l'une se poursuit en haut de l'autre. La lecture suit le texte.

Les conventions, fixées ici pour tout ce qui suit

\(S\) est un schéma de base, \(X\), \(Y\) des \(S\)-schémas, \(F\), \(G\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents, \(M\) un \(\mathcal{O}_S\)-module. Un prime désigne le changement de base à un \(S\)-schéma \(S'\) : \(X' = X \times_S S'\), \(F' = F \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_{S'}\). C'est la convention de la page 8, et elle est tenue partout.

Un foncteur sur \(S\) est un foncteur contravariant de la catégorie \(\mathbf{Sch}_{/S}\) des \(S\)-schémas vers les ensembles ; tout schéma \(Z\) sur \(S\) en définit un, \(S' \mapsto \mathrm{Hom}_S(S', Z)\), et le foncteur est dit représentable quand il est de cette forme. Le manuscrit écrit chaque foncteur trois fois sur sa ligne : doublement souligné pour le foncteur sur \(S\), simplement souligné pour le faisceau sur un \(S'\) donné, sans soulignement pour l'ensemble de ses sections.² La lecture ne garde qu'une notation : le foncteur, sans décoration, et sa valeur en \(S'\) comme un ensemble. Le faisceau sur \(S'\) n'est nommé que lorsque l'argument en a besoin.

La restriction de Weil d'un \(Y\)-schéma \(X\) le long de \(Y \to S\), que la page écrit \(\prod_{Y/S} X/Y\), est écrite \(\mathrm{Res}_{Y/S}(X)\) : c'est le foncteur \(S' \mapsto \mathrm{Hom}_{Y'}(Y', X')\) des sections de \(X' \to Y'\). Le « module » \(\prod_{X/S} F\) de la page 8 est écrit \(Q(F)\) ; sa définition est donnée en son lieu.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

Un plan n'établit rien, et ce dossier ne contient pas une démonstration. Ce qu'il laisse en outre sans définition : le mot « excellent » appliqué aux foncteurs et aux morphismes du § 10 ; le « cas Greenberg » du § 11 ; la signification des lettres A à K du diagramme de la page 7, dont seule L est glosée ; et le dernier mot de la marge qui accompagne f) sur la page 10, que la transcription n'a pas lu.

2–4

Le plan en quatre parties (feuillets 2 et 4)

A) Descente et passage au quotient

Le chapitre s'ouvre sur ce qu'il faut savoir pour redescendre. La descente fidèlement plate (§ 1) est l'énoncé suivant : si \(S' \to S\) est fidèlement plat et quasi-compact, se donner un objet sur \(S\) — un module quasi-cohérent, un schéma affine, un schéma quasi-projectif muni de son plongement — revient à se donner un objet sur \(S'\) et une donnée de descente, c'est-à-dire un isomorphisme entre ses deux images réciproques sur \(S' \times_S S'\) vérifiant une condition de cocycle sur le produit triple.³ Le § 2, qu'il propose d'intervertir avec le premier, pose les topologies sur \(\mathbf{Sch}_{/S}\) et les propriétés générales des foncteurs sur cette catégorie : ce qu'est un faisceau pour une telle topologie, et le fait que tout foncteur représentable en est un pour la topologie fidèlement plate quasi-compacte — c'est la descente elle-même, dite dans ce langage, et c'est pourquoi l'ordre des deux paragraphes hésite.⁴

Le passage au quotient vient en deux temps, plat (§ 3) puis non plat (§ 5), et de même la descente (§ 4). Le cas plat est celui où la relation d'équivalence \(R \rightrightarrows X\) est plate sur \(X\) : le quotient existe alors comme faisceau, et la question est de savoir quand il est un schéma. Le cas non plat, pour la descente, est illustré par deux applications nommées : le théorème de Ramanujam–Samuel généralisé, et un lemme de Hironaka appliqué à la platitude d'une relation schématique.⁵ Le § 6 étend la descente aux schémas relatifs étales et, entre crochets et avec deux points d'interrogation, aux faisceaux étales.

B) Méthodes non projectives de construction

Le titre lui-même est le résultat d'une correction : « Propriétés générales des foncteurs sur \(\mathbf{Sch}_{/S}\) » est biffé, « Méthodes non projectives » écrit dessous, et « de construction » ajouté d'un trait.⁶ Ce que la partie contient, dans l'ordre où la numérotation corrigée le laisse lire :

• § 7, la proreprésentabilité et ses variantes : un foncteur sur les anneaux artiniens locaux qui n'est pas représentable peut l'être par un pro-objet, c'est-à-dire par une limite projective de schémas — de fait par un anneau local complet. C'est la représentabilité « formelle », et c'est l'instrument de toute la partie.⁷
• § 9, les invariants différentiels tangents et normaux d'un foncteur : l'espace tangent \(F(S[\varepsilon])\) en un point, et le faisceau normal d'un sous-schéma, qui sont ce qu'un foncteur donne à voir avant qu'on sache s'il est représentable.⁸
• § 10, les propriétés générales des foncteurs et leurs propriétés de permanence — ce qui se conserve par changement de base, par limite projective filtrante, par descente —, avec dans la marge « foncteurs excellents sur \(S\) ; morphismes excellents ?? ».⁹
• § 11, les représentabilités élémentaires du type \(\mathrm{Res}_{Y/S}(X)\) : la restriction de Weil d'un \(Y\)-schéma affine, ou quasi-projectif, le long d'un morphisme fini et plat \(Y \to S\) est représentable ; il renvoie pour cela à SGA 3, exposés VIII (§ 6) et XI (6.8), et mentionne le « cas Greenberg ».¹⁰
• § 8, la construction de modules cohérents : c'est le \(Q(F)\) de la page 8, le module cohérent sur \(S\) qui représente le foncteur \(M \mapsto H^0(X, F \otimes M)\).¹¹
• § 12, les foncteurs représentables par des morphismes localement de présentation finie — ce qui, pour un foncteur, se lit sur sa commutation aux limites inductives filtrantes d'anneaux.¹²
• § 13, les applications : des théorèmes de représentabilité relatifs, y compris pour les foncteurs étales.

C) Méthodes projectives de construction

Ce sont les constructions de FGA. Les familles limitées (§ 14) — une famille de faisceaux cohérents sur les fibres d'un schéma projectif est limitée si elle est contenue dans une famille algébrique paramétrée par un schéma de type fini — sont le lemme de finitude qui rend les espaces de Hilbert de type fini.¹³ Viennent les foncteurs et schémas de Hilbert (§ 15), avec leurs applications aux quotients ; les foncteurs et schémas de Picard (§ 16), « théorèmes d'existence projectifs exclusivement », et le cas de groupes structuraux affines commutatifs plus généraux que \(\mathbb{G}_m\) — c'est-à-dire \(H^1(X, G)\) pour \(G\) commutatif affine, dont Pic est le cas \(G = \mathbb{G}_m\)¹⁴ ; les variantes de Picard (§ 17) ; les applications aux courbes (§ 18) ; le formalisme des normes (§ 18 encore, la numérotation ne se suivant plus) ; et les invariants multiprojectifs de Mumford (§ 20), c'est-à-dire la théorie des invariants de points dans un produit d'espaces projectifs, que Mumford venait de mettre au service des modules.¹⁵

D) Méthodes mixtes de construction

Deux paragraphes. Les cas de représentabilité de \(\mathrm{Pic}\), de sa composante neutre \(\mathrm{Pic}^{\circ}\) et de \(\mathrm{Pic}^{\tau}\), la réunion des composantes de torsion (§ 21), « y compris le cas de Mumford utilisant § 20 » ; et les cas de représentabilité des foncteurs \(\mathrm{Res}_{Y/S}(X)\) et semblables (§ 22), « théorèmes du type Matsumura » — la représentabilité des foncteurs d'automorphismes et de morphismes de schémas projectifs par un schéma en groupes localement de type fini, obtenue par Matsumura et Oort au moyen du schéma de Hilbert.¹⁶

Ce qui est supposé connu, et ce qui manque

Une note isolée entre deux traits pose que tous les généralités fondamentales — topologies, descente, faisceaux, quotient — sont supposées connues, et rappelées au besoin dans le chapitre même.¹⁷ Puis, sous le mot « Manquent », ce que ce chapitre laisse à trois autres :

• au chapitre sur les schémas en groupes : les théorèmes relatifs aux variétés abéliennes ; les théorèmes de finitude sur Picard et l'étude qualitative générale des schémas de Picard, critère de lissité de Mumford compris ;
• au chapitre sur Picard : l'étude du Picard d'un schéma projectif en termes d'un pinceau de sections hyperplanes, et les théorèmes du genre « certaines équivalences » ;¹⁸
• au chapitre sur \(\pi_1\) : les formulations de la descente en termes du groupe fondamental, van Kampen compris.

Les trois chapitres sont ceux que le plan de 1960 numérote VII, VIII et IX, ou leurs successeurs ; ce que le § 21 appelle « le cas de Mumford » est la construction du schéma de Picard des courbes par la théorie des invariants.

6–6

Couvrant plutôt que fidèlement plat, et les relations d'équivalence en pièces détachées (feuillet 6)

La feuille porte deux choses. D'abord, sous le titre « Recommandation importante » :

Partout où c'est possible, remplacer « fidèlement plat quasi-compact » par « couvrant ».

C'est une décision de rédaction, et elle porte loin. Les théorèmes de descente sont démontrés pour un morphisme \(S' \to S\) fidèlement plat et quasi-compact ; mais ce que la preuve utilise n'est pas la platitude, c'est que \(S' \to S\) soit un recouvrement pour la topologie dans laquelle on travaille, c'est-à-dire que les foncteurs en jeu soient des faisceaux pour elle. Énoncer la descente pour un morphisme « couvrant » — un morphisme qui est un recouvrement à lui seul — c'est la rendre vraie pour toute topologie à la fois, la fidèlement plate quasi-compacte n'en étant qu'une, et c'est séparer ce que le théorème dit de ce qui le fait marcher.¹⁹

Ensuite, une question : « (pré)-relations d'équivalence en pièces détachées !? », et un diagramme entouré, \[ (R_0^{i}) \leftleftarrows (R_1^{ij}) . \] La lecture est celle-ci. Une relation d'équivalence sur \(X\) est une paire \(R_1 \rightrightarrows R_0 = X\) ; la donner « en pièces détachées », c'est donner \(R_0\) par morceaux \(R_0^{i}\) — un recouvrement de \(X\) — et \(R_1\) par les morceaux \(R_1^{ij}\) qui relient le \(i\)-ième au \(j\)-ième, avec les deux projections de \(R_1^{ij}\) vers \(R_0^{i}\) et \(R_0^{j}\). C'est exactement ce qu'est un atlas : un espace quotient présenté par des cartes et par les changements de cartes. Le point d'exclamation et le point d'interrogation sont les siens.²⁰

7–7

La liste biffée et le diagramme des douze lettres (feuillet 7)

La page est biffée en entier par quatre longs traits, et ses cinq premières lignes une seconde fois. Ce qu'elle porte est une liste de théorèmes, sans numéros :

1. le théorème de finitude pour les schémas de Hilbert — chaque \(\mathrm{Hilb}^{P}\), à polynôme de Hilbert fixé, est projectif ;
2. le théorème de Matsusaka pour les automorphismes d'une variété polarisée — le groupe des automorphismes conservant une polarisation est de type fini ;
3. le théorème de la « courbe générique » pour Picard — le Picard d'une variété se lit sur celui d'une section hyperplane générique ;
4. le schéma de Hilbert d'une courbe sur \(S\), et le Picard des courbes sur \(S\), avec entre crochets « diviseur \(\Theta\) » ;
5. le Picard d'un schéma propre non projectif sur un corps ;
6. le Picard d'un \(S\)-schéma projectif à fibres réductibles, par exemple d'une courbe sur \(S\).

Les deux derniers sont ceux qui n'étaient pas acquis. Le premier a été établi par Murre (1964) pour un schéma propre sur un corps ; le second est le sujet de la « Spécialisation du foncteur de Picard » de Raynaud (1970), où l'on voit précisément que, pour une courbe sur un anneau de valuation discrète à fibre spéciale réductible, le foncteur de Picard n'est pas représentable sans correction.²¹

Sous la liste, un diagramme de douze lettres, \(A\) à \(L\), sans autre légende :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large]
  A \arrow[r] & B \arrow[d] \arrow[drr] & C \arrow[dl] \arrow[dr] & D \arrow[dr] \arrow[rr, bend left=25] & E \arrow[d] & J & K \\
  & H \arrow[dr] & & G \arrow[dl] & F \arrow[l] & & \\
  & & I & & & &
\end{tikzcd}

Puis, sous un trait, « \(L\) — Appendice : problèmes ouverts ». C'est la seule lettre glosée, et elle dit ce que sont les autres : les parties d'un plan plus grand que le chapitre, dont \(L\) est l'appendice, et dont les flèches sont les dépendances — \(G\) reçoit \(B\), \(C\) et \(F\), \(I\) reçoit \(H\) et \(G\), \(D\) mène à \(F\) et par-dessus \(E\) à \(J\) ; \(K\) ne dépend de rien et rien ne dépend de lui.²²

8–8

Les notations : douze foncteurs et leur mode d'emploi (feuillet 8)

La feuille fixe, pour tout le chapitre, les foncteurs qu'il s'agit de construire, en donnant pour chacun sa valeur en un \(S\)-schéma \(S'\). Dans la marge droite, une colonne de lettres dit ce qui varie : \(F\) pour Quot, \(X\) pour tous les suivants jusqu'à Imm, \(Y\) pour la restriction de Weil, \(X\) pour les Picard, \(G\) pour le dernier bloc.

De Quot à Imm

Pour \(F\) quasi-cohérent sur \(X\) et \(X\) sur \(S\) : \[\begin{align*} \mathrm{Quot}_{F/X/S}(S') &= \mathrm{Quot}(F'/X'/S') , \\ \mathrm{Hilb}_{X/S}(S') &= \mathrm{Hilb}(X'/S') = \mathrm{Quot}_{\mathcal{O}_X/X/S}(S') , \\ \mathrm{Div}_{X/S}(S') &= \mathrm{Div}(X'/S') . \end{align*}\] Le premier est l'ensemble des quotients de \(F'\) plats sur \(S'\) ; le second, celui des sous-schémas fermés de \(X'\) plats sur \(S'\), qui est le cas \(F = \mathcal{O}_X\), comme la ligne le dit ; le troisième, celui des diviseurs de Cartier effectifs relatifs de \(X'/S'\).²³ Puis, pour \(X\) et \(Y\) sur \(S\) : \[\begin{align*} \mathrm{Hom}_S(X, Y)(S') &= \mathrm{Hom}_{S'}(X', Y') = \mathrm{Hom}_S(X \times_S S', Y) , \\ \mathrm{Isom}_S(X, Y)(S') &= \mathrm{Isom}_{S'}(X', Y') , \\ \mathrm{Aut}_S(X)(S') &= \mathrm{Aut}_{S'}(X') , \\ \mathrm{Imm}_S(X, Y)(S') &= \mathrm{Imm}_{S'}(X', Y') , \end{align*}\] le dernier étant l'ensemble des immersions de \(X'\) dans \(Y'\). Chacun est un faisceau pour la topologie fidèlement plate quasi-compacte, par descente ; leur représentabilité, quand \(X\) est projectif et plat sur \(S\) et \(Y\) quasi-projectif, est le théorème « du type Matsumura » du § 22, obtenu en plongeant \(\mathrm{Hom}\) dans le schéma de Hilbert de \(X \times_S Y\) par le graphe.

La restriction de Weil, et les sections

Pour \(Y\) sur \(S\) et \(X\) sur \(Y\), la ligne suivante définit \[ \mathrm{Res}_{Y/S}(X)(S') = \Gamma_{Y'/S'}(X'/Y') = \Gamma(X'/Y') , \] l'ensemble des sections de \(X' \to Y'\) ; et, en marge, écrit la même chose comme \(\Gamma_{Y/S}(X/Y) = H^{0}_{Y/S}(X/Y)\) : le foncteur des sections est un \(H^0\) relatif.²⁴ La notation \(H^0\) est celle qui annonce le bloc suivant : les \(H^{i}_{X/S}\) sont les images directes supérieures \(R^{i}f_{*}\) de \(f : X \to S\), vues comme foncteurs sur \(S\).

Les trois Picard

C'est la ligne la plus travaillée de la feuille. Il y a trois foncteurs, et la page en dit la différence par deux flèches, « préfaisceau » et « faisceau » : \[\begin{align*} \text{Prépic}_{X/S}(S') &= \mathrm{Pic}(X') = H^{1}(X', \mathcal{O}_{X'}^{*}) , \\ \text{Prépic}'_{X/S}(S') &= \Gamma\bigl(S', R^{1}f'_{*}\mathcal{O}_{X'}^{*}\bigr) , \\ \mathrm{Pic}_{X/S} &= \widetilde{\text{Prépic}}_{X/S} . \end{align*}\] Le premier est le foncteur de Picard naïf : le groupe de Picard de \(X'\) lui-même. Le second est sa faisceautisation pour la topologie de Zariski de \(S'\) : les sections du faisceau \(R^{1}f'_{*}\mathcal{O}^{*}\) sur \(S'\), c'est-à-dire les classes de fibrés en droites sur \(X'\) localement sur \(S'\). Le troisième est le faisceau associé au premier pour la topologie du § 2 — fidèlement plate quasi-compacte, ou étale —, et c'est lui seul qui a une chance d'être représentable, parce qu'un foncteur représentable est un faisceau.²⁵ Le passage du second au troisième est ce qui fait apparaître les classes de fibrés qui n'existent que localement sur \(S'\) pour une topologie plus fine, et c'est sur lui que portent les théorèmes de comparaison : les trois coïncident dès que \(f\) admet une section et que \(f_{*}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) universellement.

Le module \(Q(F)\), et le formalisme \(\mathrm{Hom}\) et \(V\)

Le dernier bloc, numéroté « 2. », fixe un formalisme pour les modules. Soit \(f : X \to S\) propre, \(F\) cohérent sur \(X\) et plat sur \(S\). Le foncteur \(M \mapsto H^{0}(X, F \otimes_{\mathcal{O}_S} M)\), sur les \(\mathcal{O}_S\)-modules, est représentable : il existe un \(\mathcal{O}_S\)-module cohérent \(Q(F)\), contravariant en \(F\), avec \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_S}\bigl(Q(F), M\bigr) = H^{0}\bigl(X, F \otimes_{\mathcal{O}_S} M\bigr) , \qquad \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_S}\bigl(Q(F), M\bigr) = f_{*}\bigl(F \otimes_{\mathcal{O}_S} M\bigr) , \] la seconde égalité étant la première, faisceau par faisceau sur \(S\), et \(Q(F)\) commutant au changement de base.²⁶ Soit \(V(E) = \mathrm{Spec}\,\mathrm{Sym}(E)\) le fibré vectoriel associé à un module \(E\), dont les \(S'\)-points sont \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}}(E', \mathcal{O}_{S'})\). Les deux lignes suivantes de la page affirment que \(V\) commute à \(Q\) et à la restriction de Weil, et identifient le résultat : \[ V\bigl(Q(F)\bigr) = \mathrm{Res}_{X/S}\bigl(V(F)\bigr) = \mathrm{Hom}_{X/S}(F, \mathcal{O}_X) , \] où le dernier membre est le foncteur \(S' \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}(F', \mathcal{O}_{X'})\).

La seconde égalité est vraie, et immédiate : les \(S'\)-points de \(\mathrm{Res}_{X/S}(V(F))\) sont les \(X'\)-points de \(V(F)\), c'est-à-dire \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}(F', \mathcal{O}_{X'})\). La première ne l'est pas telle qu'elle est écrite. Par la propriété universelle de \(Q\) et sa commutation au changement de base, les \(S'\)-points de \(V(Q(F))\) sont \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}}(Q(F'), \mathcal{O}_{S'}) = H^{0}(X', F')\) : le fibré \(V(Q(F))\) représente le foncteur des sections de \(F\), et non celui des formes linéaires sur \(F\). Ce que les deux lignes disent de vrai est \[ V\bigl(Q(F^{\vee})\bigr) = \mathrm{Res}_{X/S}\bigl(V(F)\bigr) = \mathrm{Hom}_{X/S}(F, \mathcal{O}_X) , \qquad F^{\vee} = \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(F, \mathcal{O}_X) , \] pour \(F\) localement libre : c'est le module de la ligne (i) appliqué au dual, et c'est la lecture que le bas de la page impose.²⁷

La feuille se termine par le cas général de deux modules, où \(\mathrm{Hom}_{X/S}(F, G)\) est le module cohérent sur \(S\) tel que \[\begin{align*} \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_S}\bigl(\mathrm{Hom}_{X/S}(F, G), M\bigr) &= \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_X}\bigl(F, G \otimes_{\mathcal{O}_S} M\bigr) , \\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}}\bigl(\mathrm{Hom}_{X/S}(F, G) \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_{S'}, \mathcal{O}_{S'}\bigr) &= \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}(F', G') , \end{align*}\] et de même faisceau par faisceau sur \(S\). Ce module est \(Q(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(F, G))\) ; il existe pour \(F\) et \(G\) cohérents, \(G\) plat sur \(S\) et \(f\) propre, et la seconde ligne dit que le fibré vectoriel \(V\) de ce module représente le foncteur \(S' \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}(F', G')\) — c'est le théorème d'EGA III 7.7.8, et, pour \(G = \mathcal{O}_X\), la forme vraie des deux lignes précédentes.²⁸

10–10

Les problèmes-types à résoudre (feuillet 10)

Dix problèmes, lettrés a) à j), séparés en quatre groupes par des traits. Dans la marge, entourés, les paragraphes du plan qui en dépendent, et trois fois une réponse. La lecture donne pour chacun ce que la page dit, puis ce qu'il est devenu.

1. a)Anneaux de définition pour des structures sans automorphismes (§ 7). Une structure algébrique définie sur une extension et sans automorphisme non trivial descend-elle à un plus petit anneau, canoniquement ? C'est la question du corps de définition, et la proreprésentabilité est l'instrument qui la traite : quand le foncteur des déformations est proreprésentable et les automorphismes triviaux, l'anneau qui le proreprésente est l'anneau de définition cherché. Encadré d'un trait épais.
2. b)Hilbert et Picard sans hypothèse projective (§§ 20, 21 ; chapitre VI), avec « résultats partiels ». Puis : le dual d'un schéma abélien non projectif, marqué « OK par Raynaud ».²⁹
3. c)Passage au quotient sans hypothèse de platitude (§§ 3, 4). Encadré d'un trait épais. C'est le problème des quotients par une relation d'équivalence non plate, résolu pour les relations finies par Keel et Mori en 1997, et dont le cas général est celui des champs.
4. d)Passage aux quotients par \(\mathrm{GL}_n\) opérant « sans point fixe », avec « Mumford » en marge, relié aux items d) et e) : le quotient d'un schéma par une action libre du groupe linéaire. C'est la question à laquelle la théorie géométrique des invariants répond pour les points stables, et Artin pour les actions libres, le quotient existant alors comme espace algébrique.
5. e)Modules de variétés plus ou moins quelconques, et le cas des schémas abéliens. Le second est le résultat central de Mumford (1965) ; le premier est ce que les champs algébriques formalisent.
6. f)Classification des fibrés principaux sur \(X/Y\) à groupe affine \(G\) sur \(Y\), en distinguant \(G\) commutatif — c'est \(H^1(X, G)\), un Picard généralisé, et le § 16 — de \(G\) non commutatif. En marge : « Mumford–Seshadri–Narasimhan pour fibrés vectoriels ; cas fini : … ».³⁰
7. g)Le cas particulier \(G\) fini : les revêtements galoisiens de groupe donné.
8. h)Le cas particulier \(X = \mathbb{P}^{1}_{Y}\), \(G = \mathrm{GL}(n)\), avec en marge « Pb mal posé ? ». Les fibrés vectoriels sur la droite projective sur un corps sont classés — c'est son théorème de 1957, tout fibré est somme de \(\mathcal{O}(a_i)\) — mais en famille sur \(Y\) le type de scindage saute par spécialisation, et le foncteur des fibrés n'est pas séparé : il n'y a pas d'espace de modules au sens où la question le demande. Le point d'interrogation est le sien, et la réponse est oui.
9. i)Les modules formels d'une variété abélienne sont-ils simples sur l'anneau de base ? (chapitre VI), avec « Oui » entouré. Le foncteur des déformations d'une variété abélienne est formellement lisse : ses obstructions sont nulles, et l'anneau qui le proreprésente est un anneau de séries formelles en \(g^2\) variables.³¹
10. j)Le théorème du carré dans le cas non projectif. Encadré d'un trait épais. Pour un schéma abélien \(A/S\) le théorème du carré — \(t_{x+y}^{*}L \otimes L \simeq t_x^{*}L \otimes t_y^{*}L\) — se démontre par le théorème du cube, dont la preuve classique passe par un plongement projectif ; sans lui, c'est encore Raynaud (1970) qui l'obtient.³²

3–5

Le verso : les foncteurs fibres du topos étale (feuillets 5 et 3)

Les versos des deux feuilles du plan portent deux pages dactylographiées, numérotées 31 et 32, d'un texte sans rapport avec le chapitre : la fin d'une démonstration et deux remarques sur les foncteurs fibres d'un topos, c'est-à-dire ses points. Le texte est celui du n° 7.9 de l'exposé VIII de SGA 4, où il est établi que tout point du topos étale d'un schéma provient d'un point géométrique.³³ La lecture suit l'ordre du texte, page 5 puis page 3.

Un foncteur fibre est une limite inductive d'évaluations

Soit \(C\) un site où les limites projectives finies existent, \(\widetilde{C}\) son topos, \(\varphi : \widetilde{C} \to \mathbf{Ens}\) un foncteur fibre — un foncteur exact à gauche commutant aux limites inductives. On lui associe la catégorie \(C_\varphi\) des couples \((Y, \xi)\) avec \(Y\) objet de \(C\) et \(\xi \in \varphi(Y)\), un morphisme \((Y, \xi) \to (Y_1, \xi_1)\) étant un morphisme \(Y \to Y_1\) qui envoie \(\xi\) sur \(\xi_1\). Ce sont les voisinages du point. La page établit que l'homomorphisme évident \[ (\ast) \qquad \varinjlim_{(Y, \xi) \in C_\varphi^{\circ}} \mathrm{Hom}(Y, -) \longrightarrow \varphi \] est un isomorphisme.³⁴ L'homomorphisme existe parce que \[ \mathrm{Hom}\Bigl(\varinjlim_{C_\varphi^{\circ}} \mathrm{Hom}(Y, -),\, \varphi\Bigr) = \varprojlim_{C_\varphi} \mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{Hom}(Y, -), \varphi\bigr) = \varprojlim_{C_\varphi} \varphi(Y) \] par Yoneda, et que le second membre possède l'élément canonique qui associe à \((Y, \xi)\) l'élément \(\xi\). C'est un isomorphisme pour trois raisons, données dans l'ordre : les limites projectives finies existent dans \(C\) et \(\varphi\) y commute, donc elles existent dans \(C_\varphi\), donc \(C_\varphi^{\circ}\) est pseudo-filtrante et la limite inductive de \((\ast)\) est exacte à gauche ; tout faisceau est limite inductive de représentables ; et \(\varphi\) commute aux limites inductives. Un foncteur fibre est donc pro-représentable, par le pro-objet de ses voisinages — c'est la forme que prend ici la proreprésentabilité du § 7 du plan.

Les points d'un topos localisé

Remarque 7.9.2. Si \(E\) est un topos et \(Y\) un objet de \(E\), les foncteurs fibres du topos localisé \(E_{/Y}\) sont les couples \((\varphi, \xi)\) d'un foncteur fibre \(\varphi\) de \(E\) et d'un élément \(\xi \in \varphi(Y)\). Dans un sens : à \(\psi : E_{/Y} \to \mathbf{Ens}\) on associe \(\varphi(Z) = \psi(Z \times Y)\), et \(\xi\) est l'image de l'unique élément de \(\psi(Y)\) — \(Y\) est l'objet final de \(E_{/Y}\) — par la diagonale \(Y \to Y \times Y\).

Les points du topos étale sont les points géométriques

Soit \(X\) un schéma et \(\varphi\) un foncteur fibre de son topos étale \(\widetilde{X}_{\text{ét}}\). Restreint aux ouverts du topos — qui sont les ouverts \(U\) de \(X\) —, \(\varphi\) donne une application \(\varphi_0 : \mathcal{U}(X) \to \{0, 1\}\), valant \(1\) si \(\varphi(U)\) est non vide, commutant aux sup quelconques et aux inf finis. Parce que tout fermé irréductible de \(X\) a un unique point générique — \(X\) est sobre —, une telle application est donnée par un unique point \(x \in X\) : \(\varphi(U) \neq \emptyset\) si et seulement si \(x \in U\).³⁵ Pour un faisceau \(F\) quelconque, son image dans le faisceau final est un ouvert \(U\), et \(\varphi(F) \to \varphi(U)\) est surjectif ; donc \(\varphi(F) \neq \emptyset\) si et seulement si \(x \in U\).

Soit alors \(C_\varphi\) la catégorie des couples \((X', \xi)\), \(X'\) étale sur \(X\) et \(\xi \in \varphi(X')\) ; on a vu en 7.9.1 qu'elle est pseudo-filtrante et connexe. Par 7.9.2 et ce qui précède appliqué à \(X'\), chaque \((X', \xi)\) détermine un point \(x' \in X'\), tel que pour \(X'' \to X'\) étale, \(\xi\) est dans l'image de \(\varphi(X'') \to \varphi(X')\) si et seulement si \(x'\) est dans l'image de \(X''\). La limite projective des \(X'\) suivant \(C_\varphi\) existe donc — les \(X'\) sont affines à partir d'un certain rang — et c'est un localisé strict \(Z\) de \(X\), le spectre d'un hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X,x}\) ; il correspond à un point géométrique \(\bar\xi\) de \(X\) au-dessus de \(x\), et \(\varphi\) est le foncteur fibre en \(\bar\xi\), \(F \mapsto F_{\bar\xi}\).³⁶