Cote n° 25 · pages 121–140 · Lecture modernisée · Nouveau EGA V : copies de tapuscrits annotés (s.d.). — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1967-1987]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Ce dossier est presque tout entier un tapuscrit : celui d'une suite des Éléments de géométrie algébrique, le grand traité que Grothendieck écrivait avec Jean Dieudonné, et que l'inventaire appelle « Nouveau EGA V ». Ce tapuscrit est couvert par une édition existante, celle des prénotes d'EGA V, et il n'est ni transcrit ni redit ici. Une seule pièce du dossier échappe à cette édition, et c'est elle que l'on lit : une lettre de deux pages, tapée à la machine, datée et signée à la main, que Grothendieck adresse à Dieudonné le 29 septembre 1965, et qui s'est retrouvée classée au milieu des feuillets.

Pour comprendre la lettre, il faut savoir comment se fabriquait le traité. Grothendieck fournissait la matière — des notes, des esquisses, souvent une phrase dite de vive voix — et Dieudonné rédigeait, numérotait, mettait au propre, des centaines de pages par an. Le chapitre IV, consacré à l'étude locale des schémas et des morphismes, paraissait en fascicules successifs, de 1964 à 1967 ; le quatrième et dernier était en rédaction. La lettre est un moment de ce chantier, vu de l'atelier.

Elle fait trois choses. D'abord, elle remet de l'ordre dans un plan qui s'échappe : « je commence à me perdre dans le plan », écrit Grothendieck, et il dresse la liste des paragraphes à venir, de 20 à 27 — systèmes linéaires et groupe de Picard, grassmanniennes, singularités quadratiques ordinaires, sections hyperplanes, résultant et discriminant, extensions infinitésimales. C'est un programme de géométrie projective classique, refait dans le langage des schémas. Aucun de ces paragraphes n'a paru sous ce numéro : le traité s'est arrêté au paragraphe 21. Les sujets, eux, ont trouvé place ailleurs, et la liste est un document sur ce que le traité aurait été.

Ensuite, elle refuse un honneur. Dieudonné a rédigé un appendice et veut le publier sous le seul nom de Grothendieck. Celui-ci répond que la rédaction ne doit presque rien à ce qu'il a fourni — « si même je t'en ai jamais passé » ; il s'était borné à dire qu'il « n'y a qu'à faire pareil que pour les anneaux complets ». Il ne veut pas non plus que le travail se perde, et propose un article signé des deux. C'est un trait de la manière de Grothendieck en ces années : l'idée compte moins à ses yeux que le travail qui la rend utilisable, et il ne signe pas seul ce qu'un autre a mis au point.

Enfin, un paragraphe qu'il a barré à l'encre donne à Dieudonné un argument mathématique, et l'accompagne d'un aveu : « C'est vraiment toujours le même argument qui revient ! » L'argument est celui du passage à la limite. Pour démontrer qu'un objet a une propriété, on l'écrit comme limite d'objets plus simples — de type fini, par exemple —, on observe que l'ensemble des points où la propriété vaut est décrit par un nombre fini de conditions, et l'on conclut qu'elle vaut déjà à un étage fini de l'approximation. C'est l'analogue algébrique d'un argument de compacité : une suite de fermés décroissants dont l'intersection est vide l'est déjà à un rang fini. Cet argument, qui occupe tout le paragraphe 8 du chapitre IV, est l'un des outils les plus employés du traité, et l'on comprend en le lisant ici pourquoi il revenait sans cesse sous la plume.

Les noms sous lesquels on cherchera la suite : le chapitre IV des EGA et son paragraphe 8 (passage à la limite projective, ensembles constructibles), la condition \((S_n)\) de Serre et la profondeur, le lieu d'ouverture des propriétés des fibres d'un morphisme plat ; et, pour le plan, les théorèmes de Bertini, les pinceaux de Lefschetz et les points doubles ordinaires, les grassmanniennes, le résultant et le discriminant.

Keywords — EGA IV, limit argument, noetherian approximation, constructible set, depth, Serre condition (Sn), flat finitely presented module, openness of fibre loci, linear system, Picard group, Grassmannian, ordinary double point, hyperplane section, resultant, discriminant, infinitesimal extension, criteria of regularity for analytic algebras

134–135

Le fil du dossier, et les conventions

Ce que contient le dossier, et ce qui est lu ici. Le dossier 25 compte 184 pages. Elles sont, à cette lettre près, le tapuscrit annoté d'une suite d'EGA, que couvre l'édition des prénotes d'EGA V ; on ne le redit pas. Seules les pages 121 à 140 ont fait l'objet d'une transcription, et encore partiellement : les pages 121 à 133 et 136 à 140 y sont décrites comme le tapuscrit des paragraphes IV 19 à 21 et la table du « IV 21 », annotés à l'encre, et laissées à l'édition. La présente lecture porte sur les pages 134 et 135, et sur elles seules1 .

Une date hors de l'intervalle du dossier. L'inventaire date le dossier « à partir de 1967-1987 » ; la lettre porte, de sa main, la date du 29.9.1965. Elle est donc antérieure à la borne basse, ce qui ne contredit pas l'inventaire — un dossier constitué à partir de 1967 peut recueillir une pièce plus ancienne — mais doit être su de qui la cite.

La lettre en trois mouvements.

Conventions. « Par. » est écrit « § ». Les numéros de paragraphes sont ceux du chapitre IV d'EGA, que la lettre ne nomme pas autrement que par « fascicule 4 du Chap IV ». Le tutoiement, et le ton de la lettre — « sans trop déconner », « et bordel » —, sont conservés tels quels dans les citations ; ils appartiennent au document.

134–134

I. Le plan de la fin du chapitre IV (page 134)

Dieudonné a écrit le 24 septembre, en joignant la table des matières des §§ 16 à 192 . Grothendieck l'en remercie, demande à recevoir la table provisoire des §§ 20 et 21, et accepte qu'ils soient joints au quatrième fascicule du chapitre IV. Puis il pose une question : comment Dieudonné compte-t-il subdiviser « mon ancien § 20 », et quels seront les titres des deux morceaux3 ?

C'est la clef de la numérotation. Dans le plan de Grothendieck, un seul paragraphe venait après le § 19 ; Dieudonné en fait deux, et ce sont les §§ 20 et 21 publiés dans le quatrième fascicule (1967), « Fonctions méromorphes, pseudo-morphismes » et « Diviseurs »4 . D'où le décalage de tout ce qui suit, et le besoin de fixer un plan auquel on puisse se référer sans se tromper de numéro. Le voici, tel qu'il le propose à l'accord de Dieudonné5 :

20. ? 21. ?\\ 22. Systèmes linéaires, compléments sur le groupe de Picard.\\ 23. Grassmanniennes.\\ 24. Formes lisses, singularités quadratiques ordinaires.\\ 25. Sections hyperplanes et bordel.\\ 26. Résultant et discriminant.\\ 27. Extensions infinitésimales.

Il ajoute que le § 25 risque d'être fort long, et que Dieudonné voudra sans doute le couper en deux ; mais que \(27 = 3^3\) est « un bien joli nombre ».

Rien de ce programme n'a paru comme paragraphe du chapitre IV : celui-ci s'achève au § 21, et les EGA avec lui. Le contenu de la liste n'est pas perdu pour autant, et l'on peut dire où l'on en retrouve l'essentiel6 : les grassmanniennes sont traitées dans la seconde édition d'EGA I (1971) ; les extensions infinitésimales d'algèbres l'avaient déjà été dans les compléments du chapitre \(0_{\mathrm{IV}}\) (1964) et le seront plus tard, pour les schémas, par la théorie du complexe cotangent ; les formes quadratiques, les points doubles ordinaires et les sections hyperplanes en pinceau forment la matière de SGA 7 (1967–1969), à laquelle répond le « formes lisses, singularités quadratiques ordinaires » du § 24. Si le reste de ce dossier, la suite d'EGA qu'il contient, reprend une part de ce programme, c'est à l'édition qui le couvre de le dire ; on ne le vérifie pas ici, puisque ce reste n'est pas transcrit.

134–135

II. L'appendice au § 18, et un article à deux (pages 134 et 135)

Dieudonné a rédigé un texte, l'« ex-Appendice au § 18 », et veut le publier sous le nom de Grothendieck. Celui-ci refuse : la rédaction n'a « à peu près plus rien de commun » avec les notes manuscrites qu'il lui aurait passées — « si même je t'en ai jamais passé » — et lui-même s'est borné à dire « il n'y a qu'à faire pareil que pour les anneaux complets7 ». Mais il serait dommage que ce travail de mise au point soit perdu pour ses utilisateurs éventuels, « il finit toujours par s'en trouver » ; il demande donc à Dieudonné de reconsidérer la question d'en faire un « joint paper8 ».

Ce que fut cet appendice, la lettre ne le dit pas. Le paragraphe 18 du chapitre IV traite des morphismes étales et des anneaux henséliens ; les anneaux complets ont reçu, dans les compléments du chapitre \(0_{\mathrm{IV}}\), des critères différentiels de régularité. « Faire pareil » pour une autre classe d'anneaux locaux henséliens désigne naturellement les algèbres analytiques, et un article signé des deux auteurs a paru sur ce sujet en 1967 : « Critères différentiels de régularité pour les localisés des algèbres analytiques » (Journal of Algebra 5)9 . Si elle est juste, la lettre est l'origine de cet article, et la proposition qu'elle fait a été acceptée.

135–135

III. Le paragraphe barré : l'argument de limite (page 135)

Avant la formule de politesse, un paragraphe donne à Dieudonné un indice pour un énoncé du futur § 20, que la lettre numérote 10.9.110 . Sa forme est télégraphique ; voici l'argument qu'il désigne, sous les hypothèses qu'il suppose sans les dire.

La situation. On a un système projectif filtrant \((S_\lambda)\) de schémas quasi compacts et quasi séparés, à morphismes de transition affines, de limite \(S\) ; un schéma \(Z_\lambda\) de présentation finie sur l'un d'eux, \(S_\lambda\), et un \(\mathcal{O}_{Z_\lambda}\)-module \(F_\lambda\) de présentation finie et plat sur \(S_\lambda\) ; on pose, pour \(\mu \geq \lambda\), \(Z_\mu = Z_\lambda \times_{S_\lambda} S_\mu\), \(Z = Z_\lambda \times_{S_\lambda} S\), et l'on note \(F_\mu\), \(F\) les images réciproques de \(F_\lambda\)11 .

Le lieu. Fixons un entier \(n\) et appelons \(E_\lambda\) l'ensemble des points \(z\) de \(Z_\lambda\) où la restriction de \(F_\lambda\) à la fibre de \(z\) satisfait la condition \((S_n)\) de Serre : en notant \(s\) l'image de \(z\) dans \(S_\lambda\) et \(M = (F_\lambda \otimes k(s))_z\), module sur l'anneau local de \(z\) dans sa fibre, on demande \[ \operatorname{prof} M_{\mathfrak{p}} \;\geq\; \inf\bigl(n,\ \dim M_{\mathfrak{p}}\bigr) \] pour tout idéal premier \(\mathfrak{p}\) de cet anneau local — ou bien, variante, l'ensemble des points où la coprofondeur de la fibre est au plus \(n\)12 . Deux faits sont acquis :

L'argument. Supposons qu'au niveau limite le lieu soit tout \(Z\) ; c'est l'hypothèse de l'énoncé. Alors le fermé constructible \(Z_\lambda \smallsetminus E_\lambda\) a une image réciproque vide dans \(Z\). Or, d'après le § 8 du chapitre IV, une partie constructible de \(Z_\lambda\) dont l'image réciproque dans la limite est vide a déjà une image réciproque vide dans \(Z_\mu\) pour un \(\mu \geq \lambda\) assez grand. C'est l'analogue d'un argument de compacité : les images réciproques forment une famille filtrante décroissante de constructibles d'intersection vide, et la topologie constructible est quasi compacte. Pour ce \(\mu\), on a donc \(E_\mu = Z_\mu\) : la propriété, vraie à la limite, est vraie « un peu plus loin que \(\lambda\) ».

Le paragraphe s'achève sur la remarque qui en fait le prix : « C'est vraiment toujours le même argument qui revient ! » Le § 8 du chapitre IV a été écrit pour cela — pour qu'un énoncé démontré sur des schémas noethériens, ou sur des schémas de type fini, s'étende à des situations de présentation finie par approximation, une propriété à la fois. La lettre en montre l'usage le plus simple : constructibilité du lieu, compatibilité au changement de base, et quasi-compacité, en trois lignes.

Notes

  1. Les deux feuillets de la lettre portent au crayon les numéros 37 et 38, de la main du dactylographe ou de la sienne : la lettre a été rangée dans la liasse des notes, et c'est ce qui explique sa présence ici. ↩
  2. Cette lettre de Dieudonné et la table qu'elle joignait ne sont pas dans les pages transcrites. ↩
  3. La page porte « les », barré à la machine, et « mon ancien par.20 » ajouté entre les lignes ; la question se termine par un « 2 » que la transcription lit pour « ? ». ↩
  4. Ces titres sont ceux de la publication, que la lettre ignore encore : elle écrit « 20. ??? » et « 21. ??? ». L'identification est la nôtre ; elle s'accorde avec le fait que les §§ 20 et 21 ferment le fascicule et le chapitre. ↩
  5. L'orthographe de la page est rectifiée : « Systêmes », « Grassmaniennes ». ↩
  6. Ces renvois sont les nôtres, et indicatifs ; la lettre ne dit rien de ce que deviendrait le plan. ↩
  7. « manuscriptes » sur la page. ↩
  8. La page porte « papar », que la transcription lit pour « paper ». ↩
  9. L'identification est la nôtre, et elle n'est qu'une conjecture plausible : elle repose sur la coïncidence du sujet, de la date et de la double signature, et sur rien qui soit écrit dans le dossier. ↩
  10. Le paragraphe entier est barré d'un trait oblique à l'encre, après coup : Grothendieck l'a retiré de la lettre, sans qu'on sache s'il l'a fait avant ou après envoi, ni s'il a transmis l'indication autrement. Le numéro « 10.9.1 » renvoie vraisemblablement à la rédaction en cours du § 20 ; nous ne l'avons pas identifié. ↩
  11. La lettre parle de « \(Z_\lambda\) », de « \(F_\lambda\) » et de « son image inverse dans \(Z\) », sans plus. Les hypothèses de finitude et le fait que \(Z_\mu\) s'obtienne par changement de base sont ajoutés : sans eux, ni la constructibilité ni la compatibilité invoquées plus bas ne sont garanties. Ce sont les hypothèses du § 8 du chapitre IV, et la lettre y fait allusion en rappelant « les hypothèses de platitude et de présentation finie qu'on a faites ». ↩
  12. La page dit : l'ensemble des points en lesquels \(F_\lambda\) restreint à la fibre « est de prof \(\geq n\) » (le signe \(\geq\) est d'une lecture incertaine). Prise à la lettre, la condition « profondeur au moins \(n\) » ne définit pas un ensemble constructible : sur la droite affine au-dessus d'un corps, avec \(F = \mathcal{O}\) et \(n = 1\), elle est vérifiée exactement aux points fermés, et l'ensemble des points fermés n'est pas constructible, le point générique n'étant pas, seul, un ensemble constructible. Les lieux que le § 12 du chapitre IV démontre ouverts, sous les hypothèses de platitude et de présentation finie, sont ceux de la condition \((S_n)\) et de la coprofondeur bornée sur les fibres ; c'est d'eux que l'argument a besoin, et c'est probablement ce que « prof \(\geq n\) » abrège. ↩
  13. Ce second point n'est pas dans la lettre ; il est nécessaire pour que la conclusion porte sur \(F_\mu\) et non seulement sur l'image de \(Z_\mu\) dans \(Z_\lambda\). ↩