IV 5. Compléments d'ordre divers
les mots sont de sa main, en haut à droite de la chemise orange qui
forme le feuillet 81 : « IV 5 », puis un mot biffé qui ne se lit plus, puis
« Compléments d'ordre divers ». La chemise ne porte rien d'autre.
N.B. dans
Lemme 1. A anneau local X préschéma \exists r = \operatorname{Codim}(Y, X), I' ens. des i \in I
tels que \operatorname{Codim}(Y_i, X) = r. Pour i \in I', K_i = ens. des
k \in K tels que Codim X_k \supset Y_i et
\operatorname{Codim}(Y_i, X_k) = r. Soit x une section d'un Module inv.
L sur X telle que V(x) \supset Y. Alors :
1°) On a
2°) Supposons r > 0. Pour Supposons que X
soit local, A_x, X = V(\ill{}) et
r > 0, alors il existe un \dim V(x) = \dim X - 1
. X est local, on \dim V(x) = \dim X - 1.
la conclusion de 2°) est écrite en accolade, sur deux lignes dont la
seconde est biffée puis reprise ; la fin de la phrase ne se lit pas.
Dém. 1) \operatorname{Codim}(Y, V(x)) = \operatorname{Inf}_i \struck{\ill{}}
\operatorname{Codim}(Y_i, V(x)), or
\operatorname{Codim}(Y_i, V(x)) = \dim \mathcal{O}_{V(x), y_i}
\geq \dim \mathcal{O}_{X, y_i} - 1 = \operatorname{Codim}(Y_i, X) - 1
\geq \operatorname{Codim}(Y, X) - 1 ,
d'où \operatorname{Codim}(Y, V(x)) \geq \operatorname{Codim}(Y, X) - 1,
égalité ssi \exists i tel qu'on
i.e. i \in I', et \exists k \in K_i t.q. V(x) \not\supset X_k.
2°) Comme r > 0, pour toutes les composantes irréd. X_\alpha de X, on a
X_\alpha \not\subset Y, donc il existe x \in \mathfrak{m}
Comme \mathfrak{m} \not\subset
\mathfrak{p}_\alpha, donc \exists x \in \mathfrak{m}, I' \neq
\emptyset et x \notin \bigcup_\alpha \mathfrak{p}_\alpha.
pour i \in I', K_i \neq \emptyset, pour r > 0 ;
X_k \supset Y_i, X_k \neq Y_i, donc X_k \not\subset Y ; donc
\mathfrak{p}_k \not\supset \mathfrak{m}, donc \exists x \in \mathfrak{m}
t.q. V(x) \exists x \in \mathfrak{m}, x \notin
\mathfrak{p}_k. \mathfrak{m} \supset \mathfrak{p}, donc \exists x
\in \mathfrak{m}, x \notin \mathfrak{p}. Et \exists
\mathfrak{p}_\alpha, pour toutes composantes irréductibles X_\alpha,
on a X_\alpha \not\subset Y [sinon
tout ce bloc, une première rédaction de 2°), est barré de traits
diagonaux ; il est remplacé par les trois lignes qui le précèdent. En marge
de gauche, à sa hauteur : « Je modifie conditions
indiquées ».
Corollaire 1 : Soit A un anneau local nœth., X =
\operatorname{Spec} A, Y = V(\mathfrak{m}) \mathfrak{m}
idéal, \mathfrak{p} partie fermée de X x \in
\mathfrak{m} r = \struck{\operatorname{Codim}(Y, X)}
\operatorname{ht}(\mathfrak{m}), alors il existe une suite x_1, \dots, x_r
d'éléments de \mathfrak{m}, faisant partie d'un système de
paramètres de A, et tel que \operatorname{ht}(x_1, \dots, x_r)
\operatorname{ht}(\sum x_i A) = r, d'où et
\operatorname{ht}(\mathfrak{m} / (x_1, \dots, x_r)) = 0 ; si A local, les
x_i font partie d'un syst. de paramètres.
« d'où » est entouré. L'énoncé hésite entre un anneau local et un
anneau nœthérien avec un idéal \mathfrak{m} : la clause finale « si A
local » suppose la seconde lecture, mais « local » n'est pas biffé dans la
première ligne.
Prenons \mathfrak{m} premier, on conclut :
Corollaire 2 : Soit \mathfrak{p} un idéal premier de A local
nœth., r = \dim A_{\mathfrak{p}}, alors il existe x_1, \dots, x_r \in
\mathfrak{p} tels que les x_i fassent part définissent un syst. de
paramètres de A_{\mathfrak{p}}, et forment partie d'un système de
paramètres de A / \mathfrak{p}.
le dernier symbole se lit A / \mathfrak{p} sur le feuillet ; on
attendrait A.
Corollaire. Conditions équivalentes sur x_1, \dots, x_p \in
\mathfrak{m}_A, A local nœth. : (i) \operatorname{ht}(\sum A x_i) = p
(comme toujours \leq) ; (ii) Pour tout
x_1 ne s'annule sur aucune comp. irréd. de \operatorname{Spec}(A), …,
x_n ne s'annule sur aucune comp. irréd. de \operatorname{Spec} A / \sum_{i
< n} x_i A.
écrit de bas en haut dans la marge de gauche, sur toute la hauteur du
feuillet ; la fin de (ii), en très petits caractères, est lue d'après le
sens : le quotient et son indice de sommation sont incertains.
le feuillet entier est barré de traits diagonaux ; il se lit sous la
rature.
\partial-Catégorie \mathcal{H} : catégorie additive graduée, i.e.
où les \operatorname{Hom}(X, Y) sont des groupes gradués (la composition des
morphismes étant additive sur les degrés), satisfaisant aux axiomes qui vont
suivre. On désigne par \mathcal{H}_{(0)} la catégorie \mathcal{H} où les
hom sont réduits au degré 0.
Axiome \partial 1. Pour tout X \in \operatorname{Ob} \mathcal{H},
il existe un X(1) T(X) = X(1) \in \operatorname{Ob}
\mathcal{H} noté X(1) ? et un isomorphisme fonctoriel (sur
\mathcal{H}_{(0)}) en X
\operatorname{Hom}_1(X, Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_0(X, Y(1)) .
le membre de droite est surchargé : le (1) de Y(1) est écrit
par-dessus une première version.
Donc il y a un objet i_Y \in \operatorname{Hom}_1(\struck{Y(1)}, Y)
ayant une propriété universelle. Évidemment (Y(1), i_Y) est
déterminé à Hom-isomorphisme près.
ces deux phrases sont encadrées et reliées par un trait à la ligne de
l'axiome ; l'argument de \operatorname{Hom}_1 est repassé et ne se décide
pas.
il existe un objet X(1) de \mathcal{H} et un isomorphisme de degré
1
\alpha_X : X(1) \xrightarrow{\ 1\ } X
et un objet X(-1) de \mathcal{H} et un isomorphisme de degré -1
\beta_X : X(-1) \xrightarrow{\ -1\ } X .
On en conclut, pour tout Y, des isomorphismes
\text{I}
\begin{cases}
\operatorname{Hom}_n(X, Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{n+1}(X(1), Y) \\
\operatorname{Hom}_n(Y, X(1)) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{n+1}(Y, X)
\end{cases}
\qquad
\text{II}
\begin{cases}
\operatorname{Hom}_n(X, Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{n-1}(X(-1), Y) \\
\operatorname{Hom}_n(Y, X(-1)) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{n-1}(Y, X) \struck{\ill{}}
\end{cases}
= \operatorname{Hom}_{n-1}(X, Y(1))
en marge de droite, à hauteur de la première ligne de I, surchargé.
ce feuillet est le verso auquel renvoie la marge du feuillet 87 (« cf
verso ») : il porte le lemme dont la Remarque commencée au feuillet 88 se
sert. Ordre de lecture : 88, 87, puis 86.
Lemme. Soient A un anneau, B une algèbre finie
sur A, M un B-module de type fini.
(i) si M_{[A]} est (S_k), il en est de même de M.
(ii) Supposons que pour
On peut supposer A \subset B, \operatorname{Spec} B =
\operatorname{Supp} M = \operatorname{Spec} B.
Dém. (i) Soit \struck{\mathfrak{q}}\ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}
\struck{B}\ A, si \dim M_{\mathfrak{p}} \leq k
l'hypothèse implique que \dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} =
\dim_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}, or on a
\operatorname{prof} [ \dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} \geq
\operatorname{Sup}_{\mathfrak{p} \to \mathfrak{q}} \dim_{B_{\mathfrak{p}}}
M_{\mathfrak{p}}] et on on a :
\operatorname{prof}_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}}
= \operatorname{Inf}_{\mathfrak{p} \to \mathfrak{q}}
\operatorname{prof}_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} ,
\qquad
\dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}}
= \operatorname{Sup}_{\mathfrak{p} \to \mathfrak{q}}
\dim_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} ,
donc si \mathfrak{p} \to \mathfrak{q},
\operatorname{prof}_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}
\geq \operatorname{prof}_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}}
\geq \operatorname{Inf}(k, \dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}})
\geq \operatorname{Inf}(k, \dim_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}) ,
\quad \text{cqfd.}
dans l'énoncé, \mathfrak{q} est un premier de B au-dessus de
\mathfrak{p} dans A ; dans la démonstration, à partir de la ligne
biffée « l'hypothèse implique… », c'est \mathfrak{p} qui est dans B et
\mathfrak{q} dans A, la flèche \mathfrak{p} \to \mathfrak{q} notant
« au-dessus de ». L'échange est sur le feuillet et n'a pas été régularisé.
(ii) On a ici, grâce à l'hyp. sur M_{\mathfrak{p}} :
\dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} = \dim_{B_{\mathfrak{p}}}
M_{\mathfrak{p}}. Or pour \mathfrak{p} convenable sur \mathfrak{q}, on
aura
Pour M_{\mathfrak{q}}
on a
le bas du feuillet, une dizaine de lignes, est hachuré au point de ne
plus se lire ; seuls surnagent M_{\mathfrak{q}}, « on a », un petit
schéma B sur A avec M à côté, et en bas à gauche
« \operatorname{prof} \geq \operatorname{Inf}(k, \dim) ». En marge de
gauche, biffé : \mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}.
suite directe du feuillet 88 : la phrase commencée au bas de 88 se
termine ici.
il s'ensuit que \mathcal{C} est cohérent. D'ailleurs,
\mathcal{C} satisfait (S_2) en tout point de Z, en
Comme \mathcal{M} \subset X,
\Gamma(V, \mathcal{C}) \to \Gamma(V \cap U, \mathcal{C}) est
comme Module
partout. normal (R_1). Soit \mathfrak{p} un idéal premier de
\mathcal{C} tel que \dim \mathcal{C}_{\mathfrak{p}} = 1, prouvons
\mathcal{C}_{\mathfrak{p}} régulier. Soit \mathfrak{q} l'idéal induit par
\mathfrak{p} sur A, alors [A est quotient d'un
régulier] on a \dim A_{\mathfrak{q}} = 1, donc ou bien A_{\mathfrak{q}}
est normal, donc A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{p}}
[A régulier \dim A_{\mathfrak{q}}
= \dim B_{\mathfrak{p}} et \operatorname{prof} \mathcal{B}
induit ] cf verso
écrit en oblique dans la marge de gauche, à hauteur de « Reste :
prouver » ; « cf verso » renvoie au lemme du feuillet 86.
A anneau (local nœth. ), B alg.
finie sur A, M module de type fini sur B, . Alors M est
(S_k) sur A ssi il est (S_k) sur B. Soit
Supposons A \subset B, \operatorname{Supp} M =
\operatorname{Spec} B, f(x) = y. Soit y \in Y, …
\operatorname{prof} M_y = \operatorname{Inf}_{x \mapsto y} \operatorname{prof}
M_x Si M sur B est (S_k), \operatorname{prof} M_y
\geq \operatorname{Inf}
le bas du feuillet : première rédaction, hachurée, du lemme du feuillet
86, avec f : X \to Y écrit verticalement à gauche et, en insertion
au-dessus de la dernière ligne, « il dimension ».
Cette version énonçait une équivalence là où le lemme retenu ne donne que
deux implications sous hypothèse.
Remarque. Soit A un anneau intègre quotient d'un anneau régulier,
K son corps des fractions, L une extension finie de K. Pour que
la clôture intégrale de A soit de type fini, il f. et s. que A satisfasse
les conditions suivantes :
a) l'ensemble des \mathfrak{p}_i \in \operatorname{Spec} A tel que
A_{\mathfrak{p}_i} soit de dim 1 non régulier est fini
b) Pour tout tel \mathfrak{p}_i \in \operatorname{Spec}(A), tel que
\dim A_{\mathfrak{p}} = 1, la normalisée de A_{\mathfrak{p}} est finie
sur A_{\mathfrak{p}}.
Dém. Nécessité évidente [a) car le lieu régulier non normal de
\operatorname{Spec} A est fermé, et les \mathfrak{p}_i
correspondent aux composantes irréd. de dim 1 de celui-ci].
Suffisance. Soit B \subset K une alg. finie sur A, tel
que Les B_{\mathfrak{p}_i} soient normaux [existe grâce à a),
b)]. Comme A est quotient d'un régulier, l'ens. des x \in
\operatorname{Spec} A = X tel que A_x soit S_2 est ouvert, et contient
les un ouvert , soit X_f.
en interligne au-dessus de « contient … soit X_f » : « (utilisant
a), et le critère de Serre, i.e. que les
\mathfrak{p}_i sont ) », et au-dessus de X_f :
normal.
Il existe B_f tel que B_{\mathfrak{p}_i} soit normal [utilise
a) et b)]. Soit Z = \operatorname{Supp} B / A, Z donc Z \subset
X - X_f, et Z est de codim > 1. Soit U = X - Z, i : U \to X
l'immersion canonique, \mathcal{B} = \widetilde{B} faisceau d'alg. sur X,
considérons \mathcal{B} \mathcal{C} = i_* i^*(\mathcal{B}). Comme
le anneau : \mathcal{B} est X, et
que Z est de codim \geq 2 dans X, A
partout dans ,
la phrase se poursuit au feuillet 87 : « il s'ensuit que \mathcal{C}
est cohérent ». Au-dessus de « tel que B_{\mathfrak{p}_i} » : une coche et
« \operatorname{ht} », d'une autre encre.
brouillon pour le lemme du feuillet 86, à l'encre, barré de traits
diagonaux. Sous l'encre, une couche antérieure au crayon, en anglais, sur le
groupe de Picard et la profondeur ; elle est transcrite à la suite.
A \subset B, M
\leq
\operatorname{Inf}. S_2 comme anneau, mais pas comme
module.
« mais pas comme module » est souligné d'un trait ondulé.
B \subset A^n, B / \mathfrak{f} B \subset (A / \mathfrak{f} A)^n ;
B / \mathfrak{f} B \to (A / \mathfrak{f} A)^n ; B / \mathfrak{f} B \simeq
\mathcal{O}_{X_0} . B est C.M.
aussi .
M S_k \overset{?}{\Longrightarrow} M_{[A]} est (S_k).
\mathfrak{p} \in A, \dim A_{\mathfrak{p}} \leq k \Rightarrow \dim
B_{\mathfrak{p}} \leq k car M_{\mathfrak{p}} est C.M. sur
B_{\mathfrak{p}}, donc M_{\mathfrak{p}} est C.M. sur
sur A.
« \mathfrak{p} \in A » est encadré.
M_{\mathfrak{q}}, \dim M_{\mathfrak{q}}, \operatorname{prof}
M_{\mathfrak{q}} ; B est C.M. ; B_{\mathfrak{q}},
A_{\mathfrak{p}} ; \dim B_{\mathfrak{q}} = \operatorname{prof}
\operatorname{prof} M_{\mathfrak{p}} \geq \operatorname{Inf}(k, \dim M_{\mathfrak{p}})
\iff
\operatorname{prof} \hat{M}_{\mathfrak{p}} \geq \operatorname{Inf}(k, \dim \hat{M}_{\mathfrak{p}}) ,
\qquad
\operatorname{prof} \hat{M}_{\mathfrak{q}_i} \geq \operatorname{Inf}(k, \dim \hat{M}_{\mathfrak{q}_i}) .
la couche au crayon, en anglais, écrite dans l'autre sens du feuillet
(en colonne, à droite et à gauche) :
\varphi : \operatorname{Pic}(X') \to \operatorname{Pic}(Y') ;
\pi_1(X'), \pi_1(Y'), H^i(\ldots).
1) if \forall x \in X' - Y', \dim \bar{x} = 1 \Rightarrow \operatorname{depth}
A_x \geq 3, \varphi is injective.
2) if \forall x \in X' - Y', \dim \bar{x} = 1 \Rightarrow
\operatorname{depth} A_x \geq 4 and if \operatorname{Pic}(\operatorname{Spec}
A_x - \{x\}) = 0 \Rightarrow \varphi is bij.
complete intersection, \dim \geq 4 ; \operatorname{Pic}(X - a) = 0 ;
\mathfrak{a} = \mathfrak{f} A + \mathfrak{g} A ; \mathfrak{a}(\mathfrak{m}).
ces derniers fragments sont dans la marge de gauche, au crayon, en
partie sous l'encre ; leur liaison avec 1) et 2) ne se lit pas.
IV 12. Fibres des morphismes plats de présentation finie
les mots sont de sa main, en haut à droite de la chemise orange qui
forme le feuillet 90 : « IV 12 » à l'encre, le titre au crayon.
Le second chiffre est repassé et pourrait aussi se lire 82. La chemise ne
porte rien d'autre.
brouillon rapide, encre par-dessus crayon, avec un croquis à gauche :
deux disques X' et X'' marqués Z'_0, Z', Z''_0, Z'' autour d'un
centre, reliés par une courbe D ; les lignes du texte sont lues dans
l'ordre où elles se suivent, les insertions ramenées à leur place.
Un exemple [sur une conj. log. des
]
Où le
A X' schéma local intègre de prof
de dim n' (centre x), contenant une partie
irréductible Z_1 \ni x, telle que aux pts de Z_1, X' ne soit
\operatorname{codim}_x Z_1 =
au crayon, en marge de droite : « i.e. coprof 1 » ; en
marge de droite encore, entouré : Z'_0 \neq \{x\}, et sous lui une ligne
noircie.
X'' schéma local intègre de dim n'', Z''_0 l'un des pts
il n'est pas Coh. Mac.
entouré, en interligne : « n'' > n' ».
D un fermé dans X de dim 1 et , D'
\sim identifie X' et X'' ; donc
schémas finis, donc Z'_0, Z''_0 \to x.
D : un
f_0 \in \struck{\ill{}} (\mathcal{O}_{D, x}), f_0 \neq 0 ; les
relèvements f' et f'', d'où f \in \mathcal{O}_{X,
x} qui est nul
V(f) \simeq V(f') \coprod_{V(f_0)} V(f'') .
en bas à gauche, l'algèbre du recollement : A' \times_B A'' ;
C \to A' \to B, C \to A'' \to B ; f = (g', g''), (g', g'') \in C ;
g' \in \mathfrak{f}', g'' \in \mathfrak{f}'' ; A' \times A'' \to B \to
0. Les relations entre ces lignes ne sont pas écrites.
[il pourra fini x]
au crayon, en haut à droite.
V(f') et V(f'') sont sans idéaux immergés.
entouré. À gauche, isolé : « \neq ? ».
[les pts = les pts intègres]
(V(f') \cap Z'_0 =)\ V(f') \cap Z'_0 = \{x\} , \qquad
(V(f'') \cap Z''_0 =)\ V(f'') \cap Z''_0 \subset \{x\} .
les deux lignes sont entourées ; les parenthèses de gauche sont sur le
feuillet, une première rédaction non biffée.
Il s'ensuit que V(f) est sans idéaux immergés, [et si
], et que V(f) est Coh. Mac. en dehors de \{x\}. Donc
pt Donc l'un des pts où X n'est pas Coh. Mac. est
Z = \struck{\ill{}} Z'_0 \cup Z''_0 \cup D ,
qui donc ; X - V(f) est de codim
\leq \operatorname{codim}_{X'} Z'_0 \leq n' [car Z'_0 \neq
\emptyset, Z'_0 \neq \{x\}], et qui donc alors
que le codim de V(f) en V(f) \cap Z [i.e. l'un des
pts où V(f) n'est
Pour faire la construction d'un exemple : un
pt d'un schéma intégralement
qui n'est pas Cohen-Macaulay [que de dim d \geq
3] [ ], et pour X' le schéma localisé en le
sommet du cône projetant de X', X' S', qu'on
peut prendre projectivement normale. Donc n' = d + 1
\geq 4. Le X'' soit que
Compl Proposition des
« conditions » « signalétiques ». Modules
[généralisation : un B-module M]
écrit en oblique dans la marge de gauche, sur deux ou trois lignes
soulignées, le mot « Modules » plus gros que le reste ; la nature du
complément annoncé ne se lit pas.
Proposition. Soient K un anneau, A, B, C des
algèbres graduées sur K, à degrés positifs, et
réduites à K en degré 0,
A \xrightarrow{\ \psi\ } B \xrightarrow{\ \varphi\ } C
des homomorphismes. On suppose
a) Pour tout i \geq 0, \varphi^i : B^i \to C^i est surjectif et admet un
inverse à droite K-linéaire, soit u^i : C^i \to B^i.
(1) Alors les conditions b) et b') suivantes sont équivalentes :
b)
b') Pour tout n \geq 0, l'homomorphisme
v^n : \sum_{i + j = n} A^i \otimes_K C^j \longrightarrow B^n
[Donc (b') ne dépend pas du choix des u^j].
N.B. [sans a)] : A augmenté, A', ; b)
équivaut : \operatorname{Ker} \varphi = \psi(A') B ; b1)
\operatorname{Ker} \varphi^1 = \psi(A^1) ; b2) \operatorname{Ker}
\varphi \operatorname{Ker} \varphi^n ;
écrit en oblique dans la marge de gauche, à hauteur de b) ; « b2) »
est repassé et une flèche relie ses deux membres.
(2) Supposons que
b'') v^n est bijectif.
Alors \psi est injectif. Alors De plus, les B^i sont plats
[resp.
Réciproquement, supposons que les A^i, B^i, C^i projectifs de type
fini (= plats de présentation finie), pour tout
biffé d'un trait, puis repris tel quel dans (3) ; une accolade en marge
rattache le bloc biffé à ce qui suit. La parenthèse « = plats de présentation
finie » est de lecture incertaine.
(3) x \in \operatorname{Spec} K, soient
P_{A, x}(t) = \sum_i \operatorname{rg}_{k(x)}(A^i(x))\, t^i \in \mathbb{Z}[[t]]
et définissons de même P_{B, x}(t), P_{C, x}(t). Alors
on a pour tout x [en grandeur ]
(\ast) \qquad P_{B, x} \ll P_{A, x} P_{C, x}
[inégalité coefficient par coefficient].
Si (b'') est vérifié, alors on a =.
c) P_{B, x} = P_{A, x} P_{C, x}.
c) est écrit en marge de gauche, au bout d'un trait qui le relie à la
phrase suivante.
Si les A^i, B^i, C^i sont plats de prés. finie [= projectifs de type fini],
alors c) implique aussi b''), Donc
N.B. Ce dernier résultat
que (b'') ne dépend Alors
les des deux
Corollaire 1. Conditions équivalentes [moyennant a)] :
« moyennant a) » est en interligne au-dessus, rattaché par un trait.
(i) v^* bijectif, les B^i projectifs de type fini
(ii) v^* bijectif, les A^i, C^i projectifs de type fini
(iii) les A^i, B^i, C^i projectifs de type fini, et
P_{B, x} = P_{A, x} P_{C, x} pour tout x
[N.B. si K est local, il suffit de regarder en le pt fermé].
N.B. Nous appellerons l'ensemble des conditions
a), b'') comme « bonnes », si de plus les B^i sont projectifs
de type fini, on dira « très bonnes ».
Question. Sur les « bonnes conditions » peut-on
prouver :
(i) A plat/K \Longrightarrow C plat/B
(ii) C plat/K \Longrightarrow B plat/A
(iii) A et C plats/K \Longrightarrow B plat/K
à gauche de (iii), un mot isolé, « dans » ou « donc », qui ne se
rattache à rien.
Corollaire 2. Supposons que C \simeq K[t_1, \dots, t_r]
[avec des degrés > 0], les t_i
homogènes. Alors (a, b'') équivalent à ceci :
\begin{cases}
B \simeq A[t_1, \dots, t_r] \\
\psi \simeq \text{hom. can. } A \to A[t_1, \dots, t_r] \\
\varphi \simeq \text{hom. \uncertain{projection} \uncertain{canonique} }
A[t_1, \dots, t_r] \to \underbrace{A / A^+}_{K}[t_1, \dots, t_r]
\end{cases}
[Le choix d'un isom. B \simeq A[t_1, \dots, t_r] équivaut : celui
d'un hom. d'alg. C \xrightarrow{\ u\ } B tel que \varphi u =
\operatorname{id}_C, ou encore d'un hom.
K-linéaire qui relève B^+ \to C^+ /
C^{+2}].
« C \xrightarrow{u} B » est souligné ; devant lui un mot biffé.
Le feuillet, et la cote, s'arrêtent ici.