Cote n° 23, pages 81–98

Cote n° 23 · batch 5 · pages 81–98 · Transcription · EGA IV. Compléments : notes manuscrites (s.d.), lettres (1966, 1968), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1966-1968
Édition de démonstration

IV 5. Compléments d'ordre divers

les mots sont de sa main, en haut à droite de la chemise orange qui forme le feuillet 81 : « IV 5 », puis un mot biffé qui ne se lit plus, puis « Compléments d'ordre divers ». La chemise ne porte rien d'autre.

N.B. dans […] Rappels sur la dimension encadré, en haut à droite du feuillet.

Lemme 1. \(A\) anneau local \(X\) préschéma […] nœth., \(Y\) partie fermée \(\neq \emptyset\), \((Y_i)_{i \in I}\) ens. des comp. irréductibles de \(Y\), \((X_k)_{k \in K}\) ens. des comp. irréductibles de \(X\). \(\exists\) \(r = \operatorname{Codim}(Y, X)\), \(I'\) ens. des \(i \in I\) tels que \(\operatorname{Codim}(Y_i, X) = r\). Pour \(i \in I'\), \(K_i\) = ens. des \(k \in K\) tels que Codim \(X_k \supset Y_i\) et \(\operatorname{Codim}(Y_i, X_k) = r\). Soit \(x\) une section d'un Module inv. \(L\) sur \(X\) telle que \(V(x) \supset Y\). Alors :

1°) On a […] \(\operatorname{Codim}(Y, V(x)) \geq r - 1\), et pour qu'on ait égalité, il f. et s. qu'il existe \(i \in I'\), \(k \in K_i\) tels que \(V(x) \not\supset X_k\). le signe d'inégalité est biffé et réécrit au-dessus ; en interligne au-dessus de « tels que » : « \(\operatorname{codim}(V(x), X) \geq 1\) i.e. \(= 1\) […] ».

2°) Supposons \(r > 0\). Pour […] […] […] Supposons que \(X\) soit local, […] […] \(A_x\), \(X = V(\ill{})\) et \(r > 0\), alors il existe un […] \(x \in \mathfrak{m}\) tel que \(\operatorname{Codim}(Y, V(x)) = r - 1\) \(\dim V(x) = \dim X - 1\) […] […]. \(X\) est local, on […] […] \(\dim V(x) = \dim X - 1\). la conclusion de 2°) est écrite en accolade, sur deux lignes dont la seconde est biffée puis reprise ; la fin de la phrase ne se lit pas.

Dém. 1) \(\operatorname{Codim}(Y, V(x)) = \operatorname{Inf}_i \struck{\ill{}} \operatorname{Codim}(Y_i, V(x))\), or \[ \operatorname{Codim}(Y_i, V(x)) = \dim \mathcal{O}_{V(x), y_i} \geq \dim \mathcal{O}_{X, y_i} - 1 = \operatorname{Codim}(Y_i, X) - 1 \geq \operatorname{Codim}(Y, X) - 1 , \] d'où \(\operatorname{Codim}(Y, V(x)) \geq \operatorname{Codim}(Y, X) - 1\), égalité ssi \(\exists i\) tel qu'on […] ait les deux égalités \[ \begin{cases} \operatorname{Codim}(Y_i, V(x)) = \struck{\dim} \operatorname{Codim}(Y_i, X) - 1 \\ \operatorname{Codim}(Y_i, X) = \operatorname{Codim}(Y, X) \end{cases} \] « \(\exists i\) tel qu'on » est entouré sur le feuillet.

i.e. \(i \in I'\), et \(\exists k \in K_i\) t.q. \(V(x) \not\supset X_k\).

2°) Comme \(r > 0\), pour toutes les composantes irréd. \(X_\alpha\) de \(X\), on a \(X_\alpha \not\subset Y\), donc il existe \(x \in \mathfrak{m}\) […] Comme […] […] […] \(\mathfrak{m} \not\subset \mathfrak{p}_\alpha\), donc \(\exists x \in \mathfrak{m}\), \(I' \neq \emptyset\) et \(x \notin \bigcup_\alpha \mathfrak{p}_\alpha\).

pour \(i \in I'\), \(K_i \neq \emptyset\), pour […] […] \(r > 0\) ; \(X_k \supset Y_i\), \(X_k \neq Y_i\), donc \(X_k \not\subset Y\) ; donc […] \(\mathfrak{p}_k \not\supset \mathfrak{m}\), donc \(\exists x \in \mathfrak{m}\) t.q. \(V(x)\) […] […] \(\exists x \in \mathfrak{m}\), \(x \notin \mathfrak{p}_k\). […] \(\mathfrak{m} \supset \mathfrak{p}\), donc \(\exists x \in \mathfrak{m}\), \(x \notin \mathfrak{p}\). Et \(\exists \mathfrak{p}_\alpha\), pour toutes composantes irréductibles \(X_\alpha\), […] on a \(X_\alpha \not\subset Y\) [sinon tout ce bloc, une première rédaction de 2°), est barré de traits diagonaux ; il est remplacé par les trois lignes qui le précèdent. En marge de gauche, à sa hauteur : « Je modifie […] conditions indiquées […] […] ».

Corollaire 1 : Soit \(A\) un anneau local nœth., \(X = \operatorname{Spec} A\), \(Y = V(\mathfrak{m})\) […] […] \(\mathfrak{m}\) […] idéal, \(\mathfrak{p}\) partie fermée de \(X\) \(x \in \mathfrak{m}\) \(r = \struck{\operatorname{Codim}(Y, X)} \operatorname{ht}(\mathfrak{m})\), alors il existe une suite \(x_1, \dots, x_r\) d'éléments de \(\mathfrak{m}\), faisant partie d'un système de paramètres de \(A\), et tel que \(\operatorname{ht}(x_1, \dots, x_r)\) \(\operatorname{ht}(\sum x_i A) = r\), d'où et \(\operatorname{ht}(\mathfrak{m} / (x_1, \dots, x_r)) = 0\) ; si \(A\) local, les \(x_i\) font partie d'un syst. de paramètres. « d'où » est entouré. L'énoncé hésite entre un anneau local et un anneau nœthérien avec un idéal \(\mathfrak{m}\) : la clause finale « si \(A\) local » suppose la seconde lecture, mais « local » n'est pas biffé dans la première ligne.

Prenons \(\mathfrak{m}\) premier, on conclut :

Corollaire 2 : Soit \(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(A\) local nœth., \(r = \dim A_{\mathfrak{p}}\), alors il existe \(x_1, \dots, x_r \in \mathfrak{p}\) tels que les \(x_i\) fassent part définissent un syst. de paramètres de \(A_{\mathfrak{p}}\), et forment partie d'un système de paramètres de \(A / \mathfrak{p}\). le dernier symbole se lit \(A / \mathfrak{p}\) sur le feuillet ; on attendrait \(A\).

Corollaire. Conditions équivalentes sur \(x_1, \dots, x_p \in \mathfrak{m}_A\), \(A\) local nœth. : (i) \(\operatorname{ht}(\sum A x_i) = p\) (comme toujours \(\leq\)) ; (ii) Pour tout \(x_1\) ne s'annule sur aucune comp. irréd. de \(\operatorname{Spec}(A)\), …, \(x_n\) ne s'annule sur aucune comp. irréd. de \(\operatorname{Spec} A / \sum_{i < n} x_i A\). écrit de bas en haut dans la marge de gauche, sur toute la hauteur du feuillet ; la fin de (ii), en très petits caractères, est lue d'après le sens : le quotient et son indice de sommation sont incertains.

84le feuillet entier est barré de traits diagonaux ; il se lit sous la rature.

\(\partial\)-Catégorie \(\mathcal{H}\) : catégorie additive graduée, i.e. où les \(\operatorname{Hom}(X, Y)\) sont des groupes gradués (la composition des morphismes étant additive sur les degrés), satisfaisant aux axiomes qui vont suivre. On désigne par \(\mathcal{H}_{(0)}\) la catégorie \(\mathcal{H}\) où les hom sont réduits au degré \(0\).

Axiome \(\partial 1\). Pour tout \(X \in \operatorname{Ob} \mathcal{H}\), il existe un \(X(1)\) \(T(X) = X(1)\) \(\in \operatorname{Ob} \mathcal{H}\) [noté \(X(1)\) ?] et un isomorphisme fonctoriel (sur \(\mathcal{H}_{(0)}\)) en \(X\) \[ \operatorname{Hom}_1(X, Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_0(X, Y(1)) . \] le membre de droite est surchargé : le \((1)\) de \(Y(1)\) est écrit par-dessus une première version.

Donc il y a un objet […] \(i_Y \in \operatorname{Hom}_1(\struck{Y(1)}, Y)\) ayant une propriété universelle. Évidemment \((Y(1), i_Y)\) est déterminé […] à Hom-isomorphisme près. ces deux phrases sont encadrées et reliées par un trait à la ligne de l'axiome ; l'argument de \(\operatorname{Hom}_1\) est repassé et ne se décide pas.

[il existe] un objet \(X(1)\) de \(\mathcal{H}\) et un isomorphisme de degré \(1\) \[ \alpha_X : X(1) \xrightarrow{\ 1\ } X \] et un objet \(X(-1)\) de \(\mathcal{H}\) et un isomorphisme de degré \(-1\) \[ \beta_X : X(-1) \xrightarrow{\ -1\ } X . \] On en conclut, pour tout \(Y\), des isomorphismes \[ \text{I} \begin{cases} \operatorname{Hom}_n(X, Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{n+1}(X(1), Y) \\ \operatorname{Hom}_n(Y, X(1)) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{n+1}(Y, X) \end{cases} \qquad \text{II} \begin{cases} \operatorname{Hom}_n(X, Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{n-1}(X(-1), Y) \\ \operatorname{Hom}_n(Y, X(-1)) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{n-1}(Y, X) \struck{\ill{}} \end{cases} \] \(= \operatorname{Hom}_{n-1}(X, Y(1))\) en marge de droite, à hauteur de la première ligne de I, surchargé.

86ce feuillet est le verso auquel renvoie la marge du feuillet 87 (« cf verso ») : il porte le lemme dont la Remarque commencée au feuillet 88 se sert. Ordre de lecture : 88, 87, puis 86.

[…] Lemme. Soient \(A\) un anneau, \(B\) une algèbre finie sur \(A\), \(M\) un \(B\)-module de type fini.

(i) si \(M_{[A]}\) est \((S_k)\), il en est de même de \(M\).

(ii) Supposons que pour […] idéaux premiers \(\mathfrak{q}, \mathfrak{q}'\) de \(B\), au-dessus [d'un même] \(\mathfrak{p}\) de \(A\), on ait \(\dim M_{\mathfrak{q}} = \dim M_{\mathfrak{q}'}\). Alors si \(M\) est \((S_k)\) sur \(B\), il est \((S_k)\) sur \(A\). au-dessus de « au-dessus d'un même \(\mathfrak{p}\) », en interligne : « \(\mathfrak{q} = \ill{}\) ».

On peut supposer \(A \subset B\), \(\operatorname{Spec} B =\) \(\operatorname{Supp} M = \operatorname{Spec} B\).

Dém. (i) Soit \(\struck{\mathfrak{q}}\ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} \struck{B}\ A\), si \(\dim M_{\mathfrak{p}} \leq k\) […] […] l'hypothèse implique que \(\dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} = \dim_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}\), or […] […] on a \(\operatorname{prof}\) [[…] \(\dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} \geq \operatorname{Sup}_{\mathfrak{p} \to \mathfrak{q}} \dim_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}\)] et on on a : \[ \operatorname{prof}_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} = \operatorname{Inf}_{\mathfrak{p} \to \mathfrak{q}} \operatorname{prof}_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} , \qquad \dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} = \operatorname{Sup}_{\mathfrak{p} \to \mathfrak{q}} \dim_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} , \] donc si \(\mathfrak{p} \to \mathfrak{q}\), \[ \operatorname{prof}_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} \geq \operatorname{prof}_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} \geq \operatorname{Inf}(k, \dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}}) \geq \operatorname{Inf}(k, \dim_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}) , \quad \text{cqfd.} \] dans l'énoncé, \(\mathfrak{q}\) est un premier de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak{p}\) dans \(A\) ; dans la démonstration, à partir de la ligne biffée « l'hypothèse implique… », c'est \(\mathfrak{p}\) qui est dans \(B\) et \(\mathfrak{q}\) dans \(A\), la flèche \(\mathfrak{p} \to \mathfrak{q}\) notant « au-dessus de ». L'échange est sur le feuillet et n'a pas été régularisé.

(ii) On a ici, grâce à l'hyp. sur \(M_{\mathfrak{p}}\) […] : \(\dim_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} = \dim_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}\). Or pour \(\mathfrak{p}\) convenable sur \(\mathfrak{q}\), on aura […] […] \(\operatorname{prof}_{A_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} = \operatorname{prof}_{B_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}\) (i.e. […] \(\geq\)) […].

Pour […] […] […] […] \(M_{\mathfrak{q}}\) […] […] […] on a […] […] […] le bas du feuillet, une dizaine de lignes, est hachuré au point de ne plus se lire ; seuls surnagent \(M_{\mathfrak{q}}\), « on a », un petit schéma \(B\) sur \(A\) avec \(M\) à côté, et en bas à gauche « \(\operatorname{prof} \geq \operatorname{Inf}(k, \dim)\) ». En marge de gauche, biffé : \(\mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}\).

87suite directe du feuillet 88 : la phrase commencée au bas de 88 se termine ici.

il s'ensuit que \(\mathcal{C}\) est cohérent. D'ailleurs, \(\mathcal{C}\) satisfait \((S_2)\) en tout point de \(Z\), en […] […] Comme […] \(\mathcal{M} \subset X\), […] \(\Gamma(V, \mathcal{C}) \to \Gamma(V \cap U, \mathcal{C})\) est […] […] par construction \(\mathcal{C} \xrightarrow{\ \sim\ } i_* i^* \mathcal{C}\). Comme \(\mathcal{C} \simeq \mathcal{B}\) […] sur \(U\), […] et que \(\mathcal{B}_x\) est une algèbre finie et normale sur \(\mathcal{O}_{X, x}\), donc \((S_2)\) comme anneau, et par suite comme module, il s'ensuit que \(\mathcal{C}\) est \((S_2)\) comme Module partout. […] […] que l'anneau \(\mathcal{C}\) […] […] \(\mathcal{C}\) est \(S_2\). Bien entendu \(A \subset \mathcal{C} \subset K\). Reste : prouver que \(\mathcal{C}\) est normal \((R_1)\). Soit \(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(\mathcal{C}\) tel que \(\dim \mathcal{C}_{\mathfrak{p}} = 1\), prouvons \(\mathcal{C}_{\mathfrak{p}}\) régulier. Soit \(\mathfrak{q}\) l'idéal induit par \(\mathfrak{p}\) sur \(A\), alors [\(A\) est quotient d'un régulier] on a \(\dim A_{\mathfrak{q}} = 1\), donc ou bien \(A_{\mathfrak{q}}\) est normal, donc \(A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{p}}\) […] normal, ou bien \(A_{\mathfrak{q}}\) non normal, i.e. on est en \(\mathfrak{p}_i\), mais alors […] […] par construction \(B_{\mathfrak{p}}\) normal, […] \(\mathcal{B}_{\mathfrak{p}}\) est normal comme localisé de \(B_{\mathfrak{q}}\). Cela achève la démonstration.

[A […] […] régulier […] \(\dim A_{\mathfrak{q}} = \dim B_{\mathfrak{p}}\) et \(\operatorname{prof} \mathcal{B}\) induit […]] cf verso écrit en oblique dans la marge de gauche, à hauteur de « Reste : prouver » ; « cf verso » renvoie au lemme du feuillet 86.

\(A\) anneau (local nœth. […]), \(B\) alg. finie sur \(A\), \(M\) module de type fini sur \(B\), […] […]. Alors \(M\) est \((S_k)\) sur \(A\) ssi il est \((S_k)\) sur \(B\). Soit […] […] Supposons \(A \subset B\), \(\operatorname{Supp} M = \operatorname{Spec} B\), […] \(f(x) = y\). Soit \(y \in Y\), … \(\operatorname{prof} M_y = \operatorname{Inf}_{x \mapsto y} \operatorname{prof} M_x\) […] Si \(M\) sur \(B\) est \((S_k)\), […] […] \(\operatorname{prof} M_y \geq \operatorname{Inf}\) […] le bas du feuillet : première rédaction, hachurée, du lemme du feuillet 86, avec \(f : X \to Y\) écrit verticalement à gauche et, en insertion au-dessus de la dernière ligne, « il […] […] dimension ». Cette version énonçait une équivalence là où le lemme retenu ne donne que deux implications sous hypothèse.

Remarque. Soit \(A\) un anneau intègre quotient d'un anneau régulier, \(K\) son corps des fractions, \(L\) une extension finie de \(K\). Pour que la clôture intégrale de \(A\) soit de type fini, il f. et s. que \(A\) satisfasse les conditions suivantes :

a) l'ensemble des \(\mathfrak{p}_i \in \operatorname{Spec} A\) tel que \(A_{\mathfrak{p}_i}\) soit de dim \(1\) non régulier est fini

b) Pour tout tel \(\mathfrak{p}_i \in \operatorname{Spec}(A)\), tel que \(\dim A_{\mathfrak{p}} = 1\), la normalisée de \(A_{\mathfrak{p}}\) est finie sur \(A_{\mathfrak{p}}\).

Dém. Nécessité évidente [a) car le lieu régulier non normal de \(\operatorname{Spec} A\) est fermé, et les \(\mathfrak{p}_i\) correspondent aux composantes irréd. de dim \(1\) de celui-ci].

Suffisance. Soit \(B \subset K\) une alg. finie sur \(A\), tel que Les \(B_{\mathfrak{p}_i}\) soient normaux [existe grâce à a), b)]. Comme \(A\) est quotient d'un régulier, l'ens. des \(x \in \operatorname{Spec} A = X\) tel que \(A_x\) soit \(S_2\) est ouvert, et contient les […] un ouvert […] […], soit \(X_f\). en interligne au-dessus de « contient … soit \(X_f\) » : « (utilisant a), et le critère de Serre, i.e. que les \(\mathfrak{p}_i\) sont […]) », et au-dessus de \(X_f\) : normal. Il existe […] un sous-anneau \(B \supset A\) de \(K\), fini sur \(A\), […] \(B_f\) […] tel que \(B_{\mathfrak{p}_i}\) soit normal [utilise a) et b)]. Soit \(Z = \operatorname{Supp} B / A\), \(Z\) donc \(Z \subset X - X_f\), et \(Z\) est de codim \(> 1\). Soit \(U = X - Z\), \(i : U \to X\) l'immersion canonique, \(\mathcal{B} = \widetilde{B}\) faisceau d'alg. sur \(X\), considérons \(\mathcal{B}\) \(\mathcal{C} = i_* i^*(\mathcal{B})\). Comme le […] anneau : \(\mathcal{B}\) est […] \(X\), et que \(Z\) est de codim \(\geq 2\) dans \(X\), […] \(A\) partout dans […], la phrase se poursuit au feuillet 87 : « il s'ensuit que \(\mathcal{C}\) est cohérent ». Au-dessus de « tel que \(B_{\mathfrak{p}_i}\) » : une coche et « \(\operatorname{ht}\) », d'une autre encre.

89brouillon pour le lemme du feuillet 86, à l'encre, barré de traits diagonaux. Sous l'encre, une couche antérieure au crayon, en anglais, sur le groupe de Picard et la profondeur ; elle est transcrite à la suite.

\(A \subset B\), \(M\) […]. \(\operatorname{prof} M_y \struck{\leq} \struck{\operatorname{Inf}} \operatorname{prof} M_z \geq \operatorname{Inf}_{z \mapsto y} \struck{\dim(M_z, k)} \operatorname{Inf}(\dim M_z, k)\).

[…] \(B\) normal, \(M\) \(\leq\) […] \(\operatorname{Inf}\). \(S_2\) comme anneau, mais pas comme module. « mais pas comme module » est souligné d'un trait ondulé.

\(B \subset A^n\), \(B / \mathfrak{f} B \subset (A / \mathfrak{f} A)^n\) ; \(B / \mathfrak{f} B \to (A / \mathfrak{f} A)^n\) ; \(B / \mathfrak{f} B \simeq \mathcal{O}_{X_0}\) […]. \(B\) est C.M. aussi […]. […]

\(M\) \(S_k\) \(\overset{?}{\Longrightarrow}\) \(M_{[A]}\) est \((S_k)\).

\(\mathfrak{p} \in A\), \(\dim A_{\mathfrak{p}} \leq k \Rightarrow \dim B_{\mathfrak{p}} \leq k\) car \(M_{\mathfrak{p}}\) est C.M. sur \(B_{\mathfrak{p}}\), donc \(M_{\mathfrak{p}}\) est C.M. […] sur […] […] sur \(A\). « \(\mathfrak{p} \in A\) » est encadré.

\(M_{\mathfrak{q}}\), \(\dim M_{\mathfrak{q}}\), \(\operatorname{prof} M_{\mathfrak{q}}\) ; \(B\) est C.M. […] […] ; \(B_{\mathfrak{q}}\), \(A_{\mathfrak{p}}\) ; \(\dim B_{\mathfrak{q}} = \operatorname{prof}\) […] \[ \operatorname{prof} M_{\mathfrak{p}} \geq \operatorname{Inf}(k, \dim M_{\mathfrak{p}}) \iff \operatorname{prof} \hat{M}_{\mathfrak{p}} \geq \operatorname{Inf}(k, \dim \hat{M}_{\mathfrak{p}}) , \qquad \operatorname{prof} \hat{M}_{\mathfrak{q}_i} \geq \operatorname{Inf}(k, \dim \hat{M}_{\mathfrak{q}_i}) . \]

la couche au crayon, en anglais, écrite dans l'autre sens du feuillet (en colonne, à droite et à gauche) :

\(\varphi : \operatorname{Pic}(X') \to \operatorname{Pic}(Y')\) ; \(\pi_1(X')\), \(\pi_1(Y')\), \(H^i(\ldots)\).

1) if \(\forall x \in X' - Y'\), \(\dim \bar{x} = 1 \Rightarrow \operatorname{depth} A_x \geq 3\), \(\varphi\) is injective.

2) if \(\forall x \in X' - Y'\), \(\dim \bar{x} = 1 \Rightarrow \operatorname{depth} A_x \geq 4\) and if \(\operatorname{Pic}(\operatorname{Spec} A_x - \{x\}) = 0\) \(\Rightarrow\) \(\varphi\) is bij.

complete intersection, \(\dim \geq 4\) ; \(\operatorname{Pic}(X - a) = 0\) ; \(\mathfrak{a} = \mathfrak{f} A + \mathfrak{g} A\) ; \(\mathfrak{a}(\mathfrak{m})\). ces derniers fragments sont dans la marge de gauche, au crayon, en partie sous l'encre ; leur liaison avec 1) et 2) ne se lit pas.

IV 12. Fibres des morphismes plats de présentation finie

les mots sont de sa main, en haut à droite de la chemise orange qui forme le feuillet 90 : « IV 12 » à l'encre, le titre au crayon. Le second chiffre est repassé et pourrait aussi se lire 82. La chemise ne porte rien d'autre.

91brouillon rapide, encre par-dessus crayon, avec un croquis à gauche : deux disques \(X'\) et \(X''\) marqués \(Z'_0\), \(Z'\), \(Z''_0\), \(Z''\) autour d'un centre, reliés par une courbe \(D\) ; les lignes du texte sont lues dans l'ordre où elles se suivent, les insertions ramenées à leur place.

Un exemple [sur une conj. log. des […] […] […]] Où le […] des ouverts des pts non Coh. Mac. fait un saut dans la mauvaise direction… en accolade, en haut à droite, d'une encre plus noire que le titre.

\(A\) \(X'\) schéma local [intègre] de prof […] […] […] de dim \(n'\) (centre \(x\)), contenant une partie […] irréductible \(Z_1 \ni x\), telle que aux pts de \(Z_1\), \(X'\) ne soit […] Cohen-Macaulay, […] donc \(Z'_0\) l'un des pts […] il n'est pas Coh. M. \(\operatorname{codim}_x Z_1 =\) […] au crayon, en marge de droite : « i.e. coprof 1 » ; en marge de droite encore, entouré : \(Z'_0 \neq \{x\}\), et sous lui une ligne noircie.

\(X''\) schéma local [intègre] de dim \(n''\), \(Z''_0\) l'un des pts […] il n'est pas Coh. Mac. entouré, en interligne : « \(n'' > n'\) ».

\(D\) un […] schéma local intègre fermé dans \(X\) de dim \(1\) et […], \(D'\) […] (immersions fermées) \[ u' : D \to X' , \qquad u'' : D \to X'' , \qquad u'(D) \not\supset Z'_0 , \] \[ X = X' \coprod_D X'' . \] « \(u'(D) \not\supset Z'_0\) » est entouré, et souligné deux fois.

\(\sim\) identifie \(X'\) et \(X''\) ; donc […] […] schémas finis, donc \(Z'_0, Z''_0 \to x\). \(D\) : un […] sous-schéma fermé […] de \(X\).

\(f_0 \in \struck{\ill{}} (\mathcal{O}_{D, x})\), \(f_0 \neq 0\) ; les relèvements \(f'\) et \(f''\), d'où \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\) […] qui est nul […] […] \[ V(f) \simeq V(f') \coprod_{V(f_0)} V(f'') . \] en bas à gauche, l'algèbre du recollement : \(A' \times_B A''\) ; \(C \to A' \to B\), \(C \to A'' \to B\) ; \(f = (g', g'')\), \((g', g'') \in C\) ; \(g' \in \mathfrak{f}'\), \(g'' \in \mathfrak{f}''\) ; \(A' \times A'' \to B \to 0\). Les relations entre ces lignes ne sont pas écrites.

[il pourra […] […] fini […] […] \(x\)] au crayon, en haut à droite.

\(V(f')\) et \(V(f'')\) sont sans idéaux immergés. entouré. À gauche, isolé : « \(\neq\) ? ».

[les pts = les pts intègres] \[ (V(f') \cap Z'_0 =)\ V(f') \cap Z'_0 = \{x\} , \qquad (V(f'') \cap Z''_0 =)\ V(f'') \cap Z''_0 \subset \{x\} . \] les deux lignes sont entourées ; les parenthèses de gauche sont sur le feuillet, une première rédaction non biffée.

Il s'ensuit que \(V(f)\) est sans idéaux immergés, [et […] […] si […] […]], et que \(V(f)\) est Coh. Mac. en dehors de \(\{x\}\). Donc […] pt Donc l'un des pts où \(X\) n'est pas Coh. Mac. est \[ Z = \struck{\ill{}} Z'_0 \cup Z''_0 \cup D , \] qui donc […] ; \(X - V(f)\) est de codim \(\leq \operatorname{codim}_{X'} Z'_0 \leq n'\) […] [car \(Z'_0 \neq \emptyset\), \(Z'_0 \neq \{x\}\)], et qui donc alors que le codim de \(V(f)\) en \(V(f) \cap Z\) [i.e. l'un des pts où \(V(f)\) n'est […] il n'est pas Coh. Mac.] est de codim \(= \struck{\ill{}} \dim V(f) = n'' - 1 \geq n'\). la borne « \(\leq n'\) » est suivie d'un signe surchargé qui pourrait être « \(-1\) » ; l'inégalité finale \(n'' - 1 \geq n'\) est celle qui fait « sauter dans la mauvaise direction » la codimension du lieu non Cohen-Macaulay quand on passe de \(X\) à \(V(f)\).

Pour faire la construction [d'un exemple] : un pt d'un schéma [intégralement] […] projectif normal \(S'\) [dans un espace projectif […]], […] […] qui n'est pas Cohen-Macaulay [que […] de dim \(d \geq 3\)] […] [[…] […]], et pour \(X'\) le schéma localisé en le sommet du cône projetant de \(X'\), \(X'\) [\(S'\)], qu'on peut prendre projectivement normale. Donc \(n' = d + 1 \geq 4\). Le […] \(X''\) […] soit que […] \(Z'_0 \neq \emptyset\), \(Z'_0 \neq \{x\}\) est vérifié. On prend \(X'' = \struck{\ill{}}\) localisé en l'origine de \(V(k^{n''})\), i.e. \(n'' > n' = d + 1\). Il existe alors un morphisme [d'immersion fermée \(u'\)] de \(D = \operatorname{Spec} k[t]_{(t)}\) dans \(X'\), qui soit tel que \(u'(D) \not\supset Z'_0\) [prendre une générisation non générique], et on prend une immersion \(u'' : D \to X''\) (par une droite à l'origine fixée). On choisit \(f_0\) quelconque, puis \(f'\) et \(f''\) de façon à vérifier \(V(f') \cap Z'_0 = \{x\}\), et d'ailleurs \(V(f'') \cap Z''_0 \subset \{x\}\) est trivial. Le caractère de \(X'\) et \(X''\) implique que \(V(f')\) et \(V(f'')\) n'ont pas d'idéaux immergés […]. le mot « projectivement normale » (au féminin) et « le sommet du cône projetant » sont insérés en interligne ; l'écriture de \(D\) porte un indice sous \(k[t]\) qui se lit mal, \((t)\) d'après le sens. Le feuillet s'arrête sur cette phrase ; le verso, feuillet 94, est blanc.

Compl[…] Proposition […] […] des « conditions » « signalétiques ». Modules [généralisation : un \(B\)-module \(M\)] écrit en oblique dans la marge de gauche, sur deux ou trois lignes soulignées, le mot « Modules » plus gros que le reste ; la nature du complément annoncé ne se lit pas.

Proposition. Soient \(K\) un anneau, \(A, B, C\) des algèbres graduées sur \(K\), à degrés positifs, et réduites à \(K\) en degré \(0\), \[ A \xrightarrow{\ \psi\ } B \xrightarrow{\ \varphi\ } C \] des homomorphismes. On suppose

a) Pour tout \(i \geq 0\), \(\varphi^i : B^i \to C^i\) est surjectif et admet un inverse à droite \(K\)-linéaire, soit \(u^i : C^i \to B^i\).

(1) Alors les conditions b) et b') suivantes sont équivalentes :

b) […] \(\operatorname{Ker} \varphi = \psi(A^+) B\)

b') Pour tout \(n \geq 0\), l'homomorphisme \[ v^n : \sum_{i + j = n} A^i \otimes_K C^j \longrightarrow B^n \] […] défini par \(v^n(a^i \otimes c^j) = \psi(a^i) \struck{\ill{}} u^j(c^j)\) est surjectif.

[Donc (b') ne dépend pas du choix des \(u^j\)].

N.B. [sans a)] : \(A\) augmenté, \(A'\), […] ; b) équivaut : \(\operatorname{Ker} \varphi = \psi(A') B\) ; b1) \(\operatorname{Ker} \varphi^1 = \psi(A^1)\) ; b2) \(\operatorname{Ker} \varphi\) […] \(\operatorname{Ker} \varphi^n\) ; […] écrit en oblique dans la marge de gauche, à hauteur de b) ; « b2) » est repassé et une flèche relie ses deux membres.

(2) Supposons que […] […] […]

b'') \(v^n\) est bijectif.

Alors \(\psi\) est injectif. Alors De plus, les \(B^i\) sont plats [resp. […] projectifs] sur \(K\) ssi les \(A^i, C^i\) le sont.

Réciproquement, supposons que les \(A^i, B^i, C^i\) projectifs de type fini (= plats de présentation finie), pour tout biffé d'un trait, puis repris tel quel dans (3) ; une accolade en marge rattache le bloc biffé à ce qui suit. La parenthèse « = plats de présentation finie » est de lecture incertaine.

(3) \(x \in \operatorname{Spec} K\), soient \[ P_{A, x}(t) = \sum_i \operatorname{rg}_{k(x)}(A^i(x))\, t^i \in \mathbb{Z}[[t]] \] et définissons de même \(P_{B, x}(t)\), \(P_{C, x}(t)\). Alors on a pour tout \(x\) [en grandeur […]] \[ (\ast) \qquad P_{B, x} \ll P_{A, x} P_{C, x} \] [inégalité coefficient par coefficient]. Si (b'') est vérifié, alors on a \(=\).

c) \(P_{B, x} = P_{A, x} P_{C, x}\). c) est écrit en marge de gauche, au bout d'un trait qui le relie à la phrase suivante.

Si les \(A^i, B^i, C^i\) sont plats de prés. finie [= projectifs de type fini], alors c) implique aussi b''), […] Donc

N.B. Ce dernier résultat que (b'') ne dépend […] Alors les des deux […] parties […] [si les \(A^i, B^i\) sont de type fini, […] […] seulement de […] en […] d'un […] de […]] (3) (continue […], 3°) grâce à Nakayama] + écrit en oblique dans la marge de gauche sur toute la hauteur du feuillet ; le « (3) » entouré renvoie au point (3). Le nom de Nakayama est sûr, le reste de la note ne se lit qu'en partie.

Corollaire 1. Conditions équivalentes [moyennant a)] : « moyennant a) » est en interligne au-dessus, rattaché par un trait.

(i) \(v^*\) bijectif, les \(B^i\) projectifs de type fini

(ii) \(v^*\) bijectif, les \(A^i, C^i\) projectifs de type fini

(iii) les \(A^i, B^i, C^i\) projectifs de type fini, et \(P_{B, x} = P_{A, x} P_{C, x}\) pour tout \(x\)

[N.B. si \(K\) est local, il suffit de regarder en le pt fermé].

N.B. Nous appellerons […] l'ensemble des conditions a), b'') comme « bonnes », si de plus les \(B^i\) sont projectifs de type fini, on dira « très bonnes ».

Question. Sur les « bonnes conditions » peut-on prouver :

(i) \(A\) plat\(/K\) \(\Longrightarrow\) \(C\) plat\(/B\)

(ii) \(C\) plat\(/K\) \(\Longrightarrow\) \(B\) plat\(/A\)

(iii) \(A\) et \(C\) plats\(/K\) \(\Longrightarrow\) \(B\) plat\(/K\) à gauche de (iii), un mot isolé, « dans » ou « donc », qui ne se rattache à rien.

Corollaire 2. Supposons que \(C \simeq K[t_1, \dots, t_r]\) [avec des degrés \(> 0\)], les \(t_i\) homogènes. Alors (a, b'') équivalent à ceci : \[ \begin{cases} B \simeq A[t_1, \dots, t_r] \\ \psi \simeq \text{hom. can. } A \to A[t_1, \dots, t_r] \\ \varphi \simeq \text{hom. \uncertain{projection} \uncertain{canonique} } A[t_1, \dots, t_r] \to \underbrace{A / A^+}_{K}[t_1, \dots, t_r] \end{cases} \] [Le choix d'un isom. \(B \simeq A[t_1, \dots, t_r]\) équivaut : celui d'un hom. d'alg. \(C \xrightarrow{\ u\ } B\) tel que \(\varphi u = \operatorname{id}_C\), ou encore d'un hom. \(K\)-linéaire qui relève \(B^+ \to C^+ / C^{+2}\)]. « \(C \xrightarrow{u} B\) » est souligné ; devant lui un mot biffé. Le feuillet, et la cote, s'arrêtent ici.