Cote n° 23 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · EGA IV. Compléments : notes manuscrites (s.d.), lettres (1966, 1968), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1966-1968
Édition de démonstration

Lettre de P. Deligne sur le chapitre \(0_{\mathrm{IV}}\) (pages 3 à 6)

les deux premiers feuillets de la lettre ne sont pas dans ce lot

61p. 3 de la lettre, numérotée par l'auteur en haut à droite Remplaçant \(A\) par \(A'\), il reste à prouver que si \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \otimes K \to \mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2\) est surjectif (i.e. \(K = B \otimes k\)) on peut trouver \(C\) tel que \(K = C \otimes k\) (d'où \(\operatorname{gr} C = K \otimes_k \operatorname{gr} A\)). On va manger \(K\) par étapes les deux parenthèses sont des ajouts interlinéaires, appelés par un crochet et une flèche

1. a)soit \((x_i)_{i \in I}\) une base de transcendance de \(K\) sur \(k\) ; et on relève les \(x_i\) en des éléments de \(B\), définissant ainsi \(A(x_i) \to B\). \(A(x_i)\) est la limite inductive des localisées, au point générique de la fibre spéciale, des \(A[X_i]_{i \in J}\), \(J\) fini ds \(I\). (cf Nagata, Local rings pg 17 et 18). On peut soit utiliser \(0_{\mathrm{III}}\) 10.3.1.3 pour vérifier que cet anneau est noethérien, soit le compléter et utiliser le critère de platitude pour vérifier que son complété est plat sur \(A\)
2. b)on s'est ainsi réduit à supposer \(K\) algébrique sur \(k\) et, si on y tient, à supposer \(A\) complet. On trouve sans histoire \(A'\) plat sur \(A\), non ramifié, de corps résiduel la clôture séparable de \(k\) dans \(K\), et \(A' \to B\). Reste à traiter le cas où \(K/k\) est purement inséparable, et on va utiliser une propriété « d'intersection complète » des corps, que je n'ai pas su bien dégager
3. c)on suppose : \(K/k\) purement inséparable, \(A\) et \(B\) complets, \(\uncertain{K = B \otimes k}\). les trois lettres sont récrites en surcharge soit \(K_n\) le sous corps de \(K\) formé des \(x\) tels que \(x^{p^n} \in k\) (\(K_n = K \cap k^{p^{-n}}\)), et soit \(x_n^\alpha\) une \(p\)-base de \(K_n\) sur \(K_{n-1}\) (\(n \geqslant 1\)). \(K\) est l'anneau engendré par des éléments \(x_n^\alpha\) soumis à des relations \((x_n^\alpha)^p = P_n^\alpha(x_m^\beta,\ m < n)\) (\(P\) à coefficients dans \(k\)). Relevons les \(x_n^\alpha\) dans \(B\). On aura des relations \[ (x_n^\alpha)^p = P_n^\alpha(x_m^\beta,\ m < n) + q_n^\alpha \quad \text{avec } q_n^\alpha \text{ dans l'idéal maximal} \ (P \text{ à coeff ds } A) \] par hypothèse, \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \otimes_k K \to \mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2\) est surjectif. D'où \[ (x_n^\alpha)^p = P_n^\alpha(x_m^\beta,\ m < n) + Q_{n,1}^\alpha(x_m^\beta) + r_n^\alpha \quad \text{avec } P \text{ (resp } Q) \text{ à coefficients dans } A \text{ (resp } \mathfrak{m}) \] et par récurrence et passage à la limite \[ \boxed{\,(x_n^\alpha)^p = P_n^\alpha(x_m^\beta,\ m < n) + \sum_{i=1}^{\infty} Q_{n,i}^\alpha(x_m^\beta)\,} \] où \(P_n^\alpha\) (resp \(Q_{n,i}^\alpha\)) est un polynome en les \(x_m^\beta\) à coefficients dans \(A\) (resp dans \(\mathfrak{m}^{\uncertain{(n)}}\)) l'exposant est entouré d'un cercle. En marge de gauche, au crayon et d'une autre main que celle de la lettre : « \(Q_{n i}^\alpha\) linéaire en les \(x_m^\beta\) […] » et « \((\ )^i\) ? » — l'exposant attendu est \(i\), non \(n\) Pour \(C\), il suffira maintenant de prendre l'anneau complet engendré par des générateurs \(x_n^\alpha\) soumis aux relations précédentes. Pour une définition rigoureuse, disons qu'on prend la limite projective des \(A/\mathfrak{m}^k\)-algèbres engendrées par des générateurs \(x_n^\alpha\) soumis aux relations \[\begin{equation} (x_n^\alpha)^p = P_n^\alpha(x_m^\beta,\ m < n) + \sum_{i=1}^{k-1} Q_{n,i}^\alpha(x_m^\beta) \end{equation}\] Il reste à voir qu'on obtient ainsi une \(A/\mathfrak{m}^k\)-algèbre plate. Pour cela, il suffit vérifier que le quotient de \(A[X_n^\alpha]\) par un nombre fini de

62p. 4 de la lettre relations (1) est plat, seules un nombre fini d'indéterminées jouent alors un rôle, et on va appliquer \(0_{\mathrm{IV}}\) 15.1.16 c) \(\Rightarrow\) b) : il faut vérifier que dans \(k[X_n^\alpha]\), les \((X_n^\alpha)^p - P_n^\alpha(X_m^\beta,\ m < n)\) forment une suite régulière, et cela résulte d'un calcul de dimension trivial — CQFD

La propriété que je n'ai pas su bien dégager est que toute extension algébrique \(K/k\) est du type \(K = k[T_\alpha]/(P_i)\), de sorte que si on relève les \(P_i\) à un anneau artinien de corps résiduel \(k\), soit \(A\), \(A[T_\alpha]/(\widetilde{P}_i)\) soit plat sur \(A\). le mot est récrit en surcharge

\(0_{\mathrm{IV}}\) 16.4 15 Il manque des résultats sur les suites régulières, notamment le suivant auquel Quillen faisait une référence fantôme dans sa lettre sur \(\Omega_{B/A}\).

Vs garder EGA IV 19, à compléter éventuellement. en marge de gauche, en oblique, d'une autre main que celle de la lettre — celle du destinataire — et d'une encre plus grasse

prop : Soit \(A\) noethérien, \(I\) un idéal. Les conditions suivantes sont équivalentes.

1. (i)\(\operatorname{Sym}_{A/I}(I/I^2) \xrightarrow{\sim} \operatorname{gr}_I(A)\) et \(I/I^2\) projectif sur \(A/I\)
2. (ii)\(\Lambda\, I/I^2 \xrightarrow{\sim} \operatorname{Tor}(A/I, A/I)\) et idem quatre guillemets de répétition sous « et \(I/I^2\) projectif sur \(A/I\) » de la ligne précédente

Si de plus \(A\) est local, et si \(f_1 \dots f_n\) est un système minimal de générateurs de \(I\) (i.e. \(n = \dim_k I \otimes k\)), cela équivaut encore à

1. (iii)\(f_1 \dots f_n\) est une suite régulière […] (?)
2. (iv)le complexe de l'algèbre extérieure \(K(f, A)\) est une résolution de \(A/I\)
3. (v)\(\operatorname{Ext}^i(A/I, A) = 0\) si \(i < n\)

en (iii), une demi-ligne est biffée à gros traits, illisible, et suivie d'un « (?) » ; en (iv), une coche suit « \(A/I\) »

Démonstration : (i) et (ii) étant de nature locale, on peut supposer \(A\) local ; on peut aussi supposer \(I \neq A\).

Il est clair que (i) \(\Longleftrightarrow\) (iii) \(\Longrightarrow\) (iv) \(\Longrightarrow\) (ii), \(\Longrightarrow\) (v) (car (iv) \(\Rightarrow\) que \(\operatorname{Tor}^1(A/I, A/I) = I/I^2\) est \(A/I\)-libre) sur la feuille, (iv) est suivi de deux flèches divergentes, vers (ii) et vers (v)

— l'implication (ii) \(\Rightarrow\) (iv) : Soit \(P_*\) une résolution projective de \(A/I\) ; il existe une seule classe d'homotopie d'applications \(K(f, A) \to P_*\) (2) induisant l'identité sur \(A/I\), et l'application \(\Lambda\, I/I^2 = H_*(K(f, A) \otimes A/I) \to \operatorname{Tor}(A/I, A/I) = H_*(P_* \otimes A/I)\) déduite coïncide avec celle considérée en (ii), qui provient de la structure multiplicative de \(\operatorname{Tor}(\ )\). [facile] — Soit \(E\) le mapping cylinder de (2). (ii) signifie que \(E \otimes A/I\) est acyclique, ce qui implique par Nakayama que \(E\) l'est, donc que (iv) est vrai.

— l'implication (v) \(\Rightarrow\) (iii) Va être modulée.

prop : Si \(I\) est un idéal de l'anneau local \(A\), \(f_1 \dots f_n\) un système minimal de générateurs de \(I\), \(M\) un \(A\)-module de type fini et si \(\operatorname{Ext}^i(A/I, M) = 0\) pour \(i < n\) alors \(f_1 \dots f_n\) est une suite \(M\)-régulière

63p. 5 de la lettre démonstration : 1) on remarque d'abord que la conclusion ne dépend qu'apparamment du système de générateurs choisis : \[\begin{gather*} f_1 \dots f_n \text{ régulier} \Longleftrightarrow f_1 \dots f_n \text{ quasi-régulier} \Longleftrightarrow \\ A/I[T_1 \dots T_n] \otimes_{A/I} M/I \to \operatorname{gr}_I(A) \otimes_{\operatorname{gr}^0_I(A)} \operatorname{gr}^0_I(M) \to \operatorname{gr}_I(M) \text{ bijectif} \\ \Longleftrightarrow \operatorname{gr}_I(A) \otimes_{A/I} M/I \to \operatorname{gr}_I(M) \text{ bijectif et} \\ A/I[T_1 \dots T_n] \otimes A/\operatorname{Ann}(M/I) \to \operatorname{gr}_I(A) \otimes A/\operatorname{Ann}(M/I) \text{ bijectif.} \\ \Longleftrightarrow \operatorname{gr}_I(A) \otimes M/I \xrightarrow{\sim} \operatorname{gr}_I(M), \text{ et modulo } \operatorname{Ann}(M/I),\ I/I^2 \text{ libre de rg } n \text{ et} \operatorname{Sym}_{A/I}(I/I^2) \simeq \operatorname{gr}_I(A). \end{gather*}\]

2) supposons qu'il existe \(f\) dans \(I \setminus \mathfrak{m} I\) qui soit \(M\)-régulier. On sait que \(\operatorname{Ext}^i_A(A/I, M)\) signifie \(= 0\) pour \(i < n\) signifie qu'il existe une \(n\)-suite \(M\)-régulière contenue dans \(I\). On aura donc \(\operatorname{Ext}^i_{A/f}(A/I, M/fM) = 0\) pour \(i \leqslant n-1\) et \(I/f\) est engendré par \(n-1\) générateurs. On conclut par récurrence sur \(n\)

3) supposons enfin qu'aucun élément de \(I \setminus \mathfrak{m} I\) ne soit \(M\)-régulier. On a \(I \subset \mathfrak{m} I \cup \bigcup_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)} \mathfrak{p}\), donc (lemme plus bas) \(\exists\, \mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M : I \subset \mathfrak{p}\). et \(\operatorname{Hom}(A/I, M) \neq 0\) donc \(n = 0\), \(I = 0\) et l'assertion est vraie

On a utilisé le

lemme (Nagata !) : Soit \(\mathfrak{a}\) un idéal d'un anneau \(A\), \((\mathfrak{b}_i)_{0 < i \leqslant n}\) des idéaux, \((\mathfrak{p}_i)_{0 < i \leqslant m}\) des idéaux premiers. Si \(\mathfrak{a} \subset \bigcup_i \mathfrak{b}_i \cup \bigcup_i \mathfrak{p}_i\), soit \(\mathfrak{a} \subset \bigcup \mathfrak{b}_i\), soit \(\exists\, i : \mathfrak{a} \subset \mathfrak{p}_i\).

démonstration : \(\alpha\)) réduction à \(m = 1\) [regarder les \(\mathfrak{p}\) comme \(\mathfrak{b}\), sauf 1 et récurrer] et à ce que \(\mathfrak{p} \not\supset \mathfrak{b}_i\). \(\beta\)) Si \(\mathfrak{a} \not\subset \bigcup \mathfrak{b}_i\), soit \(x \in \mathfrak{a} \setminus \bigcup \mathfrak{b}_i\) donc \(x \in \mathfrak{p}\). Si \(y \in \mathfrak{a} \cap \bigcap \mathfrak{b}_i\), \(x + y \in \mathfrak{a} \setminus \bigcup \mathfrak{b}_i\) donc \(x + y \in \mathfrak{p}\) et \(y \in \mathfrak{p}\) : \(\mathfrak{a} \cap \bigcap \mathfrak{b}_i \subset \mathfrak{p}\) et comme \(\mathfrak{b}_i \not\subset \mathfrak{p}\), \(\mathfrak{a} \subset \mathfrak{p}\).

[N.B. : un dévissage analogue permet je crois de montrer (iv) \(\Rightarrow\) (iii) sans utiliser l'hypothèse […] (iv)]

\(0_{\mathrm{IV}}\) 16.1.9. On peut y supprimer l'hypothèse noethérienne, en référant à Bourb. Alg Comm ch V § 1 nº 1 Th 1 (\(E_{\mathrm{III}}\))

\(0_{\mathrm{IV}}\) 19.2 Il manque la proposition suivante, dont tu démontres un cas particulier en 19.7.1.1 (et un peu plus, car tu prouves là \(B\) strictement formellement projectif)

prop : Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens, \(M\) un \(B\)-module de type fini ; on munit \(A\) et \(M\) des topologies \(\mathfrak{m}\) et \(\mathfrak{n}\)-adiques (\(\mathfrak{m} = R(A)\), \(\mathfrak{n} = R(B)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

64p. 6 de la lettre

1. (i)\(M\) est plat sur \(A\)
2. (ii)\(M\) est formellement projectif sur \(A\)

démonstration : a) réduction à \(A\) artinien local

b) (ii) \(\Longleftrightarrow\) \(\forall N\) sur \(A\), \(\varinjlim \operatorname{Ext}^1_A(M/\mathfrak{n}^k M, N) = 0\) \(\Longleftrightarrow\) idem pour \(N\) un \(k\)-vectoriel (dévissage) \(\Longleftrightarrow\) \(\varinjlim (\operatorname{Ext}^1_A(M/\mathfrak{n}^k M, k))^I = 0\) \(\forall I\) \(\Longleftrightarrow\) « \(\varinjlim\) » \(\operatorname{Ext}^1_A(M/\mathfrak{n}^k M, k) = 0\) comme Ind-objet \(\Longleftrightarrow\) « \(\varprojlim\) » \(\operatorname{Tor}^A_1(M/\mathfrak{n}^k M, k) = 0\) comme pro-objet, le précédent étant dual de celui-ci. On calcule ce \(\operatorname{Tor}\) par une résolution plate de \(k\), et par Artin-Rees, le pro-objet précédent n'est autre que \[ \text{« } \varprojlim \text{ »}\ \operatorname{Tor}^A_1(M, k) \big/ \mathfrak{n}^k \operatorname{Tor}^A_1(\dots) \] dont la nullité signifie \(\operatorname{Tor}_1(M, k) = 0\). ie que \(M\) est plat sur \(A\). l'indice des \(\operatorname{Ext}\) et \(\operatorname{Tor}\) est un simple trait sur la feuille ; il est lu \(1\)

\(0_{\mathrm{IV}}\) 19.4.6 (changement de base et limite formelle) — Il n'est pas nécessaire de supposer \(B\) formellement projectif dans l'hypothèse 2º, en faisant sur la classe de l'extension le jeu fait ici sur le cocycle de Hochschild — De même, dans 1º, l'hypothèse de « formellement projectif » peut se remplacer par une hypothèse de finitude (\(B/J_\lambda\) fini sur \(A/J_\lambda\) qui est noethérien p.e.)

\(0_{\mathrm{IV}}\) 19.4.7. La démonstration se simplifierait si tu avais fait remarquer auparavant que \(\uncertain{\operatorname{Exalcotop}_A(B, L)}\) est foncteur semi-exact en \(L\). les dernières lettres du nom du foncteur sont récrites en surcharge

\(0_{\mathrm{IV}}\) 19.8.3 pg 110 ligne \(-8\), \(-6\) ; pg 111 ligne 7 : lire homomorphisme local et non homomorphisme

\(0_{\mathrm{IV}}\) 20.4.6 Le signe choisi pour \(dx\) est l'opposé du signe universellement choisi en analyse (où \(\Delta f(x ; x') = f(x') - f(x)\), \(g.\Delta f(x ; x') = g(x)\, \Delta f(x ; x')\)), compte tenu de ce que \(B \otimes B\) et \(P^1_{B/A}\) sont des \(B\)-modules algèbres par \(b \to b \otimes 1\).

faire errata : remplacer \(P_1 - P_2\) par \(P_2 - P_1\) ! attention aux passages subséquents en marge de gauche, en oblique, de la main du destinataire

\(0_{\mathrm{IV}}\) 20.4.13 (iv) L'hypothèse « \(A\) intégralement clos » n'a rien à faire ici [cf 20.5.9 par ex.] enfin un « ! » en marge sous la référence

III 4.3.6 pg 133 ligne 7 la formule \(K' = K \otimes_A \widehat{A}\) est fausse en général ! « !!! » et « … » en marge sous la référence

En relisant cette lettre, je suis honteux de la démonstration tordue donnée pg 2 de ce que \(\operatorname{Tor}\) et « pro-objet complétion » commutent. Il suffirait, par dévissage, de traiter directement le cas \(N = A\) (et \(M = B\)), ié « \(\varprojlim\) » \(\operatorname{Tor}^A_p(A/\mathfrak{m}^k, M) = 0\) si \(p > 0\), mais j'en suis incapable. Tu trouveras ci-joint une lettre de Serre que je te renvoie

Bien à toi

P. Deligne

Divers

le mot est de sa main, seul en haut à droite d'un feuillet kraft par ailleurs vierge (page 65), suivi de points de suspension : la couverture des notes qui suivent

Structure Main Theorem

66

1. a)Démonstration par voie globale (cas \(Y\) loc. noethérien §, \(f\) quasi-projectif — ou des versions compatibles —
2. b)Extension au cas \(f\) quasi-fini séparé de prés. finie, et \(Y\) qu. cpt qu. sép. On prouve que la question est alors locale sur \(Y\) (IV 8.12.3), cela ramène au cas noethérien. On prouve de plus que l'hypothèse faite implique \(f\) quasi-affine (IV 8.11.2.) donc on est sous les conditions de a).

Élimination de la méthode globale : par réduction — au cas \(Y\) local ess. de type fini sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}\), et passage aux complétés et récurrence sur la dimension : on montre que le passage au complété est compatible avec l'opération de fermeture intégrale (IV 6.14.4.) « local ess. » est un ajout interlinéaire

67

1. c)Élimination de l'hypothèse : […] on remplace « \(f\) « \(f\) de présentation finie », […] (il reste \(f\) quasi-fini séparé).

Ou bien En supposant \(f\) quasi-projectif : fini, et faisant un argument de passage à la limite dans \(X = \varprojlim X_i\).

Ou bien on peut Mais on prouve par ailleurs que \(f\) est nécessairement quasi-affine (donc quasi-projectif) (IV 18.12.12) par la technique de localisation étale, en utilisant pour « descendre » la prop IV 17.7.4. i.e. IV.11.3.16 (assez délicate, […] utilisant la prop : la limite des platitudes). // On notera que la technique de localisation étale utilise cependant le Main Theorem (local en haut) tel qu'il est contenu dans b) ; à ce stade, — — le choix entre la démonstration chronologique globale, — ou démonstration purement locale… « (IV 18.12.12) » et « i.e. IV.11.3.16 » sont des ajouts interlinéaires, appelés par des crochets ; « globale » de même, au-dessus de « chronologique »

Morphismes ess. affines de prés. finie

69Soit \(f : X \to Y\) un morphisme. Considérons les conditions

1. (i)\(f\) est la \(\varprojlim\) d'un syst. projectif filtrant ess. affine des \(Y\)-préschémas de prés. finie
2. (ii)\(f\) est égal à un composé \(X \xrightarrow{f_1} X_0 \xrightarrow{f_0} Y\), avec \(f_0\) de prés. finie et \(f_1\) affine
3. (iii)Comme (ii), mais avec \(X = \operatorname{Spec}(\mathcal{A})\), \(\mathcal{A}\) Alg. quasi-cohérente sur \(X_0\) qui est \(\varinjlim\) d'une famille filtrante d'Algèbres de prés. finie sur \(X_0\).

Alors (i) \(\Longleftrightarrow\) (iii) \(\Longrightarrow\) (ii), et tout est équivalent si \(Y\) est loc. noeth.

Définition On dit que \(f\) est ess. de prés. finie s'il satisfait la condition (ii). On dit que \(X\) est ess. de prés. finie si \(X \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}\) est ess. de pr. finie.

N.B. Alors \(f\) ess. pr. f. \(\Longrightarrow\) \(f\) qu. cpt qu. sép.

Prop

1. (i)Prés. finie \(\Rightarrow\) ess. prés. finie ; affine + but loc. noeth ou qu. cpt qu. sép avec faisceau inv. ample \(\Rightarrow\) ess. pr. f. ; \(f\) imm. qu. cpte + but qu. cpt qu. sép. \(\Longrightarrow\) ess. prés. finie. « qu. sép » est un ajout interlinéaire entouré d'un cercle
2. (ii)Stabilité changement de base
3. (iii)Stabilité composition
4. (iv)Si \(g\) […] ess. pr. f. (et \(S\) qu. cpt qu. sép., ou si \(g\) est de pr. f.), alors : \(gf\) est ess. pr. f. \(\Longrightarrow\) \(f\) l'est la parenthèse est un ajout interlinéaire écrit au-dessus de la ligne et relié par un trait ; « ess. pr. f. » après \(gf\) est lui aussi interlinéaire, au-dessus du mot biffé

Prop Supposons \(S\) univ. japonais, p. ex. \(S = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}\). Alors si \(X\) est géom. unibr. ess. pr. f. sur \(S\), pour que \(X\) soit géom. unibr., il f. et s. qu'il soit de la forme \(\varprojlim X_i\), avec les conditions habituelles, et de plus les \(X_i\) géom. unibranches (resp. normaux).

Morphismes essentiellement affines

70\(f : X \to Y\) est dit ess. affine s'il se factorise en \(X \xrightarrow{f_1} X_0 \xrightarrow{f_0} Y\), avec \(f_0\) de prés. finie […] et \(f_1\) affine. Il revient au même, si \(Y\) est loc. noethérien, que \(X\) est isomorphe à la \(\varprojlim\) d'un système projectif filtrant de préschémas ess. affine des \(Y\)-préschémas de prés. finie (= de type fini).

1. (i)Un morphisme affine, un morphisme de prés. finie, sont ess. affines.
2. (ii)

le (ii) est resté vide ; le feuillet s'arrête là

Préschémas dont les anneaux locaux réduits sont des corps

titre de l'éditeur ; le feuillet s'ouvre sur « \(X\) préschéma. Conditions équivalentes »

72\(X\) préschéma. Conditions équivalentes

1. (i)Tt pt fermé
2. (ii)Tt pt admet un voisinage ouvert loc. cpct
3. (ii b)idem, cpct un long trait tient lieu de la ligne précédente, suivi de « cpct »
4. (ii ter)Tout ouvert affine est cpct.
5. (ii quater)(si \(X\) quasi-séparé) \(X\) est loc. cpct
6. (iii)Les anneaux locaux de \(X_{\mathrm{réd}}\) sont des corps.
7. (iv)\(X^{\mathrm{cons}} \to X\) est un […] homéomorphisme (ou : un iso)
8. (iv bis)Toute partie loc. constructible est ouverte « ind-constr. » est écrit au-dessus de « constructible » ; le numéro suivant est biffé et illisible
9. (iv ter)(si \(X\) qu. séparé) Toute partie loc. constructible est ouverte
10. (iv quater)( ) Toute partie ouverte affine est fermée

les numéros (iv bis), (iv ter), (iv quater) sont récrits en surcharge sur « (v bis) », « (v ter) », « (v quater) », et les renvois ci-dessous gardent la numérotation en (v) ; les conditions (i)–(iii) sont réunies par un crochet, (iv)–(iv quater) par une accolade

(i) \(\Longleftrightarrow\) (iii) trivial

(iv) \(\Longleftrightarrow\) (v) if

(v) \(\Longleftrightarrow\) (v bis) if

(v bis) \(\Longrightarrow\) (v ter) \(\Longleftarrow\) (v quater) if

(iv) \(\Longrightarrow\) (ii) if « et variantes / version bis » sous la ligne

(ii) \(\Longrightarrow\) (i) if

(i) \(\Longrightarrow\) (v quater) Car l'adhérence est formée des spécialisations […] de \(\mathcal{U}\)

N.B. Tt esp. loc. cpct tot. discontinu muni d'un faisceau d'anneaux dont les fibres sont des corps, est un préschéma (loc. cpct réduit )

Cor Cond. équiv. (i) \(X\) « loc. compact » (pas néc. séparé) réduit ; (ii) Tout Module sur \(X\) plat ; (ii bis) Tout Module qu. coh. de prés. finie sur un ouvert affine de \(X\) est plat ; (ii ter) (si \(X\) qu. sép) tt Module qu. coh. sur \(X\) […] est \(=\) plat. (iii) \(X^{\mathrm{cons}} \to X\) est un iso d'espaces annelés. à droite de « (i) \(X\) », un renvoi en accolade vers la phrase « Car l'adhérence… » ci-dessus

Tapuscrit : descente effective des faisceaux étales (théorème 9.4)

un seul feuillet dactylographié, paginé 41 au crayon en haut à droite ; ses annotations manuscrites sont des consignes de mise en page pour la dactylographe (« pas d'interligne suppl. », « centrer », « replacer à la ligne », « centrer ») et ne sont pas reproduites

73p. 41 du tapuscrit après le changement de base \(X' \to X\), et on applique la partie déjà prouvée de 9.1. Le morphisme \(u : F \to G\) répond alors à la question, cqfd.

Théorème 9.4. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme surjectif de préschéma. On suppose que l'une des hypothèses suivantes est vérifiée :

1. a)\(f\) est entier.
2. b)\(f\) est propre.
3. c)\(f\) est plat et localement de présentation finie.
4. d)\(X\) est discret (p.ex. le spectre d'un corps).

Alors \(f\) est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée \(\mathcal{F}\) sur \((\mathrm{Sch})\) des faisceaux étales sur des préschémas variables, i.e. le foncteur \(f^*\) induit une équivalence de la catégorie des faisceaux sur \(X\) avec la catégorie des faisceaux sur \(X'\), munis d'une donnée de descente relativement à \(f : X' \to X\).

9.4.1. Soit \(F'\) un faisceau sur \(X'\), muni d'une donnée de descente relativement à \(f : X' \to X\). On définit alors un foncteur \(G : X^{\circ}_{\text{ét}} \to (\mathrm{Ens})\) par la formule \[ G(Y) = \operatorname{Ker}\big(F'(Y') \rightrightarrows F''(Y'')\big). \] On constate aussitôt que \(G\) est un faisceau pour la topologie étale, d'autre part on a un homomorphisme canonique injectif \(G \to f_*(F')\), le tapuscrit s'interrompt ici ; la suite n'est pas dans ce lot

La condition \((h_0)\) : parties ouvertes et fermées et changement de base

titre de l'éditeur ; le feuillet s'ouvre sur « Condition \((h_0)\) ». \(\mathrm{OF}(S)\) désigne dans toute la suite l'ensemble des parties ouvertes et fermées de \(S\) ; les deux lettres sont tracées en un seul signe ligaturé

74Condition […] \((h_0)\) pour \(f : T \to S\) : l'application \(\mathrm{OF}(S) \to \mathrm{OF}(T)\) injective (\(\Longleftrightarrow\) \(\forall\,\mathcal{U}\) partie ouverte et fermée de \(S\) non vide, \(f^{-1}(\mathcal{U})\) est non vide \(\Longleftrightarrow\) \(S' \mapsto T' = T \times_S S'\) des revêtements de \(S\) aux rev. étales de \(T\) est plt conservatif) ; \(\Longrightarrow\) \(S' \mapsto T'\) pleinement est fidèle. le membre après \(\Longrightarrow\) est ajouté en dessous de la ligne ; le « \(\forall\) » et le « \(\Longleftrightarrow\) » qui le précèdent sont surchargés

Si \(S\) connexe \(\neq \emptyset\), cette condition équivaut : \(T \neq \emptyset\). « \(\neq \emptyset\) » est un ajout au-dessus de la ligne

Si \(S = \coprod_i S_i\), les \(S_i\) connexes non vides, la condition équivaut à \(f^{-1}(S_i) \neq \emptyset\) pour tt \(i\).

N.B. Si \(f\) est […] […], il suffit d'avoir \((h_0)\) fibre par fibre en marge de gauche, relié par une accolade à la proposition qui suit

Prop Supposons que Soit \(f : T \to S\) un morphisme de \(k\)-préschémas (\(k\) un corps) et \(\uncertain{R'}\) un \(k\)-préschéma. extension de \(k\), Alors \(f' : T' \to S'\) déduit par changement de base. Alors si \(f\) satisfait \(h_0\), et \(f'\) satisfait item ; réciproque vraie si \(\uncertain{R'} \neq \emptyset\). sous la ligne, « ou \(R' \neq \emptyset\) », dont le premier mot est biffé

Si \(f'\) satisfait \(h_0\), il en résulte que \(f\) y satisfait, car [\(S' \to S\) est surjectif, une partie ouverte et fermée] de \(S\) dont l'image inverse dans \(S'\) est \(\emptyset\) est \(\emptyset\).

Inversement, si \(f\) satisfait \(h_0\), alors \(f'\) item. Ceci est vrai : […] fibre par fibre, donc on peut supposer \(R' = \operatorname{Spec} k'\), \(k'\) corps. On peut supposer \(k'\) alg. clos, puis on est

75ramené au cas où \(k'\) est la clôture alg. de \(k\). Mais alors l'image de […] de \(S\) est une partie fermée et stable par […] l'image, pour un \(\mathcal{U}'\) de \(S'\), d'une partie ouverte et fermée de \(\mathcal{U}'\) par \(\operatorname{Gal}(k'/k)\), est un ouvert, et donc l'image inverse de l'image directe (fermée) \(\mathcal{U}\) de \(\mathcal{U}'\) dans \(S\), est aussi fermée, ce qui implique que \(\mathcal{U}\) est aussi ouvert et fermé, et comme son image inverse dans \(T\) est \(\emptyset\), \(\mathcal{U}\) est \(\emptyset\), donc \(\mathcal{U}' = \emptyset\). les quatre premières lignes sont un palimpseste : deux lignes biffées, deux ajouts interlinéaires, et le « \(\mathcal{U}\) » qui nomme l'image directe est écrit en exposant au-dessus de « (fermée) » ; l'ordre des membres est celui que l'éditeur a cru lire

Cf simplification éventuelles de EGA IV 4

Corollaire 1 Supposons que \(f : T \to S\) satisfasse \(h_0\), et que \(R'\) sur \(k\) soit \(\neq \emptyset\). Alors le diagramme

\begin{tikzcd}
  \mathrm{OF}(S) \arrow[r, hook] \arrow[d] & \mathrm{OF}(T) \arrow[d] \\
  \mathrm{OF}(S') \arrow[r, hook] & \mathrm{OF}(T')
\end{tikzcd}

est cartésien.

En effet, \(\mathrm{OF}(S) \to \mathrm{OF}(T)\) est injectif, il en est de même donc de \(\mathrm{OF}(S) \to \mathrm{OF}(T) \times_{\mathrm{OF}(T')} \mathrm{OF}(S')\), prouver que c'est surjectif. Soit donc \(V \in \mathrm{OF}(T)\) dans l'image des \(\mathrm{OF}(T')\) provenant de \(\mathcal{U}' \in \mathrm{OF}(S')\), prouver que \(\mathcal{U}'\) provient de \(\mathcal{U} \in \mathrm{OF}(S)\). Immédiat par descente, en utilisant que \(\mathrm{OF}(S'') \to \mathrm{OF}(T'')\) est injectif…

76feuillet de croquis : trois diagrammes et quelques lignes, sans titre

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  A_0 \quad B_0 \arrow[d] & & A \quad B \arrow[d, no head] & \\
  S_0 \arrow[r] \arrow[dd] & T_0' \arrow[ddl] & S \arrow[dd, no head] \arrow[r, leftrightarrow] & T' \arrow[ddl] \\
  & & & \\
  T_0 \arrow[rr, no head] & & \operatorname{Spec} k = T &
\end{tikzcd}

\[ A_{0\,T_0'} \to B_{0\,T_0'} \]

\(A \quad B \qquad A_T \to B_T \qquad\) se prolonge en \(A \to B\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  S & T \arrow[l] \\
  S' \arrow[u] \arrow[r] & T' \arrow[u] \\
  S'' \arrow[u] \arrow[r] & T'' \arrow[u, no head]
\end{tikzcd}

• toute partie ouverte et fermée de \(S''\) dont l'image inverse sur \(T''\) est vide, est vide. (\((h_0)\) sur \(T'' \to S''\))
• \(S' \to S\) morphisme de descente pour catégorie des schémas […] relatifs

\(\Downarrow\)

[…] \(\exists\) au plus un \(u : A \to B\) induisant \(v : A_T \to B_T\) donné. Pour qu'il en existe un, il f. et s. qu'il en soit de même après changement de base \(S' \to S\).

Conditions équivalentes pour \(Y \to X\) : composantes connexes et revêtements étales

titre de l'éditeur ; deux feuillets au crayon, pages 77 et 79, qui reprennent la même liste sous deux formes. Le haut de la page 77, au-dessus d'un trait horizontal, porte des croquis étrangers à cette liste, relevés en tête

77

\begin{tikzcd}
  \bar Y \arrow[r] \arrow[d] & \bar X \arrow[d] \\
  Y \arrow[r] & X
\end{tikzcd}

\(\struck{X'} \rightrightarrows Y\), \(\Omega^1\), \(\struck{\Omega^1_{X/Y}}\), \(\uncertain{\Omega^1_{X'} - \Omega^1_{X'/Y'}}\), […] croquis au crayon, au-dessus du trait : un \(X'\) biffé d'où partent deux flèches vers \(Y\), trois \(\Omega\) dont un biffé, et un mot illisible sous le trait

\(Y \to X\) — Conditions équivalentes

1. (i bis)(\(\forall\, X, Y\) loc. noeth) Pour tout \(X'\) f. étale sur \(X\), posant \(Y' = Y \times_X X'\), […] \(\pi_0(Y') \to \pi_0(X')\) est surjectif (bijectif) « i.e. \(X' \neq \emptyset\) resp. \(X'\) connexe non vide) » et, biffé, « implique \(Y'\) item. » suivent en dessous ; le numéro est surchargé
2. (i)Pour tout \(X'\) comme dessus, \(\mathrm{OF}(X') \to \mathrm{OF}(Y')\) inj. (bij)].
3. (ii)\(\Gamma(X'/X) \to \Gamma(Y'/Y)\) est injectif (bijectif)
4. (iii)Le foncteur \(X' \mapsto Y' = X' \times_X Y\) de la catégorie des rev. étales finis de \(X\) en celle des rev. étales finis de \(Y\) est fidèle (plein. fidèle)

(i bis) et (i) sont reliés par une double flèche verticale marquée « tr », de même (ii) et (iii). Deux flèches courbes en marge de gauche : de (iii) vers (i), « considération des graphes » ; de (i) vers (iii), « par considération des Hom », avec un mot biffé ; et sous elles : « Car \(\mathrm{OF}(X') \simeq \Gamma(\uncertain{I_{X'}}/X')\) »

Tapuscrit : démonstration de (i) par récurrence noethérienne

un feuillet dactylographié, paginé 24 au crayon en haut à droite, corrigé de sa main : les corrections sont portées dans le texte et signalées

78p. 24 du tapuscrit Démonstration. (i). Par récurrence noethérien[ne] et (2.4 (i)), il suffit de démontrer que \(f_* F'\) est localement constant et constructible sur un ouvert non-vide convenable. « ne » ajouté à la main ; « convenable » remplace « quelconque » biffé ; « (2.4 (i)) » est écrit à la main dans un blanc du tapuscrit C'est donc une assertion locale sur \(X\). Soit \(x\) un point maximal de \(X\). En remplaçant \(X\) par un revêtement étale d'un voisinage de \(x\), on peut supposer que chaque point \(x'\) de \(X'\) au dessus de \(x\) est radiciel sur \(x\). dessus. Alors \(s : X' \to X\) est somme de morphismes radiciels dans un voisinage de \(x\) (EGA IV.9.6.1). « EGA » ajouté à la main au-dessus de la référence Rétrécissant Remplaçant \(X\) encore, on peut supposer que \(f\) est somme de morphismes radiciels, et de plus que \(F'\) est constant (et constructible) sur \(X'\). Alors \(f_* F'\) est produit d'un nombre fini de faisceaux constructibles constants, et est donc constructible et constant. « Rétrécissant » et le « \(X\) » qui suit « encore » sont de sa main ; le feuillet s'arrête là, le reste de la page est blanc

79\(Y \xrightarrow{f} X\) — Cond équivalentes

1. (i)Pour tout \(X'\) étale sur \(X\), \(\mathrm{OF}(X') \to \mathrm{OF}(Y')\) est bij. (inj)
2. (i bis)(\(\forall\, X, Y\) loc. noeth) \(X' \to X\), \(\pi_0(Y') \to \pi_0(X')\) surj (bij)
3. (ii)\(X' \mapsto Y' = X' \times_X Y\) est fidèle (pl. fidèle) avec réserve
4. (iii)[Cas […] un pt] \(f(Y)\) dense dans \(X\)

les numéros (i bis), (ii), (iii) sont surchargés ; un crochet à droite de (ii) porte la réserve

(i) \(\Longleftrightarrow\) (i bis) comme avant

(ii) \(\Longrightarrow\) (i) item

(i) \(\Longrightarrow\) (ii) comme avant tant qu'on se borne aux schémas séparés sur \(X\), ou qu'il ne s'agit que de l'énoncé […] « inj ». Sinon, il semble qu'il faille supposer \(f\) universellement […] et reste tel après changement de base […]. // Cependant, si \(X, Y\) sont ess. pr. f. et qu'on met des conditions stables pour tt changement de base fini, alors c'est de nouveau OK. (cf SGAA)

\begin{tikzcd}
  Y' \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X' \arrow[d, no head] \\
  Y \arrow[r, no head] & X
\end{tikzcd}

Croquis : images directes et changement de base

titre de l'éditeur. Feuillet de croquis à l'encre, tracés en travers d'un tapuscrit filmé tête-bêche qui n'est pas de sa main et n'est pas transcrit ; ne sont relevés que les formules et diagrammes

80\(V \subset C\) — […]

\[ i_*(\Lambda_V) = \Lambda_C, \qquad R^1 i_*(\Lambda_V) = \uncertain{\mathcal{H}^{-1}_{Z,C}} \] le second membre est souligné deux fois ; « 2.14. » en dessous

\(1 + \varepsilon'\) — \(\uncertain{\pm P(C)}\)

\begin{tikzcd}
  \bar Y \arrow[r] \arrow[d] & \bar X \arrow[d] \\
  Y \arrow[r] & X
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
  \bar Y \arrow[r, "u^{\prime}"'] \arrow[d, "p_Y"'] & \bar X \arrow[d, "p"] & \bar F \\
  Y \arrow[r, "u"'] & X &
\end{tikzcd}

\(F\) — \(X' \xrightarrow{p} X\) — \(p_*(F)\)

\[ \uncertain{u^*}\big(R^i p_*(\bar F)\big) \to R^i p_{Y*}\big(u'^*(\bar F)\big) \] deux boîtes en perspective, dessinées à droite, ne sont pas reproduites