Cote n° 23 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · EGA IV. Compléments : notes manuscrites (s.d.), lettres (1966, 1968), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1966-1968
Édition de démonstration

Lettre et errata de Lê Dũng Tráng (11 janvier 1968) : EGA IV, §§ 20–21

43Lettre de Lê Dũng Tráng, de sa main, datée « Paris le 11/01/68 », adressée « à Monsieur le Professeur A. Grothendieck, IHES, Bures s/Yvette ». Elle accompagne les trois feuillets d'errata qui suivent, numérotés ①, ②, ③ par lui en haut à gauche.

Monsieur le Professeur,

Ayant égaré les feuilles sur lesquelles étaient relevés les errata, aussi je me permets de vous envoyer si tardivement ces nouvelles-ci. Les errata ont été relevés pour la plupart dans les définitions. Je ne sais pas s'ils entravent des démonstrations car celles-ci faisaient intervenir des éléments de mathématiques que je ne possède pas comme les idéaux associés ou la profondeur d'un anneau. Pardonnez donc la trivialité de ces errata.

Veuillez agréer, Monsieur le professeur, l'expression de mes sentiments respectueux et de ma profonde admiration.

44Feuillet ① des errata, de la main de Lê Dũng Tráng. La première indication (« A la place de … lire : ») est ajoutée en petit au-dessus de la première ligne, après coup ; elle est rendue ici à sa place logique.

(20.1.3) A la place de « Nous allons nous intéresser… n'est autre que l'ensemble des éléments réguliers de \(\mathcal{O}_X\) » lire : « Nous allons nous intéresser ici au cas où \(\mathcal{S}\) est le sous-faisceau \(\mathcal{S}(\mathcal{O}_X)\) de \(\mathcal{O}_X\) tel que pour tout ouvert \(U\), \(\Gamma(U, \mathcal{S})\) soit l'ensemble des éléments réguliers de l'anneau \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) dont la restriction à tout ouvert \(V \subset U\) est encore régulière dans \(\Gamma(V, \mathcal{O}_X)\). Il est immédiat qu'il s'agit d'un faisceau car un élément est dans \(\Gamma(U, \mathcal{S})\) si et seulement si il est dans \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) et tous ses germes en tout point \(x\) de \(U\) sont des éléments réguliers de \(\mathcal{O}_{X,x}\). Il faut remarquer que \(\mathcal{S}(\mathcal{O}_X)_x\) n'est pas toujo nécessairement l'ensemble des éléments réguliers de \(\mathcal{O}_{X,x}\). »

(20.1.4) au lieu de : « qui n'est autre que un [l']anneau total des fractions de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) », — lire : « qui est un anneau de fractions à dénominateurs dans une partie multiplicativement stable composée d'éléments réguliers ». le « l' » est de la main de Lê, porté au-dessus du « un » biffé ; il n'est pas de l'éditeur.

(20.1.8) à la place de : « en effet, si \(s \in \Gamma(U, \mathcal{S}(\mathcal{K}_X))\) … inversible dans cet anneau de fractions », — lire : « en effet, si \(s \in \Gamma(U, \mathcal{S}(\mathcal{K}_X))\), pour tout \(x \in U\) il existe un voisinage ouvert \(V \subset U\) de \(x\) tel que \(s|V\) soit un élément régulier de \(\Gamma(V, \mathcal{O}_X)[\Gamma(V, \mathcal{S})^{-1}]\) dont toutes les restrictions à des ouverts \(W\) inclus dans \(V\) sont des éléments réguliers de \(\Gamma(W, \mathcal{O}_X)[\Gamma(W, \mathcal{S})^{-1}]\) et on sait que dans ce cas \(s|V\) est inversible dans \(\Gamma(V, \mathcal{O}_X)[\Gamma(V, \mathcal{S})^{-1}]\). »

(20.1.11) Remplacer « \(\mathcal{S}_f(U)\) l'ensemble des sections régulières \(s \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) telles que », — par : « \(\mathcal{S}_f(U)\) l'ensemble des sections régulières \(s \in \Gamma(U, \mathcal{S})\) telles que de \(\mathcal{O}_X\) au dessus de \(U\) telles que… » au-dessus du premier « telles que » biffé, un « que » est repris en interligne ; il ne modifie pas la lecture.

45Feuillet ② des errata.

(21.1.5) A la place de : « Le faisceau \(\mathcal{S}(\mathcal{O}_X)\) … les éléments réguliers de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) », lire : « Le faisceau \(\mathcal{S}(\mathcal{O}_X)\) (20.1.3) dont les sections au-dessus d'un ouvert \(U\) de \(X\) sont les éléments réguliers de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) dont toutes les restrictions aux ouverts \(V\) inclus dans \(U\) sont encore des éléments réguliers ».

(21.1.6) A la fin du paragraphe au lieu de : « il existe un élément régulier \(t\) de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)… » lire « il existe un élément régulier \(t\) de \(\Gamma(U, \mathcal{S}(\mathcal{O}_X))\) ».

(21.2.9) Après la ligne (21.2.9.1) lire :

« qui est un isomorphisme : en effet si \(U\) est un ouvert de \(X\) tel que \(\mathcal{J}|U = \mathcal{O}_U \cdot f\) où \(f \in \Gamma(U, \mathcal{K}_X^*)\), d'après (21.2.2) on déduit que l'on a un isomorphisme restreint à \(U\) un isomorphisme de qui à toute section \(t\) de \(\mathcal{K}_X(\mathcal{J})|U\) au-dessus de \(V \subset U\) fait correspondre une section \(\bar{t}\) de \(\mathcal{K}_X|U\) au-dessus de \(V \subset U\) ; restreint à \(U\) l'isomorphisme (21.2.9) est celui qui à toute section \(t\) de \(\mathcal{K}_X(\mathcal{J})|U\) au-dessus de \(V \subset U\) fait correspondre la section \(\bar{t}\,(f|V)\) au-dessus de \(V \subset U\). Dans l'isomorphisme (21.2.9.1) … »

(21.2.9) Après la ligne (21.2.9.2) lire :

« et on désigne par \(s_D\) la section méromorphe régulière de \(\mathcal{O}_X(D)\) au-dessus de \(X\) qui correspond par cet isomorphisme à la section \(1\) de \(\mathcal{K}_X\). Si \(U\) est un ouvert de \(X\) tel que \(\mathcal{O}_X(D)|U = \mathcal{O}_U \cdot f^{-1}\) où \(f \in \Gamma(U, \mathcal{K}_X^*)\) et si on a \(D|U = \operatorname{div}_U(f)\). De plus pour un tel \(U\) on a un isomorphisme de \(\mathcal{K}_X(\mathcal{J})|U\) sur \(\mathcal{K}_X|U\) qui à toute section \(t\) au-dessus de \(V \subset U\) fait correspondre \(\bar{t}\) ; cet isomorphisme fait correspondre à \(s_D|U\) la section \(f\) de \(\Gamma(U, \mathcal{K}_X^*)\) donc : \[ (21.2.9.3) \qquad \operatorname{div}(s_D) = D . \] dans « \(\mathcal{O}_X(D)|U = \mathcal{O}_U \cdot f^{-1}\) » le « \((D)\) » et l'exposant \(-1\) sont repassés à l'encre par-dessus une première écriture ; la lecture retenue est celle de la correction.

46Feuillet ③ des errata.

(21.2.12) à la première ligne ajouter l'hypothèse condition : « localement noethérien » entre « préschéma » et « \(X\) ».

(21.3.6) le numéro est barré de hachures croisées et rien ne le suit : l'erratum prévu a été abandonné.

(21.6.2) fin du paragraphe lire \(\mathfrak{Z}^p(X)\) au lieu de \(Z^p(X)\).

EGA IV 18 ; EGA VI

Un seul feuillet, de sa main, à l'encre, rapide ; l'intitulé de la section reprend ses deux titres, « EGA IV 18 » en tête et « EGA VI » au milieu du feuillet. Le second bloc est séparé du premier par un trait horizontal.

48

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "u"'] \\
Y
\end{tikzcd}

non ramifié

\(U\) […] ouvert schématiquement dense de \(Y\)

\(Y_0\) sous-schéma fermé de \(Y\), tel que \(|Y_0| = |Y|\)

\(u_U\) une […] section de \(X\) sur \(U\)

\(u_{Y_0}\) une section de \(X\) sur \(Y_0\) la seconde ligne est écrite par un trait de rappel sous « une section de \(X\) sur », suivi de « \(Y_0\) » : le « une section de \(X\) sur » est sous-entendu par lui, non ajouté par nous.

\(u_U\) et \(u_{Y_0}\) coïncident sur \(U_0 = Y_0 \cap U\).

Alors \(\exists !\) section \(u\) de \(X\) sur \(Y\), dont les restr. : \(Y_0\) et \(U \mapsto u_{Y_0}\) et \(u_U\).

EGA VI

\begin{tikzcd}[column sep=small]
X \arrow[d, "\text{non ram.}"'] & & \\
Y & Y' \arrow[l, "\text{loc. noeth. fini épim.}"'] & Y'' \arrow[l, bend left=20] \arrow[l, bend right=20]
\end{tikzcd}

\(Y'' \to Y' \times_Y Y'\) surjectif le « noeth. » sous la flèche \(Y' \to Y\) est surchargé et se lit comme biffé — ce serait cohérent avec la note marginale qui suit — mais la biffure n'est pas certaine et le mot est laissé dans le diagramme.

On doit pouvoir éliminer l'hyp. loc. noeth. et remplacer fini par entier note verticale en marge droite, à hauteur du diagramme, le dernier mot souligné.

Alors \(X(Y) \to X(Y') \rightrightarrows X(Y'')\) est exact

Corollaire des deux Variante en remplaçant \(Y_0\) par un \(Y'\) fini surjectif sur \(Y\)

Corollaire Si \(f : X \to Y\) est […] […]… la dernière ligne s'interrompt sur des points de suspension de sa main ; les deux mots entre « est » et les points n'ont pas pu être lus (le premier pourrait être « un. », le second commence par « f »).

Suites régulières — Th. 11.2.9 de Raynaud

L'intitulé est de sa main, sur un feuillet par ailleurs blanc (la page 49), en haut à droite, « Suites régulières » souligné : c'est la couverture du dossier qui suit.

50Feuillet à en-tête de l'IHES, de sa main, au crayon.

Applications de 11.2.9 dans la suite du Chap. IV

11.3.4. (i)

11.3.8. b')

17.12.1. c')

19.2.4. c')

19.4.6. (ii)

À signaler […] remarques ? « À signaler » et « remarques » sont soulignés ; le mot biffé entre eux est court et ne se lit pas.

51Feuillet à en-tête de l'IHES, de sa main, à l'encre.

Suites régulières, immersions régulières

\(0_{\mathrm{IV}}\) 15

IV 11.3.7. 11.3.8.

IV 16.9.

IV 19.

IV 21.15.

Lettres Deligne 17. Oct. 66. et 29 Oct. 66.

Notion d'immersion régulière dans le cas non noethérien : est-elle vraisemblable ?? Vérifier § 16 !! ce bloc de trois lignes est encadré de deux traits horizontaux et barré de deux longues diagonales ; il est transcrit comme biffé en entier. Les lettres Deligne des 17 et 29 octobre 1966 sont celles des pages 57–60.

52Tapuscrit, copie carbone, deux pages (52–53), sans en-tête ni signature ; le texte est à la première personne (« mon séminaire sur Riemann-Roch ») et se lit comme un post-scriptum de lettre. Les surfrappes de la machine deviennent , les mots frappés en interligne [].

PS Dans mon séminaire sur Riemann-Roch cette année, on doit manifpuler systématiquement les immersions régulières dans le cas non noethérien, et il apparait (hélas) que la notion introduite sous ce nom dans EGA 16.9.2. n'est pas la bonne notion. Un premier canular important, c'est que si \(A\) est un anneau local, et \(x, y\) deux éléments de son idéal maximal, il est facile de donner un exemple ou \((x, y)\) est une suite régulière, et \((y, x)\) ne l'est pas. La notion de suite régulière de générateurs d'un idéal ne jouit donc pas du tout des propriétés habituelles, comme celle qu'il suffise de prendre une base de \(J/J^2\) et de relever. Par suite, la notion d'immersion régulière n'a pas l'air de devoir se comporter comme il faut par localisation plate ou même étale, ce qui est un autre grave inconvénient, en entrainant toute sorte d'autres d'ailleurs. Il apparait maintenant que la notion vraiment serviable pour une suite \((f_1, \ldots, f_n)\) d'éléments d'un anneau (engendrant un idéal \(J\)) c'est que le complexe de l'algèbre extérieure construit avec soit nul en degrés \(0\). Alors on prouve que la suite est aussi quasi-régulière, et de plus que toute autre suite de [n] générateurs de \(J\) a la même propriété que celle énoncée pour \((f_1, \ldots, f_n)\). Il y aurait lieu alors de dire que \(J\) est un idéal régulier si localement il peut être engendré par une suite comme dessus (qu'on pourrait peut-être appeler « suite Koszul-régulière » ou « essentiellement régulière », si on tient à ne pas changer la terminologie des suites régulières), et à définir de façon correspondante la notion d'immersion régulière. Ces notions (suite K-régulière, idéal régulier, immersion régulière) se descendent bien par fpqc. Un composé de deux immersions régulières est itou, et les deux autres propriétés de transitivité de 19.1.5. (iii) revu semblent marcher encore sans hypothèse noethérienne (Berthelot en a déjà vérifié une, « complexe de l'algèbre extérieure construit avec soit nul » : le « avec » est suivi directement de « soit », sans le nom du complexe ; frappé ainsi. Le « n » de « suite de \(n\) générateurs » est frappé en interligne.

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en tous cas. De plus, bien entendu, pour ce qu'on veut en faire pour R.R., c'est bien la nouvelle notion d'immersion régulière qui fait tout marcher.

Du point de vue pratique, il me semble évidemment trop tard pour faire les changements désirables sur épreuves dans IV 16, 19. On peut cependant ajouter une remarque 19.1.8., dans laquelle nous ferions l'aveu que la la définition adoptée dans le texte de immersion régulière ns'est pas avérée peu maniable dans le cas non noethérien, et qu'il y aurait lieu de la modifier comme je viens de le dire, en référant le lecteur intéressé, [pour des détails] en attendant la réédition du Chap IV des EGA, au séminaire SGA 6 (qui devrait sortir vers la fin de l'année 67 ou début 68). De plus, à l'endroit du par. 16 ou on introduit la définition incriminée, nous pourrions insérer une note de bas de page, renvoyant le lecteur à la remarque 19.1.8. concernant cette définition. (NB Dans le par. 16, c'est en fait la notion quasi-régulière qui sert vraiment …). le passage « ajouter une remarque 19.1.8. … la définition incriminée » est marqué en marge gauche d'un double trait vertical au crayon.

Au moment de la réédition du Chap IV, il y aura lieu également de revoir \(0_{\mathrm{IV}}\) 15 dans le même esprit ; je prévois que l'on pourra également y remplacer partout les hypothèses « suite régulière », par l'hypothèse plus faible et plus maniable « suite Koszul-régulière ». S'il en est bien ainsi, il s'imposera alors, pour les suites également, de réserver le mot le plus court à la notion qui manifestement est la plus serviable, et il faudra envisahersic de changer […] notre terminologie, en disant « suite régulière » au lieu de « suite Koszul-régulière », et en réservant tout au plus un terme tel que « suite strictement régulière » à la notion éculée. Bien sûr, dans le cas noethérien, les trois variantes (régulière, quasi, et Koko) sont équivalentes.

Lettres Deligne

L'intitulé est de sa main, en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (la page 54) : couverture des lettres qui suivent. Les trois lettres sont de la main de Pierre Deligne, à l'encre, et sont classées dans l'ordre inverse des dates ; les annotations au crayon qu'elles portent sont de Grothendieck et sont rendues par .

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Bruxelles 5, le 15 décembre 1966

Cher Grothendieck,

Je lis aujourd'hui ta lettre du 28. Après avoir tourné 7 fois ma langue dans ma bouche, je répète mon objection à l'hypothèse « tout quotient de tout sous-module de \(M\) est séparé pour la topologie \(J\)-adique », qui n'est pas [en général] vérifiée pour \(M\) de type fini sur la \(A\)-algèbre \(B\), \(A\) et \(B\) noethériens, \(JB \subset R(B)\). « en général » est ajouté par Deligne en interligne, avec un signe d'insertion ; le [] le signale comme ajout de l'auteur de la lettre, non de l'éditeur. « n'est pas » est souligné.

Contre exemple : \(A\) noethérien local, \(J = \mathfrak{m}\)

\(B = A[[T]]\), \(M = B\)

comme \(A\)-module, \(B \simeq A_s^{\mathbf{N}}\), donc tout module quotient de \(A_s^{(\mathbf{N})}\) est quotient d'un sous-\(A\)-module de \(B\). Un Un module ayant un système dénombrable de générateurs n'a aucune raison d'être séparé ! l'indice \(s\) de \(A_s^{\mathbf{N}}\) et \(A_s^{(\mathbf{N})}\) est écrit ainsi et n'est pas expliqué dans la lettre.

Bien sûr, les démonstrations ne n'utilisent que des quotient et sous-modules comme \(B\)-modules.

J'essayerai encore une fois de lire 19.7.

Bien à toi

P. Deligne

P.S. Je rappelle que l'adresse où tu me touches le plus rapidement est : S.M. P. Deligne, Athénée Royal de Rösrath, BPS 8, FBA (forces belges en Allemagne)

P.S. Je commence à lire IV § 16. La démonstration de 16.1.5 est canulée, comme on le voit en prenant \(X = \operatorname{Spec}(k[T])\), \(Y = \operatorname{Spec}(k[T]) \sqcup \operatorname{Spec}(k)\), tous deux affins. le « 5 » de 16.1.5 est repassé en gras par-dessus un premier chiffre. En marge gauche, un croquis : deux accolades « \(Y\) » et « \(X\) » devant deux traits horizontaux superposés, celui de \(Y\) portant un point isolé au-dessus, et une flèche verticale descendante de \(Y\) vers \(X\) — la droite affine avec un point disjoint, au-dessus de la droite affine. Avec les notations de 16.1.15 (i), \(J = 0\), mais les voisinages infinitésimaux de \(Y\) ne sont pas […] triviaux en \(\operatorname{Spec}(k)\)

J'ignore si la proposition est vraie —

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Par ailleurs, même en admettant 16.1.5, 16.1.6 n'est pas convaincant en général : si \(B\) est de présentation finie sur \(A\), j'ignore si le noyau de \(A \to B\) est un idéal de type fini. C'est sans doute faux.

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Rösrath, le 29 octobre 1966

Cher Grothendieck,

Je te signale tout d'abord mon adresse en Allemagne, maintenant définitive (jusqu'au 1er juillet 67) : S.M. Pierre Deligne, Athénée royal, BPS 8, FBA (forces belges en Allemagne).

Je suis en train de lire EGA IV 19 que tu m'as envoyé.

a) remarque sur les hypothèses de séparation utilisées

L'hypothèse \((*)\) « tout quotient de tout sous-module de \(M\) […] (resp \(M^n\)) est séparé pour la topologie \(J\)-adique » me semble idiote :

(i) elle n'implique pas n'est pas impliquée par l'hypothèse de finitude relative noethérienne standart : « \(M\) fini sur la \(A\)-algèbre noethérienne \(B\), \(A\) noethérien, et \(JB \subset R(B)\) » qui elle est naturelle. ? un point d'interrogation au crayon, en marge gauche, contre un trait vertical qui couvre l'énoncé (i).

(ii) le seul exemple non trivial indiqué où cette hypothèse est vérifiée, soit 19.5.6 (ii), est canulé, car […] dans \((*)\) on ne se limite pas à prendre des quotients par des sous-modules gradués. Err […] « Err », souligné, au crayon, en marge gauche à hauteur de (ii) ; au-dessous, deux mots au crayon écrits en oblique et soulignés d'un trait montant, dont le premier pourrait se lire « ja » et le second n'a pas été lu ; une parenthèse ouvrante couvre les deux dernières lignes de (ii).

[exemple : \(A = B[T]\), \(M = N[T]\), \(N\) est un \(A\)-module, \(T\) agissant par \(1\), et ce \(A\)-module est quotient de \(M\)] ! un point d'exclamation au crayon en marge gauche de l'exemple ; le \(N\) de « \(N\) est un \(A\)-module » est repassé sur une autre lettre.

Je crois qu'il faut éviter d'employer des hypothèses de séparation qu'on ne rencontre pas dans la nature, comme « idéalement séparé » etc., et se limiter à utiliser (i) — J'avoue toutefois, avec honte, que dans le même geste sacrilège je serais prêt à supposer tous les schémas séparés et noethériens…

Sinon, pour coiffer (i) et \((*)_{\mathrm{resp}}\) on pourrait prendre :

\(\forall f : N \to P\), si \(N\) et \(P\) sont finis sur \(A\), \(\operatorname{Ker}(M \otimes N \to M \otimes P)\) est \(J\)-séparé. ! un point d'exclamation au crayon et une parenthèse en marge gauche contre l'énoncé. Le \(P\) y est écrit trois fois par-dessus un \(M\) ; dans le noyau, ce qui précède \(M \otimes P\) est biffé et surchargé, et l'on retient la lecture corrigée.

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b) réponse à 19.5.6. (iii)

l'implication b) \(\Rightarrow\) c) de 19.5.5 est vraie sans qu'on doive faire aucune hypothèse de séparation. Pour le voir, il suffit de lire le cas \(n = 1\) de la démonstration « à la Schwartz ».

Vu l'urgence que tu m'as signalée, et bien qu'il soit peut-être trop tard, je joins une rédaction de la démonstration (copiée sur la primitive)

— Je n'ai pas encore compris 19.7.

— J'ai beaucoup aimé le projet EGA I § 0 jusqu'à la pg 10, où la topologie du spectre tombe du ciel. Ne faudrait-il pas parler de topologie avant de parler d'espace topologique ?

— Je ne suis pas capable de rédiger une théorie naïve utilisable des intersections, et n'ai pas d'autre remarque à faire sur le « plan des EGA » pour le moment

Bien à toi

P. Deligne

59Lettre paginée 1 et 2 par Deligne (pages 59 et 60) ; elle s'interrompt au bas de la page 60 au milieu d'une démonstration et se poursuit dans le lot suivant.

Bruxelles 5, le 17 octobre 1966

Cher Grothendieck,

J'ai bien reçu ta lettre.

Je n'ai pas l'intention d'essayer de démontrer, cette année, le « théorème de Lefschetz vache ». J'espère donc que tu trouves quelqu'un qui le fasse.

J'ai été malade au début du mois et, comme lecture de convalescence, je lis EGA IV. Je ne sais pas si tu collectionnes déjà les errata et compléments pour EGA \(0_{\mathrm{IV}}\) ; je t'envoie toujours ceux qui suivent.

\(0_{\mathrm{IV}}\) 19.3.12 est canulé : il faut prendre pour \(W_\lambda\) l'ensemble des homomorphismes d'algèbre \(B \to C_\lambda\) qui relèvent \(B \to C_\lambda / J_\lambda\), et ce n'est pas une variété linéaire [on n'a pas \(J_\lambda^2 = 0\)] — Pour faire marcher l'argument, il faudrait savoir que pour \(A\) artinien, l'ensemble des parties de \(A^I\) définies par […] des équations \(P(x_i) \in \mathfrak{b}\) (\(\mathfrak{b}\) idéal) jouit d'une propriété de compacité. C'est faux pour \(I\) infini, déjà pour \(A\) un corps infini [\(I = k \cup \{\infty\}\), parties \((x_\infty - a)\, y_a = 1\), les \(\cap\) finies sont non vides, l'\(\cap\) est vide] — Je crois qu'il n'y a pas d'espoir. oui « oui » au crayon, entouré, en marge gauche sous le numéro \(0_{\mathrm{IV}}\) 19.3.12 ; « canulé » et « algèbre » sont soulignés par Deligne.

\(0_{\mathrm{IV}}\) 17.3.4 Je te signale une jolie démonstration cohomologique de ce résultat, qui fournit un résultat plus complet (lequel se trouve dans Northcott)

Th. de Auslander au crayon, entre parenthèses, en marge gauche devant « prop ».

prop : \(A\) local noethérien, \(M\) de type fini sur \(A\), non nul, et de dimension projective finie. Alors \[ \dim\operatorname{proj}(M) = \operatorname{prof} A - \operatorname{prof} M . \]

on utilise la formule suivante, valable pour un complexe parfait \(L\) \[ R\operatorname{Hom}(K, L) = R\operatorname{Hom}(K, A) \overset{L}{\otimes} L \] avec \(K = k\), \(L = M\). On trouve une suite spectrale \[ E_2^{pq} = \operatorname{Tor}_{-p}\big(\struck{\ill{}}\operatorname{Ext}^q(k, A), M\big) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}(k, M) . \qquad \text{(dessin ci-contre)} \] si \(d = \dim\operatorname{proj} M\), \(a = \operatorname{prof} A\), on trouve \[ \operatorname{Ext}^n(k, M) = 0 \text{ si } n < a - d \text{ et} \] \[ \operatorname{Ext}^{a-d}(k, M) = \operatorname{Tor}_d\big(\operatorname{Ext}^a(k, A), M\big), \text{ non nul} \] par hypothèse (car \(\operatorname{Ext}^a(k, A)\) est somme de copies de \(k\))

D'où la profondeur de \(M\)… le dessin « ci-contre », en bas à gauche : un axe horizontal \(p\) (flèche vers la droite) et un axe vertical \(q\) ; une bande verticale hachurée de largeur \(d\), mesurée à gauche de l'axe des \(q\), commence à la hauteur \(a\) au-dessus de l'axe des \(p\) et monte — le support de \(E_2^{pq}\), nul pour \(q < a\) et pour \(p < -d\).

60page 2 de la lettre, paginée ainsi par Deligne.

Le même résultat, [en remplaçant \(\dim\operatorname{proj}\) par \(\operatorname{Tor}\dim\)], est encore valable pour \(M\) de type fini sur un anneau local noethérien \(B\), qui soit une \(A\)-algèbre telle que \(\mathfrak{m} B \subset \operatorname{radical}(B)\). Il faut savoir (i) qu'on peut encore définir la profondeur de \(M\) sur \(A\) dans ce cas (ii) que la \(\operatorname{Tor}\) dimension de \(M\) est le plus grand entier \(d\) tel que \(\operatorname{Tor}^d(k, M) \neq 0\), où \(k\) est le corps résiduel de \(A\). « en remplaçant dim proj par Tor dim » est ajouté par Deligne en interligne, avec un signe d'insertion ; le \(\operatorname{Tor}^d\) est écrit avec l'indice en exposant, comme ici.

C'est là une conséquence facile du résultat suivant, pour lequel je ne connais pas de référence :

prop : Soit \(A\) un anneau local noethérien, \(B\) une \(A\)-algèbre locale noethérienne (\(A \to B\) étant local), \(\mathfrak{m}\) un idéal de \(A\), \(M\)\(N\) un \(A\)-module de type fini, \(M\) un \(A\)\(B\)-module de type fini. On a \[ \varprojlim \operatorname{Tor}_p^A(N / \mathfrak{m}^k N, M) = \operatorname{Tor}_p^A(N, M)^{\wedge} \] et plus précisément une égalité de pro-objets \[ \underset{\longleftarrow}{\text{“lim”}}\; \operatorname{Tor}_p^A(N, M) \big/ \mathfrak{m}^k \operatorname{Tor}_p^A(N, M) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \underset{\longleftarrow}{\text{“lim”}}\; \operatorname{Tor}_p^A(N / \mathfrak{m}^k N, M) \] Deligne écrit « lim » entre guillemets, la flèche sous le mot, pour la limite projective prise comme pro-objet. les lettres \(N\) et \(B\) de l'énoncé sont écrites par-dessus un \(M\) et un \(A\) : la correction est de Deligne.

Si \(B\) était plat sur \(A\), on prendrait une résolution de \(M\) sur \(B\), et il suffirait d'appliquer Artin-Rees, qui exprime que « le pro-objet complétion » est foncteur exact. On peut par ailleurs remplacer \(B\) par une algèbre dont il soit quotient. On peut aussi compléter \(B\). L'assertion résulte alors du lemme suivant, qui coiffe \(0_{\mathrm{IV}}\) 19.7.1.3 et \(0_{\mathrm{III}}\) 10.3.1 les deux numéros sont portés par Deligne en marge gauche, l'un sous l'autre, joints par « et », à hauteur de « prop » ; ils sont rapportés ici à la fin de la phrase qu'ils complètent.

dans réédition du Chap I ? au crayon, entouré, en oblique dans la marge gauche à hauteur des conditions (i)–(iii).

prop : Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens, avec \(B\) complet. \(B\) est quotient d'un anneau \(C\), tel que

(i) \(C\) est local, \(A \to C\) et et \(C \to B\) sont locaux

(ii) \(C\) est plat sur \(A\)

(iii) Si \(k\) est le corps résiduel de \(A\), \(C_0 = C \otimes_A k\), \(B_0 = B \otimes_A k\), \(C_0\) est un anneau [régulier] de séries formelles sur une extension de \(k\), et l'application graduée associée à \(C_0 \to B_0\) : \(\operatorname{gr} C_0 \to \operatorname{gr} B_0\) est bijective en degré \(0\) et \(1\) « régulier » est écrit par Deligne au-dessus du passage biffé, dont la lecture « de séries formelles sur une extension de \(k\) » est celle des mots encore visibles sous la rature. « et et » est ainsi dans (i).

Démonstration : Soit \(\mathfrak{m}\) (\(\mathfrak{n}\)) l'idéal maximal de \(A\) (\(B\)), \(K\) le corps résiduel de \(B\). Soit \(t_i\) une base d'un supplémentaire de l'image de \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \otimes_k K \to \mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2\). Si on relève les \(t_i\) dans \(B\), on définit une flèche \(A[[T_i]] \to B\). Soit \(A' = A[[T_i]]\), \(\mathfrak{m}'\) son idéal maximal. \(A'\) est plat sur \(A\), et on a […] \[ \mathfrak{m}' / (\mathfrak{m}'^2 + \mathfrak{m} A') \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathfrak{n} / (\mathfrak{n}^2 + \mathfrak{m} B) . \] la lettre s'interrompt ici, au bas du feuillet ; la suite est dans le lot suivant (page 61 et au-delà).