Cote n° 23, pages 21–40

Cote n° 23 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · EGA IV. Compléments : notes manuscrites (s.d.), lettres (1966, 1968), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1966-1968
Édition de démonstration

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Fibrés des germes d'ordre \(n\) de sections, etc. Transformations infinitésimales (suite)

le titre est celui de la chemise vierge qui porte le numéro 17, déjà donné au lot 1 ; il est répété ici parce que la suite de notes qu'il couvre enjambe la limite des deux lots. Les pages 21 et 22 achèvent la série de corollaires commencée page 20

21Corollaire 3 On a un hom. naturel de faisceaux \[\underline{S}(\overline{X}/X_{0}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Is}}_{X_{0}}(\overline{\xi}, \overline{X})\] le \(\overline{\xi}\) est écrit deux fois, la seconde par-dessus la première et d'un trait plus gras compatible avec les opérations de \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(X)\) à gauche, et les opérations à d. de \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(\xi)\) [qui opèrent sur le premier […] par le corollaire 2]. Cet homomorphisme est injectif [car \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(\xi)\) opère fidèlement dans \(\overline{\xi}\)]

On peut dire aussi [mais […] n'est pas très utile] que \(\overline{X}/X_{0}\) est muni d'une structure de fais schéma sur \(X_{0}\) à faisceau structural : \[\boxed{\;\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(\xi) = \underline{G}^{\Lambda}_{X_{0}}\;}\] opérant sur le schéma-type \[\xi = X_{0} \times_{S} T = X_{0} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_{S}} \underline{\Lambda}\]

La donnée de \(X\) […] sur \(T\), se réduisant suivant \(X_{0}\), est équivalente à la donnée d'un schéma \(\overline{X}\) sur \(X_{0}\), muni d'un tel faisceau structural. l'adjectif qui qualifie \(X\) sur \(T\) est souligné d'un trait et ne se laisse pas décider sur le film : quatre ou cinq lettres, dont une haute à l'avant-dernière place

Le faisceau principal associé n'est autre que \(\underline{S}(\overline{X}/X_{0})\).

\(\overline{\xi}\) est noté ainsi \(X_{0}^{\{\Lambda\}}\), et s'appelle […] […] des pts propres de \(X_{0}\) de type \(\Lambda\). Ses notations […] […] les deux dernières lignes du feuillet sont entamées par le bord du scan ; un mot biffé ouvre la seconde

22s'interprètent, soit comme un automorphisme de \[X_{0} \times_{S} T = X_{0} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_{S}} \underline{\Lambda}\] induisant l'identité sur \(X_{0}\), soit comme la donnée d'un champ de sections […] … le feuillet ne porte que ces quatre lignes, qui achèvent la phrase laissée en suspens au bas de la page 21 ; le reste est vierge. Le signe \(\times\) du premier membre porte une rature ; le passage biffé de la dernière ligne contient un \(\Lambda\)

Éléments de sections d'ordre \(n\) de \(Y/S\) sur \(X/S\)

la formule est de lui : elle est écrite en toutes lettres au haut de la page 23 et reprise, soulignée, dans la note marginale de la page 24. Aucune chemise ne couvre cette suite, qui commence sans transition au feuillet 23

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  Y \arrow[d, "p"'] & \pi^{(n)}(Y/X/S) \arrow[d] \\
  S & X \arrow[l, "f"'] & \Delta^{(n)}_{X/S} \arrow[l, "\delta^{n}_{X/S}"']
\end{tikzcd}

On veut définir en « fibrés » \[P^{n}(Y\,/\,X\,/\,S)\] des éléments « éléments de sections d'ordre \(n\) de \(Y/S\) sur \(X/S\) ».

(\(X \times_{S} X\) est muni des deux projections \(pr_{1}\), \(pr_{2}\) et de l'immersion diagonale \(\Delta_{X}\). On considère \(\delta\) \(\Delta^{(n)}_{X/S}\) le […] voisinage infinitésimal de l'immersion \(\Delta_{X}\) comme un \(X\)-préschéma grâce à \(pr_{1}\). \(i^{(n)}_{X}\) désigne l'immersion de \(\Delta^{(n)}_{X/S}\) dans \(X \times_{S} X\).) On considère alors le \(\Delta^{(n)}_{X/S}\)-schéma \[(pr_{2}\, i^{(n)}_{X})^{*}(Y/X) = \struck{P^{(n)}(Y/X/S)}\; \Delta^{(n)}_{X/S} \times_{X \times_{S} X} (X \times_{S} Y) = \struck{\ill{}}\; \pi^{(n)}(Y/X/S)\] le membre biffé \(P^{(n)}(Y/X/S)\) est écrit au-dessus du produit fibré et relié à lui par une accolade ; c'est la notation qui sera réservée, page 24, à l'image directe

\[X \times_{\Delta^{(n)}_{X/S}} \pi^{n}(Y/X/S) = Y\] d'où \(Y \to \pi^{n}(Y/X/S)\) […] \(X \xrightarrow{\;\Delta_{X}\;} \Delta^{(n)}_{X/S}\)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & X \times_{S} Y \arrow[d] & \pi^{(n)}(Y/X/S) \arrow[l] \arrow[d]
    & Y \arrow[l, "\varepsilon^{n}(Y/X/S)"'] \arrow[d] \\
  X & X \times_{S} X \arrow[l, "pr_{1}"']
    & \Delta^{(n)}_{X/S} \arrow[l, "i^{(n)}_{X/S}"'] \arrow[d]
    & X \arrow[l, "\Delta_{X/S}"'] \arrow[d] \\
  X' & X' \times_{S} X \arrow[l] & (\Gamma_{\varphi})^{(n)} \arrow[l]
    & X' \arrow[l]
\end{tikzcd}

diagramme redessiné d'un croquis : les trois colonnes de droite descendent par des traits verticaux, la ligne du bas est ajoutée en plus petit et se rattache à celle du dessus par deux traits seulement

\[d^{(n)}_{Y/X/S} : \pi^{n}(Y/X/S) \longrightarrow X \times_{S} Y \longrightarrow Y\] et […] […] commutatif …

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  Y \arrow[r, "\varepsilon^{n}(Y/X/S)"] \arrow[d] & \pi^{n}(Y/X/S)
    \arrow[r, "d^{n}(Y/X/S)"] \arrow[d] & Y \arrow[d] \\
  X \arrow[r, "\Delta_{X/S}"] & \Delta^{(n)}_{X/S}
    \arrow[r, "\delta^{(n)}_{X/S}"] & X
\end{tikzcd}

le carré est encadré d'un trait à la main ; le sommet inférieur droit porte un mot biffé avant le \(X\)

24Ce n'est donc pas un \(X\)-morphisme en général.

Supposons maintenant que \(\Delta^{(n)}_{X/S}\) soit plat, de présentation finie loc. libre sur \(X\). Alors on peut former \[\boxed{\;(\delta^{n}_{X/S})_{*}\bigl(\pi^{n}(Y/X/S) / \Delta^{(n)}_{X/S}\bigr) = P^{(n)}(Y/X/S).\;}\]

fibré des éléments de sections d'ordre \(n\) \(Y/S\) sur \(X/S\) note de sa main dans la marge de gauche, écrite en biais de bas en haut sur trois lignes, chacune soulignée ; elle est reliée par un trait à la formule encadrée

Par définition, on aura donc \[\underline{\Gamma}\bigl(\pi^{n}(Y/X/S)/\Delta^{(n)}_{X/S}\bigr) \simeq \underline{\Gamma}\bigl(P^{(n)}(Y/X/S)/X\bigr)\] et de façon plus précisément, si \(\varphi : X' \to X\) est un préschéma sur \(X\) \[\operatorname{Hom}_{X}\bigl(X', P^{(n)}(Y/X/S)\bigr) \simeq \operatorname{Hom}_{\Delta^{(n)}_{X/S}}\bigl(X' \times_{X} \Delta^{n}_{X/S},\ \pi^{(n)}(Y/X/S)\bigr)\]

Un élément de cet ensemble est donc obtenu en prenant l'immersion \[\Gamma_{\varphi} = \struck{\ill{}}\ \varphi \times_{S} \mathrm{id}_{X} : X' \longrightarrow X' \times_{S} X\] le membre médian est récrit par-dessus un premier essai ; tel quel, \(\varphi \times_{S} \mathrm{id}_{X}\) ne va pas de \(X'\) dans \(X' \times_S X\) — le graphe de \(\varphi\) est \((\mathrm{id}_{X'}, \varphi)\). La page n'est pas corrigée

en prenant le \(n\)-ième voisinage […] \[\Gamma_{\varphi}^{(n)} \longrightarrow X' \times_{S} X\] et une section de \(X' \times_{S} Y\) là-dessus

On va alors On a un \(X\)-morphisme canonique […] noté \(D^{n}(Y/X/S)\) :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  P^{(n)}(Y/X/S) \arrow[r, "\varepsilon^{n}(Y/X/S)"] \arrow[dr] & Y \arrow[d] \\
  & X
\end{tikzcd}

D'autre part, on a […] […] un hom. application de faisceaux sur \(X\) \[d^{n}(Y/X/S) : \underline{\Gamma}(Y/X) \longrightarrow \underline{\Gamma}\bigl(P^{(n)}(Y/X/S)/X\bigr)\] [tel que […] composé avec \[\varepsilon^{n}(Y/X/S) : \underline{\Gamma}\bigl(P^{(n)}(Y/X/S)/X\bigr) \longrightarrow \underline{\Gamma}(Y/X)\] soit l'identité : \(\varepsilon^{n} d^{n} = \mathrm{id}\)] les deux glyphes \(d\) et \(\varepsilon\) se ressemblent beaucoup dans cette main ; c'est la relation \(\varepsilon^{n} d^{n} = \mathrm{id}\), et le sens des deux flèches, qui décident la lecture, non le trait

Je fais donc Par ces […] […] qui revient […] de définir \[\underline{\Gamma}(Y/X) \longrightarrow \underline{\Gamma}\bigl(P^{n}(Y/X/S)/X\bigr)\] et de vérifier […] […] sections locales sur \(X\). On a un \[\underline{\Gamma}(Y/X) \longrightarrow \struck{\operatorname{Hom}}\; \underline{\Gamma}\bigl(Y \times_{X} \Delta^{(n)}_{X/S} \,/\, \Delta^{(n)}_{X/S}\bigr)\] On \[\operatorname{Hom}_{X}\bigl(\Delta^{n}_{X/S}, Y\bigr) = \underline{\Gamma}\bigl(Y \times_{X} \Delta^{(n)}_{X/S} \,/\, \Delta^{(n)}_{X/S}\bigr)\] […] sections au-dessus de \(X \times_{S} Y\) […] \(X \times_{S} X\) […] de l'immersion \(X \longrightarrow X \times_{S} X\) et les projections, […] […] le bas du feuillet est un brouillon rapide : les formules portent, les phrases qui les relient sont perdues pour l'essentiel

26\(P^{n}_{A/\Lambda}(M)\) formule isolée en haut à gauche, biffée de deux traits obliques, avec un \(d^{n}\) au-dessus

[…] en […] […] de éléments de sections d'ordre […] sur \(X \times_{S} X\) le […]

Soit \(m \geq n\), alors […] biunivoque avec les […] d'ordre […] de \(X \times_{S} Y\) […] le […] immersion. \[\Delta^{(m)}_{X/S} \longrightarrow \Delta^{(n)}_{X/S}\] Les \(\Delta^{(n)}_{X/S}\) forment donc un système inductif de schémas sur \(X\), dont la limite est […] […] sur \(X\), noté \(\Delta^{(\infty)}_{X/S}\).

On a de même \[\pi^{(n)}(Y/X/S) = \pi^{n'}(Y/X/S) \times_{\Delta^{(n)}_{X/S}} \Delta^{(m)}_{X/S}\] d'où aussitôt un \(X\)-homomorphisme naturel \[P^{n'}(Y/X/S) \xrightarrow{\;\varphi_{nn'}\;} P^{n}(Y/X/S)\] C'est un système transitif de \(X\)-homomorphismes, d'où \[\begin{cases} \varepsilon\, \varphi_{on} = \varepsilon^{n} \\ \varepsilon^{(n)}(Y/X/S) \circ \varphi_{nn'} = \varepsilon^{(n')} \\ \varphi_{nn'}\, d^{(n')} = d^{(n)}. \end{cases}\] la première ligne du système est soulignée d'un trait et la deuxième d'un double trait ; elles disent la même chose et la seconde paraît récrire la première. L'ordre est noté \((n)\) entre parenthèses sur \(\Delta\) et \(\pi\), et \(n\) tout court sur \(P\), \(d\), \(\varepsilon\) et \(\varphi\) : la page ne régularise nulle part les deux écritures, et la transcription ne les régularise pas non plus

27Les sections de \(P^{n}(Y/X/S)\) sur \(Y\) […] des \(X\)-morphismes, […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  Y^{\{\Delta^{(n)}_{X/S}\}} \arrow[dr, dashed] & & & \\
  P^{n}(Y/X/S) \arrow[r] \arrow[d, "p"'] & Y \arrow[d]
    & \pi^{(n)}(Y/X/S) \arrow[l] \arrow[d] & Y \arrow[l] \arrow[d] \\
  X & X \times_{S} X \arrow[l, "pr_{1}"']
    & \Delta^{(n)}_{X/S} \arrow[l] & X \arrow[l]
\end{tikzcd}

la flèche en pointillé porte l'exposant à accolade \(Y^{\{\Delta^{(n)}_{X/S}\}}\), de la même famille que le \(X_0^{\{\Lambda\}}\) de la page 21 ; la colonne de droite est reliée par un trait sans pointe que le diagramme rend par un trait double

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  A \arrow[r] & A \otimes A \\
  B \arrow[u] & A' \arrow[u]
\end{tikzcd}

traduction affine de la construction : \(A \to A \otimes A\) est tracé sur la page avec deux flèches parallèles — les deux structures de \(A\)-algèbre — rendues ici par une seule ; \(B\) est une \(A\)-algèbre et \(A'\) le quotient de \(A \otimes A\) qui définit \(\Delta^{(n)}\)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  (B \otimes_{A} A') \otimes A \arrow[d] & A' \otimes A \arrow[l] \arrow[r]
    & A' & A' \otimes B \arrow[l] \\
  (B \otimes_{A} B) \otimes A & B \otimes A \arrow[l] \arrow[r] & B
    & B \otimes B \arrow[l]
\end{tikzcd}

le bas du feuillet reprend en algèbre le diagramme du haut ; il est tracé rapidement et plusieurs flèches sont sans pointe sur la page, rendues ici avec pointe faute de pouvoir décider leur sens — le point est à vérifier sur le feuillet

28\[m \longrightarrow 1 \otimes m\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & Y^{\Delta^{n}_{X/S}} \arrow[dr] & \\
  P^{n}(Y/X/S) \arrow[r] & Y \arrow[d] & \pi^{n}(Y/X/S) \arrow[l] \arrow[d] \\
  & X & \Delta^{n}_{X/S} \arrow[l]
\end{tikzcd}

\[\underline{\Gamma}\bigl(Y^{\{\Delta^{n}_{X/S}\}}/Y\bigr)\] groupe des automorphismes […] infinitésimaux d'ordre \(n\) des fibres \(Y/X\)

\[\underline{\Gamma}\bigl(P^{n}(Y/X/S)/Y\bigr)\] \(=\) groupe des automorphismes de \(\pi^{n}(Y/X/S)/\Delta^{n}_{X/S}\) qui induisent l'id. sur \(Y\)

\(=\) connexions d'ordre \(n\) […] des fibres \(Y/X/S\) le second membre est souligné d'un trait gras : c'est la définition que la page vise

Si \(Y/X\) est lisse, […] \(\underline{\Gamma}\bigl(P^{n}(Y/X/S)/Y\bigr)\) […] est principal homogène […] \(\underline{\Gamma}\bigl(Y^{\{\Delta^{n}_{X/S}\}}/Y\bigr)\), […] trois lignes rendues ici de façon très lacunaire : la phrase affirme que les connexions d'ordre \(n\) forment un espace principal homogène sous les automorphismes infinitésimaux d'ordre \(n\), mais les mots qui l'articulent ne se laissent pas tous lire

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  P^{n}(Y/S) & P^{n}(X/S) \arrow[l] \\
  \mathcal{O}_{Y} \arrow[u] & \mathcal{O}_{X} \arrow[l] \arrow[u]
\end{tikzcd}

hom. de \(\underline{\mathcal{O}}_{Y}\)-algèbres augmentées \[P^{n}(Y/X) \longrightarrow f^{*}\bigl(P^{n}(X/S)\bigr)\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  f^{*}P^{n}(Y/S) \arrow[d] & P^{n}(Y/S) \arrow[l, "?"']
    \arrow[d] & f^{*}P^{n}(X/S) \arrow[l, Rightarrow] \arrow[d] \\
  \underline{\mathcal{O}}_{X} & \underline{\mathcal{O}}_{X} \arrow[l]
    & \underline{\mathcal{O}}_{X} \arrow[l]
\end{tikzcd}

la flèche du haut au milieu porte un « ? » et, sous elle, le mot « comment ? » de sa main : la page pose la question et ne la résout pas

hom. de de \(f^{*}(P^{n}(X/S))\)-algèbres \(\underline{\mathcal{O}}_{X}\)-augmentées \[P^{n}(Y/S) \longleftarrow f^{*}P^{n}(X/S)\] (pas nécessairement augmentées)

29le feuillet entier est barré de quatre longs traits diagonaux ; ce qui se laisse lire en est transcrit, dans l'ordre où cela vient

\[\varphi\bigl(g\, d^{n}f \otimes m\bigr) = m \otimes f\, d^{n}g\] sous « \(d^{n}f\) » une accolade descend vers « \(g \otimes f\) », en interligne

\[\varphi\bigl(g\, d^{n}(f\,\ill{})\bigr) = f m \otimes \ill{}\] \[\ill{} \otimes_{A} (A \otimes_{\Lambda} A)\] \[M \otimes_{\Lambda} A\] \[\ill{}(A \otimes_{\Lambda} M) \qquad \underline{A} \otimes_{\Lambda} S_{\Lambda}(M) \qquad \struck{A} \otimes_{\Lambda} S_{A}(M)\] \[\struck{\operatorname{Hom}_{B}(M, B)}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  M \arrow[d] \\
  A \arrow[r] & B
\end{tikzcd}

les deux dernières formules sont dans le coin inférieur droit ; le \(\operatorname{Hom}_{B}(M,B)\) est entièrement raturé

Transformations infinitésimales de type \(S'\) d'un morphisme

la formule est de lui : elle ouvre la page 30, soulignée d'un trait. Aucune chemise ne sépare cette suite de la précédente

30Soit \(f : X \longrightarrow Y\) un \(S\)-morphisme. On appelle transformation infinitésimale de type \(S'\) de \(f\) un couple \(u, v\) de \(S'\)-automorphismes de \(X_{S'}\), \(Y_{S'}\) (induisant l'identité sur \(X\), \(Y\)) rendant commutatif le diagramme

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\begin{tikzcd}
  X_{S'} \arrow[r, "u"] \arrow[d, "f_{S'}"'] & X_{S'} \arrow[d, "f_{S'}"] \\
  Y_{S'} \arrow[r, "v"] & Y_{S'}
\end{tikzcd}

Les transformations infinitésimales de type \(S'\) de \(f\) forment un groupe, contenu dans le produit des groupes des transformations infinitésimales de type \(S'\) de \(X\) et \(Y\).

Soit \(w = (u, v)\) une transformation infinitésimale de type \(S'\) de \(f\), et soit \(g\) une section de \(X/Y\). Considérons alors \[\widetilde{w}(g) = u\, g_{S'}\, v^{-1}\] c'est une section de \(X_{S'}\) sur \(Y_{S'}\), « produit » de \(g\), d'où correspondance : […]

[…] \(X_{S'} \to X\) […] \(X \to Y\) soit \(pr_{1}\) […] \(Y \to X^{\{S'\}}\) […] \(X^{\{S'\}} \to Y^{\{S'\}}\) […] \(Y \to Y^{\{S'\}}\) […] passage rayé de deux longs traits horizontaux et en partie récrit au-dessus ; seuls les objets se laissent lire, la syntaxe qui les relie est perdue

\[\underline{\Gamma}\bigl(X_{Y}^{\{Y_{S'}\}} / Y\bigr)\] « produit » de \(g\).

[i.e. une […] \(S\)-[…] […] […] la relation […]] trois lignes dans un cadre dessiné à la main, traversé d'un trait oblique ; c'est l'endroit du lot où un lecteur ayant le feuillet sous les yeux gagnera le plus

éléments de \(\underline{\Gamma}(X \ill{})\)

Propriétés fonctorielles …

311) Le groupe des transformations infinitésimales de type \(S'/S\) de \(X_{S}/Y_{S}\) opère sur […] \[\underline{\Gamma}(X_{S'}/Y_{S'})\] des […] de type \(S'\) […] sections de \(X/Y\), […] de plus \[\underline{\Gamma}(X/Y) \longrightarrow \underbrace{\underline{\Gamma}(X_{S'}/Y_{S'})}_{\text{ensemble : groupe d'opérateurs}} \simeq \underline{\Gamma}\bigl(X_{Y}^{\{Y_{S'}\}} / Y\bigr)\] \[\operatorname{Aut}^{\{\Lambda\}}_{S}(X'_{S}, Y_{S})\] l'accolade et les deux mots « ensemble : groupe d'opérateurs » sont écrits sous le membre médian ; l'\(\operatorname{Aut}\) à exposant \(\{\Lambda\}\) est deux lignes plus bas, isolé

N.B. \(S\), \(S'\) […] … \(X_{S'} \to Y_{S'}\) ] dans le […] bijection […] mais seul […] par […] d'opérateurs […] i.e. les \(S'\)-automorphismes de \(Y_{S'}\) et \(X_{S'}\) … le N.B. est souligné ; un mot du milieu est biffé et récrit par-dessus, et l'ensemble n'est lisible que par fragments

2) Fixons […] […] \(w\). […] compatible […] \[w = (u, v), \qquad w' = (u', v')\] […] \(w\). Un \(Y\)-morphisme \(X \xrightarrow{\;h\;} X'\) […] des […] transformations, […] […] rendant commutatif […]

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\begin{tikzcd}
  X_{S'} \arrow[r, "h_{S'}"] \arrow[d, "u"'] & X'_{S'} \arrow[d, "u'"] \\
  X_{S'} \arrow[r, "h_{S'}"] & X'_{S'}
\end{tikzcd}

i.e. […]

32\((u, u')\) […] une […] de type \(\Lambda\) de \(X \to X'\).

On dit, […] aussi […] pour \(g \in \underline{\Gamma}(X/Y)\) \[h^{\{Y_{S'}\}}\bigl(\widetilde{w}(g)\bigr) = \widetilde{w}'(h \circ g)\] […] un produit : idem […]

3) Compatibilités avec […] \[w = (u, v), \qquad w' = (u', v')\] \(X/Y\), \(X'/Y\), […] on en déduit […] […] \(X \times_{Y} X'\), […] i.e. […] \(S'\)-automorphismes […] \[\bigl(X \times_{Y} X'\bigr)_{S'} = X_{S'} \times_{Y_{S'}} X'_{S'}\] […] de \(Y_{S'}\), induisant […] sur \(X_{S'}\), \(X'_{S'}\) ; \(X_{S'}\), \(X'_{S'}\) […] […] structures) […] \(s_{S'}\) […] \(Y_{S'}\) […] \(w''\), […] \[\widetilde{w}''\bigl(g \times_{Y} g'\bigr) = \widetilde{w}(g) \times_{Y} \widetilde{w}'(g')\] l'identification \[\bigl(X \times_{Y} X'\bigr)_{Y}^{\{Y_{S'}\}} \simeq X_{Y}^{\{Y_{S'}\}} \times_{Y} X'^{\,\{Y_{S'}\}}_{Y}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  Y_{S'} \arrow[r] & Y_{S'}
\end{tikzcd}

Comme […] de composition compatible […] […] […] le mot souligné qui ouvre le dernier paragraphe est lu « Comme » sans certitude ; le bas du feuillet est une esquisse, trois ou quatre mots par ligne

Exemples, cas particuliers

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 33, chemise par ailleurs vierge qui couvre les feuillets suivants ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

34(i) \[F = a X^{p} + b Y^{p} - \struck{1}\] \[k[X, Y]/(F) = A \;\simeq\; k[Z]/(Z^{p} - c)\,[X]\] faire \(Z = X + Y\), donc \(F = Z^{p} - \ill{}\) note de sa main en haut à droite, avec au-dessus « \(a X^{p} + b Y^{p}\) » et le mot « non » ; la constante du second membre est écrite \(c\) ici et \(a\) dans la marge, sans que la page les concilie

\(A\) est un anneau régulier, \(k\) est alg. fermé dans son corps des fractions, \(A \otimes_{k} \overline{k}\) n'est pas intègre, il est […] isomorphe à \[k[Z]\,[T]/(T^{p})\] « \(k\) est alg. fermé dans son corps des fractions » est cerné d'un trait ovale de sa main ; dans la dernière formule il écrit \(k\) et non \(\overline{k}\), tel quel

(ii) \[F = Y^{2} - X^{p} + a \qquad (p \neq 2)\] \[k[X, Y]/(F) = A\]

\(A\) est un anneau régulier, \(k\) est […] son corps des fractions est extension séparable de \(k\)

\(A \otimes_{k} \overline{k}\) n'est pas régulier, car le point \(Y = 0\), \(X = a^{1/p}\) est singulier sur la courbe \(F = 0\) \[F = Y^{2} - (X - \lambda)^{p} = 0 \qquad (\lambda = a^{1/p}).\] […] donc \(k[Y, Z]/(Y^{2} - Z^{p})\), […] l'idéal maximal de l'origine, où pour […] : l'origine. \[Y^{2} - Z^{p} \longrightarrow 0\] […] polynômes […] […] \(=\) […] que \(K/k\) […]

Montrons que \(A\) est régulier. […] […] ; […] […] intégration […] […]

En effet, la courbe définie […] \(F = Y^{2} - X^{p} + a\) […]

Faisons \(X - \lambda = Z\), […]

On a \(Y^{2} - Z^{p} \in \mathfrak{m}^{2}\), où \(\mathfrak{m}\) […] […] […] […] peut avoir […]

Cependant, pour \(p \neq 2\), […] irréductible. Cela prouve […] une extension séparable.

Dans la courbe obtenue […] […] […] un point régulier \[\Omega^{1}_{k}(A) \simeq A^{2} \Big/ A\Bigl(\frac{\partial F}{\partial X}, \frac{\partial F}{\partial Y}\Bigr) \simeq A \;\struck{\ill{}}\; \simeq A + A/2Y\] i.e. \(\Omega^{1}_{k}(A)\) est […] libre […] \(2Y\), i.e. les idéaux […] premiers […] de \(k[X, Y]\) […] \[\bigl(Y,\ Y^{2} - X^{p} + a\bigr) = \bigl(Y,\ X^{p} - a\bigr) \;;\qquad k[X, Y]/\bigl(Y,\ X^{p} - a\bigr) \simeq k[X]/(X^{p} - a)\] […] l'idéal \(\mathfrak{m}' = (Y,\ X^{p} - a)\) […] déjà vu […] c'est […] le

35seul point singulier possible. Or, le carré de \(\mathfrak{m}'/(F)\) est \(\mathfrak{m}''/(F)\) \[\mathfrak{m}'' = \bigl(Y^{2},\ Y(X^{p} - a),\ (X^{p} - a)^{2},\ Y^{2} - X^{p} + a\bigr)\] d'où \(Y = \dfrac{X^{p}}{a}\) \[= \bigl((X^{p} - a),\ Y^{2},\ Y(X^{p} - a)\bigr)\] […] pour […] \(\mathfrak{m}'/\mathfrak{m}'^{2} = \mathfrak{m}'/\mathfrak{m}''\) […] engendré par \(Y\) (car \(X^{p} - a\) est dans \(\mathfrak{m}''\)). Donc le point est […] simple, mais non absolument simple.

Dans ce cas-ci, il vient à vérifier que \(k\) est algébriquement fermé dans \(A\). le feuillet ne porte que ce paragraphe ; le reste est vierge. « il vient à vérifier » est lu ainsi, mais les deux mots du milieu sont serrés et la lecture reste incertaine

36feuillet écrit à l'italienne, sur papier faiblement réglé ; c'est une feuille de récapitulation, deux colonnes que rien ne relie explicitement

Caractérisation des dérivations […]

[Car relient : les dérivations […] […] l'adhérence différentielle […]]

\(\delta f = 0\) : \(f\) est […] dans […]

\[\struck{d\,\delta f = \delta f \;?}\] \[\delta f = 0 \iff f \in A[B^{p}]\] \[\delta^{(\infty)} f = 0 \iff f \in A[B^{p^{k}}]\] l'exposant du second critère est lu \((\infty)\) : il est écrit très petit et pourrait être un \(n\) ; ce qui décide en faveur de l'itération, c'est le \(B^{p^{k}}\) du second membre

\(\delta f = 0\), \(f \in K^{p}\)

Critère de […] […] […] séparation (Chev. Weyl) \[\Omega^{1}_{B/A} = 0\] \[\Omega^{1}_{B/A} = 0\] \(+\) plat

\(\Delta_{B/A}\) est unipotent […]

\(\Delta_{B/A}\) est […]

Critère de […] […] décidable […] localisation (ann. nb. \(p\)-i) […]

[…] différentielle […] dérivations de \(A \subset B\)

[…] : \(f \in A\)

\(B/A\) soit une \(p\)-base, donc \[\Omega^{1}(B/A)\] la colonne de droite est une liste de critères, plusieurs sont soulignés ; les mots qui les relient sont, pour la plupart, perdus

Foncteurs différentiels d'ordre \(n\)

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 38, chemise par ailleurs vierge ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

39Foncteur différentiel d'ordre \(\leq n\).

Soit \(S\) un préschéma, \(\mathcal{C}\) une une […] catégorie fibrée pleine de la catégorie […] […] des deux […] […] […] sur \(S'/S\), [la plus […], […] […] […] la catégorie en question].

Soit \(\mathcal{C}'\) une autre catégorie fibrée sur […] \(=\) […] \(\mathcal{E}\ell_{S}\) des préschémas sur \(S\). [Les […] Faut que \(\mathcal{C}\) soit […] \(\mathcal{C}\) que « verbalement » […] catégorie de \(\mathcal{C}\) […] plutôt […] […] \(\mathcal{C}\)]

Soit \[F : \mathcal{C} \longrightarrow \Phi^{\mathcal{C}}\] […] une […] section continue \(f\) bornée […]

\(\{X'/S'\}\) \(\{X''/S''\}\) \(\{X'/S'\} \in \Phi_{\mathcal{C}}\)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  X' & X'' \arrow[l] \\
  S' \arrow[u] & S'' \arrow[l] \arrow[u] \\
  S \arrow[r] & S' \arrow[r] & S''
\end{tikzcd}

le croquis est de trois lignes ; la ligne du bas, \(S \leftarrow S' \leftarrow S''\), est écrite en dessous et à gauche, rendue ici par une troisième rangée

[…] \(\Phi_{\mathcal{C}}\), […] façon compatible […] […] les extensions de la base.

Ex. Le foncteur \(\underline{P}^{n}_{X'/S'}\) [\(\Phi\) le type […] la page est un brouillon rapide : les objets portent, les phrases qui les relient sont pour l'essentiel perdues, et la transcription le dit plutôt que de les inventer

40le feuillet est traversé de deux longs traits diagonaux, et le tiers supérieur porte trois couches d'écriture superposées

[…] de […] foncteurs […] […] moins : […] […] foncteurs […] […] les conditions […]

[…] foncteur […] […] […]

\[F_{\xi} \quad \ill{} \quad \ill{}\]

On […] groupe […] \((\ldots)_{\xi}\) ] on […] […] foncteurs \(F_{\xi}\), […] […] utilisent […] les foncteurs obtenus […] […] […] […]

\[\struck{\ill{} = \ill{}}\qquad \struck{X = \ill{}}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  E^{n} & E^{n}_{S^{d,n}} \arrow[l] & E^{n} \arrow[l] & S \arrow[l] \\
  S & S^{d,n} \arrow[l] & S \arrow[l] &
\end{tikzcd}

les trois colonnes de gauche descendent par des traits verticaux ; une flèche oblique en pointillé remonte de \(S^{d,n}\) vers \(E^{n}\), et un signe d'égalité est placé sous \(S^{d,n}\)

\[S^{d,n} = \operatorname{Spec}\ \ill{}\, \bigl(A[t_{1}, \ldots, t_{n}] / (t_{i} - \ill{})\bigr) \ill{}\] la définition de \(S^{d,n}\) est écrite sous le diagramme, à demi couverte par l'un des deux traits diagonaux ; les indices se laissent lire, l'anneau pas entièrement

[…] automorphismes […] […] […] façon compatible […]

\[G^{\mathrm{dif}}_{\ill{}}(\ill{})\] […] […]\(_{S}\bigl(\ill{}^{\,d, n}\bigr)\), […] [[…] \(\varepsilon : S \to S^{d,n}\)]

[…] […] […] \[E^{n}_{S^{d,n}} \qquad E^{n} \ill{}\] […] \[E^{n}_{S^{d,n}} \times_{S^{d,n}} S.\] […] \[\bigl\{ E^{n}_{S^{d,n}} \bigr\} = \bigl\{ E^{n} \times_{S} S^{d,n} \bigr\}, \quad \ill{}\] […] […] quotient […] \(E^{n}_{S^{d,n}}\), la page s'arrête là, sans point final ; c'est le dernier feuillet du lot