Cote n° 23 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · EGA IV. Compléments : notes manuscrites (s.d.), lettres (1966, 1968), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1966-1968
Édition de démonstration

EGA IV, Calcul diff. (compléments)

les mots du titre sont de sa main, en haut à droite du feuillet 1, une chemise par ailleurs vierge qui couvre l'ensemble de la cote ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Discriminant etc

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 2, chemise vierge qui couvre les trois feuillets suivants

3\(E\) faisceau loc. libre de rang \(r+1\) sur \(S\), \(P = P(E)\) fibré projectif associé, on a une suite exacte canonique \[ 0 \longrightarrow \Omega^{1}_{P/S} \longrightarrow g^{*}(E)(-1) \longrightarrow \mathcal{O}_{P} \longrightarrow 0 \] [qui donne un isom. can. \[ \tag{1} \Omega^{r}_{P/S} \xrightarrow{\;\sim\;} g^{*}\bigl(\Lambda^{r+1}_{\mathcal{O}_S} E\bigr)(-r-1) \] ] le morphisme \(g : P \to S\) n'est pas nommé sur le feuillet ; le \(g^{*}\) des formules le suppose

Si donc \(X\) est un sous-préschéma de \(P\) lisse sur \(S\), de dim relative \(n = r - p\), associé au faisceau […] d'idéaux \(J\), on a la suite exacte « \(n = r-p\) » est ajouté en marge droite, entre parenthèses, à hauteur de « dim relative » ; « d'idéaux » est écrit en interligne au-dessus d'un mot biffé \[ 0 \longrightarrow J/J^{2} \longrightarrow \Omega^{1}_{P/S} \otimes \mathcal{O}_X \longrightarrow \Omega^{1}_{X/S} \longrightarrow 0 \] d'où l'isomorphisme \[ \tag{2} \Omega^{r}_{P/S} \otimes \mathcal{O}_X \simeq \Omega^{n}_{X/S} \otimes \Lambda^{p}_{\mathcal{O}_X}(J/J^{2}) \] l'exposant de \(\Omega_{X/S}\) est repassé plusieurs fois, ici et dans la formule suivante ; on lit \(n\), ce que la formule du feuillet 4, \(\Omega^{n}_{X/S}\), confirme d'où en composant (1) et (2), désignant par \(f : X \to S\) le morphisme structural \[ \struck{\Omega^{r}}\; f^{*}\bigl(\Lambda^{r+1}_{\mathcal{O}_S} E\bigr)(-r-1) \simeq \Omega^{n}_{X/S} \otimes \Lambda^{p}_{\mathcal{O}_X}(J/J^{2}) \]

Supposons que \(X\) soit une intersection complète, définie par un sous-module gradué \(M \subset\) [\(\mathrm{Sym}^{*}(E)\)] (loc. facteur direct de \(\mathrm{Sym}^{*}(\underline{E})\)), […] loc. libre de rang \(p\) [il n'est d'ailleurs déterminé que modulo le carré \(\underline{I}^{2}\) de l'Idéal qu'il définit ; mais sa structure est commune]. […] un hom., si \(I_d\) est la composante de degré \(d\) de \(I\) « gradué \(M \subset\) » est en interligne ; le module dont \(M\) est sous-module n'est pas répété après \(\subset\), l'ajout est de l'éditeur \[ g^{*}(I_d)(-d) \longrightarrow J \] d'où des homs surjectifs \[ \coprod g^{*}(M_d)(-d) \longrightarrow J \] induisant un isom \[ \coprod f^{*}(M_d)(-d) \xrightarrow{\;\sim\;} J/J^{2} \simeq \mathrm{Conormal}_{P/X} \] l'indice de Conormal est bien écrit \(P/X\) sur le feuillet

4Par suite, on a \[ \Lambda^{p}_{\mathcal{O}_X}\, J/J^{2} \simeq f^{*}\Bigl(\bigotimes_{i} \Lambda^{\alpha_i} M_{d_i}\Bigr) \bigl(-\textstyle\sum \alpha_i d_i\bigr) \] où \(M_{d_i}\) sont les composantes non nulles de \(M\), supposées de degré \(d_i\). D'où un isom \[ \Omega^{n}_{X/S} \otimes f^{*}\Bigl(\bigotimes_{i} \Lambda^{\alpha_i} M_{d_i}\Bigr)\bigl(-\textstyle\sum \alpha_i d_i\bigr) \xrightarrow{\;\sim\;} f^{*}\bigl(\Lambda^{r+1}_{S} E\bigr)(-r-1) \] [Correspondant : un hom qui existe en tous cas dès qu'on se donne des \(M_{d_i} \to \mathrm{Sym}^{d_i}(\underline{E})\), les \(M_{d_i}\) loc. libres de rang \(\alpha_i\), et \(X\) défini par l'idéal engendré par les images des \(M_{d_i}\), posant \(p = \sum \alpha_i\), \(n = r - p\)], i.e. on a « l'idéal engendré par » est en interligne au-dessus de « les images » \[ \Omega^{n}_{X/S} \xrightarrow{\;\sim\;} f^{*}\Bigl(\bigl(\Lambda^{r+1}_{S} E\bigr) \otimes \bigotimes_{i} \Lambda^{\alpha_i} \check{M}_{d_i}\Bigr) \bigl(\textstyle\sum \alpha_i d_i - r - 1\bigr) \]

Dans le cas où \[ \textstyle\sum \alpha_i d_i = r+1 \] on trouve donc \[ \Omega^{n}_{X/S} \xrightarrow{\;\sim\;} f^{*}(\ -\ ) \] la parenthèse est laissée vide sur le feuillet, avec un tiret

Supposons p. ex. que \(E\) soit le faisceau loc. libre de rang \(3\) associé [à] une courbe elliptique lisse sur \(S\), donc \(r = 2\), il n'y a qu'un seul \(M_{d_i}\), \(d_i = 3\), \(\alpha_i = 1\), on trouve \[ \Omega^{1}_{X/S} \xrightarrow{\;\sim\;} f^{*}\bigl(\Lambda^{3} E \otimes \check{M}\bigr) \] Or \(E\) a une filtration de facteurs \(\mathcal{O}_S\), \(L\) \(L^{\otimes 2}\), \(L^{\otimes 3}\), où \(L\) est inversible tq \(f^{*}(L) \simeq \mathcal{T}_{X/S}\), donc \(\Lambda^{3} E \simeq L^{\otimes 5}\), et comme \(\Omega^{1}_{X/S} \simeq f^{*}(\check{L})\), on trouve \(\check{L} \simeq L^{\otimes 5} \otimes \check{M}\) d'où \(M \simeq L^{\otimes 6}\). le symbole après « \(f^{*}(L) \simeq\) » est une lettre cursive à boucle, lue \(\mathcal{T}\) (le faisceau tangent) ; la ligne suivante, \(\Omega^{1}_{X/S} \simeq f^{*}(\check{L})\), est cohérente avec cette lecture

5feuillet de brouillon : des formules alignées à gauche, un bloc de prose au centre, une insertion écrite en diagonale dans la marge gauche ; on suit l'ordre de lecture du haut vers le bas

\(E\) \(\mathrm{Symm}_k(\underline{E})^{\vee}\)

\(P^{r}\) \(\underline{\Phi}^{k}(P^{r})\) le \(\Phi\) est barré d'un trait horizontal, son trait constant dans ce feuillet ; on le rend \(\underline{\Phi}\)

\[ \delta_{r,k} \in \underline{\Phi}^{(k-1)(r+1)}\bigl(\Phi^{k}(P^{r})\bigr) \] (discriminant) défini au signe près \(\underbrace{k-1 \quad k-1 \;\cdots\; k-1}_{r+1 \text{ facteurs}}\) \((k-1)(r+1)\) la note marginale est à droite de la formule ; l'accolade porte « \(r+1\) facteurs » et le produit qu'elle annonce est ensuite écrit \((k-1)(r+1)\), tel quel, ici et dans les deux exposants suivants

section de \(\underline{\mathcal{O}}_{\Phi^{k}(P^{r})}\bigl((k-1)(r+1)\bigr)\)

Considérons une section \(\varphi\) de \(\Phi^{k}(P^{r})\) sur \(S\), elle définit donc un homom. […] \(\Phi^{k}(P^{r})\) section de faisceau inversible \(\check{M}\) sur \(S\), image inverse de \(\underline{\mathcal{O}}_{\Phi^{k}(P^{r})}(1)\)] et si […] l'image […] la section […] une section \(\delta\) de \(\check{M}^{(k-1)(r+1)}\). quotient inversible de \(\mathrm{Symm}_k(E)^{\vee}\), […] sous-faisceau \(M\) […] de \(\mathrm{Symm}_k(E)\) l'insertion marginale est écrite en diagonale dans la marge gauche et reliée par une flèche à « faisceau inversible \(\check{M}\) » ; « \(\varphi\) » est ajouté en interligne au-dessus de « section », et le « \(\delta\) » de « une section \(\delta\) » de même ; le crochet fermant n'a pas d'ouvrant visible Donc la section \(\varphi\) […] par \(\Phi^{k}(P^{r})_{\delta_{r,k}}\), i.e. \(P^{r}_{\varphi}\) est lisse sur \(S\), sss \(\delta\) est partout non nulle. Notons que d'ailleurs, si \(J = J_{\varphi}\) est l'idéal défini par \(\varphi\) sur \(P^{r}\), alors \[ J \simeq g^{*}(M)(-k) \] au-dessus du \(M\) un signe est noirci ; la formule encadrée qui suit, \(\mathcal{O}(-k) \otimes g^{*}(M) \to \mathcal{O}_{P^r}\), donne \(M\) sans dual \[ \Bigl[\ \struck{\mathcal{O}(-k) \otimes g^{*}(E)} \longrightarrow \mathcal{O}(-k) \otimes g^{*}\mathrm{Symm}_k(E) \longrightarrow \mathcal{O}_{P^{r}} \qquad \text{d'où} \quad \mathcal{O}(-k) \otimes g^{*}(M) \longrightarrow \mathcal{O}_{P^{r}} \quad -\ \Bigr] \] sous le terme biffé, « pour […] d'une » ; en bas à gauche du feuillet, un griffonnage et deux mots, « […] […] », qui ne se lisent pas

Exponentielle

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 7, chemise vierge qui couvre les feuillets 8 à 16

8Sorites sur l'exponentielle

(associative avec unité) linéairement topologisée, sép. et complète la parenthèse et ce qui suit sont écrits en petit sous le titre, à droite, et raccordés par un trait à « algèbre » de la ligne suivante : ils qualifient l'algèbre \(U\)

(1) Soit \(U\) une algèbre [sur \(\mathbf{Q}\)], \(N(U)\) l'ens. de ses éléments top. nilpotents. On définit deux bijections réciproques l'une de l'autre \[ N(U) \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; 1_U + N(U) \] par \[ \begin{cases} \exp \xi = \sum_{n \geqslant 0} \frac{1}{n!}\,\xi^{n} \\[4pt] \log(1+\eta) = \sum_{n > 0} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\,\eta^{n} \end{cases} \] [N.B. Si la top. de \(U\) est discrète, \(N\) est l'ens. des éléments nilpotents]. On a \[ \begin{cases} \exp(\xi + \xi') = \exp \xi \, \exp \xi' \quad \text{si } [\xi, \xi'] = 0 \\[4pt] \struck{\log((1+\eta)(1+\eta'))} \\[2pt] \log g g' = \log g \; \log g' \quad \text{si } g g' = g' g \end{cases} \] les deux conditions « si » sont reliées par une double flèche verticale \(\Updownarrow\) ; le second membre de la dernière formule est écrit tel quel, \(\log g \; \log g'\), sans signe \(+\) visible

[Si […] \(I\) est un idéal (à gauche ou à droite) de \(U\), fermé, […] \[ N(U) \cap I \;\rightleftarrows\; 1_U + N(U) \cap I \] Si \(\varphi : U \to V\) est un homom. d'anneaux [algèbres] topologiques, on a \(\varphi(N(U)) \subset N(V)\), et \[ \begin{cases} \varphi \exp \xi = \exp \varphi(\xi) \\[2pt] \varphi \log g = \log \varphi(g) \end{cases} \] le mot de remplacement au-dessus de « anneaux » ne se lit pas ; « algèbres » est une conjecture de l'éditeur ; « fermé » est écrit en interligne au-dessus de « (à gauche ou à droite) »

Cas Toute sous-algèbre fermée […] est […] « stable » pour \(\exp\), \(\log\) le bloc entre crochets qui précède, du « Si \(I\) est un idéal » à la formule \(\varphi \log g = \log \varphi(g)\), est accolé d'un grand crochet dont une flèche descend jusqu'à cette dernière ligne : il est à reporter après elle

9(2) Supposons que \(U\) soit […] une k-[…] augmentée [\(k\) […] […] […] […]] […] […] muni d'une […] diagonale la lettre cerclée en interligne au-dessus du mot biffé est un \(k\), répété une ligne plus bas ; on lit « augmentée » sans certitude \[ \Delta : U \longrightarrow U \,\widehat{\otimes}_{k}\, U \] qui soit un hom. de k-algèbres augmentées et un hom. […] k-bigèbre […] ([…] […] […]). On désigne par \(\mathfrak{g}(U)\) \(\gamma(U)\) \(\pi(U)\) l'ens. des \(g \in 1 + I(U)\) […] tels que trois notations sont écrites l'une sous l'autre pour l'ensemble qui va être défini : \(\mathfrak{g}(U)\), biffé, \(\gamma(U)\), et une troisième biffée par-dessus un \(\pi\) souligné ; c'est \(\gamma(U)\) qui est repris aux feuillets 10 à 12 ; « depuis quelques » et une flèche en interligne au-dessus de « (...) » ne se rattachent à rien de lisible \[ \Delta(g) = g \otimes g \] \[ \delta \xi = \xi \otimes \xi \qquad \text{si} \quad g = 1 + \xi \quad (\xi \in I(U)) \] la formule \(\delta\xi = \xi\otimes\xi\) est écrite sous \(\Delta(g) = g\otimes g\) ; la lettre \(\delta\) paraît désigner la « diagonale réduite » sur \(I(U)\), qui n'est pas définie sur le feuillet correspondants […] définit […] [[…] ils correspondent bien à la bigèbre […] \(k[T]\), avec \(\delta T = T \otimes T\), ou plutôt […] première \(k[[T]]\), avec \(\delta T = T \otimes T\), […] […] […] […] […] […] \(\}\) ; […] le […] dual […] et […] […] \(\mathbb{Z}\) ... ]. Ils […] […] […] […] le crochet ouvert avant « ils correspondent » se ferme après « \(\mathbb{Z}\) ... » ; entre les deux, la prose ne se laisse lire que par bribes […] \(I(U)\) […] \(\to 0\) […] \(\to \infty\) […] […] note marginale à gauche de la ligne « ils correspondent », quatre lignes courtes dont les formules seules se lisent \[ \Delta(g g') = \Delta(g)\,\Delta(g') = (g \otimes g)(g' \otimes g') = g g' \otimes g g' \] \[ \Delta(g^{-1}) = \struck{\ill{}}\,(\Delta(g))^{-1} = (g \otimes g)^{-1} = g^{-1} \otimes g^{-1} \] de \(\gamma(U)\), et \(\gamma(U)\) fonctoriel […] en \((k, U) \longrightarrow (k', U')\). les deux dernières lignes : une phrase dont le sujet est en haut de la ligne précédente et ne se lit pas ; « Fonctorialité » se lit en marge sous la formule pour \(\Delta(g^{-1})\)

10Supposons […] que \(U\) soit une \(\mathbf{Q}\)-algèbre. Alors Soit \(\pi(U)\) l'ens. des éléments primitifs de \(U\). Alors « \(\pi(U)\) » est écrit par-dessus « \(\exp\xi\) » biffé ; à droite, un « Alors » biffé \[ \pi(U) \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; \gamma(U) \] au-dessus de la flèche, un premier essai « \(\pi(U) \to \gamma\) » est biffé sont des bijections, inverses l'une de l'autre.

[N.B. il suffit de vérifier que \(\exp\) applique \(\pi(U)\) dans \(\gamma(U)\), et \(\log\) applique \(\gamma(U)\) dans \(\pi(U)\)]. Pour transporter les structures, on obtient […] \(\pi(U)\) une loi de gr. […] […] […] donnée à l'aide de […] crochets, par la formule universelle [raison […] […] […] de Campbell- Hausdorff (i.e. […] […] […] \(k\)-bigèbre […] libre […] sur […] d'un ensemble complété), […] […] définie […] \(\Lambda\) une k-algèbre infinitésimale. Hausdorff-Campbell et explicitée des bijections réciproques. le bas du feuillet est un enchevêtrement de deux ou trois essais biffés et de renvois fléchés ; on transcrit dans l'ordre de lecture le plus vraisemblable et on marque l'incertitude mot par mot. Le nom du théorème est lu « Campbell-Hausdorff » dans le texte et « Hausdorff-Campbell » dans la marge (biffé), puis « Hausdorff-Campbell » aux feuillets 14 et 15

(3) Soit \(U\) une k-bigèbre hyp. […]) Alors \[ \boxed{\ I(U) \ \ill{} \ \exp\bigl\{\ \ill{} \ \bigr\}\ } \] un bloc encadré d'un trait ondulé, de deux lignes, dont seuls « \(I(U)\) » et « \(\exp\{\) » se lisent ; il est relié par une flèche à la ligne suivante \(\Lambda\) une k-algèbre infinitésimale. Alors \(\struck{\pi} \otimes_{k} U \otimes_{k} \Lambda\) […] une k-hyperalgèbre, […] […] […] […] et […] augmentée, […] d'augmentation \(I(U) \otimes_{k} \Lambda\) […] […] mais non […] « hyperalgèbre » est une lecture douteuse d'un mot qui commence par « hyp » ; les dernières lignes du feuillet sont cernées d'un trait et reliées par une flèche au haut du feuillet 11

11\(\struck{\pi_{0}(U)} \struck{\otimes_{k} I(\Lambda)}\) […] un premier essai, biffé, en tête du feuillet \[ \Bigl[\ \struck{I(U) \otimes_{k} I(\Lambda)} \Bigr] \qquad \boxed{U \otimes_{k} I(\Lambda)} \longrightarrow 1 + I(U) \otimes_{k} \] deux lignes reliées par une accolade et prolongées par une flèche vers « \(1 + I(U)\otimes_k\) », dont le second facteur n'est pas écrit

Alors \(U \otimes \underline{I}(\Lambda)\) […] de puiss. nilpotente le \(I\) est ici barré d'un trait horizontal, comme le \(\Phi\) du feuillet 5

aussi, d'où \[ U \otimes I(\Lambda) \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; 1 + U \otimes I(\Lambda) \] […] bijections d'une

[et si \(I(U) \to\) […], […] \(U\) […] \[ I(U) \otimes I(\Lambda) \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; 1 + I(U) \otimes I(\Lambda) \ \Bigr] \]

Supposons maintenant que \(U\) soit une hyperalgèbre […] […] […] primitifs définit […] Alors la comparaison […] […] les primitifs de […] […] comm. bi-[…] […] \((U \otimes I(\Lambda)) \cap I(U \otimes \Lambda)\) \(= I(U \otimes \Lambda) \otimes I(\Lambda)\) […] […] la formule est récrite trois fois par-dessus des ratures ; on ne garde que le terme de gauche, seul à se lire primitifs sont dans \(U \otimes_{k} \Lambda\), et […] la partie de \(1 + I(U) \otimes I(\Lambda)\) \(= 1 + \gamma(U \otimes \Lambda)\) formée des éléments multiplicatifs. On voit que […] les primitifs de \(U \otimes_{k} \Lambda\) qui […] dans […] \(U \otimes_{k} \Lambda \to U\), et les éléments multiplicatifs de \(U \otimes_{k} \Lambda\) qui donnent \(1\) […] la […] […] les six dernières lignes sont d'une écriture très rapide, d'une encre qui s'affaiblit vers le bas ; on transcrit ce qui se laisse deviner mot par mot, en lecture douteuse, et le reste comme illisible

126) […] obtient donc […] des bijections, inverses l'une de l'autre \[ \pi_{0}(U \otimes \Lambda) \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; \gamma_{0}(U \otimes_{k} \Lambda) \] les lettres \(\pi\) et \(\gamma\) désignent, d'après les feuillets 11 et 12, les éléments primitifs et les éléments « multiplicatifs » ; l'indice \(0\) n'est pas explicité

[…] […] indiquent ([…] […] […] […] primitifs resp. multiplicatifs […] […] \(U \otimes \Lambda \longrightarrow U\). […] […] limite projective \(V\), […] déduit […] […] […] si \(\Lambda\) est une […] […] […] k-algèbre infinitésimale […] […] d'ailleurs […] \(\Lambda\) est plus, […] […] […] \(\Lambda\) […] […] […] six lignes de prose entre les deux formules, dont seuls quelques mots se lisent ; un trait horizontal barre la fin de la cinquième \[ \pi(U) \otimes_{k} I(\Lambda) \xrightarrow{\;\alpha\;} \pi_{0}(U \otimes_{k} \Lambda) \] […] […] si \(\Lambda\) […] k-plat, \[ 0 \longrightarrow \pi(U) \longrightarrow \struck{\ill{}} \uncertain{I(U)} \xrightarrow{\;\delta\;} I(U) \otimes I(U) \] le terme du milieu est repassé et biffé, puis récrit par-dessus ; on lit \(I(U)\) sans certitude \(U\) […] exact. […] la ligne est soulignée deux fois

donc un […] […] […] \[ \pi(U) \otimes_{k} I(\Lambda) \xrightarrow{\;\exp\circ\alpha\;} 1 + \pi_{0}(U \otimes_{k} \Lambda) \] le second membre est écrit \(1 + \pi_{0}(\ldots)\), tel quel […] isom. […] dans le cas […] […] […] précisions, \(U\) une bigèbre […] […] : […] le corps, th. de Cartier […] […] […] et esp.) […] […] […] \(\pi_{0}(U \otimes_{k} \Lambda)\).

\(\rho\) [i.e. \(\Delta\) est […] et assoc., […] \(I(U) = \bigcup U_i\), […] \(\delta U_i \subset U \otimes U_i\) et \(\gamma(U) = \{e\}\)] — \(U\) […] d'un point fixe, notion […] \(\mathfrak{g} = \pi(U)\) […] — \(\rho'\) les […] d'autre part et […] […] Poincaré-Witt […] : \(\mathfrak{g} \simeq \pi(U(\mathfrak{g}))\) […] — ([…] […] […]), donc […] voit que \(U \simeq U(\mathfrak{g})\) […] \(\mathfrak{g} = \pi(U)\) : th. de Cartier […] En particulier — si \(\mathfrak{g}\) est de dim. finie, […] donc […] […] Cor. […] […] […] […] […] note de sa main dans la marge gauche, écrite de bas en haut sur toute la hauteur du feuillet, en deux ou trois colonnes serrées ; on n'en restitue que les formules et les mots sûrs, dans un ordre de lecture incertain. Le \(\mathfrak{g}\) est une lettre gothique bouclée, distincte du \(\gamma\) de \(\gamma(U)\)

13(4) Supposons que \(\mathfrak{g} = L_k(M)\), i.e. […] un […], \(U\) […] […] […] […] top. discrète.

Soit \(\xi\) nilpotent de […] \(U\), \(g = \exp \xi\). \[ \xi . a = 0 \;\Longleftrightarrow\; g a = a \] \[ \xi \ \ill{} \ \Longleftrightarrow\ g \ \ill{} \] la seconde équivalence porte sur un mot de part et d'autre qui ne se lit pas \[ M' \ \uncertain{\text{stable}} \ \ill{} \ \xi \;\Longleftrightarrow\; M' \ \uncertain{\text{stable}} \ \ill{} \ g \qquad (M' \subset M) \] les trois équivalences sont accolées d'un crochet à gauche ; une flèche coudée relie la deuxième à la troisième

Supposons que […] \(M\) soit muni […] […] […] […] \((x, y) \longmapsto x . y\). Alors \[ \xi(x . y) = (\xi x) y + x (\xi y) \;\Longleftrightarrow\; g(x . y) = (g x)(g y) \] dérivations automorphismes ; multiplicatives invariants deux paires de mots, soulignés, sous les deux membres de l'équivalence ; la lecture des quatre est douteuse

[…] […] […] dans […] […] […] d'augmentation […] […] algèbre contient […] […] […] \(k\) […] […] [donc \(\Lambda\) contient \(\mathbf{Q}\)], \(\mathbf{Q}\) […] soit \(M\) un […] […]. Alors […] \(u \in L_\Lambda(M)\) […] \(u M \subset I(\Lambda) M\) […] \(u\) nilpotent […] \(M \otimes_{\Lambda} \uncertain{k}\) (de puiss. […] nulle) […] […] \(u \in L_{\Lambda}^{\uncertain{*}}(M)\) […] […] […] \(M \otimes_{\Lambda} k\) […] […] […] […] l'identité […] […] […], si […] […] […] […] \(\pi_{\ill{}}\) resp. \(\gamma\), le bas du feuillet est un brouillon dont la prose de liaison ne passe pas ; « donc \(\Lambda\) contient \(\mathbf{Q}\) » est relié par un trait au « \(\mathbf{Q}\) » de la ligne suivante, et « \(M \otimes_{\Lambda} k\) » est en interligne au-dessus de « (de puiss. ... nulle) »

14[…] obtient des bijections, inverses l'une de l'autre, \[ \pi \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; \gamma \qquad (\uncertain{\text{multiplicatif}}) \] Bien entendu, \(\pi\) est un idéal (de \(L_{\Lambda}(M)\)), et à fortiori une sous-algèbre de Lie. En transportant à \(\pi\) la structure de groupe de \(\gamma\), […] trouve une structure de groupe dans \(\pi\), qui […] […] […] de […] structure d'algèbre de Lie par la formule de Hausdorff-Campbell. Si \(M\) est une \(\Lambda\)-algèbre, […] trouve […] contient les automorphismes de la \(\Lambda\)-algèbre \(A\) (i.e. […] \(\Lambda\) […] une algèbre […] […] : […] idéal d'augmentation […] […], […] […] une \(\mathbf{Q}\)-algèbre) qui induisent l'identité sur […]\(\otimes_{\Lambda} k\), correspondent biunivoquement aux \(\Lambda\)-dérivations \(D\) de \(B\) telles que \(D B \subset \uncertain{I(\Lambda) B}\). « (multiplicatif) » est écrit sous le \(\gamma\) et relié par un trait à « idéal » ; un « \(A\) » est ajouté au-dessus de « \(\Lambda\)-algèbre » à sa première occurrence, et le nom de l'algèbre est ensuite \(A\) puis \(B\) ; « \(D\) » est ajouté au-dessus de « dérivations » ; « contient » et « automorphismes » sont soulignés

15Supposons en particulier \[ B = A \otimes_{k} \Lambda \] où \(\Lambda\) est une k-algèbre infinitésimale. Alors […] \(\Omega^{\prime}_{\Lambda}\) \[ \mathcal{T}_{B/\Lambda} \struck{(B/A)} = \operatorname{Hom}_{B}(\Omega^{1}_{B/\Lambda}, B) \simeq \operatorname{Hom}_{B}(\Omega^{1}_{A/k} \otimes_{k} \Lambda, A \otimes_{k} \Lambda) \simeq \operatorname{Hom}_{A}(\Omega^{1}_{A/k}, A \otimes_{k} \Lambda) \simeq \text{k-dérivations de } A \text{ dans } A \otimes_{k} \Lambda \] la lettre cursive à boucle devant \((B/A)\) est celle du feuillet 4, lue \(\mathcal{T}\) : ici elle est explicitée par \(\operatorname{Hom}_{B}(\Omega^{1}_{B/\Lambda}, B)\), ce qui fixe la lecture pour tout le lot ; « \((B/A)\) » est biffé et remplacé par l'indice \(B/\Lambda\) ; « de \(A\) dans \(A\otimes_k\Lambda\) » est écrit en petit sous « k-dérivations » et les \(\Lambda\)-dérivations de \(B\) en \(B\) qui induisent \(0\) sur \(B \otimes_{\Lambda} k \simeq \Lambda\) s'identifient aux k-dérivations \(A \longrightarrow A \otimes_{k} I(\Lambda)\). on lit \(\Lambda\) après \(\simeq\), où l'on attendrait \(A\)

Donc

Proposition Supposons \(k \struck{\ill{}} \supset \mathbf{Q}\), \(A\) une k-alg. comm., \(\Lambda\) une k-alg. […]. Alors les \(\Lambda\)-aut. \(\Lambda\)-automorphismes infinitésimaux de \(A \otimes_{k} \Lambda\) […] […] correspondent à l'ensemble des k-dérivations de \(A\) dans \(A \otimes_{k} I(\Lambda)\), […] la structure de groupe donnée par Hausdorff-Campbell. « \(\supset \mathbf{Q}\) » est écrit par-dessus un mot biffé, le \(\mathbf{Q}\) cerclé ; le mot après « \(\Lambda\) une k-alg. » est une abréviation de trois ou quatre lettres qui ne se lit pas ; une insertion au-dessus de « \(\Lambda\)-aut. » ne se lit pas non plus. Un trait vertical ondulé accole tout l'énoncé dans la marge gauche, et se poursuit sur les trois premières lignes du feuillet 16

16En particulier, si \(\Lambda\) est k-libre de […] […] […] fini, […] alors \[ \mathcal{T}_{A/k} \otimes_{k} I(\Lambda) \simeq \pi_{0}\bigl(\uncertain{\mathcal{T} \otimes_{k} U}\bigr), \] […] […] […] […] \(=\) […] si \(\Omega^{1}_{A/k}\) est libre de […] […] fini sur \(A\). le second membre \(\pi_{0}(\ldots)\) est écrit en interligne au-dessus, relié par une accolade à la formule ; la ligne « \(= \ldots\) » qui suit ne se lit pas

[alors \(A/k\) est diff. simple […]]

Fibrés des germes d'ordre \(n\) de sections, etc. Transformations infinitésimales

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 17, chemise vierge qui couvre les feuillets 18 à 20 et sans doute la suite du lot 2 ; les mots « sections » et « infinitésimales » sont soulignés

18\(S\) préschéma

\(\Lambda\) faisceau loc. libre de rang fini de \(\underline{\mathcal{O}}_{S}\)-algèbres \(\underline{\mathcal{O}}_{S}\)-augmentées, tel que d'idéal d'augmentation \(I\), tel que \(\operatorname{gr}^{I}(\Lambda)\) soit […] localement libre [donc \(I^{n} = 0\) pour \(n\) grand]. Un tel \(\Lambda\) est dit « faisceau de type infinitésimal ».

\(T = \operatorname{Spec}(\Lambda)\), S-schéma fini et plat, muni d'une section \(S \to T\).

\begin{tikzcd}
  X \arrow[d, "f"'] & X_{0} \arrow[l] \arrow[d, "f_{0}"] \\
  S & T \arrow[l] & S = T_{0} \arrow[l]
\end{tikzcd}

le diagramme est encadré dans la marge gauche ; sur la ligne du bas la flèche de \(S = T_0\) vers \(T\) est épaissie ; une inscription en biais le long du cadre, « […] \(X_0\) », relie le cadre au « \(X\) » du texte et ne se lit pas

\[ \Lambda_{n} = \Lambda / I^{n+1}, \qquad T_{n} = \operatorname{Spec}(\Lambda_{n}) \quad \text{donc} \] \[ T_{0} \simeq S \subset T_{1} \subset T_{2} \cdots \subset T_{n} \subset \cdots T_{N} = T \] \(X\) un \(T\)-schéma, plat simple sur \(T\), \(X_{n} = X \times_{T} T_{n}\) […] l'insertion au-dessus de « sur \(T\) » est de deux mots dont le second seul se lit à peu près

On considère de plus \[ \xi = X_{0} \struck{\times_{S}} T = X_{0} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_S} \Lambda \qquad\Big/\quad \text{Donc } \xi_{n} = X_{0} \times_{S} T_{n}, \ \text{en particulier } \xi_{0} = X_{0} \] Du point de vue […] topologique, […] \[ |X| = |\xi| = |X_{0}| = |\xi_{0}| \] \(\underline{\mathcal{O}}_{X}\) est un faisceau (de \(f_{0}^{*}(\underline{\Lambda})\)-algèbres) sur \(X\) \(X_{0}\), augmenté vers \(\underline{\mathcal{O}}_{X_0}\),

\begin{tikzcd}
  \underline{\mathcal{O}}_{X} \arrow[r] & \underline{\mathcal{O}}_{X_0} \\
  \underline{\mathcal{O}}_{S} \arrow[r] \arrow[u] &
  \underline{\Lambda} \arrow[r, "\varepsilon"] \arrow[u] &
  \underline{\mathcal{O}}_{S}
\end{tikzcd}

avec commutativité

de plus dans la filtration \(I\)-adique de \(\underline{\mathcal{O}}_{X}\), pour le gradué associé est loc. libre sur \(\underline{\mathcal{O}}_{X_0}\) (\(X\) plat sur \(T\)). « \(I\)-adique » est en interligne ; dans le diagramme le sommet \(\underline{\mathcal{O}}_{S}\) de droite est le but de \(\varepsilon\) et n'a pas de flèche montante

Si pour tout […] \(U \subset X_{0} = |X|\), soit \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(X)\) […] \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{\Lambda}(X)\) le groupe des \(T\)-automorphismes de \(U\) induisant l'identité sur \(X_{0} \cap U = U \times_{T} T_{0}\). les deux \(\underline{\mathrm{Aut}}\) sont écrits l'un sous l'autre avec un tiret devant le second : deux notations pour le même faisceau

mettre les hyp. […] […] pour simplifier […] […] […] […] note de sa main écrite en diagonale dans la marge gauche, sous le diagramme encadré ; quatre lignes courtes, en grande partie illisibles

19Ce groupe s'identifie aussi au groupe des \(f_{0}^{*}(\underline{\Lambda})\)-automorphismes de \(\underline{\mathcal{O}}_{X} | U\), qui induisent l'identité dans \(\underline{\mathcal{O}}_{X} / \underline{I} . \underline{\mathcal{O}}_{X}\) ; donc, quand \(U\) varie, ce groupe forme les sections d'un faisceau de groupes, noté \[ \underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(X) \ \ill{} \ = \underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{\Lambda}(X) \] qui s'identifie aussi au faisceau des groupes des [automorphismes de l'] \(f_{0}^{*}(\underline{\Lambda})\)-Algèbre \(\underline{\mathcal{O}}_{X_0}\)-augmentée \(\underline{\mathcal{O}}_{X}\). « automorphismes de l' » est une insertion de sa main en interligne, restituée entre crochets parce que sa place exacte dans la phrase n'est marquée que par un trait

D'autre part, considérons, […] le \(S\)-schéma \[ \overline{X} = \underline{\operatorname{Hom}}_{T/S}(T, X) \] « schéma des sections de \(X\) sur \(\Lambda\) » la note marginale est à gauche de la formule ; l'argument \(T\) de \(\underline{\operatorname{Hom}}\) porte une rature ; « le \(S\)-schéma » est en interligne au-dessus d'un mot biffé L'homom. section \(S \xrightarrow{\;\sim\;} T_{0} \to T\) définit \[ \underline{\operatorname{Hom}}_{T/S}(T, X) \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_{T_0/S}(T_{0}, X \times_{T} T_{0}) \simeq X_{0}, \] d'où un homomorphisme de \(S\)-préschémas « pré » est ajouté en interligne au-dessus de « schémas » \[ \overline{X} \xrightarrow{\;\pi^{X}_{\Lambda}\;} X_{0} \] Si \(U\) est un ouvert de \(X_{0}\), alors on a \[ \struck{U}\ \overline{U} \simeq (\pi^{X}_{\Lambda})^{-1}(U) \] (compatibilité avec les projections). Par suite, \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(X)\) opère comme faisceau d'automorphismes sur le \(X_0\)-schéma \(\overline{X}\)

20et par suite aussi […] sur le faisceau \(\boxed{\underline{S}(\overline{X}/X_{0})}\) des […] sections de \(\overline{X}\) sur \(X_{0}\).

On peut aussi considérer le faisceau \(\underline{\mathrm{Is}}^{X_0}_{T}(\struck{\xi}\ \xi, X)\), qui est un faisceau principal homogène (vérifiant ...) sous \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(X)\) (opérant à gauche) et sous \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(\xi)\) (— droite). D'ailleurs on a une section privilégiée \(s_{0}\) de \(\underline{S}(\overline{\xi}/\xi_{0})\) et on en déduit un hom de faisceaux \[ u \longmapsto u(s_{0}) \] \[ \underline{\mathrm{Is}}^{X_0}_{T}(\xi, X) \longrightarrow \underline{S}(\overline{X}/X_{0}) \] « \(s_0\) » est ajouté en interligne au-dessus de « privilégiée », avec une parenthèse ouvrante ; le \(\xi\) biffé dans \(\underline{\mathrm{Is}}(\xi, X)\) est récrit à côté

Proposition L'homomorphisme précédent est un isomorphisme de faisceaux, compatible avec […] […] faisceau de […] l'opération (à gauche) […] \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(X)\) (à droite). l'énoncé est accolé d'un trait vertical dans la marge gauche ; la seconde ligne est en partie biffée et récrite

Corollaire 1 \(\underline{S}(\overline{X}/X_{0})\) est principal homogène sous le faisceau \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(X)\) (à droite).

Corollaire 2 \(\underline{\mathrm{Aut}}^{X_0}_{T}(\xi)\) opère de façon naturelle sur \(\underline{S}(\overline{X}/X_{0})\), (qui devient un faisceau principal hom. […] […] […] faisceau de groupes […] […] […]). la dernière ligne du feuillet est coupée par le bord du scan

ceci est […] […] […] […] […] si \(\Lambda\) […] […] \(\underline{\mathcal{O}}_{S}\)-algèbre […] […] […] […], […] […] Greenberg […] […] de \(\overline{X}\) note de sa main dans le coin inférieur gauche, écrite en biais et cernée d'un trait ondulé, avec une flèche vers le corollaire 2 ; cinq lignes dont un nom propre, lu Greenberg sans certitude, est le seul mot qui se laisse deviner