Cote n° 23 · pages 1–98 · Lecture modernisée · EGA IV. Compléments : notes manuscrites (s.d.), lettres (1966, 1968), tapuscrit (s.d.). — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1966-1968
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–98

Le fil du dossier, et les conventions

Ce que la chemise contient. Quatre-vingt-dix-huit feuillets, dont onze ne portent qu'un titre de sa main en haut à droite et servent de chemises intérieures. Ces onze titres sont la table des matières du dossier, et il vaut mieux les avoir sous les yeux avant d'entrer :

1. p. 1« EGA IV, Calcul diff. (compléments) » — couverture de toute la cote.
2. p. 2« Discriminant etc » — couvre les pages 3 à 5.
3. p. 7« Exponentielle » — couvre les pages 8 à 16.
4. p. 17« Fibrés des germes d'ordre \(n\) de sections, etc. Transformations infinitésimales » — couvre les pages 18 à 22, et, de fait, la suite jusqu'à la page 32.
5. p. 33« Exemples, cas particuliers » — couvre les pages 34 à 36.
6. p. 38« Foncteurs différentiels d'ordre \(n\) » — couvre les pages 39 et 40.
7. p. 49« Suites régulières / Th. 11.2.9 de Raynaud » — couvre les pages 50 à 53.
8. p. 54« Lettres Deligne » — couvre les pages 55 à 64.
9. p. 65« Divers …. » — couvre les pages 66 à 80.
10. p. 81« IV 5 », puis « Compléments d'ordre divers » — couvre les pages 82 à 89.
11. p. 90« IV 12 », puis « Fibres des morphismes plats de présentation finie » — couvre les pages 91 à 98.

Les errata de Lê Dũng Tráng (pages 43 à 46) et le feuillet « EGA IV 18 ; EGA VI » (page 48) ne sont couverts par aucune chemise : ils sont glissés entre celle des « Foncteurs différentiels » et celle des « Suites régulières », et c'est le seul indice de classement qu'on ait sur eux. Les pages 6, 41, 42, 47, 68, 71, 85 et 94 sont blanches. La page 37 est un tapuscrit de rédaction bourbachique, « n^o 215 », étranger au dossier : elle n'est pas lue.

Les trois mouvements. Le premier, des pages 3 à 40, est de sa main et construit. Le deuxième, des pages 43 à 64, n'est pas de sa main — deux correspondants et un tapuscrit — et corrige. Le troisième, des pages 66 à 98, est de nouveau de sa main et range : des compléments classés par paragraphe du chapitre.

Ce qui relie les deux premiers est le paragraphe 16 des Éléments, qui s'appelle « Calcul différentiel » et que la couverture du dossier nomme. Le premier mouvement en construit l'appareil — les voisinages infinitésimaux de la diagonale, les parties principales, les automorphismes infinitésimaux. Le deuxième en démolit une définition, celle de 16.9.2. Le même paragraphe est l'objet des deux, et c'est ce qui fait de cette chemise un dossier plutôt qu'un tiroir.

La forme que le premier mouvement répète. Il faut la dire une fois, parce qu'elle revient quatre fois et qu'aucun feuillet ne la nomme. On se donne une base infinitésimale — un anneau ou un schéma dont on a décrété qu'une certaine puissance d'un idéal est nulle. Au-dessus d'elle, un objet, et sa réduction quand on annule l'infiniment petit. Alors :

• l'ensemble des manières de relever l'objet réduit, ou de le trivialiser, ou de le transporter,
• est un espace principal homogène sous le faisceau des automorphismes infinitésimaux de l'objet trivial,
• et ce faisceau est un module de dérivations.

Aux pages 8 à 16 l'objet est une algèbre et le troisième point est un théorème (l'exponentielle) ; aux pages 18 à 22 l'objet est un schéma et c'est le deuxième point qui est le théorème ; aux pages 23 à 29 l'objet est une connexion et c'est encore le deuxième ; aux pages 30 à 32 l'objet est un morphisme et le dossier n'énonce plus que la première moitié. Le troisième point n'est jamais repris au niveau des schémas : le dossier ne calcule nulle part le faisceau \(\mathrm{Aut}^{X_0}_T(\xi)\) en termes de \(\mathcal{T}_{X_0/S}\), et ne prend nulle part la cohomologie qui transformerait ces théorèmes de torseur en une classification. C'est la lacune principale du dossier, et elle est délibérée : il construit l'objet et s'arrête avant de l'exploiter.

Les notations, valables pour tout le dossier. Ses lettres soulignées — \(\mathcal{O}_S\), \(\mathcal{O}_X\), \(\Lambda\), \(I\), \(\Gamma\), \(S\), \(\mathrm{Aut}\), \(\mathrm{Is}\) — sont écrites ici sans soulignement, sauf \(\underline{\mathrm{Hom}}\) et \(\underline{P}\), où le trait ne relève pas de son habitude mais note le Hom interne, c'est-à-dire le faisceau des homomorphismes, et le faisceau des parties principales : c'est encore la notation d'aujourd'hui, et l'effacer perdrait une distinction. L'exposant entre accolades \(X^{\{\Lambda\}}\) est le sien et est gardé : il est introduit au bas de la page 21 et désigne le schéma des points de \(X\) « de type \(\Lambda\) », c'est-à-dire la restriction de Weil le long de \(\mathrm{Spec}\,\Lambda \to S\).¹ L'ordre d'un jet est écrit partout en exposant entre parenthèses, \(\Delta^{(n)}\), \(\pi^{(n)}\), \(P^{(n)}\), \(d^{(n)}\), \(\varepsilon^{(n)}\), alors que les feuillets alternent librement entre \((n)\) et \(n\) selon le symbole ; le choix est nôtre et ne prétend qu'à la constance.² \(\mathrm{OF}(S)\) désigne l'ensemble des parties ouvertes et fermées de \(S\), que les pages 74 à 79 écrivent d'un seul signe ligaturé.

Une clef de lecture, enfin, qui vaut pour les pages 74 à 79 et sans laquelle elles ne se lisent pas : chaque condition y est écrite sous sa forme faible, avec la forme forte entre parenthèses — « injectif (bijectif) », « surjectif (bijectif) », « fidèle (pleinement fidèle) ». Chacune de ces listes est donc deux listes, et les équivalences valent deux fois, une fois avec chaque lecture. La convention est constante sur six feuillets et elle est de lui.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas. Il faut le dire d'emblée, parce qu'un dossier de travail promet beaucoup et qu'un lecteur qui cherche un de ces énoncés perdrait son temps à le chercher ici.

• Les sorites sur l'exponentielle sont numérotés par lui \((1)\), \((2)\), \((3)\), \((4)\), puis \((6)\) : aucun \((5)\) n'est dans le dossier.
• Les deux théorèmes de torseur, celui des pages 20 et 21 et celui de la page 28, ne sont jamais convertis en une classification cohomologique. Le dossier ne prend \(H^{1}\) nulle part, et ne calcule nulle part le faisceau des automorphismes infinitésimaux en termes du faisceau tangent.
• La page 28 pose, d'un point d'interrogation et du mot « comment ? », la question de la flèche \(P^{n}(Y/S) \to f^{*}P^{n}(X/S)\), et ne la résout pas.
• La page 48 s'interrompt sur ses propres points de suspension : « Corollaire. Si \(f : X \to Y\) est … ».
• Les pages 39 et 40, sous le titre « Foncteurs différentiels d'ordre \(n\) », n'atteignent jamais la définition qu'elles annoncent.
• La page 70 énonce une proposition dont le (i) est écrit et le (ii) resté vide.
• La page 84 pose l'axiome \(\partial 1\) d'une \(\partial\)-catégorie ; le second axiome n'est pas dans le dossier.
• La page 97 pose trois implications sur la platitude et n'en démontre aucune.
• Dans la lettre du 17 octobre, l'implication (v) \(\Rightarrow\) (iii) est ajournée (« Va être modulée ») et remplacée par un autre énoncé ; le N.B. qui la conjecturerait sans hypothèse de minimalité est biffé ; et Deligne dit lui-même, à sa dernière page, qu'il ne sait pas démontrer l'annulation dont il aurait besoin.
• Quatre documents sont cités et absents : les lettres de Grothendieck auxquelles les trois lettres de Deligne répondent ; la lettre de Serre jointe à la page 64 ; la lettre de Quillen sur \(\Omega_{B/A}\) citée à la page 62 ; et la rédaction « copiée sur la primitive » que la lettre du 29 octobre dit joindre. Le destinataire du tapuscrit des pages 52 et 53 n'est pas nommé.

3–5

I. Le canonique d'une intersection complète, et le discriminant (pages 3 à 5)

Trois feuillets sous la chemise « Discriminant etc ». Les deux premiers sont écrits au net et se lisent d'un bout à l'autre ; le troisième est un brouillon.

La formule d'adjonction. Soient \(S\) un préschéma, \(E\) un faisceau localement libre de rang \(r+1\) sur \(S\), et \(P = \mathbf{P}(E)\) le fibré projectif associé, de morphisme structural \(g : P \to S\).³ On dispose de la suite exacte d'Euler \[ 0 \longrightarrow \Omega^{1}_{P/S} \longrightarrow g^{*}(E)(-1) \longrightarrow \mathcal{O}_{P} \longrightarrow 0 , \] d'où, en prenant les déterminants, \[ \Omega^{r}_{P/S} \xrightarrow{\;\sim\;} g^{*}\bigl(\Lambda^{r+1}_{\mathcal{O}_S} E\bigr)(-r-1) . \tag{1} \]

Soit maintenant \(X \subset P\) un sous-préschéma lisse sur \(S\), de dimension relative \(n = r - p\), d'idéal \(J\), et \(f : X \to S\) son morphisme structural. La suite exacte conormale \[ 0 \longrightarrow J/J^{2} \longrightarrow \Omega^{1}_{P/S} \otimes \mathcal{O}_X \longrightarrow \Omega^{1}_{X/S} \longrightarrow 0 \] donne de même \[ \Omega^{r}_{P/S} \otimes \mathcal{O}_X \;\simeq\; \Omega^{n}_{X/S} \otimes \Lambda^{p}_{\mathcal{O}_X}(J/J^{2}) , \tag{2} \] et en composant (1) et (2) \[ f^{*}\bigl(\Lambda^{r+1}_{\mathcal{O}_S} E\bigr)(-r-1) \;\simeq\; \Omega^{n}_{X/S} \otimes \Lambda^{p}_{\mathcal{O}_X}(J/J^{2}) . \] C'est la formule d'adjonction, sous la forme \(\omega_{X/S} \simeq (\omega_{P/S} \otimes \det \mathcal{N}_{X/P})|_X\).

Le cas d'une intersection complète. Supposons \(X\) définie par un sous-module gradué \(M \subset \mathrm{Sym}^{*}(E)\), localement facteur direct et localement libre de rang \(p\).⁴ Si \(I_d\) désigne la composante de degré \(d\) de l'idéal, on a des homomorphismes \(g^{*}(I_d)(-d) \to J\), d'où des homomorphismes surjectifs \(\coprod g^{*}(M_d)(-d) \to J\) induisant un isomorphisme \[ \coprod f^{*}(M_d)(-d) \xrightarrow{\;\sim\;} J/J^{2} , \] le faisceau conormal de \(X\) dans \(P\).⁵ Notant \(M_{d_i}\) les composantes non nulles de \(M\), de degré \(d_i\) et de rang \(\alpha_i\), avec \(p = \sum \alpha_i\), il vient \[ \Lambda^{p}_{\mathcal{O}_X}\, J/J^{2} \;\simeq\; f^{*}\Bigl(\bigotimes_{i} \Lambda^{\alpha_i} M_{d_i}\Bigr) \bigl(-\textstyle\sum \alpha_i d_i\bigr) , \] et donc \[ \Omega^{n}_{X/S} \xrightarrow{\;\sim\;} f^{*}\Bigl(\bigl(\Lambda^{r+1}_{S} E\bigr) \otimes \bigotimes_{i} \Lambda^{\alpha_i} \check{M}_{d_i}\Bigr) \bigl(\textstyle\sum \alpha_i d_i - r - 1\bigr) . \tag{3} \]

Lorsque \(\sum \alpha_i d_i = r+1\), la torsion disparaît et le canonique relatif est image inverse d'un faisceau sur la base : \[ \Omega^{n}_{X/S} \xrightarrow{\;\sim\;} f^{*}\Bigl(\bigl(\Lambda^{r+1}_{S} E\bigr) \otimes \bigotimes_{i} \Lambda^{\alpha_i} \check{M}_{d_i}\Bigr) . \tag{4} \] La parenthèse est laissée vide sur le feuillet, avec un simple tiret.⁶

L'exemple de la cubique plane. Soit \(E\) localement libre de rang \(3\), donc \(r = 2\), avec un seul \(M_{d_i}\), de degré \(d_i = 3\) et de rang \(\alpha_i = 1\) : \(X\) est une courbe elliptique lisse sur \(S\), et l'on est dans le cas \(\sum \alpha_i d_i = 3 = r+1\). La formule (4) donne \[ \Omega^{1}_{X/S} \xrightarrow{\;\sim\;} f^{*}\bigl(\Lambda^{3} E \otimes \check{M}\bigr) . \] Si \(E\) admet une filtration de facteurs \(\mathcal{O}_S\), \(L^{\otimes 2}\), \(L^{\otimes 3}\), où \(L\) est inversible avec \(f^{*}(L) \simeq \mathcal{T}_{X/S}\),⁷ alors \(\Lambda^{3} E \simeq L^{\otimes 5}\), et de \(\Omega^{1}_{X/S} \simeq f^{*}(\check{L})\) on tire \(\check{L} \simeq L^{\otimes 5} \otimes \check{M}\), c'est-à-dire \[ M \simeq L^{\otimes 6} . \] C'est le degré classique de l'équation de Weierstrass dans le fibré de Hodge : la forme cubique qui définit la courbe vit à la sixième puissance du faisceau inversible qui mesure son canonique.

Le discriminant. Le troisième feuillet est un brouillon — des formules alignées à gauche, un bloc de prose, une insertion en diagonale dans la marge — et n'établit rien de complet. Ce qu'il pose est ceci. On note \(\Phi^{k}(P^{r})\) l'espace des hypersurfaces de degré \(k\) de \(P^{r}\), et \(\delta_{r,k}\) son discriminant, défini au signe près comme une section de \(\mathcal{O}_{\Phi^{k}(P^{r})}(N)\), où \(N\) est le degré du discriminant en les coefficients de la forme, soit \[ N = (r+1)(k-1)^{r} . \] Ce degré n'est pas celui du feuillet.⁸

Le reste du feuillet est juste et lisible. Une section \(\varphi\) de \(\Phi^{k}(P^{r})\) au-dessus de \(S\) — c'est-à-dire une famille d'hypersurfaces de degré \(k\) paramétrée par \(S\) — définit un faisceau inversible \(\check{M}\) sur \(S\), image inverse de \(\mathcal{O}_{\Phi^{k}(P^{r})}(1)\), et le discriminant s'y transporte en une section \(\delta\) de \(\check{M}^{\otimes N}\). L'énoncé visé est alors : \[ P^{r}_{\varphi} \text{ est lisse sur } S \iff \delta \text{ est partout non nulle.} \] Et si \(J = J_{\varphi}\) est l'idéal que \(\varphi\) définit sur \(P^{r}\), on a \(J \simeq g^{*}(M)(-k)\), provenant de l'homomorphisme \(\mathcal{O}(-k) \otimes g^{*}(M) \to \mathcal{O}_{P^{r}}\) obtenu en restreignant \(\mathcal{O}(-k) \otimes g^{*}\mathrm{Sym}^{k}(E) \to \mathcal{O}_{P^{r}}\).⁹

8–16

II. L'exponentielle : une dérivation est un automorphisme infinitésimal (pages 8 à 16)

Neuf feuillets sous la chemise « Exponentielle », intitulés par lui « Sorites sur l'exponentielle » et numérotés \((1)\), \((2)\), \((3)\), \((4)\) — avec un \((6)\) à la page 12 et aucun \((5)\) dans le dossier. Les feuillets 8, 14, 15 et 16 sont écrits au net ; les feuillets 9 à 13 sont un brouillon rapide, biffé et surchargé, dont les formules portent et dont la prose de liaison, pour l'essentiel, ne porte pas.

Il faut le dire avant d'entrer : ce qui suit des pages 9 à 13 est une reconstitution. Les énoncés donnés ici sont ceux que les formules survivantes imposent, dans l'ordre où elles viennent ; les phrases qui les articulaient sont perdues, et l'on ne peut pas garantir qu'il les enchaînait ainsi. Les pages 8, 14, 15 et 16, elles, se lisent.

(1) L'exponentielle dans une algèbre topologique (page 8)

Soit \(U\) une algèbre associative unitaire sur \(\mathbf{Q}\), linéairement topologisée, séparée et complète, et \(N(U)\) l'ensemble de ses éléments topologiquement nilpotents.¹⁰ Les deux séries \[ \exp \xi = \sum_{n \geqslant 0} \frac{1}{n!}\,\xi^{n} , \qquad \log(1+\eta) = \sum_{n > 0} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,\eta^{n} \] convergent et définissent deux bijections réciproques \[ N(U) \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; 1_U + N(U) . \] Elles échangent addition et multiplication lorsque les éléments commutent : \[ \begin{cases} \exp(\xi + \xi') = \exp \xi \, \exp \xi' & \text{si } [\xi, \xi'] = 0 , \\[4pt] \log(g g') = \log g + \log g' & \text{si } g g' = g' g . \end{cases} \] La seconde identité est écrite sur le feuillet sans signe \(+\) visible, sous la forme « \(\log g g' = \log g \; \log g'\) ».¹¹

Deux compléments, que le feuillet porte entre crochets avec une flèche les renvoyant après la ligne suivante. Si \(I\) est un idéal à gauche ou à droite de \(U\), fermé, les bijections se restreignent en \(N(U) \cap I \rightleftarrows 1_U + N(U) \cap I\). Et si \(\varphi : U \to V\) est un homomorphisme d'algèbres topologiques, alors \(\varphi(N(U)) \subset N(V)\) et \[ \varphi(\exp \xi) = \exp \varphi(\xi) , \qquad \varphi(\log g) = \log \varphi(g) . \] En particulier toute sous-algèbre fermée est stable pour \(\exp\) et \(\log\).¹²

(2) Éléments primitifs et éléments multiplicatifs (pages 9 à 11)

On suppose maintenant \(U\) munie d'une structure de bigèbre sur \(k\) : augmentation d'idéal \(I(U)\), et diagonale \[ \Delta : U \longrightarrow U \,\widehat{\otimes}_{k}\, U \] qui soit un homomorphisme d'algèbres augmentées. On note \(\delta\) la diagonale réduite sur \(I(U)\), c'est-à-dire \(\delta(\xi) = \Delta(\xi) - \xi \otimes 1 - 1 \otimes \xi\).¹³

On pose alors \[ \gamma(U) = \{\, g \in 1 + I(U) \;:\; \Delta(g) = g \otimes g \,\} , \qquad \pi(U) = \{\, \xi \in I(U) \;:\; \delta(\xi) = 0 \,\} , \] les éléments multiplicatifs (aujourd'hui : de type groupe) et les éléments primitifs.¹⁴ Que \(\gamma(U)\) soit un groupe est vérifié sur le feuillet par les deux calculs \[ \Delta(g g') = \Delta(g)\,\Delta(g') = (g \otimes g)(g' \otimes g') = g g' \otimes g g' , \qquad \Delta(g^{-1}) = \Delta(g)^{-1} = g^{-1} \otimes g^{-1} , \] et la formation de \(\gamma(U)\) est fonctorielle en le couple \((k, U)\). Que \(\pi(U)\) soit une algèbre de Lie est immédiat sur la définition et n'est pas vérifié sur le feuillet.

Si de plus \(U\) est une \(\mathbf{Q}\)-algèbre, alors \(\exp\) et \(\log\) échangent les deux : \[ \pi(U) \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; \gamma(U) \] sont des bijections réciproques. Il note lui-même ce qu'il suffit de vérifier : que \(\exp\) envoie \(\pi(U)\) dans \(\gamma(U)\) et \(\log\) envoie \(\gamma(U)\) dans \(\pi(U)\), le reste étant déjà acquis au point (1). On transporte alors la loi de groupe de \(\gamma(U)\) sur \(\pi(U)\), et la loi obtenue s'exprime en termes de crochets par la formule universelle de Campbell-Hausdorff.¹⁵

(3) Changement de base par une algèbre infinitésimale (pages 11 et 12)

Soit \(\Lambda\) une \(k\)-algèbre infinitésimale : augmentée, d'idéal d'augmentation \(I(\Lambda)\) nilpotent. Alors \(U \otimes_{k} I(\Lambda)\) est topologiquement nilpotent dans \(U \otimes_k \Lambda\), et le point (1) s'applique : \[ U \otimes_k I(\Lambda) \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; 1 + U \otimes_k I(\Lambda) , \] et de même avec \(I(U) \otimes_k I(\Lambda)\).

On note \(\pi_{0}(U \otimes_k \Lambda)\) et \(\gamma_{0}(U \otimes_k \Lambda)\) les éléments primitifs, respectivement multiplicatifs, de \(U \otimes_k \Lambda\) qui deviennent triviaux dans \(U\) par l'augmentation \(U \otimes_k \Lambda \to U\).¹⁶ On obtient alors des bijections réciproques \[ \pi_{0}(U \otimes_k \Lambda) \;\underset{\log}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}}\; \gamma_{0}(U \otimes_{k} \Lambda) . \]

Reste à comparer \(\pi_0(U \otimes_k \Lambda)\) à \(\pi(U) \otimes_k I(\Lambda)\). Il y a toujours un homomorphisme canonique \[ \alpha : \pi(U) \otimes_{k} I(\Lambda) \longrightarrow \pi_{0}(U \otimes_{k} \Lambda) , \] et si \(\Lambda\) est plate sur \(k\), c'est un isomorphisme : car \(\pi(U)\) est le noyau de \(\delta : I(U) \to I(U) \otimes_k I(U)\), c'est-à-dire qu'on a une suite exacte \[ 0 \longrightarrow \pi(U) \longrightarrow I(U) \xrightarrow{\;\delta\;} I(U) \otimes_k I(U) , \] et le foncteur \(- \otimes_{k} I(\Lambda)\) la préserve. D'où, en composant avec l'exponentielle, un isomorphisme \[ \pi(U) \otimes_{k} I(\Lambda) \xrightarrow[\;\sim\;]{\;\exp \circ\, \alpha\;} \gamma_{0}(U \otimes_{k} \Lambda) . \] Le feuillet écrit ce second membre « \(1 + \pi_{0}(U \otimes_k \Lambda)\) », tel quel.¹⁷

La marge du feuillet 12, écrite de bas en haut sur toute la hauteur de la page et en deux ou trois colonnes serrées, esquisse ce qui manque : le théorème de Cartier, \(U \simeq U(\mathfrak{g})\) pour \(\mathfrak{g} = \pi(U)\), et Poincaré-Witt, \(\mathfrak{g} \simeq \pi(U(\mathfrak{g}))\).¹⁸

(4) Le théorème : dérivations et automorphismes infinitésimaux (pages 13 à 16)

Le point (4) spécialise. Soit \(M\) un \(k\)-module, \(\mathfrak{g} = L_k(M)\) l'algèbre de Lie de ses endomorphismes \(k\)-linéaires, et \(U\) son algèbre enveloppante, de topologie discrète. Pour \(\xi\) nilpotent et \(g = \exp \xi\), le feuillet 13 aligne trois équivalences : \[ \xi . a = 0 \iff g a = a , \qquad M' \text{ stable par } \xi \iff M' \text{ stable par } g \quad (M' \subset M) , \] et, si \(M\) est de plus muni d'une multiplication \((x,y) \mapsto x . y\), \[ \xi(x . y) = (\xi x) y + x (\xi y) \iff g(x . y) = (g x)(g y) . \] Sous les deux membres de cette dernière il écrit, soulignés, les deux mots qui sont tout l'énoncé : dérivations à gauche, automorphismes à droite.¹⁹

Proposition (pages 14 et 15). Soient \(k \supset \mathbf{Q}\), \(A\) une \(k\)-algèbre commutative, et \(\Lambda\) une \(k\)-algèbre infinitésimale. Alors les \(\Lambda\)-automorphismes de \(A \otimes_{k} \Lambda\) qui induisent l'identité modulo \(I(\Lambda)\) correspondent biunivoquement aux \(k\)-dérivations \[ D : A \longrightarrow A \otimes_{k} I(\Lambda) , \] la loi de groupe du premier ensemble se transportant sur le second par la formule de Hausdorff-Campbell.²⁰

La vérification est le calcul du feuillet 15, et elle tient en une chaîne. Avec \(B = A \otimes_{k} \Lambda\) : \[ \mathcal{T}_{B/\Lambda} = \mathrm{Hom}_{B}(\Omega^{1}_{B/\Lambda}, B) \simeq \mathrm{Hom}_{B}(\Omega^{1}_{A/k} \otimes_{k} \Lambda, A \otimes_{k} \Lambda) \simeq \mathrm{Hom}_{A}(\Omega^{1}_{A/k}, A \otimes_{k} \Lambda) = \mathrm{Der}_k(A,\, A \otimes_{k} \Lambda) , \] et les \(\Lambda\)-dérivations de \(B\) qui induisent \(0\) sur \(B \otimes_{\Lambda} k \simeq A\) s'identifient aux \(k\)-dérivations \(A \to A \otimes_{k} I(\Lambda)\).²¹ Le reste est le point (4) : une dérivation s'exponentie en un automorphisme, et réciproquement.

Le feuillet 16 en tire le cas où l'on veut un module et non seulement un ensemble : si \(\Omega^{1}_{A/k}\) est libre de rang fini sur \(A\), alors \[ \mathrm{Hom}_{A}(\Omega^{1}_{A/k},\, A \otimes_{k} I(\Lambda)) \simeq \mathcal{T}_{A/k} \otimes_{k} I(\Lambda) , \] de sorte que le groupe des automorphismes infinitésimaux de type \(\Lambda\) de \(A\) est le \(k\)-module \(\mathcal{T}_{A/k} \otimes_{k} I(\Lambda)\).²²

Une remarque qui n'est pas du dossier et qu'il faut faire. L'hypothèse \(k \supset \mathbf{Q}\) n'est pas un confort : en caractéristique \(p\) la série de l'exponentielle n'a pas de sens, l'équivalence entre dérivations et automorphismes infinitésimaux tombe, et ce qui la remplace — puissances divisées, théorème de Cartier sur les groupes formels — est d'une autre nature. Les pages 34 à 36 du dossier, qui sont tout entières en caractéristique \(p\), montrent d'ailleurs le genre de phénomène que cette section n'atteint pas.

18–22

III. Déformations d'un schéma sur une base infinitésimale (pages 18 à 22)

La chemise 17 porte, de sa main et souligné en partie, « Fibrés des germes d'ordre \(n\) de sections, etc. Transformations infinitésimales ». Elle couvre les cinq feuillets qui suivent, et en fait toute la suite jusqu'à la page 32 : les pages 21 et 22 achèvent la série de corollaires commencée page 20, et c'est le premier des deux endroits où l'argument du dossier enjambe une limite de lot.

Le cadre (page 18)

Soient \(S\) un préschéma et \(\Lambda\) un faisceau localement libre de rang fini de \(\mathcal{O}_{S}\)-algèbres augmentées, d'idéal d'augmentation \(I\), tel que \(\mathrm{gr}^{I}(\Lambda)\) soit localement libre — donc \(I^{n} = 0\) pour \(n\) grand. Un tel \(\Lambda\) est dit de type infinitésimal. On pose \[ T = \mathrm{Spec}(\Lambda) , \] schéma fini et plat sur \(S\), muni d'une section \(S \to T\), et \(\Lambda_{n} = \Lambda/I^{n+1}\), \(T_{n} = \mathrm{Spec}(\Lambda_{n})\), de sorte que \[ S \simeq T_{0} \subset T_{1} \subset T_{2} \subset \cdots \subset T_{N} = T . \] Soit \(X\) un \(T\)-schéma plat et lisse sur \(T\), \(X_{n} = X \times_{T} T_{n}\).²³ On considère enfin la déformation triviale \[ \xi = X_{0} \times_{S} T = X_{0} \otimes_{\mathcal{O}_S} \Lambda , \qquad \xi_{n} = X_{0} \times_{S} T_{n} , \quad \xi_{0} = X_{0} . \]

Topologiquement rien ne bouge : \(|X| = |\xi| = |X_{0}| = |\xi_{0}|\). Tout se passe dans le faisceau structural. \(\mathcal{O}_{X}\) est un faisceau de \(f_{0}^{*}(\Lambda)\)-algèbres sur \(X_{0}\), augmenté vers \(\mathcal{O}_{X_0}\), et la platitude de \(X\) sur \(T\) se lit sur la filtration \(I\)-adique de \(\mathcal{O}_{X}\) : le gradué associé est localement libre sur \(\mathcal{O}_{X_0}\).

On note alors \(\mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(X)\) le faisceau sur \(X_0\) qui, à un ouvert \(U\), associe le groupe des \(T\)-automorphismes de \(U\) induisant l'identité sur \(X_{0} \cap U\).²⁴ C'est aussi, la page le note, le faisceau des automorphismes de la \(f_{0}^{*}(\Lambda)\)-Algèbre \(\mathcal{O}_{X_0}\)-augmentée \(\mathcal{O}_{X}\) — autrement dit, la version faisceautique exacte de ce que la section II vient de calculer au niveau des algèbres.

Le schéma des sections, et le théorème (pages 19 et 20)

On considère le \(S\)-schéma \[ \overline{X} = \underline{\mathrm{Hom}}_{T/S}(T, X) , \] que la marge appelle « schéma des sections de \(X\) sur \(\Lambda\) » : c'est la restriction de Weil de \(X\) le long de \(T \to S\). La section \(S \xrightarrow{\sim} T_{0} \to T\) définit \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{T/S}(T, X) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{T_0/S}(T_{0}, X \times_{T} T_{0}) \simeq X_{0} , \] d'où un morphisme de \(S\)-préschémas \(\pi^{X}_{\Lambda} : \overline{X} \to X_{0}\), compatible avec les restrictions aux ouverts : \(\overline{U} \simeq (\pi^{X}_{\Lambda})^{-1}(U)\). Par suite \(\mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(X)\) opère comme faisceau d'automorphismes sur le \(X_0\)-schéma \(\overline{X}\), donc aussi sur le faisceau \[ \mathcal{S}(\overline{X}/X_{0}) \] des sections de \(\overline{X}\) au-dessus de \(X_{0}\).

D'autre part on dispose du faisceau \(\mathrm{Is}^{X_0}_{T}(\xi, X)\) des isomorphismes de \(\xi\) sur \(X\) induisant l'identité sur \(X_0\) : c'est un faisceau principal homogène sous \(\mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(X)\) opérant à gauche et sous \(\mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(\xi)\) opérant à droite. La déformation triviale fournit une section privilégiée \(s_{0}\) de \(\mathcal{S}(\overline{\xi}/\xi_{0})\), et l'on pose \(u \mapsto u(s_{0})\).

Proposition (page 20). L'homomorphisme \[ \mathrm{Is}^{X_0}_{T}(\xi, X) \longrightarrow \mathcal{S}(\overline{X}/X_{0}) , \qquad u \longmapsto u(s_{0}) , \] est un isomorphisme de faisceaux, compatible avec l'opération à gauche de \(\mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(\xi)\) et celle à droite de \(\mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(X)\).²⁵

Corollaire 1. \(\mathcal{S}(\overline{X}/X_{0})\) est principal homogène sous \(\mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(X)\), à droite.

Corollaire 2. \(\mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(\xi)\) opère naturellement sur \(\mathcal{S}(\overline{X}/X_{0})\).

Corollaire 3 (page 21). Il existe un homomorphisme naturel de faisceaux \[ \mathcal{S}(\overline{X}/X_{0}) \longrightarrow \mathrm{Is}_{X_{0}}(\overline{\xi}, \overline{X}) , \] compatible avec les deux opérations, et il est injectif — car \(\mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(\xi)\) opère fidèlement dans \(\overline{\xi}\).

C'est le premier des deux théorèmes de torseur du dossier, et il dit ceci : une déformation de \(X_0\) sur la base infinitésimale \(T\), munie d'une trivialisation, n'est pas autre chose qu'une section du schéma des sections ; les déformations trivialisées forment un espace principal homogène sous les automorphismes infinitésimaux, et il n'y a pas d'origine.

La lecture inverse, et la notation à accolade (pages 21 et 22)

La fin du feuillet 21 retourne l'énoncé, en signalant lui-même que ce n'est pas très utile : \(\overline{X}/X_{0}\) peut être vu comme un schéma sur \(X_0\) à faisceau structural \[ \mathrm{Aut}^{X_0}_{T}(\xi) = G^{\Lambda}_{X_{0}} , \] opérant sur le schéma-type \(\xi = X_{0} \times_{S} T\) ; et la donnée de \(X\) sur \(T\) se réduisant suivant \(X_0\) équivaut à la donnée d'un schéma \(\overline{X}\) sur \(X_{0}\) muni d'un tel faisceau structural, le faisceau principal associé n'étant autre que \(\mathcal{S}(\overline{X}/X_{0})\).²⁶

C'est là qu'est introduite la notation qui servira dans tout le reste du dossier : \(\overline{\xi}\) est noté \[ X_{0}^{\{\Lambda\}} , \] schéma des points de \(X_0\) de type \(\Lambda\).²⁷ Le feuillet 22, qui ne porte que quatre lignes et achève la phrase laissée en suspens au bas de la page 21, donne les deux lectures d'un de ses points : soit comme un automorphisme de \(X_{0} \otimes_{\mathcal{O}_S} \Lambda\) induisant l'identité sur \(X_{0}\), soit comme la donnée d'un champ de sections.

23–29

IV. Jets, parties principales, connexions (pages 23 à 29)

Aucune chemise ne sépare cette suite de la précédente : elle commence sans transition au feuillet 23, sous un titre qu'il écrit en toutes lettres en tête de la page — « éléments de sections d'ordre \(n\) de \(Y/S\) sur \(X/S\) » — et qu'il reprend, souligné, dans la marge du feuillet 24.

Le voisinage de la diagonale, et le schéma \(\pi^{(n)}\) (page 23)

\(X \times_{S} X\) est muni de ses deux projections \(\mathrm{pr}_{1}\), \(\mathrm{pr}_{2}\) et de l'immersion diagonale \(\Delta_{X}\). On note \(\Delta^{(n)}_{X/S}\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de cette immersion, vu comme \(X\)-préschéma par \(\mathrm{pr}_{1}\), et \(i^{(n)}_{X} : \Delta^{(n)}_{X/S} \to X \times_{S} X\) l'immersion, \(\delta^{(n)}_{X/S} : \Delta^{(n)}_{X/S} \to X\) le morphisme structural. C'est l'objet qui représente, géométriquement, la notion de « deux points égaux à l'ordre \(n\) près ».

Pour \(Y\) un \(S\)-préschéma, on pose alors \[ \pi^{(n)}(Y/X/S) = \bigl(\mathrm{pr}_{2}\, i^{(n)}_{X}\bigr)^{*}(Y) = \Delta^{(n)}_{X/S} \times_{X \times_{S} X} (X \times_{S} Y) , \] un \(\Delta^{(n)}_{X/S}\)-schéma.²⁸ Sa restriction le long de la diagonale redonne \(Y\) : \[ X \times_{\Delta^{(n)}_{X/S}} \pi^{(n)}(Y/X/S) = Y , \] d'où une section \(\varepsilon^{(n)}(Y/X/S) : Y \to \pi^{(n)}(Y/X/S)\), et dans l'autre sens le morphisme \[ d^{(n)}(Y/X/S) : \pi^{(n)}(Y/X/S) \longrightarrow X \times_{S} Y \longrightarrow Y . \] Ce dernier n'est pas un \(X\)-morphisme en général, et la page le note : il passe par \(\mathrm{pr}_{2}\) alors que la structure de \(X\)-schéma vient de \(\mathrm{pr}_{1}\). C'est précisément l'écart entre les deux projections qui porte toute l'information différentielle.²⁹

Le fibré des éléments de sections (pages 24 à 26)

Supposons maintenant \(\Delta^{(n)}_{X/S}\) localement libre sur \(X\).³⁰ On peut alors former l'image directe \[ P^{(n)}(Y/X/S) = \bigl(\delta^{(n)}_{X/S}\bigr)_{*} \bigl(\pi^{(n)}(Y/X/S) \,/\, \Delta^{(n)}_{X/S}\bigr) , \] que la marge du feuillet 24 nomme, sur trois lignes soulignées, « fibré des éléments de sections d'ordre \(n\) de \(Y/S\) sur \(X/S\) ». C'est encore une restriction de Weil, cette fois le long de \(\delta^{(n)}_{X/S}\), et elle est caractérisée par l'adjonction : pour tout \(X\)-préschéma \(\varphi : X' \to X\), \[ \mathrm{Hom}_{X}\bigl(X', P^{(n)}(Y/X/S)\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta^{(n)}_{X/S}}\bigl(X' \times_{X} \Delta^{(n)}_{X/S},\ \pi^{(n)}(Y/X/S)\bigr) , \] et en particulier \(\Gamma\bigl(\pi^{(n)}/\Delta^{(n)}_{X/S}\bigr) \simeq \Gamma\bigl(P^{(n)}/X\bigr)\).

Un élément de cet ensemble, la page le décrit concrètement : on prend le graphe \[ \Gamma_{\varphi} = (\mathrm{id}_{X'},\, \varphi) : X' \longrightarrow X' \times_{S} X , \] on en prend le \(n\)-ième voisinage infinitésimal \(\Gamma_{\varphi}^{(n)} \to X' \times_{S} X\), et l'on se donne une section de \(X' \times_{S} Y\) au-dessus de lui. Le feuillet écrit le graphe « \(\Gamma_{\varphi} = \varphi \times_{S} \mathrm{id}_{X}\) ».³¹

Les \(\Delta^{(n)}_{X/S}\) forment un système inductif de schémas sur \(X\), de limite \(\Delta^{(\infty)}_{X/S}\), et l'on a pour \(n' \geqslant n\) \[ \pi^{(n)}(Y/X/S) = \pi^{(n')}(Y/X/S) \times_{\Delta^{(n')}_{X/S}} \Delta^{(n)}_{X/S} , \] d'où un système transitif de \(X\)-morphismes \(\varphi^{(n,n')} : P^{(n')}(Y/X/S) \to P^{(n)}(Y/X/S)\) vérifiant \[ \begin{cases} \varepsilon^{(n)} \circ \varphi^{(n,n')} = \varepsilon^{(n')} , \\[3pt] \varphi^{(n,n')} \circ d^{(n')} = d^{(n)} . \end{cases} \]

Les deux opérations sur les sections (page 25)

Sur les faisceaux de sections, la construction donne deux morphismes en sens inverse : \[ d^{(n)}(Y/X/S) : \Gamma(Y/X) \longrightarrow \Gamma\bigl(P^{(n)}(Y/X/S)/X\bigr) , \] \[ \varepsilon^{(n)}(Y/X/S) : \Gamma\bigl(P^{(n)}(Y/X/S)/X\bigr) \longrightarrow \Gamma(Y/X) , \] avec \[ \varepsilon^{(n)} \, d^{(n)} = \mathrm{id} . \] C'est exactement le couple « jet d'ordre \(n\) » et « valeur » : \(d^{(n)}\) associe à une section son développement tronqué, \(\varepsilon^{(n)}\) oublie le développement et ne garde que la section. Le feuillet construit \(d^{(n)}\) en passant par \[ \mathrm{Hom}_{X}\bigl(\Delta^{(n)}_{X/S}, Y\bigr) = \Gamma\bigl(Y \times_{X} \Delta^{(n)}_{X/S} \,/\, \Delta^{(n)}_{X/S}\bigr) , \] et en vérifiant que la construction se recolle sur les sections locales.

Les connexions d'ordre \(n\), et le second théorème de torseur (pages 27 et 28)

Le feuillet 27 reprend la construction en termes d'anneaux, sur un diagramme affine : \(A \to A \otimes A\) muni de ses deux structures de \(A\)-algèbre, \(B\) une \(A\)-algèbre, et \(A'\) le quotient de \(A \otimes A\) qui définit \(\Delta^{(n)}\).³² La flèche en pointillé du diagramme supérieur porte l'exposant à accolade \(Y^{\{\Delta^{(n)}_{X/S}\}}\), de la même famille que le \(X_{0}^{\{\Lambda\}}\) de la page 21 : c'est la même construction, appliquée à la base infinitésimale \(\Delta^{(n)}_{X/S}\) au lieu de \(\mathrm{Spec}\,\Lambda\).

Le feuillet 28 donne alors les deux lectures qui sont l'aboutissement de la suite : le groupe \[ \Gamma\bigl(Y^{\{\Delta^{(n)}_{X/S}\}}/Y\bigr) \] est celui des automorphismes infinitésimaux d'ordre \(n\) des fibres de \(Y/X\) ; et le groupe \[ \Gamma\bigl(P^{(n)}(Y/X/S)/Y\bigr) \] est celui des automorphismes de \(\pi^{(n)}(Y/X/S)\) sur \(\Delta^{(n)}_{X/S}\) induisant l'identité sur \(Y\), c'est-à-dire l'ensemble des connexions d'ordre \(n\) de \(Y/X/S\) — cette dernière égalité soulignée d'un trait gras sur la page : c'est la définition qu'elle visait. Et l'énoncé :

Si \(Y/X\) est lisse, les connexions d'ordre \(n\) de \(Y/X/S\) forment un espace principal homogène sous le groupe des automorphismes infinitésimaux d'ordre \(n\) des fibres.³³

C'est la même forme qu'aux pages 20 et 21, un cran plus haut. La page pose ensuite la comparaison des parties principales relatives et absolues, et s'arrête sur une question qu'elle n'élucide pas : de l'homomorphisme d'\(\mathcal{O}_{Y}\)-algèbres augmentées \(P^{n}(Y/X) \to f^{*}(P^{n}(X/S))\) elle passe à une flèche \(P^{n}(Y/S) \to f^{*}P^{n}(X/S)\) qui porte, sur le feuillet, un point d'interrogation et, sous lui, de sa main, le mot « comment ? ».

Le feuillet 29 est une feuille de calcul entièrement barrée de quatre longues diagonales, sur laquelle survivent la formule \(\varphi(g\, d^{n}f \otimes m) = m \otimes f\, d^{n}g\) et quelques produits tensoriels : c'est la traduction algébrique du même passage, abandonnée.

30–32

V. Transformations infinitésimales d'un morphisme (pages 30 à 32)

Le dernier des quatre registres, et le plus bref. Soit \(f : X \to Y\) un \(S\)-morphisme et \(S'\) une base infinitésimale au-dessus de \(S\). On appelle transformation infinitésimale de type \(S'\) de \(f\) un couple \(w = (u,v)\) de \(S'\)-automorphismes de \(X_{S'}\) et de \(Y_{S'}\), induisant l'identité sur \(X\) et sur \(Y\), et rendant commutatif

\begin{tikzcd}
  X_{S'} \arrow[r, "u"] \arrow[d, "f_{S'}"'] & X_{S'} \arrow[d, "f_{S'}"] \\
  Y_{S'} \arrow[r, "v"] & Y_{S'}
\end{tikzcd}

Ces couples forment un groupe, contenu dans le produit des groupes des transformations infinitésimales de type \(S'\) de \(X\) et de \(Y\) pris séparément — c'est-à-dire que la condition de compatibilité avec \(f\) découpe un sous-groupe dans le produit, et rien de plus.

Ce groupe opère sur les sections. Si \(g\) est une section de \(X/Y\), on pose \[ \widetilde{w}(g) = u \, g_{S'} \, v^{-1} , \] qui est une section de \(X_{S'}\) sur \(Y_{S'}\) — la vérification est immédiate : \(f_{S'} u g_{S'} v^{-1} = v f_{S'} g_{S'} v^{-1} = v v^{-1} = \mathrm{id}\). Le feuillet appelle \(\widetilde{w}(g)\) le « produit » de \(g\), et identifie l'ensemble où il vit : \[ \Gamma(X_{S'}/Y_{S'}) \simeq \Gamma\bigl(X_{Y}^{\{Y_{S'}\}} \,/\, Y\bigr) , \] retrouvant l'exposant à accolade de la page 21, cette fois relatif à \(Y\).

Les pages 31 et 32 énoncent trois propriétés fonctorielles, dont la prose de liaison est très lacunaire et dont seules les formules portent.

1. 1)Le groupe des transformations infinitésimales de type \(S'\) de \(X/Y\) opère sur \(\Gamma(X_{S'}/Y_{S'})\), et l'on a la flèche de spécialisation \(\Gamma(X/Y) \to \Gamma(X_{S'}/Y_{S'}) \simeq \Gamma(X_{Y}^{\{Y_{S'}\}}/Y)\), l'ensemble d'arrivée étant muni de son groupe d'opérateurs.³⁴
2. 2)Un \(Y\)-morphisme \(h : X \to X'\) compatible avec deux transformations \(w = (u,v)\) et \(w' = (u',v')\) — c'est-à-dire tel que \(u' h_{S'} = h_{S'} u\) — vérifie \[ h^{\{Y_{S'}\}}\bigl(\widetilde{w}(g)\bigr) = \widetilde{w}'(h \circ g) \qquad \text{pour toute } g \in \Gamma(X/Y) . \]
3. 3)Compatibilité avec les produits fibrés. Si \(w\), \(w'\) sont des transformations de \(X/Y\) et \(X'/Y\) au-dessus de la même \(v\), elles en définissent une, \(w''\), de \(X \times_{Y} X'\), via \((X \times_{Y} X')_{S'} = X_{S'} \times_{Y_{S'}} X'_{S'}\), et l'on a \[ \widetilde{w}''\bigl(g \times_{Y} g'\bigr) = \widetilde{w}(g) \times_{Y} \widetilde{w}'(g') , \qquad \bigl(X \times_{Y} X'\bigr)_{Y}^{\{Y_{S'}\}} \simeq X_{Y}^{\{Y_{S'}\}} \times_{Y} X'^{\,\{Y_{S'}\}}_{Y} . \]

Le feuillet 30 porte, dans un cadre dessiné à la main et traversé d'un trait oblique, trois lignes dont il ne subsiste presque rien.³⁵ Et le bas du feuillet 32 est une esquisse de trois ou quatre mots par ligne, sur une loi de composition, qui ne se lit pas. Le registre des morphismes n'atteint donc pas, dans le dossier, le théorème de torseur que les deux registres précédents ont atteint : il en pose le cadre et les compatibilités, et s'arrête là.

34–36

VI. Deux contre-exemples en caractéristique \(p\), et une feuille de critères (pages 34 à 36)

Sous la chemise « Exemples, cas particuliers », deux feuillets écrits au net — les mieux lisibles du dossier avec les lettres — et une feuille de récapitulation à l'italienne. Les deux contre-exemples sont calibrés, et il faut dire d'abord sur quoi : ils séparent chacun une propriété d'une propriété géométrique, c'est-à-dire d'une propriété qui doit survivre à l'extension du corps de base. C'est la matière des paragraphes 4, 6 et 17 du chapitre IV.

(i) Intègre, avec \(k\) algébriquement fermé dans le corps des fractions, et pourtant pas géométriquement intègre (page 34)

Soient \(k\) un corps imparfait de caractéristique \(p\), et \(a\), \(b\), \(c\) des éléments de \(k\). On pose \[ F = a X^{p} + b Y^{p} - c , \qquad A = k[X,Y]/(F) . \] Alors \(A\) est un anneau régulier, \(k\) est algébriquement fermé dans son corps des fractions, et pourtant \(A \otimes_{k} \overline{k}\) n'est pas intègre : en effet, sur \(\overline{k}\) on peut extraire les racines \(p\)-ièmes, et en posant \(Z = a^{1/p} X + b^{1/p} Y\) puis \(T = Z - c^{1/p}\), il vient \(F = Z^{p} - c = T^{p}\), de sorte que \[ A \otimes_{k} \overline{k} \;\simeq\; \overline{k}[X][T]/(T^{p}) , \] qui n'est même pas réduit.³⁶

L'enjeu est net une fois dit dans le vocabulaire d'aujourd'hui. Que \(k\) soit algébriquement fermé dans le corps des fractions assure que \(A \otimes_k \overline{k}\) est irréductible ; cela n'assure pas qu'il soit réduit, ce qui demanderait que l'extension \(\mathrm{Frac}(A)/k\) soit séparable. Géométriquement intègre est strictement plus fort que intègre plus « \(k\) algébriquement fermé dedans », et cet exemple est l'écart.

(ii) Régulier, à corps des fractions séparable, et pourtant pas géométriquement régulier (pages 34 et 35)

Soient \(p \neq 2\), \(a \in k\) non puissance \(p\)-ième, et \[ F = Y^{2} - X^{p} + a , \qquad A = k[X,Y]/(F) . \] Ici \(\mathrm{Frac}(A)\) est séparable sur \(k\) : \(y\) est de degré \(2\) sur \(k(x)\), et \(2\) est inversible.³⁷ Et \(A\) est régulier. Le seul point qui puisse être singulier est celui où \(\partial F/\partial Y = 2Y\) s'annule, c'est-à-dire l'idéal maximal \[ \mathfrak{m}' = (Y,\ X^{p} - a) = (Y,\ Y^{2} - X^{p} + a) , \] de corps résiduel \(k[X]/(X^{p}-a) = k(a^{1/p})\), purement inséparable de degré \(p\) sur \(k\). Le calcul du feuillet 35 tranche : le carré \(\mathfrak{m}''\) est engendré par \(Y^{2}\), \(Y(X^{p}-a)\), \((X^{p}-a)^{2}\) et \(F\), donc contient \(X^{p}-a = Y^{2} - F\), de sorte que \[ \mathfrak{m}'/\mathfrak{m}'^{2} \text{ est engendré par } Y \text{ seul} . \] Il est donc de dimension \(1\) sur le corps résiduel, égale à \(\dim A_{\mathfrak{m}'}\) : le point est régulier.

Mais \(A \otimes_{k} \overline{k}\) ne l'est pas. Sur \(\overline{k}\), posant \(\lambda = a^{1/p}\) et \(Z = X - \lambda\), on a \(F = Y^{2} - Z^{p}\), et à l'origine \(Y^{2} - Z^{p} \in \mathfrak{m}^{2}\) puisque \(p \geqslant 3\) : le cotangent est de dimension \(2\) pour une dimension \(1\), le point est singulier. Le feuillet conclut en deux mots, qui sont les bons : le point est « simple, mais non absolument simple » — régulier, mais non lisse. Et il ajoute, comme dernière ligne du feuillet 35, ce qui reste à vérifier pour que l'exemple soit complet : que \(k\) soit algébriquement fermé dans \(A\).³⁸

La feuille de critères (page 36)

Un feuillet écrit à l'italienne sur papier faiblement réglé, en deux colonnes que rien ne relie explicitement, et dont les mots de liaison sont pour la plupart perdus. Ce sont des critères de séparabilité en caractéristique \(p\), et ce qui se lit est ceci. D'un côté, la caractérisation par les dérivations : pour \(A \subset B\), \[ \delta f = 0 \iff f \in A[B^{p}] , \qquad \delta^{(\infty)} f = 0 \iff f \in A[B^{p^{k}}] , \] c'est-à-dire qu'un élément annulé par toutes les \(A\)-dérivations de \(B\) est exactement un élément de la sous-algèbre engendrée par les puissances \(p\)-ièmes, et qu'un élément annulé par toutes les dérivations itérées est dans les puissances \(p^{k}\)-ièmes.³⁹ De l'autre côté, les critères qui n'utilisent pas les dérivations : \(\Omega^{1}_{B/A} = 0\), la même condition jointe à la platitude, et une condition sur \(\Delta_{B/A}\). Le feuillet attribue l'un des critères à Chevalley.⁴⁰

39–40

VII. Foncteurs différentiels d'ordre \(n\) (pages 39 et 40)

Deux feuillets sous la chemise « Foncteurs différentiels d'ordre \(n\) », et ce sont les plus abîmés du premier mouvement : la page 39 est un brouillon rapide et lourdement biffé, la page 40 est traversée de deux longues diagonales et son tiers supérieur porte trois couches d'écriture superposées. Le titre annonce une définition que le dossier n'atteint pas. Ce qui suit est donc une description de ce qui est sur les feuillets, et non un énoncé.

Le cadre posé est celui des catégories fibrées. \(S\) est un préschéma, \(\mathcal{E}\ell_{S}\) la catégorie des préschémas sur \(S\), \(\mathcal{C}\) une catégorie fibrée sur elle — le feuillet précise « pleine », d'une lecture douteuse — et \(\mathcal{C}'\) une autre. On se donne un foncteur \[ F : \mathcal{C} \longrightarrow \Phi^{\mathcal{C}} \] dont le feuillet demande qu'il soit une « section continue », et l'on regarde ses objets \(\{X'/S'\}\), \(\{X''/S''\}\) au-dessus d'une tour \(S \to S' \to S''\), en exigeant la compatibilité aux extensions de la base. L'exemple donné est \(\underline{P}^{n}_{X'/S'}\), c'est-à-dire précisément le foncteur des parties principales construit à la section IV.

L'intention se laisse donc deviner — un foncteur entre catégories fibrées est différentiel d'ordre \(\leqslant n\) lorsqu'il se factorise à travers le \(n\)-ième voisinage infinitésimal, ce qui est la forme abstraite de la notion d'opérateur différentiel d'ordre \(\leqslant n\) — mais les feuillets ne l'écrivent pas, et elle n'est pas écrite ici à leur place. La page 40 ajoute des schémas auxiliaires \(S^{d,n} = \mathrm{Spec}\,\bigl(A[t_{1},\ldots,t_{n}] / (t_{i} - \cdots)\bigr)\) et \(E^{n}_{S^{d,n}} = E^{n} \times_{S} S^{d,n}\), munis d'une section \(\varepsilon : S \to S^{d,n}\), sans que l'anneau quotient se laisse lire entièrement ni que l'usage qui en est fait apparaisse.

43–46

VIII. Les errata de Lê Dũng Tráng aux §§ 20 et 21 (pages 43 à 46)

Ici commence le deuxième mouvement, et il n'est plus de sa main. Une lettre datée « Paris le 11/01/68 », adressée « à Monsieur le Professeur A. Grothendieck, IHES, Bures s/Yvette », accompagnée de trois feuillets d'errata numérotés 1, 2 et 3 par leur auteur, chaque chiffre entouré d'un cercle. C'est la pièce que l'inventaire désigne par « lettres (1968) ».

La lettre elle-même dit exactement ce que les errata sont, et mérite d'être citée pour ce qu'elle enseigne sur la lecture d'un texte en cours d'impression : « Les errata ont été relevés pour la plupart dans les définitions. Je ne sais pas s'ils entravent des démonstrations car celles-ci faisaient intervenir des éléments de mathématiques que je ne possède pas comme les idéaux associés ou la profondeur d'un anneau. Pardonnez donc la trivialité de ces errata. »

Ils ne sont pas triviaux, et le motif qui les traverse est un seul. Le paragraphe 20 du chapitre IV construit le faisceau des fonctions méromorphes \(\mathcal{K}_X\) en inversant les sections régulières de \(\mathcal{O}_X\), et la difficulté est que la régularité d'une section n'est pas une propriété locale au sens naïf : une section peut être régulière sur un ouvert \(U\) et cesser de l'être par restriction à un ouvert plus petit. Toutes les corrections de Lê, sauf la dernière, réparent ce point.

• (20.1.3). \(\mathcal{S}(\mathcal{O}_X)\) doit être défini comme le sous-faisceau dont les sections sur \(U\) sont les éléments réguliers de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) dont la restriction à tout ouvert \(V \subset U\) est encore régulière. Avec cette clause c'est bien un faisceau, puisqu'un élément y est si et seulement si tous ses germes sont réguliers. Il ajoute l'avertissement qui est le cœur de l'affaire : \(\mathcal{S}(\mathcal{O}_X)_x\) n'est pas nécessairement l'ensemble des éléments réguliers de \(\mathcal{O}_{X,x}\).
• (20.1.4). L'anneau \(\Gamma(U, \mathcal{K}_X)\) n'est pas l'anneau total des fractions de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\), mais un anneau de fractions à dénominateurs dans une partie multiplicative d'éléments réguliers.
• (20.1.8). La démonstration de l'inversibilité d'une section de \(\mathcal{S}(\mathcal{K}_X)\) doit être rédigée localement, avec la même clause de stabilité par restriction.
• (20.1.11). Dans la définition de \(\mathcal{S}_f(U)\), lire « sections régulières \(s \in \Gamma(U, \mathcal{S})\) » et non « \(s \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) ».
• (21.1.5) et (21.1.6). Les deux mêmes rectifications reportées au paragraphe 21.
• (21.2.9). Deux additions substantielles, qui fournissent la démonstration manquante que (21.2.9.1) est un isomorphisme, et qui définissent la section méromorphe régulière \(s_{D}\) de \(\mathcal{O}_X(D)\) — celle qui correspond à la section \(1\) de \(\mathcal{K}_X\) — pour pouvoir écrire \[ \mathrm{div}(s_{D}) = D . \] C'est le seul erratum qui ajoute un énoncé plutôt que d'en réparer un.
• (21.2.12). Ajouter l'hypothèse « localement noethérien » sur le préschéma \(X\).
• (21.6.2). Lire \(\mathfrak{Z}^{p}(X)\) au lieu de \(Z^{p}(X)\) — une coquille de fonte.

Un dernier erratum était prévu pour (21.3.6) : le numéro est écrit puis barré de hachures croisées, et rien ne le suit. L'objection a été abandonnée avant d'être formulée.

48–48

IX. EGA IV 18 ; EGA VI : les sections d'un morphisme non ramifié (page 48)

Un feuillet isolé, de sa main, à l'encre, rapide, portant ses deux titres — « EGA IV 18 » en tête, « EGA VI » au milieu, séparés par un trait horizontal. C'est le feuillet le plus difficile du troisième lot, et plusieurs de ses mots de liaison sont perdus.

Le second titre mérite qu'on s'y arrête : le chapitre VI des Éléments n'a jamais paru. Ce feuillet est donc un fragment de ce qui devait y aller, et ce qu'il y met est la descente des sections d'un morphisme non ramifié.

Premier énoncé (EGA IV 18). Soit \(u : X \to Y\) non ramifié. Soient \(U\) un ouvert schématiquement dense de \(Y\), \(Y_{0}\) un sous-schéma fermé de \(Y\) tel que \(|Y_{0}| = |Y|\), \(u_{U}\) une section de \(X\) sur \(U\), \(u_{Y_{0}}\) une section de \(X\) sur \(Y_{0}\), coïncidant sur \(U_{0} = Y_{0} \cap U\). Alors il existe une unique section \(u\) de \(X\) sur \(Y\) dont les restrictions à \(Y_{0}\) et à \(U\) soient \(u_{Y_{0}}\) et \(u_{U}\).

C'est un énoncé de recollement : un ouvert schématiquement dense et un sous-schéma fermé de même espace sous-jacent couvrent \(Y\) pour ce qui concerne les sections d'un morphisme non ramifié. La non-ramification est ce qui donne l'unicité — deux sections qui coïncident sur un sous-schéma schématiquement dense coïncident.

Second énoncé (EGA VI). Soit \(X \to Y\) non ramifié, \(Y' \to Y\) localement noethérien, fini et épimorphisme, et \(Y'' \to Y' \times_{Y} Y'\) surjectif. Alors la suite \[ X(Y) \longrightarrow X(Y') \rightrightarrows X(Y'') \] est exacte : le foncteur des points de \(X\) est un faisceau pour cette topologie.⁴¹ La marge de droite porte, en vertical, le dernier mot souligné : « On doit pouvoir éliminer l'hyp. loc. noeth. et remplacer fini par entier ». C'est le programme que le chapitre VI aurait exécuté.

Suit un corollaire des deux — la variante du premier énoncé où \(Y_{0}\) est remplacé par un \(Y'\) fini surjectif sur \(Y\) — et un second corollaire, « Si \(f : X \to Y\) est … », que le feuillet interrompt sur ses propres points de suspension.⁴²

49–53

X. Suites régulières : la définition de 16.9.2 n'est pas la bonne (pages 49 à 53)

C'est le sommet du dossier, et la seule de ses questions qui se pose, se travaille et se tranche à l'intérieur de la même chemise. Elle porte, de sa main, en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc : « Suites régulières / Th. 11.2.9 de Raynaud ».

Les deux fiches de travail (pages 50 et 51)

Deux feuillets à en-tête de l'IHES, et ce sont des listes. Le premier, au crayon, inventorie les applications du théorème 11.2.9 dans la suite du chapitre IV : 11.3.4 (i), 11.3.8 b'), 17.12.1 c'), 19.2.4 c'), 19.4.6 (ii), et une note soulignée, « À signaler » suivi d'un mot court qui ne se lit pas, puis « remarques ? ». Le second, à l'encre, inventorie les paragraphes où la notion est en jeu : \(0_{\mathrm{IV}}\) 15, IV 11.3.7 et 11.3.8, IV 16.9, IV 19, IV 21.15 — puis, sans transition, la ligne qui fait de cette fiche autre chose qu'un index :

Lettres Deligne 17. Oct. 66. et 29 Oct. 66.

et, au-dessous, encadré de deux traits horizontaux et barré de deux longues diagonales :

Notion d'immersion régulière dans le cas non noethérien : est-elle vraisemblable ?? Vérifier § 16 !!

Les lettres qu'il cite sont dans le dossier, quatre feuillets plus loin, et la mathématique qui répond à la question est dedans. La question est rayée parce qu'elle a reçu sa réponse, et cette réponse est le tapuscrit qui suit immédiatement.

Le post-scriptum : la notion n'est pas la bonne (pages 52 et 53)

Deux feuillets de tapuscrit, copie carbone, sans en-tête ni signature, à la première personne et de sa voix — « Dans mon séminaire sur Riemann-Roch cette année ». Le destinataire n'est pas nommé. C'est un post-scriptum de lettre, et il est complet sur les deux pages.

L'aveu tient en une phrase : « il apparait (hélas) que la notion introduite sous ce nom dans EGA 16.9.2. n'est pas la bonne notion ». Et la raison tient en une autre, qui est le genre d'observation dont dépend la solidité d'un chapitre entier :

Si \(A\) est un anneau local et \(x\), \(y\) deux éléments de son idéal maximal, il est facile de donner un exemple où \((x,y)\) est une suite régulière et \((y,x)\) ne l'est pas.

Une notion qui dépend de l'ordre dans lequel on écrit les générateurs ne jouit d'aucune des propriétés qu'on en attend : on ne peut pas prendre une base de \(J/J^{2}\) et la relever, la notion d'immersion régulière ne se comporte pas bien par localisation plate ni même étale, et « toute sorte d'autres » inconvénients s'ensuivent.

Ce qu'il propose à la place est la condition de Koszul. Une suite \((f_{1},\ldots,f_{n})\) d'éléments d'un anneau, engendrant un idéal \(J\), est Koszul-régulière lorsque le complexe de l'algèbre extérieure construit sur elle est acyclique en degrés \(> 0\).⁴³ Il énonce alors ce qui rend la notion bonne, et c'est exactement ce qui manquait à l'autre :

• une suite Koszul-régulière est quasi-régulière ;
• toute autre suite de \(n\) générateurs de \(J\) a la même propriété — la condition ne dépend donc pas du système de générateurs choisi, ni de leur ordre ;
• les trois notions qui en découlent — suite K-régulière, idéal régulier, immersion régulière — se descendent bien par fpqc ;
• un composé de deux immersions régulières en est une, et les deux autres propriétés de transitivité de 19.1.5 (iii) « semblent marcher encore sans hypothèse noethérienne », Berthelot en ayant déjà vérifié une ;
• et pour ce qu'il veut en faire dans le séminaire Riemann-Roch, « c'est bien la nouvelle notion d'immersion régulière qui fait tout marcher ».

Ce qu'il décide d'en faire

La seconde page est la décision pratique, et c'est elle qui fait de ce tapuscrit un document et non une note. Il est trop tard pour corriger les épreuves de IV 16 et 19. On ajoutera donc une remarque 19.1.8 « dans laquelle nous ferions l'aveu » que la définition adoptée s'est avérée peu maniable dans le cas non noethérien, en renvoyant le lecteur, pour les détails et en attendant la réédition du chapitre IV, au séminaire SGA 6 « qui devrait sortir vers la fin de l'année 67 ou début 68 » ; et l'on insérera, au paragraphe 16, une note de bas de page renvoyant à cette remarque. Il ajoute entre parenthèses ce qui limite les dégâts : « Dans le par. 16, c'est en fait la notion quasi-régulière qui sert vraiment ».

Puis vient la proposition de terminologie, et c'est la page la plus instructive du dossier sur la manière dont un vocabulaire se fixe. À la réédition il faudra revoir \(0_{\mathrm{IV}}\) 15 dans le même esprit, et y remplacer partout l'hypothèse « suite régulière » par l'hypothèse plus faible et plus maniable « suite Koszul-régulière ». Et alors :

il s'imposera alors, pour les suites également, de réserver le mot le plus court à la notion qui manifestement est la plus serviable, et il faudra envisager de changer notre terminologie, en disant « suite régulière » au lieu de « suite Koszul-régulière », et en réservant tout au plus un terme tel que « suite strictement régulière » à la notion éculée.

Il termine par la remarque qui explique pourquoi rien de tout cela n'avait été vu plus tôt : « Bien sûr, dans le cas noethérien, les trois variantes (régulière, quasi, et Koko) sont équivalentes. »⁴⁴

La décision a été suivie pour moitié. La condition de Koszul est bien celle dont on se sert hors du cas noethérien, et c'est elle qui gouverne la notion d'immersion régulière telle qu'on l'emploie aujourd'hui. Mais l'échange de noms qu'il envisage n'a pas eu lieu : « suite régulière » a gardé son sens ancien, et c'est la notion serviable qui porte le qualificatif, sous le nom de suite Koszul-régulière. La réédition du chapitre IV, dont tout ce feuillet suppose la venue, n'a pas paru.

55–64

XI. Les lettres de Deligne (pages 55 à 64)

Une chemise par ailleurs blanche, la page 54, porte de sa main les deux mots « Lettres Deligne ». Ce qu'elle couvre est dix feuillets à l'encre, de la main de Pierre Deligne, annotés au crayon par le destinataire.

Deux avertissements sont nécessaires avant de les lire, et ni l'un ni l'autre ne peut se voir à l'intérieur d'un seul lot de transcription.

Il y a trois lettres et non quatre. Les feuillets 61 à 64, qui suivent immédiatement, sont paginés 3 à 6 en haut à droite par leur auteur et signés « P. Deligne » : ce sont les pages 3 à 6 de la lettre du 17 octobre 1966, dont les pages 1 et 2 sont les feuillets 59 et 60. La soudure est exacte — la page 60 s'achève en construisant \(A' = A[[T_{i}]]\) et en établissant l'isomorphisme \(\mathfrak{m}'/(\mathfrak{m}'^{2} + \mathfrak{m}A') \simeq \mathfrak{n}/(\mathfrak{n}^{2} + \mathfrak{m}B)\) ; la page 61 s'ouvre sur « Remplaçant \(A\) par \(A'\), il reste à prouver que si \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{2} \otimes K \to \mathfrak{n}/\mathfrak{n}^{2}\) est surjectif… », qui est exactement le point où l'on vient d'arriver.⁴⁵

Elles sont classées dans l'ordre inverse des dates. Le dossier donne 15 décembre, puis 29 octobre, puis 17 octobre. Lues ainsi, elles sont incompréhensibles : la lettre du 15 décembre répond à une lettre du 28 et reprend une objection formulée le 29 octobre. Elles sont donc lues ici dans l'ordre où elles ont été écrites, ce qui oblige à remonter les pages — d'abord 59 à 64, puis 57 et 58, puis 55 et 56.

Les annotations au crayon dans les marges sont de Grothendieck. Elles sont courtes — « oui », « Err », « ! », « ? », « Th. de Auslander », « dans réédition du Chap I ? » — et elles sont son seul mot dans cet échange : c'est le dossier d'un homme qui reçoit.

59–64

a) La lettre du 17 octobre 1966 (pages 59 à 64)

Six pages, la plus longue et la plus riche. Elle s'ouvre sur deux phrases qu'il faut garder telles quelles : « Je n'ai pas l'intention d'essayer de démontrer, cette année, le “théorème de Lefschetz vache”. J'espère donc que tu trouves quelqu'un qui le fasse. » Et : « J'ai été malade au début du mois et, comme lecture de convalescence, je lis EGA IV. »

\(0_{\mathrm{IV}}\) 19.3.12 est faux.

Le premier verdict est net. Il faut prendre pour \(W_{\lambda}\) l'ensemble des homomorphismes d'algèbre \(B \to C_{\lambda}\) relevant \(B \to C_{\lambda} / J_{\lambda}\), et ce n'est pas une variété linéaire, puisqu'on n'a pas \(J_{\lambda}^{2} = 0\). Pour sauver l'argument il faudrait savoir que, pour \(A\) artinien, les parties de \(A^{I}\) définies par des équations \(P(x_{i}) \in \mathfrak{b}\) jouissent d'une propriété de compacité — ce qui est faux dès que \(I\) est infini, et déjà pour \(A\) un corps infini : prenant \(I = k \cup \{\infty\}\) et les parties \((x_{\infty} - a)\,y_{a} = 1\), les intersections finies sont non vides et l'intersection totale est vide. Il conclut : « Je crois qu'il n'y a pas d'espoir. » La marge porte, au crayon et entouré, un seul mot : oui.

La formule d'Auslander (page 59).

À propos de \(0_{\mathrm{IV}}\) 17.3.4, il signale « une jolie démonstration cohomologique de ce résultat, qui fournit un résultat plus complet (lequel se trouve dans Northcott) », et la marge au crayon le nomme : Th. de Auslander.

Proposition. Soient \(A\) un anneau local noethérien et \(M\) un \(A\)-module de type fini, non nul, de dimension projective finie. Alors \[ \dim\mathrm{proj}(M) = \mathrm{prof}\,A - \mathrm{prof}\,M . \]

C'est la formule d'Auslander-Buchsbaum, et la démonstration de la lettre est celle qu'on donne aujourd'hui. On part de la formule, valable pour un complexe parfait \(L\), \[ R\mathrm{Hom}(K, L) = R\mathrm{Hom}(K, A) \overset{L}{\otimes} L , \] avec \(K = k\) et \(L = M\) ; on en tire la suite spectrale \[ E_{2}^{pq} = \mathrm{Tor}_{-p}\bigl(\mathrm{Ext}^{q}(k, A),\, M\bigr) \Longrightarrow \mathrm{Ext}^{p+q}(k, M) . \] Posant \(d = \dim\mathrm{proj}\,M\) et \(a = \mathrm{prof}\,A\), le terme \(E_{2}\) est nul pour \(q < a\) et pour \(p < -d\) : c'est une bande, et Deligne la dessine en marge.⁴⁶ Le coin de la bande donne alors \[ \mathrm{Ext}^{n}(k, M) = 0 \text{ pour } n < a - d , \qquad \mathrm{Ext}^{a-d}(k, M) = \mathrm{Tor}_{d}\bigl(\mathrm{Ext}^{a}(k, A),\, M\bigr) \neq 0 , \] la non-nullité venant de ce que \(\mathrm{Ext}^{a}(k,A)\) est somme de copies de \(k\) et que \(\mathrm{Tor}_{d}(k, M) \neq 0\) par définition de \(d\). Donc \(\mathrm{prof}\,M = a - d\).

La page 60 étend le résultat : il vaut encore, en remplaçant \(\dim\mathrm{proj}\) par la \(\mathrm{Tor}\)-dimension, pour \(M\) de type fini sur un anneau noethérien \(B\) qui est une \(A\)-algèbre avec \(\mathfrak{m}B \subset \mathrm{rad}(B)\).

\(\mathrm{Tor}\) et la complétion pro-objective (page 60).

L'extension repose sur un énoncé pour lequel, dit-il, « je ne connais pas de référence ».

Proposition. Soient \(A\) un anneau local noethérien, \(B\) une \(A\)-algèbre locale noethérienne (\(A \to B\) local), \(\mathfrak{m}\) un idéal de \(A\), \(N\) un \(A\)-module de type fini et \(M\) un \(B\)-module de type fini. Alors \[ \varprojlim_{k} \mathrm{Tor}_{p}^{A}(N/\mathfrak{m}^{k}N,\, M) = \mathrm{Tor}_{p}^{A}(N, M)^{\wedge} , \] et plus précisément on a une égalité de pro-objets \[ \varprojlim\;\mathrm{Tor}_{p}^{A}(N, M) \big/ \mathfrak{m}^{k}\,\mathrm{Tor}_{p}^{A}(N, M) \;\xrightarrow{\;\sim\;}\; \varprojlim\;\mathrm{Tor}_{p}^{A}(N/\mathfrak{m}^{k}N,\, M) . \]

Si \(B\) était plat sur \(A\), on prendrait une résolution de \(M\) sur \(B\) et Artin-Rees conclurait — c'est lui qui exprime que « le pro-objet complétion » est un foncteur exact. On se ramène donc, en remplaçant \(B\) par une algèbre dont il est quotient et en le complétant, à un lemme de structure :

Proposition. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens, avec \(B\) complet. Alors \(B\) est quotient d'un anneau \(C\) tel que (i) \(C\) soit local et \(A \to C\), \(C \to B\) locaux ; (ii) \(C\) soit plat sur \(A\) ; (iii) si \(k\) est le corps résiduel de \(A\), \(C_{0} = C \otimes_{A} k\) soit régulier et \(\mathrm{gr}\,C_{0} \to \mathrm{gr}\,B_{0}\) bijectif en degrés \(0\) et \(1\).⁴⁷

Le relèvement d'une extension résiduelle purement inséparable (pages 60 à 62).

Ici commence la démonstration, et c'est elle qui franchit la limite des lots. On choisit une base \(t_{i}\) d'un supplémentaire de l'image de \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{2} \otimes_{k} K \to \mathfrak{n}/\mathfrak{n}^{2}\), on la relève dans \(B\), ce qui définit \(A[[T_{i}]] \to B\), et l'on pose \(A' = A[[T_{i}]]\), plat sur \(A\), avec \(\mathfrak{m}'/(\mathfrak{m}'^{2} + \mathfrak{m}A') \xrightarrow{\sim} \mathfrak{n}/(\mathfrak{n}^{2} + \mathfrak{m}B)\). Remplaçant \(A\) par \(A'\), il reste à traiter le cas où \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{2} \otimes K \to \mathfrak{n}/\mathfrak{n}^{2}\) est surjectif, c'est-à-dire \(K = B \otimes_A k\), et il s'agit alors de trouver \(C\) avec \(K = C \otimes_A k\). « On va manger \(K\) par étapes », écrit-il, et les trois étapes sont :

1. a)La partie transcendante. Soit \((x_{i})_{i \in I}\) une base de transcendance de \(K\) sur \(k\) ; on relève les \(x_{i}\) dans \(B\), définissant \(A(x_{i}) \to B\), où \(A(x_{i})\) est la limite inductive des localisés, au point générique de la fibre spéciale, des \(A[X_{i}]_{i \in J}\) pour \(J\) fini dans \(I\) — la construction de Nagata.⁴⁸
2. b)La partie séparable. On est ramené à \(K\) algébrique sur \(k\), et l'on trouve « sans histoire » \(A'\) plat sur \(A\), non ramifié, de corps résiduel la clôture séparable de \(k\) dans \(K\).
3. c)La partie purement inséparable, « et on va utiliser une propriété “d'intersection complète” des corps, que je n'ai pas su bien dégager ».

Le point c) est le cœur. Soit \(K_{n} = K \cap k^{p^{-n}}\) le sous-corps des \(x\) tels que \(x^{p^{n}} \in k\), et \(x_{n}^{\alpha}\) une \(p\)-base de \(K_{n}\) sur \(K_{n-1}\). Alors \(K\) est engendré par les \(x_{n}^{\alpha}\) soumis aux relations \((x_{n}^{\alpha})^{p} = P_{n}^{\alpha}(x_{m}^{\beta},\ m < n)\) à coefficients dans \(k\). Relevant les \(x_{n}^{\alpha}\) dans \(B\) et corrigeant par récurrence, on obtient \[ \boxed{\;(x_{n}^{\alpha})^{p} = P_{n}^{\alpha}(x_{m}^{\beta},\ m < n) + \sum_{i \geqslant 1} Q_{n,i}^{\alpha}(x_{m}^{\beta}) \;} \] où \(P_{n}^{\alpha}\) est à coefficients dans \(A\) et \(Q_{n,i}^{\alpha}\) à coefficients dans \(\mathfrak{m}^{i}\).⁴⁹ On prend alors pour \(C\) l'anneau complet engendré par des générateurs \(x_{n}^{\alpha}\) soumis à ces relations — rigoureusement, la limite projective des \(A/\mathfrak{m}^{k}\)-algèbres définies par les relations tronquées à \(i \leqslant k-1\).

Reste à voir que c'est plat, et la vérification est courte : il suffit de le faire pour le quotient de \(A[X_{n}^{\alpha}]\) par un nombre fini de relations, où seules un nombre fini d'indéterminées interviennent ; on applique \(0_{\mathrm{IV}}\) 15.1.16 c) \(\Rightarrow\) b), et il faut vérifier que dans \(k[X_{n}^{\alpha}]\) les \((X_{n}^{\alpha})^{p} - P_{n}^{\alpha}(X_{m}^{\beta},\ m<n)\) forment une suite régulière, « et cela résulte d'un calcul de dimension trivial — CQFD ».

Il ajoute la formulation générale qu'il n'a pas su dégager, et qui vaut d'être retenue : toute extension algébrique \(K/k\) est du type \(K = k[T_{\alpha}]/(P_{i})\) de sorte qu'en relevant les \(P_{i}\) à un anneau artinien \(A\) de corps résiduel \(k\), l'algèbre \(A[T_{\alpha}]/(\widetilde{P}_{i})\) soit plate sur \(A\). C'est une propriété « d'intersection complète » des corps, et c'est ce qui fait marcher tout le point c).

Les résultats manquants sur les suites régulières (pages 62 et 63).

« Il manque des résultats sur les suites régulières, notamment le suivant auquel Quillen faisait une référence fantôme dans sa lettre sur \(\Omega_{B/A}\). » La marge du destinataire, en oblique et d'une encre plus grasse, répond : « garder EGA IV 19, à compléter éventuellement. » Et une autre, au-dessus : « \(0_{\mathrm{IV}}\) 15 », le \(16.4\) qui la précédait étant biffé.

C'est ici que le dossier répond à la question rayée de la page 51.

Proposition. Soient \(A\) noethérien et \(I\) un idéal. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)\(\mathrm{Sym}_{A/I}(I/I^{2}) \xrightarrow{\sim} \mathrm{gr}_{I}(A)\) et \(I/I^{2}\) est projectif sur \(A/I\) ;
2. (ii)\(\Lambda^{\bullet}(I/I^{2}) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Tor}^{A}_{\bullet}(A/I, A/I)\) et idem.

Si de plus \(A\) est local et si \(f_{1},\ldots,f_{n}\) est un système minimal de générateurs de \(I\) — c'est-à-dire \(n = \dim_{k} I \otimes k\) — cela équivaut encore à

1. (iii)\(f_{1},\ldots,f_{n}\) est une suite régulière ;
2. (iv)le complexe de l'algèbre extérieure \(K(f, A)\) est une résolution de \(A/I\) ;
3. (v)\(\mathrm{Ext}^{i}(A/I, A) = 0\) pour \(i < n\).

L'hypothèse de minimalité du système de générateurs est ce qui rend l'équivalence vraie et ce qui en marque la limite : c'est précisément le passage à un système quelconque de générateurs qui casse dans le cas non noethérien, et c'est ce que la notion de Koszul répare.

La démonstration donnée est celle-ci. On se ramène à \(A\) local et \(I \neq A\). Les implications (i) \(\Leftrightarrow\) (iii) \(\Rightarrow\) (iv) \(\Rightarrow\) (ii) et (iv) \(\Rightarrow\) (v) sont claires, la dernière parce que (iv) entraîne que \(\mathrm{Tor}^{1}(A/I, A/I) = I/I^{2}\) est \(A/I\)-libre. Pour (ii) \(\Rightarrow\) (iv) : soit \(P_{*}\) une résolution projective de \(A/I\) ; il existe une seule classe d'homotopie d'applications \(K(f,A) \to P_{*}\) induisant l'identité sur \(A/I\), et l'application déduite \(\Lambda^{\bullet}(I/I^{2}) = H_{*}(K(f,A) \otimes A/I) \to \mathrm{Tor}(A/I,A/I) = H_{*}(P_{*} \otimes A/I)\) coïncide avec celle de (ii). Soit \(E\) le cylindre de cette application : (ii) signifie que \(E \otimes A/I\) est acyclique, donc par Nakayama que \(E\) l'est, c'est-à-dire (iv).

Reste (v) \(\Rightarrow\) (iii), et Deligne l'ajourne d'une ligne — « Va être modulée » — puis démontre une proposition plus forte, à coefficients dans un module :

Proposition. Si \(I\) est un idéal de l'anneau local \(A\), \(f_{1},\ldots, f_{n}\) un système minimal de générateurs de \(I\), \(M\) un \(A\)-module de type fini, et si \(\mathrm{Ext}^{i}(A/I, M) = 0\) pour \(i < n\), alors \(f_{1},\ldots,f_{n}\) est une suite \(M\)-régulière.

La démonstration est en trois temps, dont le troisième est le joli. On remarque d'abord que la conclusion ne dépend qu'apparemment du système de générateurs, en déroulant la chaîne d'équivalences entre régularité, quasi-régularité et bijectivité de \(\mathrm{gr}_{I}(A) \otimes_{A/I} M/IM \to \mathrm{gr}_{I}(M)\). Puis, s'il existe \(f \in I \setminus \mathfrak{m}I\) qui soit \(M\)-régulier, on descend d'un cran et l'on conclut par récurrence sur \(n\). Enfin, s'il n'en existe aucun, alors \[ I \subset \mathfrak{m}I \cup \bigcup_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}(M)} \mathfrak{p} , \] et un lemme d'évitement conclut qu'il existe \(\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}\,M\) avec \(I \subset \mathfrak{p}\), d'où \(\mathrm{Hom}(A/I, M) \neq 0\), donc \(n = 0\), \(I = 0\), et l'assertion est vraie.

Lemme (que Deligne attribue par un « (Nagata !) »). Soient \(\mathfrak{a}\) un idéal d'un anneau \(A\), \((\mathfrak{b}_{i})_{0 < i \leqslant n}\) des idéaux et \((\mathfrak{p}_{i})_{0 < i \leqslant m}\) des idéaux premiers. Si \(\mathfrak{a} \subset \bigcup_{i} \mathfrak{b}_{i} \cup \bigcup_{i} \mathfrak{p}_{i}\), alors ou bien \(\mathfrak{a} \subset \bigcup \mathfrak{b}_{i}\), ou bien il existe \(i\) avec \(\mathfrak{a} \subset \mathfrak{p}_{i}\).

C'est le lemme d'évitement des idéaux premiers, dans la forme forte où les idéaux non premiers sont traités en bloc. Sa démonstration en deux lignes est celle de la lettre : on se ramène à \(m = 1\) et à \(\mathfrak{p} \not\supset \mathfrak{b}_{i}\) ; si \(\mathfrak{a} \not\subset \bigcup \mathfrak{b}_{i}\), on prend \(x \in \mathfrak{a} \setminus \bigcup \mathfrak{b}_{i}\), donc \(x \in \mathfrak{p}\), et pour \(y \in \mathfrak{a} \cap \bigcap \mathfrak{b}_{i}\) on a \(x + y \in \mathfrak{a} \setminus \bigcup \mathfrak{b}_{i}\), donc \(x+y \in \mathfrak{p}\) et \(y \in \mathfrak{p}\) ; d'où \(\mathfrak{a} \cap \bigcap \mathfrak{b}_{i} \subset \mathfrak{p}\) et, comme \(\mathfrak{b}_{i} \not\subset \mathfrak{p}\), \(\mathfrak{a} \subset \mathfrak{p}\).⁵⁰

Plat \(\Longleftrightarrow\) formellement projectif (pages 63 et 64).

En marge, « \(0_{\mathrm{IV}}\) 19.2 », et : « Il manque la proposition suivante, dont tu démontres un cas particulier en 19.7.1.1 ».

Proposition. Soient \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens et \(M\) un \(B\)-module de type fini, \(A\) et \(M\) munis des topologies \(\mathfrak{m}\)- et \(\mathfrak{n}\)-adiques. Alors \(M\) est plat sur \(A\) si et seulement s'il est formellement projectif sur \(A\).

La démonstration est un enchaînement d'équivalences dont l'intérêt est la méthode — tout se passe dans les catégories de pro- et d'ind-objets, et la dualité entre les deux fait le travail. On se ramène à \(A\) artinien local, puis \[\begin{align*} \text{(ii)} &\iff \varinjlim_{k} \mathrm{Ext}^{1}_{A}(M/\mathfrak{n}^{k}M, N) = 0 \quad \forall N \\ &\iff \text{idem pour } N \text{ un } k\text{-espace vectoriel (dévissage)} \\ &\iff \varinjlim \mathrm{Ext}^{1}_{A}(M/\mathfrak{n}^{k}M, k) = 0 \text{ comme Ind-objet} \\ &\iff \varprojlim \mathrm{Tor}^{A}_{1}(M/\mathfrak{n}^{k}M, k) = 0 \text{ comme pro-objet,} \end{align*}\] le précédent étant le dual de celui-ci. On calcule ce \(\mathrm{Tor}\) par une résolution plate de \(k\), et Artin-Rees identifie le pro-objet à \(\varprojlim\ \mathrm{Tor}^{A}_{1}(M,k)/\mathfrak{n}^{k} \mathrm{Tor}^{A}_{1}(M,k)\), dont la nullité signifie \(\mathrm{Tor}_{1}(M,k) = 0\), c'est-à-dire la platitude.⁵¹

Les six dernières remarques, et la signature (page 64).

Le reste de la lettre est une suite de notes marginales numérotées par le paragraphe qu'elles visent, et elles montrent le genre de lecture dont un texte en épreuves a besoin.

• \(0_{\mathrm{IV}}\) 16.1.9 : on peut y supprimer l'hypothèse noethérienne, en référant à Bourbaki, Algèbre commutative, ch. V, § 1, n^o 1, th. 1.
• \(0_{\mathrm{IV}}\) 19.4.6 : il n'est pas nécessaire de supposer \(B\) formellement projectif dans l'hypothèse 2^o ; et dans 1^o, cette hypothèse peut se remplacer par une hypothèse de finitude.
• \(0_{\mathrm{IV}}\) 19.4.7 : la démonstration se simplifierait si l'on avait fait remarquer auparavant que \(\mathrm{Exalcotop}_{A}(B, L)\) est foncteur semi-exact en \(L\).
• \(0_{\mathrm{IV}}\) 19.8.3 : lire « homomorphisme local » et non « homomorphisme », aux trois endroits indiqués.
• \(0_{\mathrm{IV}}\) 20.4.6 : le signe de \(dx\) est le contraire de celui que choisit l'analyse, où \(\Delta f(x;x') = f(x') - f(x)\), compte tenu de ce que \(B \otimes B\) et \(P^{1}_{B/A}\) sont des \(B\)-algèbres par \(b \mapsto b \otimes 1\). La marge du destinataire, en oblique : « faire errata : remplacer \(P_{1} - P_{2}\) par \(P_{2} - P_{1}\) ! attention aux passages subséquents ».
• \(0_{\mathrm{IV}}\) 20.4.13 (iv) : l'hypothèse « \(A\) intégralement clos » n'a rien à faire ici.
• III 4.3.6 : « la formule \(K' = K \otimes_{A} \widehat{A}\) est fausse en général ! » — et la marge porte trois points d'exclamation.

Et la lettre se ferme sur un aveu : « En relisant cette lettre, je suis honteux de la démonstration tordue donnée pg 2 de ce que \(\mathrm{Tor}\) et “pro-objet complétion” commutent. Il suffirait, par dévissage, de traiter directement le cas \(N = A\) et \(M = B\), ié “\(\varprojlim\)” \(\mathrm{Tor}^{A}_{p}(A/\mathfrak{m}^{k}, M) = 0\) si \(p > 0\), mais j'en suis incapable. Tu trouveras ci-joint une lettre de Serre que je te renvoie. » La lettre de Serre n'est pas dans le dossier.

57–58

b) La lettre du 29 octobre 1966 (pages 57 et 58)

Deux pages, sur EGA IV 19. Elles portent sur une seule chose : les hypothèses de séparation.

L'hypothèse \((*)\) « semble idiote »

L'hypothèse mise en cause est : « tout quotient de tout sous-module de \(M\) (resp. \(M^{n}\)) est séparé pour la topologie \(J\)-adique », et l'objection est en deux points.

1. (i)Elle n'est pas impliquée par l'hypothèse de finitude relative noethérienne standard — « \(M\) fini sur la \(A\)-algèbre noethérienne \(B\), \(A\) noethérien, \(JB \subset R(B)\) » — « qui elle est naturelle ». La marge porte un point d'interrogation au crayon.
2. (ii)Le seul exemple non trivial indiqué où l'hypothèse soit vérifiée, soit 19.5.6 (ii), est faux : dans \((*)\) on ne se limite pas à prendre des quotients par des sous-modules gradués. Contre-exemple : \(A = B[T]\), \(M = N[T]\), \(N\) un \(A\)-module où \(T\) agit par \(1\) ; ce \(A\)-module est quotient de \(M\). La marge porte « Err », souligné, au crayon — verdict accepté — et un point d'exclamation contre l'exemple.

Suit la phrase qui dit le parti pris : « Je crois qu'il faut éviter d'employer des hypothèses de séparation qu'on ne rencontre pas dans la nature, comme “idéalement séparé” etc., et se limiter à utiliser (i) — J'avoue toutefois, avec honte, que dans le même geste sacrilège je serais prêt à supposer tous les schémas séparés et noethériens… » Il propose tout de même, pour coiffer (i) et \((*)\), une hypothèse intermédiaire : \[ \forall f : N \to P ,\ N \text{ et } P \text{ finis sur } A ,\quad \mathrm{Ker}(M \otimes N \to M \otimes P) \text{ est } J\text{-séparé} , \] contre laquelle la marge porte un point d'exclamation.⁵²

La réponse à 19.5.6 (iii), et quatre remarques.

« L'implication b) \(\Rightarrow\) c) de 19.5.5 est vraie sans qu'on doive faire aucune hypothèse de séparation. Pour le voir, il suffit de lire le cas \(n = 1\) de la démonstration “à la Schwartz”. » Il joint, vu l'urgence signalée, une rédaction de la démonstration, « copiée sur la primitive » — cette rédaction n'est pas dans le dossier.

Puis, en quatre tirets, ce qui n'appartient à aucun théorème :

• « Je n'ai pas encore compris 19.7. »
• « J'ai beaucoup aimé le projet EGA I § 0 jusqu'à la pg 10, où la topologie du spectre tombe du ciel. Ne faudrait-il pas parler de topologie avant de parler d'espace topologique ? »
• « Je ne suis pas capable de rédiger une théorie naïve utilisable des intersections »,
• et rien d'autre à dire sur le « plan des EGA » pour le moment.

55–56

c) La lettre du 15 décembre 1966 (pages 55 et 56)

Deux pages, et la dernière des trois. Elle répond à une lettre du 28 — qui n'est pas dans le dossier — et elle revient sur l'objection d'octobre : « Après avoir tourné 7 fois ma langue dans ma bouche, je répète mon objection à l'hypothèse “tout quotient de tout sous-module de \(M\) est séparé pour la topologie \(J\)-adique”, qui n'est pas en général vérifiée pour \(M\) de type fini sur la \(A\)-algèbre \(B\), \(A\) et \(B\) noethériens, \(JB \subset R(B)\). »

Le contre-exemple est en trois lignes. \(A\) noethérien local, \(J = \mathfrak{m}\), \(B = A[[T]]\), \(M = B\). Comme \(A\)-module, \(B \simeq A^{\mathbf{N}}\), donc tout module quotient de \(A^{(\mathbf{N})}\) est quotient d'un sous-\(A\)-module de \(B\) ; et « un module ayant un système dénombrable de générateurs n'a aucune raison d'être séparé ! ».⁵³

Deux post-scriptum. Le premier donne son adresse militaire en Allemagne. Le second est le plus lourd :

Je commence à lire IV § 16. La démonstration de 16.1.5 est canulée, comme on le voit en prenant \(X = \mathrm{Spec}(k[T])\), \(Y = \mathrm{Spec}(k[T]) \sqcup \mathrm{Spec}(k)\), tous deux affins.

Avec les notations de 16.1.15 (i), \(J = 0\), mais les voisinages infinitésimaux de \(Y\) ne sont pas triviaux en \(\mathrm{Spec}(k)\). Il ajoute : « J'ignore si la proposition est vraie. »⁵⁴

Et enfin : « même en admettant 16.1.5, 16.1.6 n'est pas convaincant en général : si \(B\) est de présentation finie sur \(A\), j'ignore si le noyau de \(A \to B\) est un idéal de type fini. C'est sans doute faux. »

C'est donc le paragraphe 16 — celui-là même que la fiche de la page 51 demande de vérifier, celui dont le tapuscrit des pages 52 et 53 va retirer une définition — qui reçoit ici, deux mois plus tard, son second coup.

66–80

XII. Divers (pages 66 à 80)

Une feuille kraft par ailleurs vierge porte, en haut à droite et suivi de points de suspension, le seul mot « Divers …. ». Ce qu'elle couvre est quinze feuillets sans lien entre eux, qui sont des compléments au chapitre IV rangés dans aucun ordre. On les prend comme ils viennent.

La structure d'une démonstration du Main Theorem (pages 66 et 67)

Ce n'est pas une démonstration : c'est le plan d'une démonstration, et c'est à ce titre qu'il vaut d'être lu, car on y voit comment une preuve se décompose en couches d'hypothèses qu'on enlève une à une.

1. a)Démonstration par voie globale, dans le cas \(Y\) localement noethérien et \(f\) quasi-projectif.
2. b)Extension au cas où \(f\) est quasi-fini séparé de présentation finie et \(Y\) quasi-compact quasi-séparé. On prouve que la question est alors locale sur \(Y\) (IV 8.12.3), ce qui ramène au cas noethérien ; et que l'hypothèse faite implique \(f\) quasi-affine (IV 8.11.2), ce qui ramène aux conditions de a).
3. c)Élimination de l'hypothèse « \(f\) de présentation finie », ne gardant que « \(f\) quasi-fini séparé ».

L'élimination de la méthode globale est traitée à part : on se ramène au cas où \(Y\) est local essentiellement de type fini sur \(\mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}\), on passe aux complétés et l'on fait une récurrence sur la dimension, en utilisant que le passage au complété est compatible avec la fermeture intégrale (IV 6.14.4).

Et pour c), deux voies : ou bien supposer \(f\) quasi-projectif et passer à la limite dans \(X = \varprojlim X_{i}\) ; ou bien prouver que \(f\) est nécessairement quasi-affine, donc quasi-projectif (IV 18.12.12), par la technique de localisation étale. Il note alors l'objection qui pèse sur la seconde voie, et c'est l'observation la plus intéressante du feuillet : la technique de localisation étale utilise elle-même le Main Theorem, sous la forme locale en haut qu'établit b). Le choix reste ouvert « entre la démonstration chronologique globale, ou démonstration purement locale… », et le feuillet s'arrête là.

Morphismes essentiellement de présentation finie, et essentiellement affines (pages 69 et 70)

Deux définitions et deux propositions, sous ses propres titres.

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme. On considère les conditions :

1. (i)\(f\) est la limite projective d'un système projectif filtrant essentiellement affine de \(Y\)-préschémas de présentation finie ;
2. (ii)\(f\) se factorise en \(X \xrightarrow{f_{1}} X_{0} \xrightarrow{f_{0}} Y\) avec \(f_{0}\) de présentation finie et \(f_{1}\) affine ;
3. (iii)comme (ii), mais avec \(X = \mathrm{Spec}(\mathcal{A})\) où \(\mathcal{A}\) est une Algèbre quasi-cohérente sur \(X_{0}\) limite inductive filtrante d'Algèbres de présentation finie.

Alors (i) \(\Leftrightarrow\) (iii) \(\Rightarrow\) (ii), et tout est équivalent si \(Y\) est localement noethérien.

Définition. \(f\) est essentiellement de présentation finie s'il satisfait (ii) ; \(X\) l'est si \(X \to \mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}\) l'est. On note que cela entraîne \(f\) quasi-compact quasi-séparé.

La proposition qui suit donne la boîte à outils habituelle : la présentation finie implique la notion ; un morphisme affine de but localement noethérien, ou de but quasi-compact quasi-séparé avec faisceau inversible ample, l'est ; une immersion de but quasi-compact quasi-séparé l'est ; la notion est stable par changement de base et par composition ; et si \(g\) est essentiellement de présentation finie (avec \(S\) quasi-compact quasi-séparé, ou \(g\) de présentation finie), alors \(gf\) l'étant, \(f\) l'est.

Une seconde proposition, plus fine : si \(S\) est universellement japonais — par exemple \(S = \mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}\) — et si \(X\) est essentiellement de présentation finie sur \(S\), alors pour que \(X\) soit géométriquement unibranche il faut et il suffit qu'il soit de la forme \(\varprojlim X_{i}\) avec les \(X_{i}\) géométriquement unibranches (resp. normaux).

Le feuillet 70 reprend la seule notion « essentiellement affine » — même factorisation, sans la condition de présentation finie sur \(f_{0}\) — et commence une liste de propriétés dont le (i) est écrit et le (ii) resté vide. Le feuillet s'arrête là.

Les préschémas dont les anneaux locaux réduits sont des corps (page 72)

Un feuillet de conditions équivalentes, et c'est une caractérisation des préschémas de dimension zéro. La liste, dans sa numérotation finale :

1. (i)Tout point est fermé.
2. (ii)Tout point admet un voisinage ouvert localement compact ; (ii b) idem, compact ; (ii ter) tout ouvert affine est compact ; (ii quater) si \(X\) est quasi-séparé, \(X\) est localement compact.
3. (iii)Les anneaux locaux de \(X_{\mathrm{réd}}\) sont des corps.
4. (iv)\(X^{\mathrm{cons}} \to X\) est un homéomorphisme (ou : un isomorphisme) ; (iv bis) toute partie localement constructible est ouverte ; (iv ter) si \(X\) est quasi-séparé, toute partie constructible est ouverte ; (iv quater) tout ouvert affine est fermé.

\(X^{\mathrm{cons}}\) désigne l'espace \(X\) muni de la topologie constructible. L'équivalence de (i) et (iii) est triviale — tout point fermé signifie tout idéal premier maximal, c'est-à-dire dimension zéro. Les autres disent que l'espace est un espace localement compact totalement discontinu.

Le feuillet porte ensuite une chaîne d'implications, et il faut la lire avec un avertissement. La liste a été renumérotée de \((v\ldots)\) en \((iv\ldots)\) et la chaîne ne l'a pas été.⁵⁵ Les justifications qu'il donne sont d'un mot — « if », pour « immédiat » ou « il faut » — sauf une, (i) \(\Rightarrow\) (iv quater) : « car l'adhérence est formée des spécialisations ».

Le feuillet ajoute enfin deux choses. Un N.B. : tout espace localement compact totalement discontinu muni d'un faisceau d'anneaux dont les fibres sont des corps est un préschéma. Et un corollaire, qui est le véritable intérêt de la page :

Corollaire. Conditions équivalentes : (i) \(X\) est « localement compact » (pas nécessairement séparé) et réduit ; (ii) tout Module sur \(X\) est plat ; (ii bis) tout Module de présentation finie sur un ouvert affine de \(X\) est plat ; (ii ter) si \(X\) est quasi-séparé, tout Module quasi-cohérent sur \(X\) est plat ; (iii) \(X^{\mathrm{cons}} \to X\) est un isomorphisme d'espaces annelés.

C'est la caractérisation des anneaux absolument plats, dits aujourd'hui von Neumann réguliers : un anneau sur lequel tout module est plat. La condition (iii) est l'énoncé géométrique correspondant — le spectre coïncide avec son spectre constructible.

Deux feuillets de tapuscrit (pages 73 et 78)

Le premier, paginé 41, énonce un théorème de descente effective pour les faisceaux étales. Ses annotations manuscrites sont des consignes de mise en page pour la dactylographe et ne concernent pas le contenu.

Théorème 9.4. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme surjectif de préschémas. On suppose vérifiée l'une des hypothèses : a) \(f\) entier ; b) \(f\) propre ; c) \(f\) plat et localement de présentation finie ; d) \(X\) discret (par exemple le spectre d'un corps). Alors \(f\) est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des faisceaux étales : le foncteur \(f^{*}\) induit une équivalence entre la catégorie des faisceaux sur \(X\) et celle des faisceaux sur \(X'\) munis d'une donnée de descente relativement à \(f\).

La démonstration commencée (9.4.1) définit, à partir d'un faisceau \(F'\) muni d'une donnée de descente, le foncteur \(G(Y) = \mathrm{Ker}\bigl(F'(Y') \rightrightarrows F''(Y'')\bigr)\), constate que c'est un faisceau pour la topologie étale, et construit un homomorphisme canonique injectif \(G \to f_{*}(F')\). Le feuillet s'interrompt là.

Le second tapuscrit, paginé 24 et corrigé de sa main, est la démonstration d'un énoncé (i) par récurrence noethérienne. On réduit à montrer que \(f_{*}F'\) est localement constant et constructible sur un ouvert non vide convenable ; on prend \(x\) un point maximal de \(X\) ; en remplaçant \(X\) par un revêtement étale d'un voisinage de \(x\), on rend radiciel chaque point de \(X'\) au-dessus de \(x\), de sorte que \(X' \to X\) est somme de morphismes radiciels au voisinage de \(x\) (EGA IV.9.6.1) ; en rétrécissant encore on rend \(F'\) constant, et alors \(f_{*}F'\) est produit d'un nombre fini de faisceaux constructibles constants, donc constructible et constant.⁵⁶

La condition \((h_{0})\) (pages 74 à 76)

Définition. Un morphisme \(f : T \to S\) vérifie \((h_{0})\) lorsque l'application \(\mathrm{OF}(S) \to \mathrm{OF}(T)\) est injective, ce qui équivaut à dire que pour toute partie ouverte et fermée non vide \(\mathcal{U}\) de \(S\), \(f^{-1}(\mathcal{U})\) est non vide ; et encore à dire que le foncteur \(S' \mapsto T' = T \times_{S} S'\) des revêtements de \(S\) aux revêtements étales de \(T\) est conservatif. Cela entraîne qu'il est pleinement fidèle.

Deux cas immédiats : si \(S\) est connexe non vide, la condition équivaut à \(T \neq \emptyset\) ; et si \(S = \coprod_{i} S_{i}\) avec les \(S_{i}\) connexes non vides, elle équivaut à \(f^{-1}(S_{i}) \neq \emptyset\) pour tout \(i\). C'est donc exactement la condition de surjectivité sur les composantes connexes.

Proposition. Soient \(f : T \to S\) un morphisme de \(k\)-préschémas (\(k\) un corps), \(R'\) un \(k\)-préschéma, et \(f' : T' \to S'\) le morphisme déduit par changement de base. Si \(f\) satisfait \((h_{0})\), alors \(f'\) aussi ; et réciproquement si \(R' \neq \emptyset\).

Le sens facile est celui de la réciproque : \(S' \to S\) étant surjectif, une partie ouverte et fermée de \(S\) dont l'image inverse dans \(S'\) est vide est vide. Le sens direct se traite fibre par fibre, ce qui ramène à \(R' = \mathrm{Spec}\,k'\) avec \(k'\) un corps, que l'on peut supposer algébriquement clos, puis clôture algébrique de \(k\) ; on conclut alors par un argument galoisien — l'image directe d'une partie ouverte et fermée de \(S'\) est stable par \(\mathrm{Gal}(k'/k)\), donc ouverte et fermée dans \(S\), et son image inverse dans \(T\) étant vide, elle est vide.⁵⁷ Le feuillet note en marge : « Cf simplification éventuelles de EGA IV 4 ».

Corollaire 1. Si \(f : T \to S\) satisfait \((h_{0})\) et si \(R' \neq \emptyset\), le carré

\begin{tikzcd}
  \mathrm{OF}(S) \arrow[r, hook] \arrow[d] & \mathrm{OF}(T) \arrow[d] \\
  \mathrm{OF}(S') \arrow[r, hook] & \mathrm{OF}(T')
\end{tikzcd}

est cartésien. L'injectivité de \(\mathrm{OF}(S) \to \mathrm{OF}(T)\) donne l'injectivité de \(\mathrm{OF}(S) \to \mathrm{OF}(T) \times_{\mathrm{OF}(T')} \mathrm{OF}(S')\), et la surjectivité est immédiate par descente, en utilisant que \(\mathrm{OF}(S'') \to \mathrm{OF}(T'')\) est injective.

Le feuillet 76 est une page de croquis, sans titre : trois diagrammes et quelques lignes, à propos du prolongement d'un morphisme \(A_{T} \to B_{T}\) en un morphisme \(A \to B\).⁵⁸ Ce qui s'en dégage est un énoncé d'unicité et un critère d'existence : sous les deux hypothèses que toute partie ouverte et fermée de \(S''\) d'image inverse vide dans \(T''\) est vide — c'est-à-dire \((h_{0})\) pour \(T'' \to S''\) — et que \(S' \to S\) est un morphisme de descente pour la catégorie des schémas relatifs, il existe au plus un \(u : A \to B\) induisant un \(v : A_{T} \to B_{T}\) donné, et il en existe un si et seulement s'il en existe un après le changement de base \(S' \to S\).

Les conditions sur \(Y \to X\) : composantes connexes et revêtements étales (pages 77 et 79)

Deux feuillets au crayon, sur le dos de deux tapuscrits qui transparaissent, et qui portent deux fois la même liste sous deux formes. Ce sont les plus difficiles du dossier, et la comparaison des deux rédactions est le seul moyen de les lire.

Rappelons la clef : chaque condition porte sa forme forte entre parenthèses, et la liste vaut donc deux fois.

Conditions équivalentes pour \(f : Y \to X\).

1. (i)Pour tout \(X'\) étale sur \(X\), posant \(Y' = Y \times_{X} X'\), l'application \(\mathrm{OF}(X') \to \mathrm{OF}(Y')\) est injective (bijective).
2. (i bis)(\(X\), \(Y\) localement noethériens) Pour tout tel \(X'\), \(\pi_{0}(Y') \to \pi_{0}(X')\) est surjective (bijective).
3. (ii)\(\Gamma(X'/X) \to \Gamma(Y'/Y)\) est injective (bijective).
4. (iii)Le foncteur \(X' \mapsto Y' = X' \times_{X} Y\), de la catégorie des revêtements étales finis de \(X\) dans celle des revêtements étales finis de \(Y\), est fidèle (pleinement fidèle).

C'est la condition de type Lefschetz sur le groupe fondamental : dans la lecture forte, la pleine fidélité du foncteur des revêtements étales finis est exactement la surjectivité de \(\pi_{1}(Y) \to \pi_{1}(X)\).⁵⁹

Le feuillet 77 porte, entre les conditions, les raisons des équivalences, écrites en deux flèches courbes dans la marge : de (iii) vers (i), « considération des graphes » ; de (i) vers (iii), « par considération des Hom » ; et sous elles la ligne qui fait le pont, « Car \(\mathrm{OF}(X') \simeq \Gamma(I_{X'}/X')\) ».

Le feuillet 79 ajoute une quatrième condition — \(f(Y)\) dense dans \(X\) — et, surtout, la réserve que la page 77 ne portait pas. L'implication (i) \(\Rightarrow\) (ii) ne vaut « comme avant » que tant qu'on se borne aux schémas séparés sur \(X\), ou qu'il ne s'agit que de l'énoncé faible ; sinon « il semble qu'il faille supposer \(f\) universellement [quelque chose] et [qu'il] reste tel après changement de base ». Il note enfin que si \(X\) et \(Y\) sont essentiellement de présentation finie et qu'on impose des conditions stables par tout changement de base fini, « alors c'est de nouveau OK. (cf SGAA) ».⁶⁰ Le haut du feuillet 77, au-dessus d'un trait horizontal, porte des croquis étrangers à la liste — un \(X'\) biffé d'où partent deux flèches vers \(Y\), et trois modules de différentielles dont un biffé.

Croquis : images directes et changement de base (page 80)

Un feuillet de croquis à l'encre, tracés en travers d'un tapuscrit filmé tête-bêche qui n'est pas de sa main. Seuls des fragments portent : \[ i_{*}(\Lambda_{V}) = \Lambda_{C} , \qquad R^{1} i_{*}(\Lambda_{V}) = \mathcal{H}^{-1}_{Z,C} , \] ce dernier souligné deux fois et suivi d'un renvoi « 2.14. » ; puis deux carrés cartésiens et la flèche de changement de base \[ u^{*}\bigl(R^{i} p_{*}(\overline{F})\bigr) \longrightarrow R^{i} p_{Y*}\bigl(u'^{*}(\overline{F})\bigr) . \] C'est le morphisme de changement de base pour les images directes supérieures, noté pour lui-même. Le feuillet ne dit pas sous quelles hypothèses il serait un isomorphisme, et rien n'est supposé ici à sa place.

82–89

XIII. IV 5 : dimension, une \(\partial\)-catégorie, la clôture intégrale (pages 82 à 89)

Une chemise orange porte, à l'encre puis au crayon : « IV 5 », un mot biffé qui ne se lit plus, « Compléments d'ordre divers ».

Un lemme de codimension, et deux corollaires (pages 82 et 83)

Lemme 1. Soient \(X\) un préschéma noethérien, \(Y\) une partie fermée non vide, \((Y_{i})_{i \in I}\) l'ensemble de ses composantes irréductibles, \((X_{k})_{k \in K}\) celles de \(X\). Posons \(r = \mathrm{Codim}(Y, X)\), \(I'\) l'ensemble des \(i\) tels que \(\mathrm{Codim}(Y_{i}, X) = r\), et pour \(i \in I'\), \(K_{i}\) l'ensemble des \(k\) tels que \(X_{k} \supset Y_{i}\) et \(\mathrm{Codim}(Y_{i}, X_{k}) = r\). Soit enfin \(x\) une section d'un Module inversible \(L\) sur \(X\) telle que \(V(x) \supset Y\). Alors :

1. 1^o)\(\mathrm{Codim}(Y, V(x)) \geqslant r - 1\), avec égalité si et seulement s'il existe \(i \in I'\) et \(k \in K_{i}\) tels que \(V(x) \not\supset X_{k}\) ;
2. 2^o)si \(X\) est local et \(r > 0\), il existe \(x \in \mathfrak{m}\) tel que \(\mathrm{Codim}(Y, V(x)) = r - 1\) et \(\dim V(x) = \dim X - 1\).

La démonstration de 1^o est l'enchaînement du feuillet, et c'est le théorème de l'idéal principal de Krull qui la porte : \(\mathrm{Codim}(Y, V(x)) = \mathrm{Inf}_{i}\, \mathrm{Codim}(Y_{i}, V(x))\), et \[ \mathrm{Codim}(Y_{i}, V(x)) = \dim \mathcal{O}_{V(x), y_{i}} \geqslant \dim \mathcal{O}_{X, y_{i}} - 1 = \mathrm{Codim}(Y_{i}, X) - 1 \geqslant \mathrm{Codim}(Y, X) - 1 . \] L'égalité impose donc les deux égalités simultanées \(\mathrm{Codim}(Y_{i}, V(x)) = \mathrm{Codim}(Y_{i}, X) - 1\) et \(\mathrm{Codim}(Y_{i}, X) = \mathrm{Codim}(Y, X)\), c'est-à-dire \(i \in I'\) et l'existence d'un \(k \in K_{i}\) avec \(V(x) \not\supset X_{k}\) — autrement dit la section doit couper effectivement au moins une composante de la bonne codimension.

Pour 2^o : comme \(r > 0\), aucune composante irréductible \(X_{\alpha}\) de \(X\) n'est contenue dans \(Y\), donc \(\mathfrak{m} \not\subset \mathfrak{p}_{\alpha}\) pour tout \(\alpha\), et le lemme d'évitement fournit \(x \in \mathfrak{m}\) n'appartenant à aucun des \(\mathfrak{p}_{\alpha}\).⁶¹

Corollaire 1. Soient \(A\) un anneau noethérien et \(\mathfrak{m}\) un idéal de hauteur \(r\). Alors il existe \(x_{1},\ldots,x_{r} \in \mathfrak{m}\) avec \(\mathrm{ht}\bigl(\sum x_{i}A\bigr) = r\) ; si \(\mathfrak{m}\) est premier, il est minimal au-dessus de \((x_{1},\ldots,x_{r})\). Si \(A\) est local et \(\mathfrak{m}\) son idéal maximal, les \(x_{i}\) forment un système de paramètres.⁶²

Corollaire 2. Soient \(A\) local noethérien, \(\mathfrak{p}\) un idéal premier et \(r = \dim A_{\mathfrak{p}}\). Alors il existe \(x_{1},\ldots,x_{r} \in \mathfrak{p}\) définissant un système de paramètres de \(A_{\mathfrak{p}}\) ; et si \(\dim A/\mathfrak{p} + \dim A_{\mathfrak{p}} = \dim A\) — par exemple si \(A\) est caténaire et équidimensionnel — ils font partie d'un système de paramètres de \(A\).⁶³

La marge gauche du feuillet 83, écrite de bas en haut sur toute la hauteur, ajoute un corollaire de plus : pour \(x_{1},\ldots,x_{p} \in \mathfrak{m}_{A}\), \(A\) local noethérien, les conditions \(\mathrm{ht}(\sum A x_{i}) = p\) — l'autre inégalité étant toujours vraie — et « \(x_{1}\) ne s'annule sur aucune composante irréductible de \(\mathrm{Spec}(A)\), …, \(x_{n}\) ne s'annule sur aucune composante irréductible de \(\mathrm{Spec}\,A/\sum_{i<n} x_{i}A\) » sont équivalentes.⁶⁴

Une \(\partial\)-catégorie (page 84)

Un feuillet entier, barré de traits diagonaux mais parfaitement lisible sous la rature, qui pose les premiers axiomes d'une notion de catégorie graduée à translation.

Définition. Une \(\partial\)-catégorie \(\mathcal{H}\) est une catégorie additive graduée — les \(\mathrm{Hom}(X,Y)\) sont des groupes gradués et la composition est additive sur les degrés — satisfaisant les axiomes qui suivent. On note \(\mathcal{H}_{(0)}\) la catégorie où l'on ne garde que les morphismes de degré \(0\).

Axiome \(\partial 1\). Pour tout objet \(X\), il existe un objet \(X(1)\) et un isomorphisme fonctoriel en \(X\) sur \(\mathcal{H}_{(0)}\) \[ \mathrm{Hom}_{1}(X, Y) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Hom}_{0}(X, Y(1)) . \]

Le feuillet donne aussitôt la forme concrète de cet axiome, qui lui est équivalente : il existe un objet \(X(1)\) et un isomorphisme \(\alpha_{X} : X(1) \to X\) de degré \(1\), et un objet \(X(-1)\) et un isomorphisme \(\beta_{X} : X(-1) \to X\) de degré \(-1\).⁶⁵

On en déduit, par composition avec \(\alpha_{X}\) et \(\beta_{X}\), quatre isomorphismes pour tout \(Y\) : \[ \text{I} \begin{cases} \mathrm{Hom}_{n}(X, Y) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{n+1}(X(1), Y) \\ \mathrm{Hom}_{n}(Y, X(1)) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{n+1}(Y, X) \end{cases} \qquad \text{II} \begin{cases} \mathrm{Hom}_{n}(X, Y) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{n-1}(X(-1), Y) \\ \mathrm{Hom}_{n}(Y, X(-1)) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{n-1}(Y, X) \end{cases} \] et la marge ajoute, contre la première ligne de I, l'identification \[ \mathrm{Hom}_{n}(X,Y) = \mathrm{Hom}_{n-1}(X, Y(1)) . \]

Le feuillet s'arrête après ce premier axiome : le second n'est pas dans le dossier, et la notion n'est donc pas définie. Ce qu'elle serait devenue se reconnaît toutefois sans peine — \(X \mapsto X(1)\) est un foncteur de translation, et une catégorie additive graduée munie d'une translation est le cadre dans lequel se formulent les catégories triangulées et, plus tard, les catégories différentielles graduées.⁶⁶

La finitude de la clôture intégrale (pages 86 à 88)

Un argument écrit hors de l'ordre des pages. La Remarque commence au feuillet 88 et se poursuit au feuillet 87 ; la marge de 87 porte « cf verso », et le verso est le feuillet 86, qui contient le lemme dont elle se sert. L'ordre de lecture est donc 88, puis 87, puis 86.

Remarque (page 88). Soient \(A\) un anneau intègre quotient d'un anneau régulier et \(K\) son corps des fractions. Pour que la clôture intégrale de \(A\) dans \(K\) soit de type fini, il faut et il suffit que :

1. a)l'ensemble des \(\mathfrak{p}_{i} \in \mathrm{Spec}\,A\) tels que \(A_{\mathfrak{p}_{i}}\) soit de dimension \(1\) et non régulier soit fini ;
2. b)pour chacun d'eux, la normalisée de \(A_{\mathfrak{p}_{i}}\) soit finie sur \(A_{\mathfrak{p}_{i}}\).

La nécessité est évidente : le lieu non normal de \(\mathrm{Spec}\,A\) est fermé, et les \(\mathfrak{p}_{i}\) en sont les points génériques de codimension \(1\).

La suffisance est la construction que le reste des trois feuillets exécute. Comme \(A\) est quotient d'un régulier, le lieu où \(A_{x}\) satisfait \((S_{2})\) est ouvert, et contient un ouvert \(X_{f}\) ; grâce à a) et b), il existe un sous-anneau \(B\) de \(K\) contenant \(A\), fini sur \(A\), tel que les \(B_{\mathfrak{p}_{i}}\) soient normaux. Posons \(Z = \mathrm{Supp}(B/A)\) : il est contenu dans \(X - X_{f}\) et de codimension \(\geqslant 2\). Soient \(U = X - Z\), \(i : U \to X\) l'immersion, \(\mathcal{B} = \widetilde{B}\), et \[ \mathcal{C} = i_{*} i^{*}(\mathcal{B}) . \] C'est le prolongement de \(\mathcal{B}\) à travers \(Z\), et comme \(Z\) est de codimension \(\geqslant 2\) et \(\mathcal{B}\) satisfait \((S_{2})\), le faisceau \(\mathcal{C}\) est cohérent — c'est le théorème de prolongement à travers une codimension \(2\).

On montre ensuite que \(\mathcal{C}\) est normal par le critère de Serre.

\((S_{2})\). Par construction \(\mathcal{C} \xrightarrow{\sim} i_{*}i^{*} \mathcal{C}\), et sur \(U\) on a \(\mathcal{C} \simeq \mathcal{B}\), où \(\mathcal{B}_{x}\) est une algèbre finie et normale sur \(\mathcal{O}_{X,x}\), donc \((S_{2})\) comme anneau et par suite comme module ; \(\mathcal{C}\) est donc \((S_{2})\) partout, et \(A \subset \mathcal{C} \subset K\).

\((R_{1})\). Soit \(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(\mathcal{C}\) avec \(\dim \mathcal{C}_{\mathfrak{p}} = 1\), et \(\mathfrak{q}\) l'idéal qu'il induit sur \(A\). Comme \(A\) est quotient d'un régulier, \(\dim A_{\mathfrak{q}} = 1\).⁶⁷ Alors ou bien \(A_{\mathfrak{q}}\) est normal, et \(A_{\mathfrak{q}} = \mathcal{B}_{\mathfrak{p}}\) est normal ; ou bien il ne l'est pas, c'est-à-dire \(\mathfrak{q}\) est l'un des \(\mathfrak{p}_{i}\), et alors \(\mathcal{B}_{\mathfrak{p}}\) est normal par construction, comme localisé de \(B_{\mathfrak{q}}\). Dans les deux cas \(\mathcal{C}_{\mathfrak{p}}\) est régulier.

\(\mathcal{C}\) est donc normal, fini sur \(A\), et compris entre \(A\) et \(K\) : c'est la clôture intégrale, et elle est finie.

Le lemme (page 86). Soient \(A\) un anneau, \(B\) une algèbre finie sur \(A\), \(M\) un \(B\)-module de type fini. On peut supposer \(A \subset B\) et \(\mathrm{Supp}\,M = \mathrm{Spec}\,B\).

1. (i)Si \(M\), vu comme \(A\)-module, est \((S_{k})\), alors \(M\) est \((S_{k})\) sur \(B\).
2. (ii)Si, pour deux idéaux premiers \(\mathfrak{q}\), \(\mathfrak{q}'\) de \(B\) au-dessus d'un même \(\mathfrak{p}\) de \(A\), on a \(\dim M_{\mathfrak{q}} = \dim M_{\mathfrak{q}'}\), alors \(M\) étant \((S_{k})\) sur \(B\), il l'est sur \(A\).

La démonstration repose sur les deux formules qui comparent les invariants de part et d'autre d'un morphisme fini : pour \(\mathfrak{p}\) dans \(A\), \[ \mathrm{prof}_{A_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} = \mathrm{Inf}_{\mathfrak{q}\,|\,\mathfrak{p}}\; \mathrm{prof}_{B_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} , \qquad \dim_{A_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} = \mathrm{Sup}_{\mathfrak{q}\,|\,\mathfrak{p}}\; \dim_{B_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} , \] la profondeur prenant l'inf et la dimension le sup. Pour (i), il vient alors, pour \(\mathfrak{q}\) au-dessus de \(\mathfrak{p}\) : \[ \mathrm{prof}_{B_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}} \geqslant \mathrm{prof}_{A_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} \geqslant \mathrm{Inf}\bigl(k,\, \dim_{A_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}}\bigr) \geqslant \mathrm{Inf}\bigl(k,\, \dim_{B_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}}\bigr) , \] ce qui est \((S_{k})\) sur \(B\). Pour (ii), l'hypothèse d'équidimensionnalité des fibres donne \(\dim_{A_{\mathfrak{p}}} M_{\mathfrak{p}} = \dim_{B_{\mathfrak{q}}} M_{\mathfrak{q}}\) pour tout \(\mathfrak{q}\) au-dessus de \(\mathfrak{p}\) — le sup d'éléments égaux — et la profondeur est atteinte en un \(\mathfrak{q}\) convenable, d'où la conclusion.⁶⁸

Un brouillon, et une couche au crayon (page 89)

Le feuillet 89 est un brouillon à l'encre pour le lemme précédent, barré de traits diagonaux, où l'on retrouve les inégalités de profondeur et une remarque qu'il souligne d'un trait ondulé : \(B\) normal est \((S_{2})\) « comme anneau, mais pas comme module ». C'est exactement la distinction dont la démonstration de la page 87 avait besoin.

Sous l'encre, une couche antérieure au crayon, en anglais, écrite dans l'autre sens du feuillet, et sans rapport avec le reste du dossier. Elle porte sur \(\varphi : \mathrm{Pic}(X') \to \mathrm{Pic}(Y')\) :

1. 1)si pour tout \(x \in X' - Y'\) avec \(\dim \overline{x} = 1\) on a \(\mathrm{prof}\,A_{x} \geqslant 3\), alors \(\varphi\) est injectif ;
2. 2)si de plus \(\mathrm{prof}\,A_{x} \geqslant 4\) et \(\mathrm{Pic}(\mathrm{Spec}\,A_{x} - \{x\}) = 0\), alors \(\varphi\) est bijectif.

Ce sont les conditions de type Lefschetz pour le groupe de Picard : la profondeur en tout point du complémentaire mesure jusqu'à quel degré la restriction à \(Y'\) perd de l'information, \(3\) suffisant pour l'injectivité et \(4\) pour la surjectivité.⁶⁹ C'est la seule page du dossier qui soit écrite en anglais, et la seule qui regarde vers la cohomologie.

91–98

XIV. IV 12 : un lieu non Cohen-Macaulay qui saute dans la mauvaise direction, et une proposition sur les algèbres graduées (pages 91 à 98)

La dernière chemise orange porte « IV 12 » à l'encre et, au crayon, « Fibres des morphismes plats de présentation finie ».⁷⁰ Elle couvre huit feuillets, en deux blocs que rien ne relie : un exemple au brouillon, et une proposition mise au net.

L'exemple (pages 91 à 93)

Un brouillon rapide, encre par-dessus crayon, avec un croquis à gauche. Ce qu'il cherche est dit par la note qu'il écrit en accolade en haut à droite, d'une encre plus noire que le titre :

Où le [lieu] des points non Coh. Mac. fait un saut dans la mauvaise direction…

L'objet est donc un contre-exemple, et à ceci : on s'attendrait à ce que la codimension du lieu non Cohen-Macaulay ne puisse pas augmenter quand on coupe par une hypersurface. Elle le peut.

La construction est un recollement, et elle est décrite deux fois — abstraitement à la page 91, puis explicitement à la page 93.

La forme générale (page 91). On prend \(X'\) un schéma local intègre de dimension \(n'\), de centre \(x\), avec \(Z'_{0}\) un point où il n'est pas Cohen-Macaulay ; \(X''\) un schéma local intègre de dimension \(n'' > n'\) ; et \(D\) un schéma local intègre de dimension \(1\), muni de deux immersions fermées \[ u' : D \to X' , \qquad u'' : D \to X'' , \qquad\text{avec}\qquad u'(D) \not\supset Z'_{0} , \] cette dernière condition entourée et soulignée deux fois sur le feuillet. On pose \[ X = X' \coprod_{D} X'' . \] On choisit alors \(f_{0} \in \mathcal{O}_{D,x}\) non nul, on le relève en \(f'\) et \(f''\), d'où \(f \in \mathcal{O}_{X,x}\), et l'on a \[ V(f) \simeq V(f') \coprod_{V(f_{0})} V(f'') . \]

Ce que l'exemple montre (page 92). Si \(V(f')\) et \(V(f'')\) sont sans idéaux immergés et si \[ V(f') \cap Z'_{0} = \{x\} , \qquad V(f'') \cap Z''_{0} \subset \{x\} , \] alors \(V(f)\) est sans idéaux immergés et est Cohen-Macaulay en dehors de \(\{x\}\). Le lieu où \(X\) n'est pas Cohen-Macaulay contient \(Z = Z'_{0} \cup Z''_{0} \cup D\) — le recollement le long d'une courbe crée, tout le long de \(D\), des points de profondeur trop petite — et sa codimension dans \(X\) est majorée par \(\mathrm{codim}_{X'} Z'_{0}\). Tandis que le lieu où \(V(f)\) n'est pas Cohen-Macaulay est réduit au point \(x\), de codimension \(\dim V(f) = n'' - 1 \geqslant n'\) dans \(V(f)\). La codimension a donc augmenté en passant de \(X\) à \(V(f)\), et c'est le saut annoncé.⁷¹

La construction effective (page 93). Pour \(X'\), on prend le localisé au sommet du cône projetant d'un schéma projectif normal \(S'\) de dimension \(d \geqslant 3\) qui n'est pas Cohen-Macaulay, plongé projectivement normalement : alors \(n' = d + 1 \geqslant 4\), et la condition \(Z'_{0} \neq \emptyset\), \(Z'_{0} \neq \{x\}\) est vérifiée. Pour \(X''\), le localisé à l'origine d'un espace affine de dimension \(n'' > n' = d+1\) — il est régulier, donc \(Z''_{0}\) est vide et la seconde condition d'intersection est triviale. Pour \(D\), \(\mathrm{Spec}\,k[t]_{(t)}\), avec \(u'\) obtenue en prenant une générisation non générique de façon que \(u'(D) \not\supset Z'_{0}\), et \(u''\) une droite à l'origine. On choisit \(f_{0}\) quelconque, puis \(f'\) et \(f''\) de façon à vérifier \(V(f') \cap Z'_{0} = \{x\}\). Le feuillet s'arrête sur cette phrase.

L'exemple est donc complet dans sa conception et inachevé dans sa rédaction : il donne tous les ingrédients et ne fait aucune des vérifications.

Une proposition sur trois algèbres graduées (pages 95 à 98)

Quatre feuillets à l'encre bleue, mis au net et agrafés ensemble : ce sont les seuls du dossier à avoir la forme d'un texte achevé, et ils traitent d'un sujet qui n'a de rapport visible ni avec le paragraphe 12 ni avec le reste.

Proposition. Soient \(K\) un anneau, \(A\), \(B\), \(C\) des \(K\)-algèbres graduées à degrés positifs, réduites à \(K\) en degré \(0\), et \[ A \xrightarrow{\;\psi\;} B \xrightarrow{\;\varphi\;} C \] des homomorphismes. On suppose

• a)pour tout \(i \geqslant 0\), \(\varphi^{i} : B^{i} \to C^{i}\) est surjectif et admet un inverse à droite \(K\)-linéaire \(u^{i} : C^{i} \to B^{i}\).

(1) Sous a), les deux conditions suivantes sont équivalentes :

• b)\(\mathrm{Ker}\,\varphi = \psi(A^{+})\,B\) ;
• b')pour tout \(n \geqslant 0\), l'homomorphisme \[ v^{n} : \bigoplus_{i+j=n} A^{i} \otimes_{K} C^{j} \longrightarrow B^{n} , \qquad v^{n}(a^{i} \otimes c^{j}) = \psi(a^{i})\, u^{j}(c^{j}) , \] est surjectif.

En particulier b') ne dépend pas du choix des \(u^{j}\), ce que le feuillet note entre crochets.

(2) Si l'on suppose de plus

• b'')\(v^{n}\) est bijectif,

alors \(\psi\) est injectif, et les \(B^{i}\) sont plats — resp. projectifs — sur \(K\) si et seulement si les \(A^{i}\) et les \(C^{i}\) le sont.

(3) Pour \(x \in \mathrm{Spec}\,K\), posons \[ P_{A,x}(t) = \sum_{i} \mathrm{rg}_{k(x)}\bigl(A^{i}(x)\bigr)\, t^{i} \in \mathbf{Z}[[t]] , \] et de même \(P_{B,x}\), \(P_{C,x}\). Alors on a, coefficient par coefficient, \[ P_{B,x} \ll P_{A,x}\, P_{C,x} , \tag{$*$} \] avec égalité si b'') est vérifié ; et réciproquement, si les \(A^{i}\), \(B^{i}\), \(C^{i}\) sont plats de présentation finie — c'est-à-dire projectifs de type fini — alors la condition

• c)\(P_{B,x} = P_{A,x}\, P_{C,x}\) pour tout \(x\)

implique b'').

C'est une proposition de scindage gradué : sous a) et b''), \(B\) est, comme \(K\)-module gradué, le produit tensoriel \(A \otimes_{K} C\), et la série de Poincaré se multiplie. L'inégalité \((*)\) vaut toujours et l'égalité caractérise le cas scindé — c'est la forme algébrique de l'énoncé qu'on connaît pour une fibration, où la série de Poincaré de l'espace total est majorée par le produit de celles de la base et de la fibre, avec égalité exactement lorsque la suite spectrale dégénère.⁷²

Corollaire 1 (page 97). Moyennant a), les conditions suivantes sont équivalentes : (i) \(v^{*}\) bijectif et les \(B^{i}\) projectifs de type fini ; (ii) \(v^{*}\) bijectif et les \(A^{i}\), \(C^{i}\) projectifs de type fini ; (iii) les \(A^{i}\), \(B^{i}\), \(C^{i}\) projectifs de type fini et \(P_{B,x} = P_{A,x} P_{C,x}\) pour tout \(x\). Si \(K\) est local, il suffit de regarder au point fermé.

Il nomme alors la situation : l'ensemble des conditions a), b'') sera dit « bonnes conditions », et « très bonnes » si de plus les \(B^{i}\) sont projectifs de type fini.

Corollaire 2 (page 98). Supposons \(C \simeq K[t_{1},\ldots,t_{r}]\) avec les \(t_{i}\) homogènes de degrés \(> 0\). Alors (a, b'') équivaut à \[ \begin{cases} B \simeq A[t_{1},\ldots,t_{r}] , \\ \psi \simeq \text{l'homomorphisme canonique } A \to A[t_{1},\ldots,t_{r}] , \\ \varphi \simeq \text{la projection } A[t_{1},\ldots,t_{r}] \to (A/A^{+})[t_{1},\ldots,t_{r}] . \end{cases} \] Le choix d'un tel isomorphisme équivaut à celui d'un homomorphisme d'algèbres \(u : C \to B\) avec \(\varphi u = \mathrm{id}_{C}\), ou encore à celui d'un homomorphisme \(K\)-linéaire relevant \(B^{+} \to C^{+}/C^{+2}\). C'est le cas où le scindage est réalisé par une section algébrique et non seulement linéaire, et il dit exactement ceci : sous les bonnes conditions, une algèbre de polynômes en quotient force \(B\) à être une algèbre de polynômes sur \(A\).

Question (page 97). Les feuillets se ferment sur trois implications qu'il pose et ne résout pas. Sous les « bonnes conditions », peut-on prouver :

1. (i)\(A\) plat sur \(K\) \(\Longrightarrow\) \(C\) plat sur \(B\) ;
2. (ii)\(C\) plat sur \(K\) \(\Longrightarrow\) \(B\) plat sur \(A\) ;
3. (iii)\(A\) et \(C\) plats sur \(K\) \(\Longrightarrow\) \(B\) plat sur \(K\).

La deuxième et la troisième sont celles que le scindage \(B \simeq A \otimes_{K} C\) rend plausibles. La première ne suit pas ce dessin.⁷³