Cote n° 22 · batch 2 · pages 21–29 · Transcription · [EGA IV]. [Chapitre] 0 IV. Cohen, différentielles, algèbres formellement simples (Compléments) : tirés à part (1963), tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1963-[vers 1967]
Édition de démonstration

21loc. noeth. complets, écrit en interligne au-dessus de la première ligne, avec un trait qui le fait entrer dans le crochet \(A\) […] [ \(A\) f. lisse sur \(k\) pour la topologie habituelle, alors \(A\) est-il […] f. lisse sur \(A\) pour la topologie discrète ???

1°) Cas \(p > 0\) le \(>\) est net ; le même cas revient plus bas comme 3°), et ce premier titre paraît abandonné On se ramène au cas où \(k\) est le corps premier […] […] un corps parfait, […] […] […] \(K/k\) est séparable, \(K/k\) l'ex. considérée.

2°) Cas \(p \geq 0\) Alors on a \(A \simeq K[[t_1,\dots,t_n]]\), \(K/k\) une extension séparable. \(K\) […] formellement lisse sur \(k\), il suffit que \(A\) le soit sur \(K\).

Supposons que \(K/k\) ait une p-base si \(K\) est parfait, alors

3°) Cas \(p > 0\). Alors \(A\) est un […] fini, i.e. \(\Omega_{K/k}\) est fini sur \(K\). \(A\), ayant une p-base \((t_1,\dots,t_n)\) sur \(K\), […] \(A\) […] choisissons […] […] […] […] […] sur \(K\). le passage est remanié par des traits qui déplacent des groupes de mots ; l'ordre retenu est celui que ces traits indiquent p-base de \(A\) sur \(k\). Il en existe si \(K\) est fini sur \(K^{p}\), on prend une p-base \((x_1,\dots,x_n)\) de \(K\), et on y ajoute \(t_1,\dots,t_n\). Vu la complétion pour les \(t_i\), on trouve une p-base de \(A\) sur \(k\), et \(k(A^{p}) \simeq \uncertain{K} \otimes_{K^{p}} A^{p}\). le terme après \(\simeq\) est écrit par-dessus un autre et ne se lit pas avec certitude [cf. « Diff »]. Donc dans ce cas […] […] le renvoi vise le feuillet de couverture « Différentielles » qui ouvre la section suivante, quatre pages plus loin

223°) 2°) Cas contraire. Je suis pessimiste.

1°) Cas \(p = 0\). […] […] \(k[[t]]\) sur \(k\), (\(k = \mathbf{Q}\), ou \(k = \mathbf{C} \dots\)). Je présume que si dim \(A > 0\), \(A\) n'est jamais formellement lisse sur \(k\) pour la topologie discrète.

Donc, dans les cas défavorables, je doute qu'il y ait […] « […] naturellement un corps premier » [Cf. le […] […] […] top. sur le dit].

\[ \Omega^{1}_{k} \otimes_{k} A \longrightarrow \Omega^{1}_{A} \] devrait être un […] ? pourquoi ?

Supposons \(k\) […] […] \(\Omega_{k}\) \(k = \mathbf{Q}((x_i))_{i \in I}\) \(k_0 = \mathbf{Q}\)

\(A = k[[t]]\), \(\Omega_{k} \otimes_{k} A \simeq A^{(I)} \subsetneq \prod_{i} A\, d_{/\mathbf{Q}} x_i\), le symbole de produit est écrit par-dessus une rature on cherche \(A \xrightarrow{\;D\;} \Omega_{k} \otimes_{k} A\), qui soit donnée sur \(k\) par \[ D(x_i) = d_{/\mathbf{Q}}\, x_i . \] Or s'il y a une telle \(D\), alors \(D(t)\) est une combinaison linéaire finie de certains \(d_{/\mathbf{Q}}\, x_i\), \(i \in J\), et remplaçant \(\mathbf{Q}\) par \(k_0 = \mathbf{Q}((x_i : i \in J))\), on peut supposer que \(dt = 0\). \(D(\sum a_i t^{i}) =\)

23Proposition. Soient \(k\) un corps, \(K\) une extension telle que \(\Omega_{K/k}\) soit de dim. infinie sur \(K\), et \(A\) ⌜\(= K[[t_1,\dots,t_n]]\)⌝ une algèbre de séries formelles sur \(K\), avec \(n > 0\). Alors \(A\), muni de la topologie discrète, n'est pas f. lisse sur \(K\) relativement à \(k\), et a fortiori n'est pas f. lisse sur \(k\). l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche ; « infinie » est net, et c'est bien l'hypothèse du contre-exemple de la page précédente, \(k = \mathbf{Q}((x_i))_{i \in I}\)

Je vais prouver que l'homomorphisme \[ \Omega_{K/k} \otimes_{K} A \longrightarrow \Omega_{A/k} \] n'a pas d'inverse à gauche, i.e. qu'il n'existe pas de dérivation \[ D : A \longrightarrow \Omega_{K/k} \otimes_{K} A \] qui sur \(K\) induise \(d_{K/k} \otimes_{K} A\). \(A\) Or s'il existait une telle \(D\), alors les \(D(t_i)\) seraient dans un sous-module \(V \otimes_{K} A\), \(V \subset \Omega_{K/k}\) de dim. finie, donc il existerait […] […] de type fini \(K'\) de \(k\), telle que les \(D t_i\) soient dans Im \(\Omega_{K'/k} \otimes_{K'} A\), donc […] […] \(\Omega_{K/k} \otimes_{K} A\) […] […]. \(D\) […] […] […] \(K'\) sur \(k\) ; […] […] un […] […] l'hypo.!] — […] […]

24ou \(D t_i = 0\). […] Prenons une base de \(\Omega_{K/k}\) sur \(K\), […] […] \((\omega_i)_{i \in I}\), donc \(\Omega_{K/k} \otimes_{K} A = A^{(I)} \subset A^{I}\). En tant que dérivation dans \(A^{I}\), \(D\) est donnée par ses composantes \(D_i\), qui sont uniquement déterminées \[ D_i\Big(\sum_{\lambda} a_{\lambda} t^{\lambda}\Big) \;=\; \sum_{\lambda} d_{K/k}(a_{\lambda})\, t^{\lambda} . \] le \(d_{K/k}\) du membre de droite est écrit par-dessus un \(D_i\)

Je veux […] […] qu'il y a un \(f = \sum a_{\lambda} t^{\lambda}\) tel que les \((D_i(f))_{i \in I} \notin A^{(I)}\). Je suffit ⌜Choisissons⌝ […] […] […] \(D_i(a_{\lambda})\) Prenons […] […] […] une suite infinie \(i_0, i_1, \dots, i_n, \dots\) d'éléments distincts de \(I\), telle que pour tout \(n\), \(D_{i_n}(a_n) \neq 0\) (il existe \(a_n \in K\) tel que \(D_{i_n}(a_n) \neq 0\), \(d_{K/k}\, a_n \neq 0\)), Ce […] est possible il suffit alors de prendre \[ f = \sum a_n t^{n} . \qquad \dots \] le feuillet s'arrête sur cette construction : la suite du contre-exemple n'est pas sur la page

Différentielles

le mot est de sa main, souligné, seul en haut à droite du feuillet 25, autrement blanc : c'est une couverture pour ce qui suit, et c'est à elle que renvoie le « cf. "Diff" » du feuillet 21. Le feuillet ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de page

26Remarque Soient

\begin{tikzcd}
k \arrow[r] \arrow[d, no head] & K \arrow[d, no head] \\
k' = k \cap K^{p} \arrow[r, no head] & K^{p}
\end{tikzcd}

les deux traits verticaux et le trait du bas sont sans pointe sur le feuillet ; seule la flèche du haut en porte une

[…] deux éléments \(x, y\) de \(k\) peuvent être p-indépendants ⌜dans \(K\) sur⌝ parfait \(k \cap K^{p}\), et non (sur \(K^{p}\) ⌜dans \(K\)⌝), les ajouts marquent ici, et une fois encore au feuillet 28, des mots de sa main portés en interligne i.e. \(d_{k/k'}\, x\) et \(d_{k/k'}\, y\) peuvent être lin. indépendants, sans que \(d_{K/K^{p}}\, x\) et \(d_{K/K^{p}}\, y\) le soient ; injection, \[ \Omega^{1}_{k/k \cap K^{p}} \otimes_{k} K \longrightarrow \Omega^{1}_{K} \] peut ne pas être injectif, ou […] ce qui revient au même, il peut arriver que le noyau \(N_{K/k}\) de \[ \Omega_{k} \otimes_{k} K \longrightarrow \Omega_{K} \] ne soit pas engendré ⌜dans \(K\)⌝ par les ⌜[…] […] […]⌝ \(dx \otimes 1\) (\(x \in k \cap K^{p}\)).

\(\Omega^{1}_{k \cap K^{p}} \otimes_{k \cap K^{p}} K \to \Omega^{1}_{k} \otimes_{k} \struck{K}\, K \to \Omega^{1}_{K}\) N.B. […] […] (l'existence ci-dessus) […] […] \(N_{K/k}\) […] […] […] […] […] […] […] […] […] de dim. \(1\) la seconde note marginale est écrite en oblique dans le coin gauche et ne se lit qu'en partie

Voici un contre-ex. Soient \(\mathbf{F}\) le corps premier [ou un corps parfait quelc.], \(x, y, a_i\) \((1 \leq i \leq p-1)\) des indéterminées sur \(\mathbf{F}\), et soit \(\beta = y - \alpha x\)

\(K^{p} = \mathbf{F}(x^{p}, y^{p}, \alpha)\) donc \(K = \mathbf{F}(x, y, \alpha^{1/p})\)

\[ \begin{cases} a_0 = y - \sum_{1}^{p-1} a_i x^{i} \\ a = x^{p} \end{cases} \qquad \text{d'où} \qquad y = \sum_{0}^{p-1} a_i x^{i} \] \[ K^{p} = \mathbf{F}(a, a_0, \dots, a_{p-1}) = \struck{\mathbf{F}(\alpha, x^{p}, y - \alpha x)}\; \mathbf{F}\Big(x^{p}, a_1, \dots, a_{p-1},\, y - \sum_{1}^{p-1} a_i x^{i}\Big) \] la première expression du membre de droite est biffée et remplacée par la seconde, écrite au-dessus \[ \struck{K = \mathbf{F}\big(\alpha^{1/p}, x, (y - \alpha x)^{1/p}\big)} \qquad \text{i.e.} \qquad K = \mathbf{F}\big(x, a_1^{1/p}, \dots, a_{p-1}^{1/p}, \ill{}\big) \] N.B. \(a\) et \((a_i)_{1 \leq i \leq p-1}\) sont alg. indép. sur \(\mathbf{F}\) et \(k = \mathbf{F}(x,y)\) [N.B. \(x, y \in K\), et \(y = \alpha x + \beta \in k\), donc \(k \subset K\) le crochet ouvert de ce N.B. n'est pas refermé sur le feuillet

28Je dis que \(x, y \notin\) Vérifions les conditions, on a \(x \in K\), \(x \notin K^{p}\), et (cf. le N.B. précédent) \(y \notin K^{p}\), \(y \in K^{p}(x)\), donc ⌜les \(a_i\)⌝ \(\alpha, \beta\) sont les seuls \(\in K^{p}\) tels que l'on ait ⌜\(y = \sum_{0}^{p-1} a_i x^{i}\)⌝ \(y = \alpha x + \beta\). Évident

Comme \(x \notin K^{p}\), on a \(x \notin K^{p} \cap k\), mais bien sûr \(x^{p} \in K^{p} \cap k\), si donc \((x,y)\) n'était […] p-libre sur \(K^{p} \cap k\), on aurait une relation \(y = \sum_{0}^{p-1} a'_i x^{i}\), les \(a'_i \in K^{p} \cap k\), donc ⌜par unicité⌝ les \(a'_i = a_i\), donc \(a_i \in k = \mathbf{F}(x,y)\), absurde.

N.B. Conditions essentielles \[ \begin{cases} (x,y) \;\text{p-libre sur}\; \lambda = \mathbf{F}(a_1, \dots, a_{p-1}) \\ \struck{a_i}\; \lambda \not\subset \mathbf{F}(x,y) \end{cases} \] Je voudrais […] exemple où \(x, y\) […] […] […] […] \(\lambda = \mathbf{F}(a_1, \dots, a_{p-1})\), et […] parallèlement […] […] \(a_i\) […] ⌜[…], \(\mathbf{F}(x,y,a)\)⌝

Prenons \(x, y, a_1\) alg. p-indép. sur \(\mathbf{F}_0\) ⌜et prendre⌝ \(a_i = 0\) pour \(2 \leq i \leq p-1\). Bien entendu, \(\mathbf{F}\) peut être n'importe quel corps parfait […] […]. On peut aussi prendre \(x, y\) alg. indép. sur \(\mathbf{F}\), et \(a_1\) alg. séparable sur \(\mathbf{F}\), \(a_1 \notin \mathbf{F}\), alors \(K\) est obtenu ⌜[…] […] \(k\)⌝ (en adjoignant une […] […] (celle de \(y - \alpha x\)) dans \(k(b)\), où \(b\) est alg. séparable sur \(k\) \([\,b = a^{1/p}\,]\).