Cote n° 22, pages 1–29 — Lecture modernisée

Cote n° 22 · pages 1–29 · Lecture modernisée · [EGA IV]. [Chapitre] 0 IV. Cohen, différentielles, algèbres formellement simples (Compléments) : tirés à part (1963), tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.). — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1963-[vers 1967]

Résumé

Il y a une question qu'on peut poser d'une machine à calculer approximativement, et c'est celle de tout ce dossier : si j'ai résolu un système d'équations à une certaine précision, puis-je toujours corriger ma solution pour gagner un cran de précision de plus ?

Prenons le cas le plus familier. On cherche une racine d'un polynôme, on en connaît une valeur approchée, et la méthode de Newton la raffine : on remplace la valeur approchée par une valeur meilleure, et on recommence. La méthode marche à une condition, celle que la dérivée ne s'annule pas au point considéré — c'est-à-dire que la courbe y soit lisse. Là où la dérivée s'annule, la correction se bloque : il existe des solutions approchées qu'aucune correction ne prolonge.

L'algèbre a transposé cette situation mot pour mot, et sans aucune limite ni aucune convergence. On se donne un anneau, on se donne un idéal dont le carré est nul — c'est la façon algébrique de dire « à un infiniment petit près » — et l'on demande que toute solution modulo cet idéal se relève en une solution exacte. Une algèbre pour laquelle ce relèvement est toujours possible est dite formellement lisse. Grothendieck, à la date de ces feuillets, l'appelle encore formellement simple, et l'on verra le mot changer sous nos yeux d'un feuillet à l'autre du dossier.

Le problème auquel le dossier s'attaque est qu'on ne sait pas reconnaître les algèbres formellement lisses à l'œil. Le relèvement doit être possible pour tous les anneaux et tous les idéaux de carré nul : c'est une infinité de vérifications, dont aucune n'est calculable. Il faut donc un critère, c'est-à-dire une propriété qui se lise sur l'algèbre elle-même. Le dossier en trouve un, et c'est son point d'arrivée : une algèbre locale est formellement lisse sur sa base exactement quand elle est plate sur elle — la base ne se déforme pas sous ses pieds — et quand sa fibre spéciale, ce qui reste de l'algèbre quand on annule tout ce qui vient de la base, est régulière, et le reste après n'importe quelle extension du corps de base. Deux conditions, l'une de famille, l'autre de fibre, et l'on peut les vérifier.

Une deuxième histoire traverse le dossier, celle de Cohen. Un théorème de structure, dû à Cohen, dit qu'un anneau local complet n'a pas de mystère : il ressemble à un anneau de séries formelles à coefficients dans un corps. La question relative se pose aussitôt : on se donne une base, on se donne la fibre spéciale, existe-t-il au-dessus de la base une algèbre qui redonne cette fibre, et est-elle unique ? Le tapuscrit du dossier appelle algèbre de Cohen la bonne notion pour poser cette question, et il y répond en deux temps : l'unicité est acquise sans rien supposer de plus, l'existence ne l'est que si l'extension de corps résiduels en jeu est séparable. Le cas d'école est celui où la fibre spéciale se réduit à une extension de corps : on retrouve alors l'énoncé qui gouverne les anneaux de Cohen et, à travers eux, la façon dont tout anneau local complet se laisse écrire.

La troisième histoire est celle des différentielles, et c'est elle qui donne au dossier sa surprise. Une différentielle est l'objet algébrique qui enregistre les directions dans lesquelles on peut dériver. Or il y a deux manières de demander qu'une algèbre soit formellement lisse, selon qu'on s'autorise ou non à passer à la limite : la topologie habituelle d'un anneau local permet de dire que deux éléments sont proches quand leur différence est très divisible ; la topologie discrète l'interdit et exige un relèvement exact, en une fois. Grothendieck se demande si la première entraîne la seconde. Quatre feuillets manuscrits répondent : non. La raison est d'une simplicité désarmante et se voit sur un exemple. Prenons pour corps de base un corps engendré par une infinité de variables indépendantes, et au-dessus de lui l'anneau des séries formelles en une variable. Dériver une série formelle, c'est dériver chacun de ses coefficients ; si chaque coefficient fait intervenir une variable neuve, la dérivée de la série fait intervenir une infinité de directions à la fois. Or l'objet où la dérivée doit atterrir n'autorise que des sommes finies de directions. La dérivée existe donc terme à terme, elle converge dans un espace un peu plus grand, et elle n'atterrit nulle part dans celui qu'on lui impose. L'obstruction n'est pas un défaut de la géométrie, c'est un défaut de place.

En caractéristique positive, la même question reçoit la réponse inverse, et pour une raison également simple : le corps de base y possède, quand il n'est pas trop gros, un système fini de directions indépendantes — une p-base — et une infinité de directions ne peut pas se produire. C'est la même mesure qui décide dans les deux cas : la dimension de l'espace des différentielles du corps. Infinie, rien ne va ; finie, en caractéristique positive, tout va bien.

Reste à dire ce que ces feuillets sont, car cela fait partie de ce qu'on y lit. Le dossier est un dossier de travail, et il montre quatre régimes d'écriture que rien n'oblige à cohabiter. Deux tirés à part imprimés, dont le texte n'est pas de lui, et qu'il annote en juge : « connu », « connu (Nagata) », « faux », et en grand, en haut d'une page, « \(C \supset A\) !!! ». Un tapuscrit envoyé à quelqu'un qu'il tutoie, où il écrit un chapitre et plaide simultanément contre lui : « je me repens un peu de la définition 3.7 », « la terminologie “algèbre de Cohen” risque plutôt d'embrouiller les idées (d'autant plus que nous n'utiliserons plus jamais que “formellement simple”) », et pour finir le conseil de tout jeter sauf un énoncé, de le démontrer « en deux pages ou trois », « et un point c'est tout ». Une note en bas de feuillet où Serre lui apprend qu'un article de Mac Lane de 1940 rend inutile une hypothèse qu'il vient de faire, avec la commission passée au destinataire d'aller y voir. Et quatre feuillets d'encre où il écrit, avant de savoir : « Je suis pessimiste ». C'est le moment d'une pensée mathématique où le pressentiment précède la démonstration, et il est rare qu'un tel moment soit conservé par écrit.

Les noms sous lesquels on cherchera la suite : lissité formelle et morphismes réguliers, théorème de structure de Cohen et anneaux de Cohen, critère local de platitude, p-bases et théorème de Cartier, anneaux excellents, ouverture du lieu régulier, et — puisque le dernier feuillet de questions s'achève sur ces mots soulignés — la résolution des singularités.

Keywords — formally smooth morphism, formal smoothness, formally unramified, formally etale, Cohen structure theorem, Cohen ring, adic ring, ideal of definition, preadmissible ring, completed tensor product, local criterion of flatness, flat module, faithfully flat descent, finitely presented module, product of flat modules, strict projective system, projective limit, regular local ring, regular system of parameters, Cohen-Macaulay ring, geometrically regular fibre, regular homomorphism, module of Kahler differentials, differential criterion of regularity, p-basis, p-independence, imperfection module, imperfect field, separable field extension, inseparable extension, radicial extension, first fundamental exact sequence, deformation and lifting, excellent ring, openness of the regular locus, resolution of singularities, analytically reduced local ring, integral closure finiteness

1–29

Le fil du dossier, et les conventions

Les quatre campagnes. Le dossier n'est pas un texte, c'est un dossier : quatre campagnes d'écriture de dates et de natures différentes, rangées dans une même chemise.

Pages 1 à 8, imprimé. Deux notes aux Comptes rendus de J.-P. Jouanolou, celle du 4 novembre 1963 (t. 257, p. 2948-2950) et celle du 14 janvier 1963 (t. 256, p. 842-844). Le texte imprimé n'est pas reproduit dans la transcription ; seules figurent ses annotations, sur les pages 1, 2, 3 et 5.
Pages 9 à 17, tapuscrit paginé par lui 24 à 32, avec une campagne de corrections à l'encre. C'est le numéro 3 d'un chapitre, adressé à un correspondant qu'il tutoie et que le dossier ne nomme pas. Du lemme 3.2 au corollaire 3.13.
Pages 18 à 20, encre. Une chemise portant le seul mot « Questions », puis quatre questions ouvertes.
Pages 21 à 28, en deux temps : l'encre des pages 21 à 24, sur le verso de feuilles à en-tête de sa dactylographe ; puis, après une chemise portant le seul mot « Différentielles » (page 25), le crayon des pages 26 et 28, d'une campagne visiblement postérieure.

Les pages 4, 6, 7 et 8 sont les versos blancs des tirés à part. Les pages 27 et 29 portent un imprimé sur la topologie de l'espace des répartitions et le groupe des idèles, étranger au chapitre et sans annotation de lui : ce sont les versos des feuillets 26 et 28, et ils ne sont pas lus ici.

Le dossier tient-il ensemble ? Le titre d'inventaire annonce trois choses, « Cohen, différentielles, algèbres formellement simples », et il faut dire honnêtement lesquelles des quatre campagnes se répondent et lesquelles ne font que voisiner.

Deux liens sont documentés par les feuillets eux-mêmes, et ils sont solides. Le premier : la question 2) de la page 19 demande si une algèbre locale noethérienne formellement lisse sur \(k\) pour sa topologie habituelle l'est encore pour la topologie discrète ; les pages 21 à 24 posent exactement cette question dès leur première ligne et y répondent. Le second : la page 21 renvoie explicitement, entre crochets, à « Diff », c'est-à-dire à la chemise « Différentielles » qui ouvre la campagne au crayon quatre feuillets plus loin. Les pages 19 à 28 forment donc bien, malgré la différence d'encre et de date, une seule enquête, et son unité est écrite sur les feuillets.

Le lien avec le tapuscrit est plus lâche, mais il est réel et il est mathématique. Le tapuscrit aboutit au corollaire 3.13, dont la seconde condition est que la fibre spéciale \(B \otimes_A k\) soit universellement régulière sur \(k\) ; les questions des pages 19 et 20 portent toutes sur cette même condition, la question 1) demandant précisément si l'on peut se dispenser de l'hypothèse de finitude que 3.13 fait sur l'extension résiduelle. Rien dans le tapuscrit ne renvoie aux questions, ni les questions au tapuscrit, mais elles tournent autour du même énoncé et de ses hypothèses superflues.

Le lien avec les tirés à part, en revanche, n'est pas documenté : aucune ligne des pages 9 à 28 ne cite Jouanolou. Ce qu'on peut dire est thématique, et il faut le dire comme tel. Les deux notes annotées portent l'une et l'autre sur le critère différentiel de régularité — la régularité d'une localité se lit sur la liberté de son module de différentielles absolu — et sur l'annulation du module de différentielles relatif ; c'est-à-dire sur les deux ingrédients dont 3.13 a besoin, la régularité de la fibre et la non-ramification. Que ces deux tirés à part de 1963 dorment dans la même chemise que le tapuscrit n'est pas un hasard de rangement ; mais l'affirmer plus fortement serait fabriquer une unité que les feuillets ne portent pas.

La conclusion est donc mesurée : le dossier tient ensemble comme dossier de travail autour d'une question unique, la lissité formelle et ce qui la mesure ; il ne tient pas ensemble comme texte. Les trois mots du titre d'inventaire sont trois faces de cette question — « Cohen » est le théorème d'existence et d'unicité, « algèbres formellement simples » la notion, « différentielles » l'obstruction — et c'est la meilleure description qu'on puisse en donner sans en inventer davantage.

La numérotation du tapuscrit. Les énoncés sont numérotés \(3.N\) dans tout ce qui suit ; le chiffre de tête est, sur le film, aussi lisible \(3\) que \(4\).¹

Les noms et les notations, valables pour tout le dossier. Ce qu'il appelle formellement simple est écrit ici formellement lisse, qui est le nom d'aujourd'hui ; le dossier fait lui-même le glissement, puisque la page 22 écrit « formellement lisse » là où le tapuscrit écrivait « formellement simple ».² Son \(r(A)\), le radical d'un anneau local, est écrit \(\mathfrak{m}_A\). Ses \(A_i = A/I_iA\) sont écrits \(A_i = A/I_i\), et \(B_i = B/I_iB\), \(C_i = C/I_iC\), \(B_0 = B/IB\) de même. L'expression universellement régulière sur \(k\) est gardée telle quelle ; elle désigne ce qu'on appelle aujourd'hui une algèbre géométriquement régulière sur \(k\), c'est-à-dire régulière et qui le reste après toute extension du corps de base.

Deux notions du dossier ne sont pas définies dans le dossier, et il vaut mieux le dire d'emblée que de le laisser découvrir.

La condition P vient d'un numéro antérieur. Le tapuscrit n'en utilise que deux propriétés, et c'est tout ce qu'on en saura ici : elle implique la platitude, par le corollaire 3.5, dès que l'anneau de base est noethérien ; et elle est impliquée par la platitude sous les hypothèses noethériennes de 3.8, dont elle devient alors une reformulation. Le passage biffé du corollaire 3.5 laisse voir ce qu'elle disait : un module topologique \(P\) satisfait P lorsqu'il est isomorphe à la limite projective d'un système projectif strict, admettant un système cofinal dénombrable, de modules projectifs de type fini.³

La multiplicité radicielle finie d'une extension résiduelle n'est pas définie non plus. Ce qu'on sait d'elle par le dossier : elle est vérifiée par les extensions séparables et par les extensions de type fini (3.9 et 3.13 le disent) ; elle ne sert qu'à garantir que la fibre spéciale est de Cohen-Macaulay (le NB de la page 14 le dit explicitement) ; et il la croit superflue.

1–8

I. Les deux notes annotées de Jouanolou (pages 1 à 8)

Huit feuillets imprimés ouvrent le dossier, et leur texte n'est pas de lui. Ce sont deux notes de J.-P. Jouanolou aux Comptes rendus, toutes deux de 1963 : « Étude différentielle des anneaux locaux réguliers : applications », présentée le 4 novembre, et « Sur les modules de différentielles », présentée le 14 janvier. Elles appartiennent au dossier par leur sujet et par ce qu'il en a fait : des verdicts en marge, et rien d'autre.

Le sujet des deux notes est le critère différentiel de régularité. Pour une localité \(A\), on dispose du module des différentielles absolu \(D(A)\), et une famille de théorèmes — Nakai, Suzuki, Mount, Kunz — relie la régularité de \(A\) à des propriétés de liberté ou de finitude de ce module. C'est très exactement l'ingrédient dont le tapuscrit aura besoin sept feuillets plus loin, lorsque le corollaire 3.13 demandera que la fibre spéciale soit régulière ; et c'est la seule raison pour laquelle ces huit feuillets sont ici.

Ses annotations forment pour l'essentiel un tri ; deux ou trois seulement corrigent le texte ou lui proposent un nom. Contre le lemme sur le noyau de \(\hat{A} \otimes_A D(A) \to D(\hat{A})\) et tout le bloc qui le suit jusqu'à la proposition 6 — les énoncés de séparabilité du corps des fractions du complété sur celui de \(A\), et le passage par le théorème de structure de Cohen — un long trait vertical et un mot : « connu ». Contre la proposition 7, la finitude de la fermeture intégrale de \(A\) dans une extension finie de son corps des fractions : « connu (Nagata) ». Contre le dernier alinéa de la page 3, celui qui tire du lemme 2 de Zariski-Samuel qu'une localité analytique normale est analytiquement normale : « connu » encore. Contre le corollaire 3, dont l'hypothèse est que le séparé \(D'(A)\) soit de type fini : « assez rare ! ». Contre la proposition 2, sur le lieu singulier d'une algèbre affine : « séries formelles ?? », c'est-à-dire la question de savoir si le passage des séries convergentes aux séries formelles est licite.

Trois annotations sont des objections, et deux d'entre elles portent sur la même faute. En haut de la page 3, en grand, au bout d'un trait qui descend vers la première ligne imprimée : « \(C \supset A\) !!! ». L'énoncé visé parle de « toute \(A\)-algèbre intègre qui est localisée d'une \(A\)-algèbre finie \(C\) », et l'objection est que cet énoncé suppose tacitement \(A\) contenu dans \(C\). Sur la même page, un long trait horizontal souligne la parenthèse « (Pour appliquer le lemme, on remarque que \(h_1\) et \(h_2\) sont stables par localisation.) », et la marge porte : « faux ». Enfin, contre le lemme du numéro 3 de la première note — celui qui, de \(A\) local noethérien analytiquement intègre et \(K_{\hat{A}}\) séparable sur \(K_A\), conclut que \(B = C_{\mathfrak{p}}\) est analytiquement réduit —, une annotation oblique de quatre lignes brèves : « faux si on ne suppose pas \(A \to B\) injectif ?? ». C'est l'objection du « \(C \supset A\) » en d'autres termes : l'hypothèse d'injectivité, que le texte imprimé ne pose pas, est celle qui lui manque.⁴

Il faut ajouter une réserve, qui vaut pour toute cette section : le texte imprimé n'ayant pas été transcrit, aucun de ces verdicts ne peut être vérifié sur pièces. Ce qui est établi est qu'il les a portés, non qu'ils sont fondés.

La seconde note, « Sur les modules de différentielles », ne reçoit que deux marques, toutes deux sur son premier feuillet. Contre la définition du numéro 1 — \(B\) est dite quasi-séparable sur \(A\) lorsque \(D_A(B) = 0\), ce qu'on appelle aujourd'hui formellement non ramifiée — il souligne le mot « quasi-séparable » et porte en marge, souligné et relié à lui d'un trait : « non ramifié ». C'est le nom usuel qu'il propose pour la notion, et c'est celui qui a survécu, au « formellement » près.⁵ Et en bas de page, contre la ligne qui traduit la relation \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}B\) par « ce qui exprime que \(B\) n'est pas ramifié sur \(A\) » : « !? ». Cette relation \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}B\) est celle-là même qui sera l'hypothèse du corollaire 3.12, quinze feuillets plus loin, sous la forme \(\mathfrak{m}_B = \mathfrak{m}_A B\).

9–17

II. Le tapuscrit : le numéro 3 (pages 9 à 17)

Neuf feuillets dactylographiés, paginés par lui 24 à 32, forment une suite continue et incomplète : elle commence au milieu d'une phrase, sa page 23 n'étant pas dans le dossier. C'est un brouillon envoyé — il y dit « j'espère que tu pourras la rendre plus lisible », « que tu regardes cela » — et les annotations à l'encre sont ses corrections au brouillon, portées avant ou après l'envoi.

L'architecture du numéro est celle-ci. Un critère pour reconnaître qu'un homomorphisme continu est un isomorphisme (3.2) ; trois énoncés de platitude (3.3 à 3.5) qui servent à transformer une condition de présentation en une condition de platitude ; le théorème central (3.6), qui combine les deux ; une définition (3.7) qui nomme la situation ; puis une cascade de corollaires (3.8 à 3.13) qui descendent du cadre le plus général au cadre local noethérien, où l'énoncé devient reconnaissable.

9–9

Reconnaître un isomorphisme sur la fibre spéciale (lemme 3.2, page 9)

Le feuillet s'ouvre au milieu des hypothèses. Voici la situation telle qu'elle se reconstitue.⁶ \(A\) est un anneau préadmissible, \(I = I_0\) un idéal de définition, \((I_i)\) un système fondamental d'idéaux ouverts contenus dans \(I_0\), et \(A_i = A/I_i\). \(B\) et \(C\) sont des \(A\)-algèbres topologiques dont les topologies sont définies par les puissances d'idéaux contenant respectivement \(IB\) et \(IC\), et l'on suppose \(I_iB\) et \(I_iC\) fermés — condition automatiquement vérifiée si \(B\) et \(C\) sont noethériens.⁷ Enfin \(u : B \to C\) est un homomorphisme continu de \(A\)-algèbres, et \(u_i : B_i \to C_i\) l'homomorphisme déduit par passage au quotient.

On suppose une fois pour toutes que \(u_0 : B_0 \to C_0\) est un homéomorphisme. Cette clause figure sur le feuillet à l'intérieur de chacune des conditions ; il a entouré à l'encre ses quatre occurrences et porté devant chacune une flèche montante, c'est-à-dire l'ordre de la détacher de la liste. C'est ce qui est fait ici, et l'énoncé y gagne sa vraie forme.⁸

Lemme 3.2. Sous ces hypothèses, les conditions suivantes sont équivalentes.

(i)\(u\) est bijectif.
(i bis)\(u\) est un isomorphisme d'algèbres topologiques.
(ii)Pour tout \(i\), \(u_i : B_i \to C_i\) est bijectif.
(ii bis)Pour tout \(i\), en munissant \(B_i\) et \(C_i\) des filtrations \(I\)-adiques, l'homomorphisme \(\mathrm{gr}_I(B_i) \to \mathrm{gr}_I(C_i)\) induit par \(u\) est bijectif.

Si de plus les \(C_i\) sont plats sur les \(A_i\), ces conditions équivalent également à⁹

(iii)\(u_0 : B_0 \to C_0\) est bijectif.

L'équivalence de (i) et (i bis) est formelle : les topologies de \(B\) et \(C\) étant définies par les puissances d'idéaux contenant \(IB\) et \(IC\), une bijection continue compatible est automatiquement bicontinue. L'implication (i bis) \(\Rightarrow\) (ii) est immédiate, et (ii) \(\Rightarrow\) (i bis) résulte de la bijectivité des applications \(B \to \varprojlim B_i\) et \(C \to \varprojlim C_i\), elle-même conséquence du fait que les \(I_iB\) et \(I_iC\) sont fermés.¹⁰ L'équivalence de (ii) et (ii bis) tient à ce que \(I\), étant un idéal de définition, est nilpotent dans chaque \(A_i\) : les filtrations induites sur \(B_i\) et \(C_i\) sont donc finies, et un morphisme filtré dont le gradué est bijectif est bijectif.

Reste la seule implication qui coûte, (iii) \(\Rightarrow\) (ii bis), et c'est elle qui a besoin de la platitude. Il en trace le diagramme de sa main au bas du feuillet, et c'est le diagramme qui contient la démonstration :

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\mathrm{gr}_I(B_i) \arrow[r, "\mathrm{gr}(u_i)"] & \mathrm{gr}_I(C_i) \\
B_0 \otimes_{A_0} \mathrm{gr}_I(A_i) \arrow[r, "u_0 \otimes 1"] \arrow[u] & C_0 \otimes_{A_0} \mathrm{gr}_I(A_i) \arrow[u]
\end{tikzcd}

La flèche verticale de droite est bijective : c'est exactement ce que dit la platitude de \(C_i\) sur \(A_i\), sous la forme du critère local de platitude, qui identifie le gradué de \(C_i\) au produit tensoriel de sa fibre spéciale par le gradué de \(A_i\). La flèche verticale de gauche est surjective sans aucune hypothèse, la surjection \(B_0 \otimes \mathrm{gr}(A_i) \to \mathrm{gr}(B_i)\) étant définie pour tout \(B\). La flèche du bas est bijective par (iii). Le carré commute, donc le composé de la flèche du bas suivie de celle de droite est bijectif ; ce composé étant aussi celui de la flèche de gauche suivie de celle du haut, la flèche de gauche est injective, donc bijective, et celle du haut est alors bijective à son tour. C'est (ii bis).

10–10

Produits, présentation finie, platitude (3.3 à 3.5, page 10)

Trois énoncés, dont la fonction est annoncée en une phrase : « il nous sera commode d'avoir un critère permettant de déduire de la propriété P une propriété de platitude ».

Lemme 3.3. Soient \(A\) un anneau, \((P_i)_{i \in I}\) une famille de \(A\)-modules, \(P = \prod_i P_i\) leur produit, et \(M\) un \(A\)-module de présentation finie. Alors l'homomorphisme canonique \[ M \otimes_A P \longrightarrow \prod_i (M \otimes_A P_i) \] est un isomorphisme.¹¹

La démonstration est celle du feuillet : on écrit \(M\) comme conoyau d'un homomorphisme \(L' \to L\) de modules libres de type fini, on note que le foncteur produit est exact, et l'on est ramené au cas \(M = A^n\), où l'énoncé est trivial. Le membre « de type fini » est une addition manuscrite, et ce n'est pas une précision de confort : c'est elle qui fait marcher la démonstration.¹²

Corollaire 3.4. Supposons que tout \(A\)-module de type fini soit de présentation finie — par exemple \(A\) noethérien. Alors tout produit de \(A\)-modules plats est plat.¹³

Il suffit en effet de voir que \(P \otimes_A -\) transforme en monomorphisme tout monomorphisme \(M \to N\) de modules de type fini, la platitude se testant sur ces seuls monomorphismes ; le lemme 3.3 ramène alors la question à un produit de monomorphismes, qui est un monomorphisme.

Corollaire 3.5. Supposons \(A\) comme en 3.4, par exemple noethérien. Soit \(P\) un \(A\)-module isomorphe à la limite projective d'un système projectif strict, admettant un système cofinal dénombrable, de \(A\)-modules projectifs. Alors \(P\) est un \(A\)-module plat.

Le feuillet dit seulement « on voit facilement que sous les conditions dites, \(P\) est isomorphe à un produit de \(A\)-modules projectifs, donc plats, d'où le résultat ». L'argument mérite d'être écrit, car il est court et il est le ressort de tout le numéro. Le système cofinal dénombrable permet de se ramener à un système \((P_n)_{n \in \mathbf{N}}\) dont les applications de transition \(P_{n+1} \to P_n\) sont surjectives — c'est ce que veut dire strict. Pour chaque \(n\), la suite exacte \[ 0 \longrightarrow K_n \longrightarrow P_{n+1} \longrightarrow P_n \longrightarrow 0 \] est scindée, puisque \(P_n\) est projectif ; donc \(P_{n+1} \simeq P_n \oplus K_n\), et \(K_n\), facteur direct d'un projectif, est projectif. En itérant, \(\varprojlim_n P_n \simeq P_0 \times \prod_{n \geqslant 0} K_n\), produit de modules projectifs. Le corollaire 3.4 conclut.¹⁴

11–12

Le théorème central (3.6, pages 11 et 12)

Théorème 3.6. Soient \(A\) un anneau préadmissible muni d'un idéal de définition \(I = I_0\) et d'un système fondamental \((I_i)\) d'idéaux de définition contenus dans \(I_0\), et \(B\) une \(A\)-algèbre topologique. On suppose les \(A_i = A/I_i\) noethériens, et sur \(B\) les conditions suivantes :

a)\(B\), comme \(A\)-module topologique, satisfait la condition P ;
b)\(B_0\) est formellement lisse sur \(A_0\) ;
c)\(B\) est adique ;
d)les idéaux \(I_iB\) sont fermés dans \(B\) — automatiquement vérifié si \(B\) est noethérien.

Alors :

(i)\(B\) est formellement lisse sur \(A\).
(ii)Soit \(C\) une \(A\)-algèbre topologique satisfaisant à c) et d), mais pas nécessairement à a), et soit \(u_0 : B_0 \to C_0\) un isomorphisme d'algèbres topologiques. Alors il existe un \(A\)-homomorphisme continu \(u : B \to C\) se réduisant suivant \(u_0\).

Ce dernier étant choisi, les conditions suivantes sont équivalentes :

1)\(C\) est formellement lisse sur \(A\) ;
2)\(C\) satisfait la condition a), c'est-à-dire la condition P ;
3)les \(C_i\) sont plats sur les \(A_i\) ;
4)\(u\) est un isomorphisme de \(A\)-algèbres topologiques ;
5)\(C\) est isomorphe à \(B\) comme \(A\)-algèbre topologique.

La liste des cinq conditions est écrite sur le feuillet à propos de \(B\) et non de \(C\). C'est une faute de frappe répétée, et la corriger n'est pas une liberté : à propos de \(B\), les conditions 1), 2) et 3) sont des conséquences immédiates des hypothèses du théorème et l'équivalence est vide.¹⁵

Démonstration. L'assertion (i) résulte des hypothèses a) et b), par l'énoncé 3.1 du numéro, qui ramène la lissité formelle de \(B\) sur \(A\) à celle de \(B_0\) sur \(A_0\).¹⁶ L'existence de \(u\) dans (ii) résulte de (i) et de l'énoncé 1.7, qui n'est pas dans le dossier.

Pour les équivalences : 2) \(\Rightarrow\) 1) par (i) appliqué à \(C\), qui satisfait alors a), c) et d), et dont la fibre spéciale \(C_0 \simeq B_0\) est formellement lisse sur \(A_0\) ; 4) \(\Rightarrow\) 2) et 5) \(\Rightarrow\) 2) trivialement, puisque \(B\) satisfait P ; 2) \(\Rightarrow\) 3) par 3.5, les \(A_i\) étant noethériens. Restent 1) \(\Rightarrow\) 4) et 3) \(\Rightarrow\) 4).

Supposons 1). Par 1.7, \(u_0^{-1} : C_0 \to B_0\) se prolonge en un homomorphisme continu \(v : C \to B\), grâce aux hypothèses c) et d). Or les \(B_i\) sont plats sur les \(A_i\), par a) et 3.5. Le lemme 3.2, dans ses conditions (i) et (iii), les rôles de \(B\) et \(C\) étant échangés, garantit alors que \(v\) est un isomorphisme d'algèbres topologiques ; \(u\) l'est donc aussi. Supposons 3) : le même argument s'applique dans l'autre sens, la platitude requise par 3.2 (iii) étant cette fois l'hypothèse elle-même. Enfin 4) \(\Rightarrow\) 5) est immédiat.¹⁷

Il annonce aussitôt la restriction qui gouvernera tout le reste : « pour simplifier, nous nous restreindrons par la suite à des hypothèses noethériennes », ce qui permet en particulier de se débarrasser de la « désagréable hypothèse d) ».

12–13

Les algèbres de Cohen, et l'unicité (3.7 et 3.8, pages 12 et 13)

Définition 3.7. Soit \(A \to B\) un homomorphisme continu d'anneaux noethériens préadiques. On dit que \(B\) est une algèbre (topologique) de Cohen sur \(A\) si a) \(B\) est séparé et complet, c'est-à-dire un anneau adique ; b) \(B\) satisfait la condition P ; c) \(B\) est formellement lisse sur \(A\), ou, ce qui revient au même par 3.1, \(B_0 = B/IB\) est formellement lisse sur \(A_0 = A/I\) pour un idéal de définition \(I\) de \(A\).¹⁸ Il note en marge qu'il conviendrait d'ajouter dès après 3.7 que la notion est stable par extension de la base via produits tensoriels complétés, « c'est une trivialité ».

Corollaire 3.8. Soient \(A\) un anneau noethérien, \(I\) un idéal, \(A\) muni de la topologie \(I\)-préadique, \(A_0 = A/I\), et \(B_0\) une \(A_0\)-algèbre topologique. Supposons qu'il existe une algèbre de Cohen \(B\) sur \(A\) telle que \(B/IB\) soit isomorphe à \(B_0\) comme \(A_0\)-algèbre topologique — ce qui entraîne que \(B_0\) est elle-même de Cohen sur \(A_0\). Alors \(B\) est unique à isomorphisme près, compatible avec les isomorphismes donnés des algèbres réduites modulo \(I\) avec \(B_0\). De plus, si \(B\) est une \(A\)-algèbre topologique adique telle que \(B/IB \simeq B_0\), les conditions suivantes sur \(B\) sont équivalentes :

0)\(B\) est une \(A\)-algèbre de Cohen ;
1)\(B\) est formellement lisse sur \(A\) ;
2)\(B\) satisfait la condition P ;
3)\(B\) est plat sur \(A\) ;
3 bis)pour tout entier \(n \geqslant 0\), \(B_n = B/I^{n+1}B\) est plat sur \(A_n = A/I^{n+1}\).

L'unicité est 3.6 (ii) lu à l'envers : si \(B\) et \(B'\) sont deux algèbres de Cohen de même fibre spéciale, l'isomorphisme des fibres se relève par (i), et la condition 4) de la liste dit que le relèvement est un isomorphisme. Des cinq équivalences, seule celle de 3) et de 3 bis) demande un argument, et il dit où il est : c'est le critère local de platitude, moyennant les hypothèses noethériennes.¹⁹

Le corollaire 3.8 est le tournant du numéro, et il le souligne. Il montre « l'intérêt qu'il y a, \(A\), \(I\) et \(B_0\) étant donnés, de disposer d'un théorème d'existence » : l'unicité étant acquise, tout se joue désormais sur l'existence.

13–15

Le problème d'existence, et le critère local (3.9, pages 13 à 15)

La réduction est classique et il la fait en trois lignes : la construction de proche en proche, remplaçant \(A\) par les \(A_i\) et \(I\) par ses puissances, ramène au cas où \(I\) est de carré nul, donc où \(A\) est discret. « On obtient alors un problème de nature essentiellement infinitésimale, dont nous ignorons s'il existe toujours une solution, faute de savoir caractériser la structure des algèbres de Cohen \(B_0\) sur l'anneau discret \(A_0\). » C'est l'aveu central du numéro : le problème général d'existence reste ouvert, et ce qui suit n'en traite qu'un cas particulier.²⁰

Corollaire 3.9. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens dont l'extension résiduelle est de multiplicité radicielle finie — par exemple séparable. Les conditions suivantes sont équivalentes, \(A\) et \(B\) étant munis de leurs topologies habituelles :

1)\(B\) est une algèbre de Cohen sur \(A\) ;
2)\(B\) est plat sur \(A\), complet, et \(B_0 = B/\mathfrak{m}_A B\) est une algèbre de Cohen sur \(k = A/\mathfrak{m}_A\), c'est-à-dire formellement lisse sur \(k\).

Une troisième condition est écrite à l'encre dans l'énoncé, « 3) \(B\) est (formellement simple sur \(A\) ou plat et …) », puis biffée et en partie couverte d'un griffonnage ; c'est celle que le corollaire 3.11 ajoutera, à deux feuillets de là, sous la forme « \(B\) est complet et formellement lisse sur \(A\) ». Elle n'est pas retenue ici, puisqu'il l'a lui-même biffée et déplacée. À la fin de 2), la main ajoute un renvoi « (2.6.) », l'énoncé du numéro précédent qui identifie, sur un corps, algèbre de Cohen et algèbre formellement lisse.²¹

Il note entre parenthèses ce qui allège tout : sur un corps, une algèbre topologique est de Cohen si et seulement si elle est adique et formellement lisse. La condition P disparaît, puisque tout module sur un corps est libre et que les quotients \(B_0/J_n\) forment un système projectif strict dénombrable.

Démonstration de 2) \(\Rightarrow\) 1). Tout revient à montrer que \(B\) satisfait la condition P, ce qui ramène au cas où \(A\) est artinien. Par les résultats du numéro 2, \(B_0\) est régulier ; on choisit un système régulier de paramètres de \(B_0\) — un système de paramètres formant une \(B_0\)-suite suffirait — et on le relève en un système \(x = (x_1, \ldots, x_r)\) de paramètres de \(B\). Les idéaux \(J_n\) engendrés par les \(x^n = (x_1^n, \ldots, x_r^n)\) forment un système fondamental de voisinages de \(0\) dans \(B\). Les \(B/J_n\) sont alors plats sur \(A\), par division successive par un élément régulier ; et \(A\) étant artinien local, un module plat y est projectif.²²

Suit un NB, barré de six longs traits diagonaux au crayon bleu mais resté lisible d'un bout à l'autre, et c'est le passage le plus parlant du tapuscrit. Il y dit d'abord à quoi sert l'hypothèse qu'il vient de faire : « on n'a utilisé l'hypothèse sur la multiplicité radicielle que pour savoir que \(B_0\) est Cohen-Macaulay. L'hypothèse faite est très probablement inutile. » Puis : « Serre vient de me dire que Mac-Lane a prouvé la réciproque de 2.3. sans hypothèse de multiplicité rad finie, dans “Note on a relative structure of \(p\)-adic fields”, Ann Math t. 41, 1940, page 751-753. Cela vaudrait peut-être le coup, pour le coup d'œil, que tu regardes cela et donnes le résultat complet dans 2.3. » En marge du feuillet suivant, à propos de la démonstration de 3.11, il revient dessus : « Réduction inutile dans le cas “vrai” du NB. »²³

15–16

Le théorème d'existence, et le cas non ramifié (3.10 à 3.12, pages 15 et 16)

Corollaire 3.10 (existence). Soient \(A\) un anneau local noethérien de corps résiduel \(k\), et \(B_0\) une \(k\)-algèbre qui soit un anneau local noethérien et une \(k\)-algèbre de Cohen, c'est-à-dire formellement lisse sur \(k\) et complète pour sa topologie ordinaire. Supposons de plus l'extension résiduelle \(K/k\) séparable — ce qui n'est pas une restriction si \(B_0 = K\), mais en est évidemment une en général. Alors il existe une \(A\)-algèbre topologique de Cohen \(B\) qui se réduit suivant \(B_0\) ; elle est unique à isomorphisme près par 3.8, et c'est un anneau local noethérien complet.

La démonstration est un dévissage en deux cas types, et elle est jolie. Le théorème de structure de Cohen donne \(B_0 \simeq K[[T_1, \ldots, T_n]]\).²⁴ Le critère 3.9 2) et la transitivité de la platitude ramènent alors aux deux cas \(1^{\mathrm{o}}\)) \(B_0 = K\) et \(2^{\mathrm{o}}\)) \(B_0 = k[[T_1, \ldots, T_n]]\) : dans le premier on invoque le résultat général de \(0_{\mathrm{III}}\) 10.3.1, dans le second il suffit de prendre \(B = \hat{A}[[T_1, \ldots, T_n]]\). Autrement dit : l'extension du corps résiduel et l'adjonction de variables formelles sont les deux seuls mouvements, et chacun se relève pour son propre compte.

Corollaire 3.11. Sous les conditions de 3.9, l'extension résiduelle étant de multiplicité radicielle finie, les conditions 1) et 2) équivalent aussi à : 3) \(B\) est complet et formellement lisse sur \(A\).

Tout revient à prouver que \(B\) est plat sur \(A\), et le procédé est une descente. On fait une extension de la base \(A \to A'\), avec \(A'\) local, libre de type fini sur \(A\), à extension radicielle convenable ; on trouve alors un \(B'\) local sur \(A'\), encore formellement lisse sur \(A'\), et cette fois à extension résiduelle séparable. Le théorème d'existence 3.10 s'applique, et 3.8 (équivalence de 0) et 1)) donne que \(B'\) est de Cohen sur \(A'\), donc plat sur \(A'\). Donc \(B\) est plat sur \(A\).²⁵

Corollaire 3.12. Soient \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens tels que \(\mathfrak{m}_B = \mathfrak{m}_A B\), et \(K/k\) l'extension résiduelle. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1) \(B\) est complet et formellement lisse sur \(A\) ; 2) \(B\) est complet, plat sur \(A\), et \(K/k\) est séparable ; 3) \(B\) est une algèbre de Cohen sur \(A\). De plus, une extension séparable \(K\) de \(k\) étant donnée, il existe une algèbre de Cohen \(B\) sur \(A\) se réduisant suivant \(K\), et \(B\) est unique à isomorphisme de \(A\)-algèbres près.

C'est le cas d'école, et il vaut la peine de dire ce qu'il est en langage d'aujourd'hui : l'hypothèse \(\mathfrak{m}_B = \mathfrak{m}_A B\) dit que \(B\) est non ramifié sur \(A\), la fibre spéciale se réduit alors au seul corps \(K\), et la lissité formelle jointe à la non-ramification est ce qu'on appelle aujourd'hui la lissité formelle étale. L'énoncé dit donc : les extensions locales complètes non ramifiées de \(A\) correspondent exactement aux extensions séparables de son corps résiduel, et chacune est unique. C'est l'énoncé sur lequel reposent la construction des anneaux de Cohen et, plus tard, celle de l'hensélisé strict.

16–17

L'énoncé qui reste, et le plan de rédaction abandonné (3.13, pages 16 et 17)

Avant le dernier corollaire, un paragraphe où il change de registre. « La rédaction commence à faire un peu touffu, j'espère que tu pourras la rendre plus lisible. » Puis un regret sur sa propre définition : il n'est « pas vraiment naturel de supposer \(B\) séparée et complète pour sa topologie propre, mais simplement pour sa topologie \(IB\)-adique », et il laisse le choix à son correspondant, en prévoyant l'effet de la modification — dans 3.9 à 3.12 il faudrait « simplement supprimer à certains endroits le mot “complet” ». Le feuillet s'achève sur un premier jet manuscrit du corollaire 3.13, aussitôt annulé de cinq grandes boucles ; le feuillet suivant le reprend au propre.²⁶

Corollaire 3.13. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens. On suppose l'extension résiduelle \(k(B)/k(A)\) de multiplicité radicielle finie — par exemple séparable, ou de type fini — ou bien \(\mathfrak{m}_B = \mathfrak{m}_A B\).²⁷ On munit \(A\) et \(B\) de leurs topologies habituelles. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

(i)\(B\) est formellement lisse sur \(A\) ;
(ii)\(B\) est plat sur \(A\), et \(B_0 = B \otimes_A k\) est une algèbre universellement régulière sur \(k\).

Les deux conditions étant invariantes par remplacement de \(B\) par son complété \(\hat{B}\), on se ramène au cas où \(B\) est complet, et l'énoncé est alors contenu dans 3.11, compte tenu de ce que pour \(B_0\), formellement lisse et universellement régulier coïncident — c'est l'énoncé 2.6 du numéro précédent, qui n'est pas dans le dossier.²⁸

C'est l'énoncé sur lequel tout le numéro converge, et c'est celui qu'on reconnaît aujourd'hui : un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens est formellement lisse si et seulement s'il est plat à fibre spéciale géométriquement régulière. C'est la définition même de ce qu'on appelle un homomorphisme régulier, et c'est le point de départ de toute la théorie qui en découle.

Il le sait, et le dernier paragraphe du dossier est un plan de rédaction contre lui-même. « Du point de vue pratique, les résultats du présent numéro consistent essentiellement en 3.13, l'unicité du \(B\) correspondant à un \(B_0\) donné, et enfin l'existence moyennant la séparabilité de \(K/k\). À force de dévissage et de généralité, cette substance n'apparaît pas assez clairement, et la terminologie “algèbre de Cohen” introduite concurremment à “formellement simple” risque plutôt d'embrouiller les idées (d'autant plus que nous n'utiliserons plus jamais que “formellement simple”). » Suit la recommandation : énoncer 3.13 en théorème, le démontrer « en deux pages ou trois » en laissant de côté « tout le fatras anneaux admissibles, algèbres de Cohen etc. », commencer par l'existence d'un \(B\) satisfaisant (i) et (ii) quand \(K/k\) est séparable, s'y ramener par descente comme dans 3.11, conclure par comparaison du \(B\) type avec le \(B\) donné « ce qui donne en même temps l'unicité, et un point c'est tout ». Une marginale, écrite verticalement sur quatre lignes, sauve deux choses du naufrage : « garder cependant 4.1 au Nº3. On peut signaler 4.6 en remarque, pour réserver l'avenir. »²⁹

18–20

III. Questions ouvertes (pages 18 à 20)

Une feuille nue portant en haut à droite le seul mot « Questions » enveloppe deux feuillets d'encre. Ce sont des questions qu'il se pose, numérotées 1) à 4), et il faut dire tout de suite dans quel état elles nous parviennent : les énoncés se lisent, à quelques mots près, mais chacun des deux feuillets porte en outre, écrit en oblique de bas en haut dans toute la marge de gauche, un long bloc d'ajouts postérieurs — une douzaine de lignes sur le premier, une vingtaine sur le second, avec des renvois numérotés et des passages soulignés — qui n'ont pas pu être lus.³⁰

Question 1). Soit \(A\) une algèbre locale noethérienne sur \(k\). Est-il vrai que \(A\) est formellement lisse sur \(k\) si \(A\) est universellement régulière sur \(k\) ?

C'est exactement la réciproque du corollaire 3.13 dépouillée de son hypothèse de finitude. Sur un corps la platitude est automatique, de sorte que la condition (ii) de 3.13 se réduit à la régularité universelle de \(A\) ; la question demande donc si l'hypothèse de multiplicité radicielle finie faite sur l'extension résiduelle peut être levée. Le NB de la page 14 disait déjà qu'il la croyait superflue.³¹

Question 2). Soit \(A\) une algèbre locale noethérienne sur \(k\), formellement lisse sur \(k\) pour sa topologie habituelle. Est-il vrai que \(A\) est formellement lisse pour sa topologie discrète ? Ou : \(A\) est-elle complète ?

C'est la question du dossier. Elle est reprise mot pour mot par la première ligne de la page 21, et les quatre feuillets qui suivent y répondent ; c'est l'objet de la section IV ci-dessous, et c'est le seul endroit du dossier où deux campagnes d'écriture se répondent explicitement. Il en devine d'ailleurs la réponse au moment de la poser : « Il est possible que la réponse soit affirmative en car. \(p > 0\), négative en car. \(0\) » — c'est exactement le partage que trouveront les pages 21 et 22, avant que la proposition de la page 23 ne le reformule en termes de différentielles.³² Une variante relative est posée à la suite : \(A\) plat sur un anneau \(\Lambda\), tous deux noethériens ; si les … de \(A\) sont formellement lisses sur ceux de \(\Lambda\) pour leurs topologies habituelles, \(A\) est-il formellement lisse sur \(\Lambda\) pour sa topologie discrète ?³³

Question 3). \(B\) plat sur \(A\) — et de type fini, d'après une addition manuscrite douteuse —, \(A\) et \(B\) noethériens. L'ensemble des points de \(\mathrm{Spec}\,B\) en l'anneau local desquels la fibre au-dessus de \(\mathrm{Spec}\,A\) est formellement lisse sur le corps résiduel de \(A\) est-il ouvert ? Et, si \(B\) n'est pas plat sur \(A\), l'ensemble des points de \(\mathrm{Spec}\,B\) où \(B\) … est-il ouvert ?³⁴

C'est la question de l'ouverture du lieu où un morphisme plat est à fibres géométriquement régulières, c'est-à-dire, dans le vocabulaire de 3.13, du lieu où il est formellement lisse. Deux choses la suivent sur la page 20 et valent d'être relevées. La première : « Il faudrait supposer que \(A\) et \(B\) sont des “bons anneaux” ». C'est la condition qui allait recevoir son nom dans celui d'anneau excellent, et le mot n'est pas encore là. La seconde est une ligne barrée — « l'ensemble … est … si \(A\), \(B\) sont locaux, \(A \to B\) » —, suivie de « localisation ? » et réunie par un crochet à l'encre à la mention « Cf IV 2.10.1 » : c'est le seul renvoi précis à un autre chapitre que portent ces deux feuillets.³⁵

Le feuillet porte encore trois lignes, qui disent où il en est de la question. Une mention « d'extension résiduelle finie », dont le début est illisible ; puis « critère jacobien de Nagata et Th. de Nagata pour une algèbre locale nœth. complète sur un corps » ; puis : « OK. en caractéristique \(0\) pour les bons anneaux, grâce à : la résolution des singularités ». En caractéristique nulle, la réponse lui paraît donc acquise pour les bons anneaux, et c'est la résolution qui la donne ; pour les algèbres locales complètes sur un corps, ce sont les résultats de Nagata, critère jacobien compris.³⁶

Question 4). Soit \(A \to B\) un homomorphisme d'anneaux noethériens. L'ensemble des points de \(\mathrm{Spec}\,B\) en lesquels \(B\) est … sur \(A\) est-il ouvert ?³⁷

Elle est tracée en colonne étroite dans la moitié droite du feuillet, et ses dernières lignes chevauchent l'en-tête imprimé du papier. Elle est suivie, entre crochets, d'une condition suffisante : supposons que pour tout \(\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}\,A\) et tout idéal premier \(\mathfrak{P}\) de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak{p}\), maximal pour une propriété que la page ne laisse pas lire, on ait, posant \(A' = A_{\mathfrak{p}}\) et \(B' = B_{\mathfrak{P}}\) (\(A' \subset B'\) intègres), un ouvert non vide de \(\mathrm{Spec}\,B'\) en les points duquel \(B'\) est plat sur \(A'\). C'est la forme d'un critère d'ouverture à la Nagata : dans un spectre noethérien, une partie stable par générisation est ouverte dès qu'elle contient, dans chaque fermé irréductible dont elle contient le point générique, un ouvert non vide de ce fermé ; la condition demande de la platitude générique après réduction au cas intègre.³⁸

21–24

IV. \(K[[t_1,\ldots,t_n]]\) est-il formellement lisse sur \(k\) ? (pages 21 à 24)

Quatre feuillets d'encre, écrits d'un trait, sur le verso de feuilles à en-tête de sa dactylographe. Ils s'ouvrent sur la question 2) de la page 19, reposée dans les mêmes termes : une algèbre locale noethérienne complète, formellement lisse pour la topologie habituelle, l'est-elle pour la topologie discrète ? Trois points d'interrogation ferment la ligne. La réponse tient en deux cas, et ils sont opposés.

21–21

Caractéristique \(p > 0\) : les p-bases suffisent (page 21)

En caractéristique \(p\), la lissité formelle d'une extension se lit sur les p-bases, et c'est ce qu'il utilise. Soit \(A \simeq K[[t_1, \ldots, t_n]]\) avec \(K/k\) une extension séparable, et supposons \(K\) fini sur \(K^p\) — c'est dire que \(K\) possède une p-base finie sur \(k\). On prend alors une p-base \((x_1, \ldots, x_m)\) de \(K\) et on lui adjoint les variables \(t_1, \ldots, t_n\). Le point est que la complétion selon les \(t_i\) ne détruit pas la p-indépendance : le système \((x_1, \ldots, x_m, t_1, \ldots, t_n)\) est une p-base de \(A\) sur \(k\), et \(A\) est formellement lisse sur \(k\), pour la topologie discrète comme pour l'autre.³⁹ Il ajoute le renvoi « [cf. “Diff”] », qui vise la chemise « Différentielles » quatre feuillets plus loin : c'est le dossier qui se cite lui-même.

22–24

Caractéristique nulle : « Je suis pessimiste » (pages 22 à 24)

Le cas contraire s'ouvre sur ces quatre mots, et sur une conjecture qu'il pose avant de la démontrer, pour \(k[[t]]\) sur \(k\) avec « \(k = \mathbf{Q}\), ou \(k = \mathbf{C}\) … » : « Je présume que si \(\dim A > 0\), \(A\) n'est jamais formellement lisse sur \(k\) pour la topologie discrète. »⁴⁰ Il ajoute qu'il doute, « dans les cas défavorables », qu'il y ait « … naturellement un corps premier », et note sous la flèche \(\Omega^1_k \otimes_k A \to \Omega^1_A\) qu'elle « devrait être un … ? pourquoi ? ».⁴¹

Le mécanisme est celui-ci, et il est entièrement contenu dans une question de place. Si \(A\) est formellement lisse sur \(k\) pour la topologie discrète, la suite exacte fondamentale des différentielles \[ \Omega^1_{k} \otimes_{k} A \longrightarrow \Omega^1_{A} \longrightarrow \Omega^1_{A/k} \longrightarrow 0 \] se complète à gauche par un zéro et se scinde ; en particulier il existe une rétraction \(\Omega^1_A \to \Omega^1_k \otimes_k A\), et en la composant avec la différentielle de \(A\) on obtient une dérivation \[ D : A \longrightarrow \Omega^1_{k} \otimes_{k} A \] qui induit \(d_{k}\) sur \(k\).⁴² C'est cette dérivation que les pages 22 à 24 cherchent, et c'est son inexistence qui est l'obstruction.

L'exemple. Prenons \(k = \mathbf{Q}(x_i : i \in I)\) avec \(I\) infini, et \(A = k[[t]]\). Alors \(\Omega^1_{k}\) est un \(k\)-espace vectoriel de base \((dx_i)_{i \in I}\), de sorte que \[ \Omega^1_{k} \otimes_{k} A \simeq A^{(I)} \subsetneq \prod_{i \in I} A\,dx_i , \] la somme directe étant strictement contenue dans le produit dès que \(I\) est infini. On cherche \(D : A \to \Omega^1_k \otimes_k A\) « donnée sur \(k\) par \(D(x_i) = d_{/\mathbf{Q}}\, x_i\) », c'est-à-dire induisant \(d_k\). Toute la démonstration est là.

L'argument. Supposons donnée une telle \(D\). Choisissons une suite d'indices distincts \(i_0, i_1, i_2, \ldots\) et posons \[ f = \sum_{n \geqslant 0} x_{i_n} t^{n} . \] Un élément de \(\Omega^1_k \otimes_k A \simeq A^{(I)}\) n'a qu'un nombre fini de coordonnées non nulles ; il existe donc un \(n\) tel que la coordonnée d'indice \(i_n\) soit nulle à la fois dans \(D(f)\) et dans \(D(t)\). Notons \(E : A \to A\) la dérivation obtenue en composant \(D\) avec cette coordonnée, qui est \(A\)-linéaire. Comme \(E(t) = 0\), on a \(E(t^m g) = t^m E(g)\) pour tout \(m\) et tout \(g \in A\), et \(E(x_{i_m}) = \delta_{mn}\). En écrivant \(f = \sum_{m \leqslant n} x_{i_m} t^m + t^{n+1} g\), on trouve que \(E(f)\) a pour coefficient de \(t^n\) le nombre \(1\) ; or \(E(f) = 0\). La dérivation \(D\) ne peut donc pas exister, et \(A\) n'est pas formellement lisse sur \(k\) pour la topologie discrète.⁴³

L'énoncé de la page 23. Entre la conjecture et le contre-exemple, il pose l'énoncé général, marqué d'un trait dans la marge.

Proposition. Soient \(k\) un corps, \(K\) une extension de \(k\) telle que \(\Omega_{K/k}\) soit de dimension infinie sur \(K\), et \(A = K[[t_1, \ldots, t_n]]\) avec \(n > 0\), muni de la topologie discrète. Alors \(A\) n'est pas formellement lisse sur \(K\) : plus précisément, l'homomorphisme \(\Omega_{K/k} \otimes_K A \to \Omega_{A/k}\) n'a pas d'inverse à gauche, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de dérivation \(D : A \to \Omega_{K/k} \otimes_K A\) qui induise \(d_{K/k} \otimes_K A\) sur \(K\).⁴⁴ La démonstration de la page est celle qu'on a vue : si \(D\) existait, les \(D(t_i)\) tomberaient dans un \(V \otimes_K A\) avec \(V \subset \Omega_{K/k}\) de dimension finie, donc dans l'image de \(\Omega_{K'/k} \otimes_{K'} A\) pour une sous-extension \(K'\) de type fini ; remplaçant \(k\) par \(K'\) — ce qui laisse \(\Omega_{K/K'}\) de dimension infinie, c'est « l'hypothèse ! » du bas de page —, on se ramène à \(D(t_i) = 0\), et la construction de la page 24 conclut.

L'énoncé est vrai tel quel, et c'est, à la lettre, la forme générale que l'édition avait vérifiée en partant de l'exemple : la même obstruction, pour tout corps \(K\) dont le module des différentielles sur une base est de dimension infinie, en toute caractéristique.⁴⁵

Les deux cas tiennent à la taille du module des différentielles du corps, qui est le contenu de ces quatre feuillets, et la page elle-même le dit, en le relativisant à un corps de base \(k\) : la marge de la page 21 note « \(\Omega_{K/k}\) est fini sur \(K\) » du côté positif, la proposition de la page 23 suppose \(\Omega_{K/k}\) de dimension infinie du côté négatif. En caractéristique \(p\), l'hypothèse de la page 21, \(K\) fini sur \(K^p\), rend ce module de dimension finie, et la réponse est positive. Sur un corps engendré par une infinité de variables, il est de dimension infinie, et la réponse est négative, en toute caractéristique. Comme \(\Omega_{K/k}\) est un quotient du module absolu \(\Omega_K\), il revient au même de demander que \(\Omega_{K/k}\) soit de dimension infinie pour un sous-corps \(k\), ou que \(\Omega_K\) le soit.⁴⁶

25–28

V. Différentielles : le carré \(k \to K\) et son contre-exemple (pages 25 à 28)

Une feuille crème par ailleurs blanche porte en haut à droite, souligné, le seul mot « Différentielles » : c'est la chemise à laquelle renvoyait la page 21. Ce qu'elle enveloppe est d'une autre campagne, au crayon, d'aspect postérieur, et n'occupe que deux feuillets.⁴⁷

La remarque. Soit \(K\) un corps de caractéristique \(p > 0\) et \(k\) un sous-corps. Il considère le carré

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\begin{tikzcd}
k' = k \cap K^{p} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & K^{p} \arrow[d, no head] \\
k \arrow[r, no head] & K
\end{tikzcd}

et énonce : deux éléments \(x\), \(y\) de \(k\) peuvent être p-indépendants sur \(k' = k \cap K^p\) sans l'être sur \(K^p\) dans \(K\) ; autrement dit, \(d_{k/k'}x\) et \(d_{k/k'}y\) peuvent être linéairement indépendants sans que \(d_{K/K^p}x\) et \(d_{K/K^p}y\) le soient. L'application canonique \[ \Omega^{1}_{k/k \cap K^{p}} \otimes_{k} K \longrightarrow \Omega^{1}_{K} \] peut donc ne pas être injective, « ou, ce qui revient au même », le noyau \(N_{K/k}\) de \[ \Omega^{1}_{k} \otimes_{k} K \longrightarrow \Omega^{1}_{K} \] peut ne pas être engendré, sur \(K\), par les \(dx \otimes 1\) avec \(x \in k \cap K^p\).⁴⁸

L'équivalence annoncée est juste et immédiate. En caractéristique \(p\), toute dérivation de \(K\) tue \(K^p\), de sorte que \(\Omega^1_K = \Omega^1_{K/K^p}\) et que les \(dx \otimes 1\), \(x \in k'\), sont dans le noyau \(N_{K/k}\) ; et \(\Omega^1_{k/k'}\) est le quotient de \(\Omega^1_k\) par les \(dx\), \(x \in k'\). L'injectivité de la première flèche dit donc exactement que \(N_{K/k}\) n'a pas d'autres éléments. Ce noyau est ce qu'on appelle aujourd'hui le module d'imperfection de l'extension \(K/k\), noté \(\Upsilon_{K/k}\) dans les Éléments (0\(_{\mathrm{IV}}\), § 20.6) ;⁴⁹ la page demande s'il est toujours engendré par le « visible », les différentielles des éléments de \(k\) qui sont déjà des puissances \(p\)-ièmes dans \(K\), et répond que non : elle construit un contre-exemple, et c'est le passage le plus complètement démontré de ces deux feuillets.

Le contre-exemple. Soit \(\mathbf{F}_0\) le corps premier à \(p\) éléments — « ou un corps parfait quelconque », ajoute la page. On prend \(x\), \(y\), \(a_1, \ldots, a_{p-1}\) algébriquement indépendants sur \(\mathbf{F}_0\), et l'on pose \[ a_0 = y - \sum_{i=1}^{p-1} a_i x^{i} , \qquad\text{de sorte que}\qquad y = \sum_{i=0}^{p-1} a_i x^{i} . \] On pose alors \(K = \mathbf{F}_0(x, a_0^{1/p}, a_1^{1/p}, \ldots, a_{p-1}^{1/p})\), de sorte que \(K^p = \mathbf{F}_0(x^p, a_0, a_1, \ldots, a_{p-1})\) : tous les \(a_i\) sont dans \(K^p\), tandis que \(x\), qui est de degré \(p\) sur \(K^p\), n'y est pas.⁵⁰ Enfin \(k = \mathbf{F}_0(x,y)\), qui est bien contenu dans \(K\) puisque \(y = \sum a_i x^i\). On note \(k' = k \cap K^p\), et l'on observe que \(x^p \in k'\) et \(x \notin k'\), de sorte que \(k'(x)\) est de degré \(p\) sur \(k'\), de base \(1, x, \ldots, x^{p-1}\).

Deux vérifications. La première est que dans \(\Omega^1_K\), les différentielles de \(x\) et de \(y\) sont liées : les \(a_i\) étant dans \(K^p\), ils sont annulés par toute dérivation de \(K\), et la relation \(y = \sum a_i x^i\) donne \[ d y = \Big(\sum_{i=1}^{p-1} i\,a_i x^{i-1}\Big)\,d x \qquad \text{dans } \Omega^1_K . \] La seconde est que dans \(\Omega^1_{k/k'}\) elles ne le sont pas, parce que le couple \((x,y)\) est p-indépendant sur \(k'\). C'est l'argument de la page 28, et il est par l'absurde. Si \((x,y)\) n'était pas p-indépendant sur \(k'\), alors \(k = k'(x,y)\) serait de degré au plus \(p\) sur \(k'\), donc égal à \(k'(x)\), et \(y\) s'écrirait \(y = \sum_{i=0}^{p-1} a'_i x^{i}\) à coefficients \(a'_i \in k'\). Mais \(x \notin K^p\), donc \(1, x, \ldots, x^{p-1}\) est aussi une base de \(K^p(x)\) sur \(K^p\), et les deux écritures de \(y\) à coefficients dans \(K^p\) coïncident : \(a'_i = a_i\) pour tout \(i\). On aurait donc \(a_i \in k = \mathbf{F}_0(x,y)\), ce qui est absurde, les \(a_i\) ayant été pris algébriquement indépendants de \(x\) et de \(y\).

Donc \(dx\) et \(dy\) engendrent dans \(\Omega^1_{k/k'} \otimes_k K\) un sous-espace de dimension deux sur \(K\), dont l'image dans \(\Omega^1_K\) est la droite \(K\,dx\) : l'application n'est pas injective, et la remarque est tranchée⁵¹ .⁵²

Notes

Le transcripteur a retenu \(3.N\) parce que les renvois dactylographiés restés intacts dans le corps de la prose donnent \(3.1\), \(3.5\), \(3.9\), ainsi que \(2.6\) et \(2.3\) pour le numéro précédent. Ce raisonnement est repris ici, et il se renforce de trois observations que la transcription ne tire pas. D'abord, \(3.5\) est un énoncé de la série elle-même, page 10 ; le renvoi dactylographié intact « en vertu de 3.5. » de la page 11 vise donc une étiquette de la série, et étiquette et renvoi s'accordent sur le même chiffre. Ensuite, à la page 17, la main corrige le renvoi dactylographié « 3.6 » en « 2.6 » : elle écrit \(2\) pour le numéro précédent, et suppose donc que le numéro courant est le \(3\). Enfin, puisque la transcription note que les corrections manuscrites donnent elles aussi \(3\), la surfrappe n'est pas une renumérotation du numéro : l'indécision porte sur le dessin du chiffre, non sur sa valeur. Reste une réserve, qu'il faut énoncer : si toute la série avait été renumérotée, les renvois dactylographiés porteraient l'ancienne numérotation et les étiquettes à l'encre la nouvelle, et l'argument tomberait. Un indice va dans ce sens et doit être dit : la marginale de la page 17, que la première lecture donnait comme « garder cependant 3.1. au Nº3 », se lit à la seconde « garder cependant 4.1 (?) au Nº3 » et « 4.6 (?) », deux renvois dont le premier chiffre est repassé comme les numéros du tapuscrit. La lecture est douteuse et le sens de « 4.1 au Nº3 » n'est pas clair ; l'argument qu'on en tirait ici pour le \(3\) est retiré, et la numérotation \(3.N\) ne repose plus que sur les renvois dactylographiés et la correction « 2.6 ». Un dernier indice, moins net, va dans le sens du \(3\) : la page 15 renvoie au « théorème de structure 3.4 », qui ne peut être le 3.4 de la série et doit être \(2.4\) — une faute de frappe d'un \(2\) en \(3\), du même genre que celle que la main corrige à la page 17. ↩
« Simple » était, dans la terminologie des premiers Éléments, le mot pour ce qu'on appelle aujourd'hui lisse ; le changement de vocabulaire est postérieur à la rédaction du tapuscrit et antérieur aux feuillets manuscrits, ce qui donne au dossier un repère de datation interne, indépendant de l'inventaire. ↩
Le passage est frappé de x sur deux lignes et demie et se lit en entier : « de \(A\)-modules projectifs de type fini (“stricte” = par un système projectif strict), “dénombrable” par un système projectif » ; les mots « stricte » et « dénombrable », entre guillemets, sont aussi frappés puis biffés dans l'interligne au-dessus de « limite projective ». La définition donnée ici est donc une reconstitution à partir d'un passage supprimé, et elle n'est pas nécessaire à la suite : les énoncés du numéro n'utilisent de P que les deux implications dites. ↩
Le mot « suppose » de cette annotation est une lecture douteuse ; le reste est sûr. Deux autres marginales de la page 1 sont des corrections plutôt que des verdicts : « appel » et « à ; hypothèse », portés avec des signes d'insertion, récrivent la phrase imprimée en « font appel en caractéristique \(p > 0\) à une hypothèse de réduction analytique », « hypothèse » remplaçant « condition ». Une troisième, trois lignes contre le corollaire 2 [Kunz], se lit « contenu dans ce critère jacobien … », sans suite lisible. Reste illisible un mot contre la proposition 3, qui commence par « Ca » et se termine par « -iques ». Aucune reconstruction n'en est proposée ici. ↩
La première lecture donnait cette marginale comme « non vérifié », et en faisait un verdict sur le caractère local de la propriété ; la seconde lit « non ramifié » et rattache le trait au mot « quasi-séparable ». ↩
Le début de l'énoncé est sur sa page 23, qui n'est pas dans le dossier. Les hypothèses données ici sont celles que la fin de la phrase et la démonstration exigent ; elles ne sont pas toutes lisibles sur le feuillet. ↩
En tête du feuillet, une marginale juge « inutile » le membre de phrase « contenant \(IB\) resp. \(IC\) », auquel elle renvoie par un signe : cela « résulte du fait que \(IB\) (resp. \(IC\)) [est] top[ologiquement] nilpotent ». La remarque est juste : si la topologie de \(B\) est \(J\)-adique et \(IB\) topologiquement nilpotent, elle est aussi \((J + IB)\)-adique pour peu que \(I\) soit de type fini, de sorte qu'on peut toujours supposer l'idéal de définition contenant \(IB\). La clause est gardée ici pour suivre le feuillet ; elle ne restreint rien. L'hypothèse de fermeture des \(I_iB\) et \(I_iC\), elle, n'est pas visée, et elle sert : c'est elle qui rend bijectives les applications canoniques \(B \to \varprojlim B_i\) et \(C \to \varprojlim C_i\), dont l'implication (ii) \(\Rightarrow\) (i bis) se sert. ↩
Sans cette correction l'énoncé est redondant : la même clause figurerait dans les quatre conditions d'une équivalence, ce qui ne peut être que le signe d'une hypothèse mal placée. La correction est de sa main et elle est juste. ↩
Le tapuscrit écrit ici, et de nouveau dans la démonstration, « les \(B_i\) » ; la main biffe chaque fois \(B_i\) et écrit \(C_i\). La correction est juste : c'est la platitude de \(C_i\) qui rend bijective la flèche verticale de droite du diagramme ci-dessous. ↩
Il renvoie ici à une « rectification à \(0_{7.2.4}\) », qui n'est pas dans le dossier. ↩
Vérifié en Lean (lean/Grothendieck/Folder22.lean, lemme3_3), sur un anneau commutatif quelconque, par la démonstration du feuillet : exactitude à droite du produit tensoriel, exactitude des produits, lemme des cinq. La réciproque — un module pour lequel ces flèches sont bijectives pour toute famille est de présentation finie — est due à Lenzing (1969). ↩
Pour \(L = A^{(J)}\) avec \(J\) infini, l'application \(A^{(J)} \otimes P \to \prod_i (A^{(J)} \otimes P_i)\) est l'inclusion de \(P^{(J)}\) dans \((\prod_i P_i^{(J)})\), qui n'est pas surjective. Sans « de type fini » la réduction est donc fausse, et l'hypothèse de présentation finie sur \(M\) perdrait tout emploi. La correction manuscrite répare une lacune réelle de la version dactylographiée. ↩
C'est le cas noethérien du théorème de Chase (1960) : sur un anneau cohérent, tout produit de modules plats est plat. Vérifié en Lean (lean/Grothendieck/Folder22.lean, corollaire3_4, hypothese_iff_noetherien), avec deux précisions de l'édition. L'hypothèse « tout module de type fini est de présentation finie » équivaut à la noethérianité : le « par exemple \(A\) noethérien » de la page ne désigne pas une classe plus large, c'est la même. Et la démonstration n'emploie que la présentation finie des idéaux de type fini (corollaire3_4_coherent), ce qui est exactement l'hypothèse de Chase. Le critère de platitude par les idéaux de type fini qu'elle invoque est dans mathlib (Module.Flat.iff_rTensor_injective). ↩
Vérifié en Lean (lean/Grothendieck/Folder22.lean, corollaire3_5) pour un système indexé par \(\mathbf{N}\) à transitions surjectives : l'isomorphisme \(\varprojlim_n P_n \simeq P_0 \times \prod_n K_n\), \((x_n) \mapsto (x_0, (x_{n+1} - s_n(x_n))_n)\), puis 3.4 et la platitude d'un produit de deux modules plats. La réduction d'un système strict à système cofinal dénombrable à un tel système, que la page laisse au « on voit facilement », n'est pas vérifiée par la machine. ↩
Conditions 1) et 2) à propos de \(B\) redisent respectivement l'assertion (i) et l'hypothèse a) ; la condition 3) résulte de a) par 3.5. Surtout, sa propre démonstration tranche : elle commence par « supposons 1) vérifié » et relève alors \(u_0^{-1} : C_0 \to B_0\) en un homomorphisme \(v : C \to B\), ce qui exige la lissité formelle de \(C\), non celle de \(B\). Les cinq conditions portent donc sur \(C\), et sont écrites ainsi ici. Les étiquettes 4) et 5), qui parlent de \(u\) et de \(C\), sont d'ailleurs les seules que le feuillet écrive correctement. ↩
Le tapuscrit écrivait « (i) résulte déjà de a) », et la main ajoute « et b) ». C'est que la clause b) est elle-même une insertion manuscrite : la liste des hypothèses est renumérotée à la main, un ancien a) est biffé, la clause « \(B_0\) est formellement simple sur \(A_0\) » est intercalée en entier à l'encre, et l'ancien b) devient c). La démonstration a été mise à jour avec elle, et elle en a besoin : la condition P donne la platitude, non la lissité formelle. ↩
Les implications 4) \(\Rightarrow\) 5) et 5) \(\Rightarrow\) 2) sont des ajouts manuscrits qui ferment le cycle, le tapuscrit s'arrêtant à 3) \(\Rightarrow\) 4). Il note lui-même en clair, à la ligne suivante : « On peut certainement améliorer la rédaction de la démonstration, évitant certaines redites. » ↩
Cette dernière clause est une phrase manuscrite, en interligne sur deux lignes : « ou encore, \(I\) étant un idéal de définition de \(A\), \(B_0 = B/IB\) est formellement simple sur \(A_0\) (\(= A/I\)) ». — Sur le nom : « algèbre de Cohen » est ici une notion relative, attachée à un homomorphisme, et non la notion absolue d'anneau de Cohen qui a survécu dans la littérature (un anneau local complet dont l'idéal maximal est engendré par \(p\)). Rien ici n'est à confondre avec elle ; et lui-même, quatre feuillets plus loin, propose d'abandonner le mot. ↩
Il l'appelle « la platitude supérieure », nom du numéro des Éléments où le critère est démontré. L'implication de 3) vers 3 bis) est un changement de base ; la réciproque est le critère proprement dit, et c'est elle qui utilise la complétion. ↩
Un premier « Théorème 3.9 » est ici biffé de deux grands traits diagonaux sur six lignes : « Soit \(A\) un anneau local nœthérien, de corps résiduel \(k\), et soit \(B_0\) une \(k\)-algèbre, qui soit un anneau local nœthérien, de corps résiduel \(K\) une extension séparable de \(k\), \(B_0\) est (pour sa topolo- » — et il s'arrête au milieu du mot. La machine y avait déjà biffé de x « et complet » et « est de degré de multiplicité radicielle finie sur \(k\) » : la séparabilité avait remplacé la multiplicité radicielle avant que tout l'énoncé ne fût abandonné. Il est remplacé par le corollaire qui suit, puis le théorème d'existence reparaît à 3.10. ↩
L'énoncé dactylographié était une phrase du type « pour que \(B\) soit une algèbre de Cohen, il faut et il suffit que … » ; la main y plante trois numéros 1), 2), 3) et biffe « il faut et suffit que », retournant la phrase en liste de conditions équivalentes. La forme donnée ici est celle que ces corrections produisent. ↩
Sur un anneau local artinien, plat entraîne libre, donc projectif ; le feuillet écrit seulement « comme \(A\) est artinien, ils sont donc projectifs ». — Une insertion manuscrite traverse la page à cet endroit, sur deux lignes, enfermée entre crochets ; son corps, où l'on devine encore « que 3) \(\Rightarrow\) 2) » et un renvoi « 3.8. », est couvert d'un griffonnage, et seule demeure, soulignée, la fin : « (en utilisant le th. d'existence ci-dessous 3.11.) ». Elle annonce la descente de 3.11, qui passe par le théorème d'existence 3.10. L'argument donné ci-dessus est celui du corps dactylographié seul. ↩
Le NB est barré, non supprimé, et il est resté intégralement lisible ; il est restitué ici parce qu'il dit à quoi sert une hypothèse que l'énoncé fait sans la justifier, et qu'aucun autre feuillet ne le dit. La page suivante porte, à l'encre, la correction qu'il en tire : il « joint donc dans 3.9. l'hypothèse avec : ou \(r(B) = r(A)B\) », c'est-à-dire \(\mathfrak{m}_B = \mathfrak{m}_A B\), qui est exactement l'hypothèse du corollaire 3.12. ↩
Le feuillet écrit « en vertu du théorème de structure 3.4 ». Ce ne peut pas être le 3.4 du numéro, qui porte sur les produits de modules plats ; c'est le théorème de structure de Cohen, qui appartient au numéro 2. La référence est donc à lire \(2.4\). ↩
Cette dernière implication est la descente fidèlement plate de la platitude : \(A'\) étant libre de type fini et local sur \(A\), il est fidèlement plat, et \(B' = B \otimes_A A'\) plat sur \(A'\) entraîne \(B\) plat sur \(A\). Le feuillet écrit seulement « Donc \(B\) est plat sur \(A\) ». ↩
Du premier jet on lit « Corollaire 3.13. \(A \to B\) hom. local d'anneaux locaux nœth., … de corps … Cohen-Macaulay (?). … \(k(B)/k(A)\) à mult. deg. finie. Alors condit. équivalentes », et rien de plus : les quatre lignes sont d'une écriture très rapide. Le mot « Cohen-Macaulay », s'il est bien lu, rappelle le seul usage que le NB de la page 14 reconnaît à l'hypothèse de multiplicité radicielle. Ce qu'elles apportent n'est donc pas un contenu mais une chronologie — l'énoncé final a été essayé une fois avant d'être tapé. ↩
Cette dernière clause est une addition manuscrite, « ou \(r(B) = r(A)B\) » — la même que la page 15 demande de joindre à l'hypothèse de 3.9, et l'hypothèse du corollaire 3.12. La première lecture du feuillet donnait « \(k(B) = k(A)B\) », que cette édition corrigeait ; la seconde lit \(r\), et il n'y a plus rien à corriger. ↩
Le tapuscrit écrivait « 3.6 » ; la main corrige le \(3\) en \(2\). Le 3.6 du numéro est le théorème central, qui ne dit rien de tel. ↩
Les deux numéros sont des lectures douteuses : leur premier chiffre est repassé, comme les numéros du tapuscrit, et la première lecture y voyait « 3.1 » et « 2.6 ». Ce que désignent 4.1 et 4.6 n'est pas dans le dossier, et ce que veut dire « 4.1 au Nº3 » reste obscur ; voir la note sur la numérotation, dans la section qui suit le résumé. ↩
Rien n'est reconstruit ici de ces deux blocs. Sur le premier feuillet on distingue seulement, dans les premières lignes de la marge, « Faut-il … valuation discrète (?) … vraiment nécessaire (?) ? Peut-être … », puis plus bas un \(B\) isolé et une formule « \(\Lambda = VA\) ». ↩
Le feuillet porte entre crochets, à la suite de la question, une glose qui se donne pour une définition — « [déf., pour hom. local \(A \to B\) d'anneaux locaux noethériens, équivalence entre “ft simple” et “universellement régulier” sur \(A\)] » —, c'est-à-dire la formulation générale de 3.13 ; et la marge de gauche porte, en regard de la question, « OK ». Le rapprochement fait ci-dessus repose sur cette glose et sur l'énoncé 3.13 ; il n'est écrit nulle part sur le feuillet, et ce que vise le « OK » ne se dit pas. ↩
« Réponse » et « car. \(p > 0\) » sont des lectures douteuses ; « négative en car. \(0\) » est sûr. ↩
Le nom des objets comparés est illisible ; on pense à des localisés ou à des complétés, et rien ne permet de choisir. ↩
Le mot qui dit ce qu'on demande de \(B\) dans la variante non plate est illisible ; « points » est lui-même une lecture douteuse de l'abréviation, partout où il revient. ↩
Le renvoi n'est pas identifié ici : le dossier ne contient pas le chapitre visé, et la transcription n'a pas ouvert les Éléments imprimés. ↩
Le mot qui ouvre la ligne sur Nagata est illisible, de sorte qu'on ne sait pas si elle affirme ou interroge ; la lecture qui précède suppose qu'elle va dans le même sens que la ligne suivante. Le dossier n'est pas daté ; la résolution en caractéristique zéro est le théorème de Hironaka de 1964. Aucune autre inférence n'est tirée ici de ces lignes. ↩
Le mot qui qualifie \(B\) est illisible ; la condition proposée entre crochets, qui conclut à la platitude, suggère « plat », mais ce n'est pas lu et ce n'est pas écrit ici. ↩
Le mot « idéal premier » est nôtre (la page a un mot illisible), de même que le rapprochement avec le critère topologique de Nagata ; l'indice de \(B_{\mathfrak{P}}\) est repassé et douteux, et la page porte encore, entre crochets, « donc \(B \otimes_{A'} k'\) », dont le rôle ne se lit pas. ↩
Le feuillet accompagne cette conclusion d'une formule, « \(k(A^p) \simeq K \otimes_{K^p} A^p\) », qui dit que \(K\) et \(A^p\) sont linéairement disjoints sur \(K^p\) — c'est-à-dire exactement que les \(t_i\) restent p-indépendants au-dessus de \(K\). Le terme après le signe \(\simeq\) est écrit par-dessus un autre et n'a pas été lu avec certitude. La marge porte, isolément : « \(\Omega_{K/k}\) est fini sur \(K\) », qui est la traduction de l'hypothèse de p-base finie, et le côté positif du partage que la page 23 énoncera de l'autre côté. Le premier titre du feuillet, « Cas \(p > 0\) », paraît abandonné au profit du « 3°) Cas \(p > 0\) » qui porte l'argument. ↩
La première lecture du feuillet donnait « de dim \(A \geqslant 0\) », que cette édition corrigeait en \(\dim A > 0\) ; la seconde lit « si dim \(A > 0\) », et la correction est sans objet. La dimension nulle est bien à exclure : \(A\) se réduit alors au corps \(K\), et en caractéristique nulle toute extension de corps est séparable, donc formellement lisse pour la topologie discrète. ↩
Le mot qui qualifie la flèche est illisible ; la première lecture y voyait « iso », biffé. Ce qu'exige la lissité formelle est dit au paragraphe suivant : que la flèche admette une rétraction. ↩
« Formellement lisse pour la topologie discrète » est ici la lissité formelle de mathlib, Algebra.FormallySmooth : \(\Omega_{A/k}\) projectif et \(H_1(L_{A/k}) = 0\). Le complément à gauche est la suite de Jacobi–Zariski \(H_1(L_{A/k}) \to \Omega^1_k \otimes_k A \to \Omega^1_A\), exacte, qui est dans mathlib (Algebra.H1Cotangent.exact_\(\delta\)_mapBaseChange, avec le renvoi au projet Stacks, tag 00S2). La rétraction est construite en Lean (lean/Grothendieck/Folder22.lean, retraction_of_formallySmooth). ↩
Le feuillet 24 s'arrête sur la construction de \(f = \sum a_n t^n\) ; la conclusion n'est pas écrite. Elle est fournie ici, ainsi que le choix \(a_n = x_{i_n}\). — La page 22 mène une réduction au cas \(D(t) = 0\), qui se lit : « \(D(t)\) est une combinaison linéaire finie de certains \(d_{/\mathbf{Q}}\, x_i\), \(i \in J\), et remplaçant \(\mathbf{Q}\) par \(k_0 = \mathbf{Q}((x_i : i \in J))\), on peut supposer que \(dt = 0\) » ; les pages 23 et 24 refont le même pas dans le cadre général, en remplaçant \(k\) par une extension de type fini \(K'\) (« ou \(D t_i = 0\) »). Une fois \(D(t) = 0\), ses composantes \(D_i\) sont « uniquement déterminées », \(D_i(\sum a_\lambda t^\lambda) = \sum (d a_\lambda)_i\, t^\lambda\) : c'est la formule de la page 24, et elle est juste, puisqu'une dérivation \(E\) de \(A\) nulle sur \(t\) vérifie \(E(t^m g) = t^m E(g)\). La réduction n'est pas nécessaire pour autant : il suffit de prendre \(n\) assez grand pour que la coordonnée d'indice \(i_n\) de \(D(t)\) soit déjà nulle, et c'est l'argument donné ci-dessus, qui est de l'édition. Le choix des \(a_n\), enfin : la page retient « il existe \(a_n \in K\) tel que \(d_{K/k}\, a_n \neq 0\) », après avoir biffé « \(D_{i_n}(a_n) \neq 0\) ». La condition retenue ne suffit pas — avec tous les \(a_n\) égaux et \(D(t) = 0\), \(D(f)\) n'a qu'une composante non nulle ; c'est la condition biffée, une coordonnée d'indice \(i_n\) non nulle, qu'il faut, et que le choix \(a_n = x_{i_n}\) réalise. Vérifié en Lean (lean/Grothendieck/Folder22.lean, no_derivation, no_derivation_extending_d, not_formallySmooth_discrete) : aucune dérivation \(A \to \Omega^1_k \otimes_k A\) n'induit \(d_k\), et \(A\) n'est pas formellement lisse sur \(k\). La caractéristique nulle ne sert pas : la vérification (not_formallySmooth_of_field) établit que \(K[[t]]\) n'est pas formellement lisse sur \(K\) pour la topologie discrète dès que le module des différentielles \(\Omega_{K/R}\) de \(K\) sur un anneau de base \(R\) quelconque est de dimension infinie, en particulier pour \(\mathbf{F}_p(x_i : i \in I)\), \(I\) infini. La lissité formelle de \(K[[t]]\) pour la topologie \(t\)-adique, l'autre moitié de l'énoncé, n'est pas vérifiée par la machine ; c'est celle que le projet Stacks énonce (théorème 15.41.1 et exemple 15.41.2, tags 07EL et 07EM), qui ne traite pas la topologie discrète. Aucune source énonçant la moitié discrète n'a été trouvée. ↩
La page conclut : « \(A\) … n'est pas f. lisse sur \(K\) relativement à \(k\), et a fortiori n'est pas f. lisse sur \(k\) » (« est » et « f. lisse » sont des lectures douteuses, « infinie » est net). L'énoncé est celui de la page, et Lean le vérifie pour une seule variable : si \(A\) était formellement lisse sur \(K\), \(\Omega_{K/k} \otimes_K A \to \Omega_{A/k}\) aurait une rétraction (lean/Grothendieck/Folder22.lean, retraction_of_formallySmooth, la base \(R\) y étant le \(k\) de la page) ; aucune dérivation \(D : K[[t]] \to K[[t]] \otimes_K \Omega_{K/k}\) n'induit \(d_{K/k}\) sur \(K\), c'est la forme « plus précisément » (no_derivation_of_field), et \(K[[t]]\) n'est donc pas formellement lisse sur \(K\) (not_formallySmooth_of_field) ; voir l'annexe Lean, section 22. Le cas \(n > 1\) s'en déduit en ne dérivant que par rapport à \(t_1\), ce que Lean ne vérifie pas. Le « relativement à \(k\) » nomme vraisemblablement cette obstruction. Le « a fortiori » sur \(k\) suppose qu'une algèbre formellement lisse sur \(k\) le soit sur \(K\) relativement à \(k\), au sens que la page ne définit pas ; il n'est ni vérifié ni affirmé ici. ↩
La première lecture de la page 23 donnait l'hypothèse comme « \(\Omega_{K/k}\) de dim finie », et cette édition en complétait la conclusion illisible en une lissité formelle sur \(k\) ; complétion fausse, retirée le 2026-10-17, et l'on concluait alors que le module relatif \(\Omega_{K/k}\) ne pouvait être l'invariant. La seconde lecture lit « dim. infinie » et une conclusion négative : il n'y avait pas de proposition fausse, seulement une lecture fausse. L'exemple de la page 22 est le cas \(k = \mathbf{Q}\) (ou le \(k_0\) de la réduction), \(K = \mathbf{Q}(x_i : i \in I)\), de cette proposition. ↩
Le cas positif de la caractéristique nulle — \(\Omega_K\) de dimension finie — n'est pas tranché par le dossier ; la question 2) de la page 19 n'y prévoyait d'ailleurs que la réponse négative. ↩
Les pages 27 et 29, versos de ces deux feuillets, portent un imprimé sur la topologie de l'espace des répartitions et le groupe des idèles, sans rapport avec le chapitre et sans annotation de lui. Elles ne sont pas lues. ↩
Le feuillet dessine le carré avec \(k \to K\) en haut, muni d'une pointe de flèche, et les trois autres côtés sans pointe ; il est redressé ici de manière que les quatre côtés soient des inclusions et que le sous-corps commun soit en haut à gauche. Le contenu est le même et les deux dispositions sont également légitimes. — La marge porte la suite \(\Omega^{1}_{k'} \otimes_{k'} K \to \Omega^{1}_{k} \otimes_{k} K \to \Omega^{1}_{K}\), et une note en oblique, « N.B. … (l'existence ci-dessus) … \(N_{K/k}\) … de dim. \(1\) », qui ne se lit qu'en partie. La première lecture prenait \(N_{K/k}\) pour une norme ; c'est le noyau de la flèche ci-dessus, et la page le dit. ↩
La lettre \(N\) est celle du feuillet ; rien n'y dit si la notion avait déjà, à cette date, le nom et la lettre qu'elle porte dans les Éléments imprimés. ↩
La page écrit \(K = \mathbf{F}(x, a_1^{1/p}, \ldots, a_{p-1}^{1/p}, \ldots)\), le dernier générateur illisible ; \(a_0^{1/p}\) est ce que demande \(K^p = \mathbf{F}(x^p, a_0, \ldots, a_{p-1})\), qu'elle écrit en clair. ↩
Vérifié en Lean (lean/Grothendieck/Folder22.lean, contre_exemple_page26, a1_not_mem et triple_injective), pour tout nombre premier \(p\), dans la spécialisation \(a_i = 0\) pour \(2 \leqslant i \leqslant p-1\) que propose la page 28 — pour \(p = 2\), c'est l'exemple entier. Avec \(K = \mathbf{F}_0(x, b_0, b_1)\), \(a_i = b_i^p\) et \(y = a_0 + a_1 x\), l'élément \(1 \otimes dy - a_1 \otimes dx\) de \(K \otimes_k \Omega^1_{k/k'}\) est non nul et s'annule dans \(\Omega^1_{K/k'}\), qui est le \(\Omega^1_K\) de la page puisque \(k'\) est formé de puissances \(p\)-ièmes (cette identification n'est pas formalisée). La vérification suit une autre route que la page 28 pour la \(p\)-indépendance : elle ne calcule pas \(k'\), mais montre que \(\partial/\partial y\) le tue, car \(\partial_x\) tue \(K^p\) et la règle de dérivation des fonctions composées donne \(\partial c/\partial x + a_1\,\partial c/\partial y = 0\) pour \(c \in k'\), tandis que \(a_1 \notin k\). Ce dernier point vient de l'indépendance algébrique de \(x\), \(y\), \(a_1\), obtenue en écrivant \((x, y, a_1)\) comme un automorphisme triangulaire suivi d'un Frobenius partiel. L'exemple général, avec \(a_2, \ldots, a_{p-1}\) non nuls, n'est pas formalisé. ↩
La page 28 dégage ensuite les « conditions essentielles » de l'exemple : \((x,y)\) p-libre sur \(\lambda = \mathbf{F}(a_1, \ldots, a_{p-1})\), et \(\lambda \not\subset \mathbf{F}(x,y)\). Elle en tire deux variantes. La première pose \(a_i = 0\) pour \(2 \leqslant i \leqslant p-1\), ce qui ramène au cas \(y = a_0 + a_1 x\) ; elle a été vérifiée par machine (note précédente). La seconde prend \(x\), \(y\) algébriquement indépendants sur \(\mathbf{F}\) parfait et \(a_1\) algébrique sur \(\mathbf{F}\), \(a_1 \notin \mathbf{F}\) : \(K\) s'obtient alors à partir de \(k\) par une extension séparable \(k(b)\) suivie de l'adjonction d'une racine \(p\)-ième. Elle est juste : l'argument de la page 28 conclurait à \(a_1 \in k = \mathbf{F}(x,y)\), or \(\mathbf{F}\) est algébriquement fermé dans \(\mathbf{F}(x,y)\), et \(a_1\), algébrique sur \(\mathbf{F}\) sans y être, n'est pas dans \(k\). Cette seconde variante n'est que résumée sur la page, avec deux mots illisibles et un reste de la notation biffée en \(\alpha\), \(y - \alpha x\) et \(b = a^{1/p}\) ; elle n'est pas rendue ici plus loin que cela. La reconstitution donnée ci-dessus est celle des pages 26 et 28 ; l'identification du corps de base \(\mathbf{F}\), que le feuillet écrit tantôt \(\mathbf{F}\) tantôt \(\mathbf{F}_0\), est nôtre. ↩