Fonds Grothendieck, cote n° 21, pages 21–28 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-19)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)21
[Chapitre] 0 III : tapuscrit et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Pages 21 à 28 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1960-1967]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/21.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Les conditions P_1, P_2, P_3 pour une catégorie fibrée
le titre est de l'éditeur : le feuillet 21 reprend en cours de
démonstration, sans en-tête, la suite du feuillet 20 (batch 1)
f \in \Gamma(\mathcal{U}, F), on peut prolonger f
en une section de \mathcal{F} sur X. Il s'agit de prolonger
un voisinage de x, l'hyp. de récurrence. c'est encore
possible l'hyp. P_2 en x, et la . OK.
le début du feuillet achève une démonstration commencée au feuillet
précédent, qui n'est pas dans ce batch
Définition 6. Soit \mathcal{F} une catégorie fibrée sur la
catégorie des ouverts d'un espace topologique X, soit Y une
partie fermée de X. On dit que \mathcal{F} satisfait la condition P_1
(resp. P_2, resp. P_3) rel. à Y, si pour tout ouvert V \subset X,
le foncteur
\Gamma\mathcal{F}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(V \cap \mathcal{U})
\qquad (\mathcal{U} = X - Y)
est fidèle (resp. pleinement fidèle, resp. une équivalence de catégories).
le terme de gauche porte devant le \mathcal{F} un jambage
supplémentaire, lu \Gamma, que le terme de droite n'a pas ; l'asymétrie est
sur le feuillet et la lecture reste douteuse
On dit que \mathcal{F} satisfait la condition P_1 (resp. P_2, resp.
P_3) en un pointx \in X, si le foncteur
\mathrm{Pseudolim}_{W}\ \mathcal{F}(W) \longrightarrow
\mathrm{Pseudolim}_{W}\ \mathcal{F}(W - W \cap \bar{x}) est fidèle (resp. pleinement fidèle, resp. une équivalence).
sur le feuillet, le W de chaque Pseudolim est écrit sous une
longue flèche placée au-dessous du mot ; W parcourt les voisinages ouverts
de x
loc. noethérienspectral,
\mathcal{F} rel. \Longrightarrow la condition P_1 (P_2, P_3)
; la condition P_1 (P_2, P_3) rel. \{x\},
xVfermé.
La première signifie, pour P_1 (resp. P_2) que pour tt ouvert
V \subset X, et tt couple f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(V), le
faisceau \underline{\mathrm{Hom}}(f,g) sur V satisfait la condition P_1
(resp. P_2) rel. à Y \cap V. La condition P_3 signifie
que de plus, pour tt ouvert V \subset X, et tt objet
f' \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(V \cap \mathcal{U}) est isomorphe à un objet
de la forme f | V \cap \mathcal{U} où f \in \mathcal{F}(W).
le dernier terme est écrit \mathcal{F}(W) alors que l'argument demande
\mathcal{F}(V) ; transcrit tel quel
La seconde signifie que le foncteur
\mathcal{F}(X) \longrightarrow \mathcal{F}(X - \{x\}) fidèle (resp. fidèle, une équivalence)
P_1 (P_2) (pour tt f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(X),
le faisceau \underline{\mathrm{Hom}}(f,g) satisfait P_1 (P_2), et pour
P_3, que tt objet f' de \mathcal{F}(X - \{x\}) soit isom. à un objet de
la forme f | X - \{x\}, où f \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(X).
la parenthèse ouverte avant « pour tt f,g » n'est jamais refermée sur
le feuillet
La troisième se ramène en général, si on
introduit pour tt x \in X la « catégorie fibrée induite »
\mathcal{F}_{(x)}, par la condition que pour tt W de
X_{x}, que
\mathcal{F}_{(x)}(W) \;=\; \mathrm{Pseudolim}_{W}\ \mathcal{F}(W)
où W parcourt les ouverts de X tels que W_{(x)} \supset \struck{W}\ w
(ou ouvert, tel que W_{(x)} = w).
cette définition, pour tt V de X et f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(V), isom. (ou
\underline{\mathrm{Hom}}(f,g)_{(x)} \;\Longrightarrow\;
\underline{\mathrm{Hom}}(f_{(x)}, g_{(x)}) des définitions.
le feuillet porte ici une double flèche, non une flèche d'isomorphisme ;
transcrite telle quelle
N.B. La propriété P_1 (P_2, P_3) de \mathcal{F} en x,
j'imagine revient à dire que \mathcal{F}_{(x)} sur
X_{(x)} satisfait à la propriété P_1 (P_2, P_3). que la
propriété P_1 (P_2) est équivalente que pour tt ouvert
Vde x, et f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(W),
\underline{\mathrm{Hom}}(f,g) satisfait à P_1 (P_2) en x.
On voit donc, grâce à la validité des dans
Prop. 7. Soit X un esp. top. noeth.spectral,
\mathcal{F} une catégorie fibrée sur la catégorie des ouverts de X,
et soit Y une partie fermée de X. Conditions
équivalentes :
\mathcal{F} satisfait à P_1 (P_2, P_3) rel. à Y ;pour tt x \in Y, \mathcal{F} satisfait à P_1 (P_2,
P_3) en X.
(ii) porte un X majuscule là où l'énoncé demande le point x ;
transcrit tel quel
Reste le cas P_3, quand P_1, P_2 sont déjà vérifiés.
On va prouver le
\text{(ii)} \Longrightarrow \text{(i)}
Corollaire 8. Si \mathcal{F} satisfait P_1 (P_2, P_3) rel. à
Y, alors tt X' \subset X et tt Y' \subsetY toute partie Y' \subset Y \cap X',
\mathcal{F} | X' satisfait P_1 (P_2, P_3) rel. à Y'.
\rho'' et \rho sont des équivalences de catégories, donc \rho' en
est une, OK.
Prouvons (i) \Longrightarrow (ii), en appliquant la cond. à
\bar{x} (pour x \in Y). Soit W un voisinage ouvert de \bar{x}, \mathcal{F}(W) \longrightarrow \mathcal{F}(W - W \cap \bar{x})
une équivalence, donc a fortiori il pour \mathcal{H} l'un
des types :
\mathcal{H}(\mathcal{F}(W)) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\;
\mathcal{H}(\mathcal{F}(W - W \cap \bar{x}))
et à la limite :
\mathcal{H}(\mathcal{F}_{(x)}(X_{x})) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\;
\mathcal{H}(\mathcal{F}_{x}(X'_{\alpha_1}))
O.K.
la lettre \mathcal{H} n'est pas introduite sur le feuillet ; elle y
tient lieu de « l'un des types » d'énoncé — fidélité, pleine fidélité,
équivalence
Prouvons (ii) \Longrightarrow (i). pour que tt
f' \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(\mathcal{U}) provient
d'un f \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(X). À cause déjà acquis, la
question est locale sur X, Xnoethérien. Par suite, on
peut (par récurrence noethérienne) que pour tt
Y' \subset Y et \ne Y, \mathcal{F} satisfait P_3
rel. à Y'.
Soit Si Y = \emptyset, il n'y a rien à prouver ; ,
soit x un pt maximal de Y. Considérons f' | X'_{(x)}, par hypothèse il
provient d'un f^{\circ}_{(x)} \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}_{(x)}(X'_{(x)}),
donc provient d'un f_0 \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(W), où W est un
voisinage de x. Considérons les restrictions de f_0
et f' à W \cap \mathcal{U} = V, par construction elles deviennent
isomorphes sur V_{(x)} = X'_{(x)} (donc par définition de
\mathcal{F}_{(x)}) à condition de prendre W assez petit ; on peut supposer
qu'elles sont isomorphes. les isomorphismes, on un objet
f'_1 \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(W \cup \mathcal{U}) prolongeant f'. Par
l'hyp. de récurrence, f'_1 provient d'un f \in \mathcal{F}(X),
Corollaire 10. Conditions équivalentes :
F satisfait à P_1 (P_2, P_3) ;on a \underline{H}^{i}_{Y}(F) = 0 pour i \leqslant 1
(i \leqslant 2, i \leqslant 3).
Reste le cas P_3, \underline{H}^{2}_{Y}(F) \;=\; \text{faisceau associé au préfaisceau}V \rightsquigarrow H^{\ill}(V \cap \mathcal{U}, F).
l'exposant de ce dernier H ne se lit pas — un seul jambage, ni un
zéro net ni un chiffre ; celui de \underline{H}_Y se lit 2
On a (i) \Longrightarrow (ii) puisque
H^{\ill}(V \cap \mathcal{U}, F) \simeq H^{\ill}(V, F) (pour V) et
que le faisceau associé V \rightsquigarrow H^{\ill}(V, F)
tend .
On a (ii) \Longrightarrow (i). Car dans ce cas f' \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(\mathcal{U}) provient d'un
f \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(X).
Or, suffit de constater, i.e. le sur Y,
et par Prop. 7, en un point quelconque
x \in Y.
Cas particulier. Soit F un préfaisceau de groupes (ou un ) sur X. la catégorie
\mathcal{F} possédant () des fibrés principaux
homogènes sous F. Soit Y une partie fermée de X. Alors :
la ligne où \mathcal{F} est définie est très abrégée ; seule la
locution « fibrés principaux homogènes » et le rôle de F y sont sûrs
Proposition 9.Les Conditions équivalentes :
\mathcal{F} satisfait P_1 (P_2) rel. à Y ;F satisfait P_1 (P_2) rel. à Y ;on a \underline{H}^{0}_{Y}(F) = 0
( \underline{H}^{0}_{Y}(F) = 0 et
\underline{H}^{1}_{Y}(F) = 0 )
pour i \leqslant 1 (i \leqslant 2) i.e. i = 0
(i = 0, 1).
En effet, on aura si f_0 le fibré sur X,
F \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(f_0, f_0), d'où
(ii) \Longrightarrow (i). D'autre part, f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(V), \underline{\mathrm{Hom}}(f,g) est
localement isomorphe (comme ) à F, d'où (i) \Longrightarrow (ii).
Enfin (ii) \Longleftrightarrow (iii), par définition de
\underline{H}^{0}_{Y}(F) et \underline{H}^{1}_{Y}(F) comme Ker et Coker de
F \longrightarrow i_{*} i^{*} F .