Cote n° 21 · batch 2 · pages 21–28 · Transcription · [Chapitre] 0 III : tapuscrit et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1960-1967]
Édition de démonstration

Les conditions \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) pour une catégorie fibrée

le titre est de l'éditeur : le feuillet 21 reprend en cours de démonstration, sans en-tête, la suite du feuillet 20 (batch 1)

21\(f \in \Gamma(\mathcal{U}, F)\), […] on peut prolonger \(f\) en une section de \(\mathcal{F}\) sur \(X\). Il s'agit de prolonger […] un voisinage de \(x\), […] l'hyp. de récurrence. […] c'est encore possible […] l'hyp. \(P_2\) en \(x\), et la […]. OK.

le début du feuillet achève une démonstration commencée au feuillet précédent, qui n'est pas dans ce batch

Définition 6. Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie fibrée […] sur la catégorie des ouverts d'un espace topologique \(X\), soit \(Y\) une partie fermée de \(X\). On dit que \(\mathcal{F}\) satisfait la condition \(P_1\) (resp. \(P_2\), resp. \(P_3\)) rel. à \(Y\), si pour tout ouvert \(V \subset X\), le foncteur \[ \Gamma\mathcal{F}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(V \cap \mathcal{U}) \qquad (\mathcal{U} = X - Y) \] est fidèle (resp. pleinement fidèle, resp. une équivalence de catégories).

le terme de gauche porte devant le \(\mathcal{F}\) un jambage supplémentaire, lu \(\Gamma\), que le terme de droite n'a pas ; l'asymétrie est sur le feuillet et la lecture reste douteuse

On dit que \(\mathcal{F}\) satisfait la condition \(P_1\) (resp. \(P_2\), resp. \(P_3\)) en un point \(x \in X\), si le foncteur \[ \mathrm{Pseudolim}_{W}\ \mathcal{F}(W) \longrightarrow \mathrm{Pseudolim}_{W}\ \mathcal{F}(W - W \cap \bar{x}) \] […] est fidèle (resp. pleinement fidèle, resp. une équivalence).

sur le feuillet, le \(W\) de chaque Pseudolim est écrit sous une longue flèche placée au-dessous du mot ; \(W\) parcourt les voisinages ouverts de \(x\)

[…] loc. noethérien spectral […], \(\mathcal{F}\) rel. […] \(\Longrightarrow\) la condition \(P_1\) (\(P_2\), \(P_3\)) […] ; […] la condition \(P_1\) (\(P_2\), \(P_3\)) rel. […] \(\{x\}\), […] \(x\) […] \(V\) fermé.

22La première […] signifie, pour \(P_1\) (resp. \(P_2\)) que pour tt ouvert \(V \subset X\), et tt couple \(f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(V)\), le faisceau \(\underline{\mathrm{Hom}}(f,g)\) sur \(V\) satisfait la condition \(P_1\) (resp. \(P_2\)) rel. à […] \(Y \cap V\). La condition \(P_3\) signifie que de plus, pour tt ouvert \(V \subset X\), et tt objet \(f' \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(V \cap \mathcal{U})\) est isomorphe à un objet de la forme \(f | V \cap \mathcal{U}\) où \(f \in \mathcal{F}(W)\).

le dernier terme est écrit \(\mathcal{F}(W)\) alors que l'argument demande \(\mathcal{F}(V)\) ; transcrit tel quel

La seconde […] signifie que le foncteur \[ \mathcal{F}(X) \longrightarrow \mathcal{F}(X - \{x\}) \] […] fidèle […] (resp. fidèle, une équivalence) […] \(P_1\) (\(P_2\)) (pour tt \(f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(X)\), le faisceau \(\underline{\mathrm{Hom}}(f,g)\) satisfait \(P_1\) (\(P_2\)), et pour \(P_3\), que tt objet \(f'\) de \(\mathcal{F}(X - \{x\})\) soit isom. à un objet de la forme \(f | X - \{x\}\), où \(f \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(X)\).

la parenthèse ouverte avant « pour tt \(f,g\) » n'est jamais refermée sur le feuillet

23La troisième […] se ramène […] en général, si on introduit pour tt \(x \in X\) la « catégorie fibrée induite » \(\mathcal{F}_{(x)}\), par la condition que pour tt […] \(W\) de \(X_{x}\), […] que \[ \mathcal{F}_{(x)}(W) \;=\; \mathrm{Pseudolim}_{W}\ \mathcal{F}(W) \] où \(W\) parcourt les ouverts de \(X\) tels que \(W_{(x)} \supset \struck{W}\ w\) (ou […] ouvert, tel que \(W_{(x)} = w\)). […]

[…] cette définition, pour tt […] \(V\) de \(X\) et […] \(f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(V)\), […] […] isom. (ou \[ \underline{\mathrm{Hom}}(f,g)_{(x)} \;\Longrightarrow\; \underline{\mathrm{Hom}}(f_{(x)}, g_{(x)}) \] […] des définitions.

le feuillet porte ici une double flèche, non une flèche d'isomorphisme ; transcrite telle quelle

N.B. La propriété \(P_1\) (\(P_2\), \(P_3\)) de \(\mathcal{F}\) en \(x\), j'imagine […] revient à dire que \(\mathcal{F}_{(x)}\) sur \(X_{(x)}\) satisfait à la propriété \(P_1\) (\(P_2\), \(P_3\)). […] que la propriété \(P_1\) (\(P_2\)) est équivalente […] que pour tt ouvert \(V\) de \(x\), et \(f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(W)\), \(\underline{\mathrm{Hom}}(f,g)\) satisfait à \(P_1\) (\(P_2\)) en \(x\).

24On voit donc, grâce à […] la validité des […] […] dans

Prop. 7. Soit \(X\) un esp. top. noeth. spectral, \(\mathcal{F}\) une catégorie fibrée […] sur la catégorie des ouverts de \(X\), et soit \(Y\) une partie fermée de \(X\). […] Conditions équivalentes :

1. (i)\(\mathcal{F}\) satisfait à \(P_1\) (\(P_2\), \(P_3\)) rel. à \(Y\) ;
2. (ii)pour tt \(x \in Y\), \(\mathcal{F}\) satisfait à \(P_1\) (\(P_2\), \(P_3\)) en \(X\).

(ii) porte un \(X\) majuscule là où l'énoncé demande le point \(x\) ; transcrit tel quel

Reste le cas \(P_3\), […] quand \(P_1\), \(P_2\) sont déjà vérifiés. […] On va prouver le \[ \text{(ii)} \Longrightarrow \text{(i)} \]

Corollaire 8. Si \(\mathcal{F}\) satisfait \(P_1\) (\(P_2\), \(P_3\)) rel. à \(Y\), alors tt […] \(X' \subset X\) et tt […] \(Y' \subset\) \(Y\) […] toute partie […] \(Y' \subset Y \cap X'\), \(\mathcal{F} | X'\) satisfait \(P_1\) (\(P_2\), \(P_3\)) rel. à \(Y'\).

Déjà fait pour \(P_1\), \(P_2\) ; voyons \(P_3\). Voyons la […] […]

25

\begin{tikzcd}
  \mathcal{F}(V) \arrow[r, "\rho'"] \arrow[dr, "\rho"'] &
  \mathcal{F}(V \cap \mathcal{U}') \arrow[d, "\rho''"] \\
  & \mathcal{F}(V \cap \mathcal{U})
\end{tikzcd}

[…] \(\rho''\) et \(\rho\) sont des équivalences de catégories, donc \(\rho'\) en est une, OK.

Prouvons (i) \(\Longrightarrow\) (ii), en appliquant la cond. à \(\bar{x}\) (pour \(x \in Y\)). Soit \(W\) un voisinage ouvert de \(\bar{x}\), […] \[ \mathcal{F}(W) \longrightarrow \mathcal{F}(W - W \cap \bar{x}) \] une équivalence, donc a fortiori il […] pour \(\mathcal{H}\) l'un des types : \[ \mathcal{H}(\mathcal{F}(W)) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathcal{H}(\mathcal{F}(W - W \cap \bar{x})) \] et […] à la limite […] : \[ \mathcal{H}(\mathcal{F}_{(x)}(X_{x})) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathcal{H}(\mathcal{F}_{x}(X'_{\alpha_1})) \] O.K.

la lettre \(\mathcal{H}\) n'est pas introduite sur le feuillet ; elle y tient lieu de « l'un des types » d'énoncé — fidélité, pleine fidélité, équivalence

Prouvons (ii) \(\Longrightarrow\) (i). […] pour […] que tt \(f' \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(\mathcal{U})\) provient

26d'un \(f \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(X)\). À cause […] déjà acquis, la question est locale sur \(X\), […] \(X\) noethérien. Par suite, on peut […] (par récurrence noethérienne) que pour tt \(Y' \subset Y\) et \(\ne Y\), […] \(\mathcal{F}\) satisfait \(P_3\) rel. à \(Y'\).

Soit Si \(Y = \emptyset\), il n'y a […] rien à prouver ; […], soit \(x\) un pt maximal de \(Y\). Considérons \(f' | X'_{(x)}\), par hypothèse il provient d'un \(f^{\circ}_{(x)} \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}_{(x)}(X'_{(x)})\), donc […] provient d'un \(f_0 \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(W)\), où \(W\) est un voisinage […] de \(x\). […] Considérons les restrictions de \(f_0\) et \(f'\) à \(W \cap \mathcal{U} = V\), par construction elles deviennent isomorphes sur \(V_{(x)} = X'_{(x)}\) (donc […] par définition de \(\mathcal{F}_{(x)}\)) à condition de prendre \(W\) assez petit ; on peut supposer qu'elles sont isomorphes. […] les isomorphismes, on […] un objet \(f'_1 \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(W \cup \mathcal{U})\) prolongeant \(f'\). Par l'hyp. de récurrence, \(f'_1\) provient d'un \(f \in \mathcal{F}(X)\), […]

27[…]

Corollaire 10. Conditions équivalentes :

1. (i)\(F\) satisfait à \(P_1\) (\(P_2\), \(P_3\)) ;
2. (ii)on a \(\underline{H}^{i}_{Y}(F) = 0\) pour \(i \leqslant 1\) (\(i \leqslant 2\), \(i \leqslant 3\)).

Reste le cas \(P_3\), […] \[ \underline{H}^{2}_{Y}(F) \;=\; \text{faisceau associé au préfaisceau} \] \[ V \rightsquigarrow H^{\ill}(V \cap \mathcal{U}, F). \]

l'exposant de ce dernier \(H\) ne se lit pas — un seul jambage, ni un zéro net ni un chiffre ; celui de \(\underline{H}_Y\) se lit \(2\)

On a (i) \(\Longrightarrow\) (ii) puisque \(H^{\ill}(V \cap \mathcal{U}, F) \simeq H^{\ill}(V, F)\) (pour […] \(V\)) et que le faisceau associé […] \(V \rightsquigarrow H^{\ill}(V, F)\) […] tend […].

On a (ii) \(\Longrightarrow\) (i). Car dans ce cas […] \(f' \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(\mathcal{U})\) provient d'un \(f \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(X)\). Or, […] suffit de […] constater, i.e. le […] sur \(Y\), […] et […] par Prop. 7, en […] […] un point quelconque \(x \in Y\).

28Cas particulier. Soit […] \(F\) un préfaisceau […] de groupes (ou un […]) sur \(X\). […] la catégorie \(\mathcal{F}\) […] possédant ([…]) […] des fibrés principaux homogènes […] sous \(F\). Soit \(Y\) une partie fermée de \(X\). Alors :

la ligne où \(\mathcal{F}\) est définie est très abrégée ; seule la locution « fibrés principaux homogènes » et le rôle de \(F\) y sont sûrs

Proposition 9. Les Conditions équivalentes :

1. (i)\(\mathcal{F}\) satisfait \(P_1\) (\(P_2\)) rel. à \(Y\) ;
2. (ii)\(F\) satisfait \(P_1\) (\(P_2\)) rel. à \(Y\) ;
3. (iii)on a \(\underline{H}^{0}_{Y}(F) = 0\) ( \(\underline{H}^{0}_{Y}(F) = 0\) et \(\underline{H}^{1}_{Y}(F) = 0\) ) pour \(i \leqslant 1\) (\(i \leqslant 2\)) i.e. \(i = 0\) (\(i = 0, 1\)).

En effet, on aura si \(f_0\) […] le fibré […] […] sur \(X\), […] \(F \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(f_0, f_0)\), d'où […] (ii) \(\Longrightarrow\) (i). D'autre part, […] \(f, g \in \mathrm{Ob}\ \mathcal{F}(V)\), \(\underline{\mathrm{Hom}}(f,g)\) est localement isomorphe (comme […]) à \(F\), d'où (i) \(\Longrightarrow\) (ii). Enfin (ii) \(\Longleftrightarrow\) (iii), par définition de \(\underline{H}^{0}_{Y}(F)\) et \(\underline{H}^{1}_{Y}(F)\) comme Ker et Coker de \[ F \longrightarrow i_{*} i^{*} F . \]