Fonds Grothendieck, cote n° 21, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-19)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
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[Chapitre] 0 III : tapuscrit et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
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2. Généralités sur certains foncteurs de modules
2. Généralités sur certains foncteurs de modules.
Le présent numéro pourrait passer également au Chap \mathrm{O}_{III}, qui contiendrait aussi certains des sorites du par.7.
Proposition 2.1. Soient \underline{C} une catégorie abélienne, \underline{G} une partie de \mathrm{Ob}\,\underline{C}, telle que tout objet de \underline{C} admette une suite de composition finie dont les quotients facteurs « facteurs » est retapé au-dessus de la ligne, dans la même frappe sont isomorphes à des quotients d'objets M \in \underline{G}. Soit \underline{C}' une seconde catégorie abélienne.
(i) Soit T : \underline{C} \to \underline{C}' un foncteur exact à droite, pour que T soit nul, il f et s qu'il soit nul sur les M \in \underline{G}.
(ii) Soit (T^i) un foncteur cohomologique de \underline{C} dans \underline{C}', tel que T^i = 0 pour i > i_o, et soit n un entier. Pour qu'on ait T^i = 0 pour i > n, il f. et s. que pour tout M \in \underline{G}, on ait T^i(M) = 0 pour i > n.
Dém. (i) est trivial, pour (ii) on procède par récurrence descendante « descendante » est retapé au-dessus de la ligne, avec un signe d'insertion à l'encre sur n, c'est trivial pour n \geqslant i_o, et pour n quelconque, supposant que c'est fait pour n+1, on note que si les T^i(M) (M \in \underline{G}, i \geqslant 1+n) sont nuls, alors par l'hy de réc on a T^i = 0 pour i > n+1, donc T^{n+1} est exact à droite, et d'après (i) il est nul, cqfd.
Corollaire 2.2.le premier chiffre est surchargé à la machine : un 3 et un 2 superposés Sous les conditions de 2.1. soit (T^i) un foncteur cohomologique contravariant de \underline{C} dans \underline{C}', tel que T^i = 0 pour i < i_o, et soit n un entier. Pour qu'on ait T^i = 0 pour i < n, il f et s que pour tout M \in \underline{G}, on ait T^i(M) = 0 pour i < n.
Il suffit d'appliquer 2.1. (ii) à \underline{C} et \underline{C}'^{o}. Pour qu'il n'y ait pas de jaloux, il faudrait aussi répéter (i). Dans le présent paragraphe, ce sera sous cette forme que nous utiliserons 2.1. (mais il aurait été canularesque d'énoncer 2.1. avec des foncteurs contravariants).
Corollaire 2.3. Soient \underline{C}, \underline{C}' des catégories abéliennes, \underline{G} une partie de \mathrm{Ob}\,\underline{C}, on suppose que les objets de \underline{C} sont noethériens (i.e. satisfont la condition des chaines ascendantes pour les sous-objets), et que \underline{G} est un systême de générateurs de \underline{C} (i.e. que pour tout F \neq 0 dans \underline{C}, il existe un M \in \underline{C} et un homomorphisme non nul M \to F). Alors les conclusions de 2.1. (i)(ii) et 2.2. (i)(ii) sont valables.
Il suffit de vérifier les hypothèses de 2.1. sur \underline{G}, pour ceci soit F \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}, soit F' un sous-objet maximal de F admettant une suite de composition finie comme dite dans 2.1. (un tel F' existe, car 0 < F satisfait à l'hypothèse de 2.1., et on applique l'hyp noeth sur F). Je dis que F' = F, en
effet sinon on aurait F/F' \neq 0, donc il existerait un homomorphisme non nul M \to F/F' (M \in \underline{G}), et l'image inverse dans F de son image dans contredirait l'hypothèse maximale pour F'.
Exemple 2.4. Soient A un anneau comm noeth, I un idéal de A, X le spectre de A et Y la partie fermée de X définie par I. Soit \underline{C} la catégorie des A-modules de type fini dont tout élément est annulé par une puissance de I, ou la catégorie équivalente des Modules quasi-cohérents sur X dont le support est contenu dans Y. Les objets de \underline{C} sont noethériens. Si M \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}, alors on voit tout de suite que M est un générateur de \underline{C} sss \mathrm{supp}\, M = Y.
C'est nécessaire, car si on avait \mathrm{supp}\, M \neq Y, il existerait une composante irréductible Y_i de Y non contenue dans \mathrm{supp}\, M, et prenant F = \mathcal{O}_{Y_i}, avec Y_i muni de la structure réduite induite, on trouve que \mathrm{Hom}(M,F) = 0, F \neq 0.
C'est suffisant, car si F est quasi-cohérent, de support \subset Y, on a \mathrm{Ass}\,\mathcal{H}om(M,F) = \mathrm{supp}\, M \cap \mathrm{Ass}\, F = \mathrm{Ass}\, F, donc \mathrm{Hom}(M,F) = 0 implique \mathrm{Ass}\, F = \emptyset d'où F = 0. (Donc M est un générateur également dans la catégorie de tous les modules quasi-cohérents F de support \subset Y). Par suite, pour tester la nullité de Le même argument montre que si on a une famille (M_i)_{i \in I} d'objets de \underline{C}, alors c'est un système de générateurs de \underline{C} sss la réunion des \mathrm{supp}\, M_i est Y (commencer par ça). Pour une famille satisfaisant cette condition, l'hypothèse de 2.1. est vérifiée, et par suite, pour vérifier la nullité de foncteurs comme dans 2.1. ou 2.2., il suffit de tester par les M_i, ou de tester en particulier il suffit de tester par un M de support Y.
Exemple 2.5. On peut généraliser 2.4. en prenant un schéma X muni d'un quasi-compact « quasi-compact » est retapé au-dessus du passage surfrappé noethérien X, muni d'un faisceau ample noté \mathcal{O}_X(1), Soit (M_i) et d'une partie fermée Y, \underline{C} désignant encore la catégorie des faisceaux cohérents sur X à support \subset Y. Les objets de \underline{C} sont encore noethériens, et si (M_i)_{i \in I} est une famille d'objets de \underline{C}, telle que \mathrm{supp}\, M_i \ill{}\bigcup_i \mathrm{supp}\, M_i \;=\; Y ,
(il aurait fallu déployer la formule également dans 2.4.), alors les M_i(-n)le signe de l'exposant est surchargé à la machine, avec n > N (N entier donné), forment un système de générateurs de \underline{C} (et même de la catégorie des Modules qu coh de support Y). En effet si F est un Module qu coh de support Y, et F \neq 0, alors on a vu dans 2.4. que le faisceau \mathcal{H}om(M_i,F) est non nul pour i convenable (se placer dans un ouvert affine où F est \neq 0), donc il existe des sections non nulles de \mathcal{H}om(M_i,F)(n) pour n grand, donc des homomorphismes non nuls de M_i(-n) dans F pour n grand. – On peut donc utiliser les M_i(-n), n \geqslant N,
pour tester la nullité de foncteurs comme dans 2.1. et 2.2.
Soient maintenant A un anneau (non nécessairement commutatif), \underline{C} une catégorie abélienne de A-modules à gauche la page dit bien « catégorie abélienne de A-modules », et non « la catégorie », par exemple n'importe quelle sous-catégorie pleine « pleine » est retapé au-dessus de la ligne de la catégorie des A-modules, stable par noyaux et conoyaux, \underline{C}' une catégorie abélienne. Nous allons construire, pour tout objet P de \underline{C}' muni d'une structure de A-module à droite, i.e. muni d'un homomorphisme d'anneaux
A^{o} \longrightarrow \mathrm{End}(P) ,
et tout M \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}, un objet de \underline{C}' noté
P \otimes_A M ,
défini par la propriété universelle
\mathrm{Hom}_{\underline{C}'}(P \otimes_A M,\, Q) \;=\; \mathrm{Hom}_A(M,\, \mathrm{Hom}_{\underline{C}'}(P,Q)) ,
le second membre ayant un sens grâce à la structure de A-module à gauche de \mathrm{Hom}_{\underline{C}'}(P,Q) déduite de celle de A-module à droite de P. Cet objet n'existe pas toujours, sa construction définition« construction » est retapé au-dessus du mot surfrappé utilisera le fait que \underline{C} contient A et que les objets de \underline{C} sont des modules de présentation finie sur A.
déployer
Notons d'abord que si M = A_g, A considéré comme A-module à gauche, et regardé comme l'unique objet de \underline{C}', alors P \otimes_A A_g existe et est canoniquement isomorphe à P.
D'après les sorites généraux sur les foncteurs représentables, P \otimes_A M dépend fonctoriellement de (M,P)et de P,i.e. il pour les couple d'arguments pour lesquels il est défini.
De plus, on voit tout de suite que si on a une suite exacte
M'' \longrightarrow M' \longrightarrow M \longrightarrow 0
de A-modules à gauche, telle que P \otimes_A M' et P \otimes_A M'' existent, alors P \otimes_A M existe et on a unela suite exacteP \otimes_A M'' \longrightarrow P \otimes_A M' \longrightarrow P \otimes_A M \longrightarrow 0est exacte (en particulier, P \otimes_A M est foncteur exact à droite en M, sous réserve d'existence). « foncteur exact à droite en M » est souligné d'un trait ondulé à l'encre
On a le fait analogue pour des suites exactes en P. D'autre part, P \otimes_A A_g existe toujours et on a un isomorphisme canonique
P \otimes_A A_g \;\simeq\; P .et plus gén. des \varinjlimles deux dernières phrases sont cernées d'un trait à l'encre, la note marginale s'y rattache
(Pour (Tous ces faits sont triviaux sur les définitions, en interprétant en termes de foncteurs en Q). Cela prouve Plus généralement, le foncteur P \otimes_A M en M, ou en P, commute aux limites inductives quelconques (pas nécessairement filtrantes), au sesn sic suivant: si les P \otimes_A M_i existent, et \varinjlim alors P \otimes_A \varinjlim M_i existe sss \varinjlim P \otimes_A M_i existe, et les deux sont can isomorphes.
Ceci s'applique en particulier aux limites inductives sur un ensemble discret, i.e. aux sommes directes.
Combinant ces remarques, on voit que P \otimes_A M existe toujours dès que M est de présentation finie (car il existe pour M = A_g^{(I)}, I ensemble fini, donc pour des conoyaux d'homomorphismes A_g^{(I)} \to A_g^{(J)}, I et J finis), et sans restriction sur M si dans \underline{C}' les sommes directes quelconques existent, (même argument, sans restriction de finitude sur I, J). De plus, on a un procédé de construction de P \otimes_A M par « générateurs et relations » en termes de « générateurs et relations » pour M, i.e. en termes d'un de la matrice définissant une présentation finie de M (cette matrice définit une matrice sur I \times J, définissant une application P^{(I)} \to P^{(J)}, dont le conoyau est le produit tensoriel cherché). Tout ceci devrait figurer dans un numéro à part au Chap 0, sans trainer l'accent ' sur la catégorie abélienne. Du point de vue notations, si \underline{C}' est la catégorie l'opposée « l'opposée » est retapé au-dessus du passage surfrappé d'une catégorie abélienne \underline{C}_1, on note Hom les A-\underline{C}'-modules à droite sont les A-\underline{C}_1-modules à gauche, et le produit tensoriel dans \underline{C}' se note (en termes de \underline{C}_1)
\mathrm{Hom}_A(M,P)
défini directement par \mathrm{Hom}_Q(\mathrm{Hom}(M,P))
la propriété universelle
\mathrm{Hom}_{\underline{C}_1}(Q,\, \mathrm{Hom}_A(M,P)) \;=\; \mathrm{Hom}_A(M,\, \mathrm{Hom}_{\underline{C}_1}(Q,P)) .les deux membres de cette formule sont les seuls que le feuillet porte en clair ; la ligne qui la précède est reconstituée du contexte
Il y aurait donc lieu de développer les deux formalismes en parallèle, l'un portant sur des produits tensoriels, l'autre sur des Hom, sur les modules habituels (il faut avoir vu bien entendu qu'on retrouve ces derniers lorsque habituel, àsous la surfrappe, une ligne à l'encre dont seul « habituel » se lit\underline{C}' resp. \underline{C}_1 est la catégorie (Ab), i.e. comme cas particulier de produits tensoriels avec des A-(Ab)-modules et des A-(Ab)^{o}-modules).
Soit donc \underline{C} la catégorie des A-modules à gauche de présentation finie, et soit \underline{C}' une catégorie abélienne. Pour tout A-\underline{C}'-module à droite P on a donc un foncteur additif M \rightsquigarrow P \otimes_A M de \underline{C} dans \underline{C}', et un homomorphisme canonique, fonctoriel en M :
P \otimes_A M \longrightarrow \ill{}le second membre de ce diagramme n'a pas été lu
Proposition 2.6. Soit T un foncteur additif de \underline{C} dans \underline{C}', et soit P = T(A), muni de sa structure naturelle de A-module à droite. L'homomorphisme canonique P \otimes_A M \to T(M) est un isomorphisme si et seulement si T est exact à droite.
la page 7 n'a pu être lue de bout en bout ; le texte ci-dessus en donne les énoncés, les phrases de liaison manquent
contravariant T de \underline{C} dans \underline{C}', i.e. d'un foncteur
T : \underline{C}^{o} \longrightarrow \underline{C}' ,
(ce cas se ramenant au précédent en remplaçant \underline{C}' par \underline{C}'^{o}). On trouve maintenant un homomorphisme canonique, fonctoriel en M :
T(M) \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(M, T(A)) ,
et il faudra expliciter les énoncés duals de 2.6. et 2.7., en particulier l'homomorphisme précédent est un isomorphisme sss T est exact à gauche (i.e. transforme une suite exacte M'' \to M' \to M \to 0 dans \underline{C} en une suite exacte 0 \to T(M) \to T(M') \to T(M'')) : on obtient une équivalence entre la catégorie des foncteurs contravariants exacts à g de \underline{C} dans \underline{C}' et la catégorie A(\underline{C}'). Ces résultats s'étendent comme dans 2.4. au cas où \underline{C} est la catégorie de tous les A-modules, sans hypothèse noethérienne sur A, pourvu que dans \underline{C}' les produits quelconques existent.
Nous allons généraliser les considérations précédentes à la catégorie \underline{C} de l'exemple 2.4. Soit pour tout n \geqslant 0, \underline{C}^{n} la sous-catégorie pleine de \underline{C} formée des modules de type fini sur \underline{C}la page porte « sur \underline{C} » annulés par I^{n+1}, catégorie équivalente à la catégorie des modules de type fini sur A_n = A/I^{n+1}. Alors \underline{C}_n \to \underline{C} est un foncteur exact, et \underline{C} est réunion filtrante de ses sous-catégories \underline{C}_n. Alors un foncteur additifT : \underline{C} \longrightarrow \underline{C}'
est défini par la suite des foncteurs restriction
T_n : \underline{C}_n \longrightarrow \underline{C}' ,
et en vertu de ce qui précède, pour chaque T_n on a un homomorphisme fonctoriel
T_n(A_n) \otimes_{A_n} M \longrightarrow T_n(M) = T(M)
qu'on peut aussi écrire
\struck{\ill{}} \qquad T(A_n) \otimes_A M \longrightarrow T_n(M) \quad \add{(n \geqslant n_o)} .
Pour M fixé dans un \underline{C}_{n_o}, on obtient ainsi un système projectif (T(A_n) \otimes_A M)_{n \geqslant n_o} d'objets de \underline{C}', et un homomorphisme de ce dernier dans le système projectif constant défini par l'objet T(M). Sous réserve de l'existence de \varprojlim T(A_n) \otimes \struck{\ill{}} M, on trouve donc un homomorphisme can
\varprojlim T(A_n) \otimes_A M \longrightarrow T(M)
d'où par composition un homomorphisme canonique
\left(\varprojlim T(A_n)\right) \otimes_A M \longrightarrow T(M) ,
et dans ces derniers homomorphismes, il n'est plus nécessaire de faire mention de l'entier n_o (i.e. ils ne dépendent pas du choix de l'entier n_o tel que M \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}_{n_o}). Pour notre objet, nous aurons plutot à considérer la situation duale d'un foncteur contravariant sur \underline{C} :
T : \underline{C}^{o} \longrightarrow \underline{C}' ,
donnant lieu à des homomorphismes
(\%) \qquad T_n(M) \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(M, T_n(A_n)) \qquad (n \geqslant n_o) ,
satisfaisant les propriétés de transitivité qu'il faut pour pouvoir passer à la limite (sous réserve d'existence des \varinjlim en question)
T(M) \longrightarrow \varinjlim_n \mathrm{Hom}_A(M, T(A_n)) \longrightarrow \mathrm{Hom}_A\!\left(M, \varinjlim_n T(A_n)\right)
Pour que T soit exact à gauche, il f et s que les T_n le soient, ou encore que les homomorphismes (\%) soient des isomorphismes. Si dans \underline{C}' les limites inductives filtrantes« filtrantes » est retapé au-dessus de la ligne, avec un caret dénombrables existent et sont "exactes", à fortiori si l'axiome (Ab 5) est vérifié, alors l'exactitude à gauche de T impliqueque donc que l'homomorphisme on voit facilement que le foncteur P \rightsquigarrow \mathrm{Hom}_A(M,P) de \underline{C} dans \underline{C}A(\underline{C}') dans \underline{C}' commute aux limites inductives (filtr) dénombrables (pour tout M de présentation finie sur A). Donc sous si de plusT est exact à gauche, l'homomorphisme composé
T(M) \longrightarrow \mathrm{Hom}_A\!\left(M, \varinjlim T(A_n)\right)
est un isomorphisme, la réciproque étant triviale. Il y a lieu de résumer ce résultat dans une
Proposition 2.9.
l'énoncé de 2.9. n'est pas écrit : le feuillet porte le seul intitulé, puis reprend
généralisant 2.8. sous les conditions dites, et en déduire le
Corollaire 2.10.le second chiffre est surchargé\underline{C}, \underline{C}' étant comme dans 2.8., la catégorie des
la page s'ouvre en cours de phrase ; le début en est perdu avec la fin de la page 9
morphisme de transition H_n \to H_m induit un isomorphisme de H_n sur le sous-A-\underline{C}'-module \mathrm{Hom}_A(A_n, H_m) des "éléments annulés par I^{n+1}". Bien entendu, sous l'hypothèse sur \underline{C}' faite dans 2.9. et 2.10. on voit aussitôt directement que la catégorie de systêmes inductifs qu'on vient de décrire, est équivalente à la catégorie de A-\underline{C}'-modules mentionnée dans 2.10., qui est donc un cas particulier de 2.11.
Corollaire 2.12. Soient A un anneau comm noeth. muni d'un idéal I, \underline{C} la catégorie des A-modules de type fini de support \subset V(I) i.e. annulés par une puissance de I, \underline{C}' une catégorie abélienne à limites inductives filtrantes dénombrables exactes, (T^i) un foncteur cohomologique contravariant de \underline{C} dans \underline{C}', tel que T^i = 0 pour i < i_o, n un entier, (M_j) une famille de A-modules de type fini tel que la réunion des supports des M_j soit égale à Y = V(I). Posons pour tout entier i:
H^i = \varinjlim_m T^i(A_m) \qquad (\text{où } A_m = A/I^{m+1}) .
Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) On a T^i = 0 pour i < n.(ii) On a H^i = 0 pour i < n(iii) On a T^i(M_j) = 0 pour i < n et tout j.
Dém. L'équivalence de (i) et (iii) est mise pour mémoire, et a été vue dans 2.4. On a (i) \Rightarrow (ii), pour l'implication inverse on raisonne par récurrence sur n, c'est trivial pour n \leqslant i_o, pour n quelconque et supposant que c'est fait pour les n' < n, il reste à prouver que T^{n-1} = 0, or T^{n-1} est exact à gauche, donc en vertu de 2.9. est isomorphe à \mathrm{Hom}_A(M, H^{n-1}), donc nul,lecture douteuse : le mot ajouté à l'encre peut se lire « nul » ou « une » ; c'est « nul » que l'argument demande ce qui achève la démonstration. De plus, on voit:
Corollaire 2.13. Si les conditions équivalentes (i) à (iii) de 2.12. sont vérifiées, on a un isomorphisme fonctoriel
T^{n}(M) = \mathrm{Hom}_A(M, H^{n})l'exposant est surchargé à la machine aux deux occurrences ; « n » est ce que porte le dernier état
Il serait préférable d'inclure 2.13. dans l'énoncé de 2.12. et de démontrer par récurrence (ii) \Rightarrow (i) plus l'énoncé final 2.13., pour éviter des redites.
Corollaire 2.14.\underline{C} étant comme ci-dessus la catégorie des A-modules de type fini annulés par une puissance de I, soit T : \underline{C}^{o} \to (\mathrm{Ab}) un foncteur contravariant exact à gauche de \underline{C} dans (\mathrm{Ab}), soit (Y_i)_{i \in I} la famille des composantes irréductibles de Y= V(I), et soit (Y_i)_{i \in J} une sous-famille telle que pour tout M \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}, la nullité de T(M) (qui de toute façon ne dépend que de \mathrm{supp}\, M en vertu de 2.4.) soit équivalente à la relation "Y_i \not\subset \mathrm{supp}\, Mla barre de \not\subset est ajoutée à l'encre pour tout i \in J". Soit S= (Y_i)_{i \in J} l'ensemble des points génériques des Y_i, i \in J. Alors pour tout M \in \mathrm{Ob}\,\underline{C}, on a
\mathrm{Ass}\, T(M) = \mathrm{supp}\, M \cap S ,
en particulier le A-module T(M) est sans idéaux premiers associés imm.
En effet, posant H = \varinjlim T(A/I^n), on a un isomorphisme
T(M) \simeq \mathrm{Hom}(M,H)
d'où
(\%) \qquad \mathrm{Ass}\, T(M) = \mathrm{supp}\, M \cap \mathrm{Ass}\, H ,
et il reste à prouver la formule
\mathrm{Ass}\, H = S .Soit donc Evidemment \mathrm{Ass}\, H \subset \mathrm{supp}\, H \subset Y, il reste à prouver que si y \in Y, alors y \in \mathrm{Ass}\, H équivaut à y \in S. Or soit M = A/\underline{p}, où \underline{p} = \underline{p}_y(donc \mathrm{supp}\, M = V(\underline{p}) = \bar{y}), en vertu de (\%) on a T(M) \neq 0 (i.e. \mathrm{Ass}\, T(M) \neq \emptyset) sss \bar{y} rencontre pas\mathrm{Ass}\, H, or par hypothèse on a T(M) \neq 0 sss \mathrm{supp}\, M = V(\underline{p})\bar{y} rencontre S, ou ce qui revient au même, sss y \in S. le y porte ici une barre ajoutée à l'encre, comme aux deux lignes précédentes Cela prouve d'abord que \mathrm{Ass}\, H \subset S, (prendre y \in \mathrm{Ass}\, H), puis S \subset \mathrm{Ass}\, H puisque tout y \in S doit avoir une spécialisation dans S, donc être dans S puisque deux éléments de S dont l'un spécialise l'autre sont identiques.
Le résultat 2.10. nous incite à traduire les propriétés des modules H de support Y = V(I) en termes du foncteur exact à gauche correspondant M \rightsquigarrow \mathrm{Hom}(M,H) sur \underline{C}. Ici, nous nous contentons d'expliciter le résultat suivant:
Proposition 2.15. Avec les notations précédentes, pour que H soit un A-module injectif, il f et s que le foncteur T_H(M) = \mathrm{Hom}(M,H) sur la catégorie \underline{C} des A-modules de type fini à supp annulés par une puissance de I, soit exact à droite donc exact. En d'autres termes, 2.10. induit une équivalence entre la catégorie des foncteurs contravariants exactsT de \underline{C} dans (\mathrm{Ab}), avec la catégorie des A-modules injectifs à support \subset V(I) i.e. dont tout élément est annulé par une puissance de I.
Nécessité triviale, prouvons la suffisance, i.e. si M \rightsquigarrow \mathrm{Hom}(M,H) est exact sur la sous-catégorie \underline{C} de la catégorie des A-modules, alors ce foncteur est exact partout. On sait (Tohoku) qu'il suffit de le vérifier que pour tout sous-module N de M = A, \mathrm{Hom}(M,H) \to \mathrm{Hom}(N,H) est surjectif, donc on est ramené au cas où M, N sont surjectifsde type fini. Or un homom
u : N \longrightarrow H
a comme image un sous-module de type fini de H, donc annulé par une puissance de I, i.e. u est nul sur un sous-module I^n N de N. En vertu de Krull, I^n N contient une intersection N \cap I^m N. Or on a une inclusion
0 \longrightarrow N/N \cap I^m M \longrightarrow M/I^m M
dans \underline{C}, et u se factorise par un homomorphisme
u' : N/N\, I^m M \longrightarrow H \; ;
ce dernier par hypothèse peut se prolonger à M/I^m M, d'où un homomorphisme v : M \to H qui prolonge u, cqfd.
Corollaire 2.16. Soit K un A-module, et soit H^{o}_{I}(K) le sous-module de K formé des éléments annulés par une puissance de I. Si K est injectif, il en est de même de H^{o}_{I}(K).
En effet, lorsque M parcourt \underline{C}, on a un isomorphisme fonctoriel
\mathrm{Hom}(M, H^{o}_{I}(K)) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathrm{Hom}(M,K) ,
de sorte qu'il suffit d'appliquer le critère 2.15.
Si on rejette tout ce numéro (comme il me semble raisonnable)
Remarques 2.17. On peut généraliser 2.6. et 2.9., ainsi que leurs corollaires, au cas où on est sur un préschéma noethérien X, \underline{C} désignant la catégorie des Modules cohérents sur X à support \subset Y (Y = X dans le cas dual de 2.6.), dans le cas d'un foncteur contravariant exact à gaucheT de \underline{C} dans (\mathrm{Ab}): un tel foncteur se représente de façon se représente (de façon essentiellement unique) comme F \rightsquigarrow \mathrm{Hom}(F,H), où H est un Module quasi-cohérent sur X à support \subset Y, encore donné par H \simeq \varinjlim T(\mathcal{O}_X/I^n). Pour le voir, on note que T est "ind-représentable" par le critère général donné dans A. Grothendieck, Technique de descente et théorèmes d'existence en Géom Alg II, Sém Bourbaki ...., (qui s'applique ici grâce au fait que les objets de \underline{C} sont noethériens), et on note que \mathrm{Ind}(\underline{C}) est équivalente de façon naturelle à la catégorie de tous les Modules quasi-cohérents sur X ... Nous n'aurons sans doute pas besoin de ce fait dans ce Chapitre, où les résultats affines développés ici suffiront pour notre propos.
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le numéro de l'exposé Bourbaki est laissé en blanc sur la page, quatre points de suspension ; il n'est pas comblé ici
Propriétés (P_1) et (P_2) pour des faisceaux d'ensembles
à partir d'ici la main change : les six feuillets qui suivent sont manuscrits, d'une écriture rapide, et forment une suite numérotée par lui Définition 1, Définition 2, Proposition 3, Corollaire 4, Lemme 5. Les énoncés et les formules passent ; les phrases de liaison, souvent non
Propriétés (P_1) et (P_2) pour des faisceaux d'ensembles.
Proposition
Définition 1. Soient X un espace topologique, Y une partie fermée de X, F un faisceau d'ensembles sur X. On dit que F a la propriété (P_1) (resp. (P_2)) si le morphisme canonique
F \longrightarrow i_{*} i^{*}(F) = i_{*}(F|U)
(où i : U = X - Y \longrightarrow X morphisme canonique) est injectif (resp. bijectif).
(Cela signifie aussi que pour tout ouvert V \subset X, l'application de restriction
\Gamma(V,F) \longrightarrow \Gamma(V \cap U, F)
est injective (resp. bijective)).
N.B. regarder aussi la propriété : surjective ....
suit, entre crochets et dans la colonne de gauche, un bloc que ce passage n'a pas su lire de bout en bout : il porte « Car si on prend et », puis « \varinjlim \Gamma(X,F) = F_x », puis « injectif (resp. bijectif) »
une phrase de transition, de cinq ou six mots, non lue : elle restreint désormais l'étude aux espaces localement noethériens dont les parties fermées noethérien loc.X[« espace noethérien spécial »] et que X soit un
Définition de \mathrm{Loc}_x(X), x point d'une spécialisation. Définition de \mathrm{Loc}_x(F), F un faisceau sur un espace
Définition 2. Soit F un faisceau sur un espace noethérien local X. On dit que F a la propriété (P_1), resp. (P_2), si F. La propriété (P_3) resp. (P_4) vel. la fin de la définition n'est pas lue ; elle se poursuit par le cas Y = \{x\} et par « si x n'a »
ce premier alinéa est enfermé dans une accolade à gauche
Si X est loc. noeth. quelconque, on dit que F a la propriété (P_1) (resp. (P_2)) si pour tout x \in X, \mathrm{Loc}_x(F) sur \mathrm{Loc}_x(X) a la propriété (P_1) resp. (P_2).
Proposition 3. Soit X un espace loc. noeth. spécial, Y une partie fermée de X, F un faisceau d'ens. sur X. Conditions équivalentes:
(i) F a la propriété P_1 (resp. P_2) vel. Y(ii) Pour tout x \in Y, F a la propriété P_1 (resp. P_2) en x.
Démonstration. (On peut supposer X affine) Prouvons d'abord le
Corollaire 4. Si F satisfait à la condition P_1 (P_2) rel. à Y, alors pour tout ouvertX' \subset X et toute partie fermée Y' de X' telle que Y' \subset X' \cap Y, F|X' satisfait P_1 (P_2) rel. à Y'.
s'intéresser à l'hyp. loc. noeth. sur X
Soit U' = X - Yla ligne porte au-dessus une insertion à l'encre, non lue. On peut supposer X' = X. Soit V un quelconque de X,
Pour cela
Lemme. Pour deux parties loc. constructibles telles que E \supset E'E, E' de X au voisinage de x, il f. et s. que E i.e.
E_{(x)} \supset E'_{(x)} .
Immédiat: En Z = E' \cap \complement E, on est que si Z constructible tel que Z_{(x)} = \emptyset, alors \bar{Z} \not\ni x, i.e. X - Z est un voisinage de x. Immédiat.
On vient de voir que ceci est injectif. Prouvons qu'il est surjectif. « surjectif » est souligné Pour soit f \in \Gamma(V_{(x)}, F_{(x)})cette formule est ajoutée au-dessus de la ligne. Pour tout y \in V_{(x)}, soit W^y un voisinage ouvert de y, et f^y \in \Gamma(W^y,F), tel que (f^y)_{y'} = f_{y'} pour y' \in W^y_{(x)}.
V_{\alpha} \subset X_{(x)}
Les W^y recouvrent V_{(x)}, donc une longue rature horizontale traverse ici quatre lignes ; ce qu'elle annule n'a pas été lu
Pour y' \in V_y voisinage de y tel que (f^y)_{y'} = f_{y'}, donc à les de voisinage V_{\alpha}, W^y donc les W^y recouvrent V_{\alpha}, il existe un sous-recouvrement fini des W^y
Si F satisfait à P_1 (P_2) rel. à Y, alors \rho et \rho'' sont inj (bijectifs) puisque V \cap U = (V \cap W') \cap U, donc il en est de même de \rho' qui est inj. (bijectif) la ligne est en partie annulée d'un trait ; le sens en est rétabli du contexte ce qui prouve le corollaire.
un intitulé biffé et souligné, d'environ quatre mots, non lu
Lemme 5. On a, pour tout x \in X, et UV,\mathrm{Loc}_x(X) = \mathrm{Loc}_x(X) - \{x\}, X_{(x)} = \mathrm{Loc}_x(X), X'_x = V = \{x\}V_{(x)} = V \cap X_{(x)}, l'isomorphisme \Gamma(X_x,F) = F_x, F(X'_x(*) \qquad \Gamma(V_{(x)}, F_{(x)}) \;\simeq\; \varinjlim_{W \text{ voisinage ouvert de } x} \Gamma(W \cap V, F)la formule (*) est la seule ligne de la page écrite au net ; les lignes qui la précèdent sont un palimpseste de trois états successifs, dont la lecture ci-dessus ne retient que ce qui subsiste en dernier
On a une lecture évidente, prouvons qu'il sic est bijectif. Deux f, g \in \Gamma(W \cap V, F) qui deviennent égales dans V_{(x)}, donc ils sont nulles dans un voisinage ouvert E de V_{(x)} \subset X, je dis que E contient un ens. de la forme W' \cap V, W' ouv. de x.
Prouvons (ii) \Rightarrow (i). La question étant locale sur X, on peut supposer Xnoethérien. On procède par récurrence noethérienne « noethérienne » est souligné : pour toute partie fermée Y' \subset Y, F la propriété P_1 (P_2) rel. à Y', on supposer que pour tout Y' fermé \subset Y, Y' \neq Y, rel. à Y'F a déjà la propriété en question , et borner : prouver F ait la propriété P_1 (P_2) rel. à Y Si Y = \emptyset, c'est trivial, sinon soit une partie de Y. il faut prouver que
\Gamma(X,F) \longrightarrow \Gamma(U,F) \qquad (U = X - Y)
est injectif (bijectif). Soient f, g \in \Gamma(X,F) ayant même image dans \Gamma(U,F), prouvons qu'ils sont identiquesil x \in Y,f_x = g_x si \bar{x} \neq Yet l'hyp. P_1x local. Tout d'abord, on ils sont identiques en x, donc un voisinage de x, et par l'hyp. de récurrence (et l'hyp. P_2x \in Y)
la page 19 est le feuillet le plus travaillé du lot : trois longues ratures horizontales, deux blocs cernés, un mot biffé dans la marge gauche. La structure de l'argument — récurrence noethérienne sur les fermés de Y, réduction à l'injectivité (bijectivité) de \Gamma(X,F) \to \Gamma(U,F) — passe ; le détail des phrases, souvent non
une insertion à l'encre en tête de page, cernée et en partie biffée, n'a pas été lue éléments W_i de X recouvrant V_{(x)} et des f_i \in \Gamma(W_i,F), tels que y \in W_{i,x}\Rightarrowf_{i,y} = f_y.
Soit W_{ij} l'ens. des y \in W_i \cap W_j = W_{ij} tels que f_{i,y} = h_y. sic : le second membre est écrit h et non f_j C'est un constructible W_{ij} \cap V_{(x)} = W_{ij,x}
Donc pour i et j, relativement à X de , on peut supposer que
W'_{ij} = W_{ij} .
Alors une vraie section. OK ....
généralisation plus généraux
Prouvons maintenant (i) \Rightarrow (ii) : en effet, soit x \in Y, seul corollaire 4, F satisfait à P_1 (P_2) rel. à \bar{x}, donc avec V = X - \bar{x} pour tout voisinage ouvert W de x\Gamma(W,F) \longrightarrow \Gamma(W \cap V, F)
est injective (bij.), donc
\varinjlim_W \Gamma(W,F) \longrightarrow \Gamma(W \cap V, F)
est injective (bij.) et en vertu s'identifie à :
\Gamma(X_{(x)}, F_{(x)}) \longrightarrow \Gamma(X'_{(x)}, F_{(x)})en appliquant deux fois le Lemme 5. OK.