Cote n° 21, pages 1–28 — Lecture modernisée

Cote n° 21 · pages 1–28 · Lecture modernisée · [Chapitre] 0 III : tapuscrit et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.). — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1960-1967]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Ce dossier pose une question qu'on peut énoncer sans aucun vocabulaire technique : si je connais un objet partout sauf sur une petite partie fermée, est-ce que je le connais partout ?

Deux exemples classiques donnent les deux réponses possibles. Prenons le plan complexe et retirons-en l'origine. La fonction \(1/z\) est parfaitement holomorphe sur ce qui reste, et elle ne se prolonge pas au point retiré : ici, connaître la fonction en dehors de l'origine ne suffit pas. Prenons maintenant l'espace complexe de dimension deux et retirons-en encore l'origine. Cette fois, toute fonction holomorphe sur ce qui reste se prolonge, et de façon unique, à l'espace entier : c'est un théorème de Hartogs, et il dit que la réponse a changé. Qu'est-ce qui a changé ? Pas la nature de l'objet retiré — un point dans les deux cas — mais son épaisseur relative : dans le plan complexe, un point est de codimension un, et l'on peut tourner autour ; dans l'espace de dimension deux, il est de codimension deux, et il n'y a pas assez de place autour de lui pour qu'une fonction y prenne un comportement sauvage.

Tout le dossier est une machine à mesurer cette épaisseur, et à en tirer des conséquences. La mesure s'appelle aujourd'hui la profondeur le long de la partie fermée, et l'on trouve son nom sur la chemise de kraft qui enveloppe la seconde moitié des feuillets : « profondeur \(\geqslant 2\) pour faisceaux d'ensembles ». Deux conditions sont isolées. La première, notée \((P_1)\), dit qu'une section est déterminée par ce qu'elle vaut en dehors du fermé : deux sections qui coïncident dehors coïncident partout. La seconde, notée \((P_2)\), ajoute que toute section définie dehors provient d'une section définie partout. La première est la profondeur \(\geqslant 1\), la seconde la profondeur \(\geqslant 2\), et le théorème de Hartogs est le cas où la seconde est vérifiée.

Le problème, et c'est lui qui occupe les vingt-quatre feuillets, est que ces deux conditions ne se laissent pas vérifier directement. On voudrait les ramener à quelque chose de local — les tester point par point — et à quelque chose de calculable. Le dossier procède en deux temps, et les deux temps sont matériellement séparés : onze feuillets tapés à la machine, puis treize feuillets manuscrits.

Les feuillets tapés construisent l'outillage, et ils le font dans le cadre le plus confortable, celui où l'on peut additionner : les modules sur un anneau. Deux idées y sont mises en place. La première est un principe d'économie : pour vérifier qu'une certaine mesure est nulle, il n'est pas nécessaire de la calculer sur tous les objets, il suffit de la calculer sur une famille d'objets assez riche pour engendrer tous les autres — exactement comme on vérifie qu'une application linéaire est nulle en la testant sur une base. La seconde est un principe de représentation : une mesure qui se comporte bien vis-à-vis des suites exactes n'est pas un objet informe, c'est toujours « prendre les homomorphismes vers un seul module fixe » ; et ce module fixe se fabrique par un passage à la limite explicite. Ce module, le tapuscrit ne lui donne pas de nom ; c'est celui que l'on appelle aujourd'hui la cohomologie locale le long du fermé.

Les feuillets manuscrits appliquent l'outillage, et ils commencent par le priver de ce qui le rendait confortable. Un faisceau d'ensembles n'a pas d'addition : on ne peut ni soustraire deux sections ni parler du noyau d'une application. Les conditions \((P_1)\) et \((P_2)\), elles, gardent un sens, et la question devient : le principe de localisation survit-il ? La réponse est oui, et le prix à payer est l'introduction, en chaque point, d'un espace plus petit — l'ensemble des points dont le point considéré est une spécialisation — sur lequel la condition se lit de façon purement locale. La démonstration est une récurrence sur les parties fermées, c'est-à-dire exactement le même mouvement que celui qui, dans les feuillets tapés, servait à fabriquer les suites de composition.

Le dernier tiers du dossier fait un pas de plus, et c'est le plus intéressant. Jusque-là on prolongeait des sections ; on va maintenant prolonger des objets — un fibré, un revêtement, un torseur. La différence est qu'entre deux objets il n'y a plus égalité ou non-égalité, mais des isomorphismes, en général plusieurs. Une collection d'objets attachée à chaque ouvert, avec des restrictions, s'appelle une catégorie fibrée, et le foncteur de restriction d'un ouvert à son intersection avec le complémentaire du fermé peut être fidèle, pleinement fidèle, ou une équivalence. Là où il y avait deux conditions, il y en a donc trois : \((P_1)\), \((P_2)\), \((P_3)\). Et le dossier établit que ces trois conditions se lisent sur les trois premiers groupes de cohomologie locale \(H^0_Y\), \(H^1_Y\), \(H^2_Y\) — la troisième faisant intervenir un degré de plus que la seconde, exactement comme la seconde en fait intervenir un de plus que la première. Le dernier feuillet en donne le cas le plus net, celui des torseurs sous un faisceau de groupes, où \(H^0_Y\) et \(H^1_Y\) apparaissent tout simplement comme le noyau et le conoyau de l'application dont on mesurait au départ l'injectivité et la bijectivité.

Reste à dire ce que ces feuillets sont, matériellement, car cela fait partie de ce qu'on y lit. La chemise porte, de sa main, « Notes pour Dieud. §9 » : ce sont des notes destinées à Dieudonné, c'est-à-dire de la matière première pour un chapitre des Éléments. Et le tapuscrit est un texte qui se parle à lui-même de sa propre rédaction. La première ligne du premier feuillet propose déjà de déplacer le numéro ailleurs. Une note marginale, deux fois répétée, dit « déployer ». Une phrase avoue qu'« il aurait fallu déployer la formule également dans 2.4 ». Une autre : « Tout ceci devrait figurer dans un numéro à part au Chap 0 ». Une autre encore : « Il serait préférable d'inclure 2.13 dans l'énoncé de 2.12 […] pour éviter des redites ». Et au milieu du dernier feuillet tapé, une ligne entière est biffée à la machine, qui commençait : « Si on rejette tout ce numéro (comme il me semble raisonnable) ». Il est en train d'écrire, et simultanément de plaider contre l'existence de ce qu'il écrit. On trouve même, au détour d'un corollaire, la remarque qu'il aurait été « canularesque » d'énoncer la proposition sous sa forme contravariante. La seconde moitié est l'exact opposé : une écriture rapide où les énoncés et les formules passent et où les phrases qui les relient, très souvent, ne passent pas. Ce sont deux régimes de travail, et le dossier les a conservés côte à côte.

Les noms sous lesquels on cherchera la suite : cohomologie locale et profondeur, prolongement à travers un fermé, théorème d'Eilenberg–Watts, théorie de Matlis des modules injectifs, espaces spectraux, champs et descente, et — pour le dernier feuillet — cohomologie non abélienne.

Keywords — local cohomology, depth along a closed subset, extension across a closed subset, Hartogs phenomenon, cohomological functor, system of generators, noetherian object, Eilenberg-Watts theorem, tensoring an abelian category over a ring, finitely presented module, Matlis theory, injective hull, associated primes, embedded prime, torsion functor, Artin-Rees lemma, ind-representable functor, coherent sheaf with support in a closed set, sheaf of sets, spectral space, generization, localisation of a space at a point, fibered category, stack, pseudo-limit, 2-colimit, faithful functor, fully faithful functor, noetherian induction, constructible set, torsor, principal homogeneous space, nonabelian cohomology, Lefschetz condition

3–28

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations.

Pages 3 à 5, tapuscrit : tester l'annulation d'un foncteur cohomologique sur un système de générateurs. Propositions 2.1 à 2.5.
Pages 5 à 7, tapuscrit : le produit tensoriel \(P \otimes_A M\) d'un module par un objet d'une catégorie abélienne, et la caractérisation des foncteurs exacts à droite par leur valeur en \(A\). Proposition 2.6.
Pages 8 à 10, tapuscrit : le cas contravariant, le passage à la limite sur \(A_n = A/I^{n+1}\), et le module \(H\) qui représente un foncteur exact à gauche. Les énoncés 2.7 à 2.11, dont aucun n'est intégralement sur les feuillets.
Pages 10 et 11, tapuscrit : le critère d'annulation en termes de \(H\) (2.12, 2.13), et les idéaux premiers associés de \(H\) (2.14).
Pages 11 à 13, tapuscrit : \(H\) injectif si et seulement si le foncteur est exact (2.15), la stabilité des injectifs par torsion (2.16), et la généralisation aux faisceaux cohérents (2.17).
Pages 15 à 20, manuscrit : les propriétés \((P_1)\) et \((P_2)\) pour un faisceau d'ensembles, la localisation en un point, et l'équivalence entre la forme globale et la forme ponctuelle. Définitions 1 et 2, Proposition 3, Corollaire 4, Lemme 5.
Pages 21 à 24, manuscrit : les trois conditions \((P_1)\), \((P_2)\), \((P_3)\) pour une catégorie fibrée, leur traduction en termes des faisceaux \(\mathcal{H}om(f,g)\), la catégorie fibrée induite en un point, et l'énoncé global-ponctuel. Définition 6, Proposition 7, Corollaire 8.
Pages 25 à 27, manuscrit : les démonstrations, la récurrence noethérienne, et la traduction des trois conditions en l'annulation des faisceaux de cohomologie locale. Corollaire 10.
Page 28, manuscrit : le cas des torseurs sous un faisceau de groupes. Proposition 9.

La numérotation est la sienne, et elle est en désordre ; elle n'est pas remise en ordre ici. Le tapuscrit va de 2.1 à 2.17 sans rupture, mais quatre de ses numéros — 2.7, 2.8, 2.9, 2.11 — ne portent sur les feuillets aucun énoncé qu'on puisse lire : 2.9 n'a que son intitulé, 2.10 est coupé par la fin du feuillet 9, et 2.7, 2.8, 2.11 ne sont connus que par les renvois que le texte leur fait. Le manuscrit, lui, se numérote Définition 6 (page 21), Proposition 7 et Corollaire 8 (page 24), Corollaire 10 (page 27), puis Proposition 9 (page 28) : le 9 vient après le 10, sur le dernier feuillet. Les sections ci-dessous suivent l'ordre des feuillets, non celui des numéros ; le Corollaire 10 y est donc lu avant la Proposition 9, et c'est d'ailleurs heureux, car la seconde est ce qui permet de corriger le premier.

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire. Trois liens, qu'aucun feuillet n'énonce.

Le premier, et c'est la charnière du dossier. Le tapuscrit fabrique, à la page 9, un objet \[ H^{i} \;=\; \varinjlim_{m} T^{i}(A_{m}) , \qquad A_{m} = A/I^{m+1} , \] et il en fait le représentant du foncteur exact à gauche \(T\). Il ne lui donne aucun nom et n'écrit jamais de cohomologie. Le manuscrit, lui, écrit à la page 27 des faisceaux \(\underline{H}^{i}_{Y}(F)\) sans dire d'où ils viennent. Ce sont le même objet : pour \(T^{i}(M) = \mathrm{Ext}^{i}(M,F)\), la limite inductive des \(T^{i}(A_{m})\) est la cohomologie locale de \(F\) le long de \(Y = V(I)\). Le tapuscrit est la construction de l'objet dans lequel le manuscrit énonce son critère. C'est la seule raison pour laquelle les deux paquets sont dans la même chemise, et ni l'un ni l'autre ne le dit.

Le deuxième : la récurrence noethérienne est un seul mouvement, employé deux fois dans deux catégories différentes. À la page 3, pour montrer qu'un objet admet une suite de composition, on prend un sous-objet maximal qui en admet une et l'on montre qu'il est le tout ; aux pages 19 et 26, pour établir une propriété relativement à un fermé \(Y\), on la suppose acquise pour tout fermé strictement plus petit et l'on descend en un point maximal de \(Y\). Le tapuscrit démontre la forme abstraite de ce que le manuscrit utilise sous forme topologique.

Le troisième : la note marginale de la page 15, « N.B. regarder aussi la propriété : surjective », reste sans réponse dans la partie consacrée aux faisceaux d'ensembles. Elle est pourtant la question que les pages 24 à 27 traitent exclusivement. Car pour une catégorie fibrée, la surjectivité essentielle — tout objet au-dessus de \(V \cap U\) est la restriction d'un objet au-dessus de \(V\) — est précisément ce que la condition \((P_3)\) ajoute à \((P_2)\), et c'est le seul des trois cas dont la démonstration coûte quelque chose.

Les notations, valables pour tout le dossier. \(A\) est un anneau commutatif noethérien, \(I\) un idéal, \(A_n = A/I^{n+1}\), \(X = \mathrm{Spec}\, A\), \(Y = V(I)\) la partie fermée qu'il définit, \(U = X - Y\) son complémentaire et \(i : U \to X\) l'inclusion. Le complémentaire est noté \(U\) partout : le tapuscrit ne le nomme pas, les pages 15 à 20 l'écrivent \(U\) et les pages 21 à 28 l'écrivent \(\mathcal{U}\). Les objets d'une catégorie abélienne sont notés \(M\), \(N\) ; la lettre \(F\) est réservée aux faisceaux et \(\mathcal{F}\) aux catégories fibrées, alors que le tapuscrit écrit \(F\) pour un objet quelconque de \(\underline{C}\). Ses catégories \(\underline{C}\), \(\underline{C}'\), \(\underline{G}\) sont écrites \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{C}'\), \(\mathcal{G}\). Pour un point \(x\) d'un espace \(X\), \(X_{(x)}\) désigne l'ensemble des générisations de \(x\) — les points dont \(x\) est une spécialisation — muni de la topologie induite, ce qu'il note \(\mathrm{Loc}_x(X)\), et \(X'_{(x)} = X_{(x)} - \{x\}\). Le faisceau des homomorphismes est noté \(\mathcal{H}om\).

3–13

I. Le tapuscrit : l'outillage additif (pages 3 à 13)

3–5

Tester l'annulation sur un système de générateurs (pages 3 à 5)

Le tapuscrit s'ouvre sur une remarque de rédaction — le numéro pourrait aussi bien figurer au chapitre \(0_{\mathrm{III}}\), qui contiendrait alors certains des sorites du paragraphe 7 — puis entre immédiatement dans le principe d'économie qui gouverne toute la première moitié.¹

Proposition 2.1. Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie abélienne et \(\mathcal{G} \subset \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\) une partie telle que tout objet de \(\mathcal{C}\) admette une suite de composition finie dont les facteurs sont isomorphes à des quotients d'objets de \(\mathcal{G}\). Soit \(\mathcal{C}'\) une seconde catégorie abélienne.

(i)Un foncteur additif exact à droite \(T : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) est nul si et seulement s'il est nul sur les objets de \(\mathcal{G}\).
(ii)Soit \((T^{i})\) un foncteur cohomologique de \(\mathcal{C}\) dans \(\mathcal{C}'\) tel que \(T^{i} = 0\) pour \(i > i_{0}\), et soit \(n\) un entier. Alors \(T^{i} = 0\) pour \(i > n\) si et seulement si \(T^{i}(M) = 0\) pour tout \(M \in \mathcal{G}\) et tout \(i > n\).

La démonstration de (ii) est une récurrence descendante sur \(n\), et c'est sa mécanique qui mérite d'être retenue, car c'est elle que le dossier réemploiera. Pour \(n \geqslant i_{0}\) l'énoncé est vide. Supposons-le acquis au rang \(n+1\) et supposons \(T^{i}(M) = 0\) pour \(M \in \mathcal{G}\) et \(i > n\). L'hypothèse de récurrence donne alors \(T^{i} = 0\) pour \(i > n+1\) ; mais un foncteur cohomologique dont tous les termes de degré supérieur s'annulent est exact à droite en son plus haut degré non trivial, donc \(T^{n+1}\) est exact à droite, et (i) le rend nul. La suite exacte longue fait tomber les degrés un à un, et chaque degré est ramené au cas (i).

Corollaire 2.2. Sous les mêmes hypothèses, soit \((T^{i})\) un foncteur cohomologique contravariant de \(\mathcal{C}\) dans \(\mathcal{C}'\) tel que \(T^{i} = 0\) pour \(i < i_{0}\), et soit \(n\) un entier. Alors \(T^{i} = 0\) pour \(i < n\) si et seulement si \(T^{i}(M) = 0\) pour tout \(M \in \mathcal{G}\) et tout \(i < n\).

C'est 2.1 (ii) appliqué à \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'^{\,\circ}\) : un foncteur contravariant de \(\mathcal{C}\) dans \(\mathcal{C}'\) est un foncteur covariant de \(\mathcal{C}\) dans \(\mathcal{C}'^{\,\circ}\), l'exactitude s'y renverse, et la suite exacte longue y est lue de haut en bas ; en posant \(S^{j} = T^{-j}\) on est exactement dans les hypothèses de 2.1 (ii) avec \(-i_{0}\) et \(-n\).² Il ajoute, et c'est sa manière : « pour qu'il n'y ait pas de jaloux, il faudrait aussi répéter (i) » — de fait, l'énoncé contravariant de (i) n'est nulle part écrit, et le Corollaire 2.3 le citera pourtant sous la forme « les conclusions de 2.1 (i)(ii) et 2.2 (i)(ii) ».³ Il note aussi qu'« il aurait été canularesque d'énoncer 2.1 avec des foncteurs contravariants ».

Corollaire 2.3. Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{C}'\) deux catégories abéliennes et \(\mathcal{G} \subset \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\). On suppose que les objets de \(\mathcal{C}\) sont noethériens, c'est-à-dire satisfont la condition de chaîne ascendante pour les sous-objets, et que \(\mathcal{G}\) est un système de générateurs de \(\mathcal{C}\), au sens suivant : pour tout objet \(N \neq 0\) de \(\mathcal{C}\), il existe \(M \in \mathcal{G}\) et un homomorphisme non nul \(M \to N\).⁴ Alors les conclusions de 2.1 et de 2.2 valent.

La démonstration est le premier des deux emplois de la récurrence noethérienne annoncés plus haut. Soit \(N\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \(N'\) un sous-objet maximal parmi ceux qui admettent une suite de composition du type voulu — il en existe, car \(0\) en admet une et les objets sont noethériens. Si \(N' \neq N\), alors \(N/N' \neq 0\), donc il existe \(M \in \mathcal{G}\) et un homomorphisme non nul \(M \to N/N'\) ; l'image inverse dans \(N\) de son image est un sous-objet strictement plus grand que \(N'\) qui admet encore une telle suite, ce qui contredit la maximalité. Donc \(N' = N\).

Exemple 2.4. Soient \(A\) un anneau commutatif noethérien, \(I\) un idéal, \(X = \mathrm{Spec}\, A\), \(Y = V(I)\). Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des \(A\)-modules de type fini dont tout élément est annulé par une puissance de \(I\) — de façon équivalente, la catégorie des modules cohérents sur \(X\) à support contenu dans \(Y\).⁵ Ses objets sont noethériens, et pour \(M \in \mathcal{C}\) : \[ M \text{ est un générateur de } \mathcal{C} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{supp}\, M = Y . \]

La nécessité : si \(\mathrm{supp}\, M \neq Y\), une composante irréductible \(Y_{j}\) de \(Y\) n'est pas contenue dans \(\mathrm{supp}\, M\) ; en prenant \(N = \mathcal{O}_{Y_{j}}\) pour la structure réduite induite, on a \(\mathrm{Hom}(M,N) = 0\) avec \(N \neq 0\). La suffisance repose sur la formule \[ \mathrm{Ass}\,\mathcal{H}om(M,N) \;=\; \mathrm{supp}\, M \cap \mathrm{Ass}\, N , \] valable pour \(M\) de type fini : si \(\mathrm{supp}\, M = Y\) et si \(N\) est quasi-cohérent de support contenu dans \(Y\), alors \(\mathrm{Ass}\, N \subset Y = \mathrm{supp}\, M\), de sorte que \(\mathrm{Hom}(M,N) = 0\) force \(\mathrm{Ass}\, N = \emptyset\), donc \(N = 0\). Le même argument montre qu'une famille \((M_{j})\) d'objets de \(\mathcal{C}\) est un système de générateurs si et seulement si \[ \bigcup_{j} \mathrm{supp}\, M_{j} \;=\; Y , \] et donc — c'est le point — que pour vérifier l'annulation d'un foncteur comme dans 2.1 ou 2.2, il suffit de le tester sur les \(M_{j}\), en particulier sur un seul module de support \(Y\).

Exemple 2.5. La même chose sur un schéma : \(X\) noethérien quasi-compact muni d'un faisceau ample \(\mathcal{O}_{X}(1)\), \(Y\) une partie fermée, \(\mathcal{C}\) la catégorie des faisceaux cohérents à support contenu dans \(Y\). Si \((M_{j})\) est une famille d'objets de \(\mathcal{C}\) telle que \(\bigcup_{j} \mathrm{supp}\, M_{j} = Y\), alors les \(M_{j}(-n)\) pour \(n \geqslant N\) forment un système de générateurs de \(\mathcal{C}\), et même de la catégorie de tous les modules quasi-cohérents de support contenu dans \(Y\).⁶ En effet, si \(F\) est quasi-cohérent non nul de support contenu dans \(Y\), on se place sur un ouvert affine où \(F \neq 0\) et 2.4 donne \(\mathcal{H}om(M_{j},F) \neq 0\) pour un \(j\) convenable ; l'amplitude fournit alors des sections non nulles de \(\mathcal{H}om(M_{j},F)(n)\) pour \(n\) grand, c'est-à-dire des homomorphismes non nuls \(M_{j}(-n) \to F\).

5–7

Le produit tensoriel \(P \otimes_A M\), et les foncteurs exacts à droite (pages 5 à 7)

Le tapuscrit change alors d'objet. \(A\) est maintenant un anneau quelconque, non nécessairement commutatif, \(\mathcal{C}\) une catégorie abélienne de \(A\)-modules à gauche — par exemple n'importe quelle sous-catégorie pleine de la catégorie des \(A\)-modules stable par noyaux et conoyaux — et \(\mathcal{C}'\) une catégorie abélienne.⁷

Soit \(P\) un objet de \(\mathcal{C}'\) muni d'une structure de \(A\)-module à droite, c'est-à-dire d'un homomorphisme d'anneaux \(A^{\circ} \to \mathrm{End}(P)\). Pour tout \(Q \in \mathcal{C}'\), le groupe \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}'}(P,Q)\) est alors un \(A\)-module à gauche, par \(a \cdot u = u \circ \rho_{a}\). On pose, lorsqu'il existe, \(P \otimes_{A} M\) pour l'objet de \(\mathcal{C}'\) défini par la propriété universelle \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}'}(P \otimes_{A} M,\, Q) \;=\; \mathrm{Hom}_{A}(M,\, \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}'}(P,Q)) , \] fonctorielle en \(Q\).

Cet objet n'existe pas toujours, et le feuillet énumère exactement ce qui le fait exister. D'abord \(P \otimes_{A} A_{g} \simeq P\), où \(A_{g}\) est \(A\) vu comme \(A\)-module à gauche. Ensuite, si \(M'' \to M' \to M \to 0\) est exacte et si \(P \otimes_{A} M'\) et \(P \otimes_{A} M''\) existent, alors \(P \otimes_{A} M\) existe et \[ P \otimes_{A} M'' \longrightarrow P \otimes_{A} M' \longrightarrow P \otimes_{A} M \longrightarrow 0 \] est exacte : sous réserve d'existence, \(P \otimes_{A} M\) est exact à droite en \(M\). Enfin le foncteur commute aux limites inductives quelconques — pas seulement filtrantes — au sens précis suivant : si les \(P \otimes_{A} M_{j}\) existent, alors \(P \otimes_{A} \varinjlim M_{j}\) existe si et seulement si \(\varinjlim (P \otimes_{A} M_{j})\) existe, et les deux sont canoniquement isomorphes. En combinant : \(P \otimes_{A} M\) existe dès que \(M\) est de présentation finie, car il existe pour \(A_{g}^{(I)}\) avec \(I\) fini, donc pour un conoyau \(A_{g}^{(I)} \to A_{g}^{(J)}\) ; et il existe sans restriction sur \(M\) si \(\mathcal{C}'\) admet les sommes directes quelconques. La construction se lit sur une présentation : la matrice qui présente \(M\) définit un morphisme \(P^{(I)} \to P^{(J)}\) dont le conoyau est l'objet cherché.⁸

La version duale est obtenue en remplaçant \(\mathcal{C}'\) par l'opposée d'une catégorie abélienne \(\mathcal{C}_{1}\) : les \(A\)-\(\mathcal{C}'\)-modules à droite sont alors les \(A\)-\(\mathcal{C}_{1}\)-modules à gauche, et le produit tensoriel s'écrit, en termes de \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathrm{Hom}_{A}(M,P)\), défini directement par \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_{1}}(Q,\, \mathrm{Hom}_{A}(M,P)) \;=\; \mathrm{Hom}_{A}(M,\, \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_{1}}(Q,P)) . \] « Il y aurait donc lieu de développer les deux formalismes en parallèle », l'un sur les produits tensoriels, l'autre sur les Hom.⁹

Soit alors \(\mathcal{C}\) la catégorie des \(A\)-modules à gauche de présentation finie. Tout \(A\)-\(\mathcal{C}'\)-module à droite \(P\) donne un foncteur additif \(M \rightsquigarrow P \otimes_{A} M\) de \(\mathcal{C}\) dans \(\mathcal{C}'\), et inversement :

Proposition 2.6. Soit \(T : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) un foncteur additif, et soit \(P = T(A)\), muni de sa structure naturelle de \(A\)-module à droite. L'homomorphisme canonique \(P \otimes_{A} M \to T(M)\) est un isomorphisme si et seulement si \(T\) est exact à droite.

C'est le théorème qu'on appelle aujourd'hui d'Eilenberg–Watts, ici sous la forme où la catégorie but est une catégorie abélienne quelconque et non la catégorie des modules sur un anneau.¹⁰

Le feuillet 7 n'a pu être lu de bout en bout ; il porte encore le numéro 2.7, dont l'énoncé n'est pas accessible.¹¹ Un homomorphisme canonique \(P \otimes_{A} M \to \,?\) y est amorcé dont le second membre n'a pas été lu.

8–10

Le cas contravariant, et le module qui représente (pages 8 à 10)

La page 8 reprend en cours de phrase, sur le cas contravariant : un foncteur \(T : \mathcal{C}^{\circ} \to \mathcal{C}'\), ce qui se ramène au précédent en remplaçant \(\mathcal{C}'\) par \(\mathcal{C}'^{\,\circ}\). La contravariance retourne la structure de module : \(T(A)\) porte maintenant une structure de \(A\)-module à gauche, et l'homomorphisme canonique, fonctoriel en \(M\), est \[ T(M) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A}(M, T(A)) . \] C'est un isomorphisme si et seulement si \(T\) est exact à gauche, c'est-à-dire transforme une suite exacte \(M'' \to M' \to M \to 0\) de \(\mathcal{C}\) en une suite exacte \(0 \to T(M) \to T(M') \to T(M'')\). On obtient ainsi une équivalence entre la catégorie des foncteurs contravariants exacts à gauche de \(\mathcal{C}\) dans \(\mathcal{C}'\) et la catégorie, notée \(A(\mathcal{C}')\), des objets de \(\mathcal{C}'\) munis d'une structure de \(A\)-module à gauche.¹² Le résultat s'étend à la catégorie de tous les \(A\)-modules, sans hypothèse noethérienne sur \(A\), pourvu que les produits quelconques existent dans \(\mathcal{C}'\).

Vient alors le passage qui donne au tapuscrit sa raison d'être. On revient à la catégorie \(\mathcal{C}\) de l'exemple 2.4 : les \(A\)-modules de type fini annulés par une puissance de \(I\). Pour \(n \geqslant 0\), soit \(\mathcal{C}_{n}\) la sous-catégorie pleine des modules de type fini sur \(A\) annulés par \(I^{n+1}\), équivalente à la catégorie des modules de type fini sur \(A_{n} = A/I^{n+1}\). Le foncteur \(\mathcal{C}_{n} \to \mathcal{C}\) est exact et \(\mathcal{C}\) est réunion filtrante des \(\mathcal{C}_{n}\).¹³

Un foncteur additif \(T : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) est déterminé par ses restrictions \(T_{n}\) aux \(\mathcal{C}_{n}\), et ce qui précède fournit pour chacune un homomorphisme fonctoriel \(T(A_{n}) \otimes_{A} M \to T_{n}(M)\). Pour \(M\) fixé dans un \(\mathcal{C}_{n_{0}}\), la famille \((T(A_{n}) \otimes_{A} M)_{n \geqslant n_{0}}\) est un système projectif, dont le système projectif constant de valeur \(T(M)\) est un quotient ; sous réserve d'existence des limites, on obtient \[ \left(\varprojlim_{n} T(A_{n})\right) \otimes_{A} M \longrightarrow T(M) , \] et cet homomorphisme ne dépend pas du choix de \(n_{0}\) tel que \(M \in \mathcal{C}_{n_{0}}\).

C'est cependant la situation duale dont le dossier aura besoin. Pour \(T : \mathcal{C}^{\circ} \to \mathcal{C}'\) contravariant, on a des homomorphismes \[ (\ast) \qquad T_{n}(M) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A}(M, T_{n}(A_{n})) \qquad (n \geqslant n_{0}) , \] compatibles au passage à la limite, d'où \[ T(M) \longrightarrow \varinjlim_{n} \mathrm{Hom}_{A}(M, T(A_{n})) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A}\!\left(M, \varinjlim_{n} T(A_{n})\right) . \] Pour que \(T\) soit exact à gauche, il faut et il suffit que les \(T_{n}\) le soient, ou encore que les \((\ast)\) soient des isomorphismes. Et si dans \(\mathcal{C}'\) les limites inductives filtrantes dénombrables existent et sont exactes — a fortiori si l'axiome (AB 5) est vérifié — le foncteur \(P \rightsquigarrow \mathrm{Hom}_{A}(M,P)\) commute à ces limites pour tout \(M\) de présentation finie sur \(A\), de sorte que l'homomorphisme composé \[ T(M) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A}\!\left(M, \varinjlim_{n} T(A_{n})\right) \] est un isomorphisme. La réciproque est triviale.

Proposition 2.9. Soient \(A\) un anneau commutatif noethérien, \(I\) un idéal, \(\mathcal{C}\) la catégorie des \(A\)-modules de type fini annulés par une puissance de \(I\), et \(\mathcal{C}'\) une catégorie abélienne où les limites inductives filtrantes dénombrables existent et sont exactes. Pour un foncteur contravariant \(T : \mathcal{C}^{\circ} \to \mathcal{C}'\), les conditions suivantes sont équivalentes : \(T\) est exact à gauche ; l'homomorphisme canonique \(T(M) \to \mathrm{Hom}_{A}(M, H)\) est un isomorphisme pour tout \(M \in \mathcal{C}\), où l'on a posé \[ H \;=\; \varinjlim_{n} T(A_{n}) . \]

¹⁴

La suite du feuillet 9 est perdue avec son bas, et la page 10 s'ouvre en cours de phrase. Ce qu'on en lit décrit la catégorie qui apparaît dans le Corollaire 2.10 : les systèmes inductifs \((H_{n})\) dont chaque morphisme de transition \(H_{n} \to H_{m}\) induit un isomorphisme de \(H_{n}\) sur le sous-objet \(\mathrm{Hom}_{A}(A_{n}, H_{m})\) des « éléments annulés par \(I^{n+1}\) ». Sous les hypothèses de 2.9, cette catégorie est équivalente à la catégorie des \(A\)-\(\mathcal{C}'\)-modules dont 2.10 parle, laquelle est donc un cas particulier d'un énoncé 2.11.¹⁵

10–11

Le critère d'annulation, et les premiers associés (pages 10 et 11)

Corollaire 2.12. Soient \(A\) un anneau commutatif noethérien, \(I\) un idéal, \(Y = V(I)\), \(\mathcal{C}\) la catégorie des \(A\)-modules de type fini annulés par une puissance de \(I\), et \(\mathcal{C}'\) une catégorie abélienne où les limites inductives filtrantes dénombrables sont exactes. Soit \((T^{i})\) un foncteur cohomologique contravariant de \(\mathcal{C}\) dans \(\mathcal{C}'\) tel que \(T^{i} = 0\) pour \(i < i_{0}\), soit \(n\) un entier, et soit \((M_{j})\) une famille de \(A\)-modules de type fini telle que \(\bigcup_{j} \mathrm{supp}\, M_{j} = Y\). Posons \[ H^{i} \;=\; \varinjlim_{m} T^{i}(A_{m}) . \] Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i)\(T^{i} = 0\) pour \(i < n\) ;
(ii)\(H^{i} = 0\) pour \(i < n\) ;
(iii)\(T^{i}(M_{j}) = 0\) pour \(i < n\) et tout \(j\).

L'équivalence de (i) et (iii) est 2.2 combinée à 2.4 : la famille \((M_{j})\) est un système de générateurs. L'implication (i) \(\Rightarrow\) (ii) est immédiate. Pour (ii) \(\Rightarrow\) (i) on procède par récurrence sur \(n\) ; c'est vide pour \(n \leqslant i_{0}\), et supposant l'énoncé acquis pour tous les \(n' < n\), il reste à voir que \(T^{n-1} = 0\). Or les degrés inférieurs étant nuls, la suite exacte longue rend \(T^{n-1}\) exact à gauche, donc 2.9 donne \(T^{n-1}(M) \simeq \mathrm{Hom}_{A}(M, H^{n-1})\), qui est nul puisque \(H^{n-1} = 0\).¹⁶

Corollaire 2.13. Sous ces conditions, on a un isomorphisme fonctoriel \[ T^{n}(M) \;=\; \mathrm{Hom}_{A}(M, H^{n}) . \] Il serait préférable, note-t-il aussitôt, d'inclure 2.13 dans l'énoncé de 2.12 et de démontrer par récurrence (ii) \(\Rightarrow\) (i) plus l'énoncé final 2.13, pour éviter des redites. La remarque est juste : la récurrence ci-dessus produit 2.13 en chemin.

Corollaire 2.14. \(\mathcal{C}\) étant comme ci-dessus, soit \(T : \mathcal{C}^{\circ} \to (\mathrm{Ab})\) un foncteur contravariant exact à gauche. Soit \((Y_{j})_{j \in I}\) la famille des composantes irréductibles de \(Y = V(I)\), et soit \(J \subset I\) une sous-famille telle que, pour tout \(M \in \mathcal{C}\), la nullité de \(T(M)\) — qui de toute façon ne dépend que de \(\mathrm{supp}\, M\), en vertu de 2.4 — équivaille à : \(Y_{j} \not\subset \mathrm{supp}\, M\) pour tout \(j \in J\). Soit \(S\) l'ensemble des points génériques des \(Y_{j}\), \(j \in J\). Alors, pour tout \(M \in \mathcal{C}\), \[ \mathrm{Ass}\, T(M) \;=\; \mathrm{supp}\, M \cap S ; \] en particulier le \(A\)-module \(T(M)\) n'a pas d'idéal premier associé immergé.¹⁷

Posons \(H = \varinjlim_{n} T(A/I^{n})\).¹⁸ Par 2.9, \(T(M) \simeq \mathrm{Hom}(M,H)\), d'où \[ (\ast\ast) \qquad \mathrm{Ass}\, T(M) \;=\; \mathrm{supp}\, M \cap \mathrm{Ass}\, H , \] et tout revient à établir \(\mathrm{Ass}\, H = S\). On a d'emblée \(\mathrm{Ass}\, H \subset \mathrm{supp}\, H \subset Y\). Soit \(y \in Y\) et \(M = A/\mathfrak{p}_{y}\), de sorte que \(\mathrm{supp}\, M = \overline{\{y\}}\). Par \((\ast\ast)\), \(T(M) \neq 0\) équivaut à ce que \(\overline{\{y\}}\) rencontre \(\mathrm{Ass}\, H\) ; par hypothèse, \(T(M) \neq 0\) équivaut à ce que \(\overline{\{y\}}\) rencontre \(S\). Donc, pour tout \(y \in Y\) : \[ \overline{\{y\}} \cap \mathrm{Ass}\, H \neq \emptyset \quad\Longleftrightarrow\quad \overline{\{y\}} \cap S \neq \emptyset . \] Prenons \(y \in \mathrm{Ass}\, H\) : il existe alors \(z \in S\) avec \(z \in \overline{\{y\}}\), c'est-à-dire \(\overline{\{z\}} \subset \overline{\{y\}}\) ; mais \(\overline{\{z\}}\) est une composante irréductible de \(Y\) et \(\overline{\{y\}} \subset Y\), donc \(\overline{\{y\}} = \overline{\{z\}}\) et \(y = z \in S\). D'où \(\mathrm{Ass}\, H \subset S\). Réciproquement, pour \(z \in S\), \(\overline{\{z\}}\) rencontre \(S\), donc rencontre \(\mathrm{Ass}\, H\) en un point \(w\) ; par ce qui précède \(w \in S\), et deux éléments de \(S\) dont l'un spécialise l'autre sont égaux, donc \(w = z\) et \(z \in \mathrm{Ass}\, H\).¹⁹ L'énoncé dit, en langage d'aujourd'hui, qu'un module de \(I\)-torsion représentant un foncteur exact à gauche est une somme d'enveloppes injectives indexée par des points génériques : pas de premier immergé.

11–13

Injectivité, et la généralisation aux faisceaux (pages 11 à 13)

Proposition 2.15. Avec les notations précédentes, pour que \(H\) soit un \(A\)-module injectif, il faut et il suffit que le foncteur \(T_{H}(M) = \mathrm{Hom}(M,H)\) sur la catégorie \(\mathcal{C}\) des \(A\)-modules de type fini annulés par une puissance de \(I\) soit exact à droite, donc exact. Autrement dit, 2.10 induit une équivalence entre la catégorie des foncteurs contravariants exacts de \(\mathcal{C}\) dans \((\mathrm{Ab})\) et la catégorie des \(A\)-modules injectifs dont tout élément est annulé par une puissance de \(I\).

La nécessité est triviale. Pour la suffisance, il suffit — c'est le critère de Baer, qu'il cite sous le nom de Tohoku — de vérifier que pour tout sous-module \(N\) de \(A\), l'application \(\mathrm{Hom}(A,H) \to \mathrm{Hom}(N,H)\) est surjective, ce qui ramène au cas où \(M\) et \(N\) sont de type fini. Soit donc \(u : N \to H\). Son image est un sous-module de type fini de \(H\), donc annulé par une puissance de \(I\) : \(u\) est nul sur \(I^{n}N\). Par le lemme d'Artin–Rees, il existe \(m\) tel que \(N \cap I^{m}M \subset I^{n}N\).²⁰ On a alors une injection \(0 \to N/(N \cap I^{m}M) \to M/I^{m}M\) dans \(\mathcal{C}\), et \(u\) se factorise par un homomorphisme \(u' : N/(N \cap I^{m}M) \to H\), lequel par hypothèse se prolonge à \(M/I^{m}M\) ; d'où \(v : M \to H\) prolongeant \(u\).

Corollaire 2.16. Soit \(K\) un \(A\)-module et soit \(H^{0}_{I}(K)\) le sous-module des éléments annulés par une puissance de \(I\). Si \(K\) est injectif, \(H^{0}_{I}(K)\) l'est aussi.

En effet, lorsque \(M\) parcourt \(\mathcal{C}\), l'inclusion induit un isomorphisme fonctoriel \(\mathrm{Hom}(M, H^{0}_{I}(K)) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(M,K)\) — un homomorphisme d'un module de \(I\)-torsion de type fini atterrit dans la partie de \(I\)-torsion — et il suffit d'appliquer 2.15. C'est l'énoncé que le foncteur de \(I\)-torsion préserve les injectifs.²¹

Juste avant la dernière remarque, une ligne entière est biffée à la machine : « Si on rejette tout ce numéro (comme il me semble raisonnable) ». Le numéro n'a pas été rejeté ; il est dans la chemise.

Remarques 2.17. On peut généraliser 2.6, 2.9 et leurs corollaires au cas d'un préschéma noethérien \(X\), \(\mathcal{C}\) désignant la catégorie des modules cohérents sur \(X\) à support contenu dans \(Y\) — avec \(Y = X\) dans le cas de 2.6. Pour un foncteur contravariant exact à gauche \(T\) de \(\mathcal{C}\) dans \((\mathrm{Ab})\), on a une représentation, essentiellement unique, \[ T \;\simeq\; \big(F \rightsquigarrow \mathrm{Hom}(F,H)\big) , \qquad H \simeq \varinjlim_{n} T(\mathcal{O}_{X}/I^{n}) , \] où \(H\) est quasi-cohérent à support contenu dans \(Y\). La démonstration tient en deux observations : \(T\) est ind-représentable, par le critère général de Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique, II, applicable ici parce que les objets de \(\mathcal{C}\) sont noethériens ;²² et \(\mathrm{Ind}(\mathcal{C})\) est naturellement équivalente à la catégorie de tous les modules quasi-cohérents sur \(X\) à support contenu dans \(Y\) — ce qui est la forme catégorique du fait qu'un module quasi-cohérent est limite inductive filtrante de modules cohérents. Il conclut : « Nous n'aurons sans doute pas besoin de ce fait dans ce Chapitre, où les résultats affines développés ici suffiront pour notre propos. »

15–20

II. Les faisceaux d'ensembles : \((P_1)\) et \((P_2)\) (pages 15 à 20)

Ici la main change, et le régime d'écriture avec elle. Ce qui suit est un brouillon rapide : les énoncés et les formules affichées passent, les phrases qui les relient très souvent non. Le lecteur doit savoir, avant d'entrer, que les pages 17, 19 et 20 sont en grande partie illisibles et que rien n'y est comblé ici.²³

Définition 1. Soient \(X\) un espace topologique, \(Y\) une partie fermée, \(U = X - Y\), \(i : U \to X\) l'inclusion, et \(F\) un faisceau d'ensembles sur \(X\). On dit que \(F\) a la propriété \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), si le morphisme canonique \[ F \longrightarrow i_{*}i^{*}F \;=\; i_{*}(F|U) \] est injectif, resp. bijectif. De façon équivalente, si pour tout ouvert \(V \subset X\) l'application de restriction \[ \Gamma(V,F) \longrightarrow \Gamma(V \cap U, F) \] est injective, resp. bijective.

En marge, et sans suite : « N.B. regarder aussi la propriété : surjective ». La question restera sans réponse dans cette partie ; elle est exactement celle à laquelle la troisième partie du dossier répondra, sous le nom de \((P_{3})\) et pour des objets au lieu de sections.

Ce qui suit — la restriction de l'étude aux espaces localement noethériens dont les parties fermées se comportent bien, l'introduction de ce qu'il appelle un « espace noethérien spécial », et les définitions de \(\mathrm{Loc}_{x}(X)\) et de \(\mathrm{Loc}_{x}(F)\) — est annoncé sur le feuillet 15 dans des lignes dont presque rien n'a été lu. La Définition 2, qui y transporte \((P_{1})\) et \((P_{2})\) en un point, est dans le même état, et y nomme au passage des propriétés \((P_{3})\) et \((P_{4})\) qui n'apparaîtront plus jamais dans cette partie.²⁴

La définition ponctuelle qui est effectivement utilisée dans tout le reste du dossier est donc celle-ci : \(F\) a la propriété \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), en un point \(x\) lorsque \(F_{(x)}\) l'a sur \(X_{(x)}\) relativement à \(\{x\}\) ; et sur un espace localement noethérien quelconque, \(F\) a la propriété lorsqu'il l'a en tout point.

Proposition 3. Soient \(X\) un espace localement noethérien « spécial »,²⁵ \(Y\) une partie fermée, \(F\) un faisceau d'ensembles sur \(X\). Sont équivalentes :

(i)\(F\) a la propriété \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), relativement à \(Y\) ;
(ii)pour tout \(x \in Y\), \(F\) a la propriété \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), en \(x\).

Corollaire 4. Si \(F\) satisfait \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), relativement à \(Y\), alors pour tout ouvert \(X' \subset X\) et toute partie fermée \(Y'\) de \(X'\) avec \(Y' \subset X' \cap Y\), le faisceau \(F|X'\) satisfait \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), relativement à \(Y'\).

La démonstration du corollaire est celle qui passe le mieux sur le feuillet 18, et elle est purement formelle. Avec \(U' = X' - Y'\), on a le triangle commutatif des restrictions

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\begin{tikzcd}
  \Gamma(V,F) \arrow[r, "\rho'"] \arrow[dr, "\rho"'] & \Gamma(V \cap U', F) \arrow[d, "\rho''"] \\
  & \Gamma(V \cap U, F)
\end{tikzcd}

où \(\rho\) et \(\rho''\) sont injectifs, resp. bijectifs — le second parce que \(V \cap U = (V \cap U') \cap U\) — d'où il suit que \(\rho'\) l'est.

Lemme 5. Pour tout \(x \in X\), en posant \(X_{(x)} = \mathrm{Loc}_{x}(X)\), \(X'_{(x)} = X_{(x)} - \{x\}\) et \(V_{(x)} = V \cap X_{(x)}\), on a un isomorphisme \[ (\ast) \qquad \Gamma(V_{(x)}, F_{(x)}) \;\simeq\; \varinjlim_{W \ni x} \Gamma(W \cap V, F) , \] la limite étant prise sur les voisinages ouverts \(W\) de \(x\).²⁶

C'est l'énoncé de continuité qui fait fonctionner tout le reste : la localisation \(X_{(x)}\) est l'intersection filtrante décroissante des voisinages de \(x\), et les sections d'un faisceau sur une telle intersection sont la limite inductive des sections sur les voisinages. C'est de cette forme, et non d'une autre, que le dossier a besoin, puisque c'est elle qui permet de passer d'une condition en un point à une condition sur un voisinage.

Le feuillet 17 porte, entre deux ratures, un lemme sans numéro qui est l'outil topologique du reste : pour deux parties localement constructibles \(E \supset E'\) de \(X\) et un point \(x\), on a \(E \supset E'\) au voisinage de \(x\) si et seulement si \[ E_{(x)} \;\supset\; E'_{(x)} , \] ce qui se ramène au fait qu'une partie constructible \(Z\) telle que \(Z_{(x)} = \emptyset\) a une adhérence ne contenant pas \(x\), c'est-à-dire que \(X - Z\) est un voisinage de \(x\). C'est ce lemme qui permet de faire descendre une égalité vérifiée sur la localisation \(X_{(x)}\) jusqu'à un voisinage de \(x\).²⁷

Le feuillet 19 porte la démonstration de (ii) \(\Rightarrow\) (i), et c'est le feuillet le plus travaillé du lot : trois longues ratures horizontales, deux blocs cernés, un mot biffé en marge. Ce qui en passe est la structure et non le détail, et on n'en dira ici que la structure. La question étant locale sur \(X\), on peut supposer \(X\) noethérien, et l'on procède par récurrence noethérienne sur les parties fermées : on suppose la propriété acquise relativement à tout fermé \(Y' \subsetneq Y\) et on l'établit relativement à \(Y\). Le cas \(Y = \emptyset\) est trivial. Il faut alors montrer que \[ \Gamma(X,F) \longrightarrow \Gamma(U,F) , \qquad U = X - Y , \] est injective, resp. bijective. Pour l'injectivité, deux sections \(f\), \(g\) de \(F\) sur \(X\) de même image dans \(\Gamma(U,F)\) coïncident en tout point \(x\) de \(Y\) dont l'adhérence n'est pas \(Y\) tout entier, par l'hypothèse de récurrence ; en un point maximal de \(Y\), c'est l'hypothèse \((P_{1})\) en ce point qui conclut, via le Lemme 5. La surjectivité, au feuillet 20, suit le même plan : on recouvre \(V_{(x)}\) par des ouverts \(W_{i}\) portant des sections \(f_{i}\) qui induisent la section donnée, on considère les parties \(W_{ij} = \{\, y \in W_{i} \cap W_{j} : f_{i,y} = f_{j,y} \,\}\), qui sont constructibles, et l'on ajuste les \(W_{i}\) pour que ces parties soient les intersections entières, de sorte que les \(f_{i}\) se recollent en une vraie section.²⁸

L'implication (i) \(\Rightarrow\) (ii) occupe la fin du feuillet 20 et est plus courte : pour \(x \in Y\), le Corollaire 4 appliqué à \(\overline{\{x\}}\) donne que \(F\) satisfait la propriété relativement à \(\overline{\{x\}}\), donc, avec \(V = X - \overline{\{x\}}\), que \(\Gamma(W,F) \to \Gamma(W \cap V, F)\) est injective, resp. bijective, pour tout voisinage ouvert \(W\) de \(x\) ; on passe à la limite sur \(W\) et l'on identifie le résultat, par deux applications du Lemme 5, à \[ \Gamma(X_{(x)}, F_{(x)}) \longrightarrow \Gamma(X'_{(x)}, F_{(x)}) . \]

21–28

III. Les catégories fibrées : \((P_1)\), \((P_2)\), \((P_3)\) (pages 21 à 28)

21–24

Les trois conditions, et leur forme ponctuelle (pages 21 à 24)

Le feuillet 21 s'ouvre sur la fin de la démonstration commencée au feuillet 20 — le prolongement d'une section de \(F\) sur \(U\) en une section sur \(X\), par l'hypothèse de récurrence et la propriété \((P_{2})\) au point \(x\) — puis passe sans transition au changement de cadre qui occupe les huit derniers feuillets.

Le changement est celui-ci. Jusqu'ici on prolongeait des sections, et deux sections sont égales ou ne le sont pas. On va prolonger des objets, et deux objets ne sont pas égaux : ils sont isomorphes, et en général de plusieurs manières. La donnée pertinente n'est plus un faisceau mais une catégorie fibrée \(\mathcal{F}\) sur la catégorie des ouverts de \(X\) : une catégorie \(\mathcal{F}(V)\) pour chaque ouvert, des foncteurs de restriction, et les isomorphismes de compatibilité entre eux. Et un foncteur de restriction peut manquer d'être une équivalence de trois manières emboîtées, d'où trois conditions au lieu de deux.

Définition 6. Soient \(X\) un espace topologique, \(Y\) une partie fermée, \(U = X - Y\), et \(\mathcal{F}\) une catégorie fibrée sur la catégorie des ouverts de \(X\). On dit que \(\mathcal{F}\) satisfait la condition \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), resp. \((P_{3})\), relativement à \(Y\), si pour tout ouvert \(V \subset X\) le foncteur de restriction \[ \mathcal{F}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(V \cap U) \] est fidèle, resp. pleinement fidèle, resp. une équivalence de catégories.²⁹ On dit que \(\mathcal{F}\) satisfait la condition en un point \(x \in X\) si le foncteur \[ \mathrm{Pseudolim}_{W}\ \mathcal{F}(W) \longrightarrow \mathrm{Pseudolim}_{W}\ \mathcal{F}(W - W \cap \overline{\{x\}}) \] est fidèle, resp. pleinement fidèle, resp. une équivalence, \(W\) parcourant les voisinages ouverts de \(x\).³⁰

Une note marginale, elle-même très abîmée, demande si les deux formes — globale et ponctuelle — coïncident sur un espace localement noethérien spectral. C'est la Proposition 7, et c'est la question que toute cette partie traite.

Les pages 22 et 23 ramènent les trois conditions à des conditions sur des faisceaux, ce qui est ce qui permettra à la deuxième partie du dossier de servir. Pour deux objets \(f\), \(g\) de \(\mathcal{F}(V)\), soit \(\mathcal{H}om(f,g)\) le faisceau sur \(V\) des homomorphismes, dont les sections sur \(V' \subset V\) sont les homomorphismes \(f|V' \to g|V'\). Alors :

\(\mathcal{F}\) satisfait \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), relativement à \(Y\) si et seulement si, pour tout ouvert \(V\) et tout couple \(f, g \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{F}(V)\), le faisceau \(\mathcal{H}om(f,g)\) satisfait \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), relativement à \(Y \cap V\) ;
\(\mathcal{F}\) satisfait \((P_{3})\) si de plus, pour tout ouvert \(V\), tout objet \(f'\) de \(\mathcal{F}(V \cap U)\) est isomorphe à la restriction d'un objet de \(\mathcal{F}(V)\).

³¹

La troisième forme, à la page 23, est celle qui rend la condition ponctuelle maniable : pour tout \(x \in X\), on introduit la catégorie fibrée induite \(\mathcal{F}_{(x)}\) sur \(X_{(x)}\) en posant \[ \mathcal{F}_{(x)}(w) \;=\; \mathrm{Pseudolim}_{W}\ \mathcal{F}(W) , \] \(W\) parcourant les ouverts de \(X\) tels que \(W_{(x)} = w\). On a alors, pour \(f\), \(g\) au-dessus d'un ouvert \(V\), \[ \mathcal{H}om(f,g)_{(x)} \;\simeq\; \mathcal{H}om(f_{(x)}, g_{(x)}) , \] et le N.B. du feuillet en tire ce qui sera utilisé partout : la propriété \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), resp. \((P_{3})\), de \(\mathcal{F}\) en \(x\) revient à la même propriété de \(\mathcal{F}_{(x)}\) sur \(X_{(x)}\), et pour \((P_{1})\) et \((P_{2})\) elle revient encore à ce que les faisceaux \(\mathcal{H}om(f,g)\) aient la propriété correspondante en \(x\).³²

Proposition 7. Soient \(X\) un espace topologique noethérien spectral, \(\mathcal{F}\) une catégorie fibrée sur la catégorie des ouverts de \(X\), et \(Y\) une partie fermée. Sont équivalentes :

(i)\(\mathcal{F}\) satisfait \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), resp. \((P_{3})\), relativement à \(Y\) ;
(ii)pour tout \(x \in Y\), \(\mathcal{F}\) satisfait \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), resp. \((P_{3})\), en \(x\).

³³

Corollaire 8. Si \(\mathcal{F}\) satisfait \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), resp. \((P_{3})\), relativement à \(Y\), alors pour tout ouvert \(X' \subset X\) et toute partie fermée \(Y' \subset Y \cap X'\), la catégorie fibrée induite \(\mathcal{F}|X'\) satisfait la même condition relativement à \(Y'\).

25–27

Les démonstrations, et la traduction cohomologique (pages 25 à 27)

Le Corollaire 8 se démontre comme le Corollaire 4, et par le même diagramme, une catégorie en remplaçant un ensemble de sections :

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \mathcal{F}(V) \arrow[r, "\rho'"] \arrow[dr, "\rho"'] & \mathcal{F}(V \cap U') \arrow[d, "\rho''"] \\
  & \mathcal{F}(V \cap U)
\end{tikzcd}

\(\rho\) et \(\rho''\) étant des équivalences, \(\rho'\) en est une.

L'implication (i) \(\Rightarrow\) (ii) de la Proposition 7 s'obtient en appliquant la condition à \(\overline{\{x\}}\) pour \(x \in Y\) : pour tout voisinage ouvert \(W\) de \(\overline{\{x\}}\), le foncteur \(\mathcal{F}(W) \to \mathcal{F}(W - W \cap \overline{\{x\}})\) est une équivalence, donc le reste après passage à la limite sur les \(W\), ce qui est exactement la condition en \(x\).³⁴

L'implication (ii) \(\Rightarrow\) (i) est le seul endroit qui coûte quelque chose, et seulement pour \((P_{3})\) : il s'agit de montrer que tout objet \(f'\) de \(\mathcal{F}(U)\) provient d'un objet de \(\mathcal{F}(X)\). La question étant locale, on suppose \(X\) noethérien, et l'on fait la récurrence noethérienne : \(\mathcal{F}\) satisfait \((P_{3})\) relativement à tout fermé \(Y' \subsetneq Y\). Si \(Y = \emptyset\), il n'y a rien à prouver. Sinon, soit \(x\) un point maximal de \(Y\). La restriction \(f'|X'_{(x)}\) provient, par hypothèse, d'un objet de \(\mathcal{F}_{(x)}(X'_{(x)})\), donc d'un objet \(f_{0}\) de \(\mathcal{F}(W)\) pour un voisinage ouvert \(W\) de \(x\) assez petit. Les restrictions de \(f_{0}\) et de \(f'\) à \(W \cap U\) deviennent isomorphes sur \(V_{(x)} = X'_{(x)}\), donc — quitte à rétrécir \(W\) — sont isomorphes. En recollant le long de cet isomorphisme, on obtient un objet \(f'_{1}\) de \(\mathcal{F}(W \cup U)\) qui prolonge \(f'\) ; le complémentaire de \(W \cup U\) est un fermé strictement contenu dans \(Y\), donc l'hypothèse de récurrence fait provenir \(f'_{1}\) d'un objet de \(\mathcal{F}(X)\).³⁵

Corollaire 10. Sont équivalentes :

(i)les conditions \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), resp. \((P_{3})\) ;
(ii)\(\underline{H}^{i}_{Y}(F) = 0\) pour \(i \leqslant 0\), resp. \(i \leqslant 1\), resp. \(i \leqslant 2\).

³⁶

Le feuillet donne, pour le cas \((P_{3})\), l'identification qui fait tout : \[ \underline{H}^{2}_{Y}(F) \;=\; \text{faisceau associé au préfaisceau } \; V \rightsquigarrow H^{1}(V \cap U, F) . \] C'est le cas \(i = 2\) de la formule générale \(\underline{H}^{i}_{Y}(F) \simeq R^{i-1}i_{*}(F|U)\) pour \(i \geqslant 2\), et c'est elle qui donne l'implication (i) \(\Rightarrow\) (ii). Réciproquement, si les faisceaux s'annulent, tout objet \(f'\) de \(\mathcal{F}(U)\) provient d'un objet de \(\mathcal{F}(X)\), la question étant locale sur \(Y\) et réglée en chaque point par la Proposition 7.³⁷

28–28

Le cas des torseurs (page 28)

Le dernier feuillet donne le cas particulier où tout se calcule, et où le lien avec la première moitié du dossier devient visible d'un coup.

Soient \(F\) un faisceau de groupes sur \(X\) et \(\mathcal{F}\) la catégorie fibrée des fibrés principaux homogènes sous \(F\) — des torseurs — au-dessus des ouverts de \(X\). Soit \(Y\) une partie fermée.³⁸

Proposition 9. Sont équivalentes :

(i)\(\mathcal{F}\) satisfait \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), relativement à \(Y\) ;
(ii)\(F\) satisfait \((P_{1})\), resp. \((P_{2})\), relativement à \(Y\) ;
(iii)\(\underline{H}^{0}_{Y}(F) = 0\), resp. \(\underline{H}^{0}_{Y}(F) = 0\) et \(\underline{H}^{1}_{Y}(F) = 0\).

La démonstration tient en trois phrases et elles sont toutes les trois sur le feuillet. (ii) \(\Rightarrow\) (i) : si \(f_{0}\) désigne le torseur trivial sur \(X\), on a \(F \simeq \mathcal{H}om(f_{0}, f_{0})\), et la traduction du feuillet 22 s'applique. (i) \(\Rightarrow\) (ii) : pour \(f\), \(g\) dans \(\mathcal{F}(V)\), le faisceau \(\mathcal{H}om(f,g)\) est localement isomorphe à \(F\), donc hérite de la propriété. (ii) \(\Leftrightarrow\) (iii) : par définition même de \(\underline{H}^{0}_{Y}(F)\) et de \(\underline{H}^{1}_{Y}(F)\) comme noyau et conoyau de \[ F \longrightarrow i_{*}i^{*}F , \] l'injectivité de ce morphisme est l'annulation du premier et sa bijectivité l'annulation des deux.³⁹

Et c'est ici qu'il faut revenir au tapuscrit. Les faisceaux \(\underline{H}^{i}_{Y}(F)\) dont ce dernier feuillet fait le critère sont, sur le spectre d'un anneau noethérien, exactement les faisceaux associés aux modules \[ H^{i} \;=\; \varinjlim_{m} \mathrm{Ext}^{i}_{A}(A/I^{m+1}, F) \] que le Corollaire 2.12 construit à la page 10, comme limite inductive des valeurs d'un foncteur cohomologique contravariant sur les \(A_{m}\). Le tapuscrit démontre que cette limite représente le foncteur, qu'elle suffit à tester l'annulation, et que ses idéaux premiers associés sont les points génériques des composantes de \(Y\) ; le manuscrit s'en sert pour dire quand un objet défini hors de \(Y\) se prolonge. Aucun des vingt-quatre feuillets ne dit que ce sont les mêmes \(H^{i}\). C'est pourtant la seule raison pour laquelle ils sont dans la même chemise.

Notes

Le feuillet renvoie à un « Chap. \(\mathrm{O}_{III}\) » et à un « par. 7 » sans autre précision. Rien n'a été confronté ici aux Éléments imprimés, conformément à la transcription, qui ne les a pas ouverts non plus. ↩
Le feuillet ne détaille pas ce renversement ; il écrit seulement « il suffit d'appliquer 2.1. (ii) à \(\underline{C}\) et \(\underline{C}'^{o}\) ». Le calcul des indices est ajouté ici, parce que c'est le seul endroit du dossier où une variance est retournée et qu'une erreur d'un signe y rendrait faux tout ce qui suit. ↩
2.2 tel qu'il est énoncé n'a pas de partie (i) ; le renvoi de 2.3 en suppose une. Elle est immédiate — un foncteur contravariant exact à gauche est nul dès qu'il l'est sur \(\mathcal{G}\) — et c'est elle que la lecture suppose partout où 2.3 invoque « 2.2 (i) ». ↩
Le feuillet écrit « il existe un \(M \in \underline{C}\) », ce qui rendrait la condition vide : \(N\) lui-même convient toujours. C'est \(M \in \underline{G}\) qu'il faut, et c'est ce qui est écrit ici ; toute la démonstration qui suit l'utilise sous cette forme. ↩
Le feuillet écrit d'abord « Modules quasi-cohérents », la mention quasi- étant ensuite surfrappée à la machine : c'est bien la catégorie des modules cohérents, comme l'exige l'hypothèse « de type fini » qu'il ajoute à l'encre sur la même ligne. ↩
L'énoncé est écrit sur le feuillet avec \(n > N\) et sa conclusion avec \(n \geqslant N\) ; l'un des deux est un lapsus et la différence est sans conséquence, la famille étant cofinale dans les deux cas. \(n \geqslant N\) est retenu ici. ↩
Le feuillet dit bien « une catégorie abélienne de \(A\)-modules », et non « la catégorie » ; la transcription le signale, et la distinction compte, puisque tout ce qui suit vaut pour une sous-catégorie pleine stable par noyaux et conoyaux. ↩
« Tout ceci devrait figurer dans un numéro à part au Chap 0, sans trainer l'accent \('\) sur la catégorie abélienne », note-t-il ici ; et en marge, deux fois dans le tapuscrit, le seul mot « déployer ». ↩
La ligne qui précède ce dernier déploiement n'a pas été lue sur le feuillet : la transcription signale que les deux membres de la formule sont les seuls à y figurer en clair et que la phrase qui les introduit est reconstituée du contexte. La formule elle-même ne fait aucun doute, étant la définition par adjonction. ↩
Les deux articles fondateurs — Eilenberg, Abstract description of some basic functors, et Watts, Intrinsic characterizations of some additive functors — datent de 1960, et le dossier est daté par les archivistes « vers 1960-1967 ». Le feuillet ne cite personne, ni ne nomme le résultat. Rien ici n'autorise à dire qu'il les connaissait, ni le contraire. ↩
La transcription le dit explicitement : « la page 7 n'a pu être lue de bout en bout ; le texte ci-dessus en donne les énoncés, les phrases de liaison manquent ». 2.7 est connu par le seul renvoi de la page 8, « il faudra expliciter les énoncés duals de 2.6. et 2.7. », qui le place à côté de 2.6 et suggère qu'il s'agit de la forme catégorique de celle-ci — l'équivalence entre foncteurs additifs exacts à droite \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) et \(A\)-\(\mathcal{C}'\)-modules à droite. Cette identification est une inférence, et n'est pas sur le feuillet. ↩
Le retournement du côté est ce que la contravariance impose et n'est pas dit sur le feuillet : dans le cas covariant \(T(A)\) est un module à droite, dans le cas contravariant un module à gauche. La notation \(A(\underline{C}')\) du feuillet, où le \(A\) est ajouté à l'encre devant la parenthèse, est cohérente avec cette lecture, puisqu'il écrit ailleurs « \(A\)-\(\underline{C}'\)-modules à droite » lorsqu'il veut l'autre côté. ↩
Le feuillet écrit « les modules de type fini sur \(\underline{C}\) » là où l'argument demande « sur \(A\) » ; la transcription porte la variante telle quelle et la signale. La lecture retenue ici est « sur \(A\) », la seule qui donne un sens à la phrase suivante, qui identifie \(\mathcal{C}_{n}\) aux modules de type fini sur \(A_{n}\). Le même feuillet écrit d'abord \(\underline{C}^{n}\) puis \(\underline{C}_{n}\) pour la même sous-catégorie ; l'indice inférieur est retenu. ↩
Sur le feuillet 9, 2.9 n'est qu'un intitulé : « Proposition 2.9. », suivi d'un blanc, puis le texte reprend par « généralisant 2.8 sous les conditions dites ». L'énoncé ci-dessus n'est pas de lui : c'est celui que le paragraphe qui le précède immédiatement vient d'établir mot pour mot, et il est reconstitué à ce titre. Rien n'interdit que ce qu'il avait en tête fût plus général. ↩
L'énoncé de 2.10 est coupé net par la fin du feuillet 9 — il s'arrête sur « la catégorie des » — et 2.11 tombe entièrement dans la lacune entre les deux feuillets : il n'est connu que par le renvoi « qui est donc un cas particulier de 2.11 ». Ni l'un ni l'autre n'est reconstitué ici. Ce qui est sûr, et suffit à la suite du dossier, est l'équivalence entre foncteurs contravariants exacts à gauche sur \(\mathcal{C}\) et modules de \(I\)-torsion, par \(T \mapsto \varinjlim T(A_{n})\) et \(H \mapsto \mathrm{Hom}_{A}(-,H)\). ↩
Le mot ajouté à l'encre au-dessus de cette ligne se lit « nul » ou « une » ; la transcription le signale comme douteux et retient « nul », qui est ce que l'argument demande. La lecture est ici la même. ↩
Le feuillet glose \(S\) par une addition à l'encre « \(= (Y_{i})_{i \in J}\) », ce qui confond l'ensemble des points génériques avec la famille des composantes. C'est l'ensemble des points génériques qui est utilisé partout ensuite, et c'est lui qui est écrit ici. ↩
Le feuillet écrit ici \(A/I^{n}\) là où 2.12 écrivait \(A_{m} = A/I^{m+1}\). Les deux familles sont cofinales et la limite est la même ; le décalage d'indice n'a aucune conséquence et n'est pas corrigé ailleurs. ↩
La dernière phrase du feuillet — « puis \(S \subset \mathrm{Ass}\, H\) puisque tout \(y \in S\) doit avoir une spécialisation dans \(S\), donc être dans \(S\) » — est elliptique et, prise au pied de la lettre, circulaire. L'argument restitué ci-dessus est celui qu'elle abrège, et son ressort est bien la dernière clause qu'il écrit : deux éléments de \(S\) dont l'un spécialise l'autre sont identiques. ↩
Le feuillet écrit « En vertu de Krull, \(I^{n}N\) contient une intersection \(N \cap I^{m}N\) » — avec \(N\) au second membre, là où le déploiement qui suit immédiatement écrit \(N \cap I^{m}M\), qui est le seul terme dont l'énoncé ait besoin. C'est le lemme d'Artin–Rees ; le théorème d'intersection de Krull en est le corollaire usuel, et c'est lui qu'il nomme. ↩
La notation \(H^{0}_{I}\) est la sienne, et c'est la seule occurrence, dans tout le tapuscrit, d'un symbole de cohomologie locale. Le foncteur est aujourd'hui noté \(\Gamma_{I}\) et ses dérivés \(H^{i}_{I}\) ; le module \(H\) de 2.9 et les \(H^{i}\) de 2.12 sont exactement ces dérivés, et c'est par là que le tapuscrit rejoint la seconde moitié du dossier. Le feuillet ne le dit nulle part. ↩
Le numéro de l'exposé est laissé en blanc sur le feuillet, quatre points de suspension. Il s'agit du Séminaire Bourbaki, exposé 195 (1959/60), sous le titre « Le théorème d'existence en théorie formelle des modules » ; le numéro est fourni ici et ne figure pas sur la page. ↩
La chemise de kraft qui enveloppe ces six feuillets porte, biffés de trois longues diagonales : « Foncteurs élémentaires / sur les espaces topologiques, / en particulier noethériens, / profondeur \(\geqslant 2\) / pour faisceaux / d'ensembles ». C'est le seul endroit du dossier où le mot profondeur est écrit, et il nomme ce que \((P_{2})\) signifie. ↩
L'état du feuillet est tel que la transcription y porte, sur trois lignes consécutives, sept marques d'illisibilité et trois lectures douteuses. Aucune reconstitution n'est tentée ici : ni la définition de « l'espace noethérien spécial », ni celle de \(\mathrm{Loc}_{x}\), ni le contenu de \((P_{3})\) et \((P_{4})\) à ce stade. Ce qui suit utilise la seule définition que la suite du dossier rende certaine, et qui est écrite au net au Lemme 5 : \(X_{(x)}\) est l'ensemble des générisations de \(x\) muni de la topologie induite, et \(F_{(x)}\) la restriction de \(F\) à cet ensemble. ↩
Le terme est le sien et n'est défini nulle part lisiblement dans le dossier. Ce que les démonstrations en utilisent — toute partie fermée irréductible a un point générique unique, les parties constructibles se comportent bien vis-à-vis des générisations, tout fermé non vide a un point maximal — est ce qu'on appelle aujourd'hui un espace spectral, terme dû à Hochster (1969), soit postérieur au dossier. On ne trouve sur les feuillets ni ce mot ni celui de sobre. ↩
Le feuillet 18 écrit la première de ces égalités sous la forme « \(\mathrm{Loc}_{x}(X) = \mathrm{Loc}_{x}(X) - \{x\}\) », le même symbole des deux côtés : c'est le symbole de gauche qui doit porter un accent, et c'est \(X'_{(x)}\) qui est écrit ici. La transcription note que la formule \((\ast)\) est la seule ligne de ce feuillet écrite au net, les lignes qui la précèdent étant un palimpseste de trois états successifs. ↩
Le feuillet 17 est, avec les feuillets 19 et 20, le plus abîmé du lot : une longue rature horizontale y traverse quatre lignes, et la prose de liaison y est presque intégralement illisible. L'énoncé ci-dessus est ce que les deux formules affichées et les mots « constructible », « immédiat » et « voisinage » permettent de restituer ; le reste du feuillet, y compris la démonstration de surjectivité qu'il amorce, n'est pas restitué ici et ne doit pas l'être. ↩
Le feuillet 20 écrit « \(f_{i,y} = h_{y}\) » là où l'argument demande \(f_{j,y}\) : la transcription porte le \(h\) tel quel et le signale. La lecture retenue ici est \(f_{j}\), seule compatible avec le rôle de ces parties dans le recollement. Il faut redire que ces deux feuillets sont, en prose, très largement illisibles : le décompte des étapes ci-dessus est ce que les formules affichées et les mots isolés qui subsistent permettent d'affirmer, et rien de plus n'est affirmé. ↩
Le feuillet porte devant le \(\mathcal{F}\) du premier membre un jambage supplémentaire, lu \(\Gamma\) par la transcription, que le second membre n'a pas ; l'asymétrie est sur la page et la lecture y est donnée pour douteuse. Aucune interprétation ne rend \(\Gamma\mathcal{F}(V)\) différent de \(\mathcal{F}(V)\) dans cet énoncé, et c'est \(\mathcal{F}(V)\) qui est écrit ici. ↩
Le mot est le sien, écrit avec le \(W\) sous une longue flèche : c'est une limite inductive filtrante de catégories, prise au sens où la composition des restrictions n'est associative qu'à isomorphisme près. On dit aujourd'hui pseudo-colimite filtrante, ou \(2\)-colimite. Le nom de « limite » est trompeur : \(W\) décroît, la construction est une colimite. ↩
Le feuillet écrit ce dernier objet dans \(\mathcal{F}(W)\) alors que l'argument demande \(\mathcal{F}(V)\) ; la transcription le signale et porte \(W\) tel quel. C'est \(V\) qui est écrit ici. Une hypothèse est par ailleurs tacitement faite dans toute cette page, et il faut la dire : pour que « \(V' \rightsquigarrow \mathrm{Hom}(f|V', g|V')\) » soit un faisceau et non un simple préfaisceau, il faut que \(\mathcal{F}\) soit un préchamp. La Définition 6 ne demande qu'une catégorie fibrée. ↩
Le feuillet écrit cette identification avec une double flèche et non une flèche d'isomorphisme, ce que la transcription porte tel quel ; il l'introduit aussi par « j'imagine », qui est sa manière d'annoncer ce qu'il n'a pas vérifié. La lecture la donne comme isomorphisme, ce qu'elle est, la limite inductive filtrante commutant aux Hom d'objets de présentation finie sur un voisinage fixé. ↩
La condition (ii) est écrite sur le feuillet « en \(X\) », avec une majuscule, là où c'est le point \(x\) qui est en cause ; la transcription le signale. Pour \((P_{1})\) et \((P_{2})\), l'énoncé n'est autre que la Proposition 3 appliquée aux faisceaux \(\mathcal{H}om(f,g)\), ce que la page dit en une ligne : « Reste le cas \(P_{3}\), quand \(P_{1}\), \(P_{2}\) sont déjà vérifiés. » ↩
Le feuillet abrège les trois énoncés — fidélité, pleine fidélité, équivalence — par une lettre \(\mathcal{H}\) qu'il n'introduit nulle part et qu'il glose seulement par « l'un des types ». Elle n'est pas reprise ici ; les trois cas sont énoncés ensemble, comme partout ailleurs dans le dossier. ↩
C'est le seul pas du dossier qui demande à \(\mathcal{F}\) plus que d'être une catégorie fibrée. Recoller \(f_{0}\) sur \(W\) et \(f'\) sur \(U\) le long d'un isomorphisme au-dessus de \(W \cap U\), c'est l'effectivité de la descente pour le recouvrement ouvert \(\{W, U\}\) : \(\mathcal{F}\) doit être un champ. La Définition 6 ne le demande pas, et aucun feuillet ne le dit. L'hypothèse est ajoutée ici parce que sans elle la démonstration ne tient pas ; le vocabulaire — champ, préchamp, descente effective — est postérieur au dossier. ↩
C'est ici que la lecture s'écarte le plus du feuillet, et il faut dire exactement en quoi. Le feuillet écrit les trois plages « \(i \leqslant 1\) (\(i \leqslant 2\), \(i \leqslant 3\)) », soit une de trop dans chacun des trois cas. Deux choses le montrent, et elles sont toutes deux sur les feuillets. La première est la Proposition 9 du feuillet suivant, qui énonce les deux premiers cas sous la forme « \(\underline{H}^{0}_{Y}(F) = 0\) (\(\underline{H}^{0}_{Y}(F) = 0\) et \(\underline{H}^{1}_{Y}(F) = 0\)), i.e. \(i = 0\) (\(i = 0, 1\)) » — ce qui est \(i \leqslant 0\) et \(i \leqslant 1\), non \(i \leqslant 1\) et \(i \leqslant 2\). La seconde est le déploiement que le feuillet 27 donne lui-même immédiatement après, pour traiter « le cas \(P_{3}\) » : il y écrit \(\underline{H}^{2}_{Y}\), et non \(\underline{H}^{3}_{Y}\). Le feuillet se corrige donc deux fois lui-même, et ce sont ses corrections qui sont retenues. Une remarque sur l'objet de l'énoncé : (i) y est écrit « \(F\) satisfait à \(P_{1}\) (\(P_{2}\), \(P_{3}\)) », avec \(F\) là où toute la page précédente porte sur \(\mathcal{F}\). Les trois conditions n'ont de sens à trois niveaux que pour une catégorie fibrée ; c'est ainsi que l'énoncé est lu ici, \(F\) étant le faisceau abélien dont \(\mathcal{F}\) est, comme au feuillet suivant, la catégorie des torseurs. ↩
L'exposant du \(H\) du second membre ne se lit pas sur le feuillet : la transcription note « un seul jambage, ni un zéro net ni un chiffre », et celui de \(\underline{H}_{Y}\) s'y lit \(2\). Le \(1\) écrit ici est notre lecture, et il est forcé : avec \(\underline{H}^{2}_{Y}\) au premier membre, la seule valeur qui rende la formule vraie est \(1\), puisque \(\underline{H}^{i}_{Y}(F)\) est le faisceau associé à \(V \rightsquigarrow H^{i-1}(V \cap U, F)\) pour \(i \geqslant 2\). Un seul jambage est d'ailleurs ce à quoi ressemble un 1. Les deux autres occurrences du même exposant, dans les deux lignes qui suivent, sont illisibles de la même façon et sont lues de la même manière. ↩
La ligne qui définit \(\mathcal{F}\) est très abrégée sur le feuillet ; la transcription ne donne pour sûrs que la locution « fibrés principaux homogènes » et le rôle de \(F\), et signale que \(F\) y est appelé préfaisceau. C'est comme faisceau qu'il est lu ici, faute de quoi ni \(i_{*}i^{*}F\) ni les \(\underline{H}^{i}_{Y}\) n'auraient leur sens usuel. ↩
La suite exacte à quatre termes \(0 \to \underline{H}^{0}_{Y}(F) \to F \to i_{*}i^{*}F \to \underline{H}^{1}_{Y}(F) \to 0\) est ce qui justifie l'appellation, et elle rend l'équivalence immédiate. Deux réserves, qu'aucun feuillet ne lève. La première : le conoyau n'est un faisceau de groupes que si \(F\) est abélien ; pour \(F\) non abélien, ce que l'énoncé appelle \(\underline{H}^{1}_{Y}(F)\) est un faisceau d'ensembles pointés, quotient de \(i_{*}i^{*}F\) par \(F\), et l'énoncé garde son sens à cette lecture près. La seconde : il n'y a pas ici de troisième condition. \((P_{3})\) pour la catégorie des torseurs demanderait qu'un torseur sur \(U\) se prolonge à \(X\), ce qui relève de \(\underline{H}^{2}_{Y}\) par le feuillet précédent, et la Proposition 9 ne traite que \((P_{1})\) et \((P_{2})\). Le dossier s'arrête là. ↩