Cote n° 2 · batch 3 · pages 41–44 · Transcription · Théorème de Riemann-Roch / RR [Riemann-Roch] Notes Antiques (antérieur[es à] 1958) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1957]
Édition de démonstration

Le cas d'une fibration, et les premiers exemples

41la page commence par la formule encadrée numérotée (1 ter), qui poursuit les formules (1), (1 bis) et (2) de la page 40 : les deux feuillets sont d'une même course

\[ \tau_{h}(Y)\sum_{i}(-1)^{i}\,\varphi_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) \;=\; f_{*}\bigl(\tau_{h}(X)\cdot\varphi_{X}(E)\bigr) \tag{1 ter} \]

Prenant les augmentations des deux membres, ce[tte] formule se réduit essentiellement à : R.R. usuel (\(Y\) réduit à un point !) sur la fibre. En effet, cet énoncé étant local, le membre de gauche est égal : \[ \sum_{i}(-1)^{i}\,\mathrm{rg}\,E^{(i)} \;=\; \chi(Z;\,E|Z) \] (\(Z\) étant une fibre de \(X \to Y\)), le membre de droite est égal aussi : \[ K_{p}\Bigl(i^{*}\bigl[\bigl(\tau_{h}(X)\cdot\varphi_{X}(E)\bigr)^{(p)}\bigr]\Bigr), \] où \(i : Z \to X\) est l'application identique, et où \(p\) est la dimension de la fibre, et où \(^{(p)}\) signifie qu'on prend la composante de degré \(p\). On a donc : \[\begin{align*} i^{*}[\;\;] &= i^{*}\bigl(\tau_{h}(X)\bigr)\,\struck{\ill{}}\cdot i^{*}\bigl(\varphi_{X}(E)\bigr) \\ &= \tau_{h}\bigl(C_{Z}(i^{*}(T_{X}))\bigr)\, \varphi_{Z}\bigl(i^{*}(E)\bigr) \\ &= \tau_{h}\bigl(C_{Z}(T_{Z})\bigr)\,\varphi_{Z}(E|Z) \;=\; \tau_{h}(Z)\,\varphi_{Z}(E|Z) . \end{align*}\]

On obtient bien ⌜[…]⌝ la formule de Hirzebruch pour la fibre. — Mais, prenant des […] ⌜composantes⌝ de degré \(\geqslant 1\) des deux membres, on obtient des classes de Chern comme fonction) de \(\sum_{i}(-1)^{i}E^{(i)}\) (donc, en certains cas) de \(E^{(0)}\), ce qui n'est pas contenu dans la formule de Hirzebruch proprement dite. Ce[ci] traduit en particulier le résultat suivant (qui n'est pas non plus trivial) : pour \(n\) grand, la classe de Chern modifiée de \(E(n)^{\circ} = f_{*}(E(n))\) dépend polynômialement […] l'énoncé, de « pour \(n\) grand » à « polynômialement », est souligné d'un long trait terminé par une flèche vers la droite ; la phrase se poursuit en tête du feuillet suivant

peut aussi se dire dans le cas général

42de \(n\). En effet, […]. la ligne qui ouvre le feuillet achève la phrase du bas de la page 41 : « dépend polynômialement » / « de \(n\) »

\[ \varphi_{X}\bigl(E(n)\bigr) \;=\; \varphi_{X}(E)\,\struck{\ill{}}\,e^{n\xi} . \] d'où \[ \tau_{h}(X)\,\varphi_{X}\bigl(E(n)\bigr) \;=\; \tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E)\,e^{n\xi} \;=\; \sum_{k} n^{k}\left[\frac{\xi^{k}}{k!}\,\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E)\right] \] et \[ f_{*}\bigl(\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E(n))\bigr) \;=\; \sum_{k} n^{k}\, f_{*}\!\left(\frac{\xi^{k}}{k!}\,\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E)\right) \]

Cas de morphismes propres particuliers

le titre est de lui, séparé de ce qui précède par un trait ondulé

1) Morphismes d'une courbe […] dans une variété \(X\). une addition interlinéaire d'une encre plus claire court au-dessus de « courbe » et rejoint le mot biffé : elle ne se laisse pas lire. À partir d'ici et jusqu'au bas du feuillet, \(X\) désigne la courbe et \(Y\) le but ; la lettre est effacée sous un pâté à chacune de ses premières occurrences, et la formule encadrée porte \(f : X \to Y\)

On va évidemment supposer \(f\) non constant, \(X\) et \(Y\) irréductibles.

[…]

On a \[ K(\ill{}) \;\simeq\; \mathbf{Z} + P(\ill{}), \] un isomorphisme étant précisément donné par le morphisme […] \(\widetilde{C}\) de Chern. On doit donc […] ⌜calculer⌝, pour \(\xi = (n,d)\), son image \(f_{!}(\xi) \in K(Y)\) en fonction de \(n\), \(d\). Notons […] \[ \varphi_{X}(\xi) = n + d, \qquad \widetilde{C}(T_{X}) = (1, -k), \] donc \[ \tau_{h}(X) \;=\; \frac{-k}{1 - e^{k}} \;=\; 1 - \tfrac{1}{2}k, \] \(k\) étant la classe canonique. D[…] a) \(X\) […] une courbe (non singulière, irréductible). \[ \varphi_{X}(\xi)\,\tau_{h}(X) \;=\; \bigl(1 - \tfrac{1}{2}k\bigr)(n + d) \;=\; \struck{\ill{}}\;\; n + \bigl(d - n\tfrac{1}{2}k\bigr) \]

a) \(Y\) est une courbe. Soit \(k'\) son diviseur canonique, d'où \(\tau_{h}(Y) = 1 - \tfrac{1}{2}k'\). Soit \(\delta\) le degré de \(f\). Alors on a \(f_{*}(1) = \delta\), donc \[ f_{*}\bigl(\varphi_{X}(\xi)\,\tau_{h}(X)\bigr) \;=\; n\delta + \bigl(f_{*}(d) - n f_{*}(\tfrac{1}{2}k)\bigr) \] d'où \[\begin{align*} \varphi_{X}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) &= \tau_{h}(Y)^{-1} f_{*}(\,\cdot\;\text{---}\,) = \bigl(1 + \tfrac{1}{2}k'\bigr) \Bigl(n\delta + \bigl(f_{*}(d) - n f_{*}(\tfrac{1}{2}k)\bigr)\Bigr) \\ &= n\delta + \Bigl[n\delta\tfrac{1}{2}k' + f_{*}(d) - n f_{*}(\tfrac{1}{2}k)\Bigr] \end{align*}\] le membre de gauche est écrit \(\varphi_{X}\) sur le feuillet, là où le calcul demande le caractère de Chern sur \(Y\) ; la lettre est reproduite telle quelle. Le tiret sous \(f_{*}\) tient la place de l'argument de la ligne précédente […] \[ f_{!}(\xi) \;=\; \Bigl(n\delta,\;\; n\delta\tfrac{1}{2}k_{y} + f_{*}(d) - n f_{*}\bigl(\tfrac{1}{2}k_{x}\bigr)\Bigr) \qquad (f : X \to Y) \] dans l'encadré il distingue les deux classes canoniques en portant la base en indice : \(k_{y}\) pour le \(k'\) des lignes précédentes, \(k_{x}\) pour le \(k\) de la courbe

43p. ex. si […] est un revêtement ramifié ([…]) de degré \(\delta\) de \(Y\) par \(f\), alors \(f_{*}(\mathcal{O}_{X})\) est un fib. faisceau sur \(X\) correspondant à un fibré vect. de degré rang \(\delta\), et dont la classe de Chern est \[ \tfrac{1}{2}\,\struck{\ill{}}\bigl(\delta k_{Y} - f_{*}(k_{X})\bigr) . \] le feuillet place le faisceau \(f_{*}(\mathcal{O}_{X})\) « sur \(X\) », là où le calcul le demande sur \(Y\) ; la lettre est reproduite telle quelle. « degré » est biffé au profit de « rang » : le fibré est de rang \(\delta\)

b) \(Y\) est une surface non singulière. Soient \(k_{Y}^{1}\) et […] les classes ⌜canoniques⌝ de Chern du fibré […] tangent, dont \(k_{Y}^{(1)}\) est la classe canonique, \(k_{Y}^{2}\) est une classe de \(0\)-cycles, on a : les exposants de \(k_{Y}\) sont repris à l'encre et le second symbole est recouvert d'un pâté ; le long trait qui court de « de Chern » à « \(0\)-cycles » biffe la définition, et l'addition interlinéaire au-dessus de « Chern » la remplace

\[ c(T_{Y}) \;=\; 1 - k_{Y}^{1} + \ill{} \] donc \[ \tau_{h}(Y) \;=\; 1 - \tfrac{1}{2}k_{Y}^{1} + \uncertain{\tfrac{1}{12}\bigl(k_{Y}^{2} + k_{Y}^{1\,2}\bigr)} + \cdots \] et par suite \[ \tau_{h}(Y)^{-1} \;=\; 1 + \tfrac{1}{2}k_{Y}^{1} \uncertain{- \tfrac{1}{12}\bigl(k_{Y}^{2} + k_{Y}^{1\,2}\bigr)} + \tfrac{1}{4}k_{Y}^{1\,2} \;=\; 1 + \tfrac{1}{2}k_{Y}^{1} \uncertain{-} \tfrac{1}{12}\bigl[\,k_{Y}^{2} \uncertain{-\,2}\,k_{Y}^{1\,2}\,\bigr] \] le terme de degré \(2\) de \(\tau_{h}(Y)\) est pris dans une boucle et souligné d'une accolade, et le même terme, au signe près, est récrit en surcharge dans \(\tau_{h}(Y)^{-1}\) ; la seconde moitié de la dernière égalité est griffonnée. Les lectures soulignées sont celles que le calcul appuie

\[ f_{*}(1) \;=\; \delta f(X) \;=\; \delta C , \] […] \(C\) est l'image de \(X\) […] définie comme classe de diviseurs, et \(\delta\) le degré de \(X \to C\).

\(f_{*}(k_{X})\), \(f_{*}(d)\) : classes de \(0\)-cycles.

\[ \varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; \Bigl[\,1 + \tfrac{1}{2}k_{Y} + \struck{\uncertain{-\tfrac{1}{12}\bigl(k_{Y}^{2} - 2k_{Y}^{1\,2}\bigr)}}\,\Bigr] \Bigl[\,\struck{\ill{}}\;\; \add{n\delta C} + \bigl(f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{x})\bigr)\Bigr] \] le terme de degré \(2\) du premier crochet est pris dans des boucles qui le biffent ; sous le pâté du second crochet, \(n\delta C\) est récrit dessous \[ \varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; n\delta C + \Bigl[\,f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{x}) + \tfrac{1}{2}n\delta\,(C\cdot k_{Y})\,\Bigr] \] \[\begin{align*} c_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) &= \exp\bigl(n\delta C - [\;\;]\bigr) \\ &= 1 + n\delta C - [\;\;] + \tfrac{1}{2}n^{2}\delta^{2}C^{2} \end{align*}\] le crochet laissé vide renvoie au crochet de la formule encadrée qui précède d'où \[ c_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; 1 + n\delta C + \Bigl[\,\tfrac{1}{2}n^{2}\delta^{2}C^{2} - \tfrac{1}{2}n\delta\,C k_{Y} - f_{*}(d) + \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{X})\,\Bigr] \] Supposons \(n = \delta = 1\), […] on trouve \[ c_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; 1 + C + \Bigl[\,\tfrac{1}{2}\bigl(C^{2} - C k_{Y}\bigr) - f_{*}(d) + \tfrac{1}{2}f_{*}(k_{X})\,\Bigr] \] sur le feuillet les trois résultats de ce paragraphe sont encadrés

44En particulier, on trouve la dernière classe de Chern d'une courbe \(C\) dans la surface \(Y\) : \[ c^{2}(\mathcal{O}_{C}) \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl[\,C^{2} - C k_{Y} + f_{*}(k_{\widetilde{C}})\,\bigr] \] l'indice du dernier \(k\) est recouvert d'encre ; il est lu sur la ligne suivante, qui nomme \(k_{\widetilde{C}}\) où \(f : \widetilde{C} \to \ill{}\) est l'homomorphisme canonique dans \(X\) de la […] normalisée \(\widetilde{C}\) de \(C\), et \(k_{\widetilde{C}}\) la classe canonique sur \(\widetilde{C}\). Si \(Y\) est compacte, et \(\widetilde{C}\) de genre \(g\), on trouve, en prenant le \(K_{2}\) des deux membres : \[ K_{2}\bigl(c^{2}(\mathcal{O}_{C})\bigr) \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl[\,C^{2} - C k_{Y} + 2g - 2\,\bigr] \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl(C^{2} - C k_{Y}\bigr) + g - 1 \] la surface est appelée \(Y\) dans les formules et \(X\) dans la phrase qui les commente, sans que rien sur le feuillet distingue les deux ; l'opérateur \(K_{2}\) est celui de la page 41, où \(K_{p}\) prend la composante de degré \(p\). Le feuillet s'arrête ici et le reste en est blanc : c'est la fin du dossier