Cote n° 2 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Théorème de Riemann-Roch / RR [Riemann-Roch] Notes Antiques (antérieur[es à] 1958) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1957]
Édition de démonstration

Comparaison de \(CK\) et de \(GK\)

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Démonstration. Comme \(CB\) \(\to CK\) et \(GB \to GK\) sont surjectifs, on est ramené au cas de \(B\).

Soit \(\xi^{i} \in C^{i}(B)\) provenant de \(P \in B^{(i)}\), on a \[ c_{B}^{i}(\xi^{i}) \;=\; C^{i}_{B}(P) , \] […] d'où \[ \varphi_{B}\psi_{B}(\xi^{i}) \;=\; \varphi_{B}\bigl(C^{i}_{B}(P)\bigr) \;=\; c^{i}_{B}(P) \;\equiv\; \struck{c^{i}_{B}}\ \struck{dans}\ \gamma^{i}\bigl(P - \varepsilon(P)\bigr) \pmod{B^{(i+1)}} , \] et \[ \gamma^{i}\bigl(P - \varepsilon(P)\bigr) \;-\; (-1)^{i-1}(i-1)!\,P \;\in\; B^{(i+1)} , \] soit […] \[ \varphi_{B}\psi_{B} \;=\; (-1)^{i-1}(i-1)! , \] cqfd.

Proposition 3. […] \(\varphi_{B}\) […] bijectif.

Corollaire. \(\varphi_{K}\) […] toujours surjectif […]

Question. Est-ce que \(\varphi_{K}\) est toujours bijectif ??? Non la réponse est encadrée sur le feuillet, avec le renvoi à l'exemple qui suit

Exemple. Soit \(K = \mathbb{Z}[L]/(L-1)^{n}\), avec \(\lambda_{t}(L) = 1 + Lt\) […] , donc \[ CK \;=\; \mathbb{Z}[\xi] \big/ \bigl(\text{idéal engendré par } \ill{}\bigr), \qquad (1+\xi)^{\ill{}} \;=\; 1 + (-1)^{n-1}(n-1)!\,\xi^{n} + \cdots \] c'est-à-dire \(K = K(P^{\,n-1})\) Cependant, […] la filtration sur \(K\) est la filtration […] par les puissances de \((L-1)\), donc […] sans torsion, tandis que \(CK\) a de la torsion. […]

Mais si […] l'idéal était […] : \(P(\ill{})\) […] \(CK = \mathbb{Z}[\xi]/\xi^{n}\) […] la note court en diagonale le long du bord gauche du feuillet ; seuls l'idéal et l'anneau \(\mathbb{Z}[\xi]/\xi^{n}\) s'en laissent lire

Proposition [(]à prouver directement[?)]. Soit \(K\) un \(\lambda\)-anneau, \((X_{s})_{s \in S}\) une famille d'éléments […] ; conditions équivalentes :

  1. […] engendré par les \(X_{s}\), […] un déterminant […] ;
  2. \(c^{i}(X_{s}) = 0\) si \(i > \varepsilon(X_{s})\) […]

tout le bloc est barré d'une grande croix ; il est repris, sous une autre forme, à la page 27

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\[ B \;=\; \mathbb{Z}\bigl[\,(\lambda^{i}(X_{s}))_{s \in S,\; 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)},\; (\lambda^{d}(Y_{t}))_{t \in T,\; d \geqslant 1}\,\bigr] , \] \[ CB \;=\; \mathbb{Z}\bigl[\,(\xi^{i}_{s})_{s \in S,\; 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)},\; (\eta^{d}_{t})_{t \in T,\; d \geqslant 1}\,\bigr] . \]

Filtration sur \(B\) : pour \(B^{(k)} =\) sous-anneau […] engendré par les monômes \(P\) […] de poids \(\geqslant k\) en les \[ \gamma^{i}\bigl(X_{s} - \varepsilon(X_{s})\bigr), \qquad \gamma^{d}\bigl(Y_{t} - \varepsilon(Y_{t})\bigr) , \] […] convention : […] définis par les \(\varepsilon(s)\), \(\varepsilon(t)\).

[…]

Lemme. Posons \(c^{i}(x) = \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \bmod B^{(i+1)}\). Alors \[ x \;\longmapsto\; \widetilde{c}(x) \;=\; \bigl[\,\varepsilon(x),\; 1 + c^{1}(x)\,t + \cdots \,\bigr] \] […] On a \[ \widetilde{c}(x+y) \;=\; \widetilde{c}(x)\,\widetilde{c}(y) \] […] dans le \(\lambda\)-anneau \(\widetilde{GB}\) […] : posant \(x' = x - \varepsilon(x)\), \(y' = y - \varepsilon(y)\), on a \(\gamma_{t}(x' + y') = \gamma_{t}(x')\,\gamma_{t}(y')\).

\[ \widetilde{c}(xy) \;=\; \widetilde{c}(x) \ast \widetilde{c}(y) \] […] : a) \(x = 1\) ou \(y = 1\), trivial ; b) \(x\) et \(y\) […] Alors […]

\(c^{i}(xy) = Q_{i}(\ill{})\) \[ \widetilde{c}(xy) \;=\; Q_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x);\; c^{1}(y), \ldots, c^{i}(y)\bigr) \qquad \text{soit} \ \ill{} \] car […] \[ \gamma^{i}(xy) \;=\; Q_{i}\bigl(\gamma^{1}(x), \ldots, \gamma^{i}(x);\; \gamma^{1}(y), \ldots, \gamma^{i}(y)\bigr) . \] Mais \(\gamma^{i}(xy) =\) polynôme universel en […] les \(\gamma^{k}(x)\), \(\gamma^{h}(y)\), […] et […] soit […] \(\geqslant i\), et […] \(Q_{i}\) la page s'arrête ici : le polynôme universel est annoncé et sa forme n'est pas écrite

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Proposition. Soit \(x \in \widetilde{A}\) tel que \(\lambda_{t}(x)\) soit un polynôme de degré \(\leqslant n\), […] \(\varepsilon(x) = n\). Alors \(\gamma^{i}(x) = 0\) pour \(i > n\), i.e. […]

En effet, \(\lambda^{n}(x)\) […] et le fait que […] \(x\) […] nilpotent […] \[ \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \;=\; 0 \qquad \text{pour } i > n , \] alors […] \[ (i-1)!\;x^{i} \;=\; 0 \qquad \text{pour } i > n , \] pour \([\,1,\; 1 + x^{1}\,\ill{}\,]\) dans […] arithmétique […] de \(\widetilde{A}\), donc […] \(> n\). […]

Remarque. Posons, pour \(x = [\,n,\; 1 + \ill{} + x^{n} + x^{n+1}\,]\), […] soit \(n!\;x^{n+1} = 0\) […] ; il faut et il suffit que […] \(n!\) […] Posant \(Y = [\,n+1,\; 1 + X^{n+1}\,]\), d'où \(x = X + Y - (n+1)\), qui […] \[ D^{i}_{t}\bigl(\lambda_{t}(X)\,\lambda_{t}(Y)\bigr)\big|_{t=1} \;=\; 0 \qquad \text{pour } 0 \leqslant i \leqslant m . \]

Corollaire. Soit \(x\) un élément […] Soit \(n = \varepsilon(x)\), et \(m \geqslant \ill{}\) […] \(\gamma^{i}(x)\) […] Alors \(\gamma^{m}(x - \ill{})\) […] \(\lambda^{m}(X)\) (\(i > \ill{}\)) […] \(m+1\) […] les \(\gamma^{i}(X - n)\).

[…]

On peut supposer \(A = \mathbb{Z}\bigl[(\lambda^{i}(X))_{i \geqslant \ill{}}\bigr]\), […] \(\varepsilon(X) = m\).

Démonstration. Soit \(I\) l'idéal […] par les \(\lambda^{i}(X)\) (\(i > n\)), […] que \(\gamma^{m}(X - m)\) […] \(I\) […] les \(P\bigl(\gamma^{i}(X - m)\bigr)\), \(P\) […] de poids \(m+1\). Sur \(B = \mathbb{Z}\bigl[(\lambda^{i}(X))_{1 \leqslant i \leqslant m}\bigr]\) : […] \(\gamma^{m}(X - m)\) […] de « filtration » \(\geqslant m+1\) (pour \(m \geqslant n\)).

Les axiomes : \(K\) augmenté, les \(E_{s}\), le déterminant et les classes de Chern

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\(K\) un \(\lambda\)-anneau \(\mathbb{Z}\)-augmenté, \[ \varepsilon : K \longrightarrow \mathbb{Z} , \] muni d'une famille d'éléments \((E_{s})_{s \in S}\) satisfaisant \[ \begin{cases} \varepsilon(E_{s}) = n_{s} \geqslant 0, \\[2pt] \lambda^{i} E_{s} = 0 & \text{si } i > n_{s}, \\[2pt] \lambda^{n_{s}} E_{s} \text{ inversible}, \end{cases} \] […] pour les \(\lambda^{i}\) et (avec \(\varepsilon = 1\)) pour \(\sigma\) : \(\lambda^{i}\) […]

\([\,\)[…] engendré […] \(K\,]\), […] et […] \[ K \;\xrightarrow{\ \text{dét}\ }\; K^{*} \] tel que \[ \text{dét}(E_{s}) \;=\; \lambda^{n_{s}}(E_{s}) . \] \([\,\)ce qui […] détermine […]\(\,]\)

Une deuxième donnée explicite […] des structures précédentes […] « dans » un \(\widetilde{A}\) […] , […] […] […] de \(\lambda\)-[…] […] \[ c : K \longrightarrow \widetilde{A} \] \([\,\)[…] défini par \(\lambda\), […] commutatifs […] sur les \(E_{s}\,]\) tel que \[ c^{i}(E_{s}) \;=\; 0 \quad \text{pour } i > n_{s} , \qquad c^{1}(E) \;=\; c^{1}(\text{dét } E) . \] […] comparaison ?? […] \(\lambda^{n_{s}}(E_{s})^{-1}\) […] les \(\lambda^{i}\) de […] \(E_{s}\) […] \(A\) universel,

En particulier, ceci définit pour \(n_{s} = 1\) : \(\widetilde{E}_{s}\), \(\widetilde{c}(E_{s}) = [\,1,\; 1 + c^{1}(E_{s})\,]\) et \(c^{1}(E_{s})\) additive : \(c_{1}(E_{s}E_{t}) = c_{1}(E_{s}) + c_{1}(E_{t})\)

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[…] noté \(C^{*}K\), défini par les générateurs \[ c^{i}(x) \qquad i \geqslant 1 \] et les relations \[ \begin{cases} c^{i}(1) = 0 & i \geqslant 1, \\[3pt] c^{n}(x+y) = \displaystyle\sum_{i+j=n} c^{i}(x)\,c^{j}(y) & x, y \in K,\ n \geqslant 1, \\[8pt] c^{n}(x \ast y) = Q_{n}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{n}(x);\; c^{1}(y), \ldots, c^{n}(y)\bigr) & x, y \in I(K),\ n \geqslant 1, \\[5pt] c^{n}(E_{s}) = 0 & n > n_{s}, \end{cases} \] […] pour tous les \(E_{s}\).

Notons que l'on a \[ \gamma^{n}(E_{s} - n_{s}) \;=\; 0 \qquad \text{pour } n > n_{s} , \] \([\,\)[…] de \(\lambda^{i}(E_{s}) = 0\) pour \(i > n_{s}\,]\), donc […] les […] […] satisfont aux conditions de […] admissibles […] pour les \(E_{s}\), […] \[ \varphi_{K} : CK \longrightarrow GK, \qquad c^{i}(x) \;\rightsquigarrow\; \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \bmod K^{(i+1)} , \] évidemment surjectif.

\([\,\)N.B. plus la famille \((E_{s})\) […] , plus […] \(CK\) devient plus petit, […] plus […] que \(\varphi_{K}\) soit un isomorphisme […]\(\,]\)

À voir : le \(\ast\) de l'itération […] de \(P\bigl(\gamma^{i}(x - \varepsilon(x))\bigr)\) […] \(P\bigl(\gamma^{i}(E_{s} - \varepsilon(E_{s}))\bigr)\) […] \(\varepsilon(E_{s})\) […] ??

N.B. […] la longue note du bas du feuillet, d'une plume plus fine, ne se laisse lire qu'au premier mot

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D'ailleurs, […] fois que tout homomorphisme […] de Chern \[ \chi : K \longrightarrow \widetilde{A} \] \([\,\)qui « respecte » les \(E_{s}\) […]\(\,]\) transforme les éléments de \(K^{(i)}\) en éléments de \(A^{(i)}\), d'où (additif) […] \[ \psi : \mathrm{Gr}\,K \longrightarrow \struck{A}\ G(\widetilde{A}) \simeq A\,! \] \(\bigl[\simeq A\) additivement […] \(\neq 0\bigr]\)

En particulier […] on a […] les \[ \psi : \mathrm{Gr}\,K \longrightarrow \ill{} , \qquad K \longrightarrow CK\,! \] d'ailleurs […] le feuillet s'arrête ici ; les deux tiers inférieurs sont vierges

Construction des Chern covariants, et \(K^{\bullet}\) et \(A^{\bullet}\) à supports

titre pris du feuillet 31, qui ne porte que ces mots, de sa main : « Construction des Chern covariants, et \(K^{\bullet}\) et \(A^{\bullet}\) à supports »

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Soit \(f : X \to Y\) localement de type fini. On définit \(D_{\mathrm{parf}}(f)\) comme la catégorie des hégélienne […] complexes de \(\mathcal{O}_{X}\)-Modules parfaits parfaits relativement à \(f\), et \(K_{\mathrm{parf}}(f)\) en conséquence.

Soit \(Z \subset X\) un fermé […] On définit \(D_{\mathrm{parf},Z}(X)\) comme la catégorie de […] complexes de \(\mathcal{O}_{X}\)-Modules parfaits […] conjoint […] d'où \(K_{Z}(X)\).

On définit de même, \(\Phi\) […] famille : \[ D_{\mathrm{parf},\Phi}(X), \quad K_{\Phi}(X), \qquad D_{\mathrm{parf},\Phi}(X) = \varinjlim_{Z \in \Phi} D_{\mathrm{parf},Z}(X), \quad K_{\Phi}(X) = \varinjlim_{Z \in \Phi} K_{Z}(X) . \]

Soit \(i : Z \to X\) […] \(f\) […] \[ R\,i_{*} : D_{\mathrm{parf}}(\ill{}) \longrightarrow D_{Z}(X), \qquad i_{!} : K_{\ill{}}(\ill{}) \longrightarrow K'_{Z}(X) . \]

Soit […] \(i_{n} : Z_{n} \to X\) […] voisinages […] de \(Z\) dans \(X\), […] alors \[ \varinjlim_{n} D_{\mathrm{parf}}(i_{n}) \longrightarrow D_{Z}(X) , \] le foncteur […] pleinement fidèle […]

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Définir \(K_{\Phi}(X)\) (\(X\) préschéma), définir [en] substituant et l'anneau de Chow \[ \struck{A}\ A_{\Phi}(X) \] (qui […] être les [(]pseudo-[)]anneaux […] par voie d'éliminer \(1\)) et les classes de Chern […] « l'anneau de Chow ordinaire whatever that means » les trois derniers mots sont en anglais sur le feuillet \[ c^{i}_{\Phi} : K_{\Phi}(X) \longrightarrow A_{\Phi}(X) \qquad [\,i > 0\,] \] qui […] Les conditions de multiplicativité […] ordinaire […] \[ c^{n}_{\Phi}(x+y) \;=\; c^{n}_{\Phi}(x) + c^{n}_{\Phi}(y) \;+\; \sum_{\substack{p+q=n \\ p,\,q > 0}} c^{p}_{\Phi}(x)\,c^{q}_{\Phi}(y) \qquad \bigl(x, y \in K_{\Phi}(X)\bigr) \] et […] être compatibles avec les homomorphismes canoniques

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
K_{\Phi}(X) \arrow[r] \arrow[d, "c_{\Phi}"'] & K(X) \arrow[d, "c"] \\
A_{\Phi}(X) \arrow[r] & A(X)
\end{tikzcd}

[…] la démonstration est […] les multiplicités […] Intégrer étudier […] canoniques[)]. Cas :

  1. \(X\) est lisse […] définition […] de […] , mais en prenant […] les cycles sur \(X\) à support \(\subset \Phi\) ;
  2. \(X\) général : on […] manière de définir \(A_{\Phi}(X)\) […] par la \(\lambda\)-procédure […] si une filtration sur […] \(K_{\Phi}(X)\) ?? ;
  3. Classes de Chern cohomologiques ??

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On voit les voisinages […] les plus favorables […] les \(K_{\Phi}(X)\), \(A_{\Phi}(X)\) […] […] […] (multiplications parfaites) […] , […] \(\to B\). […] Utile[)] […] alors, les classifications, définies dans […] \[ K^{\Phi}_{\ill{}}(X/S) \;=\; K^{\Phi}_{\ill{}}(f), \qquad A^{\Phi}_{\ill{}}(X/S) \;=\; A^{\Phi}_{\ill{}}(f), \] […] « covariants » […] […] […] « covariants » […] classes de Chern \[ \operatorname{ch}^{X,\Phi}_{\ill{}} : K_{\ill{}}(X/S) \longrightarrow A_{\ill{}}(X,S), \qquad K^{\Phi}_{\ill{}}(X/S), \quad A^{\Phi}_{\ill{}}(X/S) \ \text{covariants} , \] […] les types de propriétés […] \[ \operatorname{ch}^{Y/S}_{\ill{}}\bigl(g_{\ill{}}(x)\bigr) \;=\; g_{*}\bigl(\operatorname{ch}^{X/S}_{\ill{}}(x)\bigr) , \] \(g_{\ill{}}\bigl(\operatorname{ch}^{X}_{\ill{}}(x)\bigr) = \operatorname{ch}^{\ill{}}_{\ill{}}(\ill{})\) […] plus avec l'image directe. C'est-à-dire compatible dans […]

Mais « R.R. » s'interprète comme […] donnant […] dans certains cas […] fait calculé […] \[ \bigl[\,X/S \ \text{parfait} \ \ill{}\,\bigr] \] d'image \(\operatorname{ch}^{X/S}_{\ill{}}\) […] comme […] à […] [(]comme que[)] explicitables […] \[ K^{\bullet}(X) \longrightarrow K_{\ill{}}(X/\Sigma) , \] […] utilisant […] \(K^{\bullet}(X)\) […]

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LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
K^{\bullet}(i_{n}) \arrow[r, "u"] \arrow[d, "\alpha"'] & \varinjlim_{n} K^{\bullet}(i_{n}) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & K^{\bullet}_{X}(X') \arrow[r] \arrow[d, "\gamma"] & K^{\bullet}(X') \arrow[d, "\delta"] \\
K_{\bullet}(X_{n}) \arrow[r, "u'"'] & \varinjlim_{n} K_{\bullet}(X_{n}) \arrow[r] & K^{X}_{\bullet}(X') \arrow[r, "w'"'] & K_{\bullet}(X')
\end{tikzcd}

les quatre flèches verticales portent chacune la même glose, lue « isom. si \(X'/X\) rig. » ; la flèche \(u\) est annotée « surj. si \(X'\) […] », et la flèche \(u'\) « surj. si \(X'\) […] ». Le membre médian de la ligne supérieure porte en outre, d'une autre encre, la mention « algèbre » et une parenthèse […]

\[ \varinjlim_{n} \struck{D^{\bullet}(i_{n})} \ill{} \] un bloc de trois lignes, au milieu du feuillet, est entièrement raturé ; deux relations subsistent en marge : \(w'v' = \mathrm{id}\) et \(v'w' = \mathrm{id}\)

\[ \operatorname{ch}\bigl(i_{!}\,x\bigr)\,\operatorname{Todd}(X'/S) \qquad X'/S \]

Filtration sur \(K^{\bullet}_{X}(X')\). le feuillet s'arrête sur ce titre : rien ne suit

R.R. des surfaces, et autres cas particuliers divers

titre pris du feuillet 39, qui ne porte que ces mots, de sa main : « R.R. des surfaces, et autres cas particuliers divers »

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\(f : X \longrightarrow Y\) morphisme propre.

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
K(X) \arrow[r, "f_{!}"] \arrow[d, "\widetilde{c}_{X}"'] & K(Y) \arrow[d, "\widetilde{c}_{Y}"] \\
\widetilde{A}(X) \arrow[d, "h_{X}"'] & \widetilde{A}(Y) \arrow[d, "h_{Y}"] \\
A(X) \otimes \mathbb{Q} \arrow[d, "\tau_{h}(X)"'] & A(Y) \otimes \mathbb{Q} \arrow[d, "\tau_{h}(Y)"] \\
A(X) \otimes \mathbb{Q} \arrow[r, "f_{*}"] & A(Y) \otimes \mathbb{Q}
\end{tikzcd}

\[ \tau_{h}(Y)\,\varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\bigl(\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(\xi)\bigr) \tag{1} \]

Exemples.

1) \(f\) une injection. […] \(Y\) […] alors […] donnant \[ c^{d}_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\bigl[\,c^{\ill{}}(\ill{})\,\bigr] \] […] et (1) pour le […] alors une formule meilleure, \[ \ill{} \;=\; f_{*}\left[\, \frac{c^{q+d}\bigl(\struck{\ill{}}\ \widetilde{C}(\xi) \ast \lambda_{-1}\bigl(\widetilde{C}(T_{Y/X})\bigr)\bigr)} {(-1)^{q}\,c^{q}_{Y}(T_{Y/X})}\,\right] \tag{2} \] \[ \varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\Bigl(\varphi_{X}(\xi)\,\tau_{h}(T_{Y/X})^{-1}\Bigr) \tag{1 bis} \] dans (2), la ligne inférieure est d'une encre bleue, écrite sous une barre : elle est lue ici comme le dénominateur d'une fraction, mais elle peut aussi bien être une variante portée après coup

[(]5.13[)] […] [(]\(\leqslant\) Notes précises[)] \[ f_{!}\bigl(\tau_{X}(F)\bigr) \;=\; \tau_{Y}(F) . \]

2) \(f\) […] une surjection fibrée. […] \(X\) […] alors […] \[ f_{!}\bigl(\tau_{X}(E)\bigr) \;=\; \sum_{i} (-1)^{i}\,\tau_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) , \] […] \(E^{(i)}\) est le fibré vectoriel sur \(Y\) dont […] le \(i\)-ème […] de […] du foncteur de \(X \to Y\). On a donc \[ \varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\tau_{X}(E))\bigr) \;=\; \sum_{i} (-1)^{i}\,\varphi_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) . \] Dans le cas où \(E^{(i)} = 0\) pour \(i > 0\), […] plat. […] \(E(u)\) […] provenant d'un […] si […] remplace \(E\) […] coh. fermé dans une […] […] de \(X\) […] obtient ainsi \(\varphi_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr)\) dans \(\widetilde{C}_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr)\) […] projectif[)] […] […] 2 fortiori […] les cinq dernières lignes sont traversées par l'encre du verso et ne se laissent lire que par fragments