Cote n° 2, pages 1–20 — Transcription

Cote n° 2 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Théorème de Riemann-Roch / RR [Riemann-Roch] Notes Antiques (antérieur[es à] 1958) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1957]
Édition de démonstration

Classique pour les Courbes

Le titre est de lui : il est encadré au crayon sur la chemise qui ouvre le lot (page 1), laquelle ne porte rien d'autre. Au-dessus de l'encadré, biffé de longs traits obliques : Fonctorialité des variances […] de R.R.

2\(X\) courbe non singulière.

\(E\) anneau des classes de faisceaux cohérents mod. les \((F) - (F') - (F'')\), \(\rightarrow\) suite exacte \(0 \to F' \to F \to F'' \to 0\) où […]

\(E_{0}\) noyau de l'[…]le mot, abrégé, n'a pas été lu ; il commence par un \(g\) et se termine en -ti. ([…])

\(\mathcal{D}\) sous-anneau engendré par les faisceaux définis du type \(k_{x}\) ; \(\mathcal{D}\) = groupe des diviseurs. \({}^{*}\)C'est l'annulateur de \(E_{0}\), donc un idéal.

\(N\) sous-groupe de \(E\) engendré par les \((F) - (F') - (F'')\).

\(\mathcal{D} \cap N\) […] diviseurs « \(f\)-équivalents » à \(0\), identiques àle préfixe entre guillemets est une haste bouclée ; il pourrait aussi bien être un \(l\) pour « linéairement », ou le signe \(\int\) que la page 3 emploie pour la caractéristique.

\(\mathcal{L}\) groupe des diviseurs équivalents à \(0\).

\(\Phi\) sous-algèbre de \(E\) engendrée par les faisceaux loc. libres \(\simeq\) algèbre des classes de fibrés vectoriels, […]

\(\Phi_{N}\) (quotient de \(\Phi\) par le sous-groupe (\(=\) idéal) engendré par les \(c(E)\), \(c(E')\), […])

\({}^{*}\) \(E = \Phi + \mathcal{D}\), \(\Phi \cap \mathcal{D} = 0\)

\({}^{*}\) \(E/N \simeq \Phi/\Phi_{N} \simeq \mathbb{Z} + \mathfrak{P}\) (1)

\({}^{*}\) […]

(1) \(\mathbb{Z} + \mathfrak{P} \to E/N\) fait correspondre à \((1,0)\) la classe de \(\underline{\mathcal{O}}_{X}\), et sur \(\mathfrak{P}\) […] déduit par passage au quotient de l'injection \(\mathcal{D} \subset E\).

Proposition. \(N\) est engendré [par] les \(c(E) - c(E') - c(E'')\), où \(E' \to E \to E'' \to 0\) est une suite exacte de fibrés vectoriels, et les \[ c(E) - c(F) - c\bigl(\underline{\mathcal{O}}_{X}(E)/f\,\underline{\mathcal{O}}_{X}(F)\bigr), \] où \(E\) et \(F\) sont des fibrés linéaires et \(f : F \to E\) un […], i.e. \(f \in H^{0}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}(F^{*} \otimes E))\).

[En] d'autres [termes], […] les \(\lambda(D + D') - \lambda(D') - \ill{}\), où \(D\) et \(D'\) diviseurs, et où \(\lambda(\Delta)\) est la classe du faisceau inversible [ou] fibré vectoriel associé au diviseur \(\Delta\). Ce qui se ramène à \(D \geqslant 0\).

3[…]un mot de huit ou neuf lettres, commençant par L-i et finissant en -tion précédant la proposition est équivalente aux suivantes : \[ \mathcal{D} + N = E_{0}, \qquad \mathcal{D} \cap N = \mathcal{L}, \qquad \struck{\Phi + N = E}, \qquad \Phi \cap N = \Phi_{N} . \]

Définition de l'application \(E \longrightarrow \mathbb{Z} + \mathfrak{P}\) :

sur \(\mathcal{D}\) : coïncide avec l'application canonique \(\mathcal{D} \to \mathfrak{P}\) ;
sur \(\Phi\) : soit \(E\) un fibré vectoriel, fibre de type \(k^{n}\) et de classe de Chern \(c^{1}(E) \in \mathfrak{P}\) ; on prend \(h(E) = (n,\, c^{1}(E))\).

Soit \(F\) un faisceau algébrique cohérent, \(c(F) \in \mathbb{Z} + \mathfrak{P}\) ; on voit que \[\begin{equation*} \int(F) \;=\; K_{1}\!\left( c(F) \cdot \left(1 - \tfrac{1}{2}K\right) \right) \qquad (K \in \mathfrak{P}) \tag{1} \end{equation*}\] où \(K\) est la classe canonique ; \(K_{1}\) est la forme linéaire sur \(\mathbb{Z} + \mathfrak{P}\) qui est \(0\) sur \(\mathbb{Z}\), et sur \(\mathfrak{P}\) l'application « degré » \(\mathfrak{P} \to \mathbb{Z}\). Pour vérifier (1), il suffit de le vérifier pour \(F = k_{x}\) et pour \(F = \underline{\mathcal{O}}_{X}\).

Le symbole \(\int\) est, sur le feuillet, une haste bouclée en forme de \(s\) long ; c'est la caractéristique d'Euler-Poincaré que la formule calcule. Le symbole \(\mathfrak{P}\) est un capitale cursive barrée d'un trait horizontal, distincte du \(\mathcal{L}\) de la page 2.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathfrak{P} & \mathcal{D} \arrow[rd] & & \\
\mathcal{L} = \mathcal{D} \cap N \arrow[ru] \arrow[rd, "?"'] & & \mathcal{D} + N = E_{0} \arrow[r] & E \\
& N \arrow[ru] & &
\end{tikzcd}

Sur le feuillet, \(\mathfrak{P}\) surmonte \(\mathcal{D}\) ; deux accolades embrassent la partie droite du dessin, celle du haut portant \(\Phi\), celle du bas \(\mathbb{Z}\), et sous celle du bas : « \(E/N\) classes de faisceaux ».

4\(X\) préschéma [noethérien] admettant aussi un Module inversible ample, \(\dim X \leqslant 1\).

\(K^{\bullet}(X)\) augmenté vers \(H^{0}(X, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)}\), \(\quad E \rightsquigarrow (\mathrm{rg}_{i}(E))_{i \in \pi_{0}(X)}\).

L'idéal d'augmentation \(I(X)\), […] on a aussi \[ \left. \begin{array}{l} \text{si } x \in I(X),\ \ill{} \\[2pt] \gamma^{i}(x) = 0 \quad \text{pour } i \geqslant 2 \end{array} \right\} \qquad F^{i}_{\gamma}(K^{\bullet}(X)) = 0 \ \text{si } i \geqslant 2 . \]

Donc \[ K^{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)} \times K^{(1)}(X), \qquad K^{(1)}(X) = \mathrm{Pic}(X) \simeq \prod_{i \in \pi_{0}(X)} \mathrm{Pic}(X_{i}), \] Donc \(E\) \(K^{\bullet}(X)\) entièrement déterminé […] comme \(\lambda\)-anneau augmenté ; […] par les \(\mathrm{Pic}(X_{i})\), \(i \in \pi_{0}(X)\).

Si \(E\) est un fibré vectoriel faisceau loc. libre de rang \(0\) […] sur \(X\), […] \[ \mathrm{cl}(E) = \bigl[\mathrm{rg}(E),\, c^{1}(E)\bigr] \qquad \text{où } c^{1}(E) = \det(E), \] \[ \Bigl[\ \text{i.e.}\quad \mathrm{cl}(E) = \sum_{i} \mathrm{rg}_{i}(E)\cdot 1_{i} + \bigl[\mathrm{cl}(\det E) - 1\bigr] = \sum_{i} \bigl(\mathrm{rg}_{i}(E) - 1\bigr) 1_{i} + \mathrm{cl}(\det E)\ \Bigr] \] la ligne d'au-dessus porte, insérée, \((\mathrm{rg}_{i}(E))_{i \in I}\).

On a \(B^{\bullet}(X) = \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)} \times \mathrm{Pic}(X)\), et \(K^{\bullet}(X) \xrightarrow{\ c\ } B^{\bullet}(X)\) est l'identité, avec les identifications précédentes.

\(K_{\bullet}(X)\) augmenté vers \(\mathbb{Z}^{\pi_{0}^{(1)}(X)}\), \(\quad F \rightsquigarrow (\mathrm{lg}_{i}(F))_{i \in \pi_{0}^{(1)}(X)}\) [\(\pi_{0}^{(1)}(X)\) = ens. des composantes irréductibles de \(\dim 1\)].

Le noyau est \(K_{0}(X)\) ; il est isomorphe à \[ \mathbb{Z}^{k^{(0)}(X)} \times \mathrm{Pic}'(X) \;=\; \mathbb{Z}^{k^{(0)}(X)} \times \prod_{i \in \pi_{0}^{(1)}(X)} K_{0}(X_{i}) \] sous l'indice du produit il écrit « […] des composantes connexes de \(\dim 1\) », et il souligne « \(\dim 1\) » deux fois.

6Pour écrire les opérations de variance entre \(K^{\bullet}(X)\) et \(K_{\bullet}(X)\), […] ([…] et […] \(1\) de \(K_{\bullet}(X)\) […] pour simplifier l'écriture.) \(X\) courbe.

(a \(1^{\circ}\)) \(\dim X = 0\).

Les opérations de \(K^{\bullet}(X)\) […]. \(1 \in K_{\bullet}(X)\) donné par […] : \[ \mathrm{lg}(1) = (\mu_{i}) \in \mathbb{Z} \qquad \text{seul invariant de la situation} \] […] ici \(c^{\bullet} = \mathrm{ch}^{\bullet} = \mathrm{id}_{K}\) ? \[ K^{\bullet}(X) \xrightarrow{\ \mathrm{rg}\ } \mathbb{Z}, \qquad K_{\bullet}(X) \xrightarrow{\ \mathrm{lg}\ } \mathbb{Z} \] (isomorphismes de \(\lambda\)-anneaux), et \(K^{\bullet}(X) \rightsquigarrow K_{\bullet}(X)\) : pour \(2\) choix !

\(2^{\circ}\)) \(\dim X = 1\). […] on a les invariants suivants :

a)L'ens. fini \(K = \pi_{0}(X)\) des comp. irréd. de \(X\) ;
b)les […] ; \(\delta \in K_{0}(X)\) […] ; \((\mu_{i})_{i \in K}\) (dans […] \(\mathrm{lg}_{i}(\underline{\mathcal{O}}_{X})\)), \(\bigl(= 1 - \sum \mu_{i} 1_{i}\bigr)\) les deux lignes de ce point sont réunies par une accolade sur le feuillet ;
c)Le groupe \(K^{(1)} = \mathrm{Pic}(X)\) ;
d)Le groupe \(K^{\varepsilon}_{(0)} = K_{(0)}(X_{i})\), […] \(\prod_{i \in K} K^{i}_{(0)}\) ;
d)D'autres […] : \(u_{i} : K^{(1)} \to K^{\varepsilon}_{(0)}\), […] \(i \in K\), \(L \rightsquigarrow \mathrm{cl}\bigl((L-1)\underline{\mathcal{O}}_{X_{i}}\bigr)\).

un invariant, dépendant du […] choix […] la classe […] [de] l'élément \(1\) de \(K_{\bullet}(X)\)

[…] on écrit […] comment \[ K^{\bullet}(X) = \mathbb{Z} \times K^{(1)} \xrightarrow[\ = \mathrm{id}\ ]{\ c^{\bullet} = \mathrm{ch}^{\bullet}\ } B^{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z} \times K^{(1)} , \] \[ K_{\bullet}(X) = \mathbb{Z}^{K} \times K_{(0)} \ \struck{\ill{}} \ = \ B_{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z}^{K} \times K_{(0)} . \] \(K^{\bullet}(X) \rightsquigarrow K_{\bullet}(X)\) : il suffit pour […] définir des \(K_{\bullet}(X)\) […] opérations […] de degré filtrant \(\geqslant 1\) [[…]], […] \[ \mathbb{Z}^{K} \longrightarrow K_{(0)}, \qquad \struck{\ill{}} \qquad \xi \rightsquigarrow \bigl(\uncertain{\lambda_{i}}\, u_{i}(\xi)\bigr)_{i \in K} . \]

7Homo. de \(K^{\bullet}(X)\) dans \(K_{\bullet}(X)\), défini par \(1_{\bullet} \in K_{\bullet}(X)\) défini par \[ 1_{\bullet} = \sum \mu_{i}\, 1_{i} + \delta_{\varepsilon} . \] Alors […] \[ u(n, \xi) \;=\; \sum n\,\mu_{i}\, 1_{i} \;+\; \Bigl( n\,\delta_{\varepsilon} + \sum \mu_{i}\, u_{i}(\xi) \Bigr), \qquad n \in \mathbb{Z},\ \xi \in K^{(1)} . \]

[…] on définit […] de […] même \(K_{\bullet}(X) \xrightarrow{\ c_{\bullet} = \mathrm{ch}_{\bullet}\ } B_{\bullet}(X)\), \(c_{\bullet}(\xi_{\bullet}) = \ill{}\)le bas du feuillet est barré de longues obliques ; la formule qu'elles traversent fait intervenir les \(\mathrm{lg}_{i}(\xi_{i})\) et une soustraction de \(\sum \ill{}\, 1_{i}\), et n'a pas été lue.

Contre-exemples

Le mot est de lui : il est seul, en haut à droite de la chemise qui ouvre le second lot (page 8).

9\[ X \xrightarrow{\ i\ } X \times \mathbb{P}^{r}, \qquad F \otimes L . \] \[ \underline{K}(X \times \mathbb{P}^{r}) = \underline{K}(X) \otimes \underline{K}(\mathbb{P}^{r}) \big/ \bigl(\xi = 1 - L^{-1}\bigr) . \] \[ i_{!}(x) = p^{!}(x) \otimes q^{!}(\xi^{r}) = x \otimes \xi^{r}, \] \[ \widetilde{C}(i_{!}(x)) = \widetilde{C}(x \otimes \xi^{r}) = \widetilde{C}(x) * \widetilde{C}(\xi^{r}) . \]

\(\underline{K}(X) \to \underline{K}(X \times \mathbb{P}^{r})\) est injectif ; on a le carré

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\underline{K}(X) \arrow[r, "\text{inj.}"] \arrow[d, "\widetilde{c}_{X}"'] & \underline{K}(X \times \mathbb{P}^{r}) \arrow[d, "\widetilde{c}_{X \times \mathbb{P}^{r}}"] \\
\widetilde{A}(X) \arrow[r] & \widetilde{A}(X \times \mathbb{P}^{r})
\end{tikzcd}

[…] \(p_{*} i_{*}(x) = (p i)_{*}\, x = x\).

\[ \xi^{r} = \sum_{i=0}^{r} \binom{r}{i} (-1)^{i} L^{-i}, \qquad \widetilde{C}(\xi^{r}) = \prod_{i=0}^{r} (1 - i\eta)^{(-1)^{i} \binom{r}{i}} . \] \[ \widetilde{C}(i_{!}(x)) = \prod_{i=0}^{r} \Bigl[\, \widetilde{C}(x) * (1 - i\eta) \,\Bigr]^{(-1)^{i} \binom{r}{i}} \] \[ \struck{= \prod_{i=0}^{r} \Bigl[ (1 - i\xi)^{\varepsilon(x)} \sum_{i=0}^{\infty} C^{i}(x) \Bigr]} \]

\[ \widetilde{C}(x) * (1 - i\eta) = \widetilde{C}(x) * \bigl[1,\ 1 - i\eta\bigr] - \widetilde{C}(x) = \Bigl[\ \varepsilon(x),\ 1 + \cdots + \sum_{j=0}^{k} C^{j}(x)\,(-i\eta)^{k-j}\ \Bigr] \] une accolade court sous le dernier terme et porte « \(k\)[…] terme […] \(C^{k}\) de la seconde […] : \(\widetilde{C}(x) * [1,\, 1 - i\eta]\) » ; le milieu de cette glose n'a pas été lu.

\[ \widetilde{C}(\xi^{r}) = 1 + (-1)^{r+1}(r-1)!\ \eta^{r}, \] d'où \[ \widetilde{C}(i_{!}(x)) = \widetilde{C}(x) * \Bigl(1 + (-1)^{r+1}(r-1)!\ \eta^{r}\Bigr) \] \[ = \Bigl(1 + (-1)^{r+1}(r-1)!\ \eta^{r}\Bigr)^{\varepsilon(x)} \Bigl( C(x) * \bigl(1 + (-1)^{r+1}(r-1)!\ \eta^{r}\bigr) \Bigr) \] \[ = 1 + \sum_{i=1}^{\infty} Q_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x);\ 0, \ldots, \uncertain{\alpha^{(i/r)}}, 0, \ldots, 0\bigr) \] les exposants \((-1)^{r+1}\) de ce bloc sont écrits \((-1)^{r-1}\) à la page suivante ; la page ne tranche pas.

\(b_{\gamma} = 1 - L(-\gamma)\), \(1 - b_{\gamma} = L(-\gamma)\)

11Or \(Q_{i}\) […] […] en […] contenant […] singulier ; en dehors, sachant que \((\eta^{r})^{n} = 0\) si \(n > 1\). Donc on trouve \[ Q_{i}(\cdots) = \begin{cases} 0 & \text{si } i < r, \\[4pt] (-1)^{r-1}(r-1)!\ Q^{(r)}_{i-r}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr) & \end{cases} \] où \(Q^{(r)}_{i-r}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr)\) […] est le coefficient de […] ([…] de poids \(i - r\)) \(d^{r}\) dans \(Q_{i}(c^{1}, \ldots, c^{i};\, d^{1}, \ldots, d^{i})\) (\(r \leqslant i\)) ([…] Attention […]).

\[ \widetilde{C}(i_{!}(x)) = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \Bigl[\ \varepsilon(x) + \sum_{i=0}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr) \Bigr] \]

Comparons avec R.R. \(\widetilde{C}(i_{!}(x)) = \struck{\ill{}}\ (i_{*})_{r}\bigl(\widetilde{C}(x)\bigr)\). On voit que \[ (i_{*})_{r}\Bigl[\ \eta \sum_{0}^{\infty} x^{i} \Bigr] = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \Bigl[\ 1 + \sum_{i=0}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(x^{i}, \ldots, x^{i}\bigr) \Bigr] \]

N.B. \(Q^{(r)}_{0}(c^{1}, \ldots, c^{r}) = 0\), i.e. \(Q_{r}^{\sharp}(c^{1} \ldots c^{r};\, 0, \ldots, 0, d^{r}) = 0\), i.e. \((1 + c^{1} \ill{} - c^{r}) * (1 + d^{r})\) […] à filtration \(\geqslant r+1\).

De […] on voit \[ Q^{(r)}_{1}(c^{1}) - \struck{\ill{}} = -\ \frac{(r+1-1)!}{(r-1)!\,(1-1)!}\ c^{1} = -\,r\,c^{1} . \]

[…] les coefficients numériques […] le \((r-1)!\) […] provenant des \(Q^{(r)}_{i}\).

13Conséquence. Soit dans \(Y\) un hyperplan, […] \(x' \in A^{1}(X)\) sa classe ; on a \[ \widetilde{C}_{X}(Y) = \bigl(1 - \struck{c^{1}(x)}\ x'\bigr)^{-1} = \sum x'^{\,n} , \] \[ \widetilde{C}_{X \times \mathbb{P}^{r}}\bigl(i_{!}(\underline{\mathcal{O}}_{Y})\bigr) = \widetilde{C}_{X \times \mathbb{P}^{r}}(Y \times \mathbb{P}^{r}) = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)! \sum_{i=1}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(x',\, (x')^{2}, \ldots, (x')^{i}\bigr) \] \[ = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \sum_{i=1}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(x',\, (x')^{2}, \ldots, (x')^{i}\bigr) \] une accolade sous la somme porte \(c_{i,r}\,(x')^{r}\).

Si donc \((r-1)!\,x' = 0\), […] \(\widetilde{C}_{X \times \mathbb{P}^{r}}(Y \times \mathbb{P}^{r}) = \uncertain{0}\), donc […] pour prendre […] \(Y'\) […] soit \(x' = 0\).

Le dernier membre est lu \(0\) ; l'argument attendrait \(1\), et la page ne tranche pas.

Modules sur un topos annelé où un groupe opère

Le titre est de l'éditeur : ces quatre feuillets ne sont précédés d'aucune chemise inscrite dans ce lot, et leur sujet n'est pas celui des « Contre-exemples » qui précèdent.

15[…] \(\mathcal{X}\) Topos annelé, \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}} = \mathcal{O}\) son anneau (supposé commutatif).

Pour tout groupe \(G\), on considère la catégorie \[ A(\mathcal{X}, G) \] des Modules sur \(\mathcal{X}\) où \(G\) opère. On a, pour un [homomorphisme] \(u : G \to G'\), un homomorphisme de restriction \[ u^{*} : A(\mathcal{X}, G') \longrightarrow A(\mathcal{X}, G) \] et […] un homomorphisme […] \[ u_{*} : A(\mathcal{X}, G) \longrightarrow A(\mathcal{X}, G') . \] Lorsque \(u\) est injectif, […] on a […] un isomorphisme canonique […] \[ u^{*} u_{*}(F) \simeq F^{(G'/G)} \quad \ill{} \] Si on se borne aux sous-catégories pleines […] formées des Modules loc. libres, resp. libres de type fini, resp. loc. libres de type fini) sur \(\mathcal{O}[G]\), elles sont stables par les foncteurs précédents. Elles […] par les foncteurs que […] définit maintenant.

Dans \(A(\mathcal{X}, G)\) on a l'opération \(\otimes\) (commutative et associative), […]

16[…] on a les isomorphismes fonctoriels \[ u^{*}(F' \otimes G') \simeq u^{*}(F') \otimes u^{*}(G') \] et pour \(u_{*}\) […] la « formule de projection » \[ u_{*}\bigl(F \otimes u^{*}(G')\bigr) \simeq u_{*}(F) \otimes G' . \]

[On a aussi les opérations \(\lambda^{i}\) (et […] les opérations tensorielles) qui […]. Mais il est désirable […] plus bas des opérations […] \(\otimes\)]

[…] on définit […] le produit tensoriel « extérieur » : \[ F \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, G), \qquad G \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, H), \] \[ F \boxtimes G = \mathrm{pr}_{1}^{*}(F) \otimes \mathrm{pr}_{2}^{*}(G) \ \in\ \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, H \times G) . \] […] les […] inverses […] \[ u^{*}(F \boxtimes G) \simeq u^{*}(F) \boxtimes u^{*}(G), \] \[ F \otimes G \ \rightsquigarrow \ = (\mathrm{diag}_{G})^{*}(F \boxtimes G) . \]

17On désigne par \[ u_{pq} : \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q} \longrightarrow \mathfrak{S}_{p+q} \] l'injection canonique, et on pose, pour \(F \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, p)\), \(G \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, q)\) : \[ F * G = u_{pq\,*}\bigl(F \boxtimes G\bigr) \ \in\ \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, p+q) . \] L'opération \(F * G\) […] est « commutative » et « ass. ». […] […]

\(A(\mathcal{X}, p)\) abrège \(A(\mathcal{X}, \mathfrak{S}_{p})\) ; son \(\mathfrak{S}\) est un \(S\) bouclé.

18Formules \(\bigl[F, G \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X})\bigr]\) : \[ T^{n}(F + G) \simeq \coprod_{p+q=n} T^{p}(F) * T^{q}(G), \] \[ T^{m}\bigl(T^{n}(F)\bigr) \simeq w_{m,n}^{*}\bigl(T^{mn}(F)\bigr), \] \[ T^{m}(F \otimes G) \simeq T^{m}(F) \otimes T^{m}(G) \] \[ \bigl[\ w_{m,n} : \mathfrak{S}_{m} \longrightarrow \mathfrak{S}_{\ill{}} \ \ill{} \text{convenable} \ \bigr] \]

Nous […] les Modules \(F\) ayant la […] […] \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}}(\mathfrak{S}_{n})\) […] la propriété suivante : (\(*\)) \(F \rightsquigarrow\) le […] […] les faisceaux \[ u_{pq\,*}\bigl(F_{p_{1} p_{2} \ldots p_{r}}\bigr) \qquad \Bigl(\sum p_{i} = n,\ \ill{},\ p_{i} \geqslant 0,\ r \in \mathbb{N}\Bigr) \] […] des faisceaux […] loc. […] \(\bigl(\mathfrak{S}_{p_{1}} \times \mathfrak{S}_{p_{2}} \times \cdots \times \mathfrak{S}_{p_{r}}\bigr)\).

Cas des schémas

Les mots sont de lui : la chemise qui ouvre le troisième lot (page 19) porte « Cas des schémas », souligné, puis le sommaire de ce qui suit — « Filtration des \(\lambda\)-anneaux, classes de Chern universelles ; \(\lambda\)-anneaux "spéciaux" i.e. avec éléments "géométriques" ; Application », suivi d'un signe de validation.

20\(K\) \(\lambda\)-anneau […] spécial, \((x_{s})_{s \in S}\) […] famille de générateurs (pour la structure) […]

On introduit […] \(\lambda\)[…] \(K \xrightarrow{\ \rho\ } \widetilde{A}\) (\(\widetilde{A}\), […]).

Il n'y a […] plus d'applications universelles, et […] avec l'aide des \(x_{s}\), on […]

E Ne […] que […] […] structure \(S\) […] \(+\), \(*\) et […]

Exemple : considérons […] \(B\) le […] spécial […] engendré par […] générateurs \(X_{s}\) (\(s \in S\)) soumis à […] (\(X_{s}\) […] \(\varepsilon(s)\)), i.e. \[ \lambda^{i}(X_{s}) = 0 \ \text{si } i > \varepsilon(s), \qquad \lambda^{\varepsilon(s)}(X_{s}) \ \text{inversible} . \] D'où \[ B = \mathbb{Z}\Bigl[\bigl(\lambda^{i}(X_{s})\bigr)_{s \in S,\ 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)}\Bigr] \Bigl[\bigl(\lambda^{\varepsilon(s)}(X_{s})\bigr)^{-1}\Bigr] . \] Prenons \(y = \) la famille \((X_{s})_{s \in S}\). […] \[ CB = \mathbb{Z}\Bigl[\bigl(C^{i}_{s}\bigr)_{\struck{\ill{}}}\Bigr], \qquad \ill{} \quad \widetilde{C}(X_{s}) = \Bigl[\varepsilon(s),\ 1 + C^{1}_{s} \cdots \ill{}\Bigr] . \] Il y a sur \(\widetilde{C}B\) une filtration, d'[…]

[…] \(\gamma\)-filtration […] \(\widetilde{C}K\), \(GK = \mathrm{gr}\,K\), \(\psi_{K} : GK \to G\widetilde{C}K \simeq CK\) […]

Proposition 1. […]

Proposition 2. […] \(\varphi_{K} : GK \longleftarrow CK\), \(\varphi_{K}\psi_{K} = (-1)^{i}\,(i-1)! \cdot \mathrm{id}\) […]

Le bas de ce feuillet est une suite serrée d'énoncés dont seuls les symboles portent ; la prose qui les relie n'a pas été lue.