Cote n° 2 · pages 1–44 · Lecture modernisée · Théorème de Riemann-Roch / RR [Riemann-Roch] Notes Antiques (antérieur[es à] 1958) : notes manuscrites (s.d.). — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [1957]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–1

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations. Le dossier est un paquet de courses, séparées par cinq chemises qu'il a inscrites lui-même (pages 1, 8, 19, 31 et 39) et que les titres de section reprennent ici. Voici ce que chacune contient.

1. Pages 2 et 3, sous « Classique pour les Courbes » : Riemann-Roch sur une courbe non singulière, écrit dans l'anneau \(E\) des classes de faisceaux cohérents. C'est la \(K\)-théorie avant la lettre \(K\).
2. Pages 4, 6 et 7 : le même énoncé refait en \(K\)-théorie, pour un schéma noethérien de dimension \(\leqslant 1\), avec les deux variances \(K^{\bullet}\) et \(K_{\bullet}\), la filtration \(\gamma\), \(\operatorname{Pic}\) et \(\pi_{0}\).
3. Pages 9, 11 et 13, sous « Contre-exemples » : la classe de Chern totale d'une image directe le long de \(X \to X \times \mathbb{P}^{r}\), le facteur \((r-1)!\), et une classe non nulle dont la classe de Chern totale vaut \(1\).
4. Pages 15 à 18 : les Modules sur un topos annelé où un groupe opère, le produit d'induction sur les groupes symétriques, et les formules pour les puissances tensorielles \(T^{n}\).
5. Pages 20 à 29, sous « Cas des schémas » : le formalisme des \(\lambda\)-anneaux. L'anneau de Chern \(CK\), le gradué \(GK\) de la filtration \(\gamma\), la comparaison entre les deux, le facteur \((-1)^{i-1}(i-1)!\), et un contre-exemple à la bijectivité.
6. Pages 32 à 37, sous « Construction des Chern covariants, et \(K^{\bullet}\) et \(A^{\bullet}\) à supports » : les catégories dérivées de complexes parfaits, la \(K\)-théorie et les groupes de Chow à supports, et Riemann-Roch conçu comme la mesure d'un défaut de covariance.
7. Pages 40 à 44, sous « R.R. des surfaces, et autres cas particuliers divers » : le carré de Grothendieck-Riemann-Roch, ses formules (1), (1 bis), (2) et (1 ter), puis les exemples — une fibration, une courbe dans une courbe, un revêtement, une courbe dans une surface.

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire. Quatre liens, qu'aucun feuillet n'énonce, et dont chacun enjambe au moins une chemise.

Le premier : le facteur \(1 - \tfrac{1}{2}K\) par lequel la page 3 multiplie la classe d'un faisceau est la classe de Todd \(\tau_{h}(X) = 1 - \tfrac{1}{2}k\) de la page 42. Le même nombre, sur le même objet — une courbe —, à trente-neuf feuillets et au moins une campagne d'écriture de distance, sous deux notations dont aucune ne renvoie à l'autre.

Le deuxième : l'opérateur \(K_{1}\) de la page 3, défini comme la forme linéaire nulle sur \(\mathbb{Z}\) et égale au degré sur les classes de diviseurs, est l'opérateur \(K_{p}\) de la page 41 et le \(K_{2}\) de la page 44. Un seul opérateur : prendre la composante de degré \(p\), puis son degré. Il est écrit ici \(\deg\) partout.

Le troisième, et c'est le plus lourd : le \((r-1)!\) des pages 9 à 13 et le \((i-1)!\) de la page 21 sont le même facteur, et les deux contre-exemples qu'ils servent à construire sont le même contre-exemple. Sur les feuillets géométriques, une classe de diviseur de torsion tuée par \((r-1)!\) donne une classe non nulle de classe de Chern totale triviale. Sur les feuillets algébriques, l'anneau \(CK\) a de la torsion là où le gradué \(GK\) n'en a pas, et la flèche de l'un vers l'autre n'est donc pas injective. C'est une seule et même chose, dite deux fois et jamais rapprochée.

Le quatrième est de cette lecture et non du dossier. Les trois manifestations précédentes sont des cas particuliers d'une identité que personne n'écrit ici : si \(c\) est la classe de Chern totale et \(\operatorname{ch}\) le caractère de Chern, alors \[ \log c \;=\; \sum_{m \geqslant 1} (-1)^{m-1}(m-1)!\,\operatorname{ch}_{m} . \] La page 43 en calcule, sans la nommer, les deux premiers termes, en écrivant la classe de Chern totale comme l'exponentielle de \(\operatorname{ch}_{1} - \operatorname{ch}_{2}\).¹

Deux liens plus faibles, et il faut dire pourquoi ils sont plus faibles. Les pages 15 à 18 construisent les opérations \(\lambda^{i}\) par puissances tensorielles à opérateurs, c'est-à-dire exactement les opérations dont les pages 20 à 29 se donnent les axiomes ; mais aucune des deux courses ne renvoie à l'autre, et l'ordre des feuillets n'est pas un argument. Et la filtration \(\gamma\) figure sur la page 4 comme sur la page 20 : elle ne peut donc pas servir à distinguer les campagnes, contrairement à ce qu'on pourrait croire en ne lisant que la seconde moitié du dossier.

Les conventions. Sa notation change d'une course à l'autre ; une seule est tenue ici, et les variantes sont signalées en note à l'endroit où elles apparaissent.

• Le caractère de Chern est \(\operatorname{ch}\). Il écrit \(c = \mathrm{ch}\) aux pages 4 et 6, \(\operatorname{ch}\) aux pages 36 et 37, et \(\varphi\) indexé par la base aux pages 40 à 44.
• La classe de Todd est \(\operatorname{Todd}\). Il écrit \(1 - \tfrac12 K\) à la page 3 et \(\tau_{h}\) aux pages 40 à 44.
• Les classes de Chern sont \(c^{i}\), la classe totale \(c\), et \(\widetilde{c}(x) = [\varepsilon(x),\, 1 + c^{1}(x) + c^{2}(x) + \cdots]\) lorsque le rang est porté à côté. Pour un anneau gradué \(A\), on note \(\widetilde{A} = \mathbb{Z} \times (1 + A^{\geqslant 1})\), muni de l'addition qui est la multiplication des séries et du produit \(\ast\) décrit à la section sur les pages 20 à 29. C'est l'anneau où vivent les classes totales, et c'est le \(\widetilde{A}\) des pages 9, 24, 27 et 40.
• \(\deg\) est l'opérateur « composante de degré \(p\), puis degré » : ses \(K_{1}\), \(K_{p}\), \(K_{2}\).
• Les classes canoniques sont \(k_{X}\), \(k_{Y}\). Il écrit \(K\) à la page 3, \(k\) et \(k'\) à la page 42, et \(k_{x}\), \(k_{y}\), \(k_{X}\), \(k_{Y}\) aux pages 42 à 44.
• Aux pages 2 et 3, les fibrés vectoriels sont \(V\), \(V'\), \(V''\) : la lettre \(E\) y désigne déjà l'anneau des classes, et le feuillet l'emploie pour les deux.
• La lettre \(E\) a trois emplois dans le dossier, dans trois courses distinctes : l'anneau des classes (pages 2 et 3), les éléments distingués \(E_{s}\) d'un \(\lambda\)-anneau (pages 27 à 29), un fibré vectoriel (pages 41 à 43). Aucun rapport entre les trois.
• La lettre \(\xi\) en a trois aussi : \(\xi = 1 - L^{-1}\) dans \(K(\mathbb{P}^{r})\) (pages 9 à 13, conservé), le générateur de \(CK\) à la page 21 (écrit \(\zeta\) ici), et la classe \((n,d) \in K(X)\) aux pages 42 et 43 (conservé). La page 42 emploie de plus \(\xi\) pour la classe du faisceau tordant, sur le même feuillet que l'emploi précédent : cette dernière est écrite \(h\) ici.

1–44

Les campagnes du dossier : ce que les feuillets montrent

Trois lecteurs indépendants, travaillant sur trois tranches différentes, ont relevé la même chose : le dossier ne peut pas être homogène. Il faut le dire de front, et il faut séparer soigneusement ce qui s'observe sur les feuillets, ce qui s'en déduit, et ce qui n'en résulte pas.

Ce qui s'observe. D'abord la matière. Le dossier est un paquet, non un cahier : cinq chemises de sa main le découpent (pages 1, 8, 19, 31, 39), et les courses qu'elles ouvrent sont écrites sur des supports différents — feuillets blancs libres, feuillets bleu-gris, et versos d'un texte dactylographié qui n'est pas de lui, lequel occupe à lui seul huit des quarante-quatre pages. Ensuite le vocabulaire, et c'est là que la chose se tranche.

Certaines pages emploient des mots dont la date de naissance est connue et postérieure à 1958.

• Page 15 : « topos annelé ». Le mot topos est du séminaire de 1963-1964, et n'a pas de sens avant lui.
• Page 32 : \(D_{\mathrm{parf}}(f)\), « complexes de \(\mathcal{O}_{X}\)-Modules parfaits relativement à \(f\) », \(K_{\mathrm{parf}}(f)\), ainsi que \(\mathrm{R}i_{*}\) et les catégories \(D_{Z}(X)\). Les catégories dérivées sont du début des années soixante ; les complexes parfaits relatifs à un morphisme sont l'objet propre du séminaire de 1966-1967 sur Riemann-Roch.
• Pages 32 à 36 : les familles de supports \(\Phi\) en \(K\)-théorie, \(K_{\Phi}(X)\), \(A_{\Phi}(X)\), et les classes de Chern entre les deux.
• Pages 4 et 34 : le mot « préschéma », et le mot « Module » avec une capitale pour un faisceau de modules. Ce sont deux conventions des Éléments, dont le premier volume est de 1960.

D'autres pages ne portent rien de tel. Les pages 2 et 3 écrivent \(E\), et non \(K\), pour l'anneau des classes ; elles parlent de « faisceau algébrique cohérent » et de « courbe non singulière », et leur seul outil est la classe de Chern \(c^{1}\) à valeurs dans le groupe des classes de diviseurs. Les pages 9 à 13 et 40 à 44 calculent avec la classe de Chern totale, le caractère de Chern, la classe de Todd, \(f_{!}\) et \(f_{*}\), dans un anneau de Chow tensorisé par \(\mathbb{Q}\) : c'est l'appareil du théorème tel qu'il a été exposé en 1957 et rédigé en 1958, et l'on n'y trouve ni complexe, ni support, ni catégorie dérivée.

Ce qui s'en déduit. Le dossier contient au moins deux campagnes, et la datation « antérieures à 1958 » ne peut pas couvrir les deux. C'est une conclusion sûre : elle ne repose pas sur une impression d'écriture mais sur des mots dont on sait qu'ils n'existaient pas.

Un point mérite d'être ajouté, parce qu'il dérange la coupure la plus naturelle. La frontière ne tombe pas sur les chemises. La première chemise, « Classique pour les Courbes », contient à la fois les pages 2 et 3, qui ignorent la lettre \(K\), et les pages 4, 6 et 7, qui emploient \(K^{\bullet}\) et \(K_{\bullet}\) avec leurs deux variances, \(\pi_{0}(X)\), \(\operatorname{Pic}(X)\), la filtration \(\gamma\) et le mot « préschéma ». Autrement dit, une couture passe à l'intérieur d'une course que sa chemise donne pour une. Et la filtration \(\gamma\), dont on pourrait croire qu'elle marque le tard, est déjà sur la page 4.

Ce qui n'en résulte pas. Trois choses, qu'il serait facile et faux de croire acquises.

Aucun feuillet n'est daté par cette lecture. Que les pages 40 à 44 ne contiennent aucune catégorie dérivée ne prouve nullement qu'elles soient anciennes : un calcul classique s'écrit à n'importe quelle date, et ces pages pourraient tout aussi bien être une reprise tardive, pour un cours ou pour une rédaction. Ce que l'on peut dire est exactement ceci : les courses classiques ne portent rien qui soit postérieur à 1958, et les courses tardives portent quelque chose qui ne peut pas lui être antérieur. La première moitié de cette phrase est beaucoup plus faible que la seconde, et c'est volontaire.

L'inventaire n'est pas pris en défaut. Sa date reste ici telle quelle, \([1957]\), entre les crochets qui sont la convention des archivistes pour une date déduite et non lue ; l'inférence appartient au lecteur, et cette édition ne la fait pas. On notera seulement, comme un fait et non comme une thèse, que les mots de l'inventaire — « Notes Antiques (antérieures à 1958) » — ne figurent sur aucune des cinq chemises transcrites, qui portent respectivement « Classique pour les Courbes », « Contre-exemples », « Cas des schémas », « Construction des Chern covariants » et « R.R. des surfaces ». D'où ils viennent, la transcription ne le dit pas. Si l'étiquette est de lui, elle désigne un paquet et non chacune de ses pièces, et un paquet ainsi étiqueté est précisément ce à quoi l'on ajoute des feuillets plus tard — mais ceci est une conjecture, elle est signalée comme telle, et le dossier ne la tranche pas.

Enfin, et c'est ce qui importe le plus pour qui vient lire les mathématiques : rien de ce qui suit ne dépend de la réponse. Les courses classiques démontrent le théorème de 1957 ; les courses tardives construisent la machinerie qui portera son nom dix ans après. La question qu'elles traitent, elle, est la même de bout en bout — la distance entre la classe de Chern et le caractère de Chern, qui est le facteur \((-1)^{i-1}(i-1)!\) —, et c'est vraisemblablement pour cela que ces feuillets ont fini dans une même chemise. Qu'un feuillet ait été écrit en 1957 ou en 1966 change l'histoire du texte ; cela ne change aucun de ses énoncés.

2–3

Classique pour les Courbes : Riemann-Roch avant la lettre \(K\) (pages 2 et 3)

Soit \(X\) une courbe algébrique non singulière, irréductible et propre.²

L'anneau des classes

On considère le groupe libre sur les faisceaux cohérents sur \(X\), et l'on y impose une relation par suite exacte courte : pour toute \(0 \to F' \to F \to F'' \to 0\), la classe de \(F\) est la somme de celles de \(F'\) et de \(F''\). Le produit tensoriel en fait un anneau, que le feuillet note \(E\). C'est le groupe que l'on appelle aujourd'hui \(K_{0}(X)\) ; la lettre \(K\) ne figure pas sur ces deux pages.³

Le feuillet distingue dans \(E\) les sous-objets suivants.

• \(N\), le sous-groupe engendré par les éléments \((F) - (F') - (F'')\) — c'est-à-dire, dans le groupe libre, ce que l'on quotiente.⁴
• \(\mathcal{D}\), le sous-groupe engendré par les faisceaux gratte-ciel \(k_{x}\) : c'est le groupe des diviseurs.
• \(\mathcal{L} \subset \mathcal{D}\), le groupe des diviseurs linéairement équivalents à \(0\).
• \(\Phi\), la sous-algèbre engendrée par les faisceaux localement libres, isomorphe à l'algèbre des classes de fibrés vectoriels, et \(\Phi_{N}\) son intersection avec \(N\).
• \(E_{0}\), le noyau d'une augmentation dont le feuillet ne laisse pas lire le nom.⁵

Le feuillet affirme alors, en marquant chaque ligne d'une étoile : \[ E = \Phi + \mathcal{D}, \qquad \Phi \cap \mathcal{D} = 0, \qquad E/N \;\simeq\; \Phi/\Phi_{N} \;\simeq\; \mathbb{Z} + \mathfrak{P} , \] où \(\mathfrak{P}\) est le groupe des classes de diviseurs, c'est-à-dire \(\mathcal{D}/\mathcal{L} = \operatorname{Pic}(X)\), et où l'isomorphisme envoie \((1,0)\) sur la classe de \(\mathcal{O}_{X}\) et induit sur \(\mathfrak{P}\) le passage au quotient de l'inclusion \(\mathcal{D} \subset E\).⁶

La proposition, et ce qu'elle sert à établir

Proposition (page 2). Le sous-groupe \(N\) est engendré par les éléments \[ c(V) - c(V') - c(V''), \qquad c(V) - c(W) - c\bigl(\mathcal{O}_{X}(V)/f\,\mathcal{O}_{X}(W)\bigr), \] où la première famille court sur les suites exactes de fibrés vectoriels et la seconde sur les couples de fibrés en droites munis d'une section \(f \in H^{0}(X, \mathcal{O}_{X}(W^{*} \otimes V))\) non nulle.⁷

Le feuillet reformule aussitôt : cela revient à dire que \(N\) est engendré par les \(\lambda(D + D') - \lambda(D) - \lambda(D')\), où \(\lambda(\Delta)\) est la classe du faisceau inversible associé au diviseur \(\Delta\), et qu'on peut s'y ramener au cas \(D \geqslant 0\).

La page 3 en tire quatre identités équivalentes : \[ \mathcal{D} + N = E_{0}, \qquad \mathcal{D} \cap N = \mathcal{L}, \qquad \Phi \cap N = \Phi_{N} , \] la quatrième, \(\Phi + N = E\), étant biffée sur le feuillet.⁸ La deuxième est le cœur de l'affaire : elle dit que deux diviseurs dont les classes coïncident dans l'anneau des classes sont linéairement équivalents, et c'est exactement ce que la seconde famille de générateurs de la proposition fournit, puisque celle-ci n'identifie deux diviseurs que lorsqu'une fonction les relie.⁹

Riemann-Roch en une ligne

On définit \(E \to \mathbb{Z} + \mathfrak{P}\) ainsi : sur \(\mathcal{D}\), c'est l'application canonique \(\mathcal{D} \to \mathfrak{P}\) ; sur \(\Phi\), un fibré vectoriel \(V\) de rang \(n\) va sur \((n,\, c^{1}(V))\). C'est, dans le langage d'aujourd'hui, le caractère de Chern : pour une courbe, \(\operatorname{ch} = (\operatorname{rg}, c^{1})\), et il est à valeurs entières puisque les termes de degré \(\geqslant 2\) n'existent pas.

La formule de la page 3, pour \(F\) un faisceau cohérent, est alors \[\begin{equation*} \chi(F) \;=\; \deg\Bigl( \operatorname{ch}(F)\cdot \bigl(1 - \tfrac{1}{2}k_{X}\bigr) \Bigr) \tag{1} \end{equation*}\] où \(k_{X} \in \mathfrak{P}\) est la classe canonique, et où \(\deg\) est la forme linéaire nulle sur \(\mathbb{Z}\) et égale au degré sur \(\mathfrak{P}\).¹⁰

C'est le théorème de Riemann-Roch. Il suffit en effet, comme le feuillet le note, de le vérifier sur \(F = k_{x}\) et sur \(F = \mathcal{O}_{X}\), tout faisceau cohérent sur une courbe ayant même classe qu'une combinaison de ceux-là. Pour \(\mathcal{O}_{X}\) : \(\operatorname{ch} = (1,0)\), le produit vaut \((1, -\tfrac12 k_{X})\), et son degré est \(-\tfrac12(2g-2) = 1-g = \chi(\mathcal{O}_{X})\). Pour \(k_{x}\) : \(\operatorname{ch} = (0, [x])\), le produit vaut \((0,[x])\), de degré \(1 = \chi(k_{x})\). Pour \(F\) quelconque de rang \(n\) et de degré \(d\), on trouve \(d + n(1-g)\).

Le facteur \(1 - \tfrac12 k_{X}\) est la classe de Todd de la courbe. Il reviendra page 42, à l'autre bout du dossier, calculé cette fois comme \(-k/(1 - e^{k})\) et noté \(\tau_{h}(X)\) : c'est le même nombre, et rien sur les feuillets ne les rapproche.

4–7

Le même énoncé en \(K\)-théorie : dimension \(\leqslant 1\) (pages 4, 6 et 7)

Les trois feuillets suivants refont la page 3 dans un autre vocabulaire. Soit \(X\) un schéma noethérien de dimension \(\leqslant 1\) admettant un faisceau inversible ample.¹¹ On dispose de deux groupes de Grothendieck, celui des fibrés vectoriels \(K^{\bullet}(X)\), contravariant, et celui des faisceaux cohérents \(K_{\bullet}(X)\), covariant.¹²

Le côté contravariant

\(K^{\bullet}(X)\) est augmenté vers \(H^{0}(X, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)}\) par le rang, qui est localement constant. Soit \(I(X)\) l'idéal d'augmentation. Pour \(x \in I(X)\) on a \(\gamma^{i}(x) = 0\) dès que \(i \geqslant 2\), d'où \(F^{i}_{\gamma}(K^{\bullet}(X)) = 0\) pour \(i \geqslant 2\), et par conséquent \[ K^{\bullet}(X) \;\simeq\; \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)} \times \operatorname{Pic}(X), \qquad \operatorname{Pic}(X) \simeq \prod_{i \in \pi_{0}(X)} \operatorname{Pic}(X_{i}), \] la classe d'un fibré \(V\) étant \(\bigl[\operatorname{rg}(V),\, \det V\bigr]\), c'est-à-dire \[ \operatorname{cl}(V) \;=\; \sum_{i} \bigl(\operatorname{rg}_{i}(V) - 1\bigr)\,1_{i} \;+\; \operatorname{cl}(\det V). \] La raison est que sur un tel \(X\) tout fibré vectoriel est somme directe d'un fibré trivial et de son déterminant.¹³ On pose \(B^{\bullet}(X) = \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)} \times \operatorname{Pic}(X)\) ; avec ces identifications, le caractère de Chern \(K^{\bullet}(X) \to B^{\bullet}(X)\) est l'identité.

Le côté covariant

\(K_{\bullet}(X)\) est augmenté vers \(\mathbb{Z}^{\pi_{0}^{(1)}(X)}\), où \(\pi_{0}^{(1)}(X)\) est l'ensemble des composantes irréductibles de dimension \(1\), par les longueurs aux points génériques. Le noyau est engendré par les classes de faisceaux à support fini et par les différences de faisceaux inversibles sur les composantes de dimension \(1\).¹⁴

La flèche d'un côté à l'autre

Les pages 6 et 7 sont un palimpseste rapide dont la prose de liaison est en très grande partie perdue, et la seconde est barrée d'obliques depuis son milieu.¹⁵ Ce qu'elles établissent malgré tout est net.

En dimension \(0\), le rang et la longueur sont des isomorphismes de \(\lambda\)-anneaux \(K^{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z}\) et \(K_{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z}\), et le caractère de Chern est l'identité. En dimension \(1\), la page 6 dresse la liste des invariants : l'ensemble fini \(\pi_{0}(X)\) des composantes irréductibles, le groupe \(\operatorname{Pic}(X)\), le groupe \(K_{(0)} = \prod_{i} K_{(0)}(X_{i})\), les entiers \(\mu_{i} = \operatorname{lg}_{i}(\mathcal{O}_{X})\), un élément \(\delta \in K_{0}(X)\), et enfin des applications \(u_{i} : \operatorname{Pic}(X) \to K_{(0)}\), \(L \mapsto \operatorname{cl}\bigl((L-1)\mathcal{O}_{X_{i}}\bigr)\).

La page 7 écrit alors l'homomorphisme \(K^{\bullet}(X) \to K_{\bullet}(X)\). Il est déterminé par l'image de \(1\), soit \(1_{\bullet} = \sum_{i} \mu_{i} 1_{i} + \delta_{\varepsilon}\), et vaut \[ u(n, \xi) \;=\; n \sum_{i} \mu_{i}\,1_{i} \;+\; \Bigl( n\,\delta_{\varepsilon} + \sum_{i} \mu_{i}\,u_{i}(\xi) \Bigr), \qquad n \in \mathbb{Z},\ \xi \in \operatorname{Pic}(X). \] Ce que les feuillets ne disent pas, et qui explique tout, est que cette flèche est simplement la multiplication par la classe de \(\mathcal{O}_{X}\) dans \(K_{\bullet}(X)\) : \(K_{\bullet}\) est un module sur \(K^{\bullet}\), et l'unique morphisme de modules \(K^{\bullet} \to K_{\bullet}\) est \(x \mapsto x \cdot [\mathcal{O}_{X}]\). La formule s'obtient alors en développant \((n + \xi)\cdot 1_{\bullet}\) et en observant que \(\xi \cdot \delta_{\varepsilon} = 0\) pour raison de degré, tandis que \(\xi \cdot 1_{i} = u_{i}(\xi)\) par définition de \(u_{i}\).¹⁶

9–13

Contre-exemples : la classe de Chern d'une immersion, et le facteur \((r-1)!\) (pages 9 à 13)

Cette course pose une question précise : les classes de Chern d'une image directe sont-elles calculables à partir de celles de la classe qu'on pousse ? La réponse est oui, avec un facteur entier qui grossit ; et le prix de ce facteur est qu'une classe non nulle peut avoir une classe de Chern totale triviale. C'est là le contre-exemple qui donne son titre à la chemise.

La situation

Soit \(X\) un schéma, \(r \geqslant 1\), et \(i : X \to X \times \mathbb{P}^{r}\) l'immersion fermée d'une section constante. C'est une immersion régulière de codimension \(r\) à fibré normal trivial. On dispose de \[ K(X \times \mathbb{P}^{r}) \;=\; K(X) \otimes K(\mathbb{P}^{r}), \qquad K(\mathbb{P}^{r}) = \mathbb{Z}[\xi]/(\xi^{r+1}),\quad \xi = 1 - L^{-1}, \] où \(L = \mathcal{O}(1)\) ; la classe \(\xi^{r}\) est celle du faisceau structural d'un point.¹⁷ On a donc \(i_{!}(x) = x \otimes \xi^{r}\), et la flèche \(K(X) \to K(X \times \mathbb{P}^{r})\) est injective, la composée avec \(p_{*}\) valant l'identité :

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
K(X) \arrow[r, "\text{inj.}"] \arrow[d, "\widetilde{c}_{X}"'] & K(X \times \mathbb{P}^{r}) \arrow[d, "\widetilde{c}_{X \times \mathbb{P}^{r}}"] \\
\widetilde{A}(X) \arrow[r] & \widetilde{A}(X \times \mathbb{P}^{r})
\end{tikzcd}

La classe de Chern totale d'un point

Puisque \(\xi^{r} = \sum_{i=0}^{r} \binom{r}{i}(-1)^{i} L^{-i}\) et \(c(L^{-i}) = 1 - i\eta\), avec \(\eta\) la classe d'un hyperplan, on a \[ c(\xi^{r}) \;=\; \prod_{i=0}^{r} (1 - i\eta)^{(-1)^{i}\binom{r}{i}} . \] En passant au logarithme, le coefficient de \(\eta^{m}\) est \(-\frac{1}{m}\sum_{i}(-1)^{i}\binom{r}{i} i^{m}\), somme qui est nulle pour \(m < r\) et vaut \((-1)^{r} r!\) pour \(m = r\). Comme \(\eta^{r+1} = 0\), il ne reste qu'un terme et l'exponentielle se réduit à sa partie linéaire : \[ c(\xi^{r}) \;=\; 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} . \] C'est le premier visage du nombre du dossier : la classe de Chern de dimension maximale du faisceau structural d'un point de \(\mathbb{P}^{r}\) n'est pas la classe de ce point, mais son multiple par \((-1)^{r-1}(r-1)!\).¹⁸

Les polynômes \(Q^{(r)}_{i}\)

Le feuillet écrit ensuite \(c(i_{!}(x)) = c(x) \ast c(\xi^{r})\) et développe. Le résultat auquel il arrive est \[ c\bigl(i_{!}(x)\bigr) \;=\; 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \Bigl[\, \varepsilon(x) + \sum_{i \geqslant 1} Q^{(r)}_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr) \Bigr], \] où \(Q^{(r)}_{i-r}\) est, par définition, la partie linéaire en la variable de degré \(r\) du polynôme universel \(Q_{i}\) qui exprime \(c^{i}\) d'un produit — les termes de degré \(\geqslant 2\) en cette variable disparaissant puisque \((\eta^{r})^{2} = 0\).¹⁹

Le feuillet ne calcule le coefficient dominant de \(Q^{(r)}_{i}\) que pour \(i = 1\), où il trouve \(-r\,c^{1}\). Sa propre méthode le donne pour tout \(i\) : \[ Q^{(r)}_{i}\bigl(c^{1}, \ldots, c^{i}\bigr) \;=\; -\,\frac{(r+i-1)!}{(r-1)!\,(i-1)!}\ c^{i} \;+\; (\text{termes décomposables}), \] et la lettre du feuillet le confirme, puisqu'il écrit son coefficient sous la forme \(-\frac{(r+1-1)!}{(r-1)!\,(1-1)!}\), c'est-à-dire précisément cette expression pour \(i = 1\).²⁰ Le feuillet ajoute, en marge de ce calcul, l'avertissement que les coefficients numériques proviennent tous du \((r-1)!\) : c'est exact, et c'est ce qui rend le paragraphe suivant possible.

Il note enfin cette situation \(c(i_{!}(x)) = (i_{*})_{r}\bigl(c(x)\bigr)\), en introduisant donc un « \(i_{*}\) » agissant directement sur les classes de Chern totales. C'est la question que l'on appellera plus tard Riemann-Roch sans dénominateurs : obtenir une formule d'image directe pour les classes de Chern entières, et non pour le caractère de Chern rationnel.

Le contre-exemple

Soit \(Y \subset X\) un diviseur, de classe \(x' \in A^{1}(X)\). On a \(c(\mathcal{O}_{Y}) = (1 - x')^{-1} = \sum_{n} (x')^{n}\). En appliquant ce qui précède à \(x = [\mathcal{O}_{Y}]\), chaque terme du crochet porte en facteur \((r-1)!\) multiplié par une puissance de \(x'\).²¹ Par conséquent :

Si \((r-1)!\,x' = 0\) dans \(A^{1}(X)\), alors \(c\bigl(i_{!}(\mathcal{O}_{Y})\bigr) = 1\).²²

Autrement dit, la classe non nulle \([\mathcal{O}_{Y \times \mathbb{P}^{r}}]\) a une classe de Chern totale triviale : les classes de Chern ne séparent pas. Reste à produire un \(x' \neq 0\) tué par \((r-1)!\), ce qu'une classe de torsion de \(\operatorname{Pic}^{0}\) fournit — par exemple un point de torsion d'ordre divisant \((r-1)!\) sur une courbe elliptique.²³

C'est le même phénomène que celui de la page 21, qui l'énoncera en pure algèbre : \(CK\) a de la torsion, \(GK\) n'en a pas, et la flèche de l'un vers l'autre n'est donc pas injective. Ici la torsion est celle de \(\operatorname{Pic}^{0}\) ; là, celle qu'introduisent les factorielles.

15–18

Modules sur un topos annelé où un groupe opère (pages 15 à 18)

Ces quatre feuillets ne sont précédés d'aucune chemise et leur sujet n'est pas celui de la course qui les précède.²⁴ C'est, en apparence, une digression ; c'est en réalité la construction des opérations dont la course suivante se donnera les axiomes, et c'est aussi la course la plus tardive du dossier, puisqu'elle commence par le mot topos.

Soit \(\mathcal{X}\) un topos annelé, d'anneau commutatif \(\mathcal{O}\). Pour tout groupe \(G\) on note \(A(\mathcal{X}, G)\) la catégorie des \(\mathcal{O}\)-Modules de \(\mathcal{X}\) munis d'une action de \(G\) — autrement dit, la catégorie des \(\mathcal{O}[G]\)-Modules.

Restriction, induction, et le produit extérieur

Un homomorphisme \(u : G \to G'\) donne une restriction \(u^{*} : A(\mathcal{X}, G') \to A(\mathcal{X}, G)\) et une induction \(u_{*}\) en sens inverse. Lorsque \(u\) est injectif d'indice fini, on a l'isomorphisme canonique de \(\mathcal{O}\)-Modules \[ u^{*} u_{*}(F) \;\simeq\; \bigsqcup_{G'/G} F , \] la somme portant sur les classes à gauche, \(G\) permutant les facteurs par translation.²⁵ Les sous-catégories pleines des Modules localement libres, libres de type fini, et localement libres de type fini sur \(\mathcal{O}[G]\) sont stables par ces foncteurs.

On dispose dans \(A(\mathcal{X}, G)\) du produit tensoriel, commutatif et associatif, et des isomorphismes fonctoriels \[ u^{*}(F' \otimes G') \simeq u^{*}(F') \otimes u^{*}(G'), \qquad u_{*}\bigl(F \otimes u^{*}(G')\bigr) \simeq u_{*}(F) \otimes G' , \] la seconde étant la formule de projection. Pour \(F \in A(\mathcal{X}, G)\) et \(H\) un second groupe, \(G \in A(\mathcal{X}, H)\), on pose \[ F \boxtimes G \;=\; \mathrm{pr}_{1}^{*}(F) \otimes \mathrm{pr}_{2}^{*}(G) \;\in\; A(\mathcal{X}, G \times H), \] et le produit tensoriel ordinaire se retrouve par restriction le long de la diagonale : \(F \otimes G = (\mathrm{diag}_{G})^{*}(F \boxtimes G)\).²⁶

Le produit d'induction, et les puissances tensorielles

Soit \(u_{pq} : \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q} \to \mathfrak{S}_{p+q}\) l'injection canonique. Pour \(F\) dans \(A(\mathcal{X}, \mathfrak{S}_{p})\) et \(G\) dans \(A(\mathcal{X}, \mathfrak{S}_{q})\) on pose \[ F \ast G \;=\; u_{pq\,*}\bigl(F \boxtimes G\bigr) \;\in\; A(\mathcal{X}, \mathfrak{S}_{p+q}), \] opération commutative et associative : elle fait de la somme des \(A(\mathcal{X}, \mathfrak{S}_{n})\) un anneau gradué.²⁷

Notant \(T^{n}(F)\) la puissance tensorielle \(n\)-ième munie de son action de \(\mathfrak{S}_{n}\), la page 18 énonce les trois formules \[ T^{n}(F + G) \simeq \bigsqcup_{p+q=n} T^{p}(F) \ast T^{q}(G), \qquad T^{m}\bigl(T^{n}(F)\bigr) \simeq w_{m,n}^{*}\bigl(T^{mn}(F)\bigr), \qquad T^{m}(F \otimes G) \simeq T^{m}(F) \otimes T^{m}(G), \] où \(w_{m,n} : \mathfrak{S}_{n} \wr \mathfrak{S}_{m} \to \mathfrak{S}_{mn}\) est le plongement du produit en couronne.²⁸ La première est la formule du binôme pour les puissances tensorielles, et c'est elle qui produit les opérations \(\lambda^{i}\) : le facteur \(T^{p}(F) \ast T^{q}(G)\) est exactement ce qui rend \(\lambda\) additif au sens des \(\lambda\)-anneaux.

Le feuillet termine en isolant la condition (\(\ast\)) que doit remplir un Module \(F\) pour que les \(u_{pq\,*}\) de ses composantes soient localement libres sur les \(\mathcal{O}[\mathfrak{S}_{p_{1}} \times \cdots \times \mathfrak{S}_{p_{r}}]\), pour toute décomposition \(\sum p_{i} = n\). C'est la condition d'admissibilité qui fait fonctionner tout ce qui précède ; son énoncé n'est pas lisible au-delà de sa forme.²⁹

20–29

Cas des schémas : les \(\lambda\)-anneaux, \(CK\) et \(GK\) (pages 20 à 29)

La chemise qui ouvre cette course porte, de sa main, le programme : « Filtration des \(\lambda\)-anneaux, classes de Chern universelles ; \(\lambda\)-anneaux « spéciaux» i.e. avec éléments « géométriques» ; Application ». Le dossier exécute les deux premiers points et pas le troisième.

Le cadre

Soit \(K\) un \(\lambda\)-anneau spécial, augmenté vers \(\mathbb{Z}\) par \(\varepsilon\), muni d'une famille \((E_{s})_{s \in S}\) d'éléments géométriques, c'est-à-dire tels que \[ \varepsilon(E_{s}) = n_{s} \geqslant 0, \qquad \lambda^{i}(E_{s}) = 0 \ \text{ pour } i > n_{s}, \qquad \lambda^{n_{s}}(E_{s}) \ \text{ inversible.} \] Ce sont les axiomes que vérifie la classe d'un fibré vectoriel de rang \(n_{s}\), dont le déterminant est inversible ; d'où le nom. On demande de plus un homomorphisme déterminant \(\det : K \to K^{*}\) avec \(\det(E_{s}) = \lambda^{n_{s}}(E_{s})\).³⁰

On note \(I(K) = \ker \varepsilon\), \(\gamma^{i}\) les opérations déduites des \(\lambda^{i}\) par \(\gamma_{t} = \lambda_{t/(1-t)}\), et \(K^{(i)}\) la filtration \(\gamma\) : le sous-groupe engendré par les produits \(\gamma^{i_{1}}(x_{1})\cdots\gamma^{i_{m}}(x_{m})\) avec \(x_{j} \in I(K)\) et \(\sum i_{j} \geqslant i\). Le gradué associé est \(GK = \operatorname{gr} K\), et les classes de Chern sont \[ c^{i}(x) \;=\; \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \bmod K^{(i+1)} \;\in\; GK^{i} . \]

L'anneau \(\widetilde{A}\) et le produit \(\ast\)

Pour un anneau gradué \(A\), on note \(\widetilde{A} = \mathbb{Z} \times (1 + A^{\geqslant 1})\), dont les éléments s'écrivent \([\varepsilon,\, 1 + a^{1} + a^{2} + \cdots]\). L'addition de \(\widetilde{A}\) est l'addition des rangs et la multiplication des séries ; sa multiplication, notée \(\ast\), est donnée par les polynômes universels \(Q_{n}\) : \[ c^{n}(x \ast y) \;=\; Q_{n}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{n}(x);\, c^{1}(y), \ldots, c^{n}(y)\bigr), \] lesquels sont déterminés par le principe de scindage : si \(c(x) = \prod_{i}(1 + a_{i})\) sur \(\varepsilon(x)\) racines et \(c(y) = \prod_{j}(1 + b_{j})\) sur \(\varepsilon(y)\) racines, alors \(c(x \ast y) = \prod_{i,j}(1 + a_{i} + b_{j})\). C'est l'anneau où vit la classe de Chern totale, et c'est celui que le dossier note \(\widetilde{A}\) aux pages 9, 24, 27 et 40.

L'anneau de Chern \(CK\) et la comparaison avec \(GK\)

La page 28 définit \(CK\) par générateurs et relations : des générateurs \(c^{i}(x)\) pour \(x \in K\) et \(i \geqslant 1\), et les relations \[ \begin{cases} c^{i}(1) = 0 & i \geqslant 1, \\[3pt] c^{n}(x+y) = \displaystyle\sum_{i+j=n} c^{i}(x)\,c^{j}(y) & x, y \in K,\ n \geqslant 1, \\[8pt] c^{n}(x \ast y) = Q_{n}\bigl(c^{1}(x), \ldots ;\, c^{1}(y), \ldots\bigr) & x, y \in I(K),\ n \geqslant 1, \\[5pt] c^{n}(E_{s}) = 0 & n > n_{s}. \end{cases} \] La dernière relation est celle qui fait intervenir la donnée géométrique. Puisque \(\lambda^{i}(E_{s}) = 0\) pour \(i > n_{s}\) entraîne \(\gamma^{n}(E_{s} - n_{s}) = 0\) pour \(n > n_{s}\), les classes \(\gamma^{i}(x - \varepsilon(x))\) satisfont à toutes ces relations, d'où un homomorphisme \[ \varphi_{K} : CK \longrightarrow GK, \qquad c^{i}(x) \longmapsto \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \bmod K^{(i+1)}, \] visiblement surjectif. Le feuillet note en passant — et c'est l'observation juste — que plus la famille \((E_{s})\) est grande, plus \(CK\) est petit, et plus il y a de chances que \(\varphi_{K}\) soit un isomorphisme.³¹

La page 29 ajoute la réciproque du point de vue : tout homomorphisme de Chern \(\chi : K \to \widetilde{A}\) respectant les \(E_{s}\) envoie \(K^{(i)}\) dans \(A^{(i)}\), d'où une flèche \(\psi : GK \to G(\widetilde{A}) \simeq A\) en sens inverse. Le feuillet s'arrête après trois lignes, les deux tiers inférieurs étant restés blancs.

Le facteur \((-1)^{i-1}(i-1)!\), et la réponse à la question

La page 20 numérote trois propositions. Des deux premières il ne reste que le mot et le numéro, la prose qui les énonçait étant perdue ; la troisième se laisse reconstituer, non par son énoncé mais par sa démonstration, qui occupe le haut de la page 21.

Proposition (page 21). Sur la composante de degré \(i\), \(\varphi \psi = (-1)^{i-1}(i-1)! \cdot \mathrm{id}\).

La démonstration est celle du feuillet, et elle est bonne : \(CB \to CK\) et \(GB \to GK\) étant surjectifs, on se ramène à l'anneau universel \(B\) ; pour \(P \in B^{(i)}\) on a \(\varphi\psi\) appliqué à la classe de \(P\) égal à \(\gamma^{i}(P - \varepsilon(P)) \bmod B^{(i+1)}\), et \[ \gamma^{i}\bigl(P - \varepsilon(P)\bigr) - (-1)^{i-1}(i-1)!\,P \;\in\; B^{(i+1)} . \] ³² Il en résulte que \(\varphi_{K}\) est toujours surjectif, et qu'il devient bijectif après tensorisation par \(\mathbb{Q}\) ; le feuillet énonce la surjectivité en corollaire.

Il pose alors la question, en toutes lettres : « Est-ce que \(\varphi_{K}\) est toujours bijectif ??? », et répond « Non », le mot encadré, en renvoyant à l'exemple qui suit.

Exemple (page 21). Soit \(K = \mathbb{Z}[L]/(L-1)^{n}\), avec \(\lambda_{t}(L) = 1 + Lt\) — c'est-à-dire \(K = K(\mathbb{P}^{n-1})\), comme le feuillet le note en marge. La filtration \(\gamma\) y est la filtration par les puissances de \((L-1)\), si bien que \(GK = \mathbb{Z}[\zeta]/(\zeta^{n})\) est sans torsion. Or \(CK\) a de la torsion, engendrée par la relation \[ (1+\zeta)^{\,\cdot} \;=\; 1 + (-1)^{n-1}(n-1)!\,\zeta^{n} + \cdots \] Un homomorphisme surjectif d'un anneau avec torsion sur un anneau sans torsion n'est pas injectif : \(\varphi_{K}\) ne l'est donc pas.³³ C'est le contre-exemple des pages 9 à 13 — le même facteur, la même torsion — énoncé sans géométrie.

L'anneau libre, et deux énoncés de finitude

Lemme (page 22). Sur l'anneau libre \(B = \mathbb{Z}\bigl[ (\lambda^{i}(X_{s}))_{1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)},\, (\lambda^{d}(Y_{t}))_{d \geqslant 1}\bigr]\), engendré par une famille géométrique \((X_{s})\) et une famille libre \((Y_{t})\), et muni de la filtration \(B^{(k)}\) par les monômes de poids \(\geqslant k\) en les \(\gamma^{i}(X_{s} - \varepsilon(X_{s}))\) et \(\gamma^{d}(Y_{t} - \varepsilon(Y_{t}))\), la classe totale \(x \mapsto \widetilde{c}(x)\) vérifie \[ \widetilde{c}(x+y) = \widetilde{c}(x)\,\widetilde{c}(y), \qquad c^{i}(xy) = Q_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots ;\, c^{1}(y), \ldots\bigr). \] La première résulte de \(\gamma_{t}(x' + y') = \gamma_{t}(x')\gamma_{t}(y')\) pour \(x' = x - \varepsilon(x)\) ; la seconde de la formule correspondante pour les \(\gamma^{i}\).³⁴ Le feuillet annonce ensuite que \(\gamma^{i}(xy)\) est un polynôme universel en les \(\gamma^{k}(x)\) et \(\gamma^{h}(y)\) de poids \(\geqslant i\), et s'arrête sans l'écrire ; c'est la première des choses que le dossier promet et ne donne pas.

Proposition (page 24). Soit \(x\) avec \(\varepsilon(x) = n\) et \(\lambda_{t}(x)\) polynomial de degré \(\leqslant n\). Alors \(\gamma^{i}(x - n) = 0\) pour \(i > n\).

C'est immédiat : \(\gamma_{t}(x - n) = \lambda_{t/(1-t)}(x)\,(1-t)^{n} = \sum_{i \leqslant n} \lambda^{i}(x)\, t^{i}(1-t)^{n-i}\), polynôme de degré \(\leqslant n\) en \(t\).³⁵ L'énoncé dit qu'un élément de rang fini a une filtration \(\gamma\) bornée par son rang : c'est la propriété qui rend la filtration utilisable en géométrie, où les fibrés ont un rang.

32–37

Construction des Chern covariants, et \(K^{\bullet}\) et \(A^{\bullet}\) à supports (pages 32 à 37)

Cette course est la plus tardive du dossier et la plus lacunaire : elle est écrite au crayon puis à l'encre sur les versos d'un texte dactylographié, et la prose qui relie ses formules est presque entièrement perdue aux pages 36 et 37. Ce qui suit s'en tient à ce que portent les formules et les titres.

Les catégories dérivées de complexes parfaits

Soit \(f : X \to Y\) localement de type fini. On note \(D_{\mathrm{parf}}(f)\) la catégorie dérivée des complexes de \(\mathcal{O}_{X}\)-Modules parfaits relativement à \(f\), et \(K_{\mathrm{parf}}(f)\) le groupe de Grothendieck correspondant.³⁶ Pour \(Z \subset X\) fermé, on définit de même \(D_{\mathrm{parf},Z}(X)\) et \(K_{Z}(X)\), et pour \(\Phi\) une famille de supports \[ D_{\mathrm{parf},\Phi}(X) = \varinjlim_{Z \in \Phi} D_{\mathrm{parf},Z}(X), \qquad K_{\Phi}(X) = \varinjlim_{Z \in \Phi} K_{Z}(X) . \] Pour \(i : Z \to X\) on a \(\mathrm{R}\,i_{*}\) vers \(D_{Z}(X)\) et \(i_{!}\) vers \(K_{Z}(X)\) ; et si \(i_{n} : Z_{n} \to X\) parcourt les voisinages infinitésimaux de \(Z\) dans \(X\), le foncteur \[ \varinjlim_{n} D_{\mathrm{parf}}(i_{n}) \longrightarrow D_{Z}(X) \] est pleinement fidèle.³⁷

Les groupes de Chow à supports, et les classes de Chern

La page 34 demande, en parallèle de \(K_{\Phi}(X)\), un anneau de Chow à supports \(A_{\Phi}(X)\) — qui n'a pas d'unité, l'élément \(1\) n'ayant pas de support dans \(\Phi\), d'où la parenthèse « (pseudo-)anneaux … par voie d'éliminer \(1\) » — et des classes de Chern \[ c^{i}_{\Phi} : K_{\Phi}(X) \longrightarrow A_{\Phi}(X), \qquad i > 0, \] soumises à la formule de Whitney écrite sans unité : \[ c^{n}_{\Phi}(x+y) \;=\; c^{n}_{\Phi}(x) + c^{n}_{\Phi}(y) \;+\; \sum_{\substack{p+q=n \\ p,\,q > 0}} c^{p}_{\Phi}(x)\,c^{q}_{\Phi}(y), \] et compatibles avec les homomorphismes d'oubli du support :

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
K_{\Phi}(X) \arrow[r] \arrow[d, "c_{\Phi}"'] & K(X) \arrow[d, "c"] \\
A_{\Phi}(X) \arrow[r] & A(X)
\end{tikzcd}

Le feuillet ne construit rien de tout cela : il pose trois cas, et les trois sont des questions. Pour \(X\) lisse, prendre les cycles à support dans \(\Phi\). Pour \(X\) général, se demander si la « \(\lambda\)-procédure » — c'est-à-dire la définition de \(A\) comme gradué d'une filtration \(\gamma\) — s'applique à \(K_{\Phi}(X)\). Et enfin : des classes de Chern cohomologiques ? Aucune des trois n'est traitée.³⁸

Riemann-Roch comme mesure d'un défaut

La page 36 est un palimpseste dont presque toute la prose est perdue. Ce que ses formules dessinent est le programme suivant. On veut des groupes \(K^{\Phi}(X/S)\) et \(A^{\Phi}(X/S)\) covariants en \(X\) au-dessus de \(S\), et entre eux un caractère de Chern qui commute strictement aux images directes : \[ \operatorname{ch}^{Y/S}\bigl(g_{!}(x)\bigr) \;=\; g_{*}\bigl(\operatorname{ch}^{X/S}(x)\bigr) . \] Le caractère de Chern ordinaire, lui, ne commute pas aux images directes — c'est précisément l'objet du théorème. La phrase qui subsiste, « Mais « R.R.» s'interprète comme … », dit donc que Riemann-Roch est ce qui traduit l'écart entre les deux : la classe de Todd est la comparaison entre le caractère de Chern covariant et le caractère de Chern contravariant.³⁹

La page 37 dresse une échelle à quatre montants comparant les deux variances :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
K^{\bullet}(i_{n}) \arrow[r, "u"] \arrow[d, "\alpha"'] & \varinjlim_{n} K^{\bullet}(i_{n}) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & K^{\bullet}_{X}(X') \arrow[r] \arrow[d, "\gamma"] & K^{\bullet}(X') \arrow[d, "\delta"] \\
K_{\bullet}(X_{n}) \arrow[r, "u'"'] & \varinjlim_{n} K_{\bullet}(X_{n}) \arrow[r] & K^{X}_{\bullet}(X') \arrow[r, "w'"'] & K_{\bullet}(X')
\end{tikzcd}

Les quatre flèches verticales portent la même glose, et c'est la seule chose que la page dise d'elles.⁴⁰ Suit l'expression \(\operatorname{ch}(i_{!}x)\cdot \operatorname{Todd}(X'/S)\), qui est le membre de gauche de Riemann-Roch relatif, puis un titre — « Filtration sur \(K^{\bullet}_{X}(X')\) » — sous lequel rien n'est écrit.

40–41

R.R. des surfaces : le carré, les trois formules, et la fibration (pages 40 et 41)

La dernière course du dossier, annoncée par la chemise « R.R. des surfaces, et autres cas particuliers divers », est une suite d'exemples calculés. Elle n'emploie que l'appareil classique : caractère de Chern, classe de Todd, \(f_{!}\) et \(f_{*}\). Aucun complexe, aucun support, aucune catégorie dérivée.

Le carré

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre de variétés non singulières.⁴¹

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large]
K(X) \arrow[r, "f_{!}"] \arrow[d, "\operatorname{ch}\,\cdot\,\operatorname{Todd}(X)"'] & K(Y) \arrow[d, "\operatorname{ch}\,\cdot\,\operatorname{Todd}(Y)"] \\
A(X) \otimes \mathbb{Q} \arrow[r, "f_{*}"'] & A(Y) \otimes \mathbb{Q}
\end{tikzcd}

\[\begin{equation*} \operatorname{Todd}(Y) \cdot \operatorname{ch}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\bigl(\operatorname{Todd}(X) \cdot \operatorname{ch}(\xi)\bigr) \tag{1} \end{equation*}\]

C'est le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch.⁴²

Les trois variantes

Pour \(f\) une immersion fermée, la formule de projection permet de rentrer \(\operatorname{Todd}(Y)^{-1}\) sous \(f_{*}\) et les classes de Todd de \(X\) et de \(Y\) se combinent en celle du fibré normal \(N\) de \(X\) dans \(Y\) : \[\begin{equation*} \operatorname{ch}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\Bigl(\operatorname{ch}(\xi)\cdot \operatorname{Todd}(N)^{-1}\Bigr) \tag{1 bis} \end{equation*}\] ⁴³

Il annonce ensuite pour ce cas « une formule meilleure », numérotée (2), qui donnerait la classe de Chern de degré \(q+d\) de \(f_{!}(\xi)\) à partir de \(\widetilde{c}(\xi) \ast \lambda_{-1}(\widetilde{c}(N))\) et de \(c^{q}(N)\) : ce serait la version entière du théorème, ce que l'on appellera Riemann-Roch sans dénominateurs, et c'est la suite directe du calcul des pages 9 à 13. Sa forme exacte n'est pas établie ici.⁴⁴

Pour \(f\) une fibration, avec \(E\) un fibré vectoriel sur \(X\) et \(E^{(i)} = \mathrm{R}^{i}f_{*}(E)\), on a \(f_{!}(E) = \sum_{i}(-1)^{i}E^{(i)}\) et donc \[\begin{equation*} \operatorname{Todd}(Y) \sum_{i}(-1)^{i}\operatorname{ch}\bigl(E^{(i)}\bigr) \;=\; f_{*}\bigl(\operatorname{Todd}(X)\cdot\operatorname{ch}(E)\bigr) \tag{1 ter} \end{equation*}\]

Ce que (1 ter) contient de plus que Hirzebruch

C'est le meilleur passage du dossier, et il tient en deux observations.

En degré \(0\), (1 ter) redonne Riemann-Roch sur la fibre.⁴⁵ Le membre de gauche devient \(\sum_{i}(-1)^{i}\operatorname{rg} E^{(i)} = \chi(Z;\, E|_{Z})\) pour \(Z\) une fibre. Le membre de droite devient le degré de la composante de degré \(p = \dim Z\) de \(i^{*}\bigl[ \operatorname{Todd}(X)\operatorname{ch}(E)\bigr]\), et l'on calcule \[ i^{*}\bigl(\operatorname{Todd}(X)\bigr)\cdot i^{*}\bigl(\operatorname{ch}(E)\bigr) \;=\; \operatorname{Todd}\bigl(i^{*}T_{X}\bigr)\operatorname{ch}\bigl(E|_{Z}\bigr) \;=\; \operatorname{Todd}(T_{Z})\operatorname{ch}\bigl(E|_{Z}\bigr) , \] la dernière égalité parce que le fibré normal d'une fibre est trivial.⁴⁶ On retrouve la formule de Hirzebruch pour la fibre.

En degré \(\geqslant 1\), en revanche, (1 ter) donne les classes de Chern de \(\sum_{i}(-1)^{i}E^{(i)}\) — et cela, comme le feuillet le souligne, n'est pas contenu dans la formule de Hirzebruch proprement dite. Il en tire un énoncé qui n'est pas trivial : pour \(n\) grand, la classe de Chern de \(f_{*}(E(n))\) dépend polynomialement de \(n\).⁴⁷

42–43

Le développement en \(n\), et une courbe dans une courbe (pages 42 et 43)

La dépendance polynomiale en \(n\)

Si \(h\) est la première classe de Chern du faisceau tordant et \(E(n) = E \otimes \mathcal{O}(n)\), alors \(\operatorname{ch}(E(n)) = \operatorname{ch}(E)e^{nh}\), d'où \[ f_{*}\bigl(\operatorname{Todd}(X)\operatorname{ch}(E(n))\bigr) \;=\; \sum_{k} n^{k}\, f_{*}\!\left(\frac{h^{k}}{k!}\, \operatorname{Todd}(X)\,\operatorname{ch}(E)\right), \] somme finie puisque \(h\) est nilpotente. C'est la démonstration de l'énoncé annoncé au bas de la page 41 : le membre de droite est un polynôme en \(n\) à coefficients indépendants de \(n\).⁴⁸

Morphismes propres particuliers

Le feuillet ouvre alors, sous un titre de sa main séparé par un trait ondulé, une suite de cas particuliers. Le premier est celui d'un morphisme d'une courbe dans une variété.

Dans tout ce qui suit, \(X\) est la courbe source et \(Y\) le but.⁴⁹

Sur une courbe non singulière, \(K(X) \simeq \mathbb{Z} + \operatorname{Pic}(X)\), l'isomorphisme étant donné par la classe de Chern. Pour \(\xi = (n,d)\) : \[ \operatorname{ch}(\xi) = n + d, \qquad c(T_{X}) = 1 - k_{X}, \qquad \operatorname{Todd}(X) = \frac{-k_{X}}{1 - e^{k_{X}}} = 1 - \tfrac{1}{2}k_{X}, \] \(k_{X}\) étant la classe canonique, et donc \[ \operatorname{ch}(\xi)\operatorname{Todd}(X) \;=\; \bigl(1 - \tfrac{1}{2}k_{X}\bigr)(n+d) \;=\; n + \bigl(d - \tfrac{1}{2}n\,k_{X}\bigr). \] On reconnaît la formule (1) de la page 3, écrite trente-neuf feuillets plus tôt : la classe de Todd d'une courbe est \(1 - \tfrac12 k_{X}\) dans les deux cas, et le degré de ce produit est la caractéristique d'Euler-Poincaré.

a) Le but est une courbe

Soit \(k_{Y}\) son diviseur canonique, \(\operatorname{Todd}(Y) = 1 - \tfrac12 k_{Y}\), et \(\delta\) le degré de \(f\), de sorte que \(f_{*}(1) = \delta\). Alors \[ f_{*}\bigl(\operatorname{ch}(\xi)\operatorname{Todd}(X)\bigr) \;=\; n\delta + \bigl(f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{X})\bigr), \] et en divisant par \(\operatorname{Todd}(Y)\) : \[ \operatorname{ch}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; \bigl(1 + \tfrac{1}{2}k_{Y}\bigr) \Bigl( n\delta + f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{X}) \Bigr) \;=\; n\delta + \Bigl[\tfrac{1}{2}n\delta\,k_{Y} + f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{X})\Bigr], \] soit, dans les coordonnées \((\text{rang},\, c^{1})\) : \[ f_{!}(\xi) \;=\; \Bigl(n\delta,\ \ \tfrac{1}{2}n\delta\,k_{Y} + f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{X})\Bigr), \qquad f : X \to Y . \] ⁵⁰

Le revêtement

Appliquant cela à \(\xi = [\mathcal{O}_{X}]\), c'est-à-dire \(n = 1\), \(d = 0\), pour \(f\) un revêtement de degré \(\delta\) : le faisceau \(f_{*}(\mathcal{O}_{X})\) est un fibré vectoriel sur \(Y\), de rang \(\delta\), et sa première classe de Chern vaut \[ c^{1}\bigl(f_{*}\mathcal{O}_{X}\bigr) \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl(\delta\,k_{Y} - f_{*}(k_{X})\bigr). \] ⁵¹

43–44

b) Une courbe dans une surface, et la formule d'adjonction (pages 43 et 44)

Soit maintenant \(Y\) une surface non singulière et \(f : X \to Y\) un morphisme depuis une courbe, d'image la courbe \(C\), de degré \(\delta\) sur son image.⁵²

De \(c(T_{Y}) = 1 - k_{Y} + c^{2}(T_{Y})\) on tire \[ \operatorname{Todd}(Y) = 1 - \tfrac{1}{2}k_{Y} + \tfrac{1}{12}\bigl[k_{Y}^{2} + c^{2}(T_{Y})\bigr], \qquad \operatorname{Todd}(Y)^{-1} = 1 + \tfrac{1}{2}k_{Y} + \tfrac{1}{12}\bigl[k_{Y}^{2} - c^{2}(T_{Y})\bigr] \cdot \] ⁵³

On a \(f_{*}(1) = \delta\,C\), et \(f_{*}(k_{X})\), \(f_{*}(d)\) sont des classes de \(0\)-cycles. D'où, pour \(\xi = (n,d)\) : \[ \operatorname{ch}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; n\delta\,C + \Bigl[\,f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{X}) + \tfrac{1}{2}n\delta\,(C\cdot k_{Y})\,\Bigr], \] et en passant à la classe de Chern totale, \[ c\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; 1 + n\delta\,C + \Bigl[\,\tfrac{1}{2}n^{2}\delta^{2}C^{2} - \tfrac{1}{2}n\delta\,(C\cdot k_{Y}) - f_{*}(d) + \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{X})\,\Bigr]. \] Le passage se fait par \(c = \exp\bigl(\operatorname{ch}_{1} - \operatorname{ch}_{2}\bigr)\) à l'ordre \(2\), ce que le feuillet écrit exactement.⁵⁴ Pour \(n = \delta = 1\) : \[ c\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; 1 + C + \Bigl[\,\tfrac{1}{2}\bigl(C^{2} - C\cdot k_{Y}\bigr) - f_{*}(d) + \tfrac{1}{2}f_{*}(k_{X})\,\Bigr]. \]

La dernière page, et la formule qu'elle n'écrit pas

Le dernier feuillet applique ceci à \(f : \widetilde{C} \to Y\), la normalisée d'une courbe \(C\) tracée sur la surface, avec \(\xi = [\mathcal{O}_{\widetilde{C}}]\). Il trouve \[ c^{2}\bigl(\mathcal{O}_{C}\bigr) \;=\; \tfrac{1}{2} \Bigl[\,C^{2} - C\cdot k_{Y} + f_{*}\bigl(k_{\widetilde{C}}\bigr)\,\Bigr], \] puis, \(Y\) étant compacte et \(\widetilde{C}\) de genre \(g\), en prenant le degré des deux membres : \[ \deg c^{2}\bigl(\mathcal{O}_{C}\bigr) \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl[\,C^{2} - C\cdot k_{Y} + 2g - 2\,\bigr] \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl(C^{2} - C\cdot k_{Y}\bigr) + g - 1 . \] ⁵⁵

Le feuillet s'arrête là, et le reste de la page est blanc : c'est la fin du dossier. Or il est à une identification de la formule d'adjonction. La classe \([\mathcal{O}_{C}]\) vaut \(1 - [\mathcal{O}_{Y}(-C)]\) dans \(K(Y)\), d'où \(c(\mathcal{O}_{C}) = (1-C)^{-1}\) et \(c^{2}(\mathcal{O}_{C}) = C^{2}\) lorsque \(C\) est lisse. Égaler les deux valeurs donne \[ C^{2} \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl(C^{2} - C\cdot k_{Y}\bigr) + g - 1, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad 2g - 2 \;=\; C^{2} + C\cdot k_{Y} . \] C'est la formule d'adjonction, obtenue comme corollaire de Grothendieck-Riemann-Roch pour la normalisée d'une courbe sur une surface.⁵⁶